EMANの物理学 過去ログ No.9820 〜

 ● 対称性を考慮する

  投稿者:冷蔵庫 - 2010/09/03(Fri) 00:35  No.9820 
>EMANさん、

こんにちは。冷蔵庫です。更新ご苦労様です。
今回更新分の、
http://homepage2.nifty.com/eman/elementary/em_field2.html
に関して、気付いたことを指摘させてください。

2つのラグランジアンが異なる形をしている、といったことを仰っていますけれど、
部分積分を2回行えば同じじゃないですか?(表面積分を無視すれば)
「ラグランジアン密度が全微分項を除いて一致する」とも言えますね。

  投稿者:EMAN - 2010/09/03(Fri) 01:44  No.9823 
 ご指摘ありがとうございます。

 これと同じご指摘を、Twitterの方でも早速いただきました。
(みんなすごいね。 こんなことすぐに気付けるなんて。)
 そのときは自分でもすぐ確かめられると思ったのですが、
恥ずかしながら、どう変形したらいいか手がつけられない状況でいます。

 それと、これは数学的に同じ式と言ってもいいのか、
物理的な考察を援用することで同じ式になるということになるのか・・・。

 変分原理は数学的に組み立てられてるとは言っても、
物理的なイメージを入れて論じてますから、
どちらのラグランジアン密度を使っても同値だと言えるのか、
その辺のことで疑問が渦巻いておるところです。

  投稿者:サンマヤ - 2010/09/04(Sat) 17:58  No.9835 
更新お疲れ様です。

ここまで手で計算するの、すごいですね・・・

> それと、これは数学的に同じ式と言ってもいいのか、
>物理的な考察を援用することで同じ式になるということになるのか・・・。
部分積分を行って表面積分無視、はよくでてきますが、
これは無限遠で物理量が0になる(あるいは変分しない)という境界条件を設定しているわけですから、
物理的に同じなんだと思いますが。

一つの運動方程式を与えるラグランジアン密度は無数にあって、
その中から物理的な考察と見通しのよさから適切なものを選んでいるんだと思います。
この辺の選定条件については坂井典祐「場の量子論」(裳華房フィジクスライブラリー)のp.7あたりを参照されるといいかと思います。

電磁場のラグランジアンをどう書くかっていうのは、
古典論ではゲージ不変な $f^{\mu \nu}$ (つまりは電場と磁場)でも、
ボーム・アハラノフ効果とか考えると量子論では $A^{\mu}$ なんじゃないのか?と思ったりするわけですが、
ゲージ不変な形で書いておいた方が計算が楽( $f^{\mu \nu}$ の反対称性も含めて)なので、
最初はゲージ不変な形式から始めているのかなと思います。
この辺は柏太郎「演習 場の量子論」(サイエンス社)を読んだ感想ですが。