EMANの物理学 過去ログ No.11136 〜

 ● 超球

  投稿者:hirota - 2011/07/26(Tue) 13:57  No.11136 
n+1 次元ユークリッド空間
<tex>{\bf R}^{n+1}=\{{\bf x}_E=(x_0\,\ldots\,x_n)|x_i\in{\bf R}\}</tex>
の中の半径 r の n 次元超球面
<tex>S^n=\{{\bf x}_E\in{\bf R}^{n+1}|\,\|{\bf x}_E\|=r\}</tex>
を考えて、 ${\bf x}_E=(r,0,\,\ldots\,,0)$ 付近の局所座標として球面から $x_0=r$ 超平面に心射投影した点の $x_1\,\ldots\,x_n$ 座標を採用する。(球面点の座標ではなく、投影超平面の座標)
 ${\bf x}=(x_1\,\ldots\,x_n)$ とすると、 ${\bf x}$ と ${\bf x}+d{\bf x}$ の微小角度 dθ は
<tex>\cos d\theta=\frac{(r,{\bf x})\bullet(r,{\bf x}+d{\bf x})}{\|(r,{\bf x})\|\,\|(r,{\bf x}+d{\bf x})\|}=\frac{r^2+|{\bf x}|^2+{\bf x}\bullet d{\bf x}}{\sqrt{r^2+|{\bf x}|^2}\sqrt{r^2+|{\bf x}+d{\bf x}|^2}}</tex>
である。(心射投影なので球面上 2 点の角度は投影しても同じ)
球面上の微小距離 ds は $ds=r d\theta$ なので、2 次までの近似計算で計量
<tex>ds^2=\frac{r^2}{r^2+|{\bf x}|^2}(|d{\bf x}|^2-\frac{({\bf x}\bullet d{\bf x})^2}{r^2+|{\bf x}|^2})</tex>
が求まる。
これが曲率を勉強したときに実例を試したくてインスタントに求めた超球の計量で、曲率計算 ( $R=\frac{n(n-1)}{r^2}$ となった ) には充分だったが、あもんさんノートの計量と比べると単純でないな。
さて、どう変数変換したら一致するんかな〜?
ヒマな人どうぞ。

  投稿者:冷蔵庫 - 2011/07/27(Wed) 03:42  No.11138 
>hirotaさん

No.11136の計量で動径方向 $\chi$ を、
<tex>\chi = (|{\bf x}|^{-2} + r^{-2})^{-1/2}</tex>
ととると、No.11130の最後の式で $4A = r^{-2}$ としたもの(のn次元版)になりますね。

  投稿者:hirota - 2011/07/28(Thu) 11:31  No.11139 
おーっ、なるほど!
極座標経由とは思い付かなかった。