EMANの物理学 過去ログ No.8698 〜

 ● 質問 積分計算

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/03(Sat) 20:52  No.8698 
こんにちは。積分の計算方法の質問です。

>投稿者:甘泉法師 - 2010/03/29(Mon) 12:27 No.8623
の☆にある ∫[0,+∞] e^(ikx) dx の計算結果を知りたく存じます。

実部は、被積分関数が偶なので   
 Re∫[0,+∞] e^(ikx) dx = 1/2 Re∫[-∞,+∞] e^(ikx) dx =πδ(k) とわかるのですが
虚部は
 Im∫[0,+∞] e^(ikx) dx = 0 でよいでしょうか。

=甘泉法師=  


  投稿者:のま - 2010/04/04(Sun) 03:58  No.8702 
I = int^∞_0 sin(kx)exp(-εx) (ε>0) という積分を考えると、
2回部分積分する方法で I = k/(k^2+ε^2) がわかります。
ε→0 より int^∞_0 sin(kx) = 1/k.
よって int^∞_0 exp(ikx) = πδ(k) + i/k.
(等号は超関数論的等号)

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/04(Sun) 11:16  No.8706 
こんにちは。

exp(-εx)による減衰の方法、ありがとうございます。 やってみます。

I = int^∞_0 sin(kx)exp(-εx) (ε>0) = Im ∫^∞_0 exp((ik-ε)x) = Im 1/ (ik-ε)[exp((ik-ε)x)]^∞_0   exp{(-ε)(+∞)}=0だから

= - Im 1/ (ik-ε) = k/(k^2 + ε^2)

ε→+0 でも exp{(-ε)(+∞)}=0  がいえるなら I=1/k ですが...どうなんでしょう?
 
ε=0 で [exp((ik-ε)x)]^∞_0 = 0 ならば  I=0 ですが...

=甘泉法師=


  投稿者:のま - 2010/04/04(Sun) 22:29  No.8711 
ε→0の極限をとるのはあくまで積分の後。
デルタ関数を含め、超関数論では常套手段です。
もしこれが納得できないなら、そもそも
∫[-∞,+∞] exp(ikx) dx という広義積分が
なぜデルタ関数という超関数なのかということも
納得できないはずです。

  投稿者:ASA - 2010/04/05(Mon) 07:00  No.8712 
のまさん No.8702

> I = k/(k^2+ε^2) がわかります。
>ε→0 より int^∞_0 sin(kx) = 1/k.
>よって int^∞_0 exp(ikx) = πδ(k) + i/k.
k=0のときどのようなxに対してもkx=0であって、結果int^∞_0 sin(kx) =0ですから違うのでは?
実部と虚部との対称性からいっても、実部のみが超関数であることは変ですよ。
 例えば、∫範囲を、0〜π/2k,π/2k〜∞に分け、後者をy=x+π/2kと範囲を変更するとcosとsinが入れ替わります。

  投稿者:のま - 2010/04/05(Mon) 07:47  No.8713 
1/k は超関数の意味では k=0 のとき 0 を与えると考えられるんです。
-∞ と +∞ の平均という意味でです。気持ち悪いならレギュレーターを
残したままの表記の方が安全ですが、多くの場合は大丈夫です。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/05(Mon) 08:30  No.8714 
ありがとうございます。εを使わずに
k≠0なら Im ∫^∞_0 exp(ikx) dx= -1/k Re [exp(ik∞)-1]
[exp(ik∞)-1]は単位円を−1だけずらした円上にある。−2<実部<0 平均は−1  Im ∫^∞_0 exp(ikx) dx= 1/k
k=0なら Im ∫^∞_0 exp(ikx) = Im ∫^∞_0 1 dx = 0
となることを確かめました。
ありがとうございました。

=甘泉法師=

  投稿者:のま - 2010/04/05(Mon) 10:37  No.8715 
>>8714 甘泉法師さま
その理解でもOKです。超関数の意味では高振動の極限を平均で
置き換えることが許されるので。

  投稿者:ASA - 2010/04/05(Mon) 10:46  No.8716 
のま さんNo.8713
大筋了解しました。

>1/k は超関数の意味では k=0 のとき 0 を与えると考えられるんです。
表記上の問題ですが、通常の関数と区別した方がよろしいかと思います。

>気持ち悪いならレギュレーターを残したままの表記の方が安全ですが、多くの場合は大丈夫です。
スレ主の甘泉法師さんの疑問は、デリケートな話から来てると思いますのでどのような場合に大丈夫なのか指摘して下さると助かります。

 この辺の議論詳しくないので教えて欲しいのですが、今の場合収束因子としてe^(-εx)を使用されてますが、他の収束因子を使用した場合も、1/kに一様収束することが保証されているのでしょうか?

  投稿者:のま - 2010/04/05(Mon) 12:53  No.8717 
>>8716 ASAさま
大丈夫だと言ったのは、超関数として、すなわち積分の中ではそうして良い
という意味です。具体的には例えば、
I = int(0,∞)dk int(0,1)dx x sin(kx)
という2重積分があった時、これを int(0,∞) dk sin(kx) = 1/x を
利用して k 積分を先に実行して大丈夫、ということです。
結果は I=1. もし x 積分を先に実行すれば、
I = int(0,∞) dk (sin(k) - k cos(k)) / k^2
となりますが、被積分関数は k→0 でも k→∞ でも 0 に漸近する
well-defined な関数です。そして I=1 に収束するでしょう。

regularization の方法による依存性ですが、値が収束する領域に関し
ては依存性はあり得ません。結果が 1/k ならば、k≠0 においては
どんな方法によっても 1/k にならないとおかしいです。

  投稿者:ASA - 2010/04/06(Tue) 07:40  No.8719 
のまさん No.8717
>すなわち積分の中ではそうして良いという意味です。
了解。

>値が収束する領域に関しては依存性はあり得ません。
 その理由が根拠が知りたいわけでして。

>結果が 1/k ならば、k≠0 においては
>どんな方法によっても 1/k にならないとおかしいです。
δ関数のように、kの関数でないならどのようなregularizationでも一様収束というがなんとなく理解できますが、1/kのように普通の関数形態をしているとほんとに一様収束なのか疑問に思ったわけです。

  投稿者:のま - 2010/04/06(Tue) 12:46  No.8720 
>>値が収束する領域に関しては依存性はあり得ません。
> その理由が根拠が知りたいわけでして。

正確に書けば、

ある関数 f が g および g' と超関数論的に等しく、
g および g' が点 a において共に連続ならば g(a)=g'(a).

ということですが、証明を書くなら、

f〜g, f〜g' より g〜g' (「〜」は超関数論等号)だから、
任意の積分区間、任意の連続関数 h に対して
 ∫h(x)(g(x)-g'(x))dx =0.
h(x)=1 を選び、積分区間を (a-ε,a+ε) とし、
上式を 2εで割ってε→+0 の極限をとると、
関数 g,g' がこの区間で連続であることに注意して、
g(a)=g'(a).

くらいだと思います。これで納得いきますでしょうか?

  投稿者:ASA - 2010/04/07(Wed) 07:48  No.8726 
のま さん
 回答有難うございます。
 確認したいのですが、超関数論的に等しいとは、
任意の積分区間、任意の連続関数 h に対して
∫h(x)g(x)dx =∫h(x)g'(x)dx
が成立する時
g〜g' (「〜」は超関数論等号)
ということでよろしいでしょうか?

すると、 gとかg'などは、連続でなくてもよろしいような気がします。
なので"g および g' が点 a において共に連続"という条件がどこから来るのかが気になってしまいます。
 話をちょっと戻すと収束因子fは、f(∞)→0,ε→0:f(any x)→1で
必ずしも連続条件が課されているようには思えません。
 このように次から次にと疑問が湧いてきて尽きそうもないので切り上げたいと思います。

しかし、御回答で以下の点が気になるので知っていたら教えて下さい
大丈夫の話で、"2重積分で順序をかえてもOK"という回答でしたが、
{1/k}、({}はk=0で0ということを示す)でフーリエ積分を考えると
∫{1/k}e^(ikx)dx;偶奇性からisin(kx)の項のみが残るとすると
={iπ};(x=0で0)
となり
これを逆変換すると
iπδ(k)となります(係数は、雑)。
超関数論的に{1/k}=iπδ(k)と看做してよろしいということでしょうか?

物理では普通は、∫(∫φ(k)e^(ikx)dk)e^(-iλx)dx=φ(λ)=φ(k)を考えていています。ディストリビューションであるδ(k)はδ(k)にちゃんと戻っていて閉じているんですよね。そういったことから{1/k}は、良く定義されていないように思えるんですが、超関数論には詳しくないのでどうなんでしょうかという疑問です。

  投稿者:のま - 2010/04/07(Wed) 12:07  No.8728 
>>8726 ASAさま

> ∫{1/k}e^(ikx)dx;偶奇性からisin(kx)の項のみが残るとすると
> ={iπ};(x=0で0)

たぶん書き間違いがあると思うんですが、積分変数は k で、
∫(1/k) e^(ikx) dk = iπ sgn(x) でしょう?
sgn(x) は符号関数と呼ばれるもので、名前の通り
sgn(x) = cases{ 1 (x>0), 0 (x=0), -1 (x<0) } です。
(変数変換 k → s=xk などとした時に x<0 の場合は積分方向が
+∞ → -∞ のように逆転することに注意)
もちろん、iπ sgn(x) を逆フーリエ変換すれば 1/k に戻ります。

とりあえずこれだけ。


  投稿者:ASA - 2010/04/07(Wed) 12:49  No.8729 
のま さまNo.8728
 了解いたしました。
 いろいろ有難うございました。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/07(Wed) 22:26  No.8734 
こんにちは。

数学の議論は納得ですが、物理の境界条件から虚数項は0になる、
という考察を

Re: 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか 甘泉法師 - 2010/04/07(Wed) 00:15 No.8725

でいたしました。ご興味があればごらんください。

=甘泉法師=

  投稿者:凡人 - 2010/04/07(Wed) 22:53  No.8735 
甘泉法師さん
>数学の議論は納得ですが、物理の境界条件から虚数項は0になる、という考察を
∫Ψ(x)dxが複素数になってはいけないという話しはありましたでしょうか?

  投稿者:凡人 - 2010/04/09(Fri) 01:05  No.8752 
甘泉法師さん
>>数学の議論は納得ですが、物理の境界条件から虚数項は0になる、という考察を
>∫Ψ(x)dxが複素数になってはいけないという話しはありましたでしょうか?
こちらのご返答はいかがでしょうか?

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/09(Fri) 08:20  No.8754 
こんにちは。

>∫Ψ(x)dxが複素数になってはいけないという話しはありましたでしょうか?

ご質問を読解できずご返事できませんでした。
あらためてRe: 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか 甘泉法師 - 2010/04/07(Wed) 00:15 No.8725 の計算にコメントいただければ幸いです。

=甘泉法師=

  投稿者:凡人 - 2010/04/10(Sat) 01:12  No.8763 
甘泉法師さん
No.8698の
>の☆にある ∫[0,+∞] e^(ikx) dx の計算結果を知りたく存じます。
は、波動関数のような形なので、波動関数だと思ったのですが、違いましたですね。
申し訳ありませんでした。

ところで、No.8725の
>∫u_λ'* u_λ dx
の'_'の記号の意味を教えていただけないでしょうか?

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/10(Sat) 11:06  No.8764 
こんにちは。

固有値λの固有関数を u_λ と記しました。_で添字を表したつもりですが、そういうきまりがあるわけではありません。

=甘泉法師=