EMANの物理学 過去ログ No.9627 〜

 ● パウリの排他律

  投稿者:Kasa - 2010/06/20(Sun) 16:45  No.9627 
はじめまして.化学科の3回生のKasaというものです.
高校時代は,生物を選択しており,大学の化学科に入学し,物理に打ちのめされ,途方に暮れていたときに,このサイトの力学の説明に助けられ,それ以来ずっと拝見させていただいております.今では,物理が得意とはとても言えませんが,好きと言えるようにはなりました.

今回,投稿させていただいたのは,ASAさんがNo.9622で,パウリの排他律は原理であり,導きだすものではないと書かれていたのを見たことです.

ネルソン流や,確率力学というものを知りすらしなかったので,流れを切るのも申し訳ないと思い,新しくスレをたてさせていただきました.
僕自身は,フェルミ粒子の性質,つまり,多粒子系において,
<tex>\psi\left(q_{1},q_{2},\cdots,q_{i},\cdots,q_{j},\cdots\right)=-\psi\left(q_{1},q_{2},\cdots,q_{j},\cdots,q_{i},\cdots\right)</tex>
(qは粒子を位置と状態を指定する変数)
のように,<tex>q_i</tex><tex>q_j</tex>をとりかえることで状態関数の符号が反転するという性質から,理論的に「フェルミ粒子は同一の状態に1個しか存在しえない」ということを導けたという風に理解していました.

これでは,まずいのでしょうか...

ASAさんの発言を見て,自分なりに考えてみたのですが,そもそもフェルミ粒子はパウリの排他律を満たすように考えられたものなのかなぁ...くらいしか思いつきませんでした.

僕はこの部分を図書館にあった砂川重信『量子力学』(岩波書店)を読んで学んだので,今手元にありません...だから,見当違いなことを書いているのかもしれません.
明日大学に行ったときに調べてみようと思います.

  投稿者:凡人 - 2010/06/20(Sun) 18:21  No.9628 
Kasaさん
>これでは,まずいのでしょうか...
http://www.metro-u.ac.jp/~suzukitr/qmb3.pdfを読む限り、まずくないと思いますよ。多分。

>明日大学に行ったときに調べてみようと思います.
すみませんが、宜しくお願いします。
<<追伸>>
一応言わせて頂きたいのですが、不確定性関係は↓の様に導出出来ますよね。
http://homepage2.nifty.com/eman/quantum/uncertainty.html

  投稿者:T_NAKA - 2010/06/21(Mon) 00:16  No.9632  <Home>
>Kasa さん

反対称波動関数の場合、任意の同種粒子の状態が等しいと、スレーター行列式二つの行が等しくなるので、波動関数がゼロになります。
したがって、この場合ひとつの量子状態を、二個以上の同種粒子が占めることができないことになり、これがパウリの排他原理となるというストーリーは分かります。

さて、この場合

フェルミ粒子 ⇒ 反対称波動関数
ボーズ粒子 ⇒ 対称波動関数

というのは、天下り的に言われていることで、その根拠は何処にあるのでしょう?

フェルミ粒子の(実験から求められた)性質から、「パウリの排他原理」が提唱され、それに合うように「フェルミ粒子 ⇒ 反対称波動関数」としたという展開があるかも知れません。もし、お調べいただけるなら、そこを明確にして下さるとありがたいです。
(強要しているんじゃないので、無視していただいても構いませんが。。)

  投稿者:Kasa - 2010/06/21(Mon) 00:19  No.9633 
凡人さん

ご返事ありがとうございます.

リンク先のpdfはまだちゃんと読めてません.また,そういうレベルですので,自分の今までの理解に自信があまりありません.

化学では,パウリの排他律というのは,ほとんど無意識に当たり前のものとして用いるもので,授業でちゃんと学んだことがありません.しっかり勉強して理解したいと思います.


  投稿者:Kasa - 2010/06/21(Mon) 00:49  No.9635 
>T_NAKAさん

ご返事ありがとうございます.

>フェルミ粒子 ⇒ 反対称波動関数
>ボーズ粒子 ⇒ 対称波動関数

>というのは、天下り的に言われていることで、その根拠は何処にあるのでしょう?

すいません.僕は実験的に導かれたものだと思っており,深く考えていませんでした.あ,このように言うと,「そもそもフェルミ粒子はパウリの排他律を満たすように考えられたものなのかなぁ」という僕の発言と合いませんね...

もっとフェルミ粒子やボーズ粒子について学習する必要がありますね.

>フェルミ粒子の(実験から求められた)性質から、「パウリの排他原理」が提唱され、それに合うように「フェルミ粒子 ⇒ 反対称波動関数」としたという展開があるかも知れません。

パウリの排他律を成り立たせるためだけにフェルミ粒子のようなものを仮想的に考えたのではなく,そういう流れも考えられるわけですね.
僕は,量子力学の歴史をほとんど知らないので,この機会に勉強してみようかと思います.論文などに当たれるような能力がまだまだないので,教科書等で調べられる範囲で頑張ってみます.


方向性を示してくださり,ありがとうございます.

(追記)
本来の疑問から少しずれてしまいました.
排他律が導き出せるかどうかは,フェルミ粒子が反対称関数であるという根拠が何かを求めるということになるわけですね.

  投稿者:サンマヤ - 2010/06/21(Mon) 02:50  No.9636 
フェルミ粒子(スピン1/2)が、粒子の交換について符号が逆になることは、
中性子などの同種粒子どうしの散乱実験から分かります。
(ファインマン物理学V量子力学 第3章参照)
なので排他律に合わせてそうしているわけではないですね。
(歴史的にどういう順番で出てきたのかは別だと思いますが)

ただ、なぜ交換によって符号が逆転するかは、場の量子論・標準理論といったレベルで、
粒子の従う対称性から説明できるみたいですが、そこまで説明するちからは残念ながら私にはありません。

スピンを電子のもつ磁性から考えるのは表面的な捉え方で、
本質は粒子のもつ自由度としての性質にあり、
それの従う対称性と電磁場の従う対称性の相互作用の結果、磁場に反応するという理解をしています。
(その辺のことはEMANさんの相対論的量子力学の項目を参照してください。EMANさんの理解と自分の理解はちょっと違うように思いますが、計算部分は分かります)

  投稿者:TOSHI - 2010/06/21(Mon) 04:33  No.9638 
 ども。。T_NAKAさん。。知っててたずねておられると思いますが。。

 私宛ではないですが。。
 
 対称か反対称かで統計がボーズかフェルミになるので,粒子がどの統計(ボーズ,orフェルミ)に従うかから,フェルミ統計にしたがうなら反対称なのでパウリの原理が出てくると思います。

 それと,微視的因果律の要請,場の双一次形式が空間的に離れた2事象では交換する(無関係)という要請から,場そのものについて考えられるのは交換するか反交換するかです。

 本当は微視的因果律だけからは他の可能性:パラ・ボーズやパラ・フェルミも許されるけれど交換するか反交換するかの2種類でうまくいってるし。。

 真空期待値でつくった伝播関数(propagator:T積)と同時刻ではない一般の交換関係,反交換関係の真空期待値を比較して矛盾あるかをしらべると例えばDirac eqにしたがう電子ならフェルミ統計にしたがうべきとなります。

 電子場は反交換であることが必要→パウリの排他原理に従うといった図式でしょう。本題は理論から排他原理が出てくるかですか。。

 いずれにしても理論があっても原理が先で後付けでしょう。確率過程からスタートしても跡付けできると思いますが。。。

 これも昔ブログに書いたけどまた宣伝になるから。。
         

                       TOSHI

  投稿者:T_NAKA - 2010/06/21(Mon) 22:13  No.9645  <Home>
http://www.metro-u.ac.jp/~suzukitr/qmb3.pdfの「III.1.2 同種粒子の系の取り扱い」に書いてありますよ。多分。

このpdfの4/28(101ページ)の(1.14)式の注釈に

 +:ボーズ粒子 −:フェルミ粒子

と書いてあり、続く文言に

 「すなわち、同一のボーズ粒子系の波動関数は完全対称、同一のフェルミ粒子系では完全反対称である。」

と書いてありますが、この根拠は書いてないように思われる。
こういうのを天下りと言っているんだが、理解して貰えないようですね。

  投稿者:T_NAKA - 2010/06/21(Mon) 23:02  No.9647  <Home>
>私は、このpdfの4/28(101ページ)の(1.11)式から(1.14)式の部分を読んで、多粒子系のシュレディんガー方程式の反対称性を導出出来たので、パウリ排他律を導出出来たと納得してしまったのですが、甘かったでしょうか?

何故「反対称性が導出出来た」という内容が書いてあると納得したのか?不明です。
反対称性も対称性のどちらも出てくるとしか書いてないです。だから、

 +:ボーズ粒子 −:フェルミ粒子

と両方のことが書いてある訳です。
(シュレディンガー方程式はフェルミ粒子だけの方程式ではありません。質量がゼロでなく、光速に比較してかなり遅い粒子であればボゾン粒子にも使えます。)
波動関数が反対称なら、パウリの排他律を説明できるということは、このページではなく 102 ページの<フェルミ粒子系の場合>と書いてあると思います。

なお、私は Kasa さんのために、書いているので、これ以上私に呼びかけるのは止めて下さい。

  投稿者:凡人 - 2010/06/21(Mon) 23:33  No.9648 
>波動関数が反対称なら、パウリの排他律を説明できるということは、このページではなく 102 ページの<フェルミ粒子系の場合>と書いてあると思います。
仰る意味が分かりました。
少なくとも、パウリがこの原理を打ち出した時点では、T_NAKAさんのNo.9632に於ける↓の主張が妥当するのではないかと思いました。
>フェルミ粒子の(実験から求められた)性質から、「パウリの排他原理」が提唱され、それに合うように「フェルミ粒子 ⇒ 反対称波動関数」としたという展開があるかも知れません。
真に申し訳ございませんでした。
それと、私のこの件に関する誤った全く役立たずのコメントは、論議の邪魔になるので、勝手ながら削除させていたただきました。

  投稿者:Kasa - 2010/06/22(Tue) 01:33  No.9650 
皆様

いろいろご教示いただきありがとうございます.帰宅後,掲示板を開いたときに,たくさん書き込みがあり,おどろきました.掲示板に投稿するのは初めてで,緊張していたので,本当に安心しました...

今日は,実験があったため,調べる余裕がなく,とりあえず僕が一番最初に勉強した砂川重信『量子力学』(岩波書店)のコピーだけとってきました.

まだ頭の中でうまく整理できておらず,皆様の意見を参考にさせていただきながら,ここにまとめてみようと思います.

1.フェルミ粒子のような反対称性の粒子を仮定すれば,パウリの排他律を導くことが出来る.

砂川重信『量子力学』によれば,「粒子数のいかんにかかわらず,それらのうち任意の2個の同種粒子のいれかえに対して,対称関数か反対称関数のどちらかで表される状態に限られると仮定する.(中略)現在までのすべての経験事実は,この仮定が正しいことを裏付けている」とあるので,実際にフェルミ粒子は存在し,そこからパウリの排他律を導ける.

この経験事実というのが,サンマヤさんがNo.9636で書かれている散乱実験のことなのだと思います.

2.パウリの排他律から,フェルミ粒子のような反対称性の粒子が存在することを導きだせる.

1.と合わせると,
「パウリの排他律の成立」⇔「フェルミ粒子の存在」
という関係にある.フェルミ粒子のことをよく知らないのに,同値とするのはいいかげんかもしれません.


もっとあると思ったのに,書いてみるとこれだけでした...


色々な分野に関係があるようで,僕の力不足のため,深入りできません.僕は,統計力学は授業が秋にあり,独習ではボルツマン分布の式に到達するのがやっとで,相対論に関してはまったく勉強したことがありません...


該当する文献を見つけたりしたわけではないのですが,皆様の書き込みを見ていると,歴史的には,T_NAKAさんがNo.9632で書かれているように,
実験事実⇒パウリの排他律⇒フェルミ粒子が反対称関数⇒実験的に合っている

そして,TOSHIさんがNo.9638で書かれているように,理論が後付けでついてきたのではないか...と(あくまでも勝手に)想像しています.


  投稿者:凡人 - 2010/06/22(Tue) 07:59  No.9654 
Kasaさん
>実験事実⇒パウリの排他律⇒フェルミ粒子が反対称関数⇒実験的に合っている
多体系のシュレーディンガー方程式が完全反対称性を有する粒子をフェルミ粒子、完全対称性を持つ粒子をボーズ粒子とそれぞれ定義し、フェルミ粒子はパウリ排他律に従う。
だから、パウリ排他律は、多体系のシュレーディンガー方程式の分析から導出出来る。
それでもって、スピン半整数の電子や核子は、フェルミ粒子である事が実験事実によって確認されている。←(一部誤りを訂正しました。)
という事ではいかがでしょうか?

  投稿者:hirota - 2010/06/22(Tue) 10:21  No.9656 
http://homepage2.nifty.com/eman/statistic/difference.html
にも書いてあるが、相対論から、整数スピンはボーズ粒子、半整数スピンはフェルミ粒子になるという証明を見た覚えがあるけど、どんな証明だったかな〜。
空間の次元が関係するから、2次元系でパラ統計が存在するのとは矛盾しないとか。
http://repository.kulib.kyoto-u.ac.jp/dspace/bitstream/2433/92958/1/KJ00004775535.pdf

  投稿者:TOSHI - 2010/06/22(Tue) 10:58  No.9657 

 どもおじゃま虫です。hirotaさんは前は結構私のブログ「TOSHIの宇宙」にコメントを頂いてたので読まれたかなと思いましたがこれにはコメントついてませんでした。

 一応,私なりにそのものズバリを書いたものがあります。

 もっとも種本は大貫義郎氏の「ポアンカレ群と波動方程式」(岩波)ですが,もっと源をたどればWignerでしょう。。

 ブログ記事は私なりに要約したので誤りがあるかもしれず,元本をさがして読んだほうがベターでしょうが。。。

 宣伝しておきます。

 2007年5/6に書いた記事「スピンと統計の関係(微視的因果律)」
http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2007/05/post_1698.html

 そのつづきの2007年5/7の記事「量子化された場と調和振動子」(パラ統計)
 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2007/05/post_041a.html です。

  投稿者:凡人 - 2010/06/22(Tue) 21:11  No.9662 
ASAさん
ASAさんのNo.9620に於ける↓の主張は誤っていた事は、No.9654を御覧になって御納得頂けましたでしょうか?
>あと、パウリの排他律は、原理なので導き出すものではありませんよ。

  投稿者:ASA - 2010/06/22(Tue) 22:05  No.9663 
凡人さんNo.9662
ハア?
 反対称波動関数がパウリ排他律を満たすことが確認できますが、このことはパウリ排他律を導き出したことになりませんよ。
 逆に パウリ排他律を原理的要請とすることで、多体電子系の状態として反対称状態が物理的な状態として存在することがいえます。

そもそも、No.9654で
>だから、パウリ排他律は、多体系のシューレディンガー方程式の分析から導出出来る。
NG、飛躍があります。
 パウリ排他律を導出するための、具体的な、多体系のシューレディンガー方程式の分析方法を説明してください。
 ただ安直に反対称状態を仮定するのはNGですよ。仮定には、相応の物理的根拠が必要ですから、その説明も必要となります。

wikiによれば、パウリ排他律、これはパウリ排他原理とも呼ばれる(Pauli exclusion principle)、原理としての扱いですね。

  投稿者:凡人 - 2010/06/22(Tue) 22:15  No.9664 
ASAさん
>パウリ排他律を導出するための、具体的な、多体系のシューレディンガー方程式の分析方法を説明してください。
>ただ安直に反対称状態を仮定するのはNGですよ。仮定には、相応の物理的根拠が必要ですから、その説明も必要となります。
http://www.metro-u.ac.jp/~suzukitr/qmb3.pdfの「III.1.2 同種粒子の系の取り扱い」の箇所に、多体系のシュレーディンガー方程式の完全対称性と完全反対称性について、数理的な根拠が数式で説明されていますが、この説明を理解出来なかったようですね。
それと、パウリ排他律は、フェルミ統計に従う量子についての法則を表現したものだと思いますから、電子がフェルミ統計に従うという事までは導出しなくても、パウリ排他律を導出した事になると思いますよ。

>wikiによれば、パウリ排他律、これはパウリ排他原理とも呼ばれる(Pauli exclusion principle)、原理としての扱いですね。
パウリの排他律がパウリの排他原理とも呼ばれるように、不確定性関係も不確定性原理とも呼ばれますが、不確定性関係もシュレーディンガー方程式から導出出来ますよね。

  投稿者:ASA - 2010/06/22(Tue) 22:32  No.9665 
>この説明を全く理解出来なかったようですね。
ほう、凡人さんは、きちんと理解なされたのですね。
(よく凡人さんにおいて見られるよな知ったかぶりでなく)
ならば、数理的でなく物理的な説明をお願いします。
(パウリ排他律は、数理的な法則や原理でないですよ)

たとえば、式(1.11)で各質量が質量mである、完全対称な粒子系は、どのよう実例があるのかもすぐに答えられるでしょう?

  投稿者:ASA - 2010/06/22(Tue) 22:35  No.9666 
>不確定性関係もシューレディンガー方程式から導出出来ますよね。
 説明お願いします。

  投稿者:凡人 - 2010/06/22(Tue) 22:41  No.9668 
ASAさん
>ならば、数理的でなく物理的な説明をお願いします。
済みませんが、要望が漠然とし過ぎていて、何をどう説明すれば良いのか分かりません。

>たとえば、式(1.11)で各質量が質量mである、完全対称な粒子系は、どのよう実例があるのかもすぐに答えられるでしょう?
ボーズ=アインシュタイン凝縮が有名な例でしょうね。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%9C%E3%83%BC%E3%82%B9%EF%BC%9D%E3%82%A2%E3%82%A4%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A5%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%B3%E5%87%9D%E7%B8%AE

>説明お願いします。
http://homepage2.nifty.com/eman/quantum/uncertainty.htmlの記事をご理解下さい。←(体裁を変えました。)
<<追伸>>
ASAさん
お願いですから、掲示板は修正機能を利用して、無駄使いしないようにして下さい。

  投稿者:ASA - 2010/06/22(Tue) 23:10  No.9669 
>済みませんが、要望が漠然とし過ぎていて、何をどう説明すれば良いのか分かりません。
 要するに、物理的説明が出来ないという事ですな。
 (そういうのを知ったかというのですよ)

>ボーズ=アインシュタイン凝縮が有名な実例でしょうね。
 具体例をお願いします。
 これも答えられないでしょうな。
 ボーズ=アインシュタイン凝縮は、シュレディンガー方程式のみで記述できませんよ。

>↓の記事をご理解下さい。
>http://homepage2.nifty.com/eman/quantum/uncertainty.html
 シュレディンガー方程式はどこにあるのでしょう?
 全く答えになってません。非常に不誠実ですな。

  投稿者:凡人 - 2010/06/22(Tue) 23:30  No.9670 
ASAさん
>要するに、物理的説明が出来ないという事ですな。
↓の説明を読んで、自力でご理解下さい。という回答で宜しいですか?
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A7%E3%83%AB%E3%83%9F%E7%B8%AE%E9%80%80

>ボーズ=アインシュタイン凝縮は、シュレディンガー方程式のみで記述できませんよ。
私は、決してボーズ=アインシュタイン凝縮がシュレーディンガー方程式のみで記述出来るとは主張していませんよ。

>シュレディンガー方程式はどこにあるのでしょう?
申し訳ありませんでしたが。もう少し分かりそうな資料を探しますので、しばらくお待ち下さい。
(↓を見つけましたが如何でしょうか?と思ったら少し変ですね?)
http://staff.aist.go.jp/akinaga.hiro/quantummechanics/Lecture5.pdf

そういえば、http://hpcgi2.nifty.com/eman/bbs090406/yybbs.cgi?mode=res&no=9169の、
>>このようにある特定の量子の量の状態を変えると、それに伴って他の量子状態が変化するケースがあります。
>恐れ入りますが、この件に関する実験事実が分かる資料の所在等をお教えいただけませんでしょうか?
の回答は未だでしょうか?

  投稿者:T_NAKA - 2010/06/22(Tue) 23:41  No.9672  <Home>
No.9645 と No.9647 で説明し終えたと思ったのですが、やはり全然お分かりではなかったようですね。

http://www.metro-u.ac.jp/~suzukitr/qmb3.pdfの「III.1.2 同種粒子の系の取り扱い」には、4/28(101ページ)の(1.14)式の注釈に

 +:ボーズ粒子 −:フェルミ粒子

と書いてあり、続く文言に

 「すなわち、同一のボーズ粒子系の波動関数は完全対称、同一のフェルミ粒子系では完全反対称である。」

と書いてありますが、この根拠はどこにも示してません。
波動関数が反対称ならパウリの排他律を説明できますが、ここにはフェルミ粒子系が反対称である根拠は示していませんので、このpdfを読んで正しく理解しても、何故フェルミ粒子にはパウリの排他律が働くのかは理解できないのが普通です。
つまり、この文書を読んでフェルミ粒子にはパウリの排他律が働くことを納得するほうが不思議です。

  投稿者:凡人 - 2010/06/22(Tue) 23:49  No.9673 
T_NAKAさん
>つまり、この文書を読んでフェルミ粒子にはパウリの排他律が働くことを納得するほうが不思議です。
フェルミ統計に従う粒子をフェルミ粒子と定義すれば私の主張は正しいという事になりますよね。
つまり、「すなわち、同一のボーズ粒子系の波動関数は完全対称、同一のフェルミ粒子系では完全反対称である。」というのは、定義と見做すべきだという事です。
それと、出来れば私のNo.9664に於ける↓の主張を今一度良くお読み下さる様お願いします。
>それと、パウリ排他律は、フェルミ統計に従う量子についての法則を表現したものだと思いますから、電子がフェルミ統計に従うという事までは導出しなくても、パウリ排他律を導出した事になると思いますよ。

  投稿者:ASA - 2010/06/23(Wed) 06:03  No.9675 
凡人さん
>↓の説明を読んで、自力でご理解下さい。という回答で宜しいですか?
No!
本当に理解したならその理解内容を説明できるはずです。

>私は、決してボーズ=アインシュタイン凝縮がシュレーディンガー方程式のみで記述出来るとは主張していませんよ。
質問は
>>式(1.11)で各質量が質量mである、完全対称な粒子系
 式(1.11)はシュレディンガー方程式ですよ。
ボーズ=アインシュタイン凝縮は、単なる性質であります。
具体的物理系を指定でないので答えになってません。
また、尋ねますが具体的には、どのような系ですか?

>もう少し分かりそうな資料を探しますので、しばらくお待ち下さい。
 原理なのだから無理だと思いますよ。
 不確定性原理を満たす状態のうち、物理的状態のダイナミクスを満たす特殊(物理的)なものがシュレディンガー方程式となってますから。
 ポインティングしたEmanさんの記事のように、位置と運度量の演算子とから一般的性質を述べるしかないとおもいますが。

>実験事実が
 ちゃんと文脈を読めない人ですね。
パウリ排他原理が要請する状態変化の思考実験です。
(もしかしたら、同様の実験が行なわれているかもしれませんが)

  投稿者:T_NAKA - 2010/06/23(Wed) 11:01  No.9677  <Home>
http://www.metro-u.ac.jp/~suzukitr/qmb3.pdf の3/28(100ページ)の式(1.6)をもとに2粒子について考えます。(今は異種粒子の話題であることに注意)

粒子1が状態 a 、粒子2が状態 b にある波動関数は Ψab(q1,q2) = ψa(q1)ψb(q2)
粒子1が状態 b 、粒子2が状態 a にある波動関数は Ψba(q1,q2) = ψb(q1)ψa(q2)

なので、粒子1と2を交換すると、

Ψab = ψa(q1)ψb(q2) ⇒ ψa(q2)ψb(q1) = Ψba
Ψba = ψb(q1)ψa(q2) ⇒ ψb(q2)ψa(q1) = Ψab

とお互いに移り変わり、|Ψab|^2 ≠ |Ψba|^2 で確率密度も変わってしまいます。

さて、同種粒子の場合は、粒子1と2の区別は出来ませんから、粒子1と2を交換しても確率密度が変わってしまってはいけません。
つまり、Ψab や Ψba のような単純な個別波動関数の積では表せないということになります。
ではどうすれば良いか?この場合、重ね合わせの原理により、Ψab と Ψba の一次結合で表せると考え、CとDを係数として、

Ψ= CΨab+DΨba

とします。ここから、条件に合うように係数を決めれば良いでしょう。

さて、この粒子が電子のようなフェルミ粒子であれば「パウリの排他律」により、
「同じ状態には1つの粒子しか入れない」⇒「同じ状態に2つの粒子が入る確率はゼロ」
ということなので、上式に入れると

Ψ= CΨaa+DΨaa = (C+D)Ψaa = 0

ということになります。ここで、Ψaa 自体は ψa(q2)ψa(q1) という値という意味なのでゼロではありません。
よって、 C+D = 0 ⇒ D = -C となり、

Ψ= C(Ψab-Ψba)

という形です。ここで、粒子1と2を交換すると、

Ψ= C(Ψab-Ψba) ⇒ C(Ψba-Ψab) = -C(Ψab-Ψba) = -Ψ

という反対称性が出てきます。(反対称であっても、|Ψ|^2=|-Ψ|^2 なので、確率密度は変わりません)

つまり、「パウリの排他律」から「波動関数の反対称性」が説明できます。
さてこの逆の「波動関数の反対称性」から「パウリの排他律」が説明できるのは既知とすると、「パウリの排他律」と「波動関数の反対称性」は同じことを別の言葉で表現しているということと理解できます。

ですから、片方からもう一方を説明できたからといって、理論的に導出できたとは言い難いでしょう。
量子力学の範疇では「原理」と思っておいた方が正しいと考えます。

  投稿者:羽貫 - 2010/06/23(Wed) 13:23  No.9680 
凡人さん
>お願いですから、掲示板は修正機能を利用して、無駄使いしないようにして下さい。
無駄遣いをすべきでないということはEMANさんが言うことで、凡人さんの言うことではないでしょう
というか以前EMANさんは やたらに修正すると議論の時系列が不明確になるためやめるようにとおっしゃっていたと思うのですが。それも凡人さんに。
yuyaさん
>そのお子さんは水が「ぐにゃぐにゃしている」ことが不思議で、
何で出来ているのか?と疑問に思ったようです。
すごいなあ。私は小さい頃川で遊んでてもこんな疑問は毛ほども持たずに、カニやらイモリを捕まえて大喜びしてるだけだったなあ。
っと これは「水は何でできている?」とは関係ないですね。失礼しました・・・

  投稿者:EMAN - 2010/06/23(Wed) 17:40  No.9681 
> 無駄遣いをすべきでないということはEMANさんが言うことで、凡人さんの言うことではないでしょう
> というか以前EMANさんは やたらに修正すると議論の時系列が不明確になるためやめるようにとおっしゃっていたと思うのですが。それも凡人さんに。

 まったくもって、その通りです!

 修正機能は、意図せぬ誤植を直したり、
より分かりやすい表現を見付けて誤解を減らすために
節度をもって活用して下さい。

 間違いを指摘されてから直すのは反則だよー。
 恥ずかしいかも知れないけれど、
成長の足跡だと思って、深刻にならずに耐えてくださいね。

 凡人さん、
しばらく後で読み直したら、
初めとはすっかり内容が変わってること、多いですよ。
 潔くない。

  投稿者:凡人 - 2010/06/23(Wed) 22:50  No.9684 
ASAさん
>>もう少し分かりそうな資料を探しますので、しばらくお待ち下さい。
> 原理なのだから無理だと思いますよ。
↓ではいかがでしょうか?
http://members3.jcom.home.ne.jp/nososnd/ryosi/base.pdf

T_NAKAさん
いろいろとご説明頂きましたが、↓の論理の正当性が私には理解出来ませんでした。
>ですから、片方からもう一方を説明できたからといって、理論的に導出できたとは言い難いでしょう。

羽貫さん
>というか以前EMANさんは やたらに修正すると議論の時系列が不明確になるためやめるようにとおっしゃっていたと思うのですが。それも凡人さんに。
この前、EMANさんから注意を受けて以降、論議の時系列性が不明確になるような修正は行わないよう注意して来たつもりですが、仰る事は了解いたしました。
但し、EMANさんがhttp://hpcgi2.nifty.com/eman/bbs090406/yybbs.cgi?mode=res&no=9121のNo.9278で言われていたのは、正確には↓の内容ですので、一応ご確認を願います。
>相手の返信に対する返信を、過去の書き込みの中に追伸として書くのはやめましょう。
>議論の時系列に混乱が生じますし、その変更に気付かれない可能性が高く、対話が成り立たず、意見がすれ違う危険が増します。

EMANさん
>間違いを指摘されてから直すのは反則だよー。
例えばhttp://hpcgi2.nifty.com/eman/bbs090406/yybbs.cgi?mode=res&no=9639のNo.9644とNo.9661をご覧頂きたいのですが、論議で指摘された事によって修正する場合は、その事実が極力分かるようにして来たつもりです。
この事が反則だという事ならば、修正しないようしたいと思います。
但し、書いた後で誤りを修正するのは、自分自身が恥ずかしいという事もありますが、私のコメントを読まれた方が誤った理解を持たない様にしたいという意図も含まれているという事につきまして、ご理解を頂けますと助かります。

>しばらく後で読み直したら、初めとはすっかり内容が変わってること、多いですよ。
> 潔くない。
潔くない修正は今後慎みますので、ご容赦の程をお願いいたします。

尚、出来ましたら、修正機能を使用せずに連投を行うような行為につきましても、問題にしていただけますと助かります。
<<追伸>>
羽貫さん
云い遅れましたが、私が「やたらに修正すると議論の時系列が不明確になる」というのは、具体的にどの部分か教えていただけますと助かります。
本当はそういう事ではなくて、誰にでも分かりやすい私の誤りを指摘して懲らしめてやろうと思ったら、いつの間にか直っていて、大変不愉快な思いをされたという事であれば、深く詫びを申し上げます。

  投稿者:ASA - 2010/06/24(Thu) 05:52  No.9685 
>↓ではいかがでしょうか?
>http://members3.jcom.home.ne.jp/nososnd/ryosi/base.pdf
NG

 掲示板リソース節減について云々するなら、まず最初に上の様な無駄な投稿を避けるべきです。

  投稿者:凡人 - 2010/06/24(Thu) 07:26  No.9686 
ASAさん
>掲示板リソース節減について云々するなら、まず最初に上の様な無駄な投稿を避けるべきです。
http://members3.jcom.home.ne.jp/nososnd/ryosi/base.pdfの意義をご理解頂けなかったようですね。

  投稿者:ASA - 2010/06/24(Thu) 08:24  No.9687 
>http://members3.jcom.home.ne.jp/nososnd/ryosi/base.pdfの意義をご理解頂けなかったようですね。
 凡人さんが理解したところの"意義"とやらを説明してください。
 その"意義"なるものと、シュレディンガー方程式からの不確定性原理の導出がどのような関係にあるのかの説明もあわせてお願い致します。
(負け犬の遠吠えと邪推してしまう恐れがあるので、是非とも「丁寧」な説明をお願いします。)

  投稿者:羽貫 - 2010/06/24(Thu) 12:53  No.9692 
>誰にでも分かりやすい私の誤りを指摘して懲らしめてやろうと思ったら、いつの間にか直っていて、大変不愉快な思いをされたという事であれば、深く詫びを申し上げます。
そうじゃないでしょう。なんという邪推・・・
ここの掲示板の使い方についてはEMANさんに従うべきであって、凡人さんがとやかく口を出すことじゃないでしょうという意味だったんですが。
そして
>というか以前EMANさんは やたらに修正すると議論の時系列が不明確になるためやめるようにとおっしゃっていたと思うのですが。
と書いたのは、この文の上の文章を強調するようなつもりでした。

  投稿者:サンマヤ - 2010/06/24(Thu) 14:21  No.9693 
しばらく見ないうちに荒れてますが・・・

凡人さんが示す「論拠」というのはすべて「導出」とはいえないものですね。
「排他律」と「波動関数の反対称性」が同値であることをいっているにすぎません。
ある原理に数式的な表現を与えたものと理解すべきです。
不確定性原理の例も同様です。

場の量子論からディラック場に従う粒子が「波動関数の反対称性」(「演算子の反交換性」といったほうが正確ですが)をもち、フェルミ統計に従うことは理論的に導出されます。
フェルミ統計の電子軌道ような(定常状態がきちんと定義できる)問題への表れとして「排他原理」が出てきます。

ただ歴史的に見れば、「パウリの排他原理」は原子・分子の電子軌道を説明するときに、
「1つの軌道に2つ電子が入る」と考えるのではなく、
「1つの状態にはあくまで電子は1つしか入れない、2つあるように見えるのは何か別の自由度があるはずだ」と考えよう、
という提案というか、理論化を進めるための一種のドグマとして出されたもので、
その結果、スピン自由度の定式化につながっていったと理解しています。
その意味では「原理」ですし、よくパウリが「提唱した」と表現されるのはそういうニュアンスがこめられているものだと思います。

  投稿者:凡人 - 2010/06/24(Thu) 22:25  No.9694 
ASAさん
>その"意義"なるものと、シュレディンガー方程式からの不確定性原理の導出がどのような関係にあるのかの説明もあわせてお願い致します。
シュレーディンガー方程式の解が一般的にhttp://members3.jcom.home.ne.jp/nososnd/ryosi/base.pdfのP14のxp-px=ihbarを満たしている事を説明して、P16-17の「・不確定性原理」の箇所をそのまま利用して、不確定性関係を導出出来ると考えてもがいているのですが、シュレーディンガー方程式の解が一般的にxp-px=ihbarとなる事を説明出来ないでいます。
大変申し訳ございません。
尚、この事につきまして、どなたかご教示を頂けますと助かります。
<<追伸>>
そういえば、量子力学では、xp-px=ihbarを満たしているシュレーディンガー方程式の解を採用すべしという原則があったはずだという事を今頃思い出しましたが、そうであれば、上述の方針により、xp-px=ihbarを満たしているシュレーディンガー方程式の解から、不確定性関係を一応導出出来たと思ったのですが、いかがでしょうか?
それと済みませんが、今回はxとpの不確定性関係の話だけに限定させていただいておりますので、ご容赦をお願いします。
尚、今回このPDFで私が意義を感じた箇所は、P16-17の「・不確定性原理」の箇所となります。
<<さらに追伸>>
羽貫さん
>ここの掲示板の使い方についてはEMANさんに従うべきであって、凡人さんがとやかく口を出すことじゃないでしょうという意味だったんですが。
だから敢えて事実を正確にトレースしなかったという事だったんですか?

  投稿者:羽貫 - 2010/06/24(Thu) 23:24  No.9695 
凡人さん
ほぼ同じ内容でしょう・・・
議論でもないのにそこまで厳密に再現する必要は無いでしょう?
ただの指摘です

  投稿者:サンマヤ - 2010/06/25(Fri) 04:10  No.9696 
最初の質問とずれた議題ですから短くまとめますが、
不確定性原理が導かれるのはあくまで演算子の交換関係です。
これはシュレーディンガー方程式には関係ないです。シュレーディンガー方程式は波動の時間発展を与えるものですから。

演算子の交換関係は場の対称性(変換に対する作用の応答)から導かれるものです。
ですが、パウリの排他原理(粒子の統計性)にしろ、不確定性原理にしろ、
理論の構造がそれを満たさなければならない、という要請であって、
数式がそれを表しているからといって「導出」というのは本末転倒ではないでしょうか。
むしろ、その理論が物理的な条件をきちんを記述できていることの証明として必要なことなんだと思います。
(ちょっと最初の自分の発言と趣旨が変わってますが)
たとえば、ローレンツ変換において光速度は変わらないわけですが、
これで「光速度不変の原理が導出された」とは言わないでしょう。

  投稿者:凡人 - 2010/06/25(Fri) 06:37  No.9697 
サンヤマさん
>たとえば、ローレンツ変換において光速度は変わらないわけですが、これで「光速度不変の原理が導出された」とは言わないでしょう。
マックスウェルの電磁方程式から光速度不変性を導出出来る事をご存知ですか?

羽貫さん
>議論でもないのにそこまで厳密に再現する必要は無いでしょう?
単に事実を厳密に再現しなかったというだけならば、私のNo.9684の↓の問いに答えられるはずですから、答えていただけないですか。
>私が「やたらに修正すると議論の時系列が不明確になる」というのは、具体的にどの部分か教えていただけますと助かります。

  投稿者:EMAN - 2010/06/25(Fri) 07:20  No.9698 
 凡人さん、くだらないのでやめましょう。
 迷惑です。