EMANの物理学 過去ログ No.10986 〜

 ● E=mc^2

  投稿者:KNN - 2011/06/08(Wed) 18:40  No.10986 
質問です、
こちらのサイトの、「E=mc^2の求め方」の中で、「E=p0c」と運動量?に光速をかけた物をいきなりエネルギーとして扱ってるのですが
運動量×速度の単位がエネルギーになるのはわかるのですが、なぜ光速をかけてEとなるのかわかりません。
どのように理解したらよいのでしょうか

  投稿者:物理解決屋 - 2011/06/08(Wed) 20:04  No.10987 
こんにちは
この光速度cは物理定数により定義されているので物理定数であり、どの座標系で測ったとしても値は変わらないからです。
(例としてボルツマン係数がどこでも同じ値であるように。)
アインシュタインはこの性質を使い、この式を完成しました。
また、現代物理の定義として
「光子の質量は0である」
という重大な定義があります。
その為、光子の質量が0であるから、エネルギー
E=p0c
なるから成り立ちます。

  投稿者:Kafuka - 2011/06/08(Wed) 21:33  No.10989 
通常と逆順に説明すると、
E^2=(pc)^2 + (m0c^2)^2 なので、m0=0なら、E=pc
だからです。
何故、この式が成り立つかというと、
ローレンツ変換では4元運動量の内積が保存される
つまり、p^μp_μ=(E/c,px,py,pz)(-E/c,px,py,pz)
 =−E^2/c^2+p^2=一定
だからです。
この一定値は何かというと、どうせ一定なんだから、
px,py,pz=0の場合の値を計算してみます。
4元空間ベクトル=(ct、x、y、z)と4元運動量の関係において、、
4運動量を(p0、p1、p2、p3)と置くと
pj=m0 dxj/dτ   (j=0〜3)τは固有時
∴ p0 =m0 ct/τ=m0c/√1−(例のあれ)
√の中のvが0(つまり静止)なら、p0 =m0 c
もとに戻って、
p0^μp0_μ=(m0c,0,0,0)(-m0c,0,0,0)
= −(m0c)^2
=一定=−E^2/c^2+p^2

両辺にc^2 を掛けて、移項すると、
E^2=(pc)^2 + (m0c^2)^2

注;上記でいう内積の計算で−がつくのは、ミンコフスキー内積だからです。

追伸:
おもいっきりハズしたようです。
すみません。

  投稿者:EMAN - 2011/06/08(Wed) 23:09  No.10990 
 KNNさん、こんばんは。

  $ p^0 $ をいきなりエネルギー $ E $ として扱うことはしていないつもりでしたが、説明が分かりにくかったかも知れません。

 その直前に

<tex>p^0 \ =\ mc \ +\ \frac{\Vec{p}^2}{2mc} \ +\ \cdots \ \ \ \ \ \ \ (a)</tex>

という式が出てきます。
 その第 2 項にある $ \frac{\Vec{p}^2}{2m} $ の部分は、
運動エネルギー $ \frac{1}{2}mv^2 $ の別表現として割りと知られている形です。

<tex>\frac{\Vec{p}^2}{2m} \ =\ \frac{1}{2}m\Vec{v}^2</tex>

 つまり、この (a) 式は「運動エネルギー」の式でありながら、
全体を c で割った形になってしまっているわけです。

 ですから、全体に c を掛ければ、
すっきり運動エネルギーの式になるだろう、というわけです。

<tex>p^0 c \ =\ mc^2 \ +\ \frac{\Vec{p}^2}{2m} \ +\ \cdots \ \ \ \ \ \ \ (b)</tex>

 この右辺は第3項以降にもごちゃごちゃと続きますが、物体の速度が小さい時には無視できます。
 この (b) 式から分かることは、ニュートン力学で $ \frac{1}{2}mv^2 $ として知られていた式は速度が小さい時の近似であって、相対論的な速度の場合にはこの右辺全体が運動する物体の全エネルギーを表しているのではないかということです。
 ですから、この式の全体を $ E $ と表すことにしました。
  $ p^0 c = E $ というのはそういう理屈です。


  投稿者:KNN - 2011/06/09(Thu) 00:12  No.10992 
みなさまありがとうございます。
中学程度の数学しか理解してないのに物理に興味を持ってしまったおっさんなのですが、やはり難しい…
あともう一つ質問なのですが、4元速度の項目で、u1,2,3がu=γv/c、u0=γとなっているのですが、速度なのに単位がなくなっちゃってる気がするのですが…
速度が遅ければ速度はほぼvになるとおもうので、u123=γv、u0=γcにならないのでしょうか

  投稿者:EMAN - 2011/06/09(Thu) 01:29  No.10993 
 4元速度については流儀の違いです。
 KNNさんの書かれたようにしても良いのです。
 むしろ初心者を惑わさないためにはそうした方がいいのかも知れません。

 どうせ定数 c が掛かるかどうかの違いですから、
慣れてくるとあまり気にしないようになります。

 「E = mc² の求め方」の記事の最初のほうで、
そのことについて書いてはあるんですけどね。

 ↓ こんな具合に・・・。

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つまり、4 元速度は長さを長さで割っていることになるので無次元量になってしまっている。 時間を長さの単位で表すために掛けた光速度 の分だけ割りすぎているのである。 そこで 4 元運動量を定義する際に、その分を掛けて単位をちゃんと普通の運動量の単位に合わせておくことにしよう。

 本来こういうことは 4 元速度の定義のところで光速度 を掛けて調整しておくべきなのだが、今回は話の流れ上、私が学生時代に愛読していた本に従った。 (略) 教科書によってはちゃんと 4 元速度に光速度 を掛けて定義してあるものもある。
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  投稿者:KNN - 2011/06/09(Thu) 17:05  No.10996 
ぎゃー、確かに単位について明記されてました…すみません
さらに質問というか実は聞きたかったことの本題なのですが

4元速度の時間u0=γcは、静止状態の時間軸の進む速さをcとしてるってことだと思うのですが、
静止状態の時間方向の進む速さ=c
静止状態の時間方向の運動量=mc
静止状態の時間方向の運動量*c=mc^2
時間方向の速度はcを基準にしてるから速度=定数のcってことで
E=mc^2
とショートカットして考えるのはおかしいですか?

それと、アインシュタインが特殊相対性理論を発表する以前にE=mc^2の式を発見した人はいないのでしょうか(ローレンツ変換みたいに)

  投稿者:EMAN - 2011/06/09(Thu) 21:52  No.10997 
> とショートカットして考えるのはおかしいですか?

 相対論が正しいことが確実になった現在では、
「時間方向の速さ」とか聞いても
「何となくそんなイメージも有りかいなー」とは思えますけれど、
やっぱり意味不明です。


> アインシュタインが特殊相対性理論を発表する以前にE=mc^2の式を発見

 質量の増加についてはポアンカレも述べてたようですけど、
この式についてはアインシュタインからだったのでは?
 今なら本当らしく見えますけど、当時としてはかなり突飛なアイデアで、
周囲の反応は、そんな解釈に飛びついていいのだろうか、という感じだったと思います。