EMANの物理学 過去ログ No.8496 〜

 ● 虚数乗の次元

  投稿者:甘泉法師 - 2010/03/16(Tue) 20:50  No.8496 
こんにちは。

No.8416で書いた
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演算子 (XP+PX)/2 
固有値 −∞<λh'<∞
固有関数 u_λ,p(x)=1/√(4π) {sgn(x)}^p e^{(-1/2 +iλ)log|x| }  : p=0 (偶), 1 (奇)
固有関数の規格直交 ∫u*_λ',p'(x) u_λ,p(x) dx = δpp’δ(λ−λ’) 
固有関数の組は完全系をなす。
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に関連して、虚数乗の表式の物理的次元について疑問があります。

問 固有関数の表式の一部 e^(iλlog|x|)書き直せば |x|^(iλ) のディメンジョンはなにでしょうか。

xを x=χ*[m] と無次元値χと単位m:メートルの積とみて
e^(iλlog|x|)=e^(iλlog|χ|)* e^(iλlog[m])
   あるいは  =|χ|^(iλ)* [m]^(iλ)。  
このように扱っていいのでしょうか。 

e^(iλlog[m])= 1 + iλlog[m] - .... 級数展開
         = cos(λlog[m])+ i sin(λlog[m])
別のあらわしかたをするとさらに複雑です。

複素共役との積 u*u では消失します。波動関数は「物理量」でないという証でしょうか?

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2010/03/18(Thu) 08:17  No.8516 
 冪乗は、実数じゃないと単位系にあわせた物理的解釈が意味を持たないからです。(虚冪に、物理的意味を持たせることができれば話は別ですが)

 前にも書きましたが、
 u=x^(-1/2+iλ/h') などは、ノルムが定義できないので、物理的解釈不能です。
 算術的にも、平面波e^(ipx/h')より使い難い(中心部で収束が悪い等)ので利用価値がないです。
 平面波では、周期的境界条件によりノーマライズし物理的意味づけをする場合も有りますな(しかし、連続固有値ではなくなる)。