EMANの物理学 過去ログ No.10936 〜

 ● 重心系の重心について

  投稿者:Kafuka - 2011/05/21(Sat) 11:45  No.10936 
>非相対論的力学での運動方程式 (m1v1)'+(m2v2)'=0から、m1x1+m2x2=Const との重心不変の式が導けます
ということなので、相対論においても、

運動量p↑ = m dx↑/dτ = γm dx↑/dt の保存

から重心を議論することができると思います。

ある慣性系において,2つの物体を考え,外力は働いていないという状況を考えれば,

p1↑ + p2↑ = const. [運動量保存則]

つまり、ある時刻において
p1↑ + p2↑ = 0↑
であれば,任意の時刻において
p1↑ + p2↑ = 0↑ であり、
=γ1 m1 dx1↑/dt + γ2 m2 dx2↑/dt
= d(γ1 m1 x1↑ + γ2 m2 x2↑)/dt - (dγ1/dt)m1 x1↑ - (dγ2/dt)m2 x2↑
= 0↑
が言えます。
仮に、γの微分の項を 0 とすると(v1↑、v2↑の時間変化が0)、

d(γ1 m1 x1↑ + γ2 m2 x2↑)/dt = 0↑
γ1 m1 x1↑ + γ2 m2 x2↑ = const.
つまり,ある瞬間に
p1↑ + p2↑ = 0↑
となるような慣性系(重心系)においては
γ1 m1 x1↑ + γ2 m2 x2↑=Const(時間に依らない)
となり、
重心系において、2つの物体が静止していれば、
m1 x1↑ + m2 x2↑=Const(時間に依らない)

しかし、外力はなくても、2つの物体間に力が働き、v1↑、v2↑が時間変化すると、
γの微分の項があるので、
γ1 m1 x1↑ + γ2 m2 x2↑≠Const

じゃないかと思うのですが、合ってますでしょうか?

  投稿者:甘泉法師 - 2011/05/21(Sat) 15:49  No.10937 
こんにちは。

ニュートン力学の重心は
 質量中心 X~=1/M ∫μx~ dV
ですが、相対論の重心は
 エネルギー中心 X~=1/H ∫hx~ dVです。
 違いはたとえばMとmの間に相互作用エネルギーがあればそれも考慮が必要です。

閉じた系の重心が 重心系(系の全運動量が0の系)で静止し続けることが一般に導けます。導出はたとえばメラー§64。

=甘泉法師=

PS

勉強のため記してみます。

重心の定義

X~=1/H ∫hx~ dV
 H 全系のエネルギー。閉じた系なので定数。
 h(t,x~) エネルギー密度

重心の時間変化は

d/dt Xk = 1/H ∫(∂h/∂t)xk dV

 エネルギー保存の式 ∂h/∂t+∂Si/∂xi=0  i=1,2,3  S~はエネルギー流、 から 

d/dt Xk = −1/H ∫ ∂Si/∂xi xk dV

部分積分で

d/dt Xk = −1/H ∫{ ∂(Si xk)/∂xi − Sk } dV

 第一項は閉じた系の境界の面積分になりゼロ。 

d/dt Xk = 1/H ∫Sk dV
 
 エネルギー運動量テンソルの対称性からSk = c^2 gk  g~ は運動量密度  なので

d/dt Xk = c^2 Gk/H  G~は系の全運動量ベクトル

 重心の速度は 運動量G~ 質量 H/c^2の質点の速度のようであることがわかる。 重心系ならばG~=0なので  

d/dt Xk = 0

以上

  投稿者:メカトロ - 2011/05/21(Sat) 15:50  No.10938 
>任意の時刻において
p1↑ + p2↑ = 0↑ であり、
=γ1 m1 dx1↑/dt + γ2 m2 dx2↑/dt
= d(γ1 m1 x1↑ + γ2 m2 x2↑)/dt - (dγ1/dt)m1 x1↑ - (dγ2/dt)m2 x2↑
= 0↑

特殊相対論的には1も2もdγ/dt=0なのでは?


  投稿者:ASA - 2011/05/21(Sat) 19:49  No.10939 
甘泉法師 さん

>違いはたとえばMとmの間に相互作用エネルギーがあればそれも考慮が必要です。
その部分の考慮が非常に難しいケースがあります。
熱伝導のようにエネルギー散逸を示す相互作用などでは、
>エネルギー保存の式 ∂h/∂t+∂Si/∂xi=0  i=1,2,3  S~はエネルギー流、
 が、成立しません。適切な散逸場を与えることができれば、成立しますけど、必ず適切な散逸場を与えることができるとは限りません。
  
>第一項は閉じた系の境界の面積分になりゼロ。
 散逸系で、適切な散逸場を与えることができたとしても、閉じた系とはいえないのでこれがゼロになることが保証されません。

  投稿者:Kafuka - 2011/05/21(Sat) 20:07  No.10940 
>甘泉法師さん
すいません、Xkってなんでしょうか(x、y、z?)

>メカトロさん
p1↑ + p2↑ = const. [運動量保存則] の導出は、
運動方程式の変更: http://homepage2.nifty.com/eman/relativity/4force.html
より、
m d^2 x/dτ^2 = F=dp/dτ
ある慣性系において,2つの質点を考え,この質点同士に内力は働いているが,
外力は働いていないという状況を考えれば,この慣性系において,
dp1↑/dτ1 + dp2↑/dτ2 = 0↑
作用・反作用の法則から(固有時をτとする)
d(p1↑ + p2↑)/dτ = 0↑

∴p1↑ + p2↑ = const. [運動量保存則]

つまり、観測者どうしは、どちらも慣性系にいるとするので特殊相対論ですが、
その観測対象は、加速度運動していてもいいと思います。
これが正しいアプローチなら、ある時刻に、
m1dx1/dτ1+m2dx2/dτ2=0
であれば、
m1γ1dx1/dt+m2γ2dx2/dt=0
なので、dγ/dt≠0 を考える必要があると思うのですが、、、

  投稿者:甘泉法師 - 2011/05/21(Sat) 21:03  No.10941 
こんにちは。

Xk で重心の位置ベクトルX~のk成分をあらわしました。k=1,2,3。
x,y,z成分です。

もし2質点が相互作用しないならそれぞれが慣性の法則で一定速度で動くだけで単純です。
力をおよぼしあう2質点なら加速度運動をするでしょう。2質点が力を及ぼしあうということは媒介する場も運動量、エネルギーをもちます。それも重心に考えねばなりません。

重心は”質量”についてでなくすべてのエネルギーについてであることは上述のとおりです。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2011/05/21(Sat) 21:33  No.10942 
Kafuka さん
 謝る必要はありません。疑問は当然のここと思います。
>メラーの結果から言えば、常にγの時間微分の項の和は0のようです。すみませんでした。
 質点極限で考え、密度ρ1をm1δ(x-x1(t))とした時、h1=ρ1γ1c^2ととる時、対応する運動量密度をうまく定義できません。質点極限で考えることに問題が有りそうです。
 逆に質点の表現である相対論的質量中心芭iγi1xiは、不変量でないといえます。つまり、"常にγの時間微分の項の和は0のようです。"とはいえないですね。
 この辺りは、非常に怪しい部分です。教科書で丁寧に説明されているのを見たことがありません。

  投稿者:Kafuka - 2011/05/21(Sat) 21:58  No.10943 
そもそも、
運動方程式の変更: http://homepage2.nifty.com/eman/relativity/4force.html
によると
>相対論的な速度で運動する他の視点から見れば、我々が力だと思っているものの一部が仕事率に見え、
>我々が仕事率だと思っているものの一部が力として観察されるのだろう。
です。
これを時間積分で書けば
「我々が運動量だと思っているものの一部が仕事に見え、、、、」
ってことなので、
3元の運動量保存則だけから出した何かの帰結 というのは、相対論ではナンセンス
と思いました。
同様に、エネルギー保存則だけから出した何かの帰結 というのも
僕には、?です。
http://homepage2.nifty.com/eman/relativity/ep_tensor.html
によれば、
本当のエネルギー保存則は、
∂T00/∂(ct)+∂T01/∂x+∂T02/∂y+∂T03/∂z=0
で、T01〜T03は、運動量密度にcを掛けたものと思いますので。

憶測ですが、
エネルギー運動量テンソルが対称であれば、エネルギー散逸系なら、
3元の運動量も保存しないと思ったりします。
であれば、
エネルギー散逸系のため、メラーの重心の導出は否定され、
同時に、3元の運動量の非保存からも重心の不変は否定され、
話が合います。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/05/21(Sat) 22:19  No.10944 
こんにちは。

慣性系をのりかえると別のみえかたがする ということと 
慣性系毎に値は異なってもその値は時間がたっても変わらない保存量*がある ということは 別々のことでしょう。

開いた物理系については重心の考えの有効性は限定されるでしょう。たとえば物質の部分系と電磁場の部分系はあわせると閉じた系ですが各々は開いた系です。それぞれでは、エネルギーは保存しませんしそれぞれの重心を考えても意味ははっきりしません。

閉じた物理系であるならば、運動エネルギーが散逸して熱エネルギーにかわっても、
運動量は保存し、エネルギーも保存し、重心系の重心(固有重心)の位置は時間によってかわりません。

=甘泉法師=

PS 
補足
* 運動量、エネルギー

  投稿者:メカトロ - 2011/05/21(Sat) 23:35  No.10947 
>Kafukaさん
その観測対象は、加速度運動していてもいいと思います。
これが正しいアプローチなら、ある時刻に、
m1dx1/dτ1+m2dx2/dτ2=0
であれば、
m1γ1dx1/dt+m2γ2dx2/dt=0
なので、dγ/dt≠0 を考える必要があると思うのですが、、


観測対象とともに移動する座標系においてはγの固有時τ微分は
当然ゼロでしょう(特殊)。加速度運動を考察するときにはメトリック
を決めて測地線方程式で考えたらどうでしょうか(一般)

  投稿者:Kafuka - 2011/05/22(Sun) 01:43  No.10948 
甘泉法師さん
>エネルギー保存の式 ∂h/∂t+∂Si/∂xi=0  i=1,2,3  S~はエネルギー流
ですが、
http://homepage2.nifty.com/eman/relativity/ep_tensor.html
によれば、Siは、運動量密度に対応すると思います。
であれば、運動量の流出・流入に伴い、その位置の速度が変化し、したがって
xkが(原点からの長さと考えると)変化します。
ということは xkは Siとは独立でないです。
系への4元運動量の流入・流出がなければ
第一項: ∫{∂(Si xk)/∂xi}dV=∫(S xk)ds=0
ですが、
最初 ∫(S xk)ds=0でも、xkは、時間と共に変化する
(3元運動量がエネルギーに変わる、あるいは、その逆)
とすると、何らかの場合、≠0 になってもおかしくないような気がします。

上記とは直接関係ない例ですが、
2つの物体が、x1 と x2にあり、その時、第一項:  ∫(S xk)ds=(S1x1+S2x2)面積
=0 であったものが、
m1c^2が増えて S1が0になったと仮定すると、
x1’は、x1より伸びますが、S1’x1’=0 なので、∫(S xk)ds=S2x2面積≠0
になってしまうと思うのですが、、、

  投稿者:ASA - 2011/05/22(Sun) 06:44  No.10949 
甘泉法師さん

>開いた物理系については重心の考えの有効性は限定される
>閉じた物理系であるならば
 閉いたとか閉じているとかは、具体的に何によって識別されるのでしょうか?
 スピンを持たない荷電粒子が電磁的相互作用をする場合のみ、たまたま閉じた系として記述できたにすぎないのでは?
 量子多体では、交換相互作用とかありますし、スピン間相互作用もあります(これらは、磁気秩序に関係してますね)。
 ローレンツ力しか取り入れてない、∂μTνμ=0は、非常に特殊な系です。

 PS.
Sが遠方で十分に早く0収束という条件を課さないと表面積分∫(S xk)ds=0とはいえない気がしますね。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/05/22(Sun) 09:19  No.10950 
 こんにちは。

>Siは、運動量密度に対応すると思います。

 そうですね。エネルギー流=c^2・運動量密度 です。
 エネルギー運動量テンソルの対称性からたしかめられます。

>であれば、運動量の流出・流入に伴い、その位置の速度が変化し、

 運動量密度 成分T0i と 運動量の流れ 成分Tij は異なるものです。
 ある領域の運動量の流出流入はTijの表面積分であたえられます。 
 電磁場ならば
 運動量密度はポインティングベクトル/c^2 運動量の流れはマクスウェルの応力テンソル です。

 運動量保存則は
 ∂/∂t gi + ∂σij /∂xj = 0
 開いた系では右辺は外力になります。

> xkは、時間と共に変化する
 
 x~は空間座標で、時間とは独立の変数です。
 
> 何らかの場合、≠0 になってもおかしくないような気がします。

 たとえば閉じた物理系を物質系と電磁場系のふたつの開いた系にわけてかんがえた場合では
 ローレンツ力がそれぞれにとって外力になっています。物質系では正の電磁場系では負の。部分系をあわせるとうちけしゼロになっています。 EMANさんがくわしく説明されています。

=甘泉法師=

  投稿者:Kafuka - 2011/05/22(Sun) 10:26  No.10952 
甘泉法師さん
>運動量密度 成分T0i と 運動量の流れ 成分Tij は異なるものです
了解です。
運動量に流れがあるなら ある領域ΔVにおいて 例えば「流入の方が多い」なら そこの運動量p=T0iΔVは
時間が経つに伴い増加して行くと思います(もちろんベクトルの足し算ですが)
ということは、その領域ΔVの位置を(ct、x)とすると、
その領域のxは、√{1−(p/m)^2/c^2}だけ、縮むと思います
で、pは、上記のとおり時間の関数ですので、
xも、時間の関数になる と思うわけです。
空間座標は、tと独立ですが、
重心を計算するためのxkの方は、上記のxのことではないのでしょうか?

PS。
4元運動量保存則から ある領域ΔVにおいて「3元運動量の流入の方が多い」ということは、
エネルギーの流出がある(減って行く) ことになるとすれば
辻褄は合います。
あっ、E^2=(mc^2)^2+(pc)^2 でした。
辻褄は あいませんねぇ^^;

  投稿者:ASA - 2011/05/22(Sun) 10:27  No.10953 
>> 何らかの場合、≠0 になってもおかしくないような気がします。
> ローレンツ力がそれぞれにとって外力になっています。物質系では正の電磁場系では負の。部分系をあわせるとうちけしゼロになっています。
 だから、それは特別の場合であって、一般的には成立しないのではないかという疑問への回答になっていません。
 荷電粒子が磁気能率μ~を持つ場合、grad(μ~・B~)という力がローレンツ力のほかに働きます。これを考えると、うちけしゼロになりません。 

  投稿者:甘泉法師 - 2011/05/22(Sun) 10:49  No.10954 
>空間座標は、tと独立ですが、
>重心を計算するためのxkの方は、上記のxのことではないのでしょうか?

xとは粒子の位置のことではなくて、空間座標のパラメターです。
流体力学でいうとオイラー表示ではなくてダランベール表示です。(説明例 Wiki 連続体力学)
エネルギー密度、エネルギー流、運動量密度、運動量流などが位置座標と時間の関数 f(t,x~)として与えられます。

重心とは系の全エネルギーで割った
 位置座標で重み付けしたエネルギー密度の空間積分 または
 エネルギー密度で重みつけした位置座標の空間積分 または
 エネルギーのモーメント 
とみなすことができます。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2011/05/22(Sun) 11:07  No.10955 
>流体力学でいうとオイラー表示ではなくてダランベール表示です。(説明例 Wiki 連続体力学)
エネルギー密度、エネルギー流、運動量密度、運動量流などが位置座標と時間の関数 f(t,x~)として与えられます。

質点系をベースとするとき、このような連続体表現は、あくまで連続体近似ですね。その精度がどの程度であるか評価せずに用いているところも怪しい点です。先にも述べたようにエネルギー密度ρ1=m1γ1δ(x-x1(t))とするとエネルギー流がよく定義できません(c=1)。

>重心とは系の全エネルギーで割った
途中省略
>とみなすことができます。
 どう看做そうとも、質点で考えると保存力であっても重心が保存するとはいえないです。
 今、インデックスをi,jと表記します。
 保存力での運動方程式を、(dpi~/dt)=-波rad(U(xj-xi)) (i=j除く,U(xj-xi)=-U(xi-xj))すると
 重心X=(1/M)芭iγixi; M=芭iγi
(dX/dt)=(1/M)芭i(dγi/dt)xi(P=廃i=0 の重心系)
であり、一般に0とはなりません(2体でm1=m2の時は0が成立)。
 有界な運動ならば、|X|はある程度の範囲に納まりますけど。

  投稿者:デビ - 2011/05/24(Tue) 06:11  No.10957 
ASAさんへ

>量子多体では、交換相互作用とかありますし、スピン間相互作用もあります(これらは、磁気秩序に関係してますね)。
ローレンツ力しか取り入れてない、∂μTνμ=0は、非常に特殊な系です。

エネルギー運動量保存則は時空並進対称性を持つ特殊相対論全般において成り立ちます。
また、相対論的場の量子論においても演算子等式として成り立ちます。
交換相互作用やスピン間相互作用は相対論的場の量子論のある種の近似として考えられるので、
相対論的場の量子論の範疇であり、エネルギー運動量保存則を壊すものではありません。

>先にも述べたようにエネルギー密度ρ1=m1γ1δ(x-x1(t))とすると
エネルギー流がよく定義できません(c=1)。

エネルギー流密度=運動量密度= mn γn vn^i δ^3(x-xn)
運動量流密度=応力テンソル=mn γn vn^i vn^j δ^3(x-xn) です。

>保存力での運動方程式を、(dpi~/dt)=-波rad(U(xj-xi))

このような運動方程式はローレンツ共変性を持ちえません。
すなわち特殊相対論の範疇にありません。

  投稿者:ASA - 2011/05/24(Tue) 08:36  No.10958 
デビさん
>エネルギー運動量保存則は時空並進対称性を持つ特殊相対論全般において成り立ちます。
 という前提ですよね。証明はできない。
>>ローレンツ力しか取り入れてない、∂μTνμ=0は、非常に特殊な系です。
 なので特殊な系(荷電粒子(磁気能率なし)と電磁場の相互作用)で成立する実例として紹介されていると理解してます。

>相対論的場の量子論においても演算子等式として成り立ちます。
 これはどういうことか理解できません。具体例での説明をお願いします。
>ある種の近似として考えられるので
 近似で壊れることは幾らでもありますけど。
 例えば、2体問題で他方が十分に重く動かないと近似した場合、運動量は保存しなくなります。
>エネルギー運動量保存則を壊すものではありません。
 その近似をした場合の具体的Tνμはどうなるのかを訊いているのです。
 そしてそれが保存則を満たしているか検証しなければいけないはずです。
 (そうでなければ、単なる思い込みに過ぎない)
 場における任意の相互作用を取り入れた場合、Tνμ=0が成立する分けないでしょ。ラグラジアンを作った時に、それが対称操作不変を要請されます。
 ラグラジアンそのものは、ローレンツ共変性を満たすとは限らないし。
 (強磁性の説明では、非自明な分子場を取り入れるし)
 
>mn γn vn^i δ^3(x-xn)
 これでは、保存式∂th+∂S=0を満足しません。
 ∂th=m[γ(-X'){∂δ(x-X)}+γ'δ(x-X)]
 ∂S=mγX'{∂δ(x-X)}
 γ'=0つまり、速度変化なしつまり慣性系じゃないと成立しません。

>運動方程式はローレンツ共変性を持ちえません。
 具体的に、ローレンツ共変性を持つ相互作用の方程式を提示してください。
 (もっともベクトルgrad(U(xj-xi))に、適当な変換性を要請すればローレンツ共変性が満たせるような気もしますが)
 問題は、
 倍(dpi~/dt)=-波rad(U(xj-xi))}
 つまり、dP~/dt=0なので、トータルでみれば明らかにローレンツ共変性を満たしています。
 テーゼ1.相対論的力学が、相互作用する質点の集合体として成立できるのか否か?
 テーゼ2.1が成立している時、重心量は保存しているのか?
 自分考えでは、1.2.は両立しないです。

デビさんが、1.2.が両立する実例を示して下されば、議論は終わりです。

  投稿者:hirota - 2011/05/24(Tue) 11:28  No.10959 
なにやら相対論で重心の話をしてますが、各点の時間がそろってない相対論で重心を計算して意味があるんですか?
重心位置は3次元ベクトルでしかありえないと思いますが、相対論的な4元ベクトルで定義する方法はあるんでしょうか?
3次元ベクトルのままで相対論的な意味を持たせるには、重心位置の世界線こみで定義される必要があるでしょう。
つまり、重心の計算自体が重心が動かない慣性系での同時刻位置を使った計算でなければなりません。
もし、閉じた系全体のエネルギー運動量4元ベクトルが相対論的共変性を持つなら、運動量成分をゼロとする座標系で重心を計算すれば良いでしょうが、全体のエネルギー運動量は特定座標系での時刻一定面での積分としか計算できませんから、共変的4元ベクトルではないでしょう。
というわけで、重心はどうやって計算するんですか?

  投稿者:ASA - 2011/05/24(Tue) 12:29  No.10960 
hirota さん
 相対論(共変量の理論)的には、hirota さんがコメントが筋だと思います。
 内山テキストでは、記述されてません(恐らく著者も意味の無い量と考えているのでしょう)。
 しかし、甘泉法師さんによると
>メラー§64
>重心の定義
>X~=1/H ∫hx~ dV
> H 全系のエネルギー。閉じた系なので定数。
> h(t,x~) エネルギー密度
で必ず保存量だそうです。

>共変的4元ベクトルではないでしょう。
相互作用がなくてフリーなら単なるベクトルの足し算だから必ず共変的4元ベクトルになります。

なので、相互作用エネルギーがあるときの一例として適当なやつで
dP~/dt=0を想定しました。
特にP~=0となる慣性系(重心系)で
>"慣性系での同時刻位置を使った計算でなければなりません"
から、上記メラー§64の重心座標に沿った定義を質点系に当てはめて検算してみると、各質点での(dγi/dt)が0にならないので、保存量ではないと結論されます。
 この相違がどこから生じるのかが議論になってます。これが、スレ主Kafukaさんの根本的疑問だと思います。
また、甘泉法師さんによると
>違いはたとえばMとmの間に相互作用エネルギーがあればそれも考慮が必要です。
だそうで、この考慮方法によると思われますが、どのように考慮すれば矛盾しないのか具体的に示されないので疑問は解消されてません。

 自分は、相対論での重心座標は意味のない量と考えてます。別スレで甘泉法師さんが重心座標を持ち出したとき非常に違和感を持ちました。

  投稿者:デビ - 2011/05/24(Tue) 13:17  No.10961 
相対論的場の量子論については多数書籍がありますのでご自分で勉強を。

>近似で壊れることは幾らでもありますけど。

その通り。近似のためエネルギー運動量が保存しないようにみえても、
元の厳密な相対論的理論に戻って全てを加味すればちゃんとエネルギー
運動量は保存するということです。

粒子系のエネルギー運動量テンソル  $T^{\mu\nu}_{\rm particle}$  に対しては、

<tex>\partial_\mu T^{\mu 0}_{\rm particle} =\sum_n m_n \frac{d\gamma_n}{dx_n^0}\delta^3 (x-x_n) \ |_{x_n^0 = x^0}</tex>

となります。粒子が相互作用してない場合、右辺は運動方程式から0です。
粒子が相互作用している場合は、力場のエネルギー運動量テンソルが別に
あるはずで、その寄与を加えることで0になるのです。

特殊相対論における力場としては、電磁場が簡単ですが、ローレンツ力
以外ということであれば、スカラー場と粒子の相互作用系を考えることも
できます。その作用は、

<tex>S= -\sum_n \int d\tau_n \phi(x_n) + \frac{1}{2\alpha}\int d^4 x \sqrt{-g} \ \partial_\mu \phi(x) \partial^\mu \phi(x)</tex>

であり、ローレンツ座標における運動方程式は、

<tex>\frac{d}{d\tau_n} ( \phi(x_n) u_n^\mu ) + \partial^\mu \phi(x_n)=0,\quad\square \phi(x) = -\alpha \sum_n \int d\tau_n \delta^4(x-x_n)</tex>

エネルギー運動量テンソルは、

<tex>T^{\mu\nu}(x) = \sum_n \int d\tau_n \phi(x_n) u_n^\mu u_n^\nu\delta^4 (x-x_n)+\frac{1}{\alpha} \partial^\mu \phi(x) \partial^\nu \phi(x)-\frac{1}{2\alpha} g^{\mu\nu}\partial_\rho \phi(x) \partial^\rho \phi(x)</tex>

と導かれます。

>テーゼ1.相対論的力学が、相互作用する質点の集合体として成立できるのか否か?

相対論的な粒子相互作用系は理論的に色々と構築できますが、特異性に
注意が必要です。通常、何らかの正則化を行わないとまともな計算ができず、
荒っぽいやり方は"みかけの矛盾"を生じることがあります。
このことは場の量子論においても同様です。(くりこみ理論)

>テーゼ2.1が成立している時、重心量は保存しているのか?

甘泉法師さんがおっしゃるように、

<tex>G^i(x^0) = \frac{\int d^3x \ T^{00}(x) x^i}{\int d^3x \ T^{00}(x)}</tex>

で定義される重心は等速直線運動をします。

  投稿者:デビ - 2011/05/24(Tue) 13:34  No.10962 
hirota さんへ

4元運動量は、理論がポアンカレ変換に関して不変である限りは、
すなわち、理論が相対論的である限りは、必ずローレンツベクトルに
なります。 この定理を知らないと、相対論的重心に関して疑問を
抱いてしまうでしょう。



  投稿者:ASA - 2011/05/24(Tue) 14:57  No.10963 
デビさんへ
>相対論的場の量子論については多数書籍がありますのでご自分で勉強を。
 よくわかりませんね。一般論の議論なのに適用範囲が可也限定されている相対論的場の量子論が何ゆえ出てくるのでしょう?
 ちなみに散逸系(量子レベルでのエントロピーを定義してるものとか)についてのお勧めはなんでしょうか?

>全てを加味すればちゃんとエネルギー運動量は保存するということです。
だから、その全てとは具体的に何かという話です。
>力場のエネルギー運動量テンソルが別にあるはずで、その寄与を加えることで0になるのです。
 話がかみ合っていません。どう取り入れるかその方法と具体的処方例を尋ねているわけです。
 でないと、たんなる"なるはず論"であって、説明したことにはなりません。信念告白は不要です。
>スカラー場と粒子の相互作用系を考えることもできます。
 だから、それはたまたまそうなる(そのような選択がおこなえる)にすぎないわけですよ。
 場の規定式□φでの∂/c∂tでこの速度部分が光速cでないケースでも満足するのでしょうか?
 粒子系の現象論的には、作用の伝達速度が真空中のcよりも小さいことは幾らでもあります。
 
>特異性に注意が必要です。通常、何らかの正則化を行わないとまともな計算ができず、荒っぽいやり方は"みかけの矛盾"を生じることがあります。
 読み違えてますよ。場の理論形式によらない一般論で議論してます。あと、すべてのケースで正則化ができるという保証がありますか?(繰り込み不能な理論とかタマに見かけますけど)
>場の量子論においても同様です。(くりこみ理論)
 点極限をうまく回避すれば、まともな計算はできますが、"みかけの矛盾"なるものを生じることはありますよ。

>で定義される重心は等速直線運動をします。
 だから、そのT_00の具体的表現は、一般的にどうなるのという議論をしているわけです。
 つじつま合わせの寄与分が時間に陽に依存してたりするときは、式をみたすT_00をどう与えればよいでしょうか?

>理論がポアンカレ変換に関して不変である限りは、
 ですから一般的に(知られている物理現象にて)、不変にできるかどうかを議論しているわけです。

 ちなみに非相対論的力学なら、どのような粒子間相互作用であろうとも(エネルギーやら運動量の保存をしなくても)
 P~=芭ivi~=0 から 直接 X~=芭ixi~/M=Const;(芭i=M)が証明されます。
 hirotaさんも相対論的だとこのような強力な帰結にならないから、意味がないと指摘しているわけで、"ポアンカレ変換に関して不変云々"を知らないわけではないと思います。

  投稿者:hirota - 2011/05/24(Tue) 18:59  No.10964 
No.10962>4元運動量は
僕の問題は、エネルギー運動量テンソルを特定座標での時刻一定面で積分したものが「4元運動量」として良かったかどうか忘れてしまった事にあるので、定理を引用されてもしょうがないです。
もっとも、時刻一定面に限らず任意の3次元超曲面での積分が連続の式の4次元体積積分になるらしいことを思い出したので、任意の時間的超曲面積分で4元運動量保存と同時に積分が4元運動量となることも言えたらしいと思い出しかけてます。(細かい所が未だチョット)
まあ、これが解決しても重心の計算ができるだけで、意味があるかどうかは更に分析せねばなりませんが。

  投稿者:Kafuka - 2011/05/24(Tue) 19:00  No.10965 
一知半解で恐縮ですが、、、

メラーの導出においては、
第一項: ∫{∂(Si xk)/∂xi}dV=∫(S xk)ds が、
=0 でないと破綻すると思います。
で、ΔVのある領域のSと組になっているxkは、その領域を指さないと思います。
何故なら、ある領域座標は √{1−(p/m)^2/c^2}だけ、縮んだ位置だからです
(ΔVのある領域において そこの運動量p=T0iΔV とする)

もし、空間座標表示でのxkが、Sに対応する位置でないとすると、
(S xk)は、異なるものを観測した量の積と思います。
つまり、物理的に意味のない量です。

>甘泉法師さん
僕が、オイラー表示とダランベール表示を理解してないだけかも知れません。
どちらの(ct、x)も、同じ実体を指すはずでしょうが、Wikiを見ると
「空間表示では、特定の質点を同定する代わりに固定された空間点を同定し、速度、加速度、熱力学的特性等の異なる物理的特性を持つ異なる質点が通過する間、空間点で発生する変化率を記述する」
とあり、「異なる実体」を指すように、僕には思われます。

それから、相対論では意味を持たない量 と 物理的に意味のない量
=同じ慣性系内で同時刻でも、異なるものを観測した量
とをゴッチャにしていました。すみません。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/05/24(Tue) 21:14  No.10966 
こんにちは。

体積積分を閉じた系の境界の面積分にかえたわけです。物理系は閉じているから境界面を出入りするエネルギー流は0で、面積分は0になります。

時刻一定の空間3次元の超面上の積分が一般に意味をもたないとすればおよそ”保存”という概念も意味をなくすことになります。

閉じた系では
 G~は系の全運動量ベクトルで保存量
 Hは系の全エネルギーで保存量 
 割り算した c^2 G~/Hも保存量。
 これは重心の速度と等しいからそれも保存量。
閉じたG~=0の系では重心の速度は0で保存量。
 つまり重心の位置も保存量。時間により変わらない。

=甘泉法師=

  投稿者:Kafuka - 2011/05/24(Tue) 21:37  No.10967 
>体積積分を閉じた系の境界の面積分にかえたわけです。
それは、理解しました(昨日ですが ^^;

僕の疑問は、、、
ダランベール表示を理解してないだけかも知れませんが、
どちらの(ct、x)も、同じ実体のSを指さないと物理的に意味がないですが、Wikiを見ると
「空間表示では、特定の質点を同定する代わりに固定された空間点を同定し、速度、加速度、熱力学的特性等の異なる物理的特性を持つ異なる質点が通過する間、空間点で発生する変化率を記述する」
とあり、「異なる実体」を指すように、僕には思われます。

もし、異なる実体に対するSとxkなら、それが閉曲面を切る保証はない と思うのです。

>時刻一定の面上の積分
なるほど!!
時刻が同じであったら、Aという領域のSも Bという領域のxkも、面上にある領域ですね。

あっ、先回りされちゃた ^^;

  投稿者:甘泉法師 - 2011/05/24(Tue) 22:08  No.10968 
異なる慣性系の間で事象の世界間隔の不変はいえますが。

(cΔt)^2−(Δx)^2=(cΔt')^2−(Δx')^2


  投稿者:デビ - 2011/05/24(Tue) 22:28  No.10969 
hirota さんへ

>僕の問題は、エネルギー運動量テンソルを特定座標での時刻一定面で積分したものが「4元運動量」として良かったかどうか忘れてしまった事にあるので、定理を引用されてもしょうがないです。

4元運動量の定義はもちろん、 $ P^\mu = \int d^3x \ T^{\mu 0}(x) $  です。ある特定のローレンツ座標を取っていて、積分は時刻一定面(3次元空間領域)における積分です。これが一般に(モデルに依らずに)反変ベクトルになります。時刻一定面はローレンツ座標により異なるにも関わらず、この保存量は反変ベクトルであると示せるということです。よって、4元運動量の空間成分である3次元運動量は適当なローレンツ変換により零ベクトルにできます。言い換えると、無数にあるローレンツ系の中に必ず1つだけ重心系があるということです。証明に興味があれば書きますが、無限小変換やリー微分の知識が必要になります。

  投稿者:Kafuka - 2011/05/24(Tue) 22:41  No.10971 
甘泉法師さん
>事象の世界間隔の不変
この式は、あくまで同一事象に対してでしょう。

Aという領域のSによって 領域Aの運動量がpとなった事象は(ct、x)
領域Bは(ct’、xk)ですが、別のS’による事象
ct=ct’が言えて、時刻一定の面上の積分となりますが、
別の事象どうしで「同時刻」の定義は、どうするのでしょうか、、、

あっ、終わっちゃた。
でも、
重心の定義は、
X~=1/H ∫hx~ dV
   H 全系のエネルギー。閉じた系なので定数。
   h(t,x~) エネルギー密度
でいいのかなぁ、、、
このX~をどうローレンツ変換してもdX~/dt=Const.
なのでしょうか?
d/dt Xk = 1/H ∫Sk dV=Const.
だから、確かに、どうローレンツ変換してもOKですね。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/05/24(Tue) 23:08  No.10972 
同時性は、2地点から等距離にある静止地点から時報サービスをラジオ放送して時計あわせする云々だったと存じます。

ある慣性系で静止しているものは他の慣性系では等速運動しますね。

  投稿者:hirota - 2011/05/26(Thu) 12:14  No.10973 
な〜んだ、4元角運動量テンソル
 $M^{i,j}=x^i p^j-x^j p^i$ 
の純空間成分は3次元の角運動量だけど、時間-空間成分は
 $x^0 p^j-x^j p^0=c t p^j-m c x^j=m c(t v^j-x^j)$ 
で4元角運動量保存が重心速度一定じゃないか。
こんなことまで忘れてたとはね。やれやれ。

  投稿者:ASA - 2011/05/27(Fri) 10:55  No.10974 
 非相対論的質点系の力学だと、外力がないときトータル角運動量が保存しなくても、重心速度は保存します。
 重心角運動量 Lg~=X~×P~(X~:重心座標,P~:重心運動量)を定義すれば、これが保存量になってます。
 粒子間作用によりトータル角運動量L~=肺i~×mi(dxi~/dt)が保存しなくても、重心運動量は保存するので、重心運動量が0のとき重心座標は一定となります。
 相対論的力学だとmとかの質量に織り込まなくてはいけなくなるのですが、それがちゃんと定まるかどうか怪しくなってます(角運動量散逸ケース)。

ps. 領域外への散逸がない閉じているケースでは、TOSHIさんの
http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2008/11/2-85f2.html
で解説がなされてます。
閉じていないケースでは、http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2008/12/61-e67c.html
で解説されています。
結論:
"閉じていない系でも時刻ごとに異なるとしても系のある時刻の静止系では質量中心となるような系の代表点を定義できるかどうかが詳しく研究され,上のような定義からでは,こうした代表点を一義的に決めることが不可能であることがわかっています。"
"実は,閉じた系においてさえ,如何なる時刻でも,その時刻の静止系での質量中心となり得る点が無数に存在することがわかっています。 "
"そこで閉じていない系でのニュートン的重心を相対論へ一義的に拡張できるのは外力fμが非常に特別な性質を持つ場合に限られます。"

  投稿者:Kafuka - 2011/05/30(Mon) 08:57  No.10975 
>ASAさん
ということは、、、
デビさんの言われることは、
>4元運動量の空間成分である3次元運動量は適当なローレンツ変換により零ベクトルにできる
=重心となる点が存在する(ただし、複数あってよいことを否定してはいない)
とすれば、整合すると考えていいでしょうか。

  投稿者:ASA - 2011/05/30(Mon) 11:50  No.10976 
Kafuka さん
>デビさんの言われることは、
:途中省略
>とすれば、整合すると考えていいでしょうか。
さてどうでしょう。
デビさんの考えはわかりませんので、デビさんに尋ねられたらいかがでしょうか(どのような整合性を考えているのか)?
 相対論的には、一般的に重心座標をユニークにすることができないです。
TOSHIさんの解説で、留意点として
"TμνがΣの至るところで特異ではないことを条件にしていることを最後に注意しておきます。" が挙げられてます。
 質点密度をmδ(x-X)とかすると、位置x=Xという場所で特異になることがあるので、デビさんは、その特異点をどのように除去して質点系のTμνを定義したのか興味があります。