EMANの物理学 過去ログ No.9490 〜

 ● 円板状に電荷が分布しているときの、円板上の電位について

  投稿者:yuya - 2010/05/24(Mon) 10:22  No.9490  <Home>
溝口正『電磁気学』(裳華房)p39〜p40に、「円板状電荷分布」の電位を論じた箇所があります。

|半径 $a$ 、一様な面電荷密度 $\sigma$ の円板状電荷分布を考えよう。
|円板の中心を原点にとり面に垂直に $z$ 軸をとる。
|円板内の $X = R\cos \varphi$ 、 $Y = R\sin \varphi$ にある $\sigma R \D \varphi \D R$ の電荷と、
|電位を考えている $xz$ 面上の点 $(x, 0, z)$ の間の距離 $d = ((X - x)^2 + Y^2 + z^2)^{1/2}$ を用いて、
|電位 $\phi (x, 0, z)$ は
|<tex> \phi(x, 0, z) = k_0 \sigma \int _0 ^a \int _0 ^{2\pi} \frac{R}{d} \D \varphi \D R</tex>
|<tex>= k_0\sigma\int_0^a \int _0 ^{2\pi} [(x - R\cos\varphi)^2 + R^2\sin^2\varphi + z^2]^{-1/2} R \D \varphi \D R</tex>
|の積分で与えられる。

とあり、その続きの積分計算は示されていなくて、等電位面と電気力線が図示された上で、

|点または線状電荷分布と異なり、面状電荷分布の場合は電位は発散せずに、
|面電荷の存在する面でも有限である。

と書いてあります。

確かに、そこに描かれている図を見ると円板上でも有限電位に見えるのですが、
円板上(つまり $z = 0$ 、 $|x| \leq a$ )の点に対して上記の積分を実行するとき、
必ず $\varphi = 0$ 、 $R = x$ となる領域を含んでいるはずで、そのとき $d = 0$ となり、
積分は発散するような気がするのです。

この点についてご教示いただけますでしょうか?

  投稿者:甘泉法師 - 2010/05/24(Mon) 14:43  No.9493 
こんにちは。 
計算が簡単な原点O(r=0、z=0)での電位を式で求めてみると2πak0σと確かに発散しません。
>そのとき  $d = 0$  となり、積分は発散するような気がするのです。
円盤の電荷が全部接近点に集まっていればQ/dで発散しますが、電荷は円盤上に散っているため発散しません。同様によくある問題で球面が電荷Qで帯電していても球面上で電位は発散しません。
=甘泉法師=



  投稿者:hirota - 2010/05/25(Tue) 11:11  No.9501 
 $z=\varphi=0,\,R=x$  付近での積分は  $\Delta R=R-x$  として
 $\int\frac{R}{\sqrt{\Delta R^2+R^2\varphi^2}}d\varphi dR=O(\frac{1}{\Delta R})O(d\varphi)O(\Delta R)=O(d\varphi)$ 
だから発散しない。

  投稿者:yuya - 2010/05/26(Wed) 12:33  No.9507  <Home>
甘泉法師さん、hirotaさん、ありがとうございます。

有限の電荷面密度が与えられているとき、
限りなく小さな面積素に含まれる電荷 $Q$ も限りなくゼロに近づくので、
分母の $d$ とのオーダー比較の問題になる、ということですね。

納得できました。

とりあえずここまで納得できたのですが、
逆に線状電荷分布のときに電位が発散するのが奇妙に思えてきました。

この教科書の少し前のほうには、
有限の線上に一様な線密度で電荷が分布している例が載っているのですが、
この場合は線分上の電位は発散するんですよね……。

個々のケースでオーダー比較すべき問題だとは思うものの、
「点」と「線・面・空間」とで発散する/しないの命運が分かれるなら納得できるのですが、
「点・線」と「面・空間」の間に境界があるのが不思議です。

  投稿者:hirota - 2010/05/26(Wed) 13:44  No.9508 
potential は 1/r ですから、境界は線と面の間と言うより「1 次元の線」自体が境界と言った方が良いでしょう。
線積分で発散すると言っても「指数のオーダー評価で分かる冪乗発散」に達してない「指数では分からない対数発散」ですから。

  投稿者:yuya - 2010/05/26(Wed) 13:59  No.9509  <Home>
hirotaさん

なるほどー!スッキリ解決しました。

ありがとうございます。

甘泉法師さんが原点の電位を示してくださったときにも感じましたが、
今回の疑問は自分で手を動かさなかったせいで生じたものと反省しています。