EMANの物理学 過去ログ No.10703 〜

 ● 静電容量の定義

  投稿者:おなか減った - 2011/03/15(Tue) 13:35  No.10703 
静電容量の定義に関連して質問です。
導体の静電容量は
Q=CV
で定義されます。
また、一般に導体の作る電位の式は
V= (Qに因らない関数)Q
の形でかけると(経験的に)思いますが、証明はできるのでしょうか。
私としては
V(r)=∫G(r,r')ρ(r')dr' (Gはグリーン関数、ρは電荷分布)
や、
導体内部で
△V=0

Q=∫ρ(r')dr'
であることをうまく利用できないかといろいろ試しているのですが、中々できません。
つきましては、どなたか手を貸していただけるとありがたいです。

  投稿者:TOSHI - 2011/03/15(Tue) 16:06  No.10704 
 おなか減ったさん。こんにちはTOSHIと申します。

 とりあえず,釣り合った状態(平衡状態)では導体内部には電荷は全くないです。電荷はすべて表面に分布していてその合計はQです。

 また導体の電位はどこも同じで全てV=一定です。もしもVが一定でないなら電流が流れてまた電荷分布のバランスがくずれてしまいますから。。。

 これでいかがでしょうか。。

                    TOSHI

  投稿者:TOSHI - 2011/03/15(Tue) 16:41  No.10705 
追加です。

 真空中に点電荷qが単独であるときの電位はkq/rです。点電荷でなくQに帯電した塊が単独であってもそれより外の十分大きいrについては電位はkQ/rです。

                 TOSHI

  投稿者:おなか減った - 2011/03/15(Tue) 18:31  No.10706 
TOSHIさんありがとうございます。

>>点電荷でなくQに帯電した塊が単独であってもそれより外の十分大きいrについては電位はkQ/rです。

もちろん、十分大きな範囲を考えれば近似的にそのように見なせるでしょう。
ですが、様々な問題(導体球、導体球殻、導体半球、導体円柱、導体L字)の経験から、精密に導体の外では
V=F(r)Q
が成り立ってることを示したいのです。

書き方が至らず失礼しました。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/03/15(Tue) 19:56  No.10707 
こんにちは。

>精密に導体の外では
>V=F(r)Q

1.
式の読み方について質問です。導体は、帯電していない限り表面電荷の和は0ですが、その場合はQ=0でしょうか?
外場により表面電荷分布がある(でもトータル電荷はゼロ)導体が外部につくる場は、式からどこでも電位が0となりますが、そうではないように思います。

2.
>V(r)=∫G(r,r')ρ(r')dr' (Gはグリーン関数、ρは電荷分布)
>Q=∫ρ(r')dr'
と、 ρdV=σds sは導体表面を表す閉曲面 として 
Q≠0の場合 V(r)/Q = ∫G(r,r')ρ(r')dr' / ∫ρ(r')dr' = F(r, ρ(r'))、汎関数ですね。 

=甘泉法師=

  投稿者:おなか減った - 2011/03/16(Wed) 10:12  No.10709 
甘泉法師さま、ご返信ありがとうございます。

1.に関して
問題設定で曖昧なところが在りました。失礼しました。
>>式の読み方について質問です。導体は、帯電していない限り表面電荷の和は0ですが、その場合はQ=0でしょうか?
その通りです。Qの定義は
Q=∫ρ(r)dV
で定義します。

>>外場により表面電荷分布がある(でもトータル電荷はゼロ)導体が外部につくる場は、式からどこでも電位が0となりますが、そうではないように思います。

これは私の問題設定の不手際です。外場は無いものとして下さい。
すなわち、孤立した他に何もない空間に導体を置いて総量としての電荷を加えるとしてください。
また、電位は無限遠で0としています。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/03/16(Wed) 16:10  No.10712 
こんにちは。

>孤立した他に何もない空間に導体を置いて総量としての電荷を加えるとしてください。また、電位は無限遠で0としています。

1 お考えの問題は

導体の形状を任意に与えたとき条件
@ 導体表面以外でρ(r)=0
A 導体内で grad V(r)=grad ∫G(r,r')ρ(r')dv=0
B ∫ρ(r)dv=Q
は関数ρ(r)を一意に決めるか。

と表現できますね。 

2 でもこんな場合はどうでしょう。

 導体の板ふたつをむかいあわせコンデンサをつくる。
 板Aにq、板Bに-qを帯電させる。Q=q−q=0。固定点の電場はqの値によってことなり一意にきまらない。

 導体はひとつながりのひとつだけという条件も課すのでしょうか。

=甘泉法師=

  投稿者:おなか減った - 2011/03/17(Thu) 20:25  No.10719 
甘泉法師さん、ありがとうございます。

>>導体はひとつながりのひとつだけという条件も課すのでしょうか。

またもや、私の不手際ですね。
導体はひとつながりのひとつだけという条件も課しております。
したがって、平行平板コンデンサーの場合は、二つの導体と解釈します。

  投稿者:甘泉法師 - 2011/03/17(Thu) 22:58  No.10720 
こんにちは。

きまった境界条件(導体の電位または電荷)下でラプラス方程式の解は一意なのだそうです。複数の導体系でもそれぞれの電位または電荷が与えられれば解は一意だそうです。

導体がひとつならきっとV(r,Q)=Q V(r,1) ここで1は単位電荷 でしょう。

=甘泉法師=



  投稿者:fv - 2011/03/30(Wed) 15:47  No.10724 
この問題を解決するのにいいのは、

物理テキストシリーズ5 電磁気学演習 砂川重信著 p27〜p32がものすごく参考

になると思います。

いやーすごいテクニックですよ。