EMANの物理学 過去ログ No.9844 〜

 ● 不確定性原理の話とか、諸々

  投稿者:kafuka - 2010/09/05(Sun) 18:48  No.9844 
サンマヤさん
すみません。勝手にスレッドを分けさせて頂きました。

>アイシャムの本、古本屋で注文してしまいました
面白い本だと思います。
「新版量子論の基礎」に構成が似ています。ベルの不等式で〆てあるのも同じです。
(量子力学を演繹的に記述すると、同じようになるのかなぁ)
できれば、凡人さんも読まれるといいと思います(最後の節だけでも)

>>過去の議論でもエルミートの定義が色々で混乱しましたねー。
エルミート演算子≠自己共役演算子 ということで、
過去ログ: http://eman.hobby-site.com/bbs/past/log08243.html
No.8788からの あさん のコメントが参考になります。

>量子論の定式化には、デルタ関数の積が出てくる
>しかし、数学では、「超関数の積は定義されない(らしい)」
というのは、、、
場の量子化は、交換関係や反交換関係で行いますが、例えば、交換関係は、
<tex>[ \phi  _{a}  \left(x\right) ,  \psi  _{b}  \left(x'\right) ]= -i \hbar  \delta  _{ab}  \delta  ^{3}  \left(\vec x - \vec x'\right) </tex>
とか記述します (日置善郎「相対論的量子場」p39より)
右辺は超関数の積(3乗)になっています。
(このことではないのかも知れません。詳しくはわかりません。ごめんなさい)

>>ただ、数学と違うのは、「公理」の肯定・否定を、自然が選択している
>自然が選択しているというか、人間が自然を見て選択しているというか・・・
自然が ある理論(人間は未だ知らない)に従っている が、
人間が作る理論は、自然を見て取捨・選択している
というように考えていいでしょうか。
もし、自然が ある理論に従っている なら、その理論の「公理」の肯定・否定を、自然が選択している
ことになると思います。
注: ある理論に従っているといっても、例えば「粒子の位置」が「その理論で定まる」の意味ではありません

>その数学構造の方をより基本的な物理の原理として設定できるかというと、そうではないと思います。
>それは物理的な言葉から離れすぎているように思います、、、
確かに、物理量は a,b,c,,,と無数に考えられますが 、その中のたった3つ
が、
位置として、他の3つが運動量、もう1つがエネルギー としての「意味」を持つ、
=特別である
というのは、
「数学は、点、線、円を テーブル、花瓶、椅子に置き換えても成り立つ」
という点で、数学と物理学は相容れないような気がします。

  投稿者:T_NAKA - 2010/09/06(Mon) 12:55  No.9848  <Home>
kafuka さん

>右辺は超関数の積(3乗)になっています。

なんですが、

<tex>\int d^{3} \boldsymbol{x}\rightarrow \iiint \, dx\,dy\,dz</tex>

という表現と同じように

<tex>\delta ^{3}\left ( \boldsymbol{x} \right )\rightarrow  \delta \left ( x \right )\delta \left ( y \right )\delta \left ( z \right )</tex>

という意味なので、デルタ関数の積ということではなく、(これが積分の中に出てきたら)各座標変数 xyz ごと別々に積分の中でデルタ関数を適用する意味だと思いますよ。


ところで、ご本人は苦笑されていると思いますが、

 サンヤマさん → サンマヤさん

としないと。。

  投稿者:kafuka - 2010/09/06(Mon) 14:47  No.9849 
>T_NAKAさん

ありがとうございます。
やっぱり、もっと深いところにあったのですね。

超浅いところで、、、
教科書では∫ψ*(x)ψ(x)dx=1 としてますが、これは、運動量空間のψ(p)でも成立すると思います。
(全確率は1になる という意味で)
例えば、
ψ(p)=δ(p-p0) の場合(これは ψ(p)において、運動量が 一定値P0である場合に相当)
∫ψ*(p)ψ(p)dp=∫δ(p-p0)δ(p-p0)dp=∫δ(p0-p0)dp=1
として、数学的には、いいのでしょうか?

>サンマヤさん
間違えて、すみません。
直しました。


  投稿者:T_NAKA - 2010/09/06(Mon) 17:06  No.9850  <Home>
kafuka さん

私の数学知識は高校数学+αなので、超関数の数学的説明はご勘弁を。
ただ、

>教科書では∫ψ*(x)ψ(x)dx=1 としてますが

というのは ψ(x) に課すということで、こういう条件に合致する ψ(x) を選ぶということだと思います。
つまり、方程式を解いて出てきた ψ(x) が波動関数として適正かどうか?を判断する基準であったり、
予め ψ(x) を用意するときも、この条件に合うものを採用するということだと思います。
よって、ψ(x) にどんな形の関数でも代入して良いということではないでしょう。

特に ψ(x) に超関数であるデルタ関数を代入するということがどんな意味を持つことになるのか?
私には分かりません。

本当の意味での「デルタ関数の2乗」というのは場の量子論で散乱断面積を計算するときに出てきます。
これについていろいろ考えていますが、私も良く解らないです。


  投稿者:kafuka - 2010/09/06(Mon) 18:06  No.9851 
T_NAKAさん

No.9849の文章を補足しました。
よく考えると、
「ψ(p)において、運動量が 一定値P0である場合に相当」
は、x空間においては、とりもなおさず、LimA→0 ψ(x)=Aexp(ikx) ですから、
このψ(x)*ψ(x)の全空間積分を、1と「決めた」のだから、
∫ψ*(p)ψ(p)dp=∫δ(p-p0)δ(p-p0)dp=∫δ(p0-p0)dp も1として、
整合性はとれてるので、いいような気がします。
ただ、
∫ψ*(p)ψ(p)dp=∫{∫ψ(x)exp(-ikx)dx}* {∫ψ(x)exp(-ikx)dx} dp と置くと
=∫{∫ψ*(x)exp(ikx)dx}{∫ψ(x)exp(-ikx)dx} dp
=LimA→0 ∫{∫Aexp(ーikx)exp(ikx)dx}{∫Aexp(ikx)exp(-ikx)dx} dp
=LimA→0 ∫A A dp
ここで LimA→0 ∫Aexp(ーikx)Aexp(ikx) dx=∫A^2 dx を 1と「決めた」ので、上の
LimA→0 ∫A^2 dp=1
も、これでいいようですが、
{∫Aexp(ikx)exp(-ikx)dx}自体が1です。
したがって、
∫1^2 dp と変形してしまえば、Aはもう関係なくなり、これは∞です。
何かあやしい と思います。

みなさん、どう思われますでしょうか?

尚、 LimA→0 ψ(x)=Aexp(ikx) という表現は不適切なのは、わかってます。
Limですから どこまで行ってもA≠0 であり、A=0でない限りAがどんな値でも ∫A^2 dxは、常に∞ です。
したがって、Limを付けても意味ないです。
ひょっとしたたら A^2は、δ関数を横倒しにしたものじゃないでしょうか?

  投稿者:T_NAKA - 2010/09/06(Mon) 19:17  No.9852  <Home>
kafuka さんご自身のお考えなので、無碍に否定することも、説得する力もないのですが、

本当の意味での「デルタ関数の2乗」というのは、このEMANさんのリンク集にもある「物理のぺーじ♥」の
「ラザフォード散乱」4ページの中ごろにある
「デルタ関数の2 乗というわけのわからないものが出てきてしまう」というところに注目して下さい。
http://members3.jcom.home.ne.jp/nososnd/qed/scat.pdf
(4および5ページは、この説明に費やされています)

つまり「デルタ関数の2乗」というのがどうなるか?をちゃんと把握しておかないと、
ψにデルタ関数を代入するのが妥当なのか?は不明という立場です。
なので、

>ψ(p)=δ(p-p0) の場合(これは ψ(p)において、運動量が 一定値P0である場合に相当)

というのが妥当なのか?は私には分かりません。
超関数を単体で取り出して、波動関数だと言われても物理的なイメージが湧かないのです。
自由粒子の波束モデルで、時間が十分に経過したものに似ているのでしょうが、
そういうことを考えても物理的にはあまり意味がないと感じてしまうのです。

これは価値観の問題なので、kafuka さんに押し付けるつもりは有りません。
なので、これ以上反論されても私に答える能力はありません。


  投稿者:kafuka - 2010/09/06(Mon) 20:25  No.9853 
T_NAKAさん

文献、読みました。
なるほど、です。
この文献のやり方を頂いて、
∫(2πδ(p−P0))^2 dp=2πX∫δ(p−P0)dp とすると、
∫ψ*(p)ψ(p)dp=∫δ(p-p0)δ(p-p0)dp=X/2π ∫δ(p−P0)dp=X/2π
となり、∫δ(p-p0)δ(p-p0)dpの場合の値=全確率が、近似δ関数の積分範囲Xに依存することになります。
また、計算間違いかなぁ ^^;

反論なんて とんでもないです。
僕が問題にしているのは、Mathematical Toy それも、超浅いことなので、
気になさらないで下さい。

  投稿者:サンマヤ - 2010/09/06(Mon) 23:25  No.9854 
kafukaさん、T_NAKAさん
>>サンマヤさん
>間違えて、すみません。
>直しました。
今回は気づいてなかったりします・・・w

>>>過去の議論でもエルミートの定義が色々で混乱しましたねー。
>エルミート演算子≠自己共役演算子 ということで、
>過去ログ: http://eman.hobby-site.com/bbs/past/log08243.html
>No.8788からの あさん のコメントが参考になります。
このスレ、レス数が・・・今回の比じゃないですね。
対称演算子と自己共役演算子が違うことは理解しました。
ありがとうございます。

座標表示したときの運動量固有状態 $\hat{p}\psi = p_0 \psi$ の固有関数は、
 $\psi = A_0 \exp(i \frac{p_0}{\hbar} x)$ なわけですが、至るところで絶対値一定です。
これは運動量が確定した状態は位置の不確定性が無限大であることに対応します。(どの点に存在する確率も同じ)
ですから、これを普通の意味で規格化することはできません。
以下、フーリエ変換で便利なように $A_0 = \frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}}$ と「規格化」しておきます。

これを運動量表示に直してみると、(積分範囲-∞〜∞は省略)
<tex>\phi_{p_0}(p) =\frac{1}{\sqrt{2\pi \hbar}} \int \exp(-i \frac{p}{\hbar} x) \psi(x) dx = \frac{1}{2\pi} \int \exp(-i (p-p_0) \frac{x}{\hbar}) d \Big( \frac{x}{\hbar} \Big) = \delta(p-p_0)</tex>
最後の式は、デルタ関数の積分表示の一つです。
これは、直交条件
<tex>(\phi_{p_0}, \phi_{p_1}) = \int \delta(p-p_0) \delta(p-p_1) dp = \delta(p_0 - p_1)</tex>
となって、 $p_0=p_1$ で発散していますが、
そもそも規格化できていない波動関数なので、表示を変えても規格化できないということでいいのではないでしょうか。
(気持ちとしては運動量表示なら1になってほしいところですが・・・)
こうでないと、一般の波動関数 $\psi(p)$ を固有関数で展開したとき、
<tex>\psi(p) = \int (\phi_{p_1}, \psi) \phi_{p_1}(p) dp_1</tex>
なわけですが、 $\psi(p) = \phi_{p_0}(p)$ を代入したとき元に戻らないので、これでいいんだと思います。

  投稿者:T_NAKA - 2010/09/06(Mon) 23:40  No.9855  <Home>
kafuka さん

>∫δ(p-p0)δ(p-p0)dp=1

にはならないかも知れないということにご賛同いただけましたか?
あえて言うなら

∫δ(p-p0)δ(p-p0)dp=∞

だと思います。
ただ私は「ラザフォード散乱」という資料をちゃんと理解しているわけではないので、
自信を持ってこれを主張しているつもりはありませんが。

さて最初は「右辺は超関数の積(3乗)になっています」ということに対する説明のために書き込みました。
それに対し、特殊なケースを当てはめた質問をされて、こちらは真面目に考えて回答しているのに、

>Mathematical Toy それも、超浅いことなので、気になさらないで下さい

なんておっしゃられても、あまりいい気はしないのです。
こちらとしては Mathematical Toy にはお付き合いする時間はありませんので、あしからず。


  投稿者:甘泉法師 - 2010/09/07(Tue) 08:24  No.9857 
こんにちは。

>Re: 不確定性原理の話とか、諸々 kafuka - 2010/09/06(Mon) 14:47 No.9849
例えば、
ψ(p)=δ(p-p0) の場合(これは ψ(p)において、運動量が 一定値P0である場合に相当)
∫ψ*(p)ψ(p)dp=∫δ(p-p0)δ(p-p0)dp=∫δ(p0-p0)dp=1
として、数学的には、いいのでしょうか?

∫f(p-p0)δ(p-p0)dp=f(0)とのδ関数の積分の規則から∫δ(p-p0)δ(p-p0)dp=δ(0)ですね。

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2010/09/07(Tue) 08:24  No.9858 
T_NAKAさん

はい、賛同します。
僕の計算でも、
∫ψ*(p)ψ(p)dp=∫{∫ψ(x)exp(-ikx)dx}* {∫ψ(x)exp(-ikx)dx} dp と置くと
=∫{∫ψ*(x)exp(ikx)dx}{∫ψ(x)exp(-ikx)dx} dp
=LimA→0 ∫{∫Aexp(ーikx)exp(ikx)dx}{∫Aexp(ikx)exp(-ikx)dx} dp
ここで、{∫Aexp(ikx)exp(-ikx)dx}を1と決めても、
上記は、∫1^2 dp となり、これは∞です。

また、ラザフォード散乱の計算に含まれるδ関数の2乗の結果を流用しても、
∫ψ*(p)ψ(p)dp=∫δ(p-p0)δ(p-p0)dp=X/2π ∫δ(p−P0)dp=X/2π
となり、近似δ関数の積分範囲Xを∞にすれば、
これも、∞で、完全に整合しています。

尚、特殊なケースを当てはめたのは、論点を明確にするためで、
今の論点は、超関数の積の例として、δ関数の2乗は、どうなるか というもので、
これは、ラザフォード散乱の計算に含まれていようが、Mathematical Toy での計算にでてこようが、
同じ結果を与えるべきものと考えています。

特殊なケースをMathematical Toyと表現しただけで、真面目な議論のつもりです。
どうか、お気を悪くなされないで下さい。

  投稿者:kafuka - 2010/09/07(Tue) 08:58  No.9859 
甘泉法師さん

ご指摘ありがとうございます。
あ〜 また、アホな間違いをしてしまった。
皆様、申し訳ありません。

ただ、∫δ(p-p0)δ(p-p0)dpと言うのは、状態ベクトル表示で書くと、
<ψ(p=P0)|ψ(p=P0)> です。
ファインマン物理「量子力学」のように解釈すると
<ψ(p)p=P1)|ψ(p)p=P0)> は、pがP0の状態から、pがP1の状態になる確率を表します。
P0≠P1なら0 でいいのですが、P0=P1は、
甘泉法師さんの結果も、δ(0)=∞ で同じ結果です。

確率が、δ(0)という関数の場合、どういう意味を持つのでしょうか、、、
↑ 勘違い!!
δ(0)=∞ で関数じゃなかったです ^^;

  投稿者:hirota - 2010/09/07(Tue) 10:05  No.9860 
なんだか同じ話を繰り返してますねー。
(相手が違えば良いのかな?)

  投稿者:サンマヤ - 2010/09/07(Tue) 10:13  No.9861 
kafukaさん
>確率が、δ(0)という関数の場合、どういう意味を持つのでしょうか、、、
δ関数は、ガウス分布でσ→0の極限としても表せます。
それでいいのでは。

連続固有値ですから、この確率は確率密度になっていると考えるべきです。
始状態p=p0から終状態がp=p1〜p1+dpになる確率P(p1;p0)dpが
P(p1;p0)dp=<ψ(p)p=P1)|ψ(p)p=P0)>dp=δ(p1-p0)dp
というかんじです。

余談ですが、
>>アイシャムの本、古本屋で注文してしまいました
>面白い本だと思います。
>「新版量子論の基礎」に構成が似ています。ベルの不等式で〆てあるのも同じです。
「新版量子論の基礎」は、ここでの議論でよく出てきますが、読んだことがありませんw
比較的安いので買おうかとも思ったのですが、アマゾンのカスタマーレビューが微妙なので・・・
アイシャムがあったらいらないですか?w

  投稿者:kafuka - 2010/09/07(Tue) 10:32  No.9862 
サンマヤさん

了解です。

>>「新版量子論の基礎」、、、
>アイシャムがあったらいらないですか?
うーん。かもしれません。
ただ、「新版量子論の基礎」は、スペードが2つ付いた項目があって、
それは、
「プロが読んでも有用なもの」とあり、
例えば、
「連続固有値の問題」とか「正準量子化の曖昧さ」「自己共役でない可観測量」
とかです。これらをクリアされている方は、アイシャムがあったらいらない
ような気がします。

  投稿者:T_NAKA - 2010/09/07(Tue) 10:41  No.9863  <Home>
「ゲージ理論入門T_ 1983年版」(エイチスン著・藤井昭彦訳・講談社サイエンティフィク)P33の訳注に

<tex>\left [ \delta ^{4}\left ( p \right ) \right ]^{2}= \delta ^{4}\left ( p \right )\cdot \delta ^{4}\left ( 0 \right )</tex>

というのがあって、私にはこれがどうして簡単に言えるのか?という疑問があったのです。

私が紹介しておいてなんなんですが、
http://members3.jcom.home.ne.jp/nososnd/qed/scat.pdf
という文献も、5ページの上から2行目に
「これとは別に…は無理やり…このように書き換えることができると考えておきます」
なんて文言があって、私としてはちょっと納得し難いのが本音です。
(無理やりに考えておくというのは、少し乱暴すぎる)

そういう経緯で

∫δ(p-p0)δ(p-p0)dp=δ(0)

というのも、本当は

∫δ(p-p0)δ(p-p0)dp=δ(0)∫δ(p-p0)dp

で、∫δ(p-p0)dp=1 から、結果として δ(0)=∞ となるんじゃないか?と思います。

さて、この「デルタ関数の2乗」については私もブログに書いていますが、
http://teenaka.at.webry.info/201008/article_5.html
これは簡単ではないということだと思いますよ。

ここでの意見は少し違うようですし、、
http://oshiete.goo.ne.jp/qa/3431782.html

この件について、私は言いたいことは言ったので、これからあまり発言しないようにします。
ひとりで考えますので、私に向かった説明はご容赦下さい。


  投稿者:kafuka - 2010/09/07(Tue) 10:50  No.9864 
Hirotaさん

ごめんなさい。
論点の、超関数の積の例として、δ関数の2乗は、どうなるか
から、ずれてしまいました。

Mathematical Toyからの結論:
δ関数の2乗の積分[-∞〜+∞]は、∞である。

ラザフォード散乱の計算からの結論:
δ関数の2乗の積分は、近似δ関数の積分範囲を∞にすれば、∞
(ただし、実際の問題では、積分範囲は有限 というか別の条件で定まる)

と理解しました。

と書いたら、T_NAKAさんがコメされていました。
これは、そんなに簡単なことじゃないようです。

  投稿者:サンマヤ - 2010/09/07(Tue) 11:42  No.9865 
hirotaさん
>なんだか同じ話を繰り返してますねー。
過去ログ検索したらありましたね。
1年ぐらい前に「デルタ関数と完全系」のスレッドとか。
でも、すぐに「○○の過去ログ参照」とか言えるような人はいないでしょうねえ・・・

kafukaさん
>例えば、
>「連続固有値の問題」とか「正準量子化の曖昧さ」「自己共役でない可観測量」
>とかです。これらをクリアされている方は、アイシャムがあったらいらない
>ような気がします。
おもいっきりあやしい範囲ですね。
アイシャムはまだ届かないので読んだら「新版量子論の基礎」を見てみますか・・・
どこかの本屋においてあれば立ち読みしてから買うかどうか決めるのですが。

>了解です。
と書かれているところで申し訳ないのですが、
内積が与えるのは確率振幅ですから、
P(p1;p0)dp=|<ψ(p)p=P1)|ψ(p)p=P0)>|^2 dp
ですね。で、またデルタ関数の2乗がでてきます・・・
確率で解釈することに無理があるみたいですね。
私がNo.9854で書いたように規格直交条件として考えておいたほうがよさそうです。

ランダウ・リフシッツの教科書では、
「連続固有値の波動関数は積分が必ず発散する。それゆえ確率と直接結びつけることはできない。
それは系が無限に運動していることと関連している。」
という趣旨のことが書かれています。

私の結論としては、
 $f(x) \delta(x) = f(0) \delta(x)$ からの類推で、
 $\big[ \delta(x) \big]^2 = \delta(0) \delta(x)$ でありx=0で発散する。
超関数の片割れに超関数もってきていいの?とかいう疑問はとりあえず無視でw
昔、学生時代に「超関数」とつく本を図書館でデルタ関数についてかたっぱしから調べても、この辺のことを納得して説明している本に出会えなかったのを思い出しました・・・
積分に収束因子をいれて極限を取れば証明できたような気がしますが。

  投稿者:kafuka - 2010/09/07(Tue) 13:46  No.9866 
>>なんだか同じ話を繰り返してますねー。
これは、僕が、また「連続固有値の問題」に触れたことを指しているんだと、思います。
前の議論は納得したつもりだったのですが、以下で、わからなくなったのです。
状態ベクトルAのある物理量が、A0、A1、A2、、、のいずれかに定まっている(重ね合わせ)とすると
=飛び飛びである=離散固有値
(1)離散固有値の場合、<A'|A>=δA'A
(2)連続固有値の場合、<A'|A>=δ(A−A')
この物理量を運動量pとして、P0だけに定まっているとすると=飛び飛びである=離散固有値
つまり(1)の方と思うのですが、<A|A>=∫δ(p-p0)δ(p-p0)dp の答えはδ(0)=∞ですから(2)の方なんでしょ
この辺がわからないのです。
当然 -ih'∂/∂x ψ(x)=P0ψ(x) ですから離散固有値です。
この固有関数は、ψ(x)=Aexp(iP0x/h') で、ψ(p)は、そのフーリエ変換で
δ(p-p0) のはずです。
やっぱり、ψ(x)=Aexp(iP0x/h')は、波束の広がった極限として、
∫ψ(x)*ψ(x)=1 つまり(1)の方とし、
ψ(p)の方は、デルタ関数に対応する|A>はヒルベルト空間の元でないとして済ませる
のでいいのでしょうか?
お笑い下さい。

それから、ずーと前の あさん の指摘は、
連続固有値の場合の積分の表し方:
状態ベクトル|A>が連続固有値をとる場合、|A>はヒルベルト空間の元ではないので、
ξ(a)をa以下の固有値の空間への射影演算子とすると、
例えば、演算子Xの固有値がaである場合、( X|A>=a|A>ということ)
X=∫a|A><A|da でなく、X=∫a dξ(a) としないといけない
ことのようですが、
ξ(a)って どうやって求める(計算する)のかわかりません。
どなたか、文献とか記事をご存知でしたら お教え下さい。
(ルベーグ積分の形をしていますが、関係あるのでしょうか?)

>サンマヤさん
>「連続固有値の問題」とか「正準量子化の曖昧さ」「自己共役でない可観測量」とか
ですが、ちょっと触れられている程度で、サンマヤさんなら立ち読みで十分と思います。
Amazonで目次をみて、スペード2つ の項目だけ抜き出して、文献をあたるのがいいのではと思います。
また、これらは、この掲示板の過去ログにも、かなりありますし、(探すのが、、、)
TOSHIさんも書かれておられるものも、あります。

それから、また変なことを言うようですが、
異なるδ関数の積は、、、
∫f(x)δ(x-k)dx=f(k) より、f(x)をδ(x)とすると ∫δ(x)δ(x-k)dx=δ(k)
のようですが、δ(x)δ(x-k)の値は、k=0でない限り至る所 0
 (∫Aδ(x)dx=A なので、A=0なら、Aδ(x)=0と思うからです)
したがって、∫δ(x)δ(x-k)dx=0 とも言えそうな気がします。
>超関数の片割れに超関数もってきていいかどうか
よくはわかりませんが、この場合はいけないのかも。

  投稿者:T_NAKA - 2010/09/08(Wed) 08:16  No.9868  <Home>
「これからあまり発言しないようにします」と言った後に書き込むのは気が引けるのですが、
連続固有値とか離散固有値ということについて、簡単に述べます。
例えば、p を x に依存しない実数として、次の微分方程式を考えます。

<tex>-i\hbar\frac{d}{dx}\psi = p\psi</tex>

解はすぐ求まって、

<tex>\psi = Ce^{i\frac{p}{\hbar}x} </tex>

となり、p が固有値ということになりますね。
これは、f(p) = p という連続関数と考えられます。つまり連続固有値です。
この関数に特定の値 p0 を代入して、これを離散固有値というのは少し違うと思います。
別の p1 という個別固有値を用意して、 p0 と p1 の中間の値をアナログに変化させて、
任意に採用しても、この方程式の固有値とすることができるか?ということでしょう。
これは可能なことなので、これは連続固有値ということだと思います。

一方、例えば調和振動子モデルのエネルギー固有値は

<tex>E= \left ( n+\frac{1}{2} \right )\hbar\omega </tex>

というように、nが整数の場合しかとれませんので、離散固有値ということになるでしょう。
間違っても「ωはアナログに変化できる、だから連続」というツッコミはないと思いますが、
これを言ったら微分方程式そのものが変わってしまうのでナンセンスです。

  投稿者:hirota - 2010/09/08(Wed) 10:31  No.9869 
kafukaさんは、もっと定義を尊重した方が良いですね。
連続, 離散固有値は説明済みなので

>ξ(a)をa以下の固有値の空間への射影演算子
を説明しますが、これも書いてある通りです。
具体的には演算子X によって違いますが、X を位置演算子とすれば「射影演算子」の定義通り:
Ψ(x) を位置表示の波動関数(規格化せず) とすれば
(ξ(a))Ψ = f は x≦a で f(x)=Ψ(x), x>a で f(x)=0 となります。
(運動量演算子なら運動量表示の波動関数で以下同文)

ついでに、
>X=∫a dξ(a)
「ルベーグ積分の形」ではなく、「スティルチェス(Stieltjes)積分の形」です。(ξ が測度ならルベーグ積分だが、関数の場合は Stieltjes 積分)
前にもここで書いたっけ。

  投稿者:kafuka - 2010/09/08(Wed) 23:44  No.9871 
T_NAKAさん
よくわかりました。
ありがとうございました。
>p0 と p1 の中間の値をアナログに変化させて、任意に採用しても、この方程式の固有値とすることができる
なるほどです。
尚、pにP0を代入したのは、
物理的には、|ψ>に 運動量の射影測定|p><p|を行って、P0になった
ということに相当する と思っています。
もちろん、P1になっても、その中間になってもいいので、
「飛び飛びじゃない」ですね

Hirotaさん
>(ξ(a))Ψ = f は x≦a で f(x)=Ψ(x), x>a で f(x)=0 となります
あっ、それでいいのですか!!
僕は てっきり1つの項の演算子で表さないといけないものと思い込んでいました。
ためしに、
(ξ(a))|Ψ> は、|x><x|Ψ>の類推で、  x≦a で Ψ(x)|x>
x>a で 0|x>=|0>

∫|Ψ>dξ(a)=∫[-∞、ξ(x)]|Ψ>dξ(a)+∫[ξ(x)、+∞]|0>dξ(a)
=∫d(|x><x|)|Ψ>
=∫d(Ψ(x))|x>
=Ψ(x)|x>=|Ψ>
∴ ∫dξ(a)=1
全然、自信ありません。ご指摘頂ければ幸いです。

>ξ が関数の場合は Stieltjes 積分
重ね重ねすみません。
アイシャムの本に
「波動関数の空間はそのままでは完備でない。積分をルベーグ積分とすることによって完備となる」
とあったのを、これのことと勘違いしていました。

  投稿者:hirota - 2010/09/09(Thu) 09:43  No.9873 
>|0>
>[-∞、ξ(x)]
>Ψ(x)|x>
一体、どんな定義?

>波動関数の空間はそのままでは完備でない
これまた意味不明・・・ $L^2$  を波動関数の空間と定義する以外に何があるのやら。( L はルベーグ積分の頭文字 )
おそらく初心者向けに本独自の定義をして、そのままでは完備でないと言ってるんだろうが、本の外で通用するはずもなし。(大体、ルベーグ積分は只の積分にすぎない。リーマン積分の穴を繕っただけ)

  投稿者:kafuka - 2010/09/09(Thu) 10:27  No.9876 
Hirotaさん
>|0>
ヌルベクトルのつもりだったんですが、こう書くと「真空」と思われてしまいますね
0|x>=ヌルベクトル の証明:
|x>∈H であるので、∀ |x>∈ベクトル空間V
∴ 0|x>=ヌルベクトル

>[-∞、ξ(x)]
∫|Ψ>dξ(a) において x=ξ(a)と置くと (置けないかも)
∫[-∞、+∞]|Ψ>dx
=∫[-∞、x]|Ψ>dx + ∫[x、+∞]]|Ψ>dx
=∫[-∞、ξ(x)]|Ψ>dx + ∫ヌルベクトルdx
のつもりです(スティルチェス積分は、よくわかりません。ルベーグ積分もですが)

>Ψ(x)|x>
|x><x|Ψ> =|x> ( <x|Ψ> )=Ψ(x)|x>
  ( <x|Ψ>はスカラーだから入れ替え可能)
このΨ(x)が、いわゆる波動関数か?といわれましても、よう証明できません。
あっ、<x|Ψ>は、離散固有値の場合しか定義できないかぁ!!
すみません。考え直します。

>>(アイシャムの本の)波動関数の空間はそのままでは完備でない
>これまた意味不明・・・  $L^2$  を波動関数の空間と定義する以外に何があるのやら
これについては、前にも同様なことをおっしゃられたのを覚えています。
本のこの辺を読んでも、わかりません

>サンマヤさん
もし、サンマヤさんが、アイシャムの本を買われたのでしたら、
この箇所の意味の取り方を、アドバイス頂ければ、幸いです。

  投稿者:サンマヤ - 2010/09/09(Thu) 14:28  No.9877 
アイシャムの本届きました。
まだちゃんと読んでませんが。

まず最初に、元の質問であるデルタ関数の2乗についてですが、
私の手元にあるほかの本含めて、連続固有値の固有関数としてのデルタ関数を確率と結びつけて論じているものはないですね。(アイシャムの本も含めて)
固有関数の規格直交条件として
 $ <a|b> = \delta(a-b)$ 
が出てくるだけです。
つまり、波動関数の展開につかう規格直交系として出てくるだけだと思います。
アイシャムの本p.115にも、ヒルベルト空間では連続固有値に対する固有ベクトルは存在しないって書いてありますね・・・

おそらくこれは、ある物理量が確定値を取るということは、
無限の時間あるいは空間に渡る測定が必要だということに対応しているのだと思います。
ただ、座標表示での $\exp(ikx)$ は、散乱の問題の入射波としてよく出てきますから、それを考えることに意味がないとは思いませんが。

つぎに、
>>(アイシャムの本の)波動関数の空間はそのままでは完備でない
>これまた意味不明・・・  $L^2$  を波動関数の空間と定義する以外に何があるのやら
正直、こういう議論は苦手なんですが(どちらかというと、近似とか摂動とかを使ってがりがり計算していくほうが好きですw)、ご指名なので・・・
アイシャムの本だと、最初は(暗黙のうちに)リーマン積分で定義しています。これは $\mathcal{L}^2$ と書かれています。
しかし、これだと、収束する波動関数の列 $\phi_n(x)\rightarrow \phi$ に関して、内積 $(\phi_n, \phi_n)$ の極限を計算できない場合がある。
これはリーマン積分において単調収束定理が使えないということをいいたいのでしょう。
そこで積分をルベーグ積分で定義しなおすことによって、 $\lim_{n \rightarrow \infty} (\phi_n, \phi_n) \rightarrow (\phi, \phi)$ を示すことができるということだと思います。
関数列の積分は、リーマン可積分でなくても、ルベーグ可積分にはなるよ、といいたいだけだと思います。

hirotaさん
>おそらく初心者向けに本独自の定義をして、そのままでは完備でないと言ってるんだろうが、本の外で通用するはずもなし。
むしろ、初心者向けの本では、完備だの、リーマンとルベーグの違いだのということは「余計なこと」として触れられてないと思います。
アイシャムの本は学部3年次向けということなので、その辺の注意をちょこっと書いておいた、ということでしょう。

>(大体、ルベーグ積分は只の積分にすぎない。リーマン積分の穴を繕っただけ)
これは大いに同意します。穴を繕う=完備化を説明しているだけですね。
この本の後の展開としては、「ルベーグ測度零の集合の違いを除いたほとんどいたるところ等しい2つの集合を同じとみなす同値類で考えてます」という注がことあるごとにでてきますので、それへの前振りなんでしょう。

  投稿者:kafuka - 2010/09/11(Sat) 17:41  No.9882 
サンマヤさん
お忙しいところ、ありがとうございます。

>アイシャムの本p.115にも、ヒルベルト空間では連続固有値に対する固有ベクトルは存在しない・・・
やっと理解できました。

>ある物理量が確定値を取るということは、
>無限の時間あるいは空間に渡る測定が必要だということ
僕が悩んだ問題でいうと、1回、射影測定|p><p| して、P0 という値になるということは、
この値の集合=固有値の集合を考えると、
これが、実数の濃度であるためには、非可算無限個のアンサンブルが必要という
ことになると思います。

アンサンブルの数が非可算無限ということは、アンサンブルの定義からはみ出している
と思います。よくはわかりませんが、これは、
>ヒルベルト空間では連続固有値に対する固有ベクトルは存在しない
ことの傍証のように思えます。

>リーマン積分、、、だと、収束する波動関数の列  $\phi_n(x)\rightarrow \phi$  に関して、内積  $(\phi_n, \phi_n)$  の極限を計算できない場合がある。
なるほど「穴を繕っただけ」とは、こういう意味ですか!
連続固有値の波動関数では、内積  $(\phi_n, \phi_n)$  は、はなからダメですね

  投稿者:T_NAKA - 2010/09/11(Sat) 23:45  No.9883  <Home>
自分の考えを押し付けるつもりはありませんが、私は、自由粒子の状態のような連続固有値を持つものはヒルベルト空間の元にはなり得ない、と考えております。
そういうものの射影測定とかいう極端なケースを考えて、どうのこうの議論するのに意味があるのか疑問です。
こういうときは、波動関数を 空間的に局在化 した「波束」を考えて物理的意味を理解するのが良いと思います。
http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/WavePacket.pdf

ただ、電子では時間発展で位置は広がっていき、運動量はデルタ関数状に狭まってしまい t → ∞ では、同じことになってしまいますが。


  投稿者:ASA - 2010/09/12(Sun) 08:22  No.9885 
T_NAKA さん
>電子では時間発展で位置は広がっていき、運動量はデルタ関数状に狭まってしまい t → ∞ では、同じことになってしまいますが。
 文脈から自由状態のことを指していると思いますが、自由状態でのガウス形「波束」の幅は広がりますけど、その運動量期待値は一定です。
 なので、"運動量はデルタ関数状に狭まってしまい"は、T_NAKA さんの勘違いでしょう。

  投稿者:T_NAKA - 2010/09/12(Sun) 12:25  No.9886  <Home>
>自由状態でのガウス形「波束」の幅は広がりますけど、その運動量期待値は一定です。

というのはその通りだと思いますが、ガウス形波束モデルでは、正確に 

<tex>\Delta x\cdot \Delta p= \frac{\hbar}{2}</tex>

が成立します。よって、時間発展で 凅 が広がれば、それに伴い 冪 が狭まることなります。
(運動量の)分布関数ひいては波動関数が狭まることを「運動量はデルタ関数状に狭まってしまい」と表現したつもりです。

  投稿者:ASA - 2010/09/12(Sun) 15:45  No.9887 
T_NAKA さんNo.9886

>ガウス形波束モデルでは、正確に
式省略
>が成立します。

 参考pdfの式(25)は虚部を含んでいますけどこれでホントに成立してますか?

試しに計算してみます。
 式(25)のψ(x,t)で狽とる前に∫dx{e^(-ik'x)}をかけてフーリエ変換し、運動量表現Φ(k',t)を求めます。
 Φ(k',t)=L^(1/2)農k{Ck e^(iEkt/h)}δ(k-k')
     ∝∫dk{Ck e^(iEkt/h) δ(k-k')}
     = Ck' e^(iEk't/h)
     ∝σ^(1/2)e^(((σ^2)/2)(k'-k0)^2+iEk't/h)
|Φ(k',t)|^2∝σe^((σ^2)(k'-k0)^2)  
 これを見ると、運動量期待値分布は、k0を中心としたガウス形分布で、時刻tに依存してない。

 もしかして、調和ポテンシャルでの基底状態波動関数(実ガウス形)の場合と勘違いなさっているのでは?

T_NAKA さんNo.9888
やはり勘違いしてますね。諭すようなことは面倒なのでしませんが、鵜呑みにする他の方がいるといけないのでNo.9888の考え方は間違っていることを明確に指摘しておきます。
参考:www.sci.yamaguchi-u.ac.jp/phy/astro/fourier.ppt
「シュレディンガー方程式」より
冪=√α:一定、凅∝√(1+(ξt)^2):時間と共に増大
これをよく見て考え違いを正してください。

 共立出版の詳解量子力学演習 p38に自由波束に関する一般式が記載されているので参考のため紹介しておきます。
 凅冪=h√{1+(αt冪^2/h)^2}

ps. ちなみに同書p76に一次元調和振動子の定常状態での関係式が記載されてます。
 凅冪=h{n+1/2}

  投稿者:T_NAKA - 2010/09/12(Sun) 17:50  No.9888  <Home>
ASA さん、おっしゃりたいことは了解しました。

私は次のように考えました。
まあ、どこかに考え違いがあるのでしょう。それについては私が独自に考えますので、これにたいするご返答はご容赦願います。

<tex>\left | \psi \left ( x,t \right )  \right |^{2} = \frac{1}{\sqrt{\pi \sigma\left ( t \right )^{2} }}\; exp\left [ -\frac{\left (x -\frac{\hbar k_{0}}{m}t \right )^{2}}{\sigma\left ( t \right )^{2} } \right ]\; ;\; \sigma \left ( t \right )^{2}= \sigma ^{2}\left (1+\frac{\hbar^{2} t^{2}}{m^{2}\sigma^{4} }  \right )</tex>


なので、t = 0 のケースについては

<tex>\Delta x\cdot \Delta p= \frac{\hbar}{2}</tex>

が成立することは計算してあります。
http://teenaka.at.webry.info/200703/article_18.html

ここで、特定の時間 t = T に注目すると、

<tex>\left | \psi \left ( x,T \right )  \right |^{2} = \frac{1}{\sqrt{\pi \sigma\left ( T \right )^{2} }}\; exp\left [ -\frac{\left (x -\frac{\hbar k_{0}}{m}T \right )^{2}}{\sigma\left ( T \right )^{2} } \right ]</tex>

なので、分散が大きくなったことと、位置の平均値(期待値)がずれただけで ψ(x,0) と条件は変わりません。
よって、不確定性関係が異なることもないでしょう。そういう考えの基に発言しています。

  投稿者:ASA - 2010/09/12(Sun) 20:10  No.9889 
確率過程の考え方に基づくと、 自由粒子の場合、冪が一定というのは、非常に理解しやすいです。
 凅は、ランダムウォークにより原点から徐々に移動するため、時間と共に増大すると考えられます。
 冪は、背景から来る速度揺らぎの効果そのものなので、空間が均一である限り一定であるべきものです。なので、粒子の位置がどこにあろうとも、あらゆる時刻で冪は一定と考えることができます。
 確率波の解釈だと、このような物理イメージを抱くことが困難ですね。

  投稿者:サンマヤ - 2010/09/12(Sun) 23:57  No.9891 
kafukaさん、T_NAKAさん
>自分の考えを押し付けるつもりはありませんが、私は、自由粒子の状態のような連続固有値を持つものはヒルベルト空間の元にはなり得ない、と考えております。
自分の考え、といわずに、明らかにヒルベルト空間の元ではないと思いますよ。
No.9854で私も書いてますが、規格化できないわけですから。

ちなみに
>http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/WavePacket.pdf
これの調和振動子型のところ、最初の位置の平均値 $a$ と $\alpha$ と書き間違ってるところありますね。
調和ポテンシャルが波束を保存するというのは面白い性質ですよね。
時間があったら一般的な証明を試みたいところです。

余計なお世話かもしれませんが、
位置表示の波動関数では、運動量についての情報が虚部に含まれます。
なので絶対値の2乗を考えても情報が落ちてしまっていると思います。

上記PDFでいえば(25)式の最後の式で考えないといけないのではないでしょうか。

  投稿者:ASA - 2010/09/13(Mon) 06:06  No.9893 
サンマヤ さん

>調和ポテンシャルが波束を保存するというのは面白い性質ですよね。
 
http://www.aa.alpha-net.ne.jp/t2366/ボーアの対応原理とシュレディンガーの予想.htm
 によると、シュレディンガーがはじめて計算上で作ってみせたようです。
あと、波束のダイナミクスに関して、上記ページには古典像と一致するコヒーレント状態(消滅演算子(a)の固有状態)に関していろいろ述べられています。
 


  投稿者:甘泉法師 - 2010/09/14(Tue) 11:01  No.9900 
こんにちは。

T_NAKAさん
>なので、分散が大きくなったことと、位置の平均値(期待値)がずれただけで ψ(x,0) と条件は変わりません。
>よって、不確定性関係が異なることもないでしょう。

ψ(x,0)はガウシアンですが、ψ(x,t)はガウシアンでありません。|ψ(x,t)|^2がガウシアンなので紛らわしいですが..
なので標準偏差の積が最小のhbar/2なのは初期状態だけです。

ψ(x,t)のフーリエ変換φ(p,t)をみます。各pの値での振幅はかわりません
|φ(p,t)|^2=|φ(p,0)|^2
が 位相がファクター e^-iω(p)t で、隣り合うpどうしでずれていきます。

=甘泉法師=

  投稿者:T_NAKA - 2010/09/14(Tue) 16:19  No.9901  <Home>
甘泉法師さん

私は

>これにたいするご返答はご容赦願います。

と書いています。自分で考える楽しみを奪わないで下さい。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/09/14(Tue) 16:42  No.9902 
こんにちは。

>自分で考える楽しみを奪わないで下さい。

 失礼それでは削除を..とも考えましたが、それではまるで私の発言が正解だといっているようなものです。そんな自信はありません。
 ご自分で楽しんで考えて真理に近づいてください。

=甘泉法師=

  投稿者:T_NAKA - 2010/09/14(Tue) 23:34  No.9903  <Home>
>失礼それでは削除を..とも考えましたが、それではまるで私の発言が正解だといっているようなものです。そんな自信はありません。

誰もそんなこととは考えないと思いますよ。
自信がおありでないのなら、削除するというのが普通なのではないでしょうか?

まあ、削除するとかしないとか、決定する権利は私にはありませんが、そんなことを感じました。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/09/15(Wed) 18:39  No.9906 
こんにちは。

Web掲示板で Dirac's famous "0 =1" paradox の紹介がありました。私には初めてで面白く思いました。
http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=426509&page=2
ヒルベルト空間などこのスレッドの方が興味をもたれる内容かと存じ紹介する次第です。

=甘泉法師=


  投稿者:kafuka - 2010/09/19(Sun) 15:25  No.9927 
Hirotaさん

すいません。コメント削除されたのですね。もたもたしていました。
スティルチェス積分について、
http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/probability/i_06-02-03.html
を読んで、意味はわかったつもりです。
∫f(x)dg(x) において、
g(x)が微分可能と仮定すれば、  dg(x)=g'(x)dx  なので、
∫f(x)dg(x)=∫f(x)g’(x) dx
部分積分が使える!!

それはおいて、
> (ξ(a))Ψ = f は x≦a で f(x)=Ψ(x), x>a で f(x)=0 より、
dξ(a)を、離散の場合の|x><x|dx に対応するものとすると、
dξ(a)=Hev(x, a)|x><x|dx    Hev(a)は xがa以下で1となるヘビサイド関数
でよいと思います。
それで、
∫|Ψ>dξ(a)=∫|Ψ>Hev(x, a)|x><x|dx
=∫Hev(x, a)<x|Ψ>|x>dx
ここで、<x|Ψ>は一般には定義されないが、Hev(x, a)が掛かっているので、
x≦a までは、<x|Ψ>となり、これは、(x≦aで定義される)ある関数f(x)で表現できる
したがって、
∫|Ψ>dξ(a)=Lim a→∞∫Hev(x, a)f(x)|x>dx=|Ψ>
∴ ∫dξ(a)=1 と書ける

ように思うのですが、、、

  投稿者:hirota - 2010/09/22(Wed) 10:36  No.9937 
ヘビサイド関数で書くのなら、
ξ(a)f(x)=Hev(a)(x)f(x)
でしょう。

dξ(a)は
dξ(a)=ξ(a+da)−ξ(a)
ですから、a〜a+da間で1, その外で0 の柱関数。
(dξ(a))f(x)=(d Hev(a))(x)f(x)
d Hev(a)=Hev(a+da)−Hev(a)
その積分は
∫dξ(a)=(各区間a〜a+daで1, その外で0) の和=(全範囲で1)=1

|x><x|Ψ>dx=|x>Ψ(x)dx はデルタ関数にΨ(x)dxを掛けた物、(dξ(a))Ψ(x) は柱関数にΨ(x)を掛けた物、δ(x−a)dx を柱関数と思うかどうかですね。
ヘビサイド関数の微分をデルタ関数と思うなら問題ないでしょう。

  投稿者:kafuka - 2010/09/23(Thu) 19:36  No.9939 
Hirotaさん
> ξ(a)f(x)=Hev(a)(x)f(x)
復習すると、
X を位置演算子とし、Ψ(x)を位置表示の波動関数(規格化せず)とすれば
XΨ(x)=xΨ(x)
これは x≦a で f(x)=Ψ(x), x>a で Hev(a)f(x)=0 となりました。

δ(x−a)は 柱関数ではありませんが、
δ(x−a)dx は、柱関数となるわけですね。

>ヘビサイド関数の微分をデルタ関数と思うなら問題ない
大甘の採点、ありがとうございます。

で、次は、この場合(連続固有値の場合の)Ψ(x)とΨ(p)の関係が
<k|x>=exp(-ikx)
つまり、フーリエ変換になるか、考えてみます。

  投稿者:kafuka - 2010/09/28(Tue) 09:45  No.9946 
>甘泉法師さん No.9906

Resが遅れてすみません。
http://www.physicsforums.com/showthread.php?t=426509&page=2
見ました。
例えば、pψ1=P1ψ1、 pψ2=P2ψ2 という固有関数ψ1(x), ψ2(x)において、
∫dxψ2*[p,x]ψ1 = ∫dxψ2*(px-xp)ψ1=∫dx(ψ2*pxψ1−ψ2*xP0ψ1)
=∫dx(ψ2*ψ1px+ψ2*xP1ψ1−ψ2*xP1ψ1)
=-ih'∫ψ2*ψ1=-ih'δ(P1−P2)
≠0
ですが、これは、[p,x]を単純に -ih' と置いたものと何ら変わりません。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/09/28(Tue) 22:22  No.9947 
こんにちは。 コメントありがとうございます。 わたしも試してみました。

<q'|[Q,P]|q> = <q'|(ih’)|q>=ih’δ(q’ −q)。 
一方
<q’|[Q,P]|q> = <q’|QP|q> − <q’|PQ|q> = (q’−q) <q’|P|q>
運動量空間の座標固有関数を使って式をたて、微分と積分の順をいれかえる工夫で
= −ih’(q’ −q)δ’(q’ −q)。

この両者が等しいことは公式 xδ(x)=0 を微分した式 δ(x)+ xδ’(x)=0 からわかる。 

超関数の荒っぽい計算はあるもののパラドックスではないようです。

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2010/09/29(Wed) 22:46  No.9949 
甘泉法師さん

先のリンクの内容は、Hを固有値E と無批判に置いたためのパラドックスだと思います。
つまり 交換しなくても固有値に置き換えてしまえるのであれば、何でもAB-BAは 0 でしょう。
この場合、Hの固有値がEでも、xHやHxに対しては、Eという値は、意味を持たない
と僕は思います。

尚、このパラドックス?とは、関係ありませんが、
正準交換関係の値は、ih'か 0 なので、正準交換関係を、何かで挟むなんて、
数学のお遊びに過ぎない と思われる方もあるかも知れませんが、
例えば、
ih'd/dt |ψ> = H |ψ>
-ih'd/dt <ψ| = <ψ| H
より、物理量Aについて、
d/dt<ψ|A|ψ> = 1/ih'<ψ| [H, A] |ψ>
が出てきます。
この左辺は、Aの期待値の時間変化であり、[H, A]=0 であれば、
Aという物理量は、保存量であることが言えます。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/10/01(Fri) 08:07  No.9951 
こんにちは。

>この場合、Hの固有値がEでも、xHやHxに対しては、Eという値は、意味を持たない
>と僕は思います。

ケットへのはたらきを考えて<e'|xH|e>=e<e'|x|e> ですし、ブラへのはたらきを考えて<e'|Hx|e>=e'<e'|x|e>ですね。

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2010/10/01(Fri) 09:55  No.9952 
うーん。
|e> =|e’> なら一致しそうですが、、、
xもHも演算子だから、
「ケットへのはたらきを考えて<e|H(x|e>) 」≠「ブラへのはたらきを考えて (<e|x)H|e> 」
で、甘泉法師さんの結果と矛盾します。
したがって、xHやHxを1つの演算子と考えないといけない と思います。
|ψ>をHの固有状態とすると、これは、xHやHxの固有状態には成り得ないので、
矛盾はなくなります。

尚、物理量Aについて、
d/dt<ψ|A|ψ> = 1/ih'<ψ| [H, A] |ψ>
なので、 (仲滋文「新版シュレーディンガ方程式」p42)
Aをxとすると、
1/ih'<ψ|(Hx−xH)|ψ>=d/dt<ψ|x|ψ>
≠0
です。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/10/01(Fri) 11:53  No.9953 
こんにちは。

>うーん。
>|e> =|e’> なら一致しそうですが、、、

一致しますね。差をとれば0になります。だからパラドックスめいていますね。

超関数の意味で、つまりふつうの関数にかけ積分すれば同じ結果をあたえるという意味で δ(x)= −xδ’(x)。
x=0で左辺は無限大、右辺は0の値をとりくいちがいますが、積分には影響しません。

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2010/10/01(Fri) 21:51  No.9955 
甘泉法師さん
ありがとうございました。

まとめますと、この場合(Hの固有状態の場合、H演算子が、固有値という数に一致します)
交換関係だけを取り出すと、
<ψ|(Hx−xH)|ψ>=<ψ|(0)|ψ>
に思えますが、そうしたのではダメで、<ψ|Hx|ψ>−<ψ|xH|ψ> として計算して、
=Limx→0 -ih’xδ'(x)=ih’δ(0)
結局、
=ih’<ψ|ψ>=<ψ|(ih')|ψ>

ということですね。
演算子が、固有値という数に一致する場合でも、数や関数とは違って、
独立して扱かってはいけない ことが、よくわかりました。
(あっ、Hxだから、hの次元じゃないですね^^;

  投稿者:甘泉法師 - 2010/10/01(Fri) 23:53  No.9956 
こんにちは。

>正準交換関係だけを取り出すと、

Hとxは正準交換関係にありませんね。
わたしが−xδ’(x)を導出したのは正準交換関係にあるPとQについての交換子[P,Q]での <p|[P,Q]|p>でしたが ...

><ψ|(Hx−xH)|ψ>=<ψ|(0)|ψ>
>に思えますが、そうしたのではダメで、

いえいえ <e|Hx|e>−<e|xH|e>=e( <e|x|e> - <e|x|e> ) = 0 でイイです。
ですから

>尚、物理量Aについて、
>d/dt<ψ|A|ψ> = 1/ih'<ψ| [H, A] |ψ>
>なので、 (仲滋文「新版シュレーディンガ方程式」p42)

に従ってAがxであれ何であれエネルギー固有状態|e>については
d/dt<e|A|e> = 1/ih'<e| [H, A] |e> = 0 つまり定常ですね。

|ψ>がエネルギー固有状態でないなら
d/dt<ψ|A|ψ> = 1/ih'<ψ| [H, A] |ψ>=1/ih'{ <Φ|A |ψ> −<ψ|A |Φ> } = 2/h' Im <Φ|A |ψ> ここで |Φ>=H|ψ>。
と定常になりません。|ψ>がエネルギー固有状態なら<Φ|A |ψ>は実数ですから右辺が0になることがみてとれます。 

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2010/10/02(Sat) 08:59  No.9957 
No9955で 正準交換関係と書いたのは、交換関係というつもりの単なる間違いです。
つまり、Hとxは 交換しない と言いたかったわけです(どんな場合でも)

甘泉法師さん
>><ψ|(Hx−xH)|ψ>=<ψ|(0)|ψ>
>>に思えますが、そうしたのではダメで、
>いえいえ <e|Hx|e>−<e|xH|e>=e( <e|x|e> - <e|x|e> ) = 0 でイイです。
論点を明確にするため、pとx に置き換えます。
|ψ>が、pの固有状態なら、p|ψ>= e|ψ> とすると、
「<e|px|e>−<e|xp|e>=e( <e|x|e> - <e|x|e> ) = 0 でイイ」という意味にとれますが、いいでしょうか?
(僕の勘違いかも知れませんが、、、)
であれば、
この場合(=pの固有状態)では、px−xp=0 ということになるので
ΔpΔx=0 になります(新版量子論の基礎p82、83の計算)
これは おかしいと思います(固有状態では不確定性原理を破る!?)

  投稿者:甘泉法師 - 2010/10/02(Sat) 09:32  No.9958 
こんにちは

再掲
>Re: 不確定性原理の話とか、諸々 甘泉法師 - 2010/09/28(Tue) 22:22 No.9947
<q'|[Q,P]|q> = <q'|(ih’)|q>=ih’δ(q’ −q) 
<q’|[Q,P]|q> = −ih’(q’ −q)δ’(q’ −q)

q’ −q = 0 なら上の式からは∞、下の式からは0になります。 くいちがっても超関数としての働きは同じです。

>この場合(=pの固有状態)は、px−xp=0 なので
>ΔpΔx=0 になります(新版量子論の基礎p82、83の計算)
>これは おかしいと思います(固有状態では不確定性原理を破る!?)

超関数の意味で同じということは、q表示したふつうの状態について<ψ|[Q,P]|ψ>はひととおりということで問題が起きません。ふつうの状態は連続的なスペクトルをとるので。
どんぴしゃ基底|q>のみの状態についてはパラドックスめいていますが、物理には影響しないと思っています。

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2010/10/02(Sat) 10:51  No.9959 
>q表示したふつうの状態について<ψ|[Q,P]|ψ>はひととおりということで問題が起きません
<ψ|ih'|ψ> ですね。これは了解です。

で、超関数の意味で一通りなのは、わかりますが、

>どんぴしゃ基底|q>のみの状態については、、、
「上の式からは∞、下の式からは0」だから
二通りだが、これは普通の状態ではないので、現実的には問題ないってことでしょうか?
話を、Hとxに戻して、
例えば、調和振動子で「どんぴしゃHの固有状態」も、Hx−xHは、二通りって 
ことになるのでは ありませんか?

<x|x> は、ヒルベルト空間の元でないので、いいような気もしますが、
なんか、腑に落ちません。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/10/02(Sat) 16:12  No.9961 
こんにちは。

>二通りだが、これは普通の状態ではないので、現実的には問題ないってことでしょうか?

そうですね。

>話を、Hとxに戻して、
>例えば、調和振動子で「どんぴしゃHの固有状態」も、Hx−xHは、二通りって 
>ことになるのでは ありませんか?

再掲
1. Hとxは正準交換関係にありませんね。
わたしが−xδ’(x)を導出したのは正準交換関係にあるPとQについての交換子[P,Q]での <p|[P,Q]|p>でしたが ...
2. いえいえ <e|Hx|e>−<e|xH|e>=e( <e|x|e> - <e|x|e> ) = 0 でイイです。

どういう値の二通りですか? 調和振動子のエネルギー固有状態での速さの期待値は0で自然ですね。なおエネルギー固有値が連続でなく離散なのはご承知のとおりです。

>なんか、腑に落ちません。

腑に落ちませんか...では別の角度から見てみましょう。

座標の固有状態はΔx=0 Δp=無限大であるが、不確定関係Δx・Δp>h’/2を満たしているのだろうか。

運動量の固有状態はΔp=0 Δx=無限大であるが、不確定関係Δx・Δp>h’/2を満たしているのだろうか。

悪のりのおまけ エネルギーの固有状態はΔE=0 ΔT=無限大である!?が、不確定関係ΔE・ΔT>h’/2を満たしているのだろうか。

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2010/10/02(Sat) 19:42  No.9962 
>別の角度から見てみましょう
いや そういう意味じゃなく、、、

>Hとxは正準交換関係にありません
うーん。どういう意味で言われているのか、よくわからないのですが、
Hとxは、交換しないですよ。http://homepage3.nifty.com/iromono/kougi/qm/qm2_4.html より、
[x H]=[x  p^2/2m]
=ih'/m p    (釈迦に説法とは思いますが)

だから、<e|[H x]|e> の値は、
<e|Hx|e>−<e|xH|e>=e( <e|x|e> - <e|x|e> ) = <e|0|e>
と <e|(-ih'/m p)|e>
の二通りって言う意味です。

それから、仲滋文「新版シュレーディンガ方程式」p42の
d/dt<ψ|A|ψ> = 1/ih'<ψ| [H, A] |ψ>
という意味は、 [H, A]=0なら 物理量Aが保存量になる
と書いてあります。
もし、[H, x]=0なら「位置xが保存量」ということになってしまいます。

尚、僕は、
<e|0|e> としたのではダメで、<ψ|Hx|ψ>−<ψ|xH|ψ> として計算して、
=<ψ|(-ih'/m p)|ψ> において、|ψ>=|e> と置いた「一通りの値」
と思っています。

余談ですが、
トンネル効果を説明した本で、「これこれの場所ではエネルギーは何々」って書いてある本がありますが、
xとHやp^2/2m は、交換しないので、そういう書き方は、間違いだと思います。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/10/02(Sat) 22:20  No.9963 
こんにちは。

><e|Hx|e>−<e|xH|e>=e( <e|x|e> - <e|x|e> ) = <e|0|e>
>と <e|(-ih'/m p)|e>
>の二通りって言う意味です。

調和振動子の場合でしたね。
<e|x|e>が発散すれば<e|x|e> - <e|x|e> = ∞ - ∞ で微妙ですが、束縛状態なら<e|x|e>が有限なので0。
<e|(-ih'/m p)|e> も0。 
一致は明らかですね。

再掲:
調和振動子のエネルギー固有状態での速さの期待値は0で自然ですね。

調和振動子でなくても0で一致しませんか。

=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2010/10/02(Sat) 22:28  No.9964 
こんにちは。

>d/dt<ψ|A|ψ> = 1/ih'<ψ| [H, A] |ψ>
>という意味は、 [H, A]=0なら 物理量Aが保存量になる
>と書いてあります。
>もし、[H, x]=0なら「位置xが保存量」ということになってしまいます。

[H, A]=0 とは 演算子間の関係でブラやケットは関係ありませんよね。

『<e|[H, x]|e>=0を満たすケット|e>が存在する』 は [H, x]=0 の必要条件ですが十分条件ではないように思います。

=甘泉法師=


  投稿者:kafuka - 2010/10/03(Sun) 15:43  No.9966 
> 一致は明らかですね。
了解です。
お手数をおかけしました。

調和振動子以外でも、一致するように思います。
つまり、
Hの固有関数をψ(x) とすると、
<e|(-ih'/m p)|e>=∫dx ψ*(x)(-ih'/m p)ψ(x)
において、ψ(x)が、偶関数の場合、それを -ih'/m p すれば奇関数
それに、ψ*(x)を掛けても、奇関数、積分すれば、0 です
奇関数の場合、-ih'/m p すれば、偶関数。
それに、ψ*(x)を掛ければ、奇関数、積分すれば、0 です

もちろん、
<e'|xH|e>=e<e'|x|e>
<e'|Hx|e>=e'<e'|x|e>
なので、<e'|Hx|e> − <e'|xH|e>=e'<e'|x|e> − e<e'|x|e>=<e'|(e'-e)x|e>
ですから、一般には (e'-e)xの部分したがって[H x]は、0にはなりません。
例えば、
=(e'-e)∫dx ψ2*(x)xψ1(x)
と書くと、ψ1、ψ2が奇関数と偶関数の組み合わせなら、積分結果は0でないので、
[H x]に相当する部分が0ではおかしいです。

ところで、
|e>と|e'>が Hの固有状態の場合、(e'-e)x=[H x] と認めた後で、恐縮ですが、、、
<e'|[H x]|e>は、<e'|(e'-e)x|e> とおっしゃられていますが、
これが、|ψ>がHの固有状態の場合の、<ψ'|(-ih'/m p)|ψ> に一致するか疑問です。

一致するのなら、
∫dx ψ2*(e'-e)xψ1=∫dx ψ2*(-h'2/m d/dx)ψ1
のはずです。
両辺でψ2が同じですから、∫dx (e'-e)xψ1=∫dx -h'2/m d/dxψ1 と思います。
これは、Hの固有状態では、一般には成り立たないと思います。
上記を解けば、ψ1=C0exp(-C1x^2/2) となるように思います。
もし、そうなら、
ψ1が、ガウシアンの場合にしか成り立ちませんから、
調和振動子で言えば、基底状態以外の固有状態の間では、成り立たないと思います。
したがって、
<e'|[H x]|e>には、一見、<e'|(e'-e)x|e>と <e'|(-ih'/m p)|e> の
二通りある場合がある ように見える。
しつこくて すみません ^^;

あっ、e'は、|e>とは、独立した値ですね。
すいません、考え直します。
-h'2/m d/dx は、ψ1だけに掛かる演算子だから、
(e'-e)x と対比させるのは、無理があると思います。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/10/03(Sun) 16:44  No.9967 
こんにちは。

>一致するのなら、
>∫dx ψ2*(e'-e)xψ1=∫dx ψ2*(-h'2/m d/dx)ψ1
>のはずです。
>両辺でψ1、ψ2が同じですから、(e'-e)xψ1=-h'2/m d/dxψ1 と思います。

わたしも式を書いてみます。 <e'| { (e'-e)x + h'^2/m d/dx }|e> = 0 (*)ですね。

>これは、一般のHの固有状態では成り立たないと思います。

 上の式の h'^2/m d/dx の項は

kafukaさん - 2010/10/02(Sat) 19:42 No.9962
[x H]=[x  p^2/2m]
=ih'/m p    

 からでてきたのでした。 だから「一般のH」とはいってもこの交換関係は満たさないと。


>上記を解けば、ψ1=C0exp(-C1x^2/2) となり、
>ψ1が、ガウシアンの場合にしか成り立ちませんから。

 お考えの式 { (e'-e)x + h'^2/m d/dx }|e> = 0 は(*)の十分条件ですが必要条件ではありませんね。強すぎます。パラメータe’の値はどうやってきめていますか。

>調和振動子で言えば、基底状態と他のHの固有状態の間では、成り立ちますが、
>それ以外の間では、
><e'|(-ih'/m p)|e>=<e'|(e'-e)x|e>
>は、成り立たないと思います。

{|e>,|e'>,... }は基底状態と第一、第二、...励起状態です。 励起状態間でも成り立つと思いますが...「それ以外の間」とは?  

=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2010/10/03(Sun) 19:08  No.9968 
こんにちは。

> <e|x|e>が発散すれば<e|x|e> - <e|x|e> = ∞ - ∞ で微妙ですが、束縛状態なら<e|x|e>が有限なので0。

蛇足です。
運動量固有状態|p>は、自由空間にある粒子のハミルトニアン(Hとする)の固有状態でもあるので

kafuka さん- 2010/10/02(Sat) 19:42 No.9962
[x H]=[x  p^2/2m]
=ih'/m p    

によって
<p|ih'/m P |p>=ih'/m p
<p|[x H] |p>=p^2/2m { <p|x|p> − <p|x|p> }= 0。 <p|x|p>はご存知のとおりいくらともいえるので?ですがとにかくpと一致しません。
前にした議論と同じく PがそしてEも連続スペクトルをとるので一致しなくても物理に問題はないと思います。
自由空間に限らず連続スペクトルをとる非束縛の、よって無限遠でも0に減衰しないエネルギー固有状態についても同じと存じます。

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2010/10/04(Mon) 11:16  No.9969 
|ψ1>、|ψ2> が Hの固有状態の時、
<ψ2|(e'-e)x|ψ1>=<ψ2|(-h'2/m d/dx)|ψ1>
かどうかは、もう少し考えさせて下さい。
(束縛状態なら<e|x|e>が有限なので0 は 了解です)

これも蛇足ですが、[ H p] = [p^2/2m  p]+[U(x) p]=−pU(x)
= ih'U'(x) という関数 
と思います。

ということは、Hの固有状態|e>の場合、
<e|[H p]|e>=e<e|p|e> − e<e|p|e>= 0
あるいは、
<e|[H p]|e>=ih'U'(x)
ということになり、
やはり、<e|Hp|e>−<e|pH|e> を、
e<e|p|e> − e<e|p|e> とするのは、マズイように思います。

それから、
<p|ih'/m P |p>=∫dx Aexp(ikx) ih'/m d/dx Aexp(-ikx)
=∞
と思いますが、、、

  投稿者:甘泉法師 - 2010/10/04(Mon) 12:49  No.9970 
こんにちは。

>これも蛇足ですが、[ H p] = [p^2/2m  p]+[U(x) p]=pU(x) という関数

 H=p^2/2m+U(x) とすると
 [ H, p] = [p^2/2m,  p]+[U(x), p]=U(x)p-pU(x) ですね。

>それから、
><p|ih'/m P |p>=∫dx Aexp(ikx) ih'/m d/dx Aexp(-ikx)
>=∞
>と思いますが、、、

そうでした! 訂正

甘泉法師 - 2010/10/03(Sun) 19:08 No.9968
<p|ih'/m P |p>=ih'/m pδ(0)
<p|[x H] |p>=p^2/2m { <p|x|p> − <p|x|p> }= 0?  
 両者の一致はみてとれません。

ありがとうございます。

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2010/10/04(Mon) 22:04  No.9971 
>H=p^2/2m+U(x) とすると
> [ H, p] = [p^2/2m,  p]+[U(x), p]=U(x)p-pU(x) ですね。
f(x)を 微分可能な関数とし、pを -ih'∂/∂x として、
上記をf(x)に掛けると、
{U(x)p-pU(x)}f(x)=U(x)pf(x)-pU(x)f(x)
=U(x)pf(x)-{f(x)pU(x)+U(x)pf(x)}=-f(x)pU(x)
∴ [ H, p]=−pU(x) という関数

これで合っていると思うのですが、、、

  投稿者:甘泉法師 - 2010/10/05(Tue) 08:01  No.9973 
こんにちは。

>{U(x)p-pU(x)}f(x)=U(x)pf(x)-pU(x)f(x)
>=U(x)pf(x)-{f(x)pU(x)+U(x)pf(x)}=-f(x)pU(x)
>∴ [ H, p]=−pU(x) という関数

{U(x)p-pU(x)}f(x)=U(x)pf(x)-pU(x)f(x)
=-ih'(U(x)f'(x) - U'(x)f(x)- U(x)f'(x)}= ih'U'(x)f(x)
∴ [ H, p]= ih'U'(x) という関数 
演算子として −pU(x) ≠ ih'U'(x) ですね。

=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2010/10/05(Tue) 08:11  No.9974 
こんにちは。

>kafukaさん - 2010/10/04(Mon) 11:16 No.9969
ということは、Hの固有状態|e>の場合、
<e|[H p]|e>=e<e|p|e> − e<e|p|e>= 0
あるいは、
<e|[H p]|e>=ih'U'(x)
ということになり、

ih'U'(x)はブラとケットではさんで積分するのであって、外には出せません。
<e|[H p]|e>=ih'<e|U'(x)|e> = 0、つまり外力の期待値が0、
で両計算が一致します。

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2010/10/06(Wed) 12:08  No.9977 
甘泉法師さん
>ih'U'(x)はブラとケットではさんで積分するのであって、外には出せません。
 そうですね。おっきな勘違いでした。
 お手数かけてすみません。


  投稿者:甘泉法師 - 2010/10/06(Wed) 22:39  No.9978 
こんにちは。

ref.
>ih'U'(x)はブラとケットではさんで積分するのであって、外には出せません。

1.
H = P^2/2m + U(x) のPもUも演算子ですが、固有値p、u(x)とブラ・ケットをつかってあらわすことができて

P = ∫|p>p<p|dp 

 P^2/2m = ∫ |p>p^2 /2m<p|dp

U = ∫|x>u(x)<x|dx

 U’(x) = ∫|x>u'(x)<x|dx

2.
したがって <e|ih' U’(x)|e> = ih'∫<e|x>u'(x)<x|e>dx
= ih'∫ψ(x)* u'(x)ψ(x)dx  ここで  ψ(x)= <x|e> はエネルギー固有状態の波動関数。


くどくてすみません。

=甘泉法師=