EMANの物理学 過去ログ No.8961 〜

 ● 動径座標演算子の自己共役拡大について

  投稿者:凡人 - 2010/04/26(Mon) 07:42  No.8961 
スレッドが長すぎて、スレッドのコメント投稿時や検索時のスレッド全表示時の各種資源の消費が多くなってきているので、いい加減スレッドを切り換えませんか?

凡人 - 2010/04/25(Sun) 10:02 No.8946
>3次元極座標上の正準量子論([r,p]=i, r, p が共に自己共役となる量子論)は存在しないが、
http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/Undoryo_Enzansi.PDF
はどうでしょうか?

のま - 2010/04/25(Sun) 11:57 No.8948
凡人さん
ざっと見ただけですが、座標表現の p_r の式はここと同じで -i/r(∂/∂r)r. これは対称演算子であるけども自己共役でないです。つまり物理でいうエルミート演算子ではない。議論中何がおかしいかというと、演算子としての 1/r は、実はちゃんと定義(well-defined)できないのです。なのにあたかもちゃんと定義されてるように扱ってる。ここが嘘でしょうね。

あ - 2010/04/25(Sun) 17:00 No.8950
半直線でmeasureが では-i/r(∂/∂r)rは自己共役ではありません。
ところが、一直線上だと自己共役拡大が遂行できます。

凡人 - 2010/04/25(Sun) 19:32 No.8953
のまさん、あさん、ご教示頂きありがとう御座いました。

甘泉法師 - 2010/04/25(Sun) 21:58 No.8956
>演算子としての 1/r は、実はちゃんと定義(well-defined)できないのです。
演算子XがオブザーバブルならXの関数f(X)もオブザーバブル。
Xを観測して値xを得たデータは、f(X)を観測して値f(x)を得たデータとして使える。
f(X)=X^-1 も例外ではない。
このこととご発言を考えあわせるとそもそも動径rがオブザーバブルではないということになるんでしょうか。
位置ベクトル(x,y,z)がオブザーバブルならあらわしかたが違うだけの(r,θ、φ)の組みもオブザーバブルになりそうなものですが....。

hirota - 2010/04/25(Sun) 22:11 No.8957
>演算子 X がオブザーバブルなら X の関数 f(X) もオブザーバブル
f(x)=i x だと対称作用素にもなりません。
実関数に限っても、x, y, z から r の計算には平方根がありますが、それが問題ないなら から の計算にも問題ないはず。

甘泉法師 - 2010/04/25(Sun) 23:00 No.8959
>実関数に限っても、
 そうですね。f(X)は実関数とすべきでした。
>x, y, z から r の計算には平方根がありますが、それが問題ないなら
平方根の問題とは、x, y, zを観測値として r= ±√(x^2+y^2+z^2) と2価になるところ正値しか選ばない恣意性ということでしょうか。 それとも別のことでしょうか。
> から の計算にも問題ないはず。
   が自己共軛だとして議論されていますが私には自明でありません。   は、極座標のラプラシアンの動径部分 *(−h’^2)ですが、自己共軛なのでしょうか。あ さんは自己共軛拡大とおっしゃっていましたが言葉から理解できませんでした。

  投稿者:のま - 2010/04/26(Mon) 12:12  No.8962  <Home>
甘泉法師さん

>{self adjoint 自己共役(共軛) 自己随伴 Hermitian エルミート}
>という用語はみな同じ意味でしょうか。

同じでしょうね。

>対称作用素は、自己共軛作用素と違うものでしょうか。

私も昨日知りましたが、違います。wikipedia「エルミート作用素」を読むとよいでしょう。

おおざっぱに物理のセンスで状況を説明すると、普通の量子力学では演算子は L2 の部分空間である {多項式*指数関数} みたいな関数の集合の中で閉じているんですが、3次元極座標を量子化した理論では p_r は (1/r) の因子を持つため、このような性質の良い関数の集合の中で閉じてくれないんです。

具体的には exp(-r) に p_r で施すと φ(r) = (1/r)exp(-r) の項がでてしまう。これは r=0 で発散するけど一応 L2 だから(重み r^2 に注意)、これを含む定義域を考えても構わないんですが、しかしこの関数があると p_r はエルミートの性質を持たないんです。部分積分したときに r=0 における境界の値を拾ってしまうため、私が以前示した証明の例外になっています。ちなみに φ(r) は p_r の固有関数になっています。

ちゃんと調べてはないけど、おそらく L^2 のどんな部分空間をとっても、p_r がエルミート演算子として閉じて生息できる集合は見つけられないでしょう。

>平方根の問題とは、x, y, zを観測値として r= ±√(x^2+y^2+z^2) と2価になるところ正値しか選ばない恣意性ということでしょうか。 それとも別のことでしょうか。

演算子形式で考えればわかるでしょうが、ちゃんと定義できる演算子は正準変数の多項式くらいですよ。合成と定数倍くらいしかないんですから。クーロンポテンシャルで 1/r があるのはある種のインチキだと思ってます。ポテンシャルは一応 r の多項式だと仮定し座標表示に行き、そこで「実は 1/r なんです〜」みたいなインチキ。

量子力学は場の量子論から演繹され、場の量子論では空間座標は力学変数の(連続濃度の)サフィックスにすぎないので、そういうインチキも結果オーライになっています。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/26(Mon) 19:32  No.8969 
 こんにちは。

のまさん

>ちなみに φ(r) は p_r の固有関数になっています。

 面白いですね。
 固有値がpの固有関数 P_r ψ= pψは
 ψ=1/r e^ipr/h' 球面波 になりますね。 面白いです。

=甘泉法師=


 

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/26(Mon) 21:05  No.8970 
 こんにちは。

のまさん
>クーロンポテンシャルで 1/r があるのはある種のインチキだと思ってます。ポテンシャルは一応 r の多項式だと仮定し座標表示に行き、そこで「実は 1/r なんです〜」みたいなインチキ

それはたいへんですね。
1電子原子のハミルトニアンもエルミートであるかどうかわからなくなりますね。
 
 でもそんな実験結果をみたことがないから理論を実験のほうにあわせるべきでは...?

 =甘泉法師=

  投稿者:のま - 2010/04/26(Mon) 21:35  No.8972  <Home>
>固有値がpの固有関数 P_r ψ= pψは
>ψ=1/r e^ipr/h' 球面波 になりますね。 面白いです。

なるほど。自由粒子で角運動量の大きさが0の場合は H = (1/2m) p_r^2 ですから、角運動量がない場合のエネルギー固有状態(S波)が現れているんですね。

>それはたいへんですね。
>1電子原子のハミルトニアンもエルミートであるかどうかわからなくなりますね。

ですから結果オーライなんです。場の量子論ではラグランジアンは、

<tex> L = \int d^3 x ( \ i\psi^*(x) \dot{\psi}(x)      -\frac{1}{2m} \nabla \psi^*(x) \cdot \nabla \psi(x)      -U(x) \psi^*(x) \psi(x) \ ) </tex>

であり、空間座標 <tex> x </tex> はただのパラメーターです。力学変数は <tex> \psi(x) </tex> ですから外部ポテンシャル <tex> U(x) </tex> は多項式でなくても構いません。量子物理は場の量子論から始まり、有限自由度の量子力学はそのおもちゃです。また、場の量子論から演繹されるのは座標表示の量子力学(波動力学)であり、演算子形式ではないのです。

  投稿者: - 2010/04/26(Mon) 22:41  No.8973 
のまさん。

>おおざっぱに物理のセンスで状況を説明すると、
>普通の量子力学では演算子は L2 の部分空間である
> {多項式*指数関数} みたいな関数の集合の中で閉じているんですが、
>3次元極座標を量子化した理論では
>p_r は (1/r) の因子を持つため、
>このような性質の良い関数の集合の中で閉じてくれないんです。


 $r^{-1}$ の特異性のおかげで
自己共役でなくなるわけではありません。
 $p_r$ の虚数解がペアーを作らないことに問題があります。
詳しくは、

http://www.math.tsukuba.ac.jp/~isozakih/lecture/Funct.Anal.2.pd

参照のこと。

  投稿者:凡人 - 2010/04/26(Mon) 23:23  No.8975 
「第1章自己共役拡大の理論」のpdfの正しいURIは以下の通りです。
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~isozakih/lecture/Funct.Anal.2.pdf

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/27(Tue) 08:12  No.8982 
こんにちは。

のま さん - 2010/04/26(Mon) 12:12 No.8962
>演算子形式で考えればわかるでしょうが、ちゃんと定義できる演算子は正準変数の多項式くらいですよ。

  X|x>=x|x> として、X^-1はXの逆演算子ですから 

 X^-1 X = I

 X^-1 X  |x> = |x>

 x X^-1 |x> = |x>

 X^-1 |x> = 1/x |x> 除くx=0

 と定義できそうですが、どうでしょう。

=甘泉法師=

  投稿者:のま - 2010/04/27(Tue) 09:16  No.8984  <Home>
甘泉法師さん

X^(-1) = ∫dx (1/x)|x><x| ということですね。ただ、状態 |x=0> に対する像がありません。定義域の縮小が行われている。このくらいの雑は物理では普通ですが、でもそれに伴って証明が正しくなくなることもあるというわけです。例えば座標表示でエルミート性を確認しようとした場合、

<ψ'|X^(-1)ψ> = ∫dx ψ'^*(x) (1/x) ψ(x)

ですが、考えている {x} や {ψ} の定義域でこの積分はちゃんと収束しますか?ということになるわけです。

  投稿者: - 2010/04/27(Tue) 10:48  No.8985 
のまさんへ

 $1/x$ は自己共役演算子で、Well-definedな演算子です。
また、状態 |x=0> に対する像がなくても問題がないこともかつて言いました。

http://www.math.tsukuba.ac.jp/~isozakih/lecture/Funct.Anal.2.pdf

をよんでください。

  投稿者:のま - 2010/04/27(Tue) 11:23  No.8986  <Home>
甘泉法師さんがしきりに p_r^2 のエルミート性について気にしていたので、チェックしました。

φ_0 = (1/r)exp(-r), φ_1 = exp(-r) に対して、

< φ_0 | p_r^2 φ_1 > = 3π,

< p_r^2 φ_0 | φ_1 > = −π

と計算されます。(1/r)exp(-r) を定義空間に含めた場合、p_r^2 さえもエルミートではないことがわかります。(この辺を あさん がどう考えているのか私にはわからないです(^ω^;)

あさん

コメントありがとうございます。1次元で X^(-1) なら多くの場合大丈夫だと何となくわかります。時間があるときに文献読ませていただきますが、1つだけ。座標空間が (0,∞) の半直線でも X^(-1) は自己共役になるということでよろしいでしょうか?

  投稿者:のま - 2010/04/27(Tue) 12:46  No.8987  <Home>
あ、多分、私の

>ちゃんと定義できる演算子は正準変数の多項式くらいですよ

に語弊があったんですね。

「自明に well-defined な演算子は正準変数の多項式くらいですよ」

に訂正させていただきます。冒頭で「おおざっぱに」と書いたように、あまり深く考えず書いたもので。考えて厳密性を高めると、今回の話はイメージが伝わりにくくなると思ったのです。

  投稿者:のま - 2010/04/27(Tue) 16:55  No.8989  <Home>
ちょっと検算が大変でしょうから計算を分割しておきます。

 φ_0 = (1/r)exp(-r), φ_1 = exp(-r),

 p_r^2 = (-1/r)(∂/∂r)^2 r = -(∂/∂r)^2 - (2/r)(∂/∂r).

 < φ_0 | φ_0 > = 2π,  < φ_0 | φ_1 > = < φ_1 | φ_1 > = π.

 p_r^2 φ_0 = −φ_0,  p_r^2 φ_1 = −φ_1 +2φ_0.

ちなみに今の問題は、有界な φ_1 = exp(-r) (1s軌道)だけで語ることもできます。

 < p_r^2 φ_1 | p_r^2 φ_1 > = 5π

 < φ_1 | p_r^4 φ_1 > = −3π (運動量の大きさ4乗の期待値が負!)

まあ普通の物理の意味では、到底エルミート演算子とはいえないわけです。ちなみにこれはデカルト座標量子化における p^2 = x^2+y^2+z^2 でも同じこと。

物理的にどういうことかというと、φ_1 にしたって r=0 で微分可能でありません。こんな波動関数が許されるのはクーロンポテンシャルが r=0 に特異点を持つからです。この特異性のために p^2 のエルミート性が壊されるわけです。一方、クーロンポテンシャル 1/r は元より L^2 で閉じた演算子ではない。1/r を波動関数に何回も施すと L^2 から飛び出してしまうからです。p^2 も 1/r もエルミートではないけど、これらを加えたハミルトニアンはエルミートになります。1/r を演算子扱いするインチキの副作用として、p^2 のエルミート性は壊れてしまう。壊れないと肝心のハミルトニアンのエルミート性が確保できないというわけ。

あさん の話は境界条件をちゃんとしたものなのかもしれないけど、"もしも"そうだとすると3次元極座標については水素原子さえ扱えないものになってしまいます。まあ主に1次元なのかな?

  投稿者:のま - 2010/04/27(Tue) 16:57  No.8990  <Home>
p^2 = x^2+y^2+z^2 は p^2 = p_x^2 + p_y^2 + p_z^2 の誤り

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/27(Tue) 19:42  No.8992 
こんにちは。

のまさん - 2010/04/27(Tue) 09:16 No.8984
> X^(-1) = ∫dx (1/x)|x><x| ということですね。

なるほど、これは万能なあらわしかたですね。
 
 f(X)= ∫dx f(x)|x><x|

で定義すればオブザーバブルなXの大概の関数は定義できそうです。

 =甘泉法師=


  投稿者:のま - 2010/04/27(Tue) 20:55  No.8994  <Home>
あと、自由粒子の場合ですが、p_r^2 の固有関数は sin(kr)/r. これは r=0 で連続で全領域でC_∞級です。角運動量がない場合のエネルギーの固有関数でもあります。ところが p_r sin(kr)/r = -ik cos(kr)/r は r=0 で発散してしまいます。p_r は境界条件を壊してしまうわけです。p_r^2 がエルミート演算子である一方で p_r はそうでない(そもそも通常の定義域で閉じない)演算子になってるわけです。

あさんの話はおそらくこっちに関連していると予想します。

  投稿者:のま - 2010/04/27(Tue) 21:06  No.8995  <Home>
>なるほど、これは万能なあらわしかたですね。
>  f(X)= ∫dx f(x)|x><x|
>で定義すればオブザーバブルなXの大概の関数は定義できそうです。

もう少し読み進めてもらうとわかると思いますが、考えている関数(ベクトル)空間において全ての積分がちゃんと収束するのかという問題があります。L^2 から飛び出したりしないかという問題。これがクリアされないと well-defined とは言いがたいと思いますけどね。ちなみに遠方における積分の発散、例えば exp(ikx) などの積分は、レギュレーター exp(-εx^2) の因子を乗ずることでたいがい解決できます。だからそれは気にしなくていいんですが、1/x とか 1/r みたいな特異点は通常何か悪さをするものです。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/27(Tue) 22:26  No.8997 
こんにちは。

のまさん - 2010/04/27(Tue) 16:55 No.8989
>ちなみに今の問題は、有界な φ_1 = exp(-r) (1s軌道)だけで語ることもできます。
> < p_r^2 φ_1 | p_r^2 φ_1 > = 5π
> < φ_1 | p_r^4 φ_1 > = −3π (運動量の大きさ4乗の期待値が負!)
>まあ普通の物理の意味では、到底エルミート演算子とはいえないわけです。ちなみにこれはデカルト座標量子化における p^2 = Px^2+Py^2+Pz^2 でも同じこと。
最後の行は御修正をいれました。

運動量のことなら運動量空間の波動関数を見るのが楽、ということで

水素原子の1S 波動関数 1/√π e^-r、 長さの単位がボーア半径a0である原子単位で。

そのフーリエ変換 ψ(p)= 2√2/π 1/(1+p^2)^2、pの単位は h'/a0。 

|ψ(p)|^2  〜 p^-8   |p|>>1

1S状態なので Pθ=Pφ=0 P^2=Pr^2

体積要素 d V_p =4πp^2 dp 

を考えると  <p^2> <p^4> は有限値。 <p^6>から無限大 と見ました。

いかがでしょうか。

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2010/04/27(Tue) 23:16  No.8998 
甘泉法師さんに先を越されましたが、

>自由粒子の場合ですが、p_r^2 の固有関数は sin(kr)/r
sin(kr)/r を逆フーリエ変換すると、
f(k)=∫sin(kr)/r exp(ikr) dr
k=i d/dr と置くと、
k f(k)=∫sin(kr) exp(ikr) dr
k^2 f(k)=∫r sin(kr) exp(ikr) dr
したがって、
∫f*(k)k^2 f(k)=発散
f(k)の2次モーメントが発散するということは、波数の分散が発散する
と思います。

あっ、極座標のフーリエ変換は、1/r か何かが掛かるのかなぁ?

  投稿者:凡人 - 2010/04/27(Tue) 23:38  No.8999 
甘泉法師さん、ASAさん、のまさん
此処には立派な修正機能が実装されていて、「暗証キー」を設定すれば、後で"[修正]"リンクをクリックして、投稿済みのコメントに対して自由自在に修正や追加が出来ますんで、此処のページロード数を減らす為に、是非とも連投は止めて、どうか此の機能をお使い下さるようお願いします。
尚、此処のページロード数を減らす事によって、此処に接続している人の時間や資源の節約が出来ますし、惹いては物理の進歩を早める事にも接続すると思いますんで、一つ宜しくお願いします。
<<追伸>>
一番大事な事を言い忘れましたが、折角EMANさんが我々の為に此処を無料で開放してくれているんですから、EMANさんの手間を少しでも少なく出来る様にする為にも、何卒宜しくお願いします。

  投稿者: - 2010/04/28(Wed) 02:14  No.9002 
のまさん。

8986について。

まず、 $x^{-1}$ は自己共役です。

次に計算ですが、わかりやすくすると、

 $\langle \psi|\phi \rangle=4 \pi \int_0^\infty dx \psi^*(x) \phi(x)$ 

とおいたときの、
 $p=-i\hbar \frac{d}{dx}$ 、 $\psi_0(x)=e^{-x}$ 、 $\psi_1(x)=x e^{-x}$ の話ですよね(そのまま議論してもまったく同一の話になる)。

 $\psi_1$ はDirichlet条件を満たす関数空間に住んでおり、
 $\psi_0$ は $\psi(0)+\psi'(0)=0$ を満たす関数空間にすんでます。

Dirichlet条件を満たす関数空間を定義域とする $p_{\psi(0)=0}^2$ と
 $\psi(0)+\psi'(0)=0$ を満たす関数空間を
定義域とする $p_{\psi(0)+\psi'(0)=0}^2$ は、
まったく異なる演算子です。
この二つを同時に定義域とする演算子は、自己共役ではありません。
ですので、

 $\langle \psi_0 | p_{\psi(0)+\psi'(0)=0}^2 \psi_1 \rangle = 3\pi$ 
 $\langle \psi_0 | p_{\psi(0)=0}^2 \psi_1 \rangle = -\pi$ 

となり、異なる演算子同士の結果なのでまったく問題ありません。

No.8989について。

 $p_{\psi(0)=0}^2 \psi_1 = -\psi_1 +2\psi_0$ 

ですが、 $-\psi_1 +2\psi_0$ はDirichlet条件を満たしません。
したがって、 $p_{r,\psi(0)=0}^2$ の定義域からずれます。
よって、

 $p_{r,\psi(0)=0}^2 p_{r,\psi(0)=0}^2 \psi_1 $ 

は定義できません。
よって、ここで得られているおかしな現象は、
演算子の定義域を適当に扱ったことが原因です。

ちなみに、箱の中の量子力学で、Dirichlet条件を満たす解と
Neumann条件を見たす解で、同様なことができます。

  投稿者: - 2010/04/28(Wed) 02:27  No.9003 
のまさん。

8995について。
普通は $L^2$ の稠密な領域で定義されれば自己共役の議論に載せられます。
で、

 $f_n(x)=0 \ \ \ 0<x<1/n$ 
 $f_n(x)=f(x) \ \ \ else where$ 

はどんなf(x)にも収束するので、
この類の0になる関数の族は $L^2$ で稠密です。
だから、 $x^{-1}$ だろうが、 $x^-10000000$ だろうが……

  投稿者:のま - 2010/04/28(Wed) 05:42  No.9005  <Home>
甘泉法師さん

なるほど運動量表示で見ればこの場合物理的に正しいでしょうね。波動関数が r=0 で尖がってるので運動量表示の波動関数は紫外部にだらだら延びます。それで物理的には正しいはずです(フーリエ変換チェックしました)。一方、座標表示の計算は p_r^2 演算子のエルミート性も壊れているし信頼できません。運動量の大きさ6乗平均も有限値を返します。要するに半直線上の微分演算子では r=0 の尖り具合を上手く拾えない感じになっているんだと予想してます。時間がある時にまた調べてみます。

あさん

丁寧なコメントありがとうございます。アプローチの違いを感じますね。多分それはお互いにでしょう。(^ω^;;

凡人さん

了解しました。これから気をつけます。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/28(Wed) 08:31  No.9007 
こんにちは。


のまさん - 2010/04/28(Wed) 05:42 No.9005 HomePage

> なるほど運動量表示で見ればこの場合物理的に正しいでしょうね。
>一方、座標表示の計算は p_r^2 演算子のエルミート性も壊れているし信頼できません。
>要するに半直線上の微分演算子では r=0 の尖り具合を上手く拾えない感じになっているんだと予想してます。

検算いただきありがとうございます。
座標表示と運動量表示で計算結果が違うはずはないのでどこかに穴があるんでしょうね。


水素原子の1S軌道の波動関数 φ_1s で<p^6>が発散するということは |p^3 φ_1s|^2 = ∞

状態φ_1s は p、p^2の定義域内にあり物理的状態である。

状態φ_1s は p^3、p^4、....の定義域外にあり物理的状態ではない。

という言葉使いでよろしいでしょうか。

水素原子の1S軌道状態が作用素によって物理的状態であったりなかったりすることは面妖に思われます。

=甘泉法師=



  投稿者:のま - 2010/04/28(Wed) 14:25  No.9009  <Home>
甘泉法師さん

規格化された φ_1s で <p^2> = 1 となるのは運動量表示でも座標表示でも一緒です。なんでそうなるかというと、動径座標 r を |r| = sgn(r)r と絶対値付きにして r=0 における尖がり具合を考慮してやることもできるんですが、このとき p^2 φ_1 = (2δ(r)-sgn(r))φ_1 +2sgn(r)φ_0 のようになって、測度 r^2 の積分においては尖がりの影響は消えてしまいます(rδ(r)=0だから)。しかし <p^4> の計算では δ''(x) が生じますから測度 r^2 のもとでも影響が残るはずです。通常の計算ではこの尖がり効果がネグられるために <p^4> が負になってしまうのでしょう。

>状態φ_1s は p、p^2の定義域内にあり物理的状態である。
>状態φ_1s は p^3、p^4、....の定義域外にあり物理的状態ではない。

あまりピンときませんね。(^^; φ_1s は物理的状態。尖ってるから微分の際は注意してねってだけの話だと思うが。クーロンポテンシャル 1/r を入れた時点で正当な代数としての量子力学の枠組みからははずれてるってこと。

追加:
もうちょっと甘泉法師さんの意図を読んで詳しく言うと、< φ_1s | p^8 φ_1s > が発散するから | p^4 φ_1s > が L2 に属さないって話だとしたら、それは p^2 がエルミートと仮定しての話ね。p^2 がエルミートでないことはもう見ましたよね。また、このことをもって p^2 がエルミートでないことを確認しているといってもいいかもしれません。そうするとこの発散は φ_1s の尖がりに起因していますから、p^2 のエルミート性の回復とクーロンポテンシャルの正則化は連動していると予想できると思います。超関数で r=0 の尖り具合を測るのはその1つかもしれません。

あさん

正当という言葉はあまりよくなかったです。標準的という意味で使いました。それはポテンシャル(場の量子論なら相互作用項)が多項式という意味です。1/r^n を入れても自己共役な量子論が作れるということで、このときの p^2 の座標表示を教えてもらえますか? 過去ログにあればすみませんが番号をお願いします。


  投稿者: - 2010/04/28(Wed) 15:23  No.9010 
最初に、9002の誤植を謝罪しておきます。

\langle \psi_0 | p_{\psi'(0)+\psi(0)=0}^2 \psi_1 \rangle =3\pi



\langle p_{\psi'(0)+\psi(0)=0}^2 \psi_0 | \psi_1 \rangle =3\pi

の誤植です。

甘泉法師さん。8997の1について。
半直線上の運動量表示は不可能です。

たとえば、

 $\int^\infty_0 \exp( i k x) \exp(-i l x)dx \neq \delta(k-l)$ 

ですので。

2についてですが、
 $p_r$ 、 $p_r^2$ 、 $p_r^3$ 、 $p_r^4$ の定義があいまいです。
つまり、 $p_r$ はどの境界条件を満たす演算子なのか。
 $p_r^2$ はどの境界条件を満たす演算子で、
結果、自己共役である、もしくはないか。
ナイーブに微分演算子というだけでは、
こういった議論をするとき危険です。

のまさん。
9005について。

流儀が違いますが、

 $\psi_0(x)\to r \phi_0 (r)$ 
 $\psi_1(x)\to r \phi_1 (r)$ 
 $dx \to r^2 dr$ 

とすればのまさんのノーテーションになります。
まぁ、Dirichlet条件と言う言葉が使いたかった!だけなんですけどね。

9009について。

正当な代数としての量子力学の枠組みとは
何をおっしゃっているんでしょうか。

また、 $\frac{1}{r}$ もしくは $\frac{1}{r^2}$ といったポテンシャルについては、
n次元で調べられており、
問題なく自己共役な理論が作れることが知られています。

  投稿者: - 2010/04/28(Wed) 19:31  No.9011 
--------------------------------------------------------------
ここのメッセージは、皆さんに習い改変して使いまわすことにします。
改変により、内容が変わることをあらかじめ宣言しておきます。
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2010/04/28/19:40

のまさん。 $\frac{1}{r}$ と $\frac{1}{r^2}$ は見たことがあります。
微分は $n$ 次元のフラットなラプラシアンです。

2010/04/28/20:40

のまさん。正則化などははいっておらず、
これまで紹介した、自己共役拡大の議論の延長線上の議論を
展開しています。

http://www.amazon.co.jp/Functional-Analysis-Methods-Mathematical-Physics/dp/0125850506

の二巻参考のこと。

23:12

ハミルトニアンの中のラプラシアン項が自己共役かということは
結構めんどくさい問題がありますが、
ハミルトニアンの定義域において、
 $\langle \psi | \partial^2 \phi \rangle -  \langle \partial^2\psi |  \phi \rangle =0$ が成立します。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/28(Wed) 20:25  No.9013 
こんにちは。

のまさん - 2010/04/28(Wed) 14:25 No.9009
> < φ_1s | p^8 φ_1s > が発散するから | p^4 φ_1s > が L2 に属さないって話だとしたら、

 そうです、そういう意図です。

> それは p^2 がエルミートと仮定しての話ね。p^2 がエルミートでないことはもう見ましたよね。

 え、p^2=px^2+py^2+pz^2 がエルミートではないんでしょうか。自由粒子のハミルトニアンはエルミートでない?
 動径方向とかにこだわらない3次元の運動量の大きさの期待値を計算したつもりです。


あさん- 2010/04/28(Wed) 15:23 No.9010

> 甘泉法師さん。8997の1について。
> 半直線上の運動量表示は不可能です。

 水素原子の1s原子の状態を考えました。

 座標波動関数なら φ(r)=1/√π e^-r  球対称
運動量波動関数ならφ(p)=2√2/π 1/(1+p^2)^2  こちらも球対称。座標原点でもスムーズ。

 「半直線上の運動量表示」について語ったつもりはありませんでした。

>2についてですが、
>  $p_r$  、  $p_r^2$  、  $p_r^3$  、  $p_r^4$  の定義があいまいです。
  
 これもp^2=px^2+py^2+pz^2 、運動量の大きさのつもりで「半直線」とか「動径」に限ったものではありません。積分計算が楽なように極座標は使いましたが。

 ラプラシアンで

=−1/h'^2 P^2

=−1/h'^2 (px^2+py^2+pz^2)

=∂^2/∂x^2 +  ∂^2/∂y^2 + ∂^2/∂z^2 

=∂^2/∂r^2 + 2/r ∂/∂r   θ φの項は球対称なので0

=−1/h'^2 (pr^2)

 とは考えました。 
 いかがなものでしょう。

=甘泉法師=

  投稿者: - 2010/04/28(Wed) 22:05  No.9014 
甘泉法師さんへの返答です。
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ここのメッセージは、皆さんに習い改変して使いまわすことにします。
改変により、内容が変わることをあらかじめ宣言しておきます。
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2010/04/28/22:00

フーリエ変換について、

 $\int r^2 d r \exp (-r) \exp(-i k r) = -\frac{2 i}{(i+k)^3}$ 
 $\int_0^{ \pi } d\theta \int _0^{\infty } r^2 dr \exp(-r)\exp(-i k r) \cos \theta  =\frac{2}{(1+i k \cos\theta)^3}$ 

のどっちを意図していますか?

 $p_r$ の定義ですが、原点での境界条件が記述されてません。
したがって、不十分です。
原点でどのような境界条件を満たす関数空間に作用するかで、
演算子の意味が変わることは以前見てきたとおりです。
単純に運動量の大きさと考えることは、量子論ではできないのです。

2010/04/28/23:00

甘泉法師さん。
上述表記のフーリエ変換については当方の計算間違いでした。
さらに、どのような主張かは確認いたしました。
なるほど、前回の返答は不適当でした。撤回いたします。
その上でお答えしますと、このフーリエ級数展開の固有関数
 $\exp (-ik\cdot r)$ の集合は、
 $p_{\psi'(0)+\psi(0)=0}^2$ と $p_{\psi(0)}$ の定義域からずれています。
したがって、フーリエ級数展開した後の波動関数に
演算子を作用させても数になりません。

2010/04/29/00:22

前回のメッセージで $p_{\psi(0)=0}$ の定義域からずれているとしましたが、
こちらは大丈夫のようです。訂正します。

運動量演算子を作用させればスカラーになるとありますが、
このあたりの事情を詳しく説明します。

 $p_{\psi'(0)+\psi(0)=0}^2 \psi_1$ 

は定義できますが、

 $e^{ikr}$ に $p_{\psi'(0)+\psi(0)=0}^2 $ は作用させることができません。

したがって、 $\psi_1 = \int dk a(k) e^{ikr}$ だとすると、

 $p_{\psi'(0)+\psi(0)=0}^2  \int dk a(k) e^{ikr}$ 

はいいのですが、

 $ \int dk a(k)p_{\psi'(0)+\psi(0)=0}^2  e^{ikr}$ 

が定義できなくなります。
つまり、単純に数にできるのは、
ちゃんと定義域に入っている場合のみということになります。

2010/04/29/13:17

9027について。
Rigged Hilbert spaceについては詳しくないので、
確実なことはいえませんが、
Rigged Hilbert spaceでは積が定義できて、
場合によってはc数に落ちえるということでしょうか。
少し信じがたいものがあります。
ご教授のほど、お願いします。
9028について。
一直線上ではなくて、半直線上と書いてありますよ。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/28(Wed) 22:39  No.9015 
こんにちは。

あさん
>フーリエ変換について、
>  $\int r^2 d r \exp (-r) \exp(-i k r) = -\frac{2 i}{(i+k)^3}$ 
>  $\int_0^{ \pi } d\theta \int _0^{\infty } r^2 dr \exp(-r)\exp(-i k r) \cos \theta =\frac{2}> {(1+i k \cos\theta)^3}$ 
> のどっちを意図していますか?

計算したのは
φ(p)=(2π)^-3/2 ∫φ(r)exp(−ip・r) dV=2√2/π 1/(1+p^2)^2  です。
ここで p、rは3次元ベクトル。 p・rはベクトルの内積です。積分計算はp方向がz軸であるような極座標で実行します。

=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/28(Wed) 22:55  No.9016 
こんにちは。

のまさん - 2010/04/28(Wed) 20:19 No.9012
>そうです。簡単にいえば「r=0のところは微分できない」ということ。たかが1点ですがそのために実際に >p^2 がエルミートでなくなる例を見たでしょう?

>>自由粒子のハミルトニアンはエルミートでない?
>ハミルトニアンはエルミートです。ちゃんと調べてないけど毒(微分不可能)と毒(クーロン特異点)で中和してるはずです。

自由粒子とはポテンシャルのない空間にある粒子、ハミルトニアンH=P^2/2m、です。
「r=0のところは微分できない」とは無縁と思います。

>クーロンポテンシャル 1/r を入れたツケなんです。

 私は H=P^2/2m+Vで、HもP^2もVもそれぞれがエルミートと思っていました。

 Hはエルミートだが、P^2/2mとVはそうでない、ということでしょうか。

 ポテンシャルのある系の(なくても?)運動エネルギーはエルミートでもましてやオブザーバブルでもないんでしょうか。

=甘泉法師=




  投稿者:hirota - 2010/04/28(Wed) 23:06  No.9017 
3 次元極座標でのヒルベルト空間
 $L^2(R^+\times(0,\pi)\times S^1,\mu),\,d\mu=r^2\sin(\theta)\,dr d\theta d\varphi$ 
 $<f,g>\,=\int\overline f g\,d\mu=\int\overline f g\,r^2\sin(\theta)\,dr d\theta d\varphi$ 
から動径部分
 $X_r=L^2(R^+,\mu),\,d\mu=r^2\,dr,\,<f,g>_r\,=\int\overline f g\,d\mu=\int_0^\infty\overline f g\,r^2\,dr$ 
を取り出し、一様測度の空間 $X=L^2(R^+),\,<f,g>\,=\int_0^\infty\overline f g\,dx$ への写像
 $T_r:X_r\to X,\,f\in X_r\to(T_r f)(x)=x f(x)$ を考えると
 $<T_r f,T_r g>=\int_0^\infty\overline{(T_r f)}(T_r g)\,dx=\int_0^\infty\overline f g\,r^2\,dr=<f,g>_r$ 
となってこれは同型写像になります。
すると X での作用素 $p_x=\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial x}$ は $f(r)\in X_r$ に対して
 $(p_x T_r f)(x)=\frac{1}{i}(x f(x))_x\therefore(T_r^{-1}p_x T_r f)(r)=\frac{1}{r\,i}(r f(r))_r$ 
 $\therefore T_r^{-1}p_x T_r=\frac{1}{r\,i}\frac{\partial}{\partial r}r=p_r$ 
となり、 $p_r$ に対応します。
つまり、 $X_r$ 内の $p_r$ の事は X での $p_x$ を調べれば分かる、ということになります。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/28(Wed) 23:28  No.9019 
 こんにちは。

>固有関数
>  $\exp (-ik\cdot r)$  の集合は、
>  $p_{\psi'(0)+\psi(0)=0}^2$  と  $p_{\psi(0)}$  の定義域からずれています。
>したがって、フーリエ級数展開した後の波動関数に
>演算子を作用させても数になりません。

 すると
 水素原子の1S状態の運動量波動関数が φ(p)=2√2/π 1/(1+p^2)^2
 だというのは間違いなのでしょうか。
 1S状態の運動量についてはなにも言えないのでしょうか。

 フーリエ変換すれば運動量はスカラー倍として単純に扱える(座標表示で位置がスカラー倍であるように)と信じて疑っていなかったのですが...

=甘泉法師=




  投稿者:hirota - 2010/04/28(Wed) 23:52  No.9020 
No.9017 の続き
X での $p_x$ は $f,g,f_x,g_x\in L^2(R^+)$ に対して
 $<p_x f,g>-<f,p_x\,g>=\int_0^\infty(\,\overline{\frac{1}{i}f_x}\,g-\overline f\frac{1}{i}\,g_x)\,dx=i\int_0^\infty(\,\overline f g)_x\,dx=i\left[\,\overline f g\right]_0^\infty$ 
であり、積分有限で微分可能なら無限遠では 0 だから
 $<p_x f,g>-<f,p_x\,g>=i\,\overline{f(0)}g(0)$ 
となって、対称作用素になるためには定義域 $D(p_x)$ に境界条件 f(0)=0 が必要である。
しかし、f(0)=0 であれば g(0)=0 となる必要はないので、共役作用素の定義域 $D(p_x^*)$ は $D(p_x)$ より大きくなり、 $D(p_x^*)=D(p_x)$ とする事はできない。
つまり、 $L^2(R^+)$ での $p_x$ は (従って $L^2(R^+,\mu)$ での $p_r$ も) 自己共役作用素にすることはできない。

  投稿者:凡人 - 2010/04/29(Thu) 00:13  No.9021 
あさん、のまさん
私が進言した、
>過去にネット上のこの種論議を幾度か見てきましたので、進言させていただきます。
>理論や論理の正しさだけではどうにも出来ないものがこの世(=社会)に存在する事を理解した上で、論理や理論を追求される事を私は望みます。
という内容を、物理より上位に位置する学問のレベルから捉え直して下さい。
また、hirotaさんの論議の展開の仕方を注意深く分析して見て下さい。
そうすれば、物理の真の進歩の為に、どのようにすれば良いかという事がお分かりになると思います。
この話しは、これ以上は繰り返しませんので、どうか宜しくお願いいたします。

  投稿者: - 2010/04/29(Thu) 00:42  No.9022 
凡人さん
申し訳ないですが、お断りします。

この問題はフォンノイマン時代から脈々と受け継がれてきた、
関数解析によって、すでに決着が付いたものばかりです。
ぶっちゃけ、ここで私が語っていることには何も新しいことはありません。
極論、ここで僕がしゃべっていることは、
(数学科の)大学院の教科書レベルの内容の丸写し、
ないし問題演習の程度の内容です。

ただ、こういった問題意識は物理屋の間でも共有されていないわりには、
簡単に手が付くように思われ、
したがってネット上で議論されると思われます。
実際には、高度な数学の知識を必要とし、
その意味でネットの議論では結論が出なかったのだと思います。

僕自身は、こういうことをやってきた人間として、
ちゃんとした議論はどうなっているかを提示すると同時に、
FAQに対する回答を備えるためにやっております。

残念なことに、力不足ゆえにお見苦しい所もありますが、
ご容赦ください。

いちおう、参考文献リストをあげておきます。

関数解析
http://elis.sigmath.es.osaka-u.ac.jp/~aida/lecture/21/self-adjoint2009.pdf
自己共役ミニマム
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~isozakih/lecture/Funct.Anal.2.pdf
スペクトラム分解定理(凡人さんの投稿より)
http://www5d.biglobe.ne.jp/~pomath/study/spectrumresolution2.pdf
物理屋の視点で見たもの。
http://www.kochi-tech.ac.jp/~cheon/linepoint/linepoint001.html
Rigged Hilbert Space(甘泉法師さんの投稿より)
http://arxiv.org/PS_cache/quant-ph/pdf/0502/0502053v1.pdf
現代数理物理の本
http://www.amazon.co.jp/Functional-Analysis-Methods-Mathematical-Physics/dp/0125850506
量子情報関連の基本的教科書。
http://www.amazon.co.jp/gp/product/0521635039
マニアック量子力学の本。Kochen-Speckerの定理やGleasonの定理、実験理論等さまざま。
http://www.amazon.co.jp/gp/product/4621049224
射線主体の量子力学の本。Hilbert空間、なにそれ、うまいの?複素射影空間が本質だよ、って本。流行ってるらしい。
http://www.amazon.co.jp/Geometry-Quantum-States-Introduction-Entanglement/dp/052189140X
専門家の論文リスト。
http://www.kochi-tech.ac.jp/~cheon/res/publ.html
http://research.kek.jp/people/itsutsui/rp.html
http://www.maths.lth.se/matematiklth/personal/kurasov/pub.html


2010/04/29/0930追記

これは見解の相違かもしれませんが、かなり議論は収束しており、
皆さんも文献を参考にするという方向に行っているように思います。

もしかしたら、こういう議論のやり取り自体がお気に触るかもしれません。
そうだとしましたら申し訳ありませんが、
物理業界はこんなやり取りに終始しているため、
この切り口をやめると僕の訓練になりませんので悪しからず。

20100429/18:42
hirota氏凡人氏の助言に従い、
長いURLについては改変を行いました。

  投稿者:kafuka - 2010/04/29(Thu) 00:47  No.9023 
またまた、お邪魔します。

甘泉法師さん。箱の中の粒子の件です ^^;
あさんの
>>半直線上の運動量表示は不可能です。
>>たとえば、
>>   $\int^\infty_0 \exp( i k x) \exp(-i l x)dx \neq \delta(k-l)$ 
>>です
にヒントを得て記事を書きました。
http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/63164297.html

箱の中の粒子が、仮に連続固有値の場合、固有ベクトルを|φ> と |φ’> とすると、
<φ|φ’>=δ関数
そうではなく |φ> と |φ’> が離散固有値なら、
<φ|φ’>=クロネッカーのδ
というのがミソです。
ご笑覧ください。

(ここに書くのは恐縮ですが、甘泉法師さんに連絡の取りようがないし、EMANさんの啓示板では終わった話なので)

  投稿者:hirota - 2010/04/29(Thu) 01:00  No.9024 
No.9017, 9020 の続き
X での $p_x^2$ を考えると、定義域は $D(p_x)$ に 2 階微分可能を追加して
 $D(p_x^2)=\{f\in L^2(R^+)|f_x,f_{xx}\in L^2(R^+),f(0)=0\}$ とすれば、
 $<p_x f,g>-<f,p_x\,g>=i\,\overline{f(0)}g(0)$ より
 $<p_x^2f,g>-<f,p_x^2\,g>$ 
 $=<p_x^2f,g>-<p_x f,p_x\,g>+<p_x f,p_x\,g>-<f,p_x^2\,g>$ 
 $=i\,\overline{p_x f(0)}g(0)+i\,\overline{f(0)}p_x g(0)=i\,\overline{\frac{1}{i}f_x(0)}g(0)+i\,\overline{f(0)}\frac{1}{i}g_x(0)$ 
 $=-\overline{f_x(0)}g(0)+\overline{f(0)}g_x(0)$ 
となるから、 $p_x$ の場合と違って相手の g(0)=0 も必要であり、 $D(p_x^{2*})=D(p_x^2)$ となる。
つまり、 $L^2(R^+)$ での $p_x^2$ は (従って $L^2(R^+,\mu)$ での $p_r^2$ と $D(p_r^2)=T_r^{-1}D(p_x^2)$ も) 自己共役作用素である。

  投稿者: - 2010/04/29(Thu) 06:36  No.9025 
hirotaさんへ。

境界条件で理解する話は

http://www.kochi-tech.ac.jp/~cheon/linepoint/linepoint001.html

で詳らかにされています。参考までに。

あと、境界条件を議論する際、
部分積分可能であるために絶対連続な関数空間を考える必要があります。
細かいことですが。

2010/0429/14:00 追記

まさにおっしゃるとおりで、
不思議でないと申したのはこの議論を意図してました。
半直線上の二回線形微分演算子の議論で重要になるのは、
(2.6)式の足がひとつのバージョンで、
これで尽きています。

絶対連続については失礼いたしました。
本筋に関係ないところ、揚げ足とってすみません。

  投稿者:凡人 - 2010/04/29(Thu) 08:05  No.9026 
あさん、のまさん
あさんが私が進言した内容を全く逆に理解しているようなので、申し訳ありませんが、
>この話しは、これ以上は繰り返しませんので、どうか宜しくお願いいたします。
と申したにも係わらず、繰り返させていただきます。

>僕自身は、こういうことをやってきた人間として、
>ちゃんとした議論はどうなっているかを提示すると同時に、
>FAQに対する回答を備えるためにやっております。
というのは、私も望むところですので、是非ともお願いしたいと思っています。

>実際には、高度な数学の知識を必要とし、
>その意味でネットの議論では結論が出なかったのだと思います。
ここのでの論議が収束しないのは、純学問的な理由からではないのです。
この事をしっかりと見抜いていただくようお願いします。
<<追伸>>
投稿者:凡人 - 2010/04/23(Fri) 07:56 No.8888
>非物質的(=ギドラ)な論議で消耗された方は、こちらへどうぞ。
というところの論議は、あさんやのまさんの論議の事ではありません。
「非物質的(=ギドラ)な論議」というのは、物質との対応を顧慮しない論議の事です。
(このような論議を行う理由を理解するためには、物理や数学より上のレベルの考慮が必要です。)

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/29(Thu) 08:25  No.9027 
こんにちは。

あさん 2010/04/29/00:22

>  $p_{\psi'(0)+\psi(0)=0}^2 \psi_1$ 

> は定義できますが、

>  $e^{ikr}$  に  $p_{\psi'(0)+\psi(0)=0}^2 $  は作用させることができません。

> したがって、  $\psi_1 = \int dk a(k) e^{ikr}$  だとすると、

>  $p_{\psi'(0)+\psi(0)=0}^2 \int dk a(k) e^{ikr}$ 

>はいいのですが、

>  $ \int dk a(k)p_{\psi'(0)+\psi(0)=0}^2 e^{ikr}$ 

> が定義できなくなります。


 要素波(平面波)には定義できないが波の重ねあわせには定義できる作用素、というのは線形代数、量子力学だと重ね合わせの原理からは不思議な気がします。

 平面波、連続値をとる運動量の固有関数 e^i(kx x+ky y+kz z) を
 異端とみるか平然と受け入れるかという、厳密な数学といい加減な物理の違いが
 端的にあらわれている感じがします。

 1S状態の運動量の諸量はφ(p)で計算できて現象とあう(きっと)ことからすると、物理で使える頑丈な数学が望まれます。rigged Hilbert space を考案した動機はそういうことではないでしょうか。

=甘泉法師=


 

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/29(Thu) 09:21  No.9028 
こんにちは。

hirotaさん - 2010/04/28(Wed) 23:06 No.9017
>3 次元極座標でのヒルベルト空間
>  $X_r$  内の  $p_r$  の事は X での  $p_x$  を調べれば分かる、

解説ありがとうございます。
すると3次元極座標(r、θ、φ)と運動量(Pr、Pθ、Pφ)で
rとPr のことは 全直線上xとPxのことと同じでごくごく普通に扱っていいと理解しました。

誤解であればご教示のコメントをいただければ幸いです。

=甘泉法師=



  投稿者:hirota - 2010/04/29(Thu) 13:49  No.9029 
あ さん
http://www.kochi-tech.ac.jp/~cheon/linepoint/linepoint001.html
予備知識がないのと文字化け文字消えで解読できませんが、
 $A=\frac{1}{2}(x p_x+p_x x)$ で使った $L^2(R^-)\oplus L^2(R^+)\approx L^2(R)$ と関係があるようなないような?
(A がそれほど変じゃない、と言ってたのはコレのこと?)
>絶対連続
もちろん知ってます。(面倒なので、微分可能で代用した)

甘泉法師 さん
>同じでごくごく普通に扱っていい
変換したものを調べれば分かる。というだけで、同じに扱っちゃいけません。

  投稿者:のま - 2010/04/29(Thu) 14:32  No.9030  <Home>
甘泉法師さん

>自由粒子とはポテンシャルのない空間にある粒子、ハミルトニアンH=P^2/2m、です。

「自由粒子の」を読み落としました。(^^;

>私は H=P^2/2m+Vで、HもP^2もVもそれぞれがエルミートと思っていました。

V が x の多項式ならおっしゃる通りそれぞれエルミートです。
また、そうでなくても V が x の C_∞関数なら、座標表示においてそれぞれエルミート演算子です。
つまり問題は起こらない。

しかし V = 1/r はまずい。
これ自体が L^2 の中で閉じた演算子になっていない。よってエルミートでもない。
1/r を何回も波動関数にかけてそれは2乗可積分であり続けられますか?
r=0 付近で積分が発散して L^2 でなくなります。

ちなみに座標演算子 x は大丈夫。
大体普通の量子力学は {多項式*指数関数} みたいな部分空間で考えているので
x は何回かけても(無限回でない限り)この空間から飛び出ることはないんです。
{多項式*指数関数} に属さない波動関数だってよく見かけるとおっしゃるかもしれませんが、
そういうのは本来 exp(-εx^2) がかけてあるのを省略してあるだけです(exp(ikx)など)。

で、V = 1/r とした結果何が起こるか? エネルギーの固有関数は尖ります。微分可能でなくなる。
よって P^2 が演算子として機能しなくなる。
1回くらいほどこすのは何とかなりますが2回ほどこすと矛盾が見えてくる。
P^4 以上の計算がやばくなるのです。

こういう時の対処法は正則化です。
波動関数 φ = exp(-r) なら、これをいったん exp(-√(r^2+ε^2)) としてやり
C_∞級にするのです。そして計算した後で ε→0 とする。
ε→0 の極限をとったとき例えば |P^4 φ> などのノルムなどが発散するかもしれませんが、
それは L^2 から飛び出たわけじゃないと考えるのです。
これは exp(ikx) -> exp(ikx-εx^2) の正則化と同じ理屈です。

あるいは元から V = 1/√(r^2+ε^2) としてもいいでしょう。これならエルミートです。
計算はめちゃくちゃ大変になりますが。でも本当はポテンシャルはこのようになっていて、
ちゃんとエルミートで、なのに乱暴に ε=0 としたから色々おかしな事が起こってしまう
と考えれば納得いくでしょう?

私としては「この場合 P^2 はエルミートでない」という言い方は語弊があると思っています。
P^2 は定義からエルミートです。甘泉法師さんが考えているだろう通りです。
ただ、ポテンシャルとしてやばい関数をとったから、そのツケで P^2 のエルミート性が
「壊れている」のです。波動関数が微分可能でなくなってるのです。
何らかの正則化をすればちゃんと回復するのです。

前に同じようなことを書いたのですが、なんか無視されているようなのでもう一回だけ書きました。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/29(Thu) 14:57  No.9032 
14:43 2010/04/29
あさん - 2010/04/28(Wed) 22:05 No.9014
> 9028について。
> 一直線上ではなくて、半直線上と書いてありますよ。

ああ、読み直してそうでした。
3次元の極座標には便法がないかと、はやとちりでした。
ありがとうございます。hirotaさん あさん ありがとうございます。

rigged Hilbert space を知っているわけではありません。偉そうにしてすみません。物理で普通に使うディラックのデルタ関数や運動量の波動関数のように規格化できない関数もふつうの関数と同様に扱う枠組みで、新しいことが格別あるわけではないとは聞いています。 ご紹介のレビューをわたしもぼちぼち読んでみます。

=甘泉法師=

  投稿者: - 2010/04/29(Thu) 15:06  No.9034 
のまさんへ

9030に関して。

そもそも、応用上重要な演算子はほぼ $L^2$ で閉じていません。
たとえば、調和振動子で $H\psi_n=c(n+1/2)\psi_n,\ \ n\in\mathbb{N}$ と置いたとき、

 $\psi=\frac{\sqrt{6}}{\pi}\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n}\psi_n$ 

は $L^2$ の元ですが、 $H$ の作用で $L_2$ から出て行きます。

  投稿者:のま - 2010/04/29(Thu) 17:37  No.9035  <Home>
あさん

コメントありがとうございます。なるほど面白い例ですね。

それで気が付いたのですが、"部分空間"と書いたのは間違いでした。私が考えていたのは "有限"多項式なので、これは部分空間を作りませんでした。ただの部分集合です。だいたい無限多項式を許したら指数関数をキャンセルして簡単にL2に属さなくなる。(^^;

「正準演算子 x, p が、集合 {有限多項式*指数関数} の中で閉じている。よって x, p の有限多項式でできた全ての演算子がこの集合の中で閉じている」というのが私が言いたかったことです。もちろん演算子 1/x は閉じていませんね。

ご紹介の例だと、固有関数 ψ_n は全てこの集合の元ですが、これらから作った和 ψ はこの集合の元ではないということです。いわずもがなですが。

まあ甘泉法師さんへの説明はわかりやすさを求めているのでつっこみどころもあるでしょう。でも 1/r の singularity が P^2 のエルミート性の破れや P^4 φ のノルム発散の原因であることは確かのはずです。それだけちゃんと伝えたかったので再度同じようなことを書いたわけです。

  投稿者: - 2010/04/29(Thu) 18:12  No.9036 
のまさんへ。

とすると、その空間は極限に閉じておらず、
ヒルベルト空間にならないのはOKですか?

たとえば、完備関係式
 $\delta(x-x')=\sum \psi(x)^* \psi(x')$ 
やスペクトラム分解
 $<x|H|x'>= \sum \lambda \psi(x)^* \psi(x')$ 
などを正当化することはできないでしょう。

こういった関係式を正当化するためには、
一回多項式の世界から出て議論する必要性があります。

ここからは趣味の問題ですが、
多項式の議論+Hilbert空間論を接木するくらいなら、
最初からHilbert空間論を議論すればどうなんだろうかと思います。

補記ですが、
発散ポテンシャルが原因となってそうなっているかといわれると、
微妙かもしれません。
たとえば、のまさんの挙げた例は半直線自由粒子の場合にも
異常なことが起きることを予言しています。
また、 $1/r$ ポテンシャルがなくても自由粒子の運動量について、
極表示にした場合同様のことが起きます。
この場合は発散は関係ありません。

どちらかというと、
ポテンシャルの発散により $L^2$ から出てしまうということよりも、
座標系のトポロジーが特異点や座標変換により変化するということが
ポイントだと思います。

2010/04/30
立場の問題といえる部分といえない問題があります。
緩減少関数の空間を考えて議論し、
Hilbert空間論と接木するというのは立場の違いですが、
非有界演算子の定義域が一意でない問題が
ポテンシャルの発散起源であるというのは数学的に誤りでしょう。
その点は強調しておきたいと思います。

追記

僕も物理屋ですよ。

  投稿者:凡人 - 2010/04/29(Thu) 18:38  No.9038 
hirotaさん、あさん
amazonの長いURLは、http://www.amazon.co.jp/gp/product/{ISBN-10番号}で短縮出来ます。
先の文献のカタログは、http://www.amazon.co.jp/gp/product/4621049224でアクセス出来ます。
出来れば、あさんのほうで修正していただけますと助かります。
<<追伸>>
あさん、ありがとう御座いました。
それと、あさんとのまさん、No.9026に追伸を入れましたので、宜しかったらご覧下さい。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/29(Thu) 22:43  No.9039 
こんにちは。

のまさん

>P^4 以上の計算がやばくなるのです。

のまさんを追って自分でも計算してみます。

1 運動量波動関数での計算

水素原子の1S状態の運動量空間の波動関数  ψ(p)= 2√2/π 1/(1+p^2)^2、pの単位は h'/a0 
について 量f(p)の期待値は

∫ f(p)|φ(p)|^2 4πp^2 dp   変数変換 p=tanθ

= 32/π ∫ f(tanθ) (cosθ)^4 (sinθ)^2 dθ 区間は0〜π/2

<p^2>=32/π ∫ (tanθ)^2 (cosθ)^4 (sinθ)^2 dθ=1=|pφ(p)|^2

<p^4>=32/π ∫ (tanθ)^4 (cosθ)^4 (sinθ)^2 dθ=5=|p^2 φ(p)|^2

<p^6>=32/π ∫ (tanθ)^6 (cosθ)^4 (sinθ)^2 dθ=∞=|p^3 φ(p)|^2

2 座標波動関数での計算

座標波動関数φ(r)=1/√π e^-r  

pr^2= -∂^2/∂r^2 -2/r∂/∂r

<pr^2>=-4 ∫ (r^2 - 2r)e^−2r dr 
      =-1/2 Γ(3)+ 2Γ(2)=1

エルミートな作用素pr^4をどう定義すればいいかわからないのですが

<pr^4>= | pr^2 φ(r)|^2   とエルミートならできる筈なので 
 = 4 ∫(r−2)^2 e^-2r dr = 1/2Γ(3)-4 Γ(2)+8Γ(1)=5

と一致。 <pr^6>より上の計算方法はわかりません。

PS もし pr^4=(pr^2)^2 だとすれば
pr^4= (∂^2/∂r^2 +2/r∂/∂r)^2 = ∂^4/∂r^4 +4/r∂^3/∂r^3
<pr^4>=4∫(r^2-4r)e^-2r dr = 1/2 Γ(3)- 4Γ(2)= -3 ????
  
=甘泉法師=


  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/29(Thu) 23:50  No.9040 
あらためて質問いたします。

甘泉法師 - 2010/04/28(Wed) 08:31 No.9007
> 状態 φ_1s は p、p^2の定義域内にあり物理的状態である。
> 状態 φ_1s は p^3、p^4、....の定義域外にあり物理的状態ではない。

元xに作用素Tを作用させたTxのノルム|Tx|が有限とする。xはTの定義域にある。
元xに作用素f(T)を作用させたf(T)xのノルム|f(T)x|が無限とする。xはf(T)の定義域にない。

 元xについて物理量Tを観測して値tを得たデータは、物理量f(T)を観測して値f(t)を得たデータとしてつかえる。物理量Tを観測すればさらにf(T)を観測する手間はいらない。Tの観測はf(T)の観測でもある。

 さて状態 φ_1s はひとつなのだが、用語の定義からは物理的状態であるのか・ないのか? 

=甘泉法師=


  投稿者:のま - 2010/04/30(Fri) 08:26  No.9042  <Home>
甘泉法師さん

計算OKです。私の#8989と同じ結果です。

>元xに作用素Tを作用させたTxのノルム|Tx|が有限であれば xはTの定義域にある。元xに作用素f(T)を作用させたf(T)xのノルム|f(T)x|が無限であれば xはf(T)の定義域にない。

よいと思います。

>元xについて物理量Tを観測して値tを得たデータは、物理量f(T)を観測して値f(t)を得たデータとしてつかえる。物理量Tを観測すればさらにf(T)を観測する手間はいらない。Tの観測はf(T)の観測でもある。

正しいです。T と f(T) の固有ベクトルのセットは同じだからです。ただしもちろん、観測で問題になるのは、大抵、確率分布なので、<f(T)> という量に意味がないというわけではありません。

>さて状態 φ_1s はひとつなのだが、用語の定義からは物理的状態であるのか・ないのか?

ポテンシャルなどにεを入れて正則化すれば物理的状態です。正則化していない場合はそうとは言いがたいです。ただし正則化していなくても低次の計算では正則化した場合と変わらないので、それを留意した上で物理的状態と言っても構わないでしょう。物理的状態の良い近似になっているといってもいいです。

すみませんがそろそろこのスレからおいとまします。あさん、ちゃんとレスつけられずにごめんなさい。量子力学に色々な立場があるということは承知しております。意見が食い違っても、それは立場の違いで、そういう考え方もあるというだけでしょう。私が言ってることは物理屋的な意見だと思って軽く流してください。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/30(Fri) 11:37  No.9043 
こんにちは。

のまさん 
>ポテンシャルなどにεを入れて正則化すれば物理的状態です。正則化していない場合はそうとは言いがたいです。

 ノルム|f(T)x|が無限大になるのは現実を離れた理想化が過ぎたからである、ということですね。コメントありがとうございます。

 さてみなさま、『ノルム|f(T)x|が有限でないと物理として矛盾。それが物理量f(T)の観測を考える斯界の相場、常識、基準である。』 と理解して誤りないでしょうか。

=甘泉法師=
  

  投稿者: - 2010/05/01(Sat) 00:07  No.9045 
甘泉法師さん。
---------------------------------------------------------------
ここのメッセージは、皆さんに習い改変して使いまわすことにします。
改変により、内容が変わることをあらかじめ宣言しておきます。
---------------------------------------------------------------
9039について。

 $\exp(-r)=\int d\vec{p^3} \ a(\vec{p}) \exp(i\vec{p}\cdot \vec{r})$ 

とします。

 $-i \frac{1}{r}\frac{d}{dr} r \exp(-r)= \int d\vec{p^3} \ (\vec{p}\cdot\frac{\vec{r}}{r}   -i \frac{1}{r}) a(p) \exp(i\vec{p}\cdot \vec{r})$ 

となり、単純に $p$ で置き換えられません!

9040について。

言葉を丁寧に使う必要があります。
 $p_r$ の定義域として、 $r\phi(r)$ が原点で0になる波動関数の集合を選んだなら、
 $\phi_{1s}$ は $p_r$ の定義域に入るものの、オブザーバブルではない。

 $p_r^2$ の定義域として、 $r\phi(r)$ が原点で0になる波動関数の集合を選んだなら、
 $\phi_{1s}$ は $p_r^2$ の定義域に入り、
演算子自体もオブザーバブルとなる。

 $p_r^2$ の定義域として、 $r\phi(r)$ が原点で0になる関数の集合を選んだなら、
 $p_r^2\phi_{1s}$ は $p_r^2$ の定義域に入らない。
演算子自体はオブザーバブルである。

 $p_r^2$ の定義域として、 $r\phi(r)=-\frac{d}{dr}(r\phi(r))$ が原点で満たされる関数の集合を選んだなら、

 $p_r^2\phi_{1s}$ は $p_r^2$ の定義域に入る。
演算子自体もオブザーバブルである。

 $p_r^3$ と $p_4$ の自己共役拡大は大変なのでやりませんが、
同様に、定義域を定めて入っているかどうかを議論しないとなりません。
ただ、単純に $p_r^3$ を上述の $p_r$ を三回かけたものと解釈し、
その結果演算子になるかどうかは微妙です。

こういうややっこしいところを汲んで解釈すると
 $r\phi(r)\to 0$ の空間を考えていて、
 $p_r$ は観測量ではなく、
 $p_r^{2n}$ は $p_r^2$ の $n$ 乗と解釈します。

その意味で、 $p_r^{4}$ は $p_r^2\phi_{s1}$ が $p_r^2$ の定義域から外れるので、
物理的状態であるや否や、という質問だと思います。

これは、共通見解が分かれるところなんですが、
少なくとも、 $H$ は発散すると困ると考えられています。
その上で、いくつかの重要な物理量があって、
それと $H$ が共存する波動関数には意味があるという立場があります。
この、重要な物理量は $H$ と交換する量が選ばれることが多いです。
その立場で行くと、運動量の四乗、 $p_r^4$ は
水素原子の $H$ と交換しません。
よって、発散しても物理状態であるという態度です。

ほかの立場は詳しくないので、なんとも申し上げようがございません。

(僕個人としては、観測量が発散しても、
実験プロセスは射影仮説さえ正しければうまくいくので、
(No.8974参照のこと)
Hamiltonianの自己共役性だけが条件じゃないのと考えています。
これは、僕個人の考えなので、学会の共通見解とかではないですよ)

9043については、
上述の見解だと、 $T$ が系において重要な量であるかどうかが
問題になります。

(僕個人は、発散してもいいんじゃないかと思ってますが、
この件については、いずれ時間ができたときに、
詳しく見解を述べたいと思います。)

===============

9046について。
大体の流れはわかりました。ただ、一点だけ、

>運動量の2乗が px^2+py^2+pz^2 = Pr^2 = p^2 の関係は使いました。

とありますが、

 $\exp(-r)=\int d\vec{p^3} \ a(\vec{p}) \exp(i\vec{p}\cdot \vec{r})$ 

に作用させると、 $\vec{p}\cdot \vec{r}$ のせいで成り立たないと思いますよ。

 $p_r$ に関する誤解はありましたが、

>これは、共通見解が分かれるところなんですが、

以降の議論は変化しません。
その上でご検討ください。

========================

舌足らずでしたが、

 $p_x^2+p_y^2+p_z^2=p^2$ 

はOK。

 $p_r^2 \neq p^2$ 

という主張です。

===============
9048について。

おそらく、
マニアック量子力学なことをしている物理屋の中でも
統一見解はないと思います。

立場(A)
 $f(p)$ はみな物理量として「平等の権利」をもつ。
したがって、 $p$ は物理量じゃない。
立場(B)
 $f(p)$ はみな物理量として「平等の権利」をもたない。
 $f$ によって、異なる定義域がある。
立場(C)
 $f(p)$ はみな物理量として「平等の権利」をもつ。
発散しても、 $f(p)=H$ でない限り、問題はない。

(A)-(C)の人を集めてきて議論になれば、
喧々諤々恐ろしいことになると思います。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/05/01(Sat) 00:45  No.9046 
こんにちは。

あ さん
>  $\exp(-r)=\int d\vec{p^3} \ a(\vec{p}) \exp(i\vec{p}\cdot \vec{r})$ 
>とします。

解いて具体的には a(  $\vec{p}$  ) = a(p)= 2√2/π 1/(1+p^2)^2 です。
ここで p = √(px^2+py^2+pz^2)運動量の大きさ、単位は h'/a0。


>  $-i \frac{1}{r}\frac{d}{dr} r \exp(-r)= \int d\vec{p^3} \ (\vec{p}\cdot\frac{\vec{r}}{r} -i \frac{1}{r}) a(p) \exp(i\vec{p}\cdot \vec{r})$ 

>となり、単純に  $p$  で置き換えられません!

f(p)は 運動量の大きさpの関数で、運動量空間での計算に 作用素Prはでてきません。

座標空間での計算では <P^2>の計算のときに 
運動量の2乗が px^2+py^2+pz^2 = Pr^2 = p^2 の関係は使いました。 
二乗しない  $-i \frac{1}{r}\frac{d}{dr} r )$  単独の計算はしていません。

>その意味で、  $p_r^{4}$  は  $p_r^2\phi_{s1}$  が  $p_r^2$  の定義域から外れるので、
>物理的状態であるや否や、という質問だと思います。

いえいえprやPr^2n とは関係なく

元x  水素原子1S状態 
作用素T 運動量の大きさ
f(T) = T^n 運動量の大きさのn乗

について考えたものです。

これまでのprやPr^2n とは関係ない質問ですみません。
  
=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2010/05/01(Sat) 09:10  No.9047 
こんにちは。

あ さん
>  $\exp(-r)=\int d\vec{p^3} \ a(\vec{p}) \exp(i\vec{p}\cdot \vec{r})$ 

>に作用させると、  $\vec{p}\cdot \vec{r}$  のせいで成り立たないと思いますよ。

運動量波動関数による計算に作用素Pr^2はでてきません。

座標波動関数による計算では作用素Pr^2を作用させていますが、Pr^2・座標表示の元 で事足りているので おっしゃるようなこの元をフーリエ変換表示してPr^2 を作用させることはしないで済んでいます。 そういうことをしないで済むように、ふたつの表示をつかった次第です。

答えがポイントを外していれば突っ込んでください。

=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2010/05/01(Sat) 09:29  No.9048 
こんにちは。

あ さん

>少なくとも、  $H$  は発散すると困ると考えられています。
>その上で、いくつかの重要な物理量があって、
>それと  $H$  が共存する波動関数には意味があるという立場があります。
>この、重要な物理量は  $H$  と交換する量が選ばれることが多いです。
>その立場で行くと、運動量の四乗、  $p_r^4$  は
>水素原子の  $H$  と交換しません。
>よって、発散しても物理状態であるという態度です。

 わたしの疑問はもっと初心者的です。

 ポイントをしぼるため物理量は1種類にしましょう。

 ありふれたものたとえば位置Xとか運動量Pとか、もちろんエネルギーHでもかまいませんが、 

 水素原子1sでは運動量波動関数が球対称で運動量の大きさ(p)のみに依存し、コーシーローレンツ分布の2乗で、べきの期待値の収束、発散の見通しがよいので、これを議論のタネにしましょう。

 | P^n φ_1s |の収束発散の具合から 
 φ_1s は P, P^2にとっては物理的状態だが、P^3,P^4にとっては物理的状態でない。

 P, P^2 と P^3, .... はみな物理量として「平等の権利」をもつのだが、どっちの言い分をとるべきか。

甘泉法師
>運動量の2乗が px^2+py^2+pz^2 = Pr^2 = p^2 の関係は使いました。 
あ さん
$p_r^2 \neq p^2$  という主張です。


了解しました。

元が球対称なので、ラプラシアンのθ、φ部分を作用させても0になる、とうことで
P^2 元 =(P_r^2+P_θ^2+P_φ^2)元 =P_r^2 元 を言いたく、私の言葉足らずでした。



=甘泉法師=

  投稿者:凡人 - 2010/05/01(Sat) 11:19  No.9050 
あさん
>マニアック量子力学なことをしている物理屋の中でも統一見解はないと思います。
マニアックな量子力学で思い出したのですが、非相対論的な量子力学の問題であれば、量子ポテンシャル理論で理論をチェックしたほうが、ヒルベルト空間を扱わなくても良くなる為、チェックしやすい場合が出てくるという事はないでしょうか?
http://wwwndc.jaea.go.jp/JNDC/ND-news/pdf76/No76-08.pdf

  投稿者: - 2010/05/01(Sat) 11:58  No.9053 
甘泉法師さん。
失礼、何でもありません。

凡人さん。
http://wwwndc.jaea.go.jp/JNDC/ND-news/pdf76/No76-08.pdf
するには波動関数がいります。
したがって、ヒルベルト空間は不可避です。

hirotaさん。
少なくとも僕は
こういう波動関数が観測されたということを聞いたことがありません。
したがって、理論の枠内で考えるしかありません。
で、9045のラストに書いたとおり、もめます。
実験で確認されれば、面白いことになるでしょうが。

甘泉法師さん
むしろ、L^2が広すぎて、発散する状態を取って来すぎているというのが、
実情のようです。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/05/01(Sat) 14:09  No.9054 
こんにちは。

あさん ありがとうございます。

勝手な感想です。

>立場(A)
>  $f(p)$  はみな物理量として「平等の権利」をもつ。
>したがって、  $p$  は物理量じゃない。

 →△ 間違いでないとしても物理量について何も語っておらず何も産み出さない。

>立場(B)
>  $f(p)$  はみな物理量として「平等の権利」をもたない。
>  $f$  によって、異なる定義域がある。

 →△ Tを観測し値tを得たデータは、f(T)を観測し,値f(t)を得たデータとしてつかえる。
  Tが観測できているならf(T)も観測できている。どうして異なるか。

>立場(C)
>  $f(p)$  はみな物理量として「平等の権利」をもつ。
>発散しても、  $f(p)=H$  でない限り、問題はない。

 →○ ノルム|f(T)φ|が無限だからといってφが物理的状態でないとはできない。どんな素直なφでもf(T)を工夫すれば|f(T)φ|を∞にできそう。    
    ...でもすると必然的にL2のヒルベルト空間は物理的状態を容れるのに十分でないことになるがそれでいい?

=甘泉法師=



  投稿者:凡人 - 2010/05/01(Sat) 20:46  No.9059 
あさん
>量子ポテンシャル理論で理論をチェックしたほうが、ヒルベルト空間を扱わなくても良くなる為、チェックしやすい場合が出てくるという事はないでしょうか?
というのは、よほど特殊な状況でもない限り、このような事は無いと思いました。申し訳ありませんでした。(←少しだけ生意気な表現に変更しました。)

>こういう波動関数が観測されたということを聞いたことがありません。
私も、運動量と相関関係があるドブロイ波が出てこないからダメじゃないかと思います。
という事で、演算子が例え自己共役であっても、運動量と相関関係があるドブロイ波が出てこない固有関数は、全て非物理的だと思ったのですが、如何でしょうか?
<<追伸>>
運動量と相関関係があるドブロイ波が出ないという事は、シュレディンガー方程式を満たさないという事ですから、通常の不確定性関係も破れてしまうという事はないでしょうか?
<<さらに追伸>>
>シュレディンガー方程式を満たすかどうかは、ハミルトニアンの定義域に入っているかどうかだけが問題になるので、ドブロイ波とかは関係ありません。
>不確定性関係は問題ないと思いますよ。
にわかには信じがたいですが、愚鈍な頭を振り絞って考えさせていただきます。

  投稿者: - 2010/05/01(Sat) 21:02  No.9060 
凡人さんへ
ひとつの提案としてはあるかもしれませんが・・・・・・
実験してそういう状態が見つからないとはいえないので、
僕は支持できません。

追伸

シュレディンガー方程式を満たすかどうかは、
ハミルトニアンの定義域に入っているかどうかだけが問題になるので、
ドブロイ波とかは関係ありません。
むしろ、あれは量子力学初期の混迷した時代の議論で、
今となってはまったく根拠のない遺物です。
(ディラックの空孔理論なんかもそうですね)

それでもぴんとこないというなら、
たとえば、hirotaさんの波動関数(9052)は

 $H=-\frac{d^2}{dx^2}+\frac{3 x^2}{(1 + x^2)^2} - \frac{1}{1 + x^2}$ 

の固有状態です。

不確定性関係は問題ないと思いますよ。
 $x$ と $p$ の定義域に紛れがないなら。

訂正

誤 シュレディンガー方程式を満たすかどうかは、
  ハミルトニアンの定義域に入っているかどうかだけが問題になるので、

正 シュレディンガー方程式を満たすかどうかは、
  ハミルトニアンの定義域に入っていて、
  数式を満たすかどうかだけが問題になるので、

  投稿者:凡人 - 2010/05/01(Sat) 22:03  No.9061 
あさん
あさんのお考えの場合、時間に依存しないシュレディンガー方程式を満たす所は問題が無いかもしれませんが、時間に依存するシュレディンガー方程式を満たす所で問題が出ないでしょうか?

  投稿者: - 2010/05/01(Sat) 22:17  No.9062 
凡人さん。
Hが自己共役なら問題なし。
時間発展の演算子exp(-iHt)はユニタリーになることが保障されているので。

===================

理論が予言していることが実際にあるかというと、
それを判断するために実験があると思います。
で、実験はまだ行われていないので、
あるかどうかはわかりません。

こうしてみると、量子力学はまだまだ分かっていないことが沢山あり、
量子力学が大昔に完成したという主張が
噴飯物であるということがわかりますね。

hirota氏の波動関数に関しましては、
 $\Delta p \neq 0$ と、僕のmathematicaが訴えています。

=============================

 $(\Delta p)^2 = \langle p^2 \rangle- \langle p \rangle^2$ 
 $ \langle p^2 \rangle = \int^\infty_{-\infty} dx |-i\hbar\frac{d}{dx} \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}|^2=\frac{\hbar^2}{8}$ 
 $ \langle p \rangle = \int^\infty_{-\infty} dx \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}(-i\hbar \frac{d}{dx}\frac{1}{\sqrt{1+x^2}})=0$ 

はらいたまえ、きよめたまえ。

=========================================

凡人さんが何を問題にしているかが全く分かりません。
運動量が負になるとはどういう意味ですか?
そもそも、運動量の定義は何を意味してますか?
一回の測定で得られる実験値のことか、
平均値のことか、
詳細をお願いします。

また、 $\Delta x$ は明らかにプラス無限大です。
よって、不確定関係は満たされることになります。


  投稿者:凡人 - 2010/05/02(Sun) 10:42  No.9063 
あさん
時間発展が無い固有関数は、ドブロイ波は出ないけれども、時間に依存するシュレディンガー方程式を満たす事は分りましたが、こんな物理状態は存在するのでしょうか?
またこの場合、不確定性関係は凅冪=∞×0=0となるので、不確定性関係を破りませんでしょうか?
<<追伸>>
hirotaさんの波動関数(=固有関数)はパラメータにtが無いので、私のゴーストが<p>=冪=0と囁いています。
<<追伸2>>
運動量が負になる場合があるという事ですか???www...!!!
あれ! 冪=hbar/(2√2)なら、凅冪=∞×hbar/(2√2)=∞になりませんか?
<<追伸3>>
>そもそも、運動量の定義は何を意味してますか?
<p>=0で、冪=hbar/(2√2)ならば、一回の測定でマイナスの運動量を測定する場合が出て来る事になりませんか?という意味です。
>よって、不確定関係は満たされることになります。
凅冪=∞×hbar/(2√2)=∞でもですか???

  投稿者: - 2010/05/02(Sun) 19:29  No.9068 
凡人さん

マイナスの意味がそうなら、そうですよ。
例えば、調和振動子の基底状態も同様の意味で、
マイナスの運動量をつので、
何が引っ掛かるのかよくわかりません。

あと、時間を含まなくても、
 $H\psi=E\psi$ でエネルギーが定義されるので、
ノンゼロのエネルギーを持つ場合がありますよ。

不確定性関係は

 $\Delta x \Delta p \ge \hbar$ 

ですよね。

  投稿者: - 2010/05/02(Sun) 19:30  No.9069 
式訂正

 $\Delta x \Delta p \ge \frac{\hbar}{2}$ 

  投稿者:kafuka - 2010/05/04(Tue) 17:08  No.9114 
甘泉法師さん
>元xについて物理量Tを観測して値tを得たデータは、物理量f(T)を観測して値f(t)を得たデータとしてつかえる。
>物理量Tを観測すればさらにf(T)を観測する手間はいらない。Tの観測はf(T)の観測でもある。
とのことですが、
f(T)を、T=運動量演算子pとおいて、
f(p)=1/2m(p^2 + g(x) ) つまり、H ですが、
g(x)=0 でない限り、
pの観測値=固有値は、たいてい連続固有値です。
つまり、f(p)ψ=Eψ を満たすψにおいて、
pψ=X(x)ψ です。   X(x)は、xの関数
で、ppψ=pX(x)ψ=X(x)pψ + ψpX(x)=X(x)^2ψ + ψpX(x)
ですから、
p^2の固有値=観測値は、「pの観測値の2乗 X(x)^2」にならない場合が、多いと思います。

ところで、僕の場合ですが、
僕のコメントに反応がないことがよくありますが、
そのおかげで、自分の論理展開?に、重大な「早とちり」「思いこみ」
たいてい、「論外な主張」があるんだ!!
って気づくことができます。

↑も、そのくち かなぁ ^^;

  投稿者:甘泉法師 - 2010/05/04(Tue) 20:54  No.9120 
こんにちは。

kafukaさん - 2010/05/04(Tue) 17:08 No.9114
>f(p)=1/2m(p^2 + g(x) ) つまり、H ですが、

右辺はpだけでなくxも変数にもっています、H(p,x)。pとxは正準交換関係にあるのでpだけの関数とは具合がだいぶ違います。

=甘泉法師=


  投稿者:kafuka - 2010/05/04(Tue) 22:20  No.9124 
ということなら、話を単純にして、、、

pが連続固有値をとる場合、
pψ=X(x)ψ(x) と思います。   X(x)は、xの関数
で、ppψ=pX(x)ψ=X(x)pψ + ψpX(x)=X(x)^2ψ + ψpX(x)
ですから、
p^2の固有値=観測値は、「pの観測値の2乗 X(x)^2」にならない場合がある
でいいと思うのですが。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/05/05(Wed) 00:56  No.9128 
こんにちは。

>pが連続固有値をとる場合、
>pψ=X(x)ψ(x) と思います。   X(x)は、xの関数

この式はどう導かれるのでしょうか? 出自を知って考えてみたく存じます。

=甘泉法師=

PS
次元があうように関数Xは運動量の次元でしょうか。
この式を p=h'/i d/dx を代入して変形すれば
 (log ψ)'= i X(x)/h’
  ψ = C exp {i /h’∫X(x)dx} 
WKB近似の式に似てますね。


  投稿者:kafuka - 2010/05/05(Wed) 03:11  No.9129 
>甘泉法師さん

もちろん、一般には、pψ(x)=f(x) としか言えませんが、
pが離散固有値をとる場合、
pψ(x)=Zψ(x)     Zは定数(次元は運動量)
です。
なので、p=h'/i ∂/∂x として、連続固有状態のψ(x)に掛けると、
pψ(x)=X(x)ψ(x) となると推測しました。
例えば、調和振動子の基底状態のψ(x)=Aexp(-x^2) なら、

pψ(x)=h'/i ∂/∂x ψ(x)=h'/i 2x ψ(x)

となります。
証明できないかと思い、
pの連続固有状態のψ(p)は、
<p|p'>=δ(p−p')=∫exp{ix/h'(p-p')} dx
ψ(p)= ∫ψ(p')δ(p−p') dp'
pψ(x)=h'/i ∂/∂x ψ(x)=∫pψ(p)exp{ixp/h'}dp
なので、この辺から出てくるんじゃないか思って、やってみましたが、
力およばずでした。

  投稿者:ASA - 2010/05/05(Wed) 07:06  No.9130 
甘泉法師 さん No.9128

>ψ = C exp {i /h’∫X(x)dx} 
WKBより、∫X(x)dxは、作用の次元をもち、任意の空間区間で重ね合わせてますから、むしろ経路積分と見えますよ。
参考:ttp://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2006/10/post_a73e.html

  投稿者:ASA - 2010/05/05(Wed) 07:45  No.9131 
kafuka さんNo.9129
ψが下記ハミルトニアンの固有関数であるとき
H=p^2/2m+V
Hψ=Eψ
p^2ψ=2m(E-V)ψ
p=(h'/i) ∂/∂x なら
pψ=(i/h')∫2m(E-V)ψdx

X(x)=(i/h')∫2m(E-V(x))ψdx/ψ
{積分範囲,連続固有値の区間(-∞,∞)}
ですよね。

ちなみに、WKB近似では、
ψがなだらか(ほとんど変化しない区間)で
X(x)=(i/h')∫2m(E-V(x))ψdx/ψ
≒(i/h')∫2m(E-V(x))dx
(冪展開での一次の近似)

  投稿者:甘泉法師 - 2010/05/05(Wed) 10:14  No.9134 
こんにちは。


>もちろん、一般には、pψ(x)=f(x) としか言えませんが、

一般のf(x)=X(x)ψ(x)となるようなX(x)を導入した書き換えですね。了解。

> で、ppψ=pX(x)ψ=X(x)pψ +  ψpX(x)=X(x)^2ψ + ψpX(x)

正しくはppψ=pX(x)ψ= X(x)pψ + [p,X] ψ =X(x)^2ψ + [p,X] ψ

[p,X]f=h'/i(X'f+Xf’-Xf')=h'/i X'から

ppψ=pX(x)ψ= X(x)^2ψ +h'/i X' ψ

ですね。

>p^2の固有値=観測値は、「pの観測値の2乗 X(x)^2」にならない場合がある

固有値は関数ではありませんから

kafukaさん - 2010/05/04(Tue) 22:20 No.9124
> pψ=X(x)ψ(x) と思います。   X(x)は、xの関数

X(x)がpの固有値である、という最初の見立てが具合悪いです。そうするとX(x)の出自からして、どんな関数ψ(x)もpの固有関数ということになってしまいがすが、それは期すところではないでしょう。
Xが定数、つまりX'=0ならば固有値となり p^2ψ=X^2ψになることは上の式のとおりです。

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2010/05/07(Fri) 18:17  No.9171 
甘泉法師さん
>どんな関数ψ(x)もpの固有関数ということになってしまいがすが、
>それは期すところではないでしょう。
そうですね。この提示は、意味をなしませんでした。
お手を煩わせてすみません。

>固有値は関数ではありませんから
離散固有値の場合は、その通りですが、、、

固有値の定義: p|ψ>=ξ|ψ> において、
両辺に<x| を掛ける    
pψ(x)=ξψ(x)     <x|ψ>は関数ψ(x) ・・・スカラーなのでpは入替え可能)
ξが数では、連続固有値の場合の pψ(x)=f(x) と矛盾
∴ ξは、関数と思います。

f(x)は、前にASAさんが計算されています。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/05/07(Fri) 19:05  No.9173 
こんにちは。

>∴ ξが数では、連続固有値の場合 pψ(x)=f(x) と矛盾

ご関心のありかをつかんでいるか心もとないですが
 
ψ(x)がpの固有関数なら pψ(x)=ξψ(x) 
ψ(x)がpの固有関数でないなら pψ(x)=f(x)≠ξψ(x) 

という淡々としたことでないんでしょうか、ξの離散、連続ともに。

=甘泉法師=

  投稿者:hirota - 2010/05/07(Fri) 20:09  No.9174 
>連続固有状態のψ(x)に掛けると、pψ(x)=X(x)ψ(x)
これは「連続」だから固有値が x の関数だと思った、ということですね。
固有状態の固有値は常に 1 つの数値です、
その値が任意の実数値を取りうるか、離散的な値に限られるか、ということが連続固有値と離散固有値の区別です。
「連続固有状態」は 1 つの状態ベクトルを指す言葉ではありません。
連続値のそれぞれに対して、それぞれ別の状態ベクトルが存在するという意味です。
例を書くと、
ψ(x)=exp(i k x) に $p=-i\frac{d}{d x}$ を作用させると、pψ(x)=k ψ(x) で k は任意の実数値。
というのが、連続固有値の例です。(数えきれないくらい出たなぁ〜)
別の例は、
ψ(x)=δ(x−a) に x を作用させて x ψ(x)=a ψ(x), a は任意の実数。
(固有値, 固有ベクトルはヒルベルト空間に限ったものではなく一般的なベクトル空間で定義されてるから、超関数でもアリ)

  投稿者:kafuka - 2010/05/07(Fri) 22:14  No.9176 
甘泉法師さん、Hirotaさん

ありがとうございました。
>これは「連続」だから固有値が x の関数だと思った、ということですね
そうなんです。
固有状態でない=固有値が連続値をとる=関数
と思っていました。

確認:
固有ベクトル|p>でのスペクトル展開
|ψ>=ΣAn|Pn>   <==>  ∫ψ(p)|p> dp
演算子をAとし、固有値をλ(という数)とすると、
(A−λ)|ψ>=0
=A∫ψ(p)|p>dp−λ∫ψ(p)|p> dp
両辺に<p’| を掛けると、
  (A−λ)ψ(p’)=0
      =A∫ψ(p)δ(p-p')dp−λ∫ψ(p)δ(p-p') dp
      =Aψ(p’) − λψ(p’)
両辺に<x| を掛けると、
  (A−λ)ψ(x)=0
      =A∫ψ(p)exp(ix p/h')dp−λ∫ψ(p)exp(ix p/h') dp
      =Aψ(x) − λψ(x)
結局、λは、どんな場合でも、元の定義通り(ただの数)であることが わかります。
しかし、固有状態でない=固有値が連続値をとる と思いこんでいたので、
例えば「箱の中の粒子」の場合、ψ(x)は、Acos(Knx)   ただし |x|≧L/2 で0 とすると、
(p-λ)ψ(x)=-i{−Pn Asin(Kn x)} - λ{Acos(Kn x)} = 0
これを満たすλは、関数しかない と結論したのでした。
この場合、λ=0 つまり、固有値はなく、固有状態でない。
ただ、それだけでした。

ありがとうございました。

  投稿者:kafuka - 2010/05/09(Sun) 00:37  No.9232 
こんどは、僕が笑われる番だなぁ、、、

>Hirotaさん
確かに、意味のない計算でした。

Aを演算子、λを数とすれば、
Aψ=λψ
となるλが固有値(の定義)ですから、
そもそも、λが関数で固有値なんていうのは、ナンセンスでした。

それで、質問なんですが、
離散の場合で言うと、1つの固有値aに属するm個の固有ベクトルを
|a,l>   l=1,2,3,、、、m
と書いて、これが、|a> の意味ですが、
連続の場合、aも l も連続なのは、わかりますが、
aが連続、 l が離散の場合があるというのが、わかりません(新版 量子論の基礎 p70)
恐縮ですが、お教え頂ければ幸いです。
(決して反論の意味ではありません)

  投稿者:ASA - 2010/05/09(Sun) 06:17  No.9236 
kafuka さん No.9232
>l が離散の場合
 l がスピン変数などでは離散ですよ。

  投稿者:kafuka - 2010/05/09(Sun) 06:26  No.9237 
>Hirotaさん

そいうことなのですか!!
僕は、x|x i> とか p|p i> において、
例えば、 x|x i>=λ|x i> となるλが、連続値
i も連続値
と思っていました。

>ASAさん
ありがとうございます。

>あさん
他に、何かいい例があれば、お教え下さい。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/05/09(Sun) 18:22  No.9245 
こんにちは。

kafukaさん - 2010/05/09(Sun) 00:37 No.9232
> それで、質問なんですが、
> 離散の場合で言うと、1つの固有値aに属するm個の固有ベクトルを
> |a,l>   l=1,2,3,、、、m

オペレーターAの固有値aの固有部分空間がm次元の(m次縮重している)場合ですね。

> 連続の場合、aも l も連続なのは、わかりますが、

例 a=x l1=y l2=z 3次元の座標
|x,y,z>=|x>|y>|z>
 xが定まってもyz平面内の自由度がある。

> aが連続、 l が離散の場合があるというのが、わかりません(新版 量子論の基礎 p70)

例 a=H=p^2/2m l=sgn p  1次元運動  
|e,+>,|e.->
 エネルギーが定まっても進行方向の自由度がある。

=甘泉法師=


  投稿者:kafuka - 2010/05/11(Tue) 11:48  No.9286 
Hirotaさん、甘泉法師さん

今になって、恐縮ですが、
そもそも、|a> を、|a i> と書いた時の、i の意味がわからなくなりました。

固有値スペクトルが、σyの-1、+1とか、
{E|E=-R/n^2  n=1,2,3,、、}などの離散スペクトルの場合、
離散スペクトルに属する固有値を、離散固有値。
{E|0≦E<∞}などの連続スペクトルの場合、
連続スペクトルに属する固有値を、連続固有値。
と言うと、「新版 量子論の基礎」p44にあります。
また、
自己共役演算子の固有ベクトルを、縮退しているものまで含めて集めれば
完全系をなす
<tex>| \psi > = \sum_{a}^{}  \sum_{i=1}^{m _{a} }  \varphi  \left(a,i\right) |a,i></tex>
とあります。
|a> を、|a i> と書いた時、i は、縮退しているものを「区別する添え字」でしょうか?
それとも、上記の例で言えば、nに対応するものでしょうか?

前は、nに対応すると思っていましたが、どうも、縮退を区別する添え字のようですね

  投稿者:hirota - 2010/05/11(Tue) 12:18  No.9287 
「縮退しているものを、区別する」が、どういう意味で言ってるのか分からんけど、i は同じ固有値に属する部分空間の基底 (複数の場合) に付けた番号です。
固有値 a に属する部分空間の基底が1つだけなら、それを |a> と書き、複数あるなら |a1>,|a2>,|a3> と書くだけ。

そもそも n を何だと思ってるのかも分からない。

  投稿者:kafuka - 2010/05/11(Tue) 12:31  No.9288 
Hirotaさん

ここで言う縮退の定義は、
ひとつの固有値a に属する固有ベクトルとして、互いに線形独立な 2つ以上の
ベクトル|a 1> , |a 2> 、、、|a m> が存在するとき、
固有値a には、m重の縮退がある という。
です。

nは、aを区別する添え字
<tex>| \psi > = \sum_{a}^{} \sum_{i=1}^{m} \varphi \left(a,i\right) |a,i></tex>
でいえば、左のΣのaに対応 と思っています。

  投稿者:yuya - 2010/05/11(Tue) 12:43  No.9289  <Home>
2つの固有値 $p$ 、 $q$ があって、 $p$ は二重に縮退していて、 $q$ は縮退してないとします。
 $p$ の2つの固有ベクトルを $|p,1>$ 、 $|p,2>$ と書き、 $q$ の固有ベクトルを $|q>$ と書く、と。
 $|q>$ は $|q, 1>$ と書いてもいいですね。2以降は無いけど。

これなら見やすいけど、固有値そのものに番号を付けて、
 $p$ のことを $a_1$ 、 $q$ のことを $a_2$ と書く人もいるかも知れませんね。

すると固有ベクトルは $|a_1, 1>$ 、 $|a_1, 2>$ 、 $|a_2>$ (あるいは $|a_2, 1>$ )と書くことになります。

正直、私もこのノーテーションを初めて見たときワケが分かんなくて、
ただの番号だということに気づくのにだいぶかかりました。
自分で $|p, \fbox{1}>$ 、 $|p, \fbox{2}>$ とか、
番号らしく書き直して納得した憶えがあります。

  投稿者:hirota - 2010/05/11(Tue) 13:16  No.9290 
kafuka さん

縮退の定義を聞いてるのではなくて、縮退しているものを「区別する」を kafuka さんがどういう意味で言ってるのか分からなかったのです。
でも、「縮退の定義」を問題なく書ける所を見ると、全部分かっているとしか思えません。
結局、何を知りたいので?
(ひょっとして No.9287 の回答が縮退の定義と等価だと分からない?)

n をどう思ってるのかは分かりました。

  投稿者:kafuka - 2010/05/11(Tue) 18:51  No.9291 
Hirotaさん
>ひょっとして No.9287 の回答が縮退の定義と等価だと分からない?
その通りです。
線形代数の教科書を、引っ張りだして、やっとわかりました。
僕の教科書には、縮退という言葉はないけど、
固有値が同じで、固有ベクトルが2つある例が載っていました。

Yuyaさん
丁寧な説明、ありがとうございました。
固有値が同じで固有ベクトルが2つの場合と、固有値が2つある場合の関係が
わかってなかったのです。

  投稿者:hirota - 2010/05/11(Tue) 19:38  No.9292 
>固有値が同じで、固有ベクトルが2つある例
教科書を探さなくても、kafuka さんの
http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/61848356.html
にある例題5.4.2 がそうだよ。

  投稿者:kafuka - 2010/05/11(Tue) 19:53  No.9293 
あっ、すっかり忘れていました ^^;
当時、これを縮退ということに、気づいていませんでした。

  投稿者:kafuka - 2010/05/21(Fri) 16:41  No.9477 
>甘泉法師さん

過去の話題ですが、、、

エルミート演算子、対称演算子、自己共役演算子、自己共役拡大について、
新井朝雄「量子力学の数学的構造T」のp131〜146 に、
詳しく載っています。(僕は、ほとんど、わかりませんが)

エルミート演算子:
  Aをヒルベルト空間上の演算子とする、Aの定義域のΨ、Φに対して、
  内積(Ψ、AΦ)=(AΨ、Φ) が成り立つ時、Aをエルミート演算子という。

対称演算子:
  エルミート演算子の定義域が稠密であるとき、対称演算子という

自己共役演算子:
  対称演算子の中で、A=A* を満たす時、自己共役演算子という
  したがって、

p146 には、自己共役拡大の例が載っています。

参考になりましたら、幸いです。

尚、この本には、最初の方に、内積空間やヒルベルト空間が、詳しく載っています。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/05/21(Fri) 19:12  No.9478 
こんにちは。 kafukaさん ご教示ありがとうございます。
今は、Wikipedia エルミート作用素 などを見て
オブザーバブル=エルミート=自己共軛 ⊂ 対称
と理解しているところです。

教えていただいた本はテークノートして読む機会を探します。

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2010/05/22(Sat) 13:14  No.9479 
オブザーバブルが、どれを指すのか、僕では、わかりませんが、
定義域が稠密でなければ、
エルミート演算子≠自己共軛(自己共役)演算子
です。
例えば、箱で、「高さ無限大、幅有限の仕切り」があったら、≠ でしょう。

ヒルベルト空間は、稠密になるようにするので、
定義域が、途切れてなければ = かなぁ?
この辺、自信ありません。教えて頂けると幸いです。