EMANの物理学 過去ログ No.8354 〜

 ● 試験の問題が1つ出来ません

  投稿者:kafuka - 2010/02/18(Thu) 09:33  No.8354 
昨日、物理の試験があったのですが、以下の問題を間違えました。
皆様なら、どう答えられますか?

問7 光子の波長λが、3000Åで、100万分の1の精度まで測定されていた場合、
この光子の位置の不確定さは、どのくらいか?
ただし、ΔxΔp≧h/4π とする。

僕の答え、
まず、Δx〜h/4πΔp
精度が、10^-6 なら、誤差は、0.5x10^-6 で、Δλ/λ=0.5x10^-6
λ=h/p なので、
Δp/p=0.5x10^-6

λ=3000Åの光子のpは、h/λ
Δp=px0.5x10^-6=h/λ x 0.5x10^-6

Δx〜h/4πΔp=h/4π λ/h x 0.5x10^6
=λ/4π x 0.5x10^6
で、hの値と無関係になってしまいました。

不確定性原理から言って、これはおかしいと思います。
どう考えればいいか、お教え頂けると、幸いです。

  投稿者:yuya - 2010/02/18(Thu) 10:01  No.8355  <Home>
h はもともと定数ですから、h によらない結果になっても構わないのでは?
λ によらない結果になったら、さすがにおかしいでしょうけれども。

この宇宙とは別に、普遍定数 h の値だけが異なる宇宙があったとしても、
この問題の答は変わらないわけですねぇ。面白い。

異なる宇宙の学生同士で答え合わせができる!

  投稿者:hirota - 2010/02/18(Thu) 10:13  No.8356 
バンド幅が Δλ の波を合成して、どれだけ小さい波束が作れるか? という問題と思えば、h と無関係なのは当然。
h は「運動量pの粒子」という概念を使う時に必要なだけなので、この場合は不要。

  投稿者:明男 - 2010/02/18(Thu) 19:42  No.8358 
>kafukaさん

当初の疑問へのレスではないのですが、精度が10^-6のとき、誤差が0.5×10^-6は本当でしょうか?あっさり書かれていますが、気になります。

  投稿者:kafuka - 2010/02/18(Thu) 22:41  No.8360 
yuyaさん、hirotaさん
ありがとうございました。
了解です。

ところで、時間の誤差を求めてみます。
誤差は、0.5x10^-6 で、Δλ/λ=0.5x10^-6
λ=c/ν なので、 Δν/ν=0.5x10^-6
E=hν なので、 ΔE/E=0.5x10^-6
Δt〜h/4πΔE から、
Δt〜h/4π 1/hν  x 0.5x10^6 = 1/(4πν) x 0.5x10^6
まぁ、Δt=Δx/c に一致して当然ですが。

で、光の速度の測定値c’と上記の誤差の関係は、
c’=c±Δc=(x±Δx)/(t±Δt)≒(1±Δx/x)(1±Δt/t)x/t ですから、
Δc/c = 0.5x10^-6+0.5x10^-6=1x10^-6 で、当然hの値に関係なくですが、、、、

Δc/c=2*λの相対誤差 なので、λの誤差が決まれば、cの相対誤差=
Δc/cという比は、cの値に関係ない
また、光の速度の測定値の相対誤差は、λの測定値の精度以下にできない
ということになります。

言い過ぎかも知れませんが、
光速度の値は、光子の運動量の不確定性分だけ、広がりを持っている
と言っても、矛盾はないと思います。

  投稿者:kafuka - 2010/02/18(Thu) 23:19  No.8361 
明男さん:
ご指摘、ありがとうございます。

例えば、精度が0.1 なら、xxxx.a±0.05 で、最大誤差は、0.1 ですね。
(書いた値は、有効数字が0.1桁目で誤差が0.1なら、有効数字が0.1桁目とは思えないという小学生の発想です)

ただ、測定値の分布(正規分布とか)が与えられていると、
最大誤差以上になるのを、0.3%とした正規分布の2乗平均を誤差とするのでしょうか?
よくわかりませんが。

  投稿者:明男 - 2010/02/18(Thu) 23:33  No.8362 
いえいえ、kafukaさん、指摘なんかではなくて私もよくわからないんですよ。まあ、問題なので深く考えない方がいいかも知れませんが、数値で答えると明らかに違う答えになりますもんね。もし、ぺけになったなら、それが原因かもと思っただけです。

本当に測定値の分布ではχ自乗検定等を行うのだと思いますが、誤差論は脳みそのどこにも残っていないので、もう続けられません^^:)。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/19(Fri) 08:22  No.8363 
こんにちは。同じ答えですがちょっとだけ違う見方です。

>問7 光子の波長λが、3000Åで、100万分の1の精度まで測定されていた場合、
>この光子の位置の不確定さは、どのくらいか?

半波長が100万個続いてはじめて振幅0の点の数が1個違う。その波連の長さは
 3000Å*1/2*100万個=0.15m
光子はこの波連のどこかにあるので不確定は0.15m

=甘泉法師=



  投稿者:kafuka - 2010/02/19(Fri) 09:45  No.8364 
明男さん:
ということは、
3000x10^-10 / 4π x10^6=0.024 m = 24mm
でしょうか。
うーん。甘泉法師さんの答と、1桁違いますね。
4πというのを、2πにし、(僕の記憶では、たしか、正規分布の場合ΔxΔp≧h’ですから)
甘泉法師さんの答を、πで割れば、一致します。

  投稿者:hirota - 2010/02/19(Fri) 09:46  No.8365 
>光速度の値は、光子の運動量の不確定性分だけ、広がりを持っている
位置が確定して運動量がまるで不確定でも、光子の速度は測れますよ。
決めた時刻に粒子でもぶつけて光子を発生し、離れた所で光子の検出時間を測定すれば、距離を長くすればいくらでも高精度に出来ます。
位置は確定ですから運動量は不確定でしょうねー。

  投稿者:ASA - 2010/02/19(Fri) 10:36  No.8366 
hirota さんNo.8365
>決めた時刻に粒子でもぶつけて光子を発生し、離れた所で光子の検出時間を測定すれば、距離を長くすればいくらでも高精度に出来ます。
これは違うでしょ。
 すぐ(タイムディレーなし)に光子を発生できないし、また、すぐに光子を検出できません。最低、1周期の時間はかかると見たほうが良いです。
 そもそも、単一光子を制御する技術って、確立されてないと思います。

 マクロ計測による光速の測定は、光子集団に対してなされるものでhirota さんの説明とは違います(光子は、数が数えることができても、何時どこで派生した光子であるかを各々識別できないものです)。

  投稿者:T_NAKA - 2010/02/19(Fri) 11:17  No.8367  <Home>

運動量、波長の期待値を各々 Po、λo とすると、

Po+儕 = h/(λo-刄ノ) ; Po-儕 = h/(λo+刄ノ)

なので、

儕 = (h/λo)(刄ノ/λo)/{1-(刄ノ/λo)^2} ≒ (h/λo)(刄ノ/λo)

となり、

凅 〜 (λo/4π)(λo/刄ノ)

で、私は基本的にkafukaさんの考え方は間違っていないと思いますよ。

ところで、

儕凅 〜 h/4π

という式での"" は「標準偏差」という意味ですよね。
そういった意味で、「100万分の1の精度まで測定されていた」という文脈での精度は標準偏差なのか?
というのが問題です。
普通、測定精度というのは標準偏差で示すようですね。この立場をとると明男さんの仰ることが正しくて 1/2 する必要はないことになります。

  投稿者:hirota - 2010/02/19(Fri) 19:05  No.8369 
>光速の測定は、光子集団に対してなされるもの
光子集団でいいですよ。 すごく短いパルスで測るべきですから。
今ならマイケルソン-モーリーの頃とは比べ物にならない短パルスで可能なんじゃないですか?

  投稿者:ASA - 2010/02/19(Fri) 20:18  No.8371 
hirota さんNo.8369
 光パルスで光速の精密測定は、されてません。
参考:ttp://hpcgi2.nifty.com/eman/bbs090406/yybbs.cgi?mode=res&no=8354
 上記ではナノパルスで5%精度の測定装置が紹介されてます。
精密測定は、レーザー干渉計による波長計測から求めてます。
その測定では、9桁精度を得てますが、誤差は、長さ基準の不確定さによると説明されてます。
 kafuka さんがNo.8360で述べているように、量子的揺らぎの故に本質的な誤差を有していると見た方が自然です。

  投稿者:ASA - 2010/02/19(Fri) 21:41  No.8373 
No.8371への自己フォロー
失礼コピペミスです。
ttp://sspp.phys.tohoku.ac.jp/yoshizawa/kousoku.htm

  投稿者:ASA - 2010/02/19(Fri) 22:08  No.8374 
補足です。
 長さ基準について ttp://www.aist.go.jp/aist_j/press_release/pr2009/pr20090716/pr20090716.html#e
日本では、「よう素安定化ヘリウムネオンレーザ」から、「協定世界時に同期した光周波数コム装置」に変っていたのですね。

  投稿者:凡人 - 2010/02/20(Sat) 01:26  No.8375 
ASAさん、申し訳ありませんが、
>kafuka さんがNo.8360で述べているように、量子的揺らぎの故に本質的な誤差を有していると見た方が自然です。
については、kafukaさんがNo.8360にて、
>光速度の値は、光子の運動量の不確定性分だけ、広がりを持っていると言っても、矛盾はないと思います。
と述べられた箇所の事だと思いますが、光子は、速度(または運動量(または周波数))が「量子的揺らぎ」によって揺らぎながら進行するという事なのでしょうか?
例えば電磁波が正弦波の場合には波束が無いので、時空不確定性関係等を考慮しなければ、光子は、運動量と位置の間に不確定性関係は全く存在していない思っていたのですが、私が誤っているのでしょうか?

  投稿者:kafuka - 2010/02/20(Sat) 09:10  No.8379 
T_NAKAさん:
なるほど、そう計算するのですね。
ありがとうございます。

>測定精度というのは標準偏差で示す、、、明男さんの仰ることが正しくて 1/2 する必要はない
了解です。

  投稿者:kafuka - 2010/02/20(Sat) 09:19  No.8380 
凡人さん:
横から失礼します。

>正弦波の場合には波束が無い
波束がΔxの幅に広がっているとして、
波束の幅が無い(Δx=0)は、δ関数の形の場合でしょう。
正弦波だけからなるとする場合、(波束とは呼ばない?)
波束の広りΔxは、∞です。

尚、波束の波長がΔλの幅に広がっているとして、
Δλ=0は正弦波ですが、Δxは、∞です。

  投稿者:凡人 - 2010/02/20(Sat) 15:05  No.8388 
kafukaさん
>Δλ=0は正弦波ですが、Δxは、∞です。
相対性理論に基けば、光子の速度cは周波数(または運動量)に関わらず一定です。
だから、x軸の正方向に運動している光子を、時刻t0で位置を(x0,0,0)として観測した場合、t秒後の位置は(x0+ct,0,0)となるので、位置の不確定性は原理的には、観測装置自体の量子的な揺らぎを考慮しなければ、全く存在しないといえると思います。
また、
>波束の広りΔxは、∞です。
正弦波に波束の広がりがあるという話しは聞いた事がありませんでした。
正弦波の電磁波の時間経過に伴う進行軌跡を、「波束の広り」というように誤解されていませんでしょうか?

ASAさん
賢明なご選択をなされたのでしょうか? それならそれで結構です。
<<補足>>
ここで記している正弦波は、単一周波数の正弦波です。

  投稿者:kafuka - 2010/02/20(Sat) 16:46  No.8390 
>正弦波に波束の広がりがある
そんな意味にお取りになったのですか。すみません。
正弦波を無理やり波束と見れば、広がりが∞の波束に対応する
という意味です。

以下 EMANさんの波束についての説明>
一点だけにピークを持つような形の波を作ることも出来るのではないだろうか。 こうして作った波の塊を「波束」と呼ぶ。
 デルタ関数的な波束を作ろうと思ったらあらゆる波長の平面波を同じ割合で重ねることが必要だ。 その時、粒子の位置は一点に確定するだろうが、運動量についての情報は一切失われることになる。

この説明で、「1つの波長の平面波」としたらどうなりますか?
そもそも、
>正弦波だけからなるとする場合、(波束とは呼ばない?)
と僕は書いています。

>賢明なご選択をなされたのでしょうか?
ASAさんは、プロの方でしょう。
凡人さんの仕事で、仮に、何か決定した事項があったとして、プロでない人間に、こう言われたら
失礼なと思いませんか

  投稿者:凡人 - 2010/02/20(Sat) 18:40  No.8394 
kafukaさん
>以下 EMANさんの波束についての説明>
http://homepage2.nifty.com/eman/quantum/wave3d.html
の「粒子を作る」の箇所だと思いますが、この箇所は、シュレディンガー方程式に基いているので、静止質量がゼロ(m=0)で、光速で運動する光子の場合(v=c)には適応出来ないのではないですか?
シュレディンガー方程式が適応出来るのは、静止質量が正定値(m>0)で、運動速度が光速と比べて十分遅い場合(v<<c)だけですよね?
嘘だと思ったら、試しにmに0を代入(m=0に)して見てください。

>>賢明なご選択をなされたのでしょうか?
>ASAさんは、プロの方でしょう。
>凡人さんの仕事で、仮に、何か決定した事項があったとして、プロでない人間に、こう言われたら失礼なと思いませんか
何故でしょうか? 「プロ」に意見を言ってはいけないという決まりがあるのでしょうか?
また、プロはプロでも、物理のプロとは限らないと思いますよ。
尚、私だったら、自分の考えている事を代弁してくれて、寧ろ有りがたいと感じると思います。
因みに、「凡人さんの仕事で、仮に、何か決定した事項があったとして、」という言葉を付け加えた意味が分りません。
<<追伸>>
kafukaさん、シュレディンガー方程式を光子に適用できない事を、T_NAKAさんから教えていただいた事を思い出して下さる様願います。

  投稿者:kafuka - 2010/02/20(Sat) 23:55  No.8402 
>この箇所は、、、、光子の場合(v=c)には適応出来ないのではないですか?
「この箇所」は、今の議論では、それはどうでもいいことで、(EMANさんの記述のことじゃないですよ)
僕が引用したのは「波束の説明」の4行だけで、
僕の言う「波束」の定義と凡人さんの言う「波束」の定義は、なんか違うんじゃないか?
と思ったのです。
「正弦波を無理やり波束と見れば、広がりが∞の波束に対応する」
というのは極端な例ですが、(僕は間違いとは思いませんが)
波束というものは、複数(無限個を含む)の正弦波からなる
わけで、δ関数状の波束も、ちょっと広がった波束も、それは同じことが
言えます。
したがって、波束のλは、複数のλからなる=λに広がりがある ことになります。(波束が狭まる=δ関数に近くなる程、λの広がりは大きくなる)
そのλの広がりを、Δλで表わすと、No8360 の計算より、
λの相対誤差=Δλ/λ とすると、
Δc/c=2*λの相対誤差 
つまり、光の速度の測定値の相対誤差は、λの測定値の相対誤差以下にできない
ことが言えます。
当然ながら、もしλの誤差=0なら、光の速度の測定値の誤差は、0 です。
なんら相対性理論と矛盾しません。
ここまでは、ASAさん、Hirotaさん、T_NAKAさん 同意だと思います。

しかし、λの広がりが小さいということは、波束の幅が広がるわけで、
その中に見い出される光子が確率的に存在する幅は、広くなるはずです。

仮に、時刻0で放出された光子の波束を、時刻tで、その光子を検出して、位置をxnとするアンサンブル
を想定すれば、光の速度が幅を持つ と言ってもおかしくない
と僕は思うのです。
(もちろん、波束の山の部分に注目すれば、これはcですが)

  投稿者:凡人 - 2010/02/21(Sun) 00:58  No.8404 
kafukaさん
>>この箇所は、、、、光子の場合(v=c)には適応出来ないのではないですか?
>「この箇所」は、今の議論では、それはどうでもいいことで、(EMANさんの記述のことじゃないですよ)
ここがどうでもいいことではないと思っております。

>僕の言う「波束」の定義と凡人さんの言う「波束」の定義は、なんか違うんじゃないか? と思ったのです。
>「正弦波を無理やり波束と見れば、広がりが∞の波束に対応する」というのは極端な例ですが、(僕は間違いとは思いませんが)
済みませんが、単一で一定の正弦波の電磁波に波束があるというのがどうしても理解出来ません。
kafukaさんは、もしかすると、光子が観測されない状態では何処に在るかわからないという実感から、No.8380にて、
>尚、波束の波長がΔλの幅に広がっているとして、Δλ=0は正弦波ですが、Δxは、∞です。
と言われたのかもしれませんが、もしそうだとしたら、観測しない事による不確定性なので、量子の観測にまつわる不確定性関係とは全く別だと思います。

>波束というものは、複数(無限個を含む)の正弦波からなるわけで、δ関数状の波束も、ちょっと広がった波束も、それは同じことが言えます。
単一の周波数を持つ光子とどう関係するのでしょうか?

>当然ながら、もしλの誤差=0なら、光の速度の測定値の誤差は、0 です。
この場合、C=λνなので、ν(周波数)も誤差0で測定する必要がありませんでしょうか?

>しかし、λの広がりが小さいということは、波束の幅が広がるわけで、
繰り返しになりますが、これは、有質量の粒子をシュレディンガー方程式で記述した場合の話しで、光子には適応出来ないと私は思っております。

>仮に、時刻0で放出された光子の波束を、時刻tで、その光子を検出して、位置をxnとするアンサンブルを想定すれば、光の速度が幅を持つ と言ってもおかしくないと僕は思うのです。
「位置をxnとするアンサンブルを想定すれば、」仰られている意味が理解出来ませんが、単一の光子の周波数は単一で一定なので、周波数の広がりはありません。
また、光子のサイズは超ひも理論等を適用しない限り厳密に0なので、x方向の広がりは厳密に0のはずです。
「アンサンブルを想定」しようが何をしようが、「光の速度が幅を持つ」というのは、相対性理論をあからさまに破っている表現になっていると思います。

ということで、私がkafukaさんが一番間違っていると思うのは、No.8380の、
>尚、波束の波長がΔλの幅に広がっているとして、Δλ=0は正弦波ですが、Δxは、∞です。
の箇所ですので、よろしくお願いいたします。
<<補足>>
現実の測定過程では、測定装置の量子の揺らぎの影響があるので、誤差0の観測を行う事は不可能ですが、
http://wwwsoc.nii.ac.jp/jps/jps/guide/ronbunsyo/ronbun12-2007.html
にて、
>すなわち、古典的な時空幾何学の言葉を用いたとき、弦理論では、時間方向の不確定性 凾s と空間方向の不確定性凾w の間に時空不確定性関係 凾s凾w≧α’ が成立しているとするのである。
とされていますので、超ひも理論が正しければ、原理的にも誤差0の観測を行う事は不可能となります。

  投稿者:T_NAKA - 2010/02/21(Sun) 02:15  No.8408  <Home>
kafuka さん

>T_NAKAさん 同意だと思います。

と言われてますが、全面的に同意している分けではありません。。

p = hν/c= E/c ⇒ c = E/p

と表現した場合、E と p が交換するなら、原理的に c はいくらでも精確に決めることができるのではないでしょうか?
kafuka さんはどうお考えですか?

  投稿者:kafuka - 2010/02/22(Mon) 16:24  No.8421 
T_NAKAさん
>E と p が交換するなら、原理的に c はいくらでも精確に決めることができる
その通り思っていました (この場合、E と pは、同時固有状態ですね)
なので、
>もしλの誤差=0なら、光の速度の測定値の誤差は、0 
と書いたのですが、「もし」は余計でしたし、記述不足でした。

尚、ここの論旨とは、関係ないですが、TOSHIさんの記事:
http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2009/10/post-20f6.html

相対論的量子力学においては,光子の座標を云々することは不可能であることが判明した。
     光子が座標 r に存在するという言葉は意味を持たない。
ただ波数表示にした波動関数の絶対値の二乗はその波数を持つ光子の存在確率を表わします

とあり、面白いと思いました。

  投稿者:hirota - 2010/02/23(Tue) 11:14  No.8424 
>「長さの国家標準」が新方式に
http://www.aist.go.jp/aist_j/press_release/pr2009/pr20090716/pr20090716.html
ふーむ。光コムで周波数-時間目盛りを決め、光速度は与えられた定数として、波長を使って長さを測るわけですか。(光速度の誤差なんて意味な〜い)
そういえば、かなり以前からレーザーパルスで距離を測る装置がありましたっけ。
なんでも、長距離だと帰ってくる光子が数個しかないとか聞いたような。

  投稿者:凡人 - 2010/02/24(Wed) 00:45  No.8426 
kafukaさん、No.8423の、
>「単一の正弦波の場合には波束とは言え無い。しいて言えば、広がりΔxが∞の波束」
についてですが、
http://hpcgi2.nifty.com/eman/bbs090406/yybbs.cgi?mode=res&no=8354
のNo.8388の、
>正弦波の電磁波の時間経過に伴う進行軌跡を、「波束の広り」というように誤解されていませんでしょうか?
という箇所を今一度ご覧になっていただきたいと思います。
今回の「広がりΔxが∞の波束」についてですが、時間というパラメータを無視すれば、一応その様に言えるかもしれませんが、電磁波は、時間経過に伴って光速で進行する波なので、時間というパラメータを無視出来ない訳です。
kafukaさんの、
>尚、波束の波長がΔλの幅に広がっているとして、Δλ=0は正弦波ですが、Δxは、∞です。
という表現は、単一の光子の波が同一時間に、x軸上の全ての位置に存在するという表現になっているので、x軸上を光速で運動している単一の光子のx軸方向の位置を、観測によって確定出来ない事になってしまうと思うのです。
しかし現実は、特定の時間に於ける単一の光子の位置は測定可能なので(光子の波長が長くなると測定精度が落ちるという問題はありますが)、辻褄が合っていないと思えるのです。

それと、No.8404の、
>>尚、波束の波長がΔλの幅に広がっているとして、Δλ=0は正弦波ですが、Δxは、∞です。
>と言われたのかもしれませんが、もしそうだとしたら、観測しない事による不確定性なので、量子の観測にまつわる不確定性関係とは全く別だと思います。
という箇所もご今一度ご覧いただきたいのですが、kafukaさんは、No.8360にて、
>言い過ぎかも知れませんが、光速度の値は、光子の運動量の不確定性分だけ、広がりを持っていると言っても、矛盾はないと思います。
と言われているので、私は今の話は、観測しない事による不確定性ではなく、量子の観測にまつわる(=量子を観測した場合の)不確定性関係についての話しをされていると思って論議をしているのですが、合っていますでしょうか?

  投稿者:kafuka - 2010/02/24(Wed) 11:14  No.8427 
>時間というパラメータを無視出来ない
無視していませんが、、、
一般の波:Asin(2πx/λー2πνt)において、t=T0の時点では、
Asin(2πx/λー2πνT0)で、2πνT0は、定数です。これをθとおくと、
一般の波:Asin(2πx/λーθ)  ただしtがある時点
です。
尚、光の波では、λν=c になっているだけです。

で、t=T0の時点での波束:
Σ[λn] An sin(2πx/λnーθ)+ Bn cos(2πx/λnーθ)
波束が1回きりなら、
∫[λ=-∞、+∞] An sin(2πx/λーθ)+Bn cos(2πx/λnーθ)dλ
完全に数学の話で、不確定性関係なんかどこにも出てきません。

波束が1回きりで、はぼΔxの範囲に入っていれば、Δxが小さいほど
λの範囲Δλは、充分広くとらないといけないのは、察しがつくと思います。
じゃ、その逆(Δλが小さくなればなるほで、、、)は?

>、、、というように誤解されていませんでしょうか?
無視していてすみませんが、誤解のしようがないのです。

>光子の波
まさかと思いますが、「光子という粒が波になっている」とか「光子という粒子に付随する波」
とか思われていませんか?
(心外だったら無視してください)

>言い過ぎかも知れませんが、光速度の値は、光子の運動量の不確定性分だけ、、、
たしかに、言い過ぎでした。そもそも、
光子に限らず、ウエービクルの粒子像の速度は、議論できない。
(軌道が言えない。光子は測地線という軌道があるはずだが、2点の光子が同じという保証がないから)
その上「不確定性分」という言葉は、無用の誤解を招きました。すみません。

  投稿者:kafuka - 2010/02/24(Wed) 15:37  No.8428 
>>波束の波長がΔλの幅に広がっているとして、Δλ=0は正弦波ですが、Δxは、∞です。
>という表現は、単一の光子の波が同一時間に、x軸上の全ての位置に存在する
>という表現になっているので、x軸上を光速で運動している単一の光子のx軸方向の位置を、
>観測によって確定出来ない事になってしまうと思う
量子力学からの憶測になりますが、
自由粒子の場合では、ψ(x、t)=Aexp i(kx-wt)は同一時間に、x軸上の全ての位置に存在しますが、
位置の観測(理想測定)によって位置を確定できます。
証明:     (t=T0の時点とし wT0=θとおく)
|ψ>=Σ|x><x|ψ> = ∫ψ(x)|x> dx =∫Aexp i(kx-θ)|x> dx
これの位置を理想測定すると、
|x’><x’|ψ>=∫Aexp i(kx-θ)<x’|x> |x’>dx
=∫Aexp i(kx-θ) δ(x−x')|x’>dx
=Aexp i(kx’-θ)|x’>
なので、射影仮説「新版 量子論の基礎p102」の説明より、
この場合、理想測定の結果は、あるx’のみ(1点)となります。
その点となる確率が|Aexp i(kx’-θ)|^2=A^2 つまり、一定となる
というだけで、「観測によって確定出来ない」ことはないです。
(∫A^2 dxは、発散しますが、これは別の問題で、一定とは言えます)

しかし、凡人さんの論点もわからないわけではないです。
日常の光は、波束なので、波束が、ある点(ct0,x0,0,0)で発生して、
波束の中心が、別の点(ct1,x1,0,0)へ伝わる速度(群速度)はcで、
その点で光子を検出すると、波束の中心付近でしか検出されないので
矛盾はないです。
しかし、これが、レーザの場合(よく知らないんですが)で、仮に、
1つ光子の Aexp i(kx-wt)だったら、「検出される確率が|Aexp i(kx-wt)|^2=一定」
これは、おかしいというか、僕には、わからないです。
というのは、t=一定値、つまり、空間的領域でも、「検出される確率が一定」
であることになるからです。(1つ光子がです)
量子力学では、ψ(x、t)は、t=0で、すでに全空間に広がっており、
Δt後のψ(x、t+Δt)も、即、全空間に反映されます。
光円錐なんて無意味なようです。
また、クライン・ゴルドン方程式でも、Aexp i(kx-wt)は、1つの解と思います。

  投稿者:凡人 - 2010/02/24(Wed) 22:06  No.8433 
kafukaさん
>まさかと思いますが、「光子という粒が波になっている」とか「光子という粒子に付随する波」とか思われていませんか?
量子力学的には、観測した時には粒、観測していない時には波になるのではないでしょうか?
ボーム力学的には、光子は常に粒であり続けるけれども、観測した時と観測しない時では、量子ポテンシャルの状態が全く異なると思っております。
そして、ボーム力学においても、観測装置の電源をON<=>OFFを行った時に、量子ポテンシャルの状態変化が光速を超えてしまうという事や、遅延選択実験の実験結果をどのように解釈するのかという問題が残されているので、これらをなんとしても解決しなければならないと私は勝手に思っております。

ところで、今回のkafukaさんとの論議を通じて、光子の本質を理解するためには、またこれ以上の論議を行うためには、ゲージ理論に於けるベクトル場を学習しなければならないと思いました。(有難う御座いました。)

それと、大変申し訳ありませんが、日々の「激務」のため、今週はkafukaさんが示された論議内容を詳細に検討して論議するための体力が切れてしまいましたので、出来ればまたいずれかの時期に、いずこかの場所で論議を行わせていただきたいと存じます。
それまでの間、知力と体力を十分蓄えておきたいと考えておりますので、またお手合わせの程をよろしくお願いいたします。