EMANの物理学 過去ログ No.9525 〜

 ● ビオ・サバールの法則についての質問

  投稿者:サンマヤ - 2010/06/01(Tue) 23:57  No.9525  <Home>
けっこういろいろ忘れているので勉強しなおしているサンマヤです。

EMANさんの記事を電磁気学まで読み進めました。
いろいろと勉強になりましたが、一つ疑問があります。

ビオ・サバールの法則の説明(「電流と磁場の発生」の項)で、

>上の式の形は電流の微小な部分が周囲に与える影響を足し合わせた結果であろうから、電流の微小部分が作り出す磁場も電荷が作り出す電場と同じ形式で表せるのではないかと考えられる。
>つまり、導線上の微小な長さdsを流れる電流Iが距離rだけ離れた点に作り出す微小な磁場dBの大きさは次の形に書けるという事だ。

として、ビオ・サバールの法則を出しています。その説明では、無限に長い直線状の電荷分布が作る電場を例として挙げられています。
しかし、これって意味が違うのではないでしょうか?

1)直線状電荷分布による電場
別項で計算されているように、ある点からの電場と、原点を挟んで反対側にある電荷による電場によって、
余弦成分が打ち消しあって、正弦成分が残った結果、<tex> \sin \theta </tex>が残る。
電場の方向は斜め(直線に対して垂直方向も平行方向もある)だが、計算の結果として、電荷の直線とrが作る平面内で、直線とは垂直な方向の電場だけが残る。

2)微小電流の作る磁場
こちらはあくまで電流素が作る磁場なので、ほかからの影響とキャンセルして、ということを考えることはできず、
電流素が作る磁場そのものに<tex> \sin \theta </tex>が入っていると考えなくてはならないのではないでしょうか?
磁場の向きは電流と位置ベクトルが作る平面に垂直な方向になり、直線電流に関する積分結果としては、直線電荷の電場と同じ強さの式になる。

磁場のほうは、電流が発するベクトルポテンシャルの回転で、といえば数式的には説明つきますが、直感的ではないですね。
うまく自分でも説明できません。
外積になる別の例で似ているのは力のモーメントでしょうか。
力の成分のうち、余弦成分(rに平行)は引っ張っているので回転には寄与せず、
正弦成分(rに垂直)だけが回転に寄与する。
磁場については、ローレンツ力もそうですが、平行な成分には興味がない、みたいな感じでしょうか。
rに対して垂直な電流成分だけが磁場に寄与する、ということなんじゃないかと思います。
こう書いていて、<tex> \sin \theta </tex>はdsにかかるのか、rにかかるのか、なんてことを考えて袋小路ですw
後者だと、電流素と点の距離でなく、電流の向きの直線と点の距離に依存、となりますが、これだと分母の<tex>r^3</tex>が説明できないですね。

みなさんはどう思われますでしょうか?

  投稿者:yuya - 2010/06/02(Wed) 09:47  No.9526  <Home>
1)2)の違いについては、至極もっともだと思います。

ただ、直線電荷に平行な電場成分がキャンセルされようがされまいが、
垂直成分が磁場と同じ式で表されることに変わりはないですよね。

すなわち、「直線電荷の作る電場の垂直成分」と「直線電流の作る磁場」との
アナロジーで説明している、と考えればよいのではないでしょうか。

記事の本文を改めて読んでみましたが、
「式が似ているから、拝借させてもらうよ」という、類推の労力削減が主眼で、
「だから両者は本質的に密接な関係があるのだ」といった大げさなものでは
ないように私は受け取りました。

「電場の平行成分のことはいま関係ないので触れないけど、
気になる人のために言っておくと、実はキャンセルされます」
という感じの説明のほうがしっくり来る人が多いかもしれません。

>外積になる別の例で似ているのは力のモーメントでしょうか。
>力の成分のうち、余弦成分(rに平行)は引っ張っているので回転には寄与せず、
>正弦成分(rに垂直)だけが回転に寄与する。
>磁場については、ローレンツ力もそうですが、平行な成分には興味がない、みたいな感じでしょうか。
>rに対して垂直な電流成分だけが磁場に寄与する、ということなんじゃないかと思います。

私も同じイメージで捉えています。

>こう書いていて、<tex> \sin \theta </tex>はdsにかかるのか、rにかかるのか、なんてことを考えて袋小路ですw
>後者だと、電流素と点の距離でなく、電流の向きの直線と点の距離に依存、となりますが、これだと分母の<tex>r^3</tex>が説明できないですね。

 $r^3$ で割る行為の内訳は、 $r$ 2つ分( $r^2$ )は定量的な逆2乗則を表していて、もうひとつの $r$ は
「 $ds \times r$ で盛り込まれてしまった $r$ の大きさの情報を捨てて、方向の情報だけ使う」ということだと捉えています。

ビックリマンチョコのチョコだけ捨てるようなものでしょうか。

  投稿者:のま - 2010/06/02(Wed) 17:33  No.9527  <Home>
>磁場のほうは、電流が発するベクトルポテンシャルの回転で、
>といえば数式的には説明つきますが、直感的ではないですね。

理論的にはこれが全てですから、直感的でないからと退けられて
しまっては何もいうことが無いです。あえて1ついうなら、
これが直感的になるようにベクトル解析をよく考えてみようという
ことでしょうか...(^^;

  投稿者:サンマヤ - 2010/06/02(Wed) 19:22  No.9528  <Home>
さっそくのレスありがとうございます。

>yuyaさん

>「式が似ているから、拝借させてもらうよ」という、類推の労力削減が主眼で、
>「だから両者は本質的に密接な関係があるのだ」といった大げさなものでは
>ないように私は受け取りました。

アナロジーとしてどうなのかなあ、と思ったのですが、それほど強い意味にとられないならば、いいのでしょうか。
「趣味で物理学」にも同じことが書かれていたのでちょっと気になりました。

>  $r^3$  で割る行為の内訳は、  $r$  2つ分(  $r^2$  )は定量的な逆2乗則を表していて、もうひとつの  $r$  は
>「  $ds \times r$  で盛り込まれてしまった  $r$  の大きさの情報を捨てて、方向の情報だけ使う」ということだと捉えています。
いいたかったのは、「磁場は $r \sin \theta$ に依存する」ってなると、分母に $\sin \theta$ がないことが説明つかないので、
電流の $\vec{r}$ と垂直な成分を感じる、といったほうがいいのかなって思ったのです。

>のまさん
>理論的にはこれが全てですから、直感的でないからと退けられて
>しまっては何もいうことが無いです。あえて1ついうなら、
>これが直感的になるようにベクトル解析をよく考えてみようという
>ことでしょうか...(^^;
回転の直感的イメージについては理解してるつもりですが、
「直感的」というのは言葉が足りなかったかもしれません。
説明の順序として、普通、ビオ・サバールの法則を含む電磁気学の諸法則の説明があり、
その後でポテンシャルを用いた書き換えにいくと思うのですが、
最初の段階で、あるいは、これを高校生に説明するとして(高校の物理にビオ・サバールはないですが)、
直感に訴えるような説明がどのようにしたら可能か、というのを考えてみた、
という次第です。
ベクトルポテンシャルを使った説明を言葉にしてみましたが、
長くなって分かりにくいですし、 $\sin \theta$ がでてくることが計算でしか示せず断念しました・・・^^;

<2010.6.5修正>平行>垂直です。yuyaさん、ご指摘ありがとうございます。

  投稿者:yuya - 2010/06/02(Wed) 21:08  No.9530  <Home>
>アナロジーとしてどうなのかなあ、と思ったのですが、それほど強い意味にとられないならば、いいのでしょうか。
>「趣味で物理学」にも同じことが書かれていたのでちょっと気になりました。

正直なところ、私も同様の懸念を少し感じます。

>いいたかったのは、「磁場は  $r \sin \theta$  に依存する」ってなると、分母に  $\sin \theta$  がないことが説明つかないので、
>電流の  $\vec{r}$  と平行な成分を感じる、といったほうがいいのかなって思ったのです。

なるほど。おっしゃる通りだと思います(ん?平行ではなく垂直かな)。

 $\D s$ の垂直成分が変わらないようにこっそり $\theta$ を( $\D s$ を)変化させても、
位置 $r$ にいる人は磁場の変化を感じないわけですね。

  投稿者:ASA - 2010/06/03(Thu) 10:37  No.9531 
>θを(dsを)変化させても、位置rにいる人は磁場の変化を感じないわけですね
?ds又はdiは、軸性なので、lを軸からの距離,zを高さとすると
位置rに対して,
l=rsinθ;
r^2 = (rsinθ)^2+z^2;
θのみを独立に変化させられませんけど。

  投稿者:yuya - 2010/06/03(Thu) 10:38  No.9532  <Home>
ASAさん:

>θのみを独立に変化させられませんけど。

その通りです。

  投稿者:ASA - 2010/06/03(Thu) 11:17  No.9534 
>その通りです。
ならθを変化させれば、位置rにいる人は磁場の変化を感じるわけですよね。

  投稿者:yuya - 2010/06/03(Thu) 11:42  No.9535  <Home>
>ならθを変化させれば、位置rにいる人は磁場の変化を感じるわけですよね。

そうですか。コメントありがとうございます。
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