EMANの物理学 過去ログ No.10723 〜

 ● ベクトルの公式

  投稿者:fv - 2011/03/30(Wed) 15:43  No.10723 
はじめまして、fvです。

A,B,Cのベクトルがあったとき、ベクトルの公式

A・(B×C)=B・(C×A)=C・(A×B)

がありますが、これはA、B,Cが演算子ではない(ナブラとか)微小ベクトル要素でもなりたちますか?

たとえば、

dr・(v×B)=B・(dr×v)

のように変形できますか?


  投稿者:甘泉法師 - 2011/03/30(Wed) 20:05  No.10725 
こんにちは

なりたちます。

|Ax Ay Az|
|Bx By Bz|
|Cx Cy Cz|

という行列式になります。

=甘泉法師=


  投稿者:fv - 2011/03/30(Wed) 21:11  No.10726 
甘泉法師さんありがとうございます!

Ax→Adxですよね?

(証明がほしかったのですが自分も成り立つと信じてるので)成り立つとしたとき、

一様磁場B中に置かれた質量m、電荷量(-e)の非相対論的な運動方程式は

簡単のために物理量は非相対論的だと”時間t”の関数だけ、相対論的だと"τ"だけを変数に持つ関数とします。

ローレンツ力が外力であるという式で、

m(d^2r/dt^2)=(-e)(v×B) @
(あとで相対論的なNewtonの運動方程式と比較す
るために書きました。でもこれを変形していくわけではありません)

Fex=(-e)(v×B) A

drで内積をとって、

Fex・dr=(-e)(v×B)・dr=(-e)dr・(v×B)=(-e)B・(dr×v) B

dr×v=d(r×v)-r×dv C

もし r×dv=0ならば、

dr×v=d(r×v) D

Bに代入して、

Fex・dr=(-e)B・d(r×v)=[(-e)/m]B・d(r×mv) E

L=r×mv (角運動量)

dB=0なので、

B・d(r×mv)=B・dL=d(B・L)=d(L・B)

Eに代入すると、

Fex・dr=d[{(-e)/m}L・B] F

{(-e)/m}Lはつぎのような計算のもと磁気双極子モーメントの2倍であるとわかる。

磁気双極子モーメントmは理論電磁気学砂川重信著p135によると

m=(1/2)∫v[x'×ie(x')]d^3x'

電流密度が位置rのところにある電荷量(-e)にだけ関わるとすると、

ie(x')=-(-e)δ^3(x'-r)

代入して計算すると、

m={-(-e)/2m}L

したがって、Fは

Fex・dr=-2d(m・B)

となって、ローレンツ力は仕事をすると思うのですが、

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%AD%E3%83%BC%E3%83%AC%E3%83%B3%E3%83%84%E5%8A%9B

のところをみると、ローレンツ力は仕事をしないとなっているんですよね、

↑dtの事を考えてないから、dW/dt=0でもdWはゼロではないことがあるとおも
う気がするのですが、どう思われますか?

それに、dr=vdtは現象論的な式だから、考察対象がもはや現象的でなかったら
使えない気がするのですが

長々と申し訳ございません。


  投稿者:甘泉法師 - 2011/03/30(Wed) 21:33  No.10727 
こんにちは。

>Ax→Adxですよね?

もう一度ちゃんとかくと

A=(Ax, Ay, Az)
B=(Bx, By, Bz)
C= (Cx, Cy, Cz)

として

A・(B×C)=B・(C×A)=C・(A×B)=

|Ax Ay Az|
|Bx By Bz|
|Cx Cy Cz|

です。

>dr・(v×B)=B・(dr×v)

A=dr
B=v
C=B とおいた式ですね。右辺のBと左辺のBはまぎらわしいので注意してみてください。

=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2011/03/30(Wed) 21:51  No.10728 
こんにちは。

>Fex・dr=(-e)(v×B)・dr=(-e)dr・(v×B)=(-e)B・(dr×v) B

dr=vdtですから dr×v = (vX v)dt= 0。 仕事はしません。 続けて、

>dr×v=d(r×v)-r×dv C

から d(r×v)=r×dv 
d(r×v)/dt=r×dv/dt
d(r×Mv)/dt=r×Mdv/dt
角運動量の時間微分=トルク という式です。

>もし r×dv=0ならば、

角運動量が保存されます。

=甘泉法師=


  投稿者:fv - 2011/03/30(Wed) 22:41  No.10729 
解答ありがとうございます!

しかし、dtという微少要素(スカラーが)ベクトルの関係から除外されるのは

なぜでしょう?

また、もしdr=vdtが使えなかったらどうでしょう?

(これが定義できるときは、人間が目で観察して、はっきりわかるもの、現象的にとらえることができるものに限るきがするのですが、まぁおおよその古典粒子の位置を求めたいときとかは使いますが、それは別として)

私のように展開せざるを得なくありませんか?

とりあえずの目的はローレンツ力がした仕事からなるべくゼーマンエネルギーの形になるように導出しようとしているのですが、

ゼーマンエネルギーを導出する際は、一様磁場中の電子の磁気双極子モーメントが微小ループ電流だと仮定して求められるのが一般的ですが、(どうも微小ループとは考えたくない気がするのですがね、理由がさっぱりわからなくて。。)このとき暗黙の仮定で

dv=0(ループ電流は定常的)

dB=0

となってますから、

私が仮定した

r×dv=0 (dv=0でr×dv=0と考えれば問題ない)

dB=0

とすると、全く同様にゼーマンエネルギーの項みたいなものが出てくるのですが、

それでもローレンツ力がした仕事はゼロと考えますか?

また、実際私が導出したローレンツ力による微小仕事dWは

dW=Fex・dr=-2d(m・B)

で磁気双極子モーメントが時間的に変化しているならゼロではないという結果になります。

それでもローレンツ力のした仕事はゼロだと考えますか?

  投稿者:甘泉法師 - 2011/03/31(Thu) 11:38  No.10730 
こんにちは。

過去ログ http://eman.hobby-site.com/bbs/past2009b.html 
磁場は仕事するか 甘泉法師 2009/11/16 - 12/17 112
で皆様のお知恵をいただいたことがあります。最後の発言に書いたわたしの理解は以下のとおりでした。

投稿者:甘泉法師 - 2009/12/17(Thu) 18:18 No.8111
スピンによる磁気モーメントをmとし、電子は磁場から Fi = m ・grad B = mj ∂Bi/∂xj の力を受ける。スピンはもっと要素的な機構には還元できないし減衰もしない。力Fから仕事 F・v は、ローレンツ力の場合と違い一般に≠0。だから磁場(の空間変化)は電子に仕事できる。

なんらかご関心とあう点があれば幸いです。

=甘泉法師=

  投稿者:hirota - 2011/03/31(Thu) 12:47  No.10731 
ローレンツ力が仕事をしたら、磁場中のループ電流はエネルギーを受け続けて、一定のゼーマンエネルギーなんてないでしょう。

  投稿者:fv - 2011/03/31(Thu) 15:12  No.10732 
hirotaさん 解答ありがとうございます。

もし、horitaさんがいうように磁場中の微小ループ電流(古典的だと原因は電子がつくる磁気双極子モーメント)がエネルギーを受け続けるなら、とありまが、

そんなことが起きたら、ゼーマンエネルギーをつかって微小ループ電流自体が大きくなって、それが結果的にゼーマンエネルギーを大きくして、そのゼーマ

ンエネルギーが。。となってゼーマンエネルギーは発散するように期待されます。推定されます。でも断定しません。断定できるときは、数式でばしっと示したときです。

そもそもエネルギーがあるから微小ループ電流はエネルギーをうけるというのはイメージにすぎないし、もし受けると思うなら、そうなっていることを数

式をつかって示さないといけません。

なので納得できません。

それにゼーマンエネルギーが一定だったら考察系にとって興味のない量になちゃうので一定にならない方がむしろ意味があってうれしいと感じるんです。

話は少しそれますが、もしブラ・ケット記法と一般角運動量の一般論と(もちろん一般角運動量の交換関係もわかっている)シュテルンゲルラッハの実験結

果とスピンが歳差運動しているとわかっているもとで、スピン歳差運動のハミルトニアンを作りなさいという問題があったら(ただし、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの項は無視してもいいとする)

どのように考えますか?


  投稿者:fv - 2011/03/31(Thu) 15:45  No.10733 
甘泉法師さん解答ありがとうございます。

>スピンはもっと要素的な機構には還元できないし減衰もしない。力Fから仕事 F・v は、ローレンツ力の場合と違い一般に≠0。だから磁場(の空間変化)は電子に仕事できる。

どうしても、意味がわかりませんでした(涙

空間的に不均一な磁場のときは

投稿者:fv - 2011/03/30(Wed) 21:11 No.10726

のdB=0と仮定したところを

dB=(dr・nabla)Bとすればいいから(時間的変化はしないというところは同じ)

dm・B=d(m・B)-m・(dr・nabla)B

になるから、外力がした仕事の関係のしきは

Fex・dr=2d(-m・B)+2m・(dr・nabla)B

となりますので、

>スピンによる磁気モーメントをmとし、電子は磁場から Fi = m ・grad B = mj ∂Bi/∂xj の力を受ける。

の2倍の力を受けるという結果になりました。

*なんで2倍なんでしょう??
g因子が自然に考慮された感じになりますね。

もし、ゼーマンエネルギーの変化が空間的にも時間的にもなかったら

つまりd(-m・B)=0かつB=Bzなら(z正方向を向いているなら)

Fex・dr=2m・{ez(dB/dz)dz}

ezはz方向の単位ベクトル

となるから仕事をしていますね。

やはり仕事しているじゃないですか!

でもwikipediaのやつは磁場が空間的に時間的にどうであれ、

Fex・dr=(-e)vdt・(v×B)=0

としてますが、v・(v×B)=0で

Fex=0としているので(絶対にそう)

Bになんの束縛もないですよね。

このようになったのはdr=vdtを使ったためですよね。

人間が電子はdr=vdtを満たしながら動いていると考えた(観察もしないで)
ために起こったわけです。


甘泉さんもスピンは○○の力を受けると書いたように(それが別の導出によって得られるなら特に)、ローレンツ力がした仕事から似たようなものが得られ

ている事実があるので、ローレンツ力は仕事をしていることになるということですよね


あと残った問題はr×dv=0という仮定ですが、

>>もし r×dv=0ならば、

角運動量が保存されます。

=甘泉法師=

いいえ、ちがいます。それはdr×v=0であるならの付加条件付きです。

それに角運動量はこの考察系では保存されなくてもいいはずです。

dL/dt=N

で今、N!=0なので

最終的には古典力学のハミルトニアンの形をかりて量子力学に適用するのが、目的なので、

そのハミルトニアンに運動エネルギーの項が出てこないというのは
(例えば、J.J.sakurai p102のスピン歳差運動のハミルトニアン運動エネルギーの項がないので、

dv=0として、r×dv=0と考えると

古典的運動エネルギーは定数→興味がない→ハミルトニアンに入れなくてもいいや

               ↓

量子力学的運動エネルギーでいえば、運動量演算子は波動関数に働きかけない→興味がない→ハミルトニアンには入れなくていいや

という感じの構図で考えてスピン歳差運動のハミルトニアンに運動エネルギー

がはいらなくていいことになることを考えると

dv=0というのはやはり仮定のままなのか?となるんでしょうかね


話はおおきくそれて、量子力学のことにも詳しそうなので

もしブラ・ケット記法と一般角運動量の一般論と(もちろん一般角運動量の交換関係もわかっている)シュテルンゲルラッハの実験結

果とスピンが歳差運動しているとわかっているもとで、一様磁場中のスピン歳差運動のハミルトニアンを作りなさいという問題があったら(ただし、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの項は無視してもいいとする)

どのように考えますか?

大がかり過ぎる仮定は無しとします。

古典力学を使いおおよそのハミルトニアンの形を求めるように説いてほしいです。

乱文申し訳ありません。










  投稿者:TOSHI - 2011/04/02(Sat) 08:26  No.10734 
 どもTOSHIと申します。

 >fvさん、

 お急ぎかも知れませんが物理と数学.古典論と量子論すべて一緒にやるよりまず数学をちゃんとやったらどうでしょうか。。。

 たとえば,何度か疑問視されていたv=dr/dtあるいはdr=vdtというのは速度vの「定義」なので疑問の余地はないですし速度.加速度というのは運動学=kinematticsであってまだ力学ではなくほとんど数学です。

 失礼かと思いましたが老婆心ながらゆっくり1つ1つクリアしていく方がいいと思ったので。。。

                    TOSHI

  投稿者:fv - 2011/04/02(Sat) 13:03  No.10735 
TOSHIさん回答有難う御座います!

別に急ぎではないですよ^^;急いだっていいことないですから(涙

TOSHIさんはv=dr/dtは定義だから疑問視するなとおっしゃりましたがこの式は現象から経験的に得た式のように見えて仕方ありません。
例えば、電磁気学で言えばD(x,t)=εE(x,t)はとりあえず、εは定数にして理解してみようというものですが、分散性物質の中ではこれではいけないから
D(x,ω)=ε(ω)E(x,ω)としてみたらうまく説明がつくというように定義は一意的ではない気がするんです。(例が極端すぎるかもしれません)

TOSHIさんは、教科書か何かを見て(どの教科書もほぼそうだけど)v=dr/dtは定義と思ってらしゃるようですが(私だって古典力学を学ぶ上ではあまり気にしませんが)、この定義は結局、現象的に?理解できる物体の運動を記述するまでに留まっていて、その定義が成り立たなかったのが量子力学のようにも思えますし
例えば、人間が目で外界から刺激を受け取ることができなければ、
v=dr/dtの式はまず立たないと思います。
(そういうアイディアがでないという意味で

>加速度というのは運動学=kinematticsであってまだ力学ではなくほとんど数学です。
私もそう思います。唯一アインシュタインが物理的に考察したくらいだと思ってます。

>お急ぎかも知れませんが物理と数学.古典論と量子論すべて一緒にやるよりまず数学をちゃんとやったらどうでしょうか。。。

何回かTOSHIさんの言うように一教科集中で勉強したことがありますが、失敗してしまいました。たしかに学んでいる期間は頭がそのことに働くのですが、学びをやめ別の教科に移行すると意識がどうしてもその別の教科にいってしまい、結局学び続けることが唯一、〇〇を好きでいること、〇〇が本当にできていると実感できることのように思ったので、一日に学ぶ分量ははっきり言えばページ5ページ程度ですが、(問題にすれば、一教科1問)ですが、
確実に効果を感じています。以前考えてもわからなかったけど、時間を数カ月かおいてみてもう一度考えたらわかったみたいな経験ありませんか?それが、短い期間で結構頻繁に起こるんです。

話は変わりますが、
ちなみに、TOSHIさんは一様磁場中のスピン歳差運動のハミルトニアンを古典論から”形”を推測しなさいというお題にどう立ち向かいますか?

乱文でたいへん申し訳ございません。


  投稿者:TOSHI - 2011/04/03(Sun) 08:45  No.10736 
 どもTOSHIです。

 同じ板で2回以上コメントするのは久しぶりです。(ヒマですから)

 >fvさん

 内容を論じるつもりはないです。それは甘泉さんとやってください。

 物理のような自然科学(これは色,音のような物性でもそれを量的に捉えて数学で表現する学と私は思っている。)は,言葉を定義してそれを文字,記号で表わさないと論理の展開ができません。

 (特に私のように頭(右脳)が悪いと数式じゃないと理解できない。)

 fvさんは速度ベクトルvというのは何を表わすものだと考えておられるのでしょうか?

 双方で言葉の概念規定(定義)が異なってるとしたら普通話は通じないし,もしも通じているとしたら実はお互い別のことを同じと勘違いしてるはずです。

 ご自分がおやりになりたいなら数学だけじゃなく物理も平行してやられたらいいでしょうが,古典論でも量子論でも科学の手法は同じ形式的な三段論法や帰納法の論理展開です。

 量子論理というのがありますがこれは別の問題で,結局科学の手法は実験(経験)によって裏打ちされるという側面以外は形式論理によるト^トロジーの連鎖です。

 前と同じくお節介でしょうが老婆心から。。。

                TOSHI


  投稿者:fv - 2011/04/03(Sun) 23:58  No.10737 
TOSHIさん解答ありがとうございます!

>内容を論じるつもりはないです

あれだけ、サイトに書かれているのに><;
どうか、道しるべをください。間違っててもいいんです。いつも正しいものだけほしいわけではありません。あなたが、先駆者ならどうしますか?という問いだと思ったらやる気出ませんか?

>特に私のように頭(右脳)が悪いと数式じゃないと理解できない。

同意見です。数式ほどわかりやすい表現はないんじゃないかと思います。
なので、言葉だけで答えられても納得できないというのが本音です。

思っているだけでいいなら私は速度は

速度ベクトルの大きさは、エネルギーをもって表現されるべきで
エネルギーを速度で表現するというのは、違うんじゃないのか?と考えます

速度があるからエネルギーがあるのではなく、エネルギーがあるから速度があるんだと思います。どんな物体でもNewtonの運動方程式に従う限り、左辺の項からかならず運動エネルギーは出てきます。運動エネルギーをもっていない運動している物体がNewton運動方程式を見る限りないんです。運動方程式の左辺の項に他の項はやはり特別な臭いがします。

量子力学になるとどうでしょうか?まだ、J.J.sakuraiの上巻の復習をやっているくらいのfvですから、よくわからないのですが、Newtonの運動方程式を満たさないから、(期待値では満たす、エーレンフェストの定理)運動エネルギーを持っていない、運動している物体があってもいい気がします。

速度ベクトルはベクトルでは一般的には考えられない気がします。
でもどうしてもベクトルで考えないと行けないとなると、観察して物体の運動がはっきり目で追える(あいまいですが、なんとなく伝わってください)場合にかぎり、位置ベクトルをrもしくはxなどとおいて、

v=dr/dt

とかけるのではないかと思います。ベクトル以外は必要以上にこのような表現はあまりいいものとは思わないとあくまで思います。

量子力学は解析力学から作られているといっても過言ではないし、解析力学は古典力学を解析的に表現したものともとらえられるので、両者はきっと統一できると信じています。

あまりに、古典力学が通用する物体が私たちの世界に具現化しすぎているため経験則などが得られすぎて、Newtonの運動方程式だって経験則ですよね。解析力学をもって一生懸命解釈されようとしましたが。(そのことはいいんですが)そのことが逆に世界にたいする解釈を狭めている気がするんです。

こんなことを思ってる私は愚か者でしょうか?純粋に物理が好きなだけなんですが^^;



  投稿者:ASA - 2011/04/04(Mon) 07:03  No.10738 
fvさん
>世界にたいする解釈を狭めている気がするんです。
量子力学(非古典)のことを考えるなら、確率(過程)量子化を学んでみてはいかがでしょうか。

>r×dv=0という仮定
リング(距離拘束:l)に束縛された荷電粒子の運動が該当しますね。
(dvの解釈が、ちょっと微妙ですけど)
熱力学のように状態量としての磁場B~を考えます。電磁波によるエネルギー流出を無視できるようにするため準静的磁場の変化を考えます。
束縛された荷電粒子の運動量の変化冪は、rotE=-∂tBより、
冪∝傳/lとなります。(以下πとか係数を省略)
運動エネルギーの変化量は、
儻=(傳/l)^2/2m
力学的仕事の変化量(内部エネルギーの差)を磁場Bの変化量(始状態のB0と終状態のB1との差)で表わすことができます。

  投稿者:fv - 2011/04/04(Mon) 20:16  No.10739 
ASAさん解答ありがとうございます!

>量子力学(非古典)のことを考えるなら、確率(過程)量子化を学んでみてはいかがでしょうか。

道しるべありがとうございます!しかし、j.j.sakuraiで量子力学をとりあえず徹底的に学んでみようと決めてますので、ちょっと応用はまだパスです^^;基本的なとこが本当に徹底してわかっているなら応用なんて結構あっけなかったりしますからね。しかし、自分が高校生の時は基本があまりにもばかばかしくて、応用ばっか手を出していましたけどね。実際高校の勉強は基礎じゃないと思ってたし、実際大学生になってそれなりの本が手に入ったら少しずつわかるようになってきたし(ほぼ理論電磁気学のおかげ)思考実験も少しずつできるようになってきたしって何言ってるんだろう。まぁ基本(くどいくらい基本を学んでみようと思ってます)

>リング(距離拘束:l)に束縛された荷電粒子の運動が該当しますね。

そうかな?^^;r×vならそうですね!

>熱力学のように状態量としての磁場B~を考えます

状態量としてでなく状態量です!

>電磁波によるエネルギー流出を無視できるようにするため準静的磁場の変化を考えます。

準静的磁場の変化とはとはどういうものですか?

系に流れる電流が準静的電流という表現はよく耳にし、∂D/∂t=0
変位電流がないという感じでわかるのですが・・・・

>束縛された荷電粒子の運動量の変化冪は、rotE=-∂tBより、
冪∝傳/lとなります。(以下πとか係数を省略)
運動エネルギーの変化量は、
儻=(傳/l)^2/2m
力学的仕事の変化量(内部エネルギーの差)を磁場Bの変化量(始状態のB0と終状態のB1との差)で表わすことができます。

ここから先の議論がASAさんの頭の中から出てきれてない気がするのですが・・つまり、出し惜しみしないで><;っていいたいわけですが^^;

ここから先は私の推測ですが

Sをlで囲まれる面積とする。

∫∂B/∂t・dS〜(ΔB/Δt)S (1.1)

∫rotE・dS=∫Eds〜lE (1.2)

maxwell第一式より

(2Πl)E+(ΔB/Δt)Πl^2=0 (1.3)

(Δp/Δt)=Fex=eE+e(v×B) (1.4)

v×B=0となるように考えて、(どういうかけかたしてるんだろう (1.5)

(1.3)より

(Δp/Δt)=-e(ΔB/Δt)(S/l)=k(ΔB/Δt)/l (1.6)

Δp=kΔB/l (1.6)

運動エネルギーの変化がΔWなら

ΔW=Δ(p^2/2m)=(p/m)Δp=vk(Ba-Bb)/l  (1.7)

ということですかね?

でも何をASAさんは示したかったのかわからなかったです。

>そこがわからないと、あうーってかんじです:w:

話はおおきくそれて、

もしブラ・ケット記法と一般角運動量の一般論と(もちろん一般角運動量の交換関係もわかっている)シュテルンゲルラッハの実験結

果とスピンが歳差運動しているとわかっているもとで、一様磁場中のスピン歳差運動のハミルトニアンを作りなさいという問題があったら(ただし、運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの項は無視してもいいとする)

どのように考えますか?

大がかり過ぎる仮定は無しとします。

古典力学を使いおおよそのハミルトニアンの形を求めるように説いてほしいです。

乱文申し訳ありません。





































  投稿者:ASA - 2011/04/05(Tue) 06:27  No.10740 
>そこがわからないと、あうーってかんじです:w:
 静的磁場そのものは、荷電粒子に仕事を与えないという一般的帰結に対して、磁場が仕事を与えるケースを考察しているように見えたので、その一例を示したまでです。

>どのように考えますか?
 設問には興味がわかないのでパスです。
:補足
物理問題では、適切な物理モデルを構築したのち汎用性がある妥当な仮定をもちいて説明(既知の物理法則を使用)することと思います(ですが設問に対する興味がわくかどうかは別問題です。)。