EMANの物理学 過去ログ No.11380 〜

 ● ローレンツ変換

  投稿者:fnbo - 2011/10/30(Sun) 17:18  No.11380 
こんにちは、ここに来て相対論の初歩的な質問で申し訳ないのですが、ローレンツ変換をイメージで中中把握できません・・でも、自分で考えてみようと思います。ご教授頂くと理解の助けになるので一つお伺いしたいのですが、同時の相対性とローレンツ変換は同じ事を表しているのでしょうか。。違いがあるとすればどこなのでしょうか?

  投稿者:EMAN - 2011/10/30(Sun) 20:49  No.11386 
ローレンツ変換は具体的な変換式ですよね。
同時の相対性というのは、何をイメージしてらっしゃるのか
確かにはわかりませんが、
アインシュタインが語った哲学のことかな。

ローレンツ変換を素直に受け入れれば、同時の相対性も出てくる。

しかし素直に受け入れるのは日常的な感覚に反する。
だけど、日常的な感覚に根拠など無かったんだよ、と
説明するのが同時の相対性という考え、という関係かしら。

同じものといえば、同じものかな。
違いといえば、数式にまとめられてるかどうか、くらい?

  投稿者:fnbo - 2011/10/31(Mon) 08:20  No.11394 
スレッドが他レスポンスでフォールダウンしてたのですが、管理人さんがお答えして下さっていたので助かりました。
>ローレンツ変換を素直に受け入れれば、同時の相対性も出てくる。
>違いといえば、数式にまとめられてるかどうか、くらい?
2つの関係性がおおむね理解出来ました。有り難う御座います。。

  投稿者:ひゃま - 2011/11/04(Fri) 01:21  No.11413 
ローレンツは物が縮む、アインシュタインは時空が歪む、すなわち光速が不変にするとローレンツ変換で打ち消しあい、同時と言う概念は観測によるってことじゃないないかな、まあどちらにしてもつじつま合わせですね

  投稿者:fnbo - 2011/11/06(Sun) 11:13  No.11433 
空間回転についてはなんとなく理解出来ました。ブーストについて調べてみると、一般的に非回転変換と説明されているサイトがあるのですが、回転変換ともいえるという記述もあるので、そこのところのニュアンスご教授願えれば助かります。
ひゃまさんNo.11413投稿有難う御座います。ところで
>すなわち光速が不変にするとローレンツ変換で打ち消しあい
という部分について具体的に説明いただけると有難いです。

  投稿者:ひゃま - 2011/11/06(Sun) 13:37  No.11436 
ポアンカレ(Henri Poincaré 1854-1912)は1895年に、それまでに行われたいろいろな実験結果から、静止エーテルに対する物体の運動を見いだすことは不可能であるという見通しを述べていた。また1899年に行った講義で、すべての近似にわたってエーテルに対する物体の運動が見いだせないような理論が可能なはずであると述べている。ローレンツは1904年にいたって、ポアンカレの期待にこたえる理論を作り上げた。この理論では、マックスウェルの理論は静止エーテルに固定された座標系で厳密に成り立つとしている。そして、静止エーテルに対する等速度で移動している基準系の座標系と時間に対して、有効座標および局所時という変数を導入すると都合がよいことを示した。有効座標と局所時は、のちにアインシュタインが特殊相対性原理にもとづいて導いた座標と時刻の変換とまったく同じ形をしている。この理論では運動座標系における電磁場の量も変換を受けるが、その変換式もアインシュタインのものに一致する。さらにポアンカレが改良した電荷と電流に関する変換式を用いると、運動系におけるマックスウェルの方程式は、静止エーテル中のマックスウェルの方程式とまったく同じ形であることが示された。ローレンツが導いた座標と時刻の変換に対して、ポアンカレはローレンツ変換という名前をつけた。
 ローレンツとポアンカレの理論は、数学的にはアインシュタインの特殊相対性理論に完全に一致する。両者の違いは考え方の違いである。ローレンツとポアンカレによれば、エーテルは存在している。エーテルの中を運動している物体は、物体を構成している電子とエーテルとの相互作用によって影響を受ける。その結果として、ローレンツ収縮などの現象が生じる。すなわち、マイケルソン-モーリーの実験と矛盾しないためには、ガリレイ変換に修正を加えなくてはならなくなる(ローレンツ変換)。また電磁場も特別な変換を受ける必要が出てくる。このようにして、ローレンツ収縮と光の速度の変化が互いに打ち消しあって、表にあらわれなくなると考えるのである。一方、アインシュタインによれば、観測不可能なエーテルは存在する必然性はなく、特殊相対性原理を要請すればいいのである。(物理入門コース 相対性理論 中野薫夫 岩波書店より)

  投稿者:fnbo - 2011/11/06(Sun) 15:25  No.11438 
ひゃまさん
>ローレンツ収縮と光の速度の変化が互いに打ち消しあって
よくわかりましたありがとうございます。。

  投稿者:ひゃま - 2011/11/07(Mon) 01:25  No.11445 
ですが、ひゃま(日常感覚の凡人)はそれを間違っていると考えており、
時空から光速度を測定しておいて、その時空を曲げるのは循環論法ですね。
その矛盾は、時間を曲げるローレンツ変換1/√1-v^2/c^2の極限において無限大とか、空間を曲げるシュバルツシルト解のr=2GM/c^2の特異点といった数学式に現れてしまいます。

  投稿者:サンマヤ - 2011/11/07(Mon) 07:34  No.11447 
>fnboさま
「同時の相対性」とはたぶん次のようなことだと思います。
2つの時空点
<tex>x=(x_0,x_1,x_2,x_3)</tex>
<tex>y=(y_0,y_1,y_2,y_3)</tex>があったとき、
もし2点の関係が「空間的」、すなわち
<tex>(x-y)^2 = (x_0-y_0)^2 - (x_0-y_0)^2 - (x_0-y_0)^2 - (x_0-y_0)^2  < 0 </tex>
であるならば、(これは光の速度でも2点間を移動できないことに相当します)
適当な慣性系を選んでローレンツ変換すると(’をつけた座標で表します)
<tex>x'_0 = y'_0</tex>にできる。
すなわち同時刻に見えるような慣性系が存在する、ということを言ってるのだと思います。
つまり、ローレンツ変換によって(言い換えれば観測している慣性系によって)、
「同時な事件」というのは変わりうる、という主張のことだと思います。

>ひゃま様
たしかに相対論や量子論は常識的な感覚からはかなり違っています。
しかし、中学生や高校生に理科や物理を教えてきた経験から言って、
その「常識的感覚」が、相当物理分野の理解を妨げているという印象があります。
たとえば、力や仕事といった基本的概念からしてそうです。
言葉自体は日常的な用語なのに、物理的な<定義>は日常的な感覚と違っています。
「荷物を持ってずっと立っていても<仕事>はしていない」と言われても、
「でも疲れるじゃん。それでも仕事してないの?」となってしまうわけです。
こういうところが、中学段階ぐらいからの「物理嫌い」を生んでいるような気がします。
多かれ少なかれ、物理の理解へと進んだならば、どこかでこの「常識的感覚との決別」へと一歩踏み入れていると思います。
なので、あまり感覚にこだわることに意味があるように思えませんし、
ご自分のことを「日常感覚の凡人」と言われることにも違和感をおぼえます。

また、挙げられている二つの矛盾はあまり矛盾とは考えられていないことですよね?
(両方ともいろいろなところで繰り返し議論されてきた話だと思うので詳しくは書きませんが)
別スレの「アリストテレス」の話題も含めて、
何か思うところあって問題提起をなさろうとしていると思うのですが、
ちょっと食いつきにくいです・・・

ただ断っておきますが、自分も相対論や量子論が完璧だと思っているわけではありません。
それは特に「繰り込み」といった発散の処理が必要な点や、
量子重力理論がいまだに成功していない点に理由があります。
それはおそらく、不確定性原理がある中で「微分」という操作がどこまで妥当なのか、
無限小(あるいは大きさ0の点)ということがどこまで現実に合致しているのか、
ということへの疑念だと思います。
それが「感覚」なのか「理詰めの判断」なのかは、自分にもよくわかりません・・・

それでも、どのような仮定(公理)を出発点にしたら、どこまで自然を説明できるのか、
という試みとして物理理論を追究していくことに面白さを感じているわけですがw

ローレンツ変換に関して言えば、光の速度云々とか、双子のパラドックスとかが議論になるわけですが、
ちくま学芸文庫で復活した朝永振一郎編「物理の歴史」や、
太田浩一「電磁気学I・II」(丸善)などの議論のように、
電磁気現象の相対性(電磁誘導でコイルを動かしても磁石を動かしても結果は同じ、という中学で習うあれ)などから、
マクスウェル理論の変換性に関する要請として出てくるわけで、
あまりエキセントリックに考える必要もないかと思います。
太田氏の教科書は最近読んだのですが、
けっこうマニアックで勉強になる議論がたくさんちりばめられていて読み応えがありました。(構成的に非常に読みづらいところがありますが・・・)

話がかなり脱線しました。長文失礼しました。

  投稿者:ひゃま - 2011/11/07(Mon) 18:56  No.11452 
サンマヤ様

すばらしい、ご自分のご意見ありがとうございます。
ひゃまも、ポアンカレとローレンツとアインシュタインの理論の違いをfnboさんに納得して頂いて、めでたしめでたしではなんとなく後味わるく、EMANさんのスレですが自分は間違っていると考えているので、初学ながらそれも伝えることが大切と思いました。
常識については、自分の常識って結構他人とは違うものとの認識があり、只現実と見詰め合うのは第一に自分の常識で考えるのは大切なのと、観測結果により時には考え方を折る勇気も大切と考えております。
ひゃまはシステム屋なのですが大体が自分の間違いで折られてばかりですがw
物理の初等教育について理論云々以前に興味を持ってもらわないというのは全く同感です。
興味があるから自分の常識と戦うのが科学ではないでしょうか?

但し、相対論うんぬんは学校の勉強(初等教育でもない)ではないので、相対論はこう考える、自分はこう考えるというのも大切と考えております。
むしろ、自分の日常と違う何これって感覚のほうが正常で観測された事実を確認していくほうが正しい取り組み方でしょう。

ひゃまの小さいころも近所のおっさんに変な知識教わったり、大人同士が言い争って、これはただ事じゃないなにかあるなとかコミュニティがありました。
世の中には不条理が一杯あります、ひゃまはそういう良いも悪いも必要なコミュニティを物理学も含めインターネットに期待しています。

  投稿者:fnbo - 2011/11/07(Mon) 21:23  No.11455 
サンマヤさんNo.11447コメント、有難う御座います。漠然と理解出来て来ましたので、ブーストについてはもう少し自分で調べてみようと思います。。

  投稿者:ひゃま - 2011/11/08(Tue) 22:00  No.11471 
サンマヤ様

>また、挙げられている二つの矛盾はあまり矛盾とは考えられていないことですよね?

え、それ本質的な問題では?
媒質や重力によって可変している光速を一定にして時空の方を歪ませると必然的に出てきますが

ローレンツ変換って、結局、本当の真空に対しての光速比率(屈折率)であって
本当の真空をc0、光速をcとすると、v=物質速度
c0/c=1/√(1-v^2/c0^2)、c/c0=√(1-v^2/c0^2)
c^2/c0^2=1-v^2/c0^2、c^2=c0^2-v^2、c0^2=c^2+v^2
みかけの質量では、c0/c=1/√(1-v^2/c0^2)=m/m0、c0m0=mc
c:vや、c^2:2GM/r比較のみでリミッタ無く発生するもので、数学的に問題の操作は可能だがより複雑に相容れない問題が発生するだけである
数学的に弄れる話と現実は違いますね。

  投稿者:サンマヤ - 2011/11/10(Thu) 08:36  No.11495 
ひゃま様

元の質問と関連する範囲でいうならば、
(繰り返しになってしまいますが)ローレンツ変換は電磁気現象の相対性からくるもので、
「相対性理論」に固有のものじゃないですよね?
これについては以前紹介した、
太田浩一「電磁気学I・II」(丸善)
が、マニアックに突き詰めていて面白いです。
v=cのときについては、この掲示板で最近同じような話題があったように思います。(光だと時間が進まない?といったテーマだったかと)

シュヴァルツシルト計量の方については、一般相対論の本やEMANさんのページの中でも触れられていると思いますが、
座標系の取り方によって消えてしまう特異点ですから、本質的ではないかと。
観測者によって座標系が変化するという「共変性」そのものを拒絶するというなら話は別ですけど。
これ以上は元スレからずれるので、またの機会がいいと思います。

  投稿者:ひゃま - 2011/11/10(Thu) 18:51  No.11499 
サンマヤ様

>(繰り返しになってしまいますが)ローレンツ変換は電磁気現象の相対性からくるもので、「相対性理論」に固有のものじゃないですよね?

そう、その解釈は相対性理論固有のものということで、ローレンツ圧縮と、自分の考えを紹介できたので、テーマの目的は果たさせてもらいましたので、究極的な話はまた次の機会で話せたら良いですね。
本の紹介ありがとうございました。


  投稿者:ひゃま - 2011/11/12(Sat) 14:02  No.11516 
ローレンツ変換は絶対屈折率をまとめましたので紹介程度に

絶対屈折率は、
n=c0/c=c0/√(c0^2-v^2)=1/√(1-v^2/c0^2)=m/m0

光量子仮説等から、E=hν、P=h/λ=mc、c=νλ、E=mc^2
ひゃまの光論から、E=hν=mc^2=m0c0c
m0=E/c0c=hν/c0c=h/λc0=P/c0、これが電磁波の質量
運動量は、P=m0c0=mc

物質のエネルギーは、E=m0c0c=m0c0√(c0^2-v^2)
E^2=m0^2c0^2(c0^2-v^2)、P=m0c0、c0^2=c^2+v^2
E^2=P^2(c0^2-v^2)、E^2=P^2c^2、E=Pc=m0c0c=mc^2

ひゃまの光の空間力より

参考:
運動エネルギーによる質量増加の検証となったカウフマンのベータ線屈曲の実験
http://www.rist.or.jp/atomica/data/dat_detail.php?Title_No=16-03-03...


  投稿者:ghsobo - 2011/11/22(Tue) 07:38  No.11640 
>> No.11447
サンマヤ様
電磁気現象の相対性について私のブログにも掲げてみました。
http://kyg1754qlr.cocolog-nifty.com/blog/2011/10/post-60a9.html
理解の程度はつじつま合わせなのかなと言う程度です。
マクスウェル方程式の形が不変になるように要請された電磁場のローレンツ変換の式の
<tex>B' _{X} =B _{X} </tex>
<tex>B' _{y} = \frac{1}{ \sqrt{1- \beta  ^{2} } }  \left(B _{y} + \frac{ \beta }{c} E _{z} \right)  </tex>
<tex>B' _{z} = \frac{1}{ \sqrt{1- \beta  ^{2} } }  \left(B _{z} - \frac{ \beta }{c} E _{y} \right) </tex>
のイメージがよく分からないです。磁束密度の中から電場が染み出すあたりですね。

  投稿者:サンマヤ - 2011/11/22(Tue) 17:26  No.11647 
ghsoboさま

つじつま合わせですと、ローレンツ因子に反比例する係数が出てきません。
そこにも相対性理論へ行かざるを得ない理由があるのですが、
この辺の議論は、前にも紹介した太田浩一の教科書第1巻の最終章が詳しいです。
(EMANさんの「物理学書店」では中級書になってますが、全体を通して読むには厳しい本だと思います)
太田氏の本は、物理学史を踏まえた記述になっているので、
どのような思考過程を経て出てきたのかを知りたければ読んでおくべき一冊だと思います。
砂川氏の教科書ですと、物理テキストシリーズが軽くてお勧めですが、
これにはローレンツ変換性の議論は全くでてきませんね。
かと言って「理論電磁気学」では重すぎる・・・

電場と磁場は、それぞれがベクトルなのではなく、テンソルの成分になっている、
ということを受け入れないとこの変換を理解するのは難しいかもしれません。
この辺は、ランダウの「小教程」が簡潔ですが、
天下りすぎて納得いかないかもしれません。
ですが、たとえば磁場の変換の式で、x方向へ運動しているのに、
なぜx方向の磁場は不変(普通のベクトルならx方向が変わって、yz方向は不変)なのか?
なぜ、電場と磁場が変換で混じるのか?
という疑問には結局4元ポテンシャルをベクトル、電磁場をテンソルとして扱わないと、説明できないことかと思います。

  投稿者:ghsobo - 2011/11/22(Tue) 21:07  No.11650 
>>No.11647
サンマヤさん、ありがとうございます。
>なぜx方向の磁場は不変
おやっと思いました、電磁場の相対運動は昔から長い疑問でした。レベル高そうですが、ご紹介の本探してみます。

  投稿者:サンマヤ - 2011/11/23(Wed) 02:46  No.11653 
ghsoboさん、ブログ読ませていただきました。

自分もブログとHPもってるのですが、ほとんど開店休業状態ですw
こういうところに書くより、自分のページのネタにしろよ、と自分につっこみつつちょっと書きます。
(といいつつ書いているうちに長文に・・・)

電磁気学の相対運動の話をまじめにやろうとすると大変です。
紹介した太田氏の本も、「へぇ〜」程度で流し読みしておかないと疲れます。
というのはエーテルの運動学やら、機械論的モデルやら、
いまでは捨てられた概念を一所懸命修正しようという当時(19世紀末)の努力を再現しているわけですが、
結局速度の1次の項しか実験を再現できず、ガリレイ変換の行き詰まりに到達するわけです。
マクスウェルもエーテルに実体があったと考えていたようで、
その名残りが変位電流 $\frac{\partial D}{\partial t}$ なわけですが、
マクスウェルはどうやら本当に電流が流れていると思っていたようです。
(エーテルに分極電荷が生じ、それの変化が電流となって現れるという考え方)
こういうのにいちいち付き合っていたら、勉強は進みません。
ある程度勉強してから、マニアックな話題として読んでおくぐらいがいいでしょう。

本題のローレンツ変換性ですが、変位電流と絡む話で、
アンペール・マクスウェルの方程式で、
<tex> rot B - \frac{1}{c^2} \frac{\partial E}{\partial t} = \mu j</tex>
を、
<tex> rot B  =  \frac{1}{c^2}\frac{\partial E}{\partial t} + \mu j</tex>
と書いてはいけない(と書いたらいろいろ言われそうですが。ランダウは後者の書き方をしている)、
ということにも関連している話です。
スカラーポテンシャルとベクトルポテンシャルを併せて、
<tex>A^{\mu} = ( \phi, A^i )</tex>
と書き、4次元のベクトルとします。
このとき、電場・磁場は、この4元ポテンシャルの「回転」
<tex>F^{\mu \nu} = \frac{\partial A^{\mu}}{\partial x^{\nu}} - \frac{\partial A^{\nu}}{\partial x^{\mu}}</tex>
の各成分になっていて( $x^0 = ct$ )、これは反対称ですから、半分だけ書くと、
<tex>E_x = F^{01}, E_y = F^{02}, E_z = F^{03}</tex>
<tex>B_x = F^{23}, B_y = F^{31}, B_z = F^{12}</tex>
となります。これがローレンツ変換によって2次のテンソルとして変換しますから、
たとえば、 $B_x$ は添え字2と3がありますから、x方向のブースト(添え字0と1が変化する)では変わらないわけです。
一方、マクスウェル方程式もローレンツ不変な形にかけて、先のアンペール・マクスウェル方程式は、テンソルFの発散と4元電流ベクトルの関係、
<tex>\frac{\partial F^{\mu \nu}}{\partial x^{\nu}} = \frac{1}{c} j^{\mu}</tex>
の、 $\mu=1,2,3$ とした式から出てきます。
つまり、あくまで場のソース(発生源)は電荷と電流であり、
Bの回転とか変位電流というのはテンソルFの微分から出る項であって、
慣性系が違えばお互い移り変わってしまうものであり、
同じ場の一部という意味では同等なわけです。
なので、アンペール・マクスウェルの方程式は前者の形に書かなければならない、
と自分は考えています。
言い換えれば、電場・磁場という区分自体が相対的、ということです。
ちょっと先走りすぎましたが、概略こんな感じの議論でしょうか。
Fの変換を手で書けば、それがNo.11640の式に一致するはずです。

  投稿者:ghsobo - 2011/11/24(Thu) 08:28  No.11681 
>>No.11653
電磁気の初等的本ではだいたい最初に静電場、次ぎに静磁場、定常電流、物質中の電磁場となってやっと変動する電磁場の章で変位電流なんかオマケみたいな解説の後マクスウェル方程式にたどり着くというすんぽうなんですけど、いまひとつ分かりにくかったですね。昔技能屋でしたので根本知る必要はなかったけど電場と磁場べつべつな印象でした。スカラーポテンシャル、ベクトルポテンシャルもたんに数学的なお遊びにしか思いませんでした。
そういう形で結びついていることが分かりました。このへんは深い意味もあり、面白そうです。