EMANの物理学 過去ログ No.8243 〜

 ● 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/04(Thu) 22:21  No.8243 
自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか

こんにちは。
自由粒子のハミルトニアン H=P^2/2m はオブザーバブルかどうか言葉使いの疑問です。

オブザーバブル=観測可能量 という意味なら是です。

オブザーバブル=固有ベクトルが完全系をなす、
ここで完全系とは ∫de または Σe |e><e|=1 のこと、
という意味なら非です。 なぜならば エネルギー固有状態(固有値 p^2/2m)は α|p>+β|−p>のように運動量固有状態が2重に縮重しているから
 ∫de |e><e|p> = α* |e=p^2/2m > ≠ |p>
 ∫de |e><e|-p> = β* |e=p^2/2m > ≠ |-p>

諸兄姉のご指導をいただければ幸いです。

=甘泉法師=





  投稿者:TOSHI - 2010/02/05(Fri) 04:08  No.8244 
 ども甘泉法師さん。TOSHIです。

 自由粒子では|e>がpついて|p>と|-p>の2重に縮退してるので|e,+>と|e,−>のように縮退を解いてHとpの直交する2つの同時固有ベクトルを取ればいいのでは?

                              TOSHI

  投稿者:TOSHI - 2010/02/05(Fri) 04:40  No.8245 
PS:完成された?量子力学は確かに優れて数学そのものではありますが,ディラックのブラとかケットとかの表記にこだわらず1度完全系のような概念が歴史的にどうして生まれたか?などについて考えたらどうでしょうか?

 そもそもエネルギー固有状態だけからなる定常状態の部分空間における量子力学はそれだけで閉じていると思われます。

 シュレーディンガーに始まる非相対論の量子力学は朝永の超多時間理論概念などが生まれる以前の時間変数だけ特別視したもので,それ故時間に双対な(相補的な)4元運動量のうちのエネルギーEだけを特別視した理論から出発,構成されていると思われいますし。。。

 例えば,波動関数(=x,t表示のスペクトル)だとexp(−iEt)の因子を持つ一つだけの|E>のごく小さい部分空間の中では,2つの|p>=|E,+>(波動関数<x|p>=cexp(ipx))と|−p>=|E,+>(波動関数<x|−p>=cexp(−ipx)),あるいは別の波動関数ではsin(px)とcos(px)に対応するような2つの状態だけで完全系をなすと思います。

                      TOSHI

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/05(Fri) 08:32  No.8246 
こんにちは。
TOSHIさんのおっしゃるとおりと存じます。その事実認識のうえで、

オブザーバブルの言葉使い、terminology、の疑問として 
「H=p^2/2m は(それひとつで)オブサーバブルである」
は正しいかどうか? がわかりません。 

=甘泉法師=



  投稿者:凡人 - 2010/02/07(Sun) 21:52  No.8250 
>「H=p^2/2m は(それひとつで)オブサーバブルである」
馬鹿な質問をするかもしれませんが、非相対論的な量子力学では、単一の自由粒子のハミルトニアンは、単一の自由粒子の運動エネルギーを示すと思うのですが、単一の自由粒子のエネルギーがオブザーバブルだとすると、どうすれば、そのエネルギーを原理的に誤差を発生させないようにして測定する事が出来るのでしょうか?
(電荷を持った単一の自由粒子の速度であれば、この事は比較的簡単に実現できると思いますが。)
オブザーバブルとは、原理的に誤差を発生させない測定が可能な物理量だと思っているのですが、この認識は正しいでしょうか?

  投稿者:EMAN - 2010/02/08(Mon) 11:39  No.8252 
 甘泉法師さんの疑問については、あまり関わり合いになりたくないです。
 エネルギーは位置と運動量の不確定性関係と同じに扱っちゃいけないとか、そういう私の苦手なこまごまとした厄介な話と隣合わせのような気がしますから。
 こういう議論はやめて下さいという意味は全くありませんので、お気になさらずに。 この辺の議論は他の人に任せるつもりです。


 ただ凡人さんの質問には黙っていられなくなりまして出てきました。
 ああ、そうそう、私は最近わざと凡人さんを無視してるわけではなくて、たまに返事を書こうとしてるのだけれども、タイミング悪く内容が書き換わったりするので、書きかけたのを引っ込めたりしてるのですよ。

 で、今回、凡人さんは「オブザーバブルとは、原理的に誤差を発生させない測定が可能な物理量だと思っているのですが」と書かれてますが、私が思うに、あらゆる測定は誤差を含むでしょう。 だから、意味不明です。
 「原理的に」と書いてあるので、「不確定性原理」的のことかいな、とも思うのですが、この原理は、誤差なしには測定出来ないというか、そういう限界があることを示した原理なので、やっぱりここでどう関わるのかが不明。
 「不確定性原理」というのは二つの物理量の同時測定についての原理であって、片方の精度を犠牲にして、もう片方の精度を「原理的に」どこまでも上げることができますけれど、そういう意味のことを言いたいのかな、とも思います。
 ただ、同時観測しようがしまいが測定は出来るので、オブザーバブルの定義に不確定性原理は「直接は」関係ないだろうと思うわけです。

 この書き込みが甘泉法師さんの邪魔の元にならないと良いと願ってます。

  投稿者:EMAN - 2010/02/08(Mon) 11:49  No.8253 
 関わりたくないと言いながらも、ちょっと参加。

 質問ですが、甘泉法師さんが「オブザーバブル=固有ベクトルが完全系をなす」という定義を採用したい(ように思えるのですが)のはなぜなんでしょう?
 この見方をするのは重要(あるいは何らかの利点があること)なんでしょうか。

 私としてはこれまで単に「観測可能量」の意味でしかとらえていませんでしたので、何か別の視点があるなら知っておきたいと思いました。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/08(Mon) 21:02  No.8254 
こんにちは TOSHIさん

英語本しかないので恐縮ですが
Dirac II §10 " We call a real dynamical variable whose eigensates form a complete set an observable."
について考えています。

定義・設定
***********************************
E: エネルギー演算子(自由粒子の)
P: 運動量演算子

E の固有ベクトルの組 : {|e>| E|e>=e|e>}
P の固有ベクトルの組 :   {|p>| P|p>=p|p>}

固有値の異なる固有ベクトルは直交する。
<e'|e>=δ(e-e'), <p'|p>=δ(p-p').

縮退
<p|e>=<-p|e>=0 for e≠p^2/2m
<p|e>+<-p|e>=1 for e=p^2/2m

演算子Aの固有ベクトルの組が完全系をなす(form a complete set) :
{|a>| A|a>=a|a>}について 射影 { ∫da and/or Σa }|a><a|=I 恒等演算子。
***********************************

射影∫de |e><e| を |p>にはたらかせて ∫de |e><e|p> =<e|p>|e>δ(e-p^2/2m)≠|p> から ∫de |e><e|≠I。
よって{|e>}は完全系をなさない。 だからDirac本の定義からEはobservableでない。

Dirac II §10 " We shall assume the energy of any dynamical system to be always an observable "
はいきなり自由粒子の場合で躓いてしまった。!?



前のスレッド 

Re: 摂動計算の仮定 じーつー さん- 2010/01/24(Sun) 17:03 No.8212
  Wikibooksの「量子力学」の頁
http://ja.wikibooks.org/wiki/%E9%87%8F%E5%AD%90%E5%8A%9B%E5%AD%A6
の中ほどに「エルミート演算子に対しては対応する固有ベクトルが完全性の
要請を満たすことが知られている」とあるので、この辺りを勉強すれば良い
ことが、なんとなくわかりました。どうもありがとうございます。

Re: 摂動計算の仮定 じーつーさん - 2010/01/30(Sat) 23:40 No.8228
その時に摂動計算が出てきまして、非摂動部分の解の完全性が仮定されていたり、

を読んで考えてみているという状況です。参考になることがあればご教授ください。

=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/08(Mon) 21:43  No.8255 
PS 打ちながら思ったのですが完全さはほどほどに考えてもいいということでしょうか。
Eのことを話しているときPを持ち出して縮退を無理やり明らかにするのは野暮だし無益でもある
とか

=甘泉法師=

  投稿者:EMAN - 2010/02/08(Mon) 22:49  No.8256 
 なるほど、Dirac本ではそういう定義だということでしたか。
 いつか勉強します。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/08(Mon) 22:51  No.8257 
PS 式の訂正です。
誤 <p|e>+<-p|e>=1 for e=p^2/2m
正 |<p|e>|^2+|<-p|e>|^2=1 for e=p^2/2m

=甘泉法師=

  投稿者:nomercy - 2010/02/08(Mon) 22:56  No.8258 
No.8245 で解決しています。

Σ_a |a><a|=I なら|a>が完全系、と言っているだけで、
∫de |e><e|=I とは言っていないはず。
要するに、縮退について全て足し合わせなければなりません。

  投稿者:凡人 - 2010/02/09(Tue) 00:14  No.8259 
EMANさん
>タイミング悪く内容が書き換わったりするので、書きかけたのを引っ込めたりしてるのですよ。
私の方で何度も修正したり、削除したりする事によってご迷惑をお掛けして大変申し訳ありません。
今後コメントをする場合は、もっと良く考えてからコメントさせていただきます。
ところで、「オブザーバブルとは、原理的に誤差を発生させない測定が可能な物理量だと思っているのですが」というのは、『新版 量子論の基礎』(清水明著)のP19の脚注に、可観測量の定義として、
>正確には、どんな状態においても(原理的には)いくらでも小さな誤差で測れる量のこと.
と記されている所を、言い換えたに過ぎません。
たしかにこの事は、「どんな状態においても」という表現が気になりますが、
>片方の精度を犠牲にして、もう片方の精度を「原理的に」どこまでも上げることができますけれど、そういう意味のことを言いたいのかな、とも思います。
という事を示していると思います。
そして、この事が正しいとすれば、自由粒子に対して、
>そのエネルギーを原理的に誤差を発生させないようにして測定する事が出来るのでしょうか?
という素朴な疑問が沸いてきて、甘泉法師さんに対して、馬鹿な質問かもしれない質問を行わせていただいた次第です。

  投稿者:EMAN - 2010/02/09(Tue) 01:47  No.8260 
 考えてたら眠れなくなったし、
議論に付いていけないのが悔しいので、
無理して食らいついて行きます。

 エネルギー固有値 e で二重に縮退しているから、
本当は H|e> = e|e> と H|e'> = e |e'> となる
2種類の |e>と|e'> があるのに、甘泉法師さんは、
∫de |e><e| という感じに、変数 e だけをパラメータとした積分で、
両方のベクトルとも数え上げた気になってる(あるいは気にしてない)
というところが問題のような気がしますが、
それで合ってるでしょうか?

  投稿者:TOSHI - 2010/02/09(Tue) 11:43  No.8261 
どもEMANさん。。。TOSHI

>それで合ってるでしょうか?

 まあ,それだけなんだと思いましたが。。。

 運動量の固有状態|p>でもスピンが1/2の自由粒子の完全系?を取るならそれは|p,↑>と|p,↓>の2つが縮退しています。

 こう書くと|p>ならスピンなど関係なく∫|p><p|=1だから???とまた疑問が出るんだろうなあ。。。

                        TOSHI

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/09(Tue) 15:14  No.8263 
こんにちは。

Re: 投稿者:EMANさん - 2010/02/09(Tue) 01:47 No.8260

>本当は H|e> = e|e> と H|e'> = e |e'> となる
>2種類の |e>と|e'> があるのに、

 細かいことから。H|e> = e|e> と H|e'> = e' |e'>であって、e=e'なら二つの書き分けはできなくなりますね。

 関係 H|e> = e|e> は2ベクトルの縮退のある固有「平面」|e> までしか決めないが、そういう平面の組{|e>}は完全系をなすといえないだろう。 
 Dirac は、エネルギーは、オブザーバブルで、オブザーバブルとはその固有状態の組が完全系をなすことといっている(と私は読んだ)のだが・・・  この定義どおりなら自由粒子ではエネルギーだけでなく運動量も加味しないと(運動量だけでもそれはそれで可ですが)完全系をなさないように思えるが・・・

 といった感じです。 オブザーバブルの定義とエネルギーはオブザーバブルなのかを整理したいとおもっております。

=甘泉法師=

  投稿者:EMAN - 2010/02/09(Tue) 15:42  No.8264 
 TOSHIさん、ありがとうございます。
 自信でてきました。

> とまた疑問が出るんだろうなあ。。。
 でも今回のが解決できれば、同じ考え方をすればいいだけですよね。

  投稿者:EMAN - 2010/02/09(Tue) 15:57  No.8265 
 甘泉法師さん、

> H|e> = e|e> と H|e'> = e' |e'>であって、e=e'なら二つの書き分けはできなくなりますね。

 それだとなんだか、e=e' なら |e> = |e'>だと
言ってるかのようなニュアンスを感じますよね。

 |e> と |e'> は全く違うベクトルであって、
たまたま同じ固有値 e に属するんですよ。

 全く記号を変えて、 H|a> = E|a> と H|b> = E|b> とした方が、
精神的に気持ちがいいかも。

 異なる固有値に属する固有ベクトルは直交しますけど、
同じ固有値に属する場合は直交するとは言えない。
 けれど、それぞれをいじって
直交するように選んでやることができますよね。
 そいつらを含めた全部が揃って、
完全系を成すということでいいんじゃないですか?

 「固有値の組」が完全形を成すんじゃなくて、
「固有ベクトルの組」が完全系を成すんですから。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/09(Tue) 17:41  No.8266 
書き方だけのあるいは趣味の問題ですので読み流してください。

Eの固有値eに対応する固有状態のことを|e>と書いています。
どのオペレータについてかがわかるようアルファベットの使い方で、位置なら|x>とか運動量なら|p>とかエネルギーなら|e>とかにしています。 さらに値であることを強調するには’をつけて|x’>、|p’>とか。
それで固有値が同じなら表記が同じになってしまっています。 
Dirac本を踏襲したつもりです。

この書き方をつかうと|e>は、Pの基底2つで {|e>||e>=cosθ|p>+sinθ|-p>, p=sqrt(2mE) }の平面(円周)です。
円周上のどのベクトルか(θをきめる)までいうなら|e,cosθ>のようにパラメータの追加が要ります。 Eで完全系が作れるならこんな追加パラメータは要らないはずなのですが。

こんなふうに固有ベクトルだけでなく固有「平面」(円周)まで|>であらわすのは間違っていますでしょうか。

固有値関係を使って全空間を直交する部分空間に分けるときPがそれ以上細分できないN個の部分空間に切り分けることができたとして、Eではより大まかな(N-1)/2 個の部分空間にしか分けられないというイメージです。 -1はp=0の場合を考慮しました。Nは連続無限なのでなんとなく感じを表現したものにすぎませんが...。

=甘泉法師=


  投稿者:EMAN - 2010/02/09(Tue) 19:23  No.8267 
> 書き方だけのあるいは趣味の問題ですので読み流してください。

 私が書き方の流儀を気に入らなかったとかいうわけではなく、
甘泉法師さんがひょっとするとその書き方に流されて
大切な部分を見落としてしまっているのではないかと心配したのです。

 もし |e> の一つを |e>=cosθ|p>+sinθ|-p> と表したいのでしたら、
もうひとつのベクトルである |e'> は
|e'>=cosθ|p> - sinθ|-p> と表せばいいのではないでしょうか。
 |e> も |e'> も固有値は e で、両者は直交すると思います。

 実は自由粒子についてはこんな面倒なことをしなくとも、
 H |p> = e |p>
H |-p> = e |-p>
となってますので、|e> = |p>, |e'> = |-p> と解釈しても良いわけです。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/09(Tue) 20:20  No.8268 
EMANさん ありがとうございます。状況の認識を共有できました(と思います)。

前自発言の訂正
>この書き方をつかうと|e>は、Pの基底2つで {|e>||e>=cosθ|p>+sinθ|-p>, p=sqrt(2mE) }の平面(円周)です。
(誤){|e>||e>=cosθ|p>+sinθ|-p>, p=sqrt(2mE) }の平面(円周)です。
(訂正)|e>=cosθ|p>+sinθ|-p>, p=sqrt(2mE) と円周上の1点です。
    また、前発言のここ以下のパラグラフも無視ください。


さて本題に戻り、この状況は「エネルギー演算子の固有状態の組が完全系をなす/なさない」のどちらなんでしょう....。

A Eの同じ固有値eに属する直交する二つのベクトルをメンバーにして完全系になるのだから、Eの固有状態の組は完全系をなす。縮退は解く。
B 同じ固有値eに属する直交する二つのベクトルがあってもそれはEの測定で同じふるまいをしEのみで区別できない。だからEの固有状態の組は完全系をなさない。縮退は解けない。
C 演算子の固有状態が完全系をなさなくても観測はできる。ディラックの定義するobservableでないからといって観測できないわけではない。
もう一度 引用
Dirac II §10 " We call a real dynamical variable whose eigensates form a complete set an observable."
D observableであろうとなかろうとエルミートでさえあれば観測できる
E .....

=甘泉法師=

ちなみにWikipediaでは....
またオブザーバブルはそれぞれ H 上のエルミート演算子(自己共役作用素)A、またはエルミート行列で与えられる。さらにオブザーバブルであるためには、その固有関数(固有ベクトル)が完全直交系をなし、各固有値が実数である必要がある。すると任意の状態はこれら固有関数の重ね合わせとして記述できる。

  投稿者:kafuka - 2010/02/09(Tue) 22:47  No.8269 
議論のお邪魔にならない範囲で、参考までに、、、

清水明「新版 量子論の基礎」より引用
p43:
量子力学の要請2
「可観測量(オブザーバブル)は、ヒルベルト空間H上の自己共役演算子(エルミート演算子)によって表わされる」
この逆、「任意の自己共役演算子がオブザーバブルである」ということは、
要請しないし保証もしない。
しかし、最初にHを設定し、その上の自己共役演算子の全てを可観測量として許すような議論をすることも多い。
p45:
一つの自己共役演算子の固有ベクトルを、縮退しているものも含めて、
もれなく集めてくれば、完全系を成すことが知られている。
(Hが有限次元の場合には、これは「エルミート行列はユニタリ行列で対角化できる」という定理)

  投稿者:nomercy - 2010/02/09(Tue) 23:53  No.8271 
>さて本題に戻り、この状況は「エネルギー演算子の固有状態の組が完全系をなす/なさない」のどちらなんでしょう....。

どこに納得がいってないですか?

Aから順に見ていくと

>A Eの同じ固有値eに属する直交する二つのベクトルをメンバーにして完全系になるのだから、Eの固有状態の組は完全系をなす。縮退は解く。

これはその通りです。
なお、「縮退が解ける」というのは、普通は、摂動によってエネルギー差が生じたことを表す言葉だと思います。

>B 
>B 同じ固有値eに属する直交する二つのベクトルがあってもそれはEの測定で同じふるまいをしEのみで区別できない。

これは確かにそうですね。しかしここから

>だからEの固有状態の組は完全系をなさない。

と考えた経緯が分かりません。
実際、「A」のように、ハミルトニアンの固有状態は完全系を成します。

  投稿者:ASA - 2010/02/10(Wed) 08:48  No.8274 
kafukaさんNo.8269
本スレは教科書を見れば載っていることなので議論するまでも無いですが、

> この逆、「任意の自己共役演算子がオブザーバブルである」ということは、
要請しないし保証もしない。
しかし、最初にHを設定し、その上の自己共役演算子の全てを可観測量として許すような議論をすることも多い。

この引用部は、物理としての量子力学で重要なことです。

 架設したHで、エルミートオペレータをオブザーバブルとして扱う論法は、確かに有りますが、実際の観測量と一致しない場合は、架設のHは棄却されます。
 ここは、数学と物理の大きな違いですね。
 線形代数のシンタックスに従って、ミクロなダイナミクスを記述しているにすぎないわけです。

  投稿者:kafuka - 2010/02/10(Wed) 09:14  No.8275 
ASAさん:
>最初にHを設定し、その上の自己共役演算子の全てを可観測量として許すような議論をすることも多い。
は、そういう意味なのですか。
了解です。
僕は、てっきり、No8263に
>Dirac は、、、、オブザーバブルとはその固有状態の組が完全系をなすことといっている
とあるので、「許すような議論」とは、このことかと、早とちりしました。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/10(Wed) 10:36  No.8276  <Home>
こんにちは。

みなさん ご指導ありがとうございます。 
教わったことを復習します。

*************************
Eψ=eψ を満たす組{ψ}で状態空間の基底がつくれるオペレータ−Eをobservableという。

ここで★異なる基底ψは異なるeでラベルされる★とは限らない。
例 自由粒子のエネルギー P^2/2m
「P^2/2m ψ= p^2/2m ψ」と同じ値p^2/2m でラベルされる、ふたつの異なる基底がある。
例 恒等演算子 I
「Iψ=1ψ」と同じ値1でラベルされる、状態空間の次元の数の異なる基底がある。

基底成分への射影は、同じ値eでラベルされるd(e)個の異なる基底を考慮して {∫de and/or Σe}Σi from 1 to d(e) |e_i><e_i|=I
*************************

★にとらわれていました。ありがとうございました。

=甘泉法師=


  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/10(Wed) 22:46  No.8277 
こんにちは。 

追加して別のいいかたで理解をあらわしてみます。

*************************
オブザーバブルとは、固有値関係によって状態空間を固有値の個数だけの部分空間の直和であらわすことができる演算子である。

説明
 固有値関係 Eψ=eψ 
 状態空間H=部分空間(e’)+部分空間(e”)+ 部分空間(e'")+ .....。 部分空間は互いに直交する。部分空間(e’)は{ψ|Eψ=e'ψ}で構成されるeigenspace.
 (○に+の直和の記号が打てないのでふつうの+で書いています。)

任意の状態ΨでEを測定し測定値e’を得る確率は、部分空間(e’)へのΨの射影の長さの自乗である。
*************************

=甘泉法師=


  投稿者:kafuka - 2010/02/10(Wed) 23:46  No.8278 
オブザーバブル <=> 固有値関係によって状態空間を固有値の個数だけの部分空間の直和であらわすことができる演算子

と定義すると、
>「任意の自己共役演算子がオブザーバブルである」ということは、要請しないし保証もしない。
に対するNo8274のASAさんのコメントを僕なりに理解すると、
「すべてのエルミート演算子をオブザーバブルとして扱えるように架設した状態空間の場合、
 実際の観測量と一致しない時がある」
なので、上記の定義で常にうまくいくとは限らないと思います。
尚、「新版 量子論の基礎」では、
オブザーバブル <=> 原理的に(平たく言えば 理論上は)いくらでも小さな誤差で測定できる量
と定義してあります。
一知半解で恐縮ですが、、、

それから、
射影仮説の定義:
状態ベクトル|ψ>が持つ物理量qを、理想測定すると、物理量qの固有ベクトルを|qn>とすると、
|ψ>を、完全系を成す|qn>で展開した|ψ>=Σ|qn>の内の、ただ1個 |qi> が測定される。 
つまり       |qi>=|qi><qi|(Σ|qn>)
この関係と、
>Dirac は、、、、オブザーバブルとはその固有状態の組が完全系をなすこと
といっていることが、合致しますね。

  投稿者:凡人 - 2010/02/11(Thu) 00:37  No.8279 
kafukaさん
>オブザーバブル <=> 原理的にいくらでも小さな誤差で測定できる量
の件について馬鹿な事をいうかもしれませんが、私は、一つの自由粒子のエネルギーを原理的に誤差が無限小になるように測定しようとしても、物質波が邪魔をするので出来ないのではないかと思ったのですが、如何でしょうか?

  投稿者:EMAN - 2010/02/11(Thu) 01:28  No.8280 
 馬鹿な事だと思ったなら書かないがよろしいでしょう。

 まともに相手すればこっちが馬鹿だと思われそうでいやだし、
無視すれば、答えられない馬鹿だと思われそうでいやだし。

  投稿者:kafuka - 2010/02/11(Thu) 08:45  No.8281 
>最初にHを設定し、その上の自己共役演算子の全てを可観測量として許すような議論をすることも多い。
について補足:
「新版 量子論の基礎」の7.4始めに何がありき
に、
上記の「最初にHを設定し、その上の自己共役演算子の全てを可観測量とする立場」は
量子情報理論に多い とあり、
逆に、
始めに場ありきで「付加的な要請を課して可観測量を定めようとする立場」は
場の理論の教科書に多い とあります。

凡人さん:
>原理的にいくらでも小さな誤差で測定できる
は、平たく言えば 「理論上、いくらでも、、、」ということなので、
>物質波が邪魔(ヒッグス粒子のようにかな?)をする というのは、
「理論」に出てきません。
と書くと、何の理論か? と言われそうなので、先回りして書くと、
「量子力学」です。
凡人さんが求める「究極理論」では、ちがうかもしれませんが、
そもそも、このスレッド「自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか」は
量子力学の話です。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/11(Thu) 09:05  No.8282 
こんにちは。 kafukaさん

>オブザーバブル <=> 固有値関係によって状態空間を固有値の個数だけの部分空間の直和であらわすことができる演算子
>と定義すると、
>なので、上記の定義で常にうまくいくとは限らないと思います。

 勝手な説明におつきあいいただきありがとうございます。イメージを表現してみたのですがたしかにほかにみたことがないので穴があるんでしょうね。

PS Webで似た表現をみつけました。
 http: //www.quantiki.org/wiki/index.php/Observables_and_measurements の
 Observables with degenerate spectra の数行です。
  

>尚、「新版 量子論の基礎」では、
>オブザーバブル <=> 原理的に(平たく言えば 理論上は)いくらでも小さな誤差で測定できる量
>と定義してあります。

 うーん、これだけだとまるで英和辞書か国語辞典のようですね。本の前後を読めば進路がわかるのでしょうが。

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2010/02/11(Thu) 09:48  No.8283 
甘泉法師さん:
すいません。僕の言葉が足りませんでした。
>オブザーバブル <=> 原理的にいくらでも小さな誤差で測定できる量
とは、
>最初に状態空間を設定し、その上の自己共役演算子の全てを、オブザーバブルとする
と定義した場合、
あるオブザーバブルの測定値の「誤差を十分小さくできない」場合
そのオブザーバブルは、棄却する
ことのようです。
(あくまで僕の解釈です ― 今、状態空間を設定するとはどういうことをするのか調べています ^^;

多分ですが、何でこんな国語的な定義かというと、
こう定義しないと、物理では、実験結果(測定値)が最優先だから、
測定値を導くオブザーバブルなら、その棄却はできない 
からだと思います。

  投稿者:明男 - 2010/02/11(Thu) 10:43  No.8284 
議論は終焉に近いと思いますが、また雑感です(こんなのばっかり)。

オブザーバブルに対して、じゃあnon-observableを考えるとどうなの?というのが発端です。もちろん、”物理的に”意味がある状態量で観測できない、あるいは値を特定できないもの、ということになります。昔、ベクトルポテンシャルなどはそう思われていた風がありますが、今は直接検証できることは周知のとおりです。みなさんが、数学的便宜ではなく、そのような量として、あるいは状態として思い浮かべるものはどんなものがあるのでしょう。縦光子やスカラー光子、オフマスシェルのエネルギー状態など中間状態はよく知られていますが、これらは観測という面では非実在であるにも関わらず、その寄与は現実的であるという二面性があります。理論の産む仇花なのか、観測(という演算)自体の限界なのか。考えてみれば、エネルギーと言っても、真空のそれは観測できないことは明らかですし。
もっと卑近な例でどんなものがあるのでしょうね。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/11(Thu) 10:48  No.8285 
こんにちは。kafukaさん
むつかしいですね。 エルミートの全部が物理量ではなく物理にかなうよう選りすぐったものがオブザーバブルという感じでしょうか。
むつかしいですね。

=甘泉法師=

  投稿者:EMAN - 2010/02/11(Thu) 11:48  No.8286 
 私も「原理的に誤差を無限小にできない物理量」って具体的に何があるかを考えていたのですが、良い例が思い浮かびませんでした。
 温度などの、揺らぎがある量なんかがそうなのかなぁと思ったのですが、できれば一粒子のシンプルな系で何か分かりやすいものがあると嬉しい。

  投稿者:EMAN - 2010/02/11(Thu) 11:57  No.8287 
 位置 x と運動量 p_x の積という、
あまり意味のない物理量を勝手に定義すれば、
それは原理的に誤差を無限小にできる量ではないですね。

 ちゃんとエルミート演算子になってないと例として面白くないのか。
 考えが回らない。
ちょっと急いで外出する用事ができてしまいました。

  投稿者:kafuka - 2010/02/11(Thu) 13:50  No.8288 
EMANさん:
「新版 量子論の基礎」のp113 に、おっしゃっているpとxの積を、
エルミート演算子にする方法が載っています。

元の物理量A=xpの場合、
A’=(xp+px)/2 とすればよい。


A’がエルミート演算子である証明:
xとpがエルミート演算子であって、
xpがエルミート演算子でないとは、
(xp)†=p†x†=px=xp−ih'≠xp
ということである。
この場合、
A’=(xp+px)/2 とすれば
A'†=(p†x†+x†p†)/2=(px+xp)/2 =A’
∴ A’は、エルミート演算子である。

註: p†x†=px が言えるのは、個々がエルミート演算子だからです(念のため)

ついでに、px=xp−ih' だから、これを最後の式に代入すると、
(px+xp)/2 =(xp−ih'+xp)/2 =xp−ih'/2
なんか引っかかりますが、、、
しかし、
A’=(xp+px)/2  は、
A’=(xp+xp−ih')/2 =xp−ih'/2
A'†=p†x†+ih'/2=px+ih'/2=xp−ih'+ih'/2
=A’
で、めでたしめでたし。

ということは、
元の物理量A=xpの場合、
A’=xp−ih'/2 としてもエルミート演算子になる!!
(誤りとは思えませんが、何か引っかかります。「考えが回らない」ってこうなることですか?)

  投稿者:凡人 - 2010/02/11(Thu) 19:26  No.8290 
EMANさん
>馬鹿な事だと思ったなら書かないがよろしいでしょう。
私としては、超真面目に考えて書いているのですが、何か初歩的な勘違いをしていたら大変みっともないので、敢えて「馬鹿な事をいうかもしれませんが」という枕詞を付けさせて頂きました。申し訳御座いません。

kafukaさん
>そもそも、このスレッド「自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか」は量子力学の話です。
それは私も分っております。だから、量子力学における物質波の存在を考慮して、No.8279にて
>一つの自由粒子のエネルギーを原理的に誤差が無限小になるように測定しようとしても、物質波が邪魔をするので出来ないのではないかと思ったのですが、如何でしょうか?
と申し上げている次第です。

ここで一応申し上げておきますが、私は一つの自由粒子のエネルギーを測定する方法として、試験用の粒子として質量が判明している粒子を用意して、被測定用の自由粒子と衝突させて、それぞれの粒子の衝突前後の速度と運動方向の測定結果から、被測定用の粒子のエネルギーを割り出す事を考えました。
けれども、この場合、両方の粒子が有している物質波(=ドブロイ波)によって、粒子の衝突後の速度と運動方向が乱されるため、原理的に誤差を無限小に出来ないのではないかと思い(物質波を決定出来れば話は別ですが)、先の質問をさせていただいた次第です。

明男さん
>縦光子やスカラー光子、オフマスシェルのエネルギー状態など中間状態はよく知られていますが、これらは観測という面では非実在であるにも関わらず、その寄与は現実的であるという二面性があります。
こちらの件については、TOSHIさんも以下にて解説されていますが、
http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2010/01/272-16-dd65.html
ひも理論や超ひも理論における「ゴースト非存在の定理」で解決したと思いたいのですが、如何でしょうか?

>考えてみれば、エネルギーと言っても、真空のそれは観測できないことは明らかですし。
以下の通り、以前にも話題にさせていただきましたが、カシミール効果の測定によって、真空の場のエネルギーを測定できませんでしょうか?
http://eman.hobby-site.com/bbs/past/log02886.html

  投稿者:明男 - 2010/02/11(Thu) 20:37  No.8291 
>凡人さん

私への返信についてのみ。
ここでは量子力学の話でしょう?(超)弦理論は量子力学ではありません。それを包含すると思われるでしょうが、高次元を仮定せねばならない等、別の要請があります。

カシミール効果の原因は真空期待値の異なる場所のエネルギー差分です。そのもののエネルギーではありません。

  投稿者:凡人 - 2010/02/11(Thu) 20:59  No.8292 
明男さん
>ここでは量子力学の話でしょう?(超)弦理論は量子力学ではありません。それを包含すると思われるでしょうが、高次元を仮定せねばならない等、別の要請があります。
ここでの論議の枠を超えた話しをしてしまいまして、真に申し訳御座いませんでした。

>カシミール効果の原因は真空期待値の異なる場所のエネルギー差分です。そのもののエネルギーではありません。
確かに一回の測定で全てのモードのエネルギーを測定する事は出来ませんが、以下に出ている金属板の間隔を変えながら、無限小の精度の測定を無限回行えば、量子力学の範囲内では、原理的に全てのモードのエネルギーを「測定できる」といえるという事は無いでしょうか?
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AB%E3%82%B7%E3%83%9F%E3%83%BC%E3%83%AB%E5%8A%B9%E6%9E%9C
<<追伸>>
>一つの自由粒子のエネルギーを原理的に誤差が無限小になるように測定しようとしても、物質波が邪魔をするので出来ないのではないかと思ったのですが、如何でしょうか?
もしかして、EPR相関の様に、試験粒子と被測定粒子の物質波の間に非局所的相関があって、それでもって、我々が測定した時に都合が良くなるように、それぞれの粒子がエネルギーの誤差が無限小になるような運動をする、というような事がありうるのでしょうか?

  投稿者:kafuka - 2010/02/11(Thu) 21:12  No.8293 
凡人さん:
細かいこと(大きなことかなぁ)は、置いて、
エネルギーEは、いくらでも誤差を小さく測定できることを説明します。
(そうそう、状態ベクトルが、ハミルトニアンH^の固有ベクトルになっている場合はです)

>粒子の衝突「後」の、、、が乱されるため
「後」はどうなってもいいのです。測定時点tのEの誤差ΔEを、いくらでも小さく測定できれば。
と書けば、ΔEΔt〜h を持ち出されるでしょうね。
でも、Δtは、測定時点tの誤差ではありません。
tは、オブザーバブルではないからです。(tは理論のパラメータです)
例えば、Δtが、大きいとして、今測っているのに、tが1分前や1秒後になったらおかしいでしょ

じゃ、Δtは何かというと、、、
Δtは、状態の変化が顕著になるまでの時間です(新版 量子論の基礎より)
要は、
ΔE→0にして、Δt→∞になってもいいのです。

  投稿者:明男 - 2010/02/11(Thu) 21:52  No.8294 
測定に無限回の操作が要る時点でアウトです。
まあ、実際に計算過程を見れば明らかなように、プランク長以下のような領域になった時点で実験的にも量子力学的な範疇をも超えるでしょう。計算は発散します。
とんでもに近づいてるので、これ迄にします。

  投稿者:EMAN - 2010/02/12(Fri) 21:38  No.8299 
 凡人さん、

> 申し訳御座いません。

 私は無知や勘違いや常識的でない個性的なアイデアについては寛容ですよ。

 ただ凡人さんはいつも難しい本を読んでは引用しているではないですか。
 今更、物質波が・・・なんて言い回しが愚かしい。

 もし独自のアイデアがあるなら、その機構としてどんなことを
考えているのかをもっと説明すべきだと思うけれどそれがない。
 素人のふりで近づいて、同時に何かの問題を深く知っていそうな
玄人ぶった感じを装っている部分が私の気にさわるのです。
 初心者を困惑させるのではないかと心配になりますから。

 普通、物質波が観測を邪魔するなんてことを特に説明なしに書けば、
それは単に不確定性原理についての「持って回った別表現」に思えます。
 しかし凡人さんが今更そんな原理を知らないはずがない。
 そんなつまらぬことでかき回すのはやめて欲しい、と思ったわけです。

  投稿者:EMAN - 2010/02/12(Fri) 22:02  No.8300 
 kafukaさん、

>「新版 量子論の基礎」のp113 に、おっしゃっているpとxの積を、
エルミート演算子にする方法が載っています。

 まさにそれ、それを思い出して証明を書こうと思ったのですが、
昨日は「早く出かけよう」と後ろから急かされていて、
それをすぐに書き下せるほど頭が回らない、という意味でした。

 で、A' = (px+xp)/2 というのはエルミート演算子だけど、
オブザーバブルではない例として大丈夫でしたかね?
 その辺でも確信が持てなくて、頭が回らないと書きました。

  投稿者:kafuka - 2010/02/12(Fri) 22:48  No.8301 
EMANさん!!
お忙しいようですが、おからだに気をつけてください。

>オブザーバブルではない例として大丈夫でしたかね?
A’=(xp+px)/2 =xp−ih'/2
なので、xpがオブザーバブルでなければ、A’もオブザーバブルでない(誤差を0にできない)です。
オブザーバブルかどうか調べる方法が、よくわからないのですが、、、
定義通り、理想測定演算|A'><A'|して、その時の|ψ>がA'の固有ベクトルになりえない
でいいのでしょうか?
(固有ベクトルで展開できていれば、誤差0ですから)

とりあえず、それでやってみます。

  投稿者:kafuka - 2010/02/12(Fri) 23:59  No.8302 
わかりました。
本のp86に、交換しない物理量A,Bを同時に測ると、誤差が、
順番に測った場合の2倍になるとあります。
ということは、x→pの順番に測った誤差の倍の誤差が、xpを同時に測った場合に出るということです。
これを式で書くと、
|p><p|x><x|ψ>の誤差 < |xp><xp|ψ>の誤差  という関係です。
ですから、
|p><p|x><x|ψ>の誤差を計算して、0でないことを示せばいいのです。
この証明は、、、

xの理想測定|x><x|で、誤差が0
(つまり|ψ>がxの固有ベクトルで展開されている)であったとすると、
測定後の|ψ’>は、射影仮説により、|x>のn番目が選択されるとするので、
|ψ’>=f(xn)|xn>         ただしf(xn)は只の数
これをpで理想測定するので、|p>の固有ベクトルで展開できたとすれば、
|ψ’>=f(xn)|xn>=Σψ(p)|p>=Σ|p><p|ψ’>
ここで ψ(p)=<p|ψ’>が言えるので、
ψ(p)=f(xn)<p|xn>
(<p|x>の計算は http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/61737027.html 参照)
=Aexp(ixn p/h')         Aは定数
∴ |ψ’>=AΣexp(ixn p/h')|p>
これを理想測定すれば、結果がある値になる確率は、一定
したがって、結果のバラツキ(誤差)は∞ 

それで、結果の誤差を0にするためには、最初のxでの測定の誤差=0 AND 次のpでも誤差=0を満たさなければならない。
したがって、|p><p|x><x|ψ>の誤差は、≠0 
  
上記の不等式から |xp><xp|ψ>の誤差は、≠0

したがって、pxは(当然xpも)、オブザーバブルでない(誤差を0にできない)ので、
No.8288 より、(px+xp)/2 は、オブザーバブルでない
//

  投稿者:凡人 - 2010/02/13(Sat) 00:03  No.8303 
EMANさん
>もし独自のアイデアがあるなら、その機構としてどんなことを
>考えているのかをもっと説明すべきだと思うけれどそれがない。
申し訳ありませんが、昨日やっとの思いで閃いたのですが、No.8292の追伸として書きました、
>もしかして、EPR相関の様に、試験粒子と被測定粒子の物質波の間に非局所的相関があって、それでもって、我々が測定した時に都合が良くなるように、それぞれの粒子がエネルギーの誤差が無限小になるような運動をする、というような事がありうるのでしょうか?
というのがもし本当だとしたら、自由粒子のハミルトニアンがオブザーバブルになるので、量子力学的には都合が良いと思ったのですが、如何でしょうか?
尚、私が考えた、試験粒子を利用した自由粒子のエネルギーの測定法については、No.8290を参照願います。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/13(Sat) 16:03  No.8304 
Re: 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか kafukaさん - 2010/02
>したがって、pxは(当然xpも)、オブザーバブルでない(誤差を0にできない)です。

演算子PX+XPが顔を出す場合をみつけました。

ψは ∫ψ*Xψdx=0  ∫ψ*Pψdx=0  を満たすとする。 

シュワルツの不等式 ∫|f|^2dx ∫|g|^2dx > |∫f*gdx|^2  で  f = Xψ 、g = Pψ とおけば

(Δx)^2(Δp)^2 > |∫(Xψ)*(Pψ)dx|^2 = |∫ψ*XPψdx|^2 = |ih'/2 + ∫ψ*(XP + PX)/2 ψdx|^2

 > (h'/2)^2. ∫ψ*(XP + PX)/2 ψdx が (XP + PX)/2のエルミート性により実数であることを使った。

(XP + PX)/2 の期待値の自乗 <(Δx)^2(Δp)^2− (h'/2)^2
「標準偏差の積−その最小不確定性」(の下限)を与えている。 ψがガウシアンならば ∫ψ*(XP + PX)/2 ψdx = 0。

(XP + PX)/2は期待値もとれるし、オブザーバブルでないことがわたしには自明ではありません。 

ご参考になる点があれば幸いです。
=甘泉法師=

PS 23:16 2010/03/14
検算

ガウス型波束、座標中心x0 運動量中心k0 
ψ(x)=(α/π)^1/4 exp(−α(x−x0)^2 /2)exp(ik0x)
指数関数の肩をくくりなおして
=(α/π)^1/4 exp[−α/2 {x−(x0 + ik/α)}^2 − k0^2/(2α)+ ik0x0 ] 
微分を計算して
i/h’Pψ(x)= −α{x−(x0 + ik/α)}ψ(x)
i/h’(P−p0)ψ(x)= −α(x−x0)ψ(x)
i/h’(x−x0)(P−p0)ψ(x)= −α(x−x0)^2 ψ(x)

ガウス型波束の性質 ∫ ψ*(x)(x−x0)^2 ψ(x)dx=1/(2α)から

∫ ψ*(x){i/h’(x−x0)(P−p0)+ 1/2 }ψ(x)dx= 0

∫ ψ*(x){(x−x0)(P−p0)+(P−p0)(x−x0)}/2 ψ(x)dx= 0
つまり、ガウス型波束の波動関数(座標中心x0 運動量中心k0)について演算子{(x−x0)(P−p0)+(P−p0)(x−x0)}/2 の期待値は0。 



  投稿者:ASA - 2010/02/13(Sat) 17:09  No.8305 
甘泉法師さんNo.8304
>ψがガウシアンならば ∫ψ*(XP + PX)/2 ψdx = 0。
 これ間違いです。

 >g = Pψ とおけば
 Pは微分演算子だから一般に置き換えできません。

 普通は、(Δp)^2=<p^2>-<p>^2で
∫ψ*Pψdx=0 なら
 (Δp)^2=∫ψ*(P^2 )ψdx
 

  投稿者:凡人 - 2010/02/13(Sat) 18:05  No.8306 
大変申し訳ありませんが、可観測量(オブザーバブル)A,Bの演算子A^,B^が[A^,B^]=iħの時、A,Bの測定値の揺らぎ僊,傳の時、僊傳>=ħ/2となるというのが不確定性(原理|関係)だった筈なので、
>>もしかして、EPR相関の様に、試験粒子と被測定粒子の物質波の間に非局所的相関があって、それでもって、我々が測定した時に都合が良くなるように、それぞれの粒子がエネルギーの誤差が無限小になるような運動をする、というような事がありうるのでしょうか?
>というのがもし本当だとしたら、自由粒子のハミルトニアンがオブザーバブルになるので、量子力学的には都合が良いと思ったのですが、如何でしょうか?
という表現は、測定値の誤差と揺らぎを混同するという大間違いから端を発した、全くもって出鱈目な表現内容になっていました。
けれども、私が主張したかったのは、自由粒子のエネルギーは、古典論と同じ(H=p^2/2m)なので、No.8290の方法で自由粒子のエネルギーを測定する場合、それぞれの粒子に物質波が存在するにも関わらず、測定結果が毎回古典論と一致する為には、それぞれの粒子間に非局所的相関が存在している必要がありませんか、という内容になりますので、皆様の再度のご検討をお願いたします。
<<追伸>>
>古典論と同じ(H=p^2/2m)なので、
というのは、H=p^2/2m=mv^2/2なので、mが一定の場合はオブザーバブルは一つだけなので、不確定性関係が存在せず、自由粒子のエネルギーの測定値は、常に古典論的になる思っています。
<<さらに追伸>>
私の不確定性原理に対する理解内容は、以下の「いわゆるケナード型の不等式」に基いていたようです。
http://www.amazon.co.jp/review/R1WBJ0LJXXJGV2
小澤の不等式は、以下に出ていますので、ご興味があるかたはどうかご確認をお願いします。
http://www.open.jp/blog/archives/000399.html

  投稿者:kafuka - 2010/02/13(Sat) 19:16  No.8307 
甘泉法師さん:
>自明ではありません。
おっしゃる通りです。No.8302 は、飛躍が多すぎたので、
直しました。
コメント頂ければ、幸いです。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/13(Sat) 23:28  No.8309 
こんにちは。kafukaさん

素養が足りずずれているかと思いますがご容赦ください。

#1
誤差とは標準偏差 sqrt(<P^2> - <P>^2) や sqrt(<X^2> - <X>^2) のことと存じます。
E=(XP+PX)/2=PX+ih’/2=A+ih’/2
E^2=A^2+ih’A −(h’/2)^2
<E^2>−<E>^2
=<A^2> − <A>^2  
....
で億劫でここまでです。

標準偏差に下限がある量ってどんなものなんでしょうね...。

#2
大局観がないので細かい観て気づいたことだけ勝手にコメントします。

>|p><p|x><x|ψ>の誤差 < |xp><xp|ψ>の誤差  という関係です。

XPはオブザーバブルでないので固有ベクトル|xp>は存在しません。
|(xp+px)/2>でしょうか。 それだと(xp+px)/2がオブザーバブルになってしまいますし・・・。

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2010/02/14(Sun) 00:55  No.8310 
甘泉法師さん:
> <E^2>−<E>^2=<A^2> − <A>^2
ですが、Aが演算子の場合、Aの分散≡ΔA^2の期待値≡<ΔA^2>を求める式が
「新版 量子論の基礎」のp79に載っています。
    <ΔA^2>=<ψ|A^2|ψ> - ( <ψ|A|ψ> )^2

>標準偏差に下限がある量ってどんなものなんでしょうね
古典力学では、無いと思います。
そもそも、不確定性関係がないですから。
逆に言えば、相補量の積を含むハミルトニアンは、Eの標準偏差に下限があることになります。

>XPはオブザーバブルでないので固有ベクトル|xp>は存在しません。
すいません。手抜きです。
正しくは、
(xp+px)/2  は、=(xp+xp−ih')/2 =xp−ih'/2
なので、
PX+ih’/2 または xp−ih’/2 が、エルミート演算子です。
        (証明は、No.8288)
ih’/2は、定数なので誤差に関係ないと思い、計算からはずしたわけです。

>(xp+px)/2がオブザーバブルになってしまいます
そこです!! これをオブザーバブルと見る見ないか、、、
1.エルミート演算子≡オブザーバブルと見る
2.「新版 量子論の基礎」では、誤差を0にできない=標準偏差に下限がある ので見ない
ということなので、
僕は、(xp+px)/2 つまり、xp−ih'/2 は、エルミート演算子であるが、
バラツキ(=誤差)が0にないえないことを証明した(つもり)なのです。

  投稿者:kafuka - 2010/02/14(Sun) 01:04  No.8311 
>ih’/2は、定数なので誤差に関係ないと思い
これは、早とちりのようです。
でも、誤差を減らす因子ではないとおもいますが、、、

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/14(Sun) 11:43  No.8312 
こんにちは kafukaさん

演算子が
・エルミートである。
・固有ベクトルの組が完全系をなす。
・測定値の標準偏差が0になる状態がある。
エルミートなら対角化して固有ベクトルがわかるし、固有ベクトルがあれば測定してぴたり固有値をえて標準偏差は0になる。3つの言ってるのはみな同じと考えれば面倒はないのですが、そうはいかない反例はあるんでしょうか。(PX+XP)/2は本当に反例なんでしょうか。

>本のp86に、交換しない物理量A,Bを同時に測ると、誤差が、
>順番に測った場合の2倍になるとあります。

 まずXを完全測定すれば{|x>}の混合集団にかわり次いでPを測定すれば全くわやになるのはお話のとおりと思いますが
 ∞を2倍したり半分したりすることがおぼつかないことと考え合わせると著書の「測る」とは完全測定ではないように思われます。

=甘泉法師=


  投稿者:kafuka - 2010/02/14(Sun) 17:38  No.8315 
ご指摘頂いて、自分の理解が、まだまだ不十分であることに、
気づきました。
(連続した測定について、アンサンブルで考えてなかったのです)
ありがとうございます。

すいませんが、語句を改めます。
「測定結果の誤差」 → 「測定結果のバラツキ」

>まずXを完全測定すれば{|x>}の混合集団にかわり次いでPを測定すれば全くわやになる
> ∞を2倍したり半分したりすることがおぼつかない
それは、そうなんですが、ここで示したのは、バラツキ≠0を証明するために
考えた極端な例です。

>固有ベクトルがあれば測定してぴたり固有値をえて標準偏差は0になる
について、僕の考えを述べます。
理想測定は、|An><An|ψ> ですが、、、
|ψ>が|A>の固有ベクトルのΣで表わされる(離散固有値)の場合は、
ψ(A)のスペクトル(横軸がA)は、各々の固有値を中心とするδ関数の和になっています
理想測定で、いずれかの固有状態が選択されますが、
どの固有値になっても、その周辺に分布することはないです。したがって、
おっしゃるように、測定値(それぞれの固有値に対応)のバラツキは0です。
しかし、
|ψ>が|A>の固有ベクトルの∫で表わされる(連続固有値)の場合、
ψ(A)のスペクトルは、分布しています。
理想測定で、どの固有値が選ばれるかは、わかりません(正確に言えばボルンの確率規則に依る)
が、
理想測定での測定値=いずれかの固有値 ですから、バラツキます。
(もちろん、理想測定の結果は、ある1つの固有状態ですが)
Xの測定(理想測定)の場合で考えると、粒子がある点付近にある(連続固有値)場合、
測定値がバラツくと言えます。
(その分散をσ2x と置いて、あとで使います)

以上が、
>まずXを完全測定すれば、
の所です。
次にするpの測定ですが、おっしゃるように考えると、確かにバラツキは∞です。
しかし、理想測定はアンサンブルに対して行うとあります。
つまり、上記のXの測定結果の状態の系を、多数用意して、それに対して、理想測定するわけです。
ということは、測定の対象は、位置の分散がσ2xになっているとみなしていい
と思います。

で、このアンサンブルに対してpを想測測定すると、
上記の「連続固有値の場合」の議論がなりたち、
pの分散がσ2pとすると、
σ2xσ2p≧h'/2
ということになります。

xの測定後、pを測定するについて、アンサンブルで考えれば、この本に
おかしいところはないと思います。

以上は、理解している(つもり)ですが、
xとpを同時に想測測定するというは、式で書けば、
|xp><xp|ψ> なんですが、これからどう式を展開していくのかが、わかりません。
本には、同時固有ベクトルのことは、詳しく書いてあり、その場合、バラツキは0とありますが、
そうでない場合は、ただ、バラツキの分散は≠0というようなことしか書いてないので、
わからないのです。

ただ、xの測定後、pを測定した時の分散≠0ですから、xとpを同時に想測測定した分散が、その2倍なら、
当然、それは、≠0です。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/14(Sun) 19:37  No.8316 
 こんにちは。

>xとpを同時に想測測定するというは、式で書けば、

そういう結果は状態|x, p> のように座標と運動量ふたつの値の組になりそうですが、それが不可能なのは量子力学のイントロにあるとおりです。

>|xp><xp|ψ> なんですが、

 これは 運動量と座標の積 の測定とみるべきでしょう、対称化/エルミート化 した(XP+PX)/2について。積を測定するが、XとPのそれぞれの値は詮索しないで。

 大局観のない部分についてのコメントで申し訳ありません。

=甘泉法師=

  投稿者:凡人 - 2010/02/14(Sun) 21:45  No.8317 
kafukaさん
>xの測定後、pを測定するについて、アンサンブルで考えれば、この本に
>おかしいところはないと思います。
電子の位置と運動量の同時測定法を、以下にて通り見つけましたので、論議の収束の為にお役に立てていただけますと、非常に助かります。
http://www.phys.asa.hokkyodai.ac.jp/osamu/lectures/qm/node15.html
因みに、No.8290の方法でも、もし試験粒子と被測定粒子の衝突位置が測定出来てしまうと、不確定性関係が存在してしまう(=非局所的相関も必要なくなる)と思ったのですが、そうだとすると自由粒子のエネルギーの測定値の揺らぎを無くす為には、やはり事前に質量を測定して、その後その速度を測定してそこからエネルギーを割り出すしかないのではないかと思いました。

  投稿者:kafuka - 2010/02/14(Sun) 21:53  No.8318 
僕の理解不足がたくさんありました。
申し訳ありません。

>著書の「測る」とは完全測定ではないように思われます。
その通りでした。

>>|xp><xp|ψ> なんですが、
> これは 運動量と座標の積 の測定とみる
その通りです。

>xとpを同時に測定するというは、
よく読むと、
「xの測定直後、pを測定してもよい。その逆でもよい」あるいは
「xとpを同時に測定できる器械を組んでもよい」
とあります。
(これを読んで、ここでいう測定が理想測定でないことに、やっと気づきました)

というわけで、僕の証明?は、考え直します。

  投稿者:EMAN - 2010/02/15(Mon) 00:02  No.8320 
 議論が混沌としているように思えますが・・・。
 とりあえずすべての投稿に目を通してみましたが、
わざわざ示してくださってる数式には信頼がおけないし、
そもそもどんな目的での数式なのかを解読するのさえ一苦労です。
 解読は諦めるつもりでいます。

 ディラックの教科書の内容はよく知りませんが、
オブザーバブルの定義として「状態が完全系をなす」ということらしいので、
まず、 $ (\hat{x}\hat{p}+\hat{p}\hat{x})/2 $ の固有状態が完全系を成すかどうか。

 つぎに清水さんの教科書の定義としては、
 $ (\hat{x}\hat{p}+\hat{p}\hat{x})/2 $ の固有値を測定できるような
現実的な手段があるかどうか。

 この2点だけを知ればいいんじゃないでしょうか。
私はどちらにも今すぐはっきり答えを出すことができませんが。

 その結果、二つの教科書の定義の内容に差があろうがなかろうが、
それは言葉の定義の問題なので、どうでもいいことだと思います。

  投稿者:ASA - 2010/02/15(Mon) 07:52  No.8321 
EMANさんNo.8320
> 完全系を成すかどうか。
 シュレディンガー方程式を成立させる運動量オペレータを選ぶと
一階の微分方程式ですから簡単に固有関数が求められますよ。
実固有値に限定すると、完全系になると思えません。

  投稿者:EMAN - 2010/02/15(Mon) 09:56  No.8323 
> シュレディンガー方程式を成立させる運動量オペレータを選ぶと

 ちょっと分かりません。 ここでのシュレーディンガー方程式というのは、タイトルに有るような「自由粒子」の話ですか?

 私はDirac本の文脈を知らず、ただ甘泉法師さんの引用された一文だけで考えているわけですが、
<tex>\{(\hat{x}\hat{p}+\hat{p}\hat{x})/2\}\phi = a \phi</tex>
という式を考えた場合、 $ a $ は実数で、 $ \{\phi\} $ は完全系を成すだろうから、
 $ (\hat{x}\hat{p}+\hat{p}\hat{x})/2 $ という量も彼の本の中ではオブザーバブルだとみなすという意味かなぁ、と考えていたわけです。 そんなはずないですよねぇ?? もしそうならエルミート演算子だと言えばいいだけのことですから。

 この演算子をシュレーディンガー方程式の解に作用させたからって、特に面白いことが言えるわけでもないでしょうし。 偶関数に作用させて、期待値が0で出た、というのも当たり前っぽい話だし。 測定誤差とは関係ないし。

 一旦鼻を突っ込んだからにはすっきり終わるまで見届けようと思ったのですが、何を議論しているのか分からないし関心も持てないのでそろそろ退散した方がいいだろうかと思っています。

  投稿者:ASA - 2010/02/15(Mon) 10:39  No.8324 
EMAN さんNo.8323
>シュレーディンガー方程式というのは、タイトルに有るような「自由粒子」の話ですか?
 「自由粒子」に限りません。物理系のハミルトニアンHを構成するものならなんでもです(微分演算子として、不確定性を満たすことが条件ですけど)。

>オブザーバブルだとみなすという意味かなぁ、と考えていたわけです。 そんなはずないですよねぇ?? 
Dirac本の文脈では、オブザーバブルの要請として完全条件があります。
Dirac本では、完全系ならば、オブザーバブルと書いていません。 
そういう意味では、清水本となんら矛盾してません。
ただ、甘泉法師さんには、議論をする前に丹念にテキストを読んでほしいと思います。

>何を議論しているのか分からないし関心も持てない
 私も良く分からないのですが、明らかに計算の間違いや、簡単に答えがでそうな問題に対してはコメントしてます。

  投稿者:ASA - 2010/02/15(Mon) 12:29  No.8325 
補足:
EMAN さんに確認したいのですが、
 エルミート演算子の固有値は、実数であることはいえますが、
その固有関数が必ずしも完全系をなすわけでは無いですよね。
 このことが了解されているなら、No.8321 は無視してください。

  投稿者:EMAN - 2010/02/15(Mon) 12:46  No.8326 
> その固有関数が必ずしも完全系をなすわけでは無いですよね。

 私はその辺りの知識がかなり怪しいのです。
 「エルミート演算子の固有関数が完全系をなす」という
説明ばかりを読んできましたし、反例を知らないです。
 深く考えずに漠然と受け入れてきたという状況です。

  投稿者:全充 - 2010/02/15(Mon) 13:58  No.8327 
> 深く考えずに漠然と受け入れてきたという状況です。

EMANさんでも、そういう部分はお持ちなんですね。
自分にはそういう部分が多くて、あせる気持ちもあったのですが
ちょっとだけ安心しました。

ところで、これは私的に受け入れているだけなのですが
動径方向の運動量演算子はエルミートであるが、0<r<∞のため
固有関数は完全系にならない
と聞かされ無理やり受け入れております。
自分では、だからどうした?状態ですが。

  投稿者:ASA - 2010/02/15(Mon) 17:16  No.8329 
EMANさんNo.8326
>反例を知らないです。
 ならば、話題になっているエルミート演算子(xp+px)/2で
 位置表現での固有関数ψa(x)を求め(a:real) 、
 完全条件:∫ψa(x)ψ*a(x')daを計算をしてみてください。


  投稿者:ASA - 2010/02/15(Mon) 18:58  No.8332 
補足
参考:ttp://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/SturmLiouville.pdf
自己随伴演算子の中でスツルム−リウビル型の演算子なら、その固有関数が完全規格直交系をなすそうです。
(シュレディンガー方程式で普通のハミルトニアンを考える限り、その固有関数は、完全規格直交系をなす(縮退なしで)といえます。)
 この辺りの事情を抜かした「自己随伴ならば完全系」という短絡的な説明が多いような気がします。

  投稿者:EMAN - 2010/02/15(Mon) 19:03  No.8333 
 むむ、なんと、どうしたことだろう。
 こんな簡単なことで上手くいかなくなるなんて。
 何かトリックでもあるのかな・・・ちょっと検算中。

  投稿者:EMAN - 2010/02/15(Mon) 19:08  No.8334 
> 自己随伴演算子の中でスツルム−リウビル型の演算子なら、その固有関数が完全規格直交系をなすそうです。

 そうだったんですか!
 そのあたり、勉強し直します。
 興味が出てきましたよ。(世の中の説明不足を暴くのが好きなので。)

  投稿者:凡人 - 2010/02/16(Tue) 00:05  No.8340 
>>何を議論しているのか分からないし関心も持てない
測定値の誤差と揺らぎと測定による擾乱を全て混同した人間が偉そうな事を申して申し訳りませんが、そもそも、論議が「自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか」という設定だったはずですが、現実の物質(=今回の場合は自由粒子)のエネルギーの物質的測定という具体的内容とどうリンクしているのかという事が良く分らない論議を行っているので、何を論議しているのかが分らなくなってしまうのではないかと思うのですが、如何でしょうか?

  投稿者:kafuka - 2010/02/16(Tue) 00:09  No.8341  <Home>
>こんな簡単なこと、、、
勉強の意味で、僕も計算してみました。

(xp+px)/2 の固有ベクトルですから、aを定数として、
a|ψ> = 1/2(xp+px) |ψ>
ですが、固有関数を求める形に直して、
aψ(x) = 1/2(xp+px)ψ(x)
= 1/2(xpψ(x)+xpψ(x) -ih'ψ(x) )
= xpψ(x) - ih'/2ψ(x)
整理して、
xpψ(x) - (a+ih'/2)ψ(x) = 0
∂/∂x ψ(x) + (a/ih' + 1/2)/x ψ(x) = 0

これを解くと、(Maximaを使いました)
ψ(x) = c x^(-(1/2+a/ih) )
完全性云々以前に x→0で発散します。

今は、完全性の話題が中心なので、上記は無視して頂いて結構ですが、
誤っていたら、できればコメント頂ければ幸いです。

ASAさん または EMANさん:
完全性は、
∫[-∞,+∞] ψ*(x)ψ(x)da で、
ψ*(x)ψ(x)=c x^(-1/2+a/ih)x^(-1/2-a/ih)= x^(-1)ではありますが、
xが負の区間は、どうしたらいいのでしょうか? (1/xだからという意味ではなく)
x^(-1/2)が、x=ー1 では i なので、x^(-1/2)の部分も複素共役をとらないといけない
と思うのです。

すいません。
完全性は、∫[-∞,+∞] ψ*(x)ψ(x1)da でした。

  投稿者:ASA - 2010/02/16(Tue) 07:38  No.8342 
ψ*ψ>0なので
|x|^(-1)
あたりでしょう。

δ(x)とちょっと似ていますね。

  投稿者:ASA - 2010/02/16(Tue) 08:20  No.8344 
補足
>完全性云々以前に x→0で発散します。
 2乗可積で無いので、普通は破棄でしょう。
 (位置や運動量のように物理量として特別の位置づけができる可能性があるかもしれません。しかし、不確定性原理と矛盾するような気がします。)

 完全性の要件は、任意の状態関数を展開できることです。
 完全性条件のチェックとして、∫[-∞,+∞] ψ*(x)ψ(x')da=δ(x-x')あたりが用いられることがあると思いますが、この結果が得られたら、イレギュラー関数でも本当に展開可能なのか疑念が湧きます。
 いくらなんでも、このようなイレギュラ関数で普通の状態関数を展開することは不可能だと思います。(もしかすると、うまい方法があるのかもしれませんが。)

 これからわかることは、エルミート性だけでは、その固有関数がレギュラになることを保証して無いことですね。 イレギュラ関数で完全性等を云々することがナンセンスだと思います。
 ということで、エルミート演算子(xp+px)/2は、オブザーバブルとして採用できないです。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/16(Tue) 08:30  No.8345 
こんにちは。

P^2+X^2 = a+a + 1/2 の数表示 |n> をつかえば F=(XP+PX)/2 の行列は

<n|F|n>=1,<n+2|F|n>=−<n|F|n+2>=i,ほかはゼロ

のようにシンプルですね。対角化もできそうな...

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2010/02/16(Tue) 09:12  No.8346 
甘泉法師さんNo.8345
>> <n|F|n>=1
 間違ってますよ。
a=b1(x+b2ip),a+=b1(x-b2ip),
 F∝aa - a+a+ から求めてると思いますが、
 a|n>=√n|n-1>, a+|n>=√(n+1)|n+1>:(一回作用させると1つ移動)
<n|m>=δnm:(同じで無いと0)
ですから、
 Fを作用させるとどちらかに2つ移動するので、
 <n|F|n>=<n|b3|n-2>-<n|b4|n+2>=0:b;数
が正しいはずです。

>> <n+2|F|n>=−<n|F|n+2>=i
  こちらも違うような気がします。
 √n√(n-1) とか、√(n+1)√(n+2)がでるのでは?

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/16(Tue) 15:57  No.8348 
ASAさん 計算違い、ご指摘のとおりでした。改めて

<n+2|F|n>=−<n|F|n+2>=i√(n+1)√(n+2)。 ほかはゼロ。

ありがとうございます。

=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/18(Thu) 21:41  No.8359 
こんにちは。

Re: 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか kafukaさん - 2010/02/16(Tue) 00:09 No.8341 HomePage
> (xp+px)/2 の固有ベクトルですから、aを定数として、
> a|ψ> = 1/2(xp+px) |ψ>

> これを解くと、(Maximaを使いました)
> ψ(x) = c x^(-(1/2+a/ih) )


解の正規直交性を計算してみました。

ψa(x) = c x^-(1/2) exp(+i a/h log x)
ψb(x) = c x^-(1/2) exp(+i b/h log x)

∫ψa(x)*ψb(x)dx =c*c∫ exp(+i (b-a)/h log x) dx/x  
=c*c∫ exp(+i (b-a)/h log x) d(log x)
=c*c∫ exp(+i (b-a)/h y ) d y
=c*c2πδ((b-a)/h)
=c*c2πhδ(b-a)

無次元にした固有値 a/h’を変数にとり固有関数は
ψa/h’(x) = 1/√(2π) x^-(1/2) exp(+i a/h’log x)
∫ ψa/h’(x)*ψb/h’(x) dx = δ(b/h' - a/h')

この固有関数系が完全系をなすのかどうか自信がないが
もし完全系ならば任意の状態Ψが固有関数系で展開できて
Ψ(x)=∫φ(a/h')ψa/h’(x) d(a/h')
 展開の成分は
φ(a/h')= ∫ψa/h’(x)* Ψ(x)dx.

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2010/02/20(Sat) 08:42  No.8378 
甘泉法師さんNo.8359
>正規直交性
ノーマライズできないので正規でないと思います。

>>ψ(x) = c x^(-(1/2+a/ih) )
から
>ψa(x) = c x^-(1/2) exp(+i a/h log x)
>ψb(x) = c x^-(1/2) exp(+i b/h log x)
としてますが

x>0 じゃないとlog xは、ちゃんと定義できないのでは?

ψ(x) = c x^(-(1/2+a/ih) )ですから
x<0のとき
x=-|x|=exp(iπ)|x|;とりあえず位相-π<θ<,=πとした。
ψ(x) = c {exp(iπ)|x|}^(-(1/2+a/ih) )
= c exp(iπ)^(-(1/2+a/ih) ) |x|^(-(1/2+a/ih) )
= c exp(-(iπ/2+aπ/h) ) |x|^(-(1/2+a/ih) )
= c -iexp(-aπ/h) ) |x|^(-(1/2+a/ih) )

x>0
ψa(x)ψb(x)=c*cexp(+i (b-a)/h log |x|) /|x|
x<0
 ψa(x)ψb(x)=c*cexp(-(a+b)π/h) exp(+i (b-a)/h log |x|) /|x|
定数α=exp(-(a+b)π/h)だけ負領域は正領域と違います(とりあえずの位相設定で)。
 
 なので積分してδ関数になりませんよ。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/20(Sat) 10:50  No.8382 
こんにちは。
計算を見直して見ます。
演算子は、交換関係をつかって
(PX+XP)/2=XP−ih’/2=-ih'/2 ( 2x∂ +1)
固有値方程式は、固有値をΛ、固有関数をuとして
(-ih'/2 ( 2x∂ +1)−Λ)u =0,
{x∂ + (1/2 − i λ)}u=0   Λ/h’=λ 無次元化した固有値
xu’+ (1/2 − i λ)u=0
u’/u + (1/2 − i λ)/x=0
log |u| + (1/2 − i λ) log|x| = const.
|u| e^{(1/2 − i λ)log|x|} = const.
u = const. e^{(- 1/2 + i λ)log|x|}

正規直交性
∫u(λ’)*u(λ)dx
=c*c  ∫ e^{{- 1 + i( λ−λ’)}log|x|} dx
=c*c  ∫ e^{i( λ−λ’)log|x|} dx/|x|  xの偶関数の積分だから区間[0,∞]の積分を計算し2倍する
=2c*c ∫ e^{i( λ−λ’)y} dy ; y=log x ; x>0
=2c*c 2πδ( λ−λ’)

>なので積分してδ関数になりませんよ。

 ご確認とご教示をよろしくお願いします。

=甘泉法師=





  投稿者:ASA - 2010/02/20(Sat) 11:10  No.8383 
>|u| e^{(1/2 − i λ)log|x|} = const.
>u = const. e^{(- 1/2 + i λ)log|x|}

 ここの計算が良く分からないです。
 詳細な説明をお願いします。


  投稿者:ASA - 2010/02/20(Sat) 11:28  No.8385 
その前に
>log |u| + (1/2 − i λ) log|x| = const.
log |u|は、実ですよね。
const.はコンプレックスだから、a+biとしましょう。
すると、虚実分離して
実部:log |u|+1/2log|x| =a
虚部:- log|x| = b
となります。
 虚部が自由に取れる定数でなくなってます。

>位相をconst. に負わせて
 意味がわかりません。
 もう少し丁寧な説明をお願いします。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/20(Sat) 12:07  No.8386 
こんにちは。

>その前に

なるほど。修正してみます。

u’/u + (1/2 − i λ)/x=0 を積分する。
 
対数関数の変域に複素数を許し、∫dx/x= log|x| とあわせ

log u + (1/2 − i λ) log|x| = const.
u = const. e^{(- 1/2 + i λ)log|x|}

どうでしょう...。

PS
u(x)=Re(x)+iIm(x) とあらわすと
複素数変域の対数
log u = log √(R^2 + I^2)+ iθ;θ=arctan(I/R) について計算して
(log u)'= (R'+iI')/(R+iI) = u'/u を確かめました。

=甘泉法師=




  投稿者:ASA - 2010/02/20(Sat) 16:01  No.8389 
>u = const. e^{(- 1/2 + i λ)log|x|}
なら
u = const. |x|^(- 1/2)e^{(i λ)log|x|}で
微分方程式を満たしますが、

直交性は、
∫u a*ub=u dx=∫ const. |x|^(- 1)e^{i(λb-λa)log|x|}dx
y=log|x|と置換して、dy=dx/x;「dx/|x|でないことに注意」 
=∫ const. x|x|^(- 1)e^{i(λb-λa)y}dy
=∫[0,∞] const. e^{i(λb-λa)y}dy+∫[-∞,0] const.(-) e^{i(λb-λa)y}dy
=2∫[0,∞] const. e^{i(λb-λa)y}dy
正負領域で定数-1ちがうのでδ関数になら無い。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/20(Sat) 17:16  No.8391 
こんにちは。

>u = const. |x|^(- 1/2)e^{(i λ)log|x|}で
>微分方程式を満たしますが、

ご確認いただきありがとうございます。

>直交性は、
>∫u a*ub=u dx=∫ const. |x|^(- 1)e^{i(λb-λa)log|x|}dx
>y=log|x|と置換して、dy=dx/x;「dx/|x|でないことに注意」 
>=∫ const. x|x|^(- 1)e^{i(λb-λa)y}dy

ふたつの x=±t にひとつの値 log| t| が対応するので、最後の行は一対一対応にするため積分区間をx[−∞,0]、[0,∞]のふたつに分ける必要があります。x/|x|=sgn(x)符号関数 をつかい

=∫x:[−∞,0]  const. sgn(x)e^{i(λb-λa)y}dy

+ ∫x:[0,∞]  const. sgn(x)e^{i(λb-λa)y}dy

=∫x:[−∞,0]  const. (−1)e^{i(λb-λa)y}dy

+ ∫x:[0,∞]  const. (+1)e^{i(λb-λa)y}dy   

= ∫y:[−∞,∞]  const. (+1)e^{i(λb-λa)y}dy

+ ∫y:[−∞,∞]  const. (+1)e^{i(λb-λa)y}dy

= 2∫y:[−∞,∞]  const. (+1)e^{i(λb-λa)y}dy

わたしの前の発言の計算と同じになりました。

>δ関数になら無い。

でしょうか....

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2010/02/20(Sat) 17:47  No.8392 
 了解
 エルミットから直交性は、言えるはずなので、変と思ってました。

  投稿者:ASA - 2010/02/20(Sat) 18:01  No.8393 
 ちなみに完全性チェック式だと
 δ(log(|x|/|x'|))がでてきて
 x=x',x=-x'でのみノン0。
 δ(x-x')の、x=x'でのみノン0とは違います。
 
 そもそも、2乗可積でないので棄却される状態関数ですけどね。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/20(Sat) 19:01  No.8395 
こんにちは。

ありがとうございます。もう少し先に行ってみます。

正規直交固有関数系は、偶関数、奇関数を揃えて
u_λ,p (x) = 1/√(4π) {sgn(x)}^p e^{(- 1/2 + i λ)log|x| } p=0 even, 1 odd.
奇関数も固有値方程式を満たすことは容易にわかる。

任意の状態Ψ(x)をこの系で”展開”すると
1/(4π) Σp ∫ dλ{sgn(x)}^p e^{(- 1/2 + i λ)log|x| } [∫{sgn(y)}^p e^{(- 1/2 - i λ)log|y|}Ψ(y)dy]
これがΨ(x)に等しいことがわかれば完全性がいえるのですが....。

=甘泉法師=




  投稿者:ASA - 2010/02/20(Sat) 19:10  No.8396 
>任意の状態Ψ(x)をこの系で”展開”すると
固有関数uはx=0で発散してますから、普通は無理です。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/20(Sat) 22:10  No.8398 
こんにちは。

状態Ψ(x)の固有関数の組への写像

1/(4π) Σp ∫ dλ{sgn(x)}^p e^{(- 1/2 + i λ)log|x| } [∫{sgn(y)}^p e^{(- 1/2 - i λ)log|y|}Ψ(y)dy]

を座標の固有状態

Ψ(x)=δ(x−a) a>0

に適用し、

1/(4π) Σp∫ dλ {sgn(x)}^p e^{(- 1/2 + i λ)log|x| } e^{(- 1/2 - i λ)log|a|}

=1/(4π) Σp∫ dλ {sgn(x)}^p e^{(- 1/2(log|x|+log|a|) + i λ(log|x|-log|a|) }

=1/(4π)Σp {sgn(x)}^p e^{(- 1/2(log|x|+log|a|)} ∫ dλ e^{i λ(log|x|-log|a|) }

=1/2 Σp {sgn(x)}^p e^{(- 1/2(log|x|+log|a|)}δ(log|x|-log|a|)

=1/2|a|  Σp {sgn(x)}^p δ(log|x|-log|a|)

=1/a δ(log x - loga) for x>0 , 0 for x <0

=(log x - loga)’ δ(log x - loga)

=δ(x−a)  恒等写像

a<0 でも同様。 よって任意の波動関数に対し恒等写像。

これから固有関数の組は完全系をなすことがわかる。

以上総合すると 演算子 (PX+XP)/2 は
エルミートかつ固有関数の組が完全系をなすのでオブザーバブルである。


例によって間違いがあればご教示ください。
=甘泉法師=


  投稿者:ASA - 2010/02/20(Sat) 23:00  No.8399 
甘泉法師 さんNo.8398

 何言っているのか良く分からないのですが、
 pで偶関数と奇関数を示しているようですが、
 ここでいう偶関数と奇関数って直交していますか?

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/20(Sat) 23:31  No.8401 
こんにちは。

>ここでいう偶関数と奇関数って直交していますか?

偶関数X奇関数=奇関数  ∫[-∞,∞] 奇関数dx=0 

でここでもそのつもりですが...


Re: 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか 甘泉法師 - 2010/02/20(Sat) 19:01 No.8395
>正規直交固有関数系は、偶関数、奇関数を揃えて
>u_λ,p (x) = 1/√(4π) {sgn(x)}^p e^{(- 1/2 + i λ)log|x| } p=0 even, 1 odd.

∫ u_λ,p (x)*u_λ’,p’ (x) = 1/(4π) [ (-1)^(p+p’)∫[-∞,0]dx + ∫[0,∞]dx ] e^(- 1+i(λーλ'))log|x|)

= δpp’δ(λ−λ’)

間違いあればご教示ください。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2010/02/21(Sun) 07:27  No.8409 
甘泉法師さんNo.8401
固有関数uの同一固有値λに対して、偶関数と奇関数の2つのタイプがあるとおかしくありませんか?
 そもそも、固有関数u(x)は、x=0に特異点があります。なので、x>0,x<0で分離していて、u(x)がx>0で実、x<0で純虚などというのもあり、偶関数、奇関数を云々できるものではありません。

あと、これもまた非常に重要ですが、x=a=0を抜かしているのに、δ(x−a)恒等写像というは変ですし、完全系をなすと結論付けるのは全く持って理解不能です。

  投稿者:ASA - 2010/02/21(Sun) 08:52  No.8410 
補足です
甘泉法師さんNo.8401
>正規直交固有関数系は、偶関数、奇関数を揃えて
 正規条件は何ですか?
 非正則関数でも正規条件を満たすことはあるのですか?

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/21(Sun) 17:14  No.8412 
こんにちは。 

座標の基底の写像をもっとくわしくみてみます。
 
Re: 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか 甘泉法師 - 2010/02/20(Sat) 22:10 No.8398
> 状態Ψ(x)の固有関数の組への写像
> 1/(4π) Σp ∫ dλ{sgn(x)}^p e^{(- 1/2 + i λ)log|x| } [∫{sgn(y)}^p e^{(- 1/2 - i λ)log|y|}Ψ(y)dy]
> を座標の固有状態

    Ψ(x)=δ(x−a) a≠0 の写像は

1/2 Σp {sgn(x)}^p {sgn(a)}^p e^{(- 1/2(log|x|+log|a|)}δ(log|x|-log|a|)

=1/2|a|  Σp {sgn(x)}^p {sgn(a)}^p δ(log|x|-log|a|)

= 1/a δ(log x - loga) for x>0 a >0 両方プラス
 -1/a δ(log (-x) - log(-a)) for x<0 a <0  両方マイナス
0 xa<0    異符号

=δ(x−a)  恒等写像

>x=a=0を抜かしているのに、δ(x−a)恒等写像というは変です

 固有関数 uλ_p(x)=  1/√(4π){sgn(x)}^p e^{(- 1/2 + i λ)log|x| }
 は原点に向け 振幅が 1/√r 様に発散し、位相が i λlog r 様に激しく振動する厄介な関数ですね。

 ズバリ原点そのものについてはお手上げです。 a→±0 でなりたつので物理としては許されるのでないかと期待します。

>正規条件は何ですか?
>非正則関数でも正規条件を満たすことはあるのですか?

おおざっぱに大きさが1で、互いに直交している関数とかベクトルのことを考えていました。連続固有値にδ関数も許すゆるさで、正則には注意を払っていません。 大間違いはご指導ください。

>固有関数uの同一固有値λに対して、偶関数と奇関数の2つのタイプがあるとおかしくありませんか?

二重縮退は珍しくないことと存じますが間違いはご指導ください。

>そもそも、固有関数u(x)は、x=0に特異点があります。なので、x>0,x<0で分離していて、

”分離”を逆手にとって偶にしたり奇にしたりくっつき方を変えてみました。これもご指導をよろしくお願いします。

>u(x)がx>0で実、x<0で純虚などというのもあり、

考えてみたく例をいただければ幸いです。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2010/02/21(Sun) 19:27  No.8413 
>ズバリ原点そのものについてはお手上げです。 a→±0 でなりたつので物理としては許されるのでないかと期待します。
 意味がわかりません。何が成立してるのですか?
 どう物理として許されることを期待してるのでしょう?

>大きさが1で
 どうのようにして大きさを1にするのでしょう。今まで繰り返してノーマライズ不能とコメントしてきたはずでが。 

>連続固有値にδ関数も許すゆるさで、正則には注意を払っていません。
 δ関数のように計算手法が確立されているならよろしいのですが、
 今の固有関数セットに射影すると有限確定値が得られるのですか?
展開係数の仮設では、a(λ)=∫u\ψdxはx=0が特異点であるため有限確定値をもてません(\;複素共役)。

>二重縮退は珍しくないことと存じますが間違いはご指導ください。
ほんとに、二重縮退なんですか?

>考えてみたく例をいただければ幸いです。
一例:
 固有関数u=x^(-1/2 +i λ); x=0以外 
 lnxを複素関数に拡張し、主値に絞る。
 実パラメータx<0:θ=0 x<0:θ=πで、
 u=x^(-1/2) e^(iλ(ln|x|+iθ))
  =|x|^(-1/2) e^(iλln|x|)e^(-λθ)e^(-iθ/2)
正負領域で任意定数の結合を考えると
 u=(c1+c2θ)e^(-iθ/2)|x|^(-1/2) e^(iλln|x|)e^(-λθ)
 c1,c2実で、u(x>0)は実、u(x<0)は純虚。 

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/21(Sun) 20:54  No.8414 
こんにちは。

> u=(c1+c2θ)e^(-iθ/2)|x|^(-1/2) e^(iλln|x|)e^(-λθ)

いただきました。

x<0ではθ=0なので
u= |x|^(-1/2) e^(iλln|x|) c1 
x>0ではθ=πなので
u= |x|^(-1/2) e^(iλln|x|) (c1+c2π)(−i)e^(-λπ)
ですね。

c1/{|c1|^2 + |(c1+c2π)(−i)e^(-λπ)|^2}= α   

(c1+c2π)(−i)e^(-λπ) / {|c1|^2 + |(c1+c2π)(−i)e^(-λπ)|^2}=β として

uλ_p(x)=  1/√(4π){sgn(x)}^p e^{(- 1/2 + i λ)log|x| } 
 偶関数 uλ_0(x)= uλ_0(-x)
 奇関数 uλ_1(x)=−uλ_1(-x)
を使い規格化も考慮して

いただいたu = α(uλ_0+uλ_1)/√2 + β(uλ_0-uλ_1)/√2

      = (α+β)/√2 uλ_0 + (α-β)/√2 uλ_1

偶固有関数と奇固有関数の重ね合わせであらわすことができます。


基底にえらぶ組のとりかたは自由で、いただいたu を基底のひとつに選べば、同じ固有値に属する直交する他の固有関数、vとします、は
  v = (α*-β*)/√2 uλ_0 - (α*+β*)/√2 uλ_1
 で ∫v*u dx = 0  になります。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2010/02/22(Mon) 07:53  No.8415 
>規格化も考慮して
ノルムが定義できないないのに、どうやって規格化するのですか?
あなたのいう「正規」を成立させる条件を提示してください。 

あと、 遇とか奇とかをもちだすのでなく領域で分けた方が判りやすいです。
 タイプ1(ポジ):x>0で0で無い関数。α=βのケース
 タイプ2(ネガ):x<0で0で無い関数。α=-βのケース
でも折り返しなので領域x>0に限定して話をした方がすっきりするのでは? 

これが最も重要なのですが、展開係数を有限確定値にする方法を教えてください(特異点 x=0の処理を含めて)。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/22(Mon) 08:13  No.8416 
こんにちは。 δ(x-a)a=0も(XP+PX)/2の固有関数系で恒等写像されることがわかりました。

計算の概要を示します。
δ(x)に収束する関数列 Ψ(x)=1/2ε for −ε<x<ε, 0 for others ε→+0
と固有関数の内積を計算する。 Ψが偶関数であることに注意、xが正の領域の積分を計算し2倍、積分のため変数変換 log x= t x>0 し

<u_λ,0|Ψ>=i/√4π e^(-1/2−iλ)logε /(λ+i/2)

固有関数による写像

∫|u_λ,0>dλ<u_λ,0|Ψ>=i/4π e^{-1/2(log|x|+logε)}∫e^{iλ(log|x|−logε)}/(λ+i/2)dλ

右辺の積分はλを複素数とみなし複素積分できて、log|x|−logε の正負により極 λ=ーi/2 を積分周路が内に含むか含まないかにわかれ

1/2ε for −ε<x<ε, 0 for others と元の関数列に恒等写像される。 すなわちδ(x-0)も固有関数系への展開で恒等写像される。
 




まとめると
*****************
演算子 (XP+PX)/2 
固有値 −∞<λh'<∞
固有関数 u_λ,p(x)=1/√(4π) {sgn(x)}^p e^{(-1/2 +iλ)log|x| }  : p=0 (偶), 1 (奇)
固有関数の規格直交 ∫u*_λ',p'(x) u_λ,p(x) dx = δpp’δ(λ−λ’) 
固有関数の組は完全系をなす。
*****************
 
kafuka さん 

楽しませていただきました。お役に立ったでしょうか。

=甘泉法師=
 
 

  投稿者:ASA - 2010/02/22(Mon) 11:51  No.8417 
甘泉法師さんNo.8416

 全く持って理解不能なのですが、
> <u_λ,0|Ψ>=i/√4π e^(-1/2−iλ)logε /(λ+i/2)
 λに関係なく無限大のようですけど問題無しなのですか?
 
 通常とは違う定義をしているようなので、再度伺います。
>固有関数の規格直交 Σp ∫u_λ',p'*(x) u_λ,p(x) dx = δpp’δ(λ−λ’) 
 「規格」と述べてますが、何がどう規格化されているのですか?

>固有関数の組は完全系をなす。
 「完全系」と述べてますが、何をもって完全系なのですか?
 普通は、元の関数と展開した関数との差が0収束することを要請しています。このケースだと展開係数が発散してしまうので不適合となるはずですが、この辺りをどのように処理したのでしょうか?

 大きさがちゃんとして無い関数空間について良く知らないので説明していただけると助かります。

  投稿者:ASA - 2010/02/22(Mon) 14:37  No.8418 
補足
>δ(x)に収束する関数列 Ψ(x)=1/2ε for −ε<x<ε, 0 for others ε→+0
 これってはじめてみますけど、ディラックのδ関数の性質を満たしているのでしょうか(xδ'+δ=0など)?
 助変数εを使用するものでは、
 (1/ε√π)e^(-x^2/ε^2)
 (1/π)(ε/(x^2+ε^2))
 を知ってますが。

  投稿者:ASA - 2010/02/22(Mon) 14:47  No.8419 
 やはり駄目ですね。

基本的性質
 ∫δ(x)dx=1 すら満足しません。

 lim[ε->0]ln|ε|=-∞ ですから。

>お役に立ったでしょうか。
 普通と違った独自定義満載なので全く役立たないですよ。

  投稿者:ASA - 2010/03/13(Sat) 16:15  No.8475 
見返してみると気になる事があるのでコメントします。
No.8392 で"エルミート演算子の異なる固有値に属する固有関数は直交する"と書きましたが、
>ttp://www1.doshisha.ac.jp/~kibuki/quantum/pc4/pc4_a02.html
ここの証明方法を見る限り、前提とする関数空間に対する条件付で成立する話ですね。
 例えば、pは、ψ(x)=r(x)exp{iθ(x)}とした時、
 r^2/2](x=∞,x=-∞)=0が成立する関数空間でエルミートです。(偶関数ならr(+-∞)=0でなくてもよい、これは部分積分による方法から分かる)
 同様に、エルミート演算子p^2は、r^2θ'](x=∞,x=-∞)=0が成立する関数空間でありpのときより条件が厳しくなってます。
 ちなみに、p^2の固有関数は、λ>0ならexp(+-i√λ),λ<0ならexp(+-√|λ|)であり、後者は、明らかに直交しません。
 このように固有値の取る範囲と密接に関係するので、一概に直交するとは言えないことに留意すべきでしょう。

 固有関数が直交しない場合は、特異点を持たない関数であっても一般の関数を展開することは出来ないことは、言うまでも無いですが、その逆が成立するとは限りません。
 これを例示します。
 まず、pとxのべき乗(x^a)との交換関係を計算しておきます。
 px^a-x^ap=(x^a)'/i:h~=1…(1)
話題となった演算子 (px+xp)/2は、(1)を使い(px+xp)/2=x^(1/2)px^(1/2)であることが示せます。
 一般化した演算子A(a)=x^(a)px^(a)で話題となった演算子はA(1/2)と表わされます。
 1次の微分方程式なので、Aの固有関数uは、すぐに求められ
 u=x^(-a)exp{iλ∫x^(-2a)dx} です。
 直交性をみると、∫x^(-2a)exp{i(λ-λ')∫x^(-2a)dx}dxで、置換∫x^(-2a)dx=yにより
 ∫exp{i(λ-λ')y}dy=δ(λ-λ')となり、形式上直交してます。
 a>0では、x=0で特異点となってますが、a<0では、特異点はありません。
 しかし、u(x=0)=0と固有値λに関係なく0固定値なので、x=0で値を持つ関数を展開する事はできません。
 "エルミート演算子の固有関数が常に当該空間で完全系を成すとは限らないことに注意しましょう"

 また、固有関数が簡単に求まるものとしてB=px^2p=xp^2xがあります(ちなみにA(1/2)^2=B-1/4)
 この固有関数wは、(x^2)w''+(x^2)'w'+λw=0の解ですから
 w=x^(α),α=(-1+-√(1-4λ))/2 
 λ>1/4なら、A(1/2)の固有関数と一致。
 しかし、λ<1/4なら、明らかに直交条件を満たさないことが分かります(p^2と同様に)。
 "エルミート演算子の固有関数が直交するとは限らないことにも注意しましょう"

  投稿者:甘泉法師 - 2010/03/15(Mon) 00:24  No.8478 
こんにちは。 演算子(PX+XP)/2の固有関数u(x)について、|u|がx=0で発散する、直交性の式から二乗積分がδ(λ-λ)=δ(0)≠1であるのは、座標の固有関数 δ(x-x0)や運動量の固有関数 δ(p-p0)が発散(x=x0、p=p0で)すること、二乗可積分でない(δ(x0-x0)、δ(p0-p0)になる )ことと同様です。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2010/03/15(Mon) 07:38  No.8479 
甘泉法師さんNo.8478

>運動量の固有関数 δ(p-p0)が発散
 x表現では、pを固有値とするexp(ipx)です。表現をかえるのは駄目です。

 以前にも指摘しましたが
 状態関数ψ(x)に対して展開を考える時、
 ψ(x)=∫φ(p)exp(ipx)dpが有限確定値になるかが問題です。
 逆変換、φ(p)=∫ψ(x)exp(-ipx)dxも、運動量の固有関数では、有限確定値になることが保証されます。
 位置の固有関数でも
 ψ(x)=∫ψ(x')δ(x'-x)dx'となり、形式上有限確定値です。

 x=0で発散する固有関数u(x)では
 ∫φ(λ)u(λ,x)dλが、有限確定値になりません。

 他の物との内積がちゃんと定義できるかの違いがあるわけです。
 この辺の違いをちゃんと認識すべきです。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/03/15(Mon) 18:51  No.8481 
こんにちは。

Ref.ASAさん - 2010/03/15(Mon) 07:38 No.8479
>  x=0で発散する固有関数u(x)では
>   ∫φ(λ)u(λ,x)dλが、有限確定値になりません。

状態ψ(<ψ|ψ>=1)を、演算子(PX+XP)/2 の固有関数uで展開した係数<u|ψ>=御φ(λ) が『有限確定値になりません。』ということですか? ASAさん、確かめられましたか?

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2010/03/16(Tue) 07:38  No.8485 
展開できるならuの直交性より、逆変換があって
φ(λ)=∫ψ(x)u"(x,λ) dx:{"複素共役の意味"}
となるわけですが、
<ψ|ψ>=1を満たすψに対して、φ(λ)は明らかに発散します。
よって
∫φ(λ)u(λ,x)dλは、有限確定値を持ちません。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/03/16(Tue) 07:56  No.8486 
こんにちは。

> <ψ|ψ>=1を満たすψに対して、φ(λ)は明らかに発散します。

『明らかに』ですか.....

事例 区間[-w/2,w/2]の無限深さ井戸の基底状態 ψ=√(2/w)cos(πx/w)区間内、0 区間外。
について私は
<u_λ=0,0(x)|ψ>≒0.88、|<u_λ,0(x)|ψ>| < |<u_λ=0,0(x)|ψ>|、すべての展開係数は有限
と計算しました。
 

=甘泉法師=


  投稿者:ASA - 2010/03/16(Tue) 09:42  No.8487 
>φ(λ)は明らかに発散します。
 非有限確定値に訂正しておきます。

  投稿者:ASA - 2010/03/16(Tue) 09:56  No.8488 
ψ=Ax^a;0<=x<=1,ψ=0;|x|>1, A:規格定数, a>0
φ(λ)=A∫[0,1]x^(-1/2+a - iλ )dλ=A{x^(-1/2+a+1 - iλ)/(-1/2+a+1 - iλ))}[0,1]

ここで x^(b-iλ)=x^b *exp(-iλlog|x|+arg)
x->0 log|x|は未定義
 x->0 x^(b-iλ)も未定義
(arg=0 固定でx^b(b>0)のダンプ効果により、0収束するという考えもあるかも。)
この考えで検算してみる。

φ(λ)=A{1/(b - iλ)}
∫φ(λ)x^(-1/2+ iλ )dλ=A∫(1/(b - iλ))x^(-1/2+ iλ )dλ
=-Ax^(-1/2)∫(1/(b - iλ))e^(iλlog|x| )dλ:arg=0 fix
=-Ax^(-1/2)∫(b + iλ1)/(b^2+λ^2)e^(iλlog|x| )dλ
=-Ax^(-1/2)∫(b cos(λlog|x|)/(b^2+λ^2)+ iλsin(λlog|x|)/(b^2+λ^2))dλ
=-Ax^(-1/2)π{e^(blog|x|)/b + ie^(blog|x|)}
=-Ax^(-1/2)π{x^b/b+ix^(b)}
=-Aπ{x^a(1/b+i)}
=-Aπ(1/b+i)x^a
定数違い。領域制限が解除されているので元の関数を再現していない。
arg等で調整しないと、元通りにならない。

  投稿者:ASA - 2010/03/16(Tue) 10:15  No.8489 
No.8488 の補足
arg=2πnλ;n=0,+-1,+-2,...
argは固有値λの関数。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/03/16(Tue) 17:03  No.8492 
 こんにちは。

>φ(λ)=A∫[0,1]x^(-1/2+a - iλ )dλ=A{x^(-1/2+a+1 - iλ)/(-1/2+a+1 - iλ))}[0,1]

 1を何乗しても1、0を正数乗すると0なのでarg?の御議論は要りません。固有関数の規格化係数 1/√(4π)を忘れず掛け、
 φp(λ) =A/√(4π){i /(λ + (a+1/2)i)}, p=0,1


> =-Ax^(-1/2)∫(1/(b - iλ))e^(iλlog|x| )dλ:arg=0 fix

係数を正して 
 i A/(4π)e^(-1/2 log|x|) ∫ e^(iλlog|x| ) / (λ + (a+1/2)i) dλ
 λの複素積分をする。Jordanの定理を使い積分経路内に極λ=-(a+1/2)i がはいるかはいらないかはlog|x|の符号できまる。極の留数は|x|^(a+1/2)。結局、
 |x|<1 で A|x|^a  /2、  |x|>1 で 0。
偶固有関数、奇固有関数での展開の合算 Σpは、x>0では倍につよめあい、x<0では打ち消しあうので結果、
 0<x<1 で Ax^a、他の領域で0。 
元の関数に戻りました。

 =甘泉法師=

 

  投稿者:ASA - 2010/03/18(Thu) 07:52  No.8515 
> |x|<1 で A|x|^a  /2、  |x|>1 で 0。
境界値 x=1つまりlog|x|=0でポールはどちらにはいるの?
うまく戻りません。
元の関数は、"ψ=Ax^a;0<=x<=1"で等号を含んで定義されていることに留意してください。

あと、x=0;log|x|未定義では、どうなるのでしょう?
a=0を認めると、定義された全領域で定数Aのはずなのに0となるとおかしいです。
 
 argに関係なく、複素関数の展開時の本質的問題かもしれませんが。


  投稿者:ASA - 2010/03/18(Thu) 09:54  No.8518 
>ガウスの主値をとりましょう。境界値の値は両側の半分になります。おなじみのフーリエ変換と同じです。
 なら、1/2ですね。フーリエ変換と同様の問題があるということ。

>x=0でlog|x|は未定義? 
 x^a=e^(alog|x|)としてますが
 x=0でa=0だと、
 alog|x|は未定義ないしは、不定だと思いますが。
引用1>x^0=1定数ですが....?
引用2>0<x<1 で Ax^a、他の領域で0。
引用1と引用2は、x=0を考えると矛盾してませんか?
 
引用1のように alog|x|=0で0^0=1が成立とお考えでしょうか?
それとも引用2のように0^0=0が成立とお考えでしょうか?
どちらか明確にお答え下さい。

個人的には、固有関数が、x=0で非正則だからデリケートだと思ってます。

>0<x<1 で Ax^a、他の領域で0。
 より明確にこんどは、"ψ=A;0<=x<=1"を考えます。
 同様の議論で、a=0したときと同じ結論が得られます。
ψ(0)=Aと有限の値を持っていたものが、λによる和の結果x=0で値が0となるのはおかしいのではという疑問です。
 これについても明確にお答え下さい。

>偶固有関数、奇固有関数での展開の合算 Σpは、x>0では倍につよめあい、x<0では打ち消しあうので結果、
 良く分からないのがこのコメントですね。
 定義ドメインとして0<=xを考える限り、偶奇関係ないはずです。

>固有関数の規格化係数 1/√(4π)を忘れず掛け
ノーマライズできないのに規格化係数というのが分かりません。導出の説明をお願いします。
元の関数に戻るように固有関数の係数を考えるなら、留数定理(2πiRes[f]=∫fdz)にしたがって、1/2π当りが適切なはずです。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/03/18(Thu) 10:08  No.8519 
 こんにちは。 

>境界値 x=1つまりlog|x|=0でポールはどちらにはいるの?

 ガウスの主値をとりましょう。不連続点の値は両側値の平均になります。
ご存知のとおり御関数をフーリエ変換して逆フーリエ変換すれば不連続点で同じことが起こります。

>あと、x=0;log|x|未定義では、どうなるのでしょう?

 未定義....?? あたりまえに log|0|=−∞  0=e^log0=e^(−∞)=0 では具合が悪いですか。

>a=0を認めると、定義された全領域で定数A

 となってますが...?? 

>和の結果x=0で値が0となるのはおかしい

異議なし。Who said that?
ちなみに不連続点での具合は上に述べたとおりです。

>定義ドメインとして0<=xを考える限り

 了解。前提が違えば意見の一致をみなくても不思議ありません。
 わたしは定義ドメインとしてー∞<x<∞を考え、御関数は[0,1]の外では値が0としています。フーリエ変換もそうですが変換される関数は無限区間で定義されている必要があります。
 
>ノーマライズできないのに規格化係数というのが分かりません。
Re: 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか ASAさん - 2010/03/13(Sat) 16:15 No.8475
>∫exp{i(λ-λ')y}dy=δ(λ-λ')となり、形式上直交してます。

 ∫u*udλ=δ(λ-λ') となるように (πδ(λ-λ')でもなく、2δ(λ-λ')でもなく) uに係数を掛ける必要はなかったですか?

閑話休題

 
0^0=0 なら
e^0log 0 = 0
0log 0 = -∞

0^0=1 なら
e^0log 0 = 0
0log 0 = 0

御問題では 0の正数乗=0と0^0の積の形で出てくるので、どちらでもかまいませんが....?

>個人的には、

 個人的数学というものがあるかどうか寡聞にして承知しないのですが、個人のお考えは尊重することにしています。

=甘泉法師=


  投稿者:ASA - 2010/03/18(Thu) 14:05  No.8522 
>異議なし。Who said that?
>ちなみに不連続点での具合は上に述べたとおりです。
>わたしは定義ドメインとしてー∞<x<∞を考え、御関数は[0,1]の外では値定義ドメインとしてー∞<x<∞を考え場合、結局境界x=0での値は、幾つになるのでしょうか?
回答お願いします。

>フーリエ変換もそうですが変換される関数は無限区間で定義されている必要があります。
 いいえ、違いますよ。
 固有関数がx=0がイレギュラーで断絶してます。
 正領域のみで定義された関数でも適用可能です(負領域のみでも)。
 無限区間で定義されている必要性は、どこから来るのでしょうか?
 この説明もお願いします。

>∫u*udλ=δ(λ-λ') となるように (πδ(λ-λ')でもなく、2δ(λ-λ')でもなく) uに係数を掛ける必要はなかったですか?
直交性の確認ですから係数は関係ありません。
(ちなみに直交性の確認は、正領域(0<=x)で成立する話になってます。これが正領域でのみ定義される関数に適用できる根拠です)
∫u*udxの話をしているのに何故∫u*udλの話になるのか理解できません。
 また、何故4πがでてくるのかのちゃんとした回答をお願いします。

>御問題では 0の正数乗=0と0^0の積の形で出てくるので、どちらでもかまいませんが....?
 意味不明?

>個人的数学というものがあるかどうか寡聞にして承知しないのですが
偶固有関数奇固有関数とか、規格化係数で4πがでてくるとか、無限区間で定義されている必要性とか、典型的な個人的数学を開示しているように思えます。
 テキストがあれば紹介してください。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/03/18(Thu) 17:57  No.8524 
 こんにちは。

>無限区間で定義されている必要性は、どこから来るのでしょうか?

 定義区間が有限な御関数はフーリエ変換・逆変換でもとにもどりますか? 同じことです。

>結局境界x=0での値は、幾つになるのでしょうか?

 不連続の点では両側の平均になります。左が0で右がAなら(以下略)。

>直交性の確認ですから係数は関係ありません。

 ......。 それでは

>Re: 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか ASAさん - 2010/03/13(Sat) 16:15 No.8475
>∫exp{i(λ-λ')y}dy=δ(λ-λ')となり、形式上直交してます。

 書かれた式 ∫exp{i(λ-λ')y}dy=δ(λ-λ') の右辺δ(λ-λ')の係数は1で正しいですか? 
 個人的には連続固有値系のδ関数による”ノーマライズ”とか”正規直交化”は認めないのですか?

=甘泉法師= 
 

  投稿者:ASA - 2010/03/19(Fri) 08:18  No.8531 
>>無限区間で定義されている必要性は、どこから来るのでしょうか?

> 定義区間が有限な御関数はフーリエ変換・逆変換でもとにもどりますか? 同じことです。
 
 みなし0なり、サブセットでもとにもどりますけど。
 (教科書には区分的に滑らかな関数でOKとなってます。)

>不連続の点では両側の平均になります。左が0で右がAなら(以下略)。
 u=x^(-1/2+iλ)のx=0で具体的に示してください。
>>e^(-1/2 log|x|) ∫ e^(iλlog|x| ) / (λ + (a+1/2)i) dλ
 上記にx=0を代入してから、和をとると未定義になります(x=0でイレギュラであるため、ちなみに0^iλも不明(λ≠0))。
 x=0でA/2となる計算過程を示してください。
 ちなみに境界点x=1を代入してから、和をとるとπ。
 0<x<1では2πとなります。
 ファクタ1/2πをかけておくことで、区間内でAが再現され。右側境界点でA/2となります。
  まだお答えいただけませんが、1/√4πがでてくる計算の詳細な解説も忘れずにお願いします。

>δ(λ-λ')の係数は1で正しいですか?
>δ関数による”ノーマライズ”とか”正規直交化”は認めないのですか?
 意味不明。
 ちゃんと解説がなされているテキストを紹介してください。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/03/19(Fri) 10:05  No.8532 
こんにちは

>みなし0

0<x<1でしか定義されないオリジナルの関数を−∞<x<0、1<x<∞ の区間にも定義区間を拡張してそこでは値0であるような、定義域[−∞、∞]の新たな関数に換えて計算することですね。新たな関数は、変換・逆変換で自分に戻ります。
「サブセット」の方法を知りません。元の関数を区間外で周期的に繰り返す新たな関数に換えてフーリエ級数を考えるといことでしょうか? 解説いただければ幸いです。

> テキストを紹介してください。

島根大学 http://maverick.riko.shimane-u.ac.jp/files/quant3b/node3.html  あたりを勉強の取っ掛かりとしてはいかがでしょう。
「連続固有値を持つ固有関数の規格化としてしばしば使用される」
∫e-ikx dx = ... 答えもわかります。

富山大学 http://k2.sci.u-toyama.ac.jp/quantum1/lec5.pdf
「運動量だけでなく,一般の連続固有値をとる固有関数の集合についても,規格直交化はδmn でなくデルタ関数を用いる.」

http://jsimplicity.com/ja_Group_ModernPhysics_html/ja_Report_QuantumMechanics1_html/ja_Q09_DevelopmentOfWaveMechanics.html#q09_1
Q09-3 連続固有関数と連続固有値
「この式を連続固有関数のδ関数規格直交条件といいます.」

http://www.physics.ohio-state.edu/~heinz/834/lectures/OrthonormalFunctionsAndSeparationofVariables.pdf
1.3.3 Uncountably Infinite Basis Example

> まだお答えいただけませんが、

  もう一月以前になりますが見ていただけなかったかお忘れのようですので
  投稿者:甘泉法師 - 2010/02/18(Thu) 21:41 No.8359 を修正して一部再掲しましょう。

ψa(x) = c |x|^-(1/2) exp(+i a/h' log |x|)
ψb(x) = c |x|^-(1/2) exp(+i b/h' log |x|)

∫ψa(x)*ψb(x)dx  =c*c∫ exp(+i (b-a)/h' log |x|) dx/|x|

  =2c*c∫[0,∞] exp(+i (b-a)/h' log x) dx /x
  
=2c*c∫x:[0,∞] exp(+i (b-a)/h' log x) d(log x)
=2c*c∫[-∞,∞] exp(+i (b-a)/h' y ) d y
=2c*c2πδ((b-a)/h')

2c*c2π=1になるようにcをとり、無次元にした固有値 a/h’を変数にとって固有関数は
ψa/h’(x) = 1/√(4π) |x|^-(1/2) exp(+i a/h’log |x|)

∫ ψa/h’(x)*ψb/h’(x) dx = δ(b/h' - a/h') 規格直交。

  上記の固有関数は偶関数。同じ固有値に奇関数の固有状態が縮重している。それは
ψa/h’(x) = 1/√(4π) sgn(x) |x|^-(1/2) exp(+i a/h’log |x|)  

=甘泉法師=

P.S.
ASAさん - 2010/02/22(Mon) 14:37 No.8418
> >δ(x)に収束する関数列 Ψ(x)=1/2ε  for −ε<x<ε, 0 for others ε→+0
>  これってはじめてみますけど、

ref. 島根大学 http://www.phys.shimane-u.ac.jp/tanaka_lab/lecture/math1/math1.pdf
「デルタ関数になる関数列はたくさん存在する.以下に証明なしでそのいくつかを載せておく.」1番。


  投稿者:甘泉法師 - 2010/03/19(Fri) 16:58  No.8538 
こんにちは

Re: 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか ASA - 2010/03/18(Thu)
> >偶固有関数、奇固有関数での展開の合算 Σpは、x>0では倍につよめあい、x<0では打ち消しあうので結果、
>  良く分からないのがこのコメントですね。

下図、説明参考まで。

∫φ(λ)u_偶,λ(x)dλ  
○○●○○○○○●○○A/2
○○●●○○○●●○○
○○●○●○●○●○○
●●●○○●○○●●●
○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○|x|<1 で A|x|^a  /2、  |x|>1 で 0。

    +

∫φ(λ)u_奇,λ(x)dλ
○○○○○○○○●○○A/2
○○○○○○○●●○○
○○○○○○●○●○○
●●●○○●○○●●●
○○●○●○○○○○○
○○●●○○○○○○○
○○●○○○○○○○○|x|<1 で Asgn(x) |x|^a /2、  |x|>1 で 0。

    ||

○○○○○○○○●○○A
○○○○○○○○●○○
○○○○○○○●●○○
○○○○○○○○●○○
○○○○○○●○●○○
○○○○○○○○●○○
●●●●●●○○●●●
○○○○○○○○○○○

=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2010/03/19(Fri) 19:11  No.8540 
こんにちは。続けて説明参考図です。

ψ=A|x|^a の変換・逆変換
a=0 ψ=A の場合は

∫φ(λ)u_偶,λ(x)dλ  
○○●●●●●●●○○A/2
○○●○○○○○●○○
○○●○○○○○●○○
●●●○○○○○●●●
○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○|x|<1 で A/2。x=1 でA/4。|x|>1 で 0。

    +

∫φ(λ)u_奇,λ(x)dλ
○○○○○●●●●○○A/2
○○○○○●○○●○○
○○○○○●○○●○○
●●●○○●○○●●●0
○○●○○●○○○○○
○○●○○●○○○○○
○○●●●●○○○○○|x|<1 で Asgn(x)/2。x=0で0。 x=1 でA/4。 |x|>1 で 0。

    ||

○○○○○●●●●○○A
○○○○○●○○●○○
○○○○○●○○●○○
○○○○○●○○●○○
○○○○○●○○●○○
○○○○○●○○●○○
●●●●●●○○●●●0 0<x<1でA。 x=0,1 でA/2。 他で0。
○○○○○○○○○○○

ASAさんご懸念のx=0での異常は見当たりません。

>>>e^(-1/2 log|x|) ∫ e^(iλlog|x| ) / (λ + (a+1/2)i) dλ
> 上記にx=0を代入してから、和をとると未定義になります(x=0でイレギュラであるため、ちなみに 0^iλも不明(λ≠0))。
> x=0でA/2となる計算過程を示してください。

この式は1/4πをかけ係数を正せば ψ=Ax^a 0<x<1 を変換したものの偶のほうの固有関数の成分
∫φ(λ)u_偶,λ(x)dλ ですね。 
複素積分して A|x|^a /2 |x|<1 0 |x|>1
奇のほうの固有関数の成分とあわせ Ax^a  0<x<1、0 その他。
 
>上記にx=0を代入してから、

これは関心しません。積分を計算した結果に値を代入しましょう。

a=0の場合でみると、e^(-1/2 log|x|)→∞ ですが、留数 = e^(+1/2 log|x|)→0 なので。

N→∞, 1=N* 1/N = ∞*0 =不定、としたら誤りですよね。

=甘泉法師=


  投稿者:甘泉法師 - 2010/03/19(Fri) 23:41  No.8542 
こんにちは。 御計算
Re: 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか ASAさん - 2010/03/16(Tue) 09:56 No.8488
にコメントします。

> ψ=Ax^a;0<=x<=1,ψ=0;|x|>1, A:規格定数, a>0
> φ(λ)=A∫[0,1]x^(-1/2+a - iλ )dλ=A{x^(-1/2+a+1 - iλ)/(-1/2+a+1 - iλ))}[0,1]
  
   =A/a+1/2- iλ=iA/{λ+(a+1/2)i}


> ここで x^(b-iλ)=x^b *exp(-iλlog|x|+arg)
> x->0 log|x|は未定義
>  x->0 x^(b-iλ)も未定義
> (arg=0 固定でx^b(b>0)のダンプ効果により、0収束するという考えもあるかも。)


  凝らなくても[ A{x^(-1/2+a+1 - iλ)/(-1/2+a+1 - iλ))} ]~x=1_x=0はx=1でiA/{λ+(a+1/2)i}、x=0で
iA/{λ+(a+1/2)i}*0^(a+1/2)*0^iλ=0ですよね。
(a+1/2)>0だし、0^iλ*0^(-iλ)=0^0 から|0^iλ|=0^(0/2)=0^0は有限ですから。このことを先にいいましたが

>>御問題では 0の正数乗=0と0^0の積の形で出てくるので、どちらでもかまいませんが....?
> 意味不明?

 通じず残念でした。

> この考えで検算してみる。
> φ(λ)=A{1/(b - iλ)}
> ∫φ(λ)x^(-1/2+ iλ )dλ=A∫(1/(b - iλ))x^(-1/2+ iλ )dλ
> =-Ax^(-1/2)∫(1/(b - iλ))e^(iλlog|x| )dλ:arg=0 fix
> =-Ax^(-1/2)∫(b + iλ1)/(b^2+λ^2)e^(iλlog|x| )dλ
> =-Ax^(-1/2)∫(b cos(λlog|x|)/(b^2+λ^2)+ iλsin(λlog|x|)/(b^2+λ^2))dλ

最下行の第2項の係数に誤りがあります。下から2行目から
  =-Ax^(-1/2)∫(b cos(λlog|x|)/(b^2+λ^2) - λsin(λlog|x|)/(b^2+λ^2))dλ 
    -iAx^(-1/2)∫(b sin(λlog|x|)/(b^2+λ^2) - iλcos(λlog|x|)/(b^2+λ^2))dλ
    
    2行目は奇関数の積分なので0になり

  =-Ax^(-1/2)∫(b cos(λlog|x|)/(b^2+λ^2)-λsin(λlog|x|)/(b^2+λ^2))dλ

  積分公式にあてはまるよう sin(λlog|x|) の符号に注意すると
  log|x|>0 の場合は第1項の定積分と第2項の定積分は打ち消しあう。0。
  log|x|<0 の場合は第1項の定積分と第2項の定積分は強まり倍になり
  
  =-Aπ|x|^(-1/2){e^(-blog|x|)}
  =-Aπ|x|^a

  係数 1/√4πをかけ規格化された固有関数をつかえば

  =-A|x|^a /2

  以上は偶関数成分の計算なので、同様に奇関数成分を計算し、ふたつをあわせれば

  Ax^a for 0<x<1 , 0 for x<0、x<0, 不連続点では左右の平均値。

  =甘泉法師=
 

  投稿者:ASA - 2010/03/20(Sat) 08:01  No.8544 
>>上記にx=0を代入してから、
>これは関心しません。積分を計算した結果に値を代入しましょう。
>a=0の場合でみると、e^(-1/2 log|x|)→∞ ですが、留数 = e^
>(+1/2 log|x|)→0 なので。
>N→∞, 1=N* 1/N = ∞*0 =不定、としたら誤りですよね。

 右側境界で同様のことをすると1/2になりません。
 なぜ、左側境界で関心しないのか説明をお願いします。
 ちなみに、∞/∞は不定です
 わざわざ極限操作を使用してない理由を理解してますでしょうか?


>x=0,1 でA/2。 他で0。
 なぜ、x=0でA/2となるのか、その詳細な計算過程を示してくださることをお願いしてます。

>log|x|<0 の場合は第1項の定積分と第2項の定積分は強まり倍になり
>=-Aπ|x|^(-1/2){e^(-blog|x|)}
>=-Aπ|x|^a
 これ間違いです。
 倍になるので2πです。

>上記の固有関数は偶関数。同じ固有値に奇関数の固有状態が縮重している。
 これが理解できないのですよ。
 係数c=√2πe^(iθ)と複素数ですよね。
 偶固有関数、奇固有関数とかの区別が無意味です。
 同じ固有値に奇関数の固有状態が縮重しているとしているテキストを紹介してください。

 
議論しているのは、1/2のMellin変換ですね。 
 

  投稿者:ASA - 2010/03/20(Sat) 09:08  No.8545 
フーリエ変換からa=1/2のMellin変換を導きます。
フーリエ変換の定理より
 F(k)=∫[-∞,∞]f(x)e^(-ikx)dx
(f(x+0)+f(x-0))/2=B∫[-∞,∞]F(k)e^(ikx)dk B:調整用の係数

f(x)=e^-axψ(e^-x) とおき
x=-lnyと変換 dx=-dy/y
 F(k)=∫[∞,0]f(-lny)e^(iklny)(-dy/y)
   =∫[0,∞]f(-lny)y^(ik-1)dy
   =∫[0,∞]e^alnyψ(e^lny)y^(ik-1)dy
   =∫[0,∞]ψ(y)y^(a-1+ik)dy

  a=1/2 として
 フーリエ逆変換にたいして同様の変数変換を実行
(e^-((x+0)/2)ψ(e^-(x+0))+e^-((x-0)/2)ψ(e^-(x-0))/2=B∫[-∞,∞]F(k)y^(-ik)dk 
(e^(+0)ψ(e^-(x+0))+e^(-0)ψ(e^-(x-0))/2=B∫[-∞,∞]F(k)y^(-1/2-ik)dk:
  ただしy≠0、x=∞に対して+0極限が定義できないため。"これが重要事項" 

 結局x≠0に対して
 (ψ(x+0)+ψ(x-0))/2=B∫[-∞,∞]φ(λ)x^(-1/2-iλ)dλ:2πδ(k)=∫e^(-ikx)dxに合わせて、B=1/2πとする。 
 φ(λ)=∫[0,∞]ψ(x)x^(-1/2+iλ)dx
 x=0に対しては未定義。

  投稿者:ASA - 2010/03/20(Sat) 09:48  No.8546 
補足
>(e^-((x+0)/2)ψ(e^-(x+0))+e^-((x-0)/2)ψ(e^-(x-0))/2=B∫[-∞,∞]F(k)y^(-ik)dk 
B∫[-∞,∞]F(k)y^(-ik)dk
=y^a{e^(+0)ψ(ye^(-0))+e^(-0)ψ(ye^(+0))}
a>0でy=0 だと
0で割ることになり
B∫[-∞,∞]F(k)y^(-a-ik)dk
との変形が成立しません。
極限云々の前にy≠0は、前提条件となってます。
(ちなみにy=0で成立しているとすると、kの積分が0なので、
 y^(-ik)=0=e^(-ikln0)=e^(ik∞);(k=0を含む)とみなしてますね)

  投稿者:ASA - 2010/03/20(Sat) 10:05  No.8547 
 より正確に言えば
 y^aψ(y)がy=0で0の場合ですね。
 ψをy^bで冪展開したとき、a+b>0のみの項から成立している場合ですね。
 俎上に上がっているのは、ψ(y)=A;定数(0<=y<=l)なので、A y^1/2(y=0)=0で該当するケースです。


  投稿者:ASA - 2010/03/20(Sat) 13:05  No.8548 
甘泉法師さん No.8532
オンライン量子力学のテキストは、怪しいものも多いのですが、
> 「この式を連続固有関数のδ関数規格直交条件といいます.」
 このテキストは、線形空間における原義の規格直交と明確に区別しているので、用法としてはまともですね。

 でも、流儀としてはNo.8545 で示したように、B:調整用の係数を逆変換に押し込んでいるので、必要ない概念ですね。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/03/20(Sat) 21:15  No.8552 
こんにちは。
Re: 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか ASA - 2010/03/20(Sat) 08:01 No.8544

>=-Aπ|x|^a
 これ間違いです。
 倍になるので2πです。


ありがとうございます。あれ、以後の拙計算は係数があってますね。いい加減ですみません。

ところでここより前の部分で、φ(λ)= iA/{λ+(a+1/2)i} にはお咎めがないのですが...

Re: 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか ASA - 2010/03/16(Tue) 09:42 No.8487
>φ(λ)は明らかに発散します。
 非有限確定値に訂正しておきます。

発散でも非確定値でもなくなっております。お見逃しなく!

=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2010/03/20(Sat) 22:18  No.8553 
 こんにちは

>定義ドメインとして0<=xを考える限り、偶奇関係ないはずです。

 原点の両側に広がるψ(x)は扱わないんですね。 片側でとどのつまりがあるのでは扱う波動関数がだいぶ限られてしまうように感じるのですが...。なぜ「定義ドメインとして0<=xを考える」のでしょう?。ぜひ教えてください。  

>偶固有関数奇固有関数とか、規格化係数で4πがでてくるとか、無限区間で定義されている必要性とか、典型的な個人的数学を開示しているように思えます。
>偶固有関数、奇固有関数とかの区別が無意味です。

てっとり早くASAさんご自身のお考えを拝借します。

>>ASAさん - 2010/02/22(Mon) 07:53 No.8415
> あと、 遇とか奇とかをもちだすのでなく領域で分けた方が判りやすいです。
>  タイプ1(ポジ):x>0で0で無い関数。α=βのケース
>  タイプ2(ネガ):x<0で0で無い関数。α=-βのケース
> でも折り返しなので領域x>0に限定して話をした方がすっきりするのでは?

タイプ1とタイプ2は固有値が同じで、明らかに互いに直交しますね。この御考えを基に {タイプ1+タイプ2}/2 を偶の固有関数 {タイプ1−タイプ2}/2 を奇の固有関数 としたものと見てください。偶の固有関数と奇の固有関数は互いに直交し、同じ固有値をシェアしますよね。

>同じ固有値に奇関数の固有状態が縮重しているとしているテキストを紹介してください。

 自分の頭で考えるのは不安がありますよね、やはり偉い先生にお墨付きをもらわないと。 明日図書館に行ってアリストテレスはどう言っているか見てみましょう。

へたな考えですが符号関数をつかい
[(XP+PX)/2, sgnX]
=[XP,sgnX]
=h'/i [ x d/dx, sgn(x) ]
=h'/i (x sgn(x)d/dx + 2xδ(x) - x sgn(x)d/dx)
=h'/i 2xδ(x)          xδ(x)=0 を使って
=0 なので (XP+PX)/2 と sgnX は同時観測可能。

sgnXの固有値は{-1,0,1}だが、固有値0の状態はXのx=0の固有状態で、これは明らかに(XP+PX)/2の固有状態ではない。
だから (XP+PX)/2 の固有状態は sgn Xの固有値が-1,1 のふたつの状態に縮退している。これらの線形結合で偶の状態と奇の状態を互いに直交する状態にすることができる。かなり怪しいです。諸氏のご批判を仰ぎます。



=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2010/03/20(Sat) 23:23  No.8554 
 こんにちは。

> でも、流儀としてはNo.8545 で示したように、B:調整用の係数を逆変換に押し込んでいるので、必要ない概念ですね。

フーリエ変換の場合、係数のきめかたを
  正変換に 1     逆変換に 1/2π
  正変換に 1/√2π  逆変換に 1/√2π 
  の二つの流儀がありますが、

> 2πδ(k)=∫e^(-ikx)dxに合わせて、B=1/2πとする。 

  この式を借用して  k=λ’ーλとして
  δ(λ’ーλ)=1/2π∫e^{i(λーλ’)x} dx
  上行の流儀では右辺は 平面波 e^{iλx}のフーリエ正変換/2πであるし、平面波 e^{iλ’x}の逆フーリエ変換でもある。
  下行の流儀では右辺は 規格化された平面波 e^{iλx}/√2π のフーリエ正変換であるし、平面波 e^{iλ’x}/√2πの逆フーリエ変換でもある。 また、規格化されたふたつの平面波 e^{iλx}/√2π と e^{iλ’x}/√2π の内積でもある。 この対称性は便利です。
 量子力学の教科書では、わたしが知っている狭い範囲ですが、下行の正逆対称の流儀でフーリエ変換の係数を定義しています。ASAさんお持ちの教科書ではどうですか?

=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2010/03/21(Sun) 01:20  No.8555 
こんにちは。

これまで以下のふたつのケースを提案いただき、固有関数による射影 ∫|u(λ)>dλ<u(λ)|を考えてきました。

投稿者:ASA - 2010/03/16(Tue) 09:56 No.8488

ψ=Ax^a;0<=x<=1,ψ=0;|x|>1, A:規格定数, a>0

投稿者:ASA - 2010/03/18(Thu) 09:54 No.8518

 より明確にこんどは、"ψ=A;0<=x<=1"を考えます。

 
前者は -1<=x<=0 での値の説明がありませんがある値(たとえば0とします)を与えれば無限区間で定義されています。
後者は有限区間でだけ定義されています。

波動関数として
前者は不連続点(x=1)があること
後者は定義区間が有限であること
が問題です。

前者は太宗は写像で元に戻りますが不連続点での値が戻るのかがもやもやしています。しかし連続でない波動関数は物理としてありえませんから、もやもやは数学であっても物理でない話と考えます。いたるところ連続な関数で検討すればすっきりするでしょう。

後者はわたしには写像のしかたがわかりません。定義域を外の全空間に広げ、そこでは値を0にしたものならば前者の計算でa=0としたものになります。不連続点のもやもやについても同じです。

=甘泉法師=







  投稿者:ASA - 2010/03/21(Sun) 08:03  No.8556 
>発散でも非確定値でもなくなっております。お見逃しなく!
x=0を除くという条件付で確定値はOKですが、
x=0を含むとしたら、先に示した議論より非有限確定値ないしは未定義です。

>なぜ「定義ドメインとして0<=xを考える」のでしょう?。ぜひ教えてください。
 前に書きましたけど、偶奇でなく正負の折り返しですよ。
対称なので片側ドメインを考えたわけです。
更に複雑な関数系 {e^(iλtan(kx))/cos(kx)} π周期で、代表的ドメイン-π/2<kx<π/2を考えるのと同様です。

>この対称性は便利です。
どのように便利なのでしょうか?
 一般的な積分変換、例えばa=0のMellin変換では
 完全系は{x^iλ}で、係数を求める際使用するのは{x^(-1-iλ)}と複素共役の関係はありません。このような場合、調整用係数を片側に押し込める方が単純です(より一般的な見地からすると、係数決めで規格化という用語を使用することに疑問を持ちます)
 ちなみに{x^iλ}は演算子xpの実固有値を持つ固有関数になってます。
 エルミットでないので直交してません。

>いたるところ連続な関数で検討すればすっきりするでしょう。
 ψ(x;x=0)≠0として単純な例として、ψ(x;0<=x<=1)=Aを俎上に上げてます。
 連続な関数としては、デルタ型ポテンシャルの解であるψ(x;k>0)=Ae^(-k|x|)がありますね(xのべき展開の初項をのみを考えたのと同様)。

 しかし、No.8545 からの議論で示したように、非正則な点x=0が除かれるのは変りません。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/03/21(Sun) 10:12  No.8557 
こんにちは。

>>なぜ「定義ドメインとして0<=xを考える」のでしょう?。ぜひ教えてください。
> 前に書きましたけど、偶奇でなく正負の折り返しですよ。
>対称なので片側ドメインを考えたわけです

ご提案の
-----------------
投稿者:ASA - 2010/03/16(Tue) 09:56 No.8488
ψ=Ax^a;0<=x<=1,ψ=0;|x|>1, A:規格定数, a>0
投稿者:ASA - 2010/03/18(Thu) 09:54 No.8518
より明確にこんどは、"ψ=A;0<=x<=1"を考えます。
-----------------
は、どちらも対称に見えませんが...。 
対称な対象を教えてください!

=甘泉法師=


  投稿者:甘泉法師 - 2010/03/21(Sun) 10:18  No.8558 
こんにちは。

>>なぜ「定義ドメインとして0<=xを考える」のでしょう?。ぜひ教えてください。
> 前に書きましたけど、偶奇でなく正負の折り返しですよ。
>対称なので片側ドメインを考えたわけです

はて、ご提案の
-----------------
投稿者:ASA - 2010/03/16(Tue) 09:56 No.8488
ψ=Ax^a;0<=x<=1,ψ=0;|x|>1, A:規格定数, a>0
投稿者:ASA - 2010/03/18(Thu) 09:54 No.8518
より明確にこんどは、"ψ=A;0<=x<=1"を考えます。
-----------------
はどちらも対称でないですよね...。 対称でない関数は対称な固有関数では展開できませんし...。ぜひ対照のため対称な対象を大将、教えてください!  

>>発散でも非確定値でもなくなっております。お見逃しなく!
>x=0を除くという条件付で確定値はOKですが、
>x=0を含むとしたら、先に示した議論より非有限確定値ないしは未定義です。

 x=0を含むとしたら....?

投稿者:甘泉法師 - 2010/03/19(Fri) 23:41 No.8542
> > φ(λ)=A∫[0,1]x^(-1/2+a - iλ )dλ=A{x^(-1/2+a+1 - iλ)/(-1/2+a+1 - iλ))}[0,1]
  
>    =A/a+1/2- iλ=iA/{λ+(a+1/2)i}

>   凝らなくても[ A{x^(-1/2+a+1 - iλ)/(-1/2+a+1 - iλ))} ]~x=1_x=0はx=1でiA/{λ+(a+1/2)i}、x=0で
> iA/{λ+(a+1/2)i}*0^(a+1/2)*0^iλ=0ですよね。
> (a+1/2)>0だし、 0^iλ*0^(-iλ)=0^0 から|0^iλ|=0^(0/2)=0^0は有限ですから。

 x=0を含む、っていうかどんぴしゃx=0を代入して計算してしまっているんですが...。 厳しくまちがいをお正しください。

=甘泉法師=





  投稿者:ASA - 2010/03/21(Sun) 10:55  No.8559 
甘泉法師さんは全く勘違いされてますね。
展開関数系 {g(x,λ)}のドメインに対する対称性です。
被展開関数の対称性ではありません。
x^αpx^α等の具体的なエルミート演算子により、エルミート演算子の固有関数が必ずしも直交するわけでないし、完全系であるわけでもないことを示せたので投稿の目的は達成しました。
 甘泉法師さんとの議論は、ここまでですね。
 胡乱な議論を続けてしまいましたが、非正則点でも解析的関係が成立すると思い込んでいる人がいるとは驚きでした。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/03/22(Mon) 00:15  No.8560 
こんにちは。

>x^αpx^α等の具体的なエルミート演算子により、エルミート演算子の固有関数が必ずしも直交するわけでないし、完全系であるわけでもないことを示せたので投稿の目的は達成しました。

復習します。

aを整数として
固有値方程式 (x^a p x^a - Λ)u = 0
(a x^2a-1 - iλ)u + x^2a u' = 0 Λ=λh' λの次元はL^(2a-1)
u' + (a x^-1 - iλx^-2a)u = 0  積分して
log u + a log|x| - iλx^(1-2a) /(1-2a) = C
  u = C exp{ - a log|x| + iλx^(1-2a) /(1-2a)}
固有関数系の直交を確かめ、規格化する。
 ∫u(λ')*u(λ)dx = C*C ∫exp{ - 2a log|x|} exp{ i(λ-λ')x^(1-2a) /(1-2a)} dx
 変数変換 y = x^(1-2a) /(1-2a) 
dy = x^ -2a dx  
a>0 x[-∞,-0]→y[+0,+∞] x[+0,+∞]→y[-∞,-0]
a<0 x[-∞,-0]→y[-0,-∞] x[+0,+∞]→y[+∞,0]
 ∫u(λ')*u(λ)dx = C*C ∫ exp{ i(λ-λ')y} dy = 2πC*Cδ(λ-λ')
直交規格化された固有関数
 u_λ(x) = 1/√2π exp{ - a log|x| + iλx^(1-2a) /(1-2a)}  aは整数。


次に完全性を調べる。
位置の固有関数 δ(x−η)を ∫|u>dλ<u| と写像して具合を見る。

 η≠0の場合
 φ(λ)= ∫u*δ(x−η)dx = 1/√2π exp{ - a log|η| - iλη^(1-2a) /(1-2a)} 
 ∫φ(λ)u (λ)dλ = 1/(2π) exp{ - a log|xη|}∫ exp{ iλ(x^(1-2a)-η^(1-2a)) /(1-2a)} dλ = δ(x−η)
 公式δ(f(x)−f(η))=1/|f’(η)| δ(x−η)をつかった。

 η=0の場合 δ関数に収束する関数列 fN(x) = N for |x|<1/2N, 0 for others を写像してみる。
 ∫u*fN(x)dx = 1/√2π ∫fN(x) exp{ - a log|x| - iλx^(1-2a) /(1-2a)} dx
         = N/√2π ∫[-1/2N,1/2N]dx exp{ - a log|x| - iλx^(1-2a) /(1-2a)} 積分変数をxからξにかえて
         = N/√2π ∫[-1/2N,1/2N]dξ exp{ - a log|ξ| - iλξ^(1-2a) /(1-2a)}
 ∫φ(λ)u (λ)dλ = N/(2π)∫dλ ∫[-1/2N,1/2N]dξ exp{ - a log|x| - a log|ξ| + iλx^(1-2a) /(1-2a)- iλξ^

(1-2a) /(1-2a)} = N for |x|<1/2N, 0 for otherwise. N→∞ を考えるとδ関数は恒等写像される。 固有関数系は、位置の固有関数のすべてを恒等写像することから、完全。

間違いあれば指導をいただければ幸いです。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2010/03/22(Mon) 07:23  No.8561 
精査しませんが、仮に完全性チャックは形式上OKでも、

先の議論に基づくと
 f(y(x))=x^αψ(x):y=∫x^2αdx
 と置き換え時の問題に帰着してます。
f(y(x=0))=Aと有限値を持つ時
 A=0*ψ(0)とかA=∞*ψ(0)とかは、不能です。
なので、x=0を除くとしなくてはいけません(α=0除く)。

ちなに、xp^2xで完全性OKですか?



  投稿者:甘泉法師 - 2010/03/22(Mon) 19:18  No.8562 
こんにちは。 感想です。

滑らかな規格化された波動関数ψ(x)が固有関数系による変換・逆変換でΨ(x)に写像され

Ψ(x)= 0  for x=0
Ψ(x)=ψ(x)otherwise とか

Ψ(x)= ∞  for x=0
Ψ(x)=ψ(x)otherwise とか

Ψ(x)= 0  for x=0,1,2,.... 可算無限個
Ψ(x)=ψ(x)otherwise とか、たかだか可算無限個の点で食い違うような場合に、両者は数学としてはもちろん異なりますが、位置の固有関数が恒等写像されるなど要件が確かめられれば物理のふるまいは同じ....といった状況でしょうか、自信ありませんが。 ヒゲが何本か生えても気にしないずぼらさ、ルベーグ積分というか....

=甘泉法師=



  投稿者:ASA - 2010/03/22(Mon) 20:13  No.8563 
実固有値λをもつ固有関数u(x)=f(x)^(1/2)e^(iλF(x));F'=f:実関数
これは、F(x)=yと変数置換することで完全性チェック式を満足することが確かめられます。
 演算子G=f^(-1)p-f^(-2)f'/2iが固有方程式Gu=λuを満足します。
演算子Gは、エルミットであることがpf^(-1)=-f^(-2)f'/i + f^(-1)pから確かめられます。
 f=k/((kx)^2+1)とすると、F=tan-1(kx)で、
 このとき、異なる固有値を持つ固有関数の直交性をみると、δ(λ-λ')になりません。
 sin(b(λ-λ'))/b(λ-λ'); b=π/2
 y=tan-1(kx)の変数変換で、-∞<x<∞が、-b<y<bと有限区間に移されるためです。

このように、固有値が-∞<λ<∞のエルミット演算子で、その固有関数が直交しないものを示せました。
(ちなみに、λ=2nというもののみをピックアップしサブセットを作るとδλλ'が成立します。)

余談 
 >たかだか可算無限個の点で食い違う 
 無限と有限の差は、大きいですよ。
 F=tan(kx);k→∞を考えると、ヒゲで埋め尽くされます。
 >ヒゲが何本か生えても気にしない
 ∫δ(x)dx=0となりそもそもδ関数が成立しないような気がします。

  投稿者:ASA - 2010/03/23(Tue) 08:19  No.8564 
補足
1. 演算子Gは、交換関係を用いてG=(f^(-1)p+pf^(-1))/2となるので、明らかにエルミット(f;xの実関数)

2.Gの固有関数u=f^(1/2)e^(iλF); F=tan(kx)で
(1)直交性のチェック
 tan(kx)が多価なため、
 I=(2n+1)∫e^iλydy;n=∞
 となり、δ関数規格直交条件なるものは適用不能。

(2)完全性のチェック
 δ(tan(kx)-tan(kx'))が出現。kx=kx'+nπと(2n+1);n=∞の値をもつので、
δ(x-x')と同一でない。
 これも、相応の制約を与えないと完全系になりません。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/03/23(Tue) 17:06  No.8566 
こんにちは。
一般的考察、とても興味深く拝読しました。 復習します。
**************************************************
演算子 G = 1/f(x) p - h'/2i 1/{f(x)}^2 f' = 1/2(1/f(x) p + p 1/f(x) )= G+  エルミート   ここでf(x)は実関数。  
固有値方程式 
{ 1/f(x) p - h'/2i 1/{f(x)}^2 f' } u = λh'u
1/f(x) u' = (1/2 1/{f(x)}^2 f' + iλ)u
log u = 1/2 log |f(x)| + ∫ iλf(x) dx
 u = C|f(x)|^(1/2)e^(iλF(x)) ; F'=f(x) F(x)=∫~x f(ξ)dξ 不定積分
 直交を確認し規格化
 <λ’|λ>=∫u_λ’(x)* u_λ(x)dx = C*C ∫|f(x)| e^(i(λ-λ')F(x))dx
 = C*C [ ∫{f>0} e^(i(λ-λ')F dF - ∫{f<0} e^(i(λ-λ')F dF ]
固有関数 u = C |f(x)|^(1/2) e^(iλF(x)) F'=f(x) F(x)=∫~x f(ξ)dξ 不定積分
固有値  Λ=λh'  -∞<λ<∞  λは{xf(x)}^(-1) のもつ次元。 
完全性
 ∫|u>dλ<u|で位置の固有関数δ(x-ξ)を写像する。
 φ(λ)= C |f(ξ)|^(1/2) e^(-iλF(ξ))
 ∫φ(λ)u _λ(x)dλ = δ(x-ξ)と恒等写像が容易に確かめられる。ただしf(ξ)=0,±∞になるようなξについてはφ(λ)をδ関数列で計算するなどもっと詳しい確認が要る。
**************************************************
ご教示ありがとうございました。


さて、具体的な関数のご提案
> f=k/((kx)^2+1)とすると、F=tan-1(kx)
は関数arctan が多価関数であることからよろしくないと存じます。関数の値Fが[-π/2,π/2]にあるとして、F±nπも関係を満足します。Fは一価関数でなければならないでしょう。

=甘泉法師=


  投稿者:ASA - 2010/03/24(Wed) 07:06  No.8568 
>多価関数であることからよろしくないと存じます。
意味不明。
 任意のF(x):F'=fについて1/f(x)とpとの反交換関係からなる演算子Gは、エルミット。

  投稿者:ASA - 2010/03/24(Wed) 10:12  No.8569 
補足
>F=tan-1(kx)
直交しない例はこれだけでなくて
例えば、F=tanh(kx) -∞<x<∞;-1<F<1も該当します。
つまり、変域-∞<x<∞に対して、値域が-l<F<lと有限範囲にマッピングされる関数なら何でも該当しますから、無数に存在します。

  投稿者:ASA - 2010/03/24(Wed) 13:20  No.8570 
補足の継ぎ足し
>有限範囲にマッピング
0<=F<∞という∞範囲でもNG
例 F=x^2
 直交性は∫[0,∞]e^(iμy)dy;y=F,μ=λ-λ'
δ(μ)になりません。
 完全性もδ(x^2-x'^2)とx=-x',x'の2点になるのでNG。
なので
精査しませんが甘泉法師さんNo.8560の議論は、間違ってますね。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/03/25(Thu) 17:56  No.8577 
こんにちは。

Re: 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか 甘泉法師 - 2010/03/23(Tue) 17:06 No.8566
 直交を確認し規格化
 <λ’|λ>=∫u_λ’(x)* u_λ(x)dx = C*C ∫|f(x)| e^(i(λ-λ')F(x))dx
 = C*C [ ∫{f>0} e^(i(λ-λ')F dF - ∫{f<0} e^(i(λ-λ')F dF ]

をいくつかの例について計算してみました。

例1 f(x)=1   規格直交は明らか
F(x)= x + c x[-∞,+∞] → F[-∞,+∞]
 <λ’|λ> = C*C 2πδ(λ-λ') 規格直交 

例2 f(x)=x  
F(x)= x^2/2 + c x[-∞,0][0,+∞] → F[+∞,c][c,+∞]
 <λ’|λ> = C*C ∫|f(x)| e^(i(λ-λ')F(x))dx
 = C*C [∫{x>0} e^(i(λ-λ')F dF - ∫{x<0} e^(i(λ-λ')F dF]
 = 2 C*C ∫[c,+∞] e^(i(λ-λ')F) dF 変数変換 F→F−c−d、d>0で --- ※
 = 2 C*C e^{(i(λ-λ')(c+d)} ∫[-d,+∞] e^(i(λ-λ')F) dF d→+∞で
= C*C 4πδ(λ-λ') 規格直交

 ※と次の行の妥当性に自信なし。見ていただければ幸いです。

例3 f(x)=1/x
F(x)=log|x| + c x[-∞,-1][-1,0][0,1][0,+∞] → F[+∞,c][c,-∞][-∞,c][c,+∞]
 <λ’|λ> = C*C [∫{1/x>0} e^(i(λ-λ')F dF - ∫{1/x<0} e^(i(λ-λ')F dF]
= 2 C*C ∫[-∞,+∞] e^(i(λ-λ')F dF
= C*C 4πδ(λ-λ') 規格直交

例4 f(x)=x^2
F(x)= x^3/3 + c x[-∞,+∞] → F[-∞,+∞]
 <λ’|λ> = C*C 2πδ(λ-λ') 規格直交

例5 f(x)=1/x^2 
F(x)= -1/x + c x[-∞,0][0,+∞] → F[+c,+∞][-∞,c]
 <λ’|λ> = C*C 2πδ(λ-λ') 規格直交

例6 f(x)=e^(ax)
F(x)= e^(ax) /a + c x[-∞,+∞] → F[+c,+∞] a>0 [-∞,c] a<0
 <λ’|λ> = C*C ∫[c,+∞] e^(i(λ-λ')F) dF for a>0 ---- ※と同じ。
      = C*C 2πδ(λ-λ') 規格直交,

     = C*C ∫[-∞,c] e^(i(λ-λ')F) dF for a<0
     = C*C ∫[-c,+∞] e^(-i(λ-λ')F) dF
= C*C 2πδ(λ-λ') 規格直交

例7 f(x)=1 / cosh^2 x
F(x)= tanh x + c x[-∞,0][0,+∞] → F[-1+c,c] [c,c+1]
 <λ’|λ> = C*C ∫[-1+c,c+1] e^(i(λ-λ')F) dF
= 2C*C e^(i(λ-λ')c) { sin(λ-λ') / (λ-λ') }
 <λ|λ> = 2C*C =1、 C=1/√2 として。

う〜〜〜〜ん。エルミートなのに異なる固有値に属する固有関数が直交しない!? 積分定数が結果にあらわれる? 連続スペクトル固有値なのに固有関数 は1に規格化できる?  ???????

=甘泉法師=


  投稿者:ASA - 2010/03/26(Fri) 10:26  No.8585 
途中の変数変換は見てませんが、明らかな間違いのみを指摘します。
>  = 2 C*C e^{(i(λ-λ')(c+d)} ∫[-d,+∞] e^(i(λ-λ')F) dF d→+∞で
> = C*C 4πδ(λ-λ') 規格直交

e^{(i(λ-λ')(c+∞)}=1 としているようですが、cが有限確定値であるとき不成立で、値は1でなくて未定義。

c=-∞を想定するなら、前提のF(x)= x^2/2 + c x自体が未定義。

  投稿者:ASA - 2010/03/26(Fri) 10:48  No.8586 
 そもそも、
 Fに対する定数項cは、固有関数uの位相を変るものです。
なので、大きさが1のe^(iλc) と固有値λの関数を持ってくるのは不適切です。
 これが許されるなら、λの任意の関数g(λ)によってe^(ig(λ))をかけることが可能になるので、如何様にもできます(全てのFで直交性δ(λ-λ')が成立しないとか)。



  投稿者:冷蔵庫 - 2010/03/26(Fri) 11:28  No.8588 
ASAさん、甘泉法師さん、お久しぶりです。冷蔵庫です。

固有値が異なる固有状態が直交しない、というのは明らかにおかしいですよね。
積分区間が有限になるとか以前に変なことをしている気がします。

  投稿者:ASA - 2010/03/26(Fri) 15:37  No.8590 
ある状態をψ(x)、φ(x)とすると
演算子pに対しては、ψ(∞)φ(∞)-ψ(-∞)φ(-∞)=0を満たす状態空間を考える限り、pはエルミットです。∫|ψ|^2dxや∫|φ|^2dxが有限なものは、x=+-∞で0収束するので上記条件を満足してます。
G=(f^(-1)p+pf^(-1))/2;f(x)実関数では、f^(-1)ψ(x)φ(x)](∞,-∞)=0を満たす状態空間を考えてます。
例えば、 No.8577 の例7; f=1/cosh(x)では、より厳しい0収束条件を状態空間に課してます。
この影響が現れているだけで、変なことはしてません。
状態空間が異なることを認識してください。

  投稿者:ASA - 2010/03/26(Fri) 15:45  No.8591 
 あと、固有関数が状態空間に入っていないことも重要な用件です。
固有関数が状態空間内にあるエルミット演算子の場合は、先に紹介した、>ttp://www1.doshisha.ac.jp/~kibuki/quantum/pc4/pc4_a02.html
から、必ず直交することがいえます。

  投稿者:冷蔵庫 - 2010/03/26(Fri) 20:14  No.8592 
>ASAさん

つまり、ASAさんの主張を具体的に言うと、

「エルミート演算子(x†=x、p†=pから代数的にG†=Gが言えるもの)
の固有値方程式を解いて求めた固有関数は、
固有値が実数という要請だけからは一般に直交しない。
状態空間を、無限遠で適当な境界条件を満たすような固有関数のみに
制限することで直交性が現れる。」

ということでよろしいでしょうか。
私の感覚では、「無限遠での境界条件を課さない」ということが「変なこと」
に思えますが、
特にロジックに問題がなさそうなことは理解しました。

No.8559の、

>エルミート演算子の固有関数が必ずしも直交するわけでないし、完全系であるわけでもない

のような言い方では誤解を招きやすいような気がします。

具体的な主張をもう少し強調すべきではないでしょうか。
例えば、No.8563ではλ=2nとなるものをとってくればよいと仰っていますが、
その動機がはっきり書かれていません。
一見して、単に直交性を持たせるために都合良く手で条件を課しているだけのように見えます。

  投稿者:ASA - 2010/03/27(Sat) 07:49  No.8595 
冷蔵庫 さん
誤解してますよ。
>私の感覚では、「無限遠での境界条件を課さない」ということが「変なこと」に思えますが、
課している条件は、f^(-1)ψ(x)φ(x)](∞,-∞)=0です。
無限遠の条件は、上記制約条件とダブっています。
むしろ、0収束条件は厳しい場合もあります。

>都合良く手で条件を課しているだけのように見えます。
例としてf=1/cosh^2(x)だと
制約条件は、f^(-1)ψ(x)φ(x)](∞,-∞)=0
固有関数uは、u=√fe^(iλtanh(x))
制約条件を満たす固有関数uを考えると
e^(iνtanh(x))](-∞,∞)=0;ν=λ-λ'
=e^(iν)-e^(-iν)
=2i sin(ν)=0
ν=nπ
λ=nπ
連続実固有値をもつ固有関数uに制約を課すと離散化した固有値となる場合があり、その固有関数サブセットは直交し、また、当該空間で完全系となる。
 逆に固有関数uに制約を課さないでそのフルセットを考えると直交しない場合があり、当該状態空間で完全系を成さない場合もある。
 固有関数がe^(iky)(-∞<y<∞)にマッピングされるものは、特別なものといえる(制約なしで直交しかつ完全系)。

p^2だと、スツルムリウビル問題で適当な境界条件を課して、離散固有値とその固有関数直交性が導かれる話を、より容易なpの1次のバージョンで示しているにすぎません。

>>エルミート演算子の固有関数が必ずしも直交するわけでないし、完全系であるわけでもない
>誤解を招きやすいような気がします。
 逆に、対象とする状態空間に触れずに"エルミート演算子の固有関数は直交し、かつ完全系"というよくある方が誤解を招くと思います。

  投稿者:冷蔵庫 - 2010/03/27(Sat) 12:15  No.8596 
すみません。混乱しています。

>固有関数がe^(iky)(-∞<y<∞)にマッピングされるものは、特別なものといえる(制約なしで直交しかつ完全系)。

このような状況について言及するのを忘れていました。
今している議論とはまた別の議論が必要になるので、とりあえずf=1/tan^2x
のような、固有関数が無限遠である値に収束する場合に的を絞りましょう。

>>>エルミート演算子の固有関数が必ずしも直交するわけでないし、完全系であるわけでもない
>>誤解を招きやすいような気がします。
> 逆に、対象とする状態空間に触れずに"エルミート演算子の固有関数は直交し、かつ完全系"というよくある方が誤解を招くと思います。

No.8590を見ると、

>演算子pに対しては、ψ(∞)φ(∞)-ψ(-∞)φ(-∞)=0を満たす状態空間を考える限り、pはエルミットです。

と書かれていますが、その流れだとf^(-1)ψ(x)φ(x)](∞,-∞)=0
という条件がGをエルミートにするために要るように読めます(誤解だと言われるかもしれませんが)。
言い換えると、この条件を課さない場合Gがエルミートでないと言っている
ように読めてしまいます。
Gがエルミートでないときに、関数の空間が直交しないという主張をしたいわけではないですよね。

細かい議論は後でいいので、主張をもう少し正確な形で述べてもらえますか?

  投稿者:ASA - 2010/03/27(Sat) 12:31  No.8597 
>という条件がGをエルミートにするために要るように読めます(誤解だと言われるかもしれませんが)。
 誤解でなく対象とする状態空間の前提条件です。

>Gがエルミートでないときに、関数の空間が直交しないという主張をしたいわけではないですよね。
 これは、曲解ですね。良く読解してください。
対象とする状態空間では、Gはエルミットです。
これも何度も書きますが、Gの実固有値をもつ固有関数は、必ずしも当該状態空間に属していないのです。
 "当該状態空間に属していないエルミット演算子の固有関数は、必ずしも直交しないし、連続固有値のフルセットは、当該状態空間において完全系であるとは限らない。"

 素直に読めば、このように述べているということが理解できるはずです。

  投稿者:冷蔵庫 - 2010/03/27(Sat) 15:43  No.8600 
単に私が気になってるのは言葉の使い方の問題だと思いますが、まず、

>対象とする状態空間では、Gはエルミット

と仰っていますよね。逆に

「対象とする状態空間に含まれない実固有値を持つ固有関数全体の空間を
考えたとき、Gはエルミットではない」

という読解は正しいですか?一応素直に読んでるつもりですが。
そうすると、

>当該状態空間に属していないエルミット演算子

という言葉が矛盾しているように聞こえて気持ちが悪いです。
このあたりを私は誤解しやすいんで、ちゃんと教えてもらえますか?
それと「エルミット演算子」と「エルミット」という言葉をどのような意味で使っているか教えてください。

  投稿者:ASA - 2010/03/27(Sat) 16:10  No.8601 
>「対象とする状態空間に含まれない実固有値を持つ固有関数全体の空間を
考えたとき、Gはエルミットではない」
"固有関数全体の空間" を全ての実固有値の固有関数が張る空間とすればOKですね。

>>当該状態空間に属していないエルミット演算子
>矛盾しているように聞こえて気持ちが悪いです。
 どうのように矛盾しているよう聞こえるのでしょうか?
これにお答え下さい。


  投稿者:冷蔵庫 - 2010/03/27(Sat) 16:25  No.8602 
>どうのように矛盾しているよう聞こえるのでしょうか?

>当該状態空間に属していないエルミット演算子
は「エルミット」ではないんですよね?

  投稿者:ASA - 2010/03/27(Sat) 16:30  No.8603 
冷蔵庫さん
 私に主張の明確化を要求したように、あなたご自身の主張を明確に述べてください。
 矛盾点に関して説明できないなら、単なる言葉尻の揚げ足取りと判断し、意味がないので議論を打ち切ります。

  投稿者:冷蔵庫 - 2010/03/27(Sat) 22:13  No.8605 
主張も何も、

>エルミート演算子の固有関数が必ずしも直交するわけでないし、完全系であるわけでもない

というASAさんの主張がどういう意味なのかわからないので質問しているだけですよ。
それからNo.8600では、「ASAさんの発言に矛盾がある」と指摘しているわけではないです。
「一見して矛盾のように見えますが、矛盾ではないのですよね?
じゃあ、どういうことか説明してください」
という質問のつもりです。

  投稿者:凡人 - 2010/03/27(Sat) 22:47  No.8606 
私も、勉強不足のせいだと思うのですが、ASAさんが仰られる「当該状態空間に属していないエルミット演算子の固有関数は、必ずしも直交しないし、連続固有値のフルセットは、当該状態空間において完全系であるとは限らない。」という表現の意味内容や、この表現が指し示すところの内容が、どのような物理的意義を持っているのかという事について、ASAさんの論議から掴み取る事が出来ません。
ここは色々なレベルの物理愛好者が集う場だと思うので、もう少し論議を分りやすくする工夫を行っていただくと共に、もう少し物質に関係付けて論議を行っていただけますと助かります。

  投稿者:ASA - 2010/03/28(Sun) 06:41  No.8607 
冷蔵庫さん
要望に答えて明確にした主張、"当該状態空間に属していないエルミット演算子の固有関数は、必ずしも直交しないし、連続固有値のフルセットは、当該状態空間において完全系であるとは限らない。"は、理解できたのでしょうか?
>>エルミート演算子の固有関数が必ずしも直交するわけでないし、完全系であるわけでもない
 以前の明確でないと思われる主張に拘る理由が分かりません。なので発展的議論が望めないと判断します。

>「一見して矛盾のように見えますが、矛盾ではないのですよね?
じゃあ、どういうことか説明してください」
 人に説明を求めるなら、どのような考えに基づくとに矛盾に見えるのか、きちんと筋立ててその考えを提示する(これを主張と呼んでます)のが礼儀だと思います。
 ただ、分からないから説明してとは、幼稚すぎます(丁寧に議論をフォローしているのかはなはだ疑問ですが)。
 回答するのは、冷蔵庫さんの明確な主張の後です。

  投稿者:凡人 - 2010/03/28(Sun) 10:06  No.8608 
ASAさんの、「当該状態空間に属していないエルミット演算子の固有関数は、必ずしも直交しないし、連続固有値のフルセットは、当該状態空間において完全系であるとは限らない。」というのが私が分らないというのは、私は量子力学とは、対象とする量子系のヒルベルト空間を構成して、そのヒルベルト空間(=状態空間)上の演算子(=線形作用素)を用いて論議するものだと理解しています。
また、ヒルベルト空間(=状態空間)上の演算子(=線形作用素)が自己共役(=エルミート共役)であれば、固有値は必ず実数となり、離散固有値の場合の固有ベクトル全体は必ず完全系を成すと理解しています。(←連続固有値に対する考慮が抜けていたので訂正しました。)
ASAさんの論議は、量子力学の方法から逸脱している様に思えます。
何故ASAさんが、この様な論議を物理掲示板上の、しかも「自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか」というタイトル名のスレッド上で行う必要があるのかが理解出来ません。
また、この様な論議が何処でどの様に役立つのかも理解出来ません。
これらの点について、ご説明をいただけると非常に助かります。

  投稿者:冷蔵庫 - 2010/03/28(Sun) 11:30  No.8609 
>要望に答えて明確にした主張、"当該状態空間に属していないエルミット演算子の固有関数は、必ずしも直交しないし、連続固有値のフルセットは、当該状態空間において完全系であるとは限らない。"は、理解できたのでしょうか?
>>エルミート演算子の固有関数が必ずしも直交するわけでないし、完全系であるわけでもない
 以前の明確でないと思われる主張に拘る理由が分かりません。なので発展的議論が望めないと判断します。

一応おおまかなところはフォローしているつもりですけどね。
ただ、細かいところで気になることがいくつかあります。
>エルミート演算子の固有関数が必ずしも直交するわけでないし、完全系であるわけでもない
という一文に固執しているわけではないですよ。
はじめはこの一文についての明確な説明を求めました。
そうしたら、
>当該状態空間に属していないエルミット演算子の固有関数は、必ずしも直交しないし、連続固有値のフルセットは、当該状態空間において完全系であるとは限らない。"
と言われました。
じゃあ今度はそれについてお聞きしたいことがある、といった感じでしょうか。
とりあえず最初の
>エルミート演算子の固有関数が必ずしも直交するわけでないし、完全系であるわけでもない
という文の延長線上にある議論だと思っているので、No.8605のような言い方になりました。

>人に説明を求めるなら、どのような考えに基づくとに矛盾に見えるのか、きちんと筋立ててその考えを提示する(これを主張と呼んでます)のが礼儀だと思います。

No.8602で、矛盾の内容は言ったつもりなんですけど、伝わってなかったようですね。
私が矛盾に見えるといているのは、
『>当該状態空間に属していないエルミット演算子
は「エルミット」ではない』
ということです。
『「エルミット」なものが「エルミット」でない』ってどういうことですか、という質問です。
矛盾でないとしたら、「エルミット」という言葉が前後で微妙に違う意味で使われているような気がしますが、
仮にそうであるならば、その点を明確にすべきではないでしょうか。

  投稿者:凡人 - 2010/03/28(Sun) 12:58  No.8610 
そういえば、ASAさんの「連続固有値のフルセットは、当該状態空間において完全系であるとは限らない。」という表現も理解出来ないですね。
固有ベクトルが完全系を成すとか成さないというのであれば分りますが、固有値が完全系であるとかないというのが理解出来ないです。
それと、ASAさんは連続固有値に属する固有ベクトルが、ヒルベルト空間の元ではないという事をご存知でしたでしょうか?

  投稿者:ASA - 2010/03/28(Sun) 13:09  No.8611 
冷蔵庫さん
>『>当該状態空間に属していないエルミット演算子
は「エルミット」ではない』
 これは、ASAのNo.いくつの発言ですか?このような発言をしましたか?
丹念に読解すること望みます。 

"当該状態空間に属していないエルミット演算子の固有関数を使い、当該状態空間内の関数に対してエルミット性を満たすエルミット演算子で、エルミット性をチェックすると、必ずしも満足するとは限らない"なら話は通じますね。
 簡約して『>当該状態空間に属していないエルミット演算子は、当該状態空間以外で「エルミット」ではない』でも十分通じるし、対象とする状態空間が違うことが分かれば、矛盾ではありません。
 勝手に状態空間をはずして云々する事で、冷蔵庫さんの読解力に疑問を覚えました。

 エルミット演算子がエルミット性を満たすのは、当該状態空間内の関数に対しての話です。当該状態空間外のものに対してエルミット性が保証されているわけではない。普遍的なエルミット演算子なるものが存在しているわけでなく、ある演算子がエルミット演算子であるかどうかは、対象とする状態空間に依存する。

 実際に甘泉法師さんがNo.8577で例7で F=tanh(x)で具体計算されたように、冷蔵庫さんもエルミット性のチェック計算をしてみてください。
 それでも理解できないなら、しょうがないですね。

  投稿者:ASA - 2010/03/28(Sun) 14:09  No.8612 
 補足です。
冷蔵庫さんとの議論の初めの方で
ASA No.8590 >状態空間が異なることを認識してください。
 このように状態空間の違いについて述べてます。

その他の発言でも
ASA No.8595 >対象とする状態空間に触れずに"エルミート演算子の固有関数は直交し、かつ完全系"というよくある方が誤解を招く
ASA No.8597 >対象とする状態空間では、Gはエルミットです。
>Gの実固有値をもつ固有関数は、必ずしも当該状態空間に属していない
>"当該状態空間に属していないエルミット演算子の固有関数は、必ずしも直交しないし、連続固有値のフルセットは、当該状態空間において完全系であるとは限らない。"
 このように繰り返し、対象とする状態空間の重要性を述べてますね。
ASA No.8611も趣旨は同様ですね。

にもかかわらず、その後で

冷蔵庫 No.8600
>>当該状態空間に属していないエルミット演算子
>という言葉が矛盾しているように聞こえて気持ちが悪いです。
不適切な引用ですね。
ASA No.8597>>当該状態空間に属していないエルミット演算子の固有関数
が適切です。
 勝手に"固有関数"を抜かして矛盾しているように見えるといっても、当方にはちんぷんかんぷんです。
 そこで、何が言いたいのか、明確な主張せよと要求したら、結局は、

冷蔵庫 No.8609
>『>当該状態空間に属していないエルミット演算子は「エルミット」ではない』ということです。
>『「エルミット」なものが「エルミット」でない』ってどういうことですか、という質問です。
 こういう身勝手な質問が出てきたわけで、話が通じない人だなと思う訳です。
 引用が正確にできない人は、発言する資格がないと思います。

  投稿者:凡人 - 2010/03/28(Sun) 17:39  No.8614 
ASAさんの「当該状態空間に属していないエルミット演算子の固有関数」という表現は、厳密性を欠いているような気がします。
特定の状態空間上のエルミート演算子の固有関数が、直接的に状態空間に属するという事はあるのでしょうか?

  投稿者:冷蔵庫 - 2010/03/28(Sun) 18:16  No.8615 
>ASAさん No.8612

確かに私の引用にミスがありますね。ここに訂正しておきます。

冷蔵庫 No.8600

(誤)
>当該状態空間に属していないエルミット演算子

という言葉が矛盾しているように聞こえて気持ちが悪いです。

(正)
>当該状態空間に属していないエルミット演算子の固有関数

という言葉が矛盾しているように聞こえて気持ちが悪いです。

冷蔵庫 No.8602

(誤)
>当該状態空間に属していないエルミット演算子
は「エルミット」ではないんですよね?

(正)
当該状態空間に属していない固有関数を含めた空間を考えたとき、エルミット演算子は「エルミット」ではないんですよね?

冷蔵庫 No.8609

(誤)
私が矛盾に見えるといているのは、
『>当該状態空間に属していないエルミット演算子
は「エルミット」ではない』
ということです。

(正)
私が矛盾に見えるといているのは、
『当該状態空間に属していない固有関数を含めた空間を考えたとき、
エルミット演算子は「エルミット」ではない』
ということです。

  投稿者:冷蔵庫 - 2010/03/28(Sun) 18:58  No.8617 
>ASAさん

>"当該状態空間に属していないエルミット演算子の固有関数を使い、当該状態空間内の関数に対してエルミット性を満たすエルミット演算子で、エルミット性をチェックすると、必ずしも満足するとは限らない"なら話は通じますね。
 簡約して『>当該状態空間に属していないエルミット演算子は、当該状態空間以外で「エルミット」ではない』でも十分通じるし、対象とする状態空間が違うことが分かれば、矛盾ではありません。

普通、「エルミート演算子」というのは「エルミート性をもつ演算子」のことですよね。
(少なくとも私はそう思っていますが)
そうすると、

 当該状態空間を考えると、Gはエルミート性をもつ
→当該状態空間を考えると、Gはエルミート演算子

 当該状態空間に属していない固有関数を含めた空間を考えると、Gはエルミート性をもたない
→当該状態空間に属していない固有関数を含めた空間を考えると、Gはエルミート演算子ではない

このように、Gがエルミート演算子かどうかが、考える固有関数空間に依ります。
ASAさんは、どちらの場合にもGをエルミット演算子と呼んでいますね。
おそらく私とは違った言葉の使い方をしていると思いますが、
「エルミット演算子」の定義ってどうなっているのか教えていただけますか?

どうして矛盾に見えるのか、という質問に対する答えも言い直しておきます。
ASAさんの主張だと、
『「エルミット」演算子は考える固有関数空間に依って、
「エルミット」だったり、「エルミット」じゃなかったりする』
ということを仰っているように聞こえますが、
これって矛盾っぽく聞こえませんか?

  投稿者:ASA - 2010/03/29(Mon) 07:07  No.8619 
>Gがエルミート演算子かどうかが、考える固有関数空間に依ります。
 前提とする空間は、常に固定しています(Gがエルミート演算子である空間)。
 考える固有関数空間というのが分からない。
 "考える"="前提とする"ということですか?
 それだと、前提とする固有関数空間となり意味が通じません。
 なんにせよ、"考える"ということの具体的な説明をお願いします。

>ASAさんの主張だと、
>『「エルミット」演算子は考える固有関数空間に依って、
>「エルミット」だったり、「エルミット」じゃなかったりする』
 こんな主張は、してません。勝手な主張の捏造は、やめて下さい。主張してないことに対しては、答えようがありません。身勝手な思い込みには、付き合ってられません。

 質問は、冷蔵庫さんの要求に従って明確にした主張、"当該状態空間に属していないエルミット演算子の固有関数は、必ずしも直交しないし、連続固有値のフルセットは、当該状態空間において完全系であるとは限らない。"に対するものに限定して下さい。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/03/29(Mon) 12:27  No.8623 
こんにちは。

理解を整理すると

「エルミート演算子 G = 1/2(1/f(x) p + p 1/f(x) ) = G+ の固有値方程式の微分方程式を解くと、実の連続固有値をもつ固有関数候補が得られる。
 境界条件を満たさない候補が淘汰され、固有値のとりうる値が制限される(離散固有値になるなど)場合がある。」

ということでしょうか。

>Re: 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか ASA - 2010/03/21(Sun) 10:55 No.8559
 エルミート演算子の固有関数が必ずしも直交するわけでないし、完全系であるわけでもないことを示せたので投稿の目的は達成しました。

>Re: 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか ASA - 2010/03/22(Mon) 20:13 No.8563
 演算子G=f^(-1)p-f^(-2)f'/2iが固有方程式Gu=λuを満足します。
 このように、固有値が-∞<λ<∞のエルミット演算子で、その固有関数が直交しないものを示せました。

 固有方程式Gu=λuを満足することだけをもって固有関数とするなら たしかにGの異なる固有値に属する固有関数は直交しないことになります。しかし、さらに境界条件を満足しなければ固有関数ではないとすれば命題「エルミート演算子の異なる固有値に属する固有関数は直交する」は正しいことになるでしょうか。 ASAさんのコメントは境界条件の重要さを示唆するものですね。

 もしこの理解が正しければ次に境界条件はなぜ必要か、どういうものかを教えていただき勉強したく、よろしくお願いします。

---------------------
PS

計算再掲

演算子 f(x)を実関数として L = 1/2(1/f(x) p + p 1/f(x) ) = L+  エルミート     
固有値方程式 
{ 1/f(x) p - h'/2i 1/{f(x)}^2 f' } u = λh'u
1/f(x) u' = (1/2 1/{f(x)}^2 f' + iλ)u
log u = 1/2 log |f(x)| + ∫ iλf(x) dx
固有関数
 u = C e^(iλc) exp{1/2 log|f(x)| + iλF(x)) ; F’(x)=f(x) cは∫ f(x) dx の積分定数。
直交を確認し規格化
 ∫u_λ’(x)* u_λ(x)dx =<λ’|λ> = C*C ∫|f(x)| e^(i(λ-λ')F(x))dx
 = C*C e^(i(λ-λ')c) ∫[-∞、∞]dx sgn(dF/dx) dF/dx e^(i(λ-λ')F(x))  

事例
・例1 f(x)=1   F(x)=x
 <λ’|λ> = C*C e^(i(λ-λ')c) 2πδ(λ-λ') =C*C 2πδ(λ-λ') 規格直交 
・例2 f(x)=x^2n  F(x)=x^(2n+1)/2n+1
 <λ’|λ> = C*C  e^(i(λ-λ')c) ∫[-∞、∞]dx x^2n e^(i(λ-λ')x^(2n+1)/2n+1)
        = 2C*C  e^(i(λ-λ')c) ∫[-∞,+∞] e^(i(λ-λ')ξ dξ
      = C*C 4πδ(λ-λ')  規格直交
・例3 f(x)=x^2n+1 n≠−1  F(x)=x^(2n+2)/(2n+2)  
 <λ’|λ> = C*C  e^(i(λ-λ')c) ∫[-∞、∞]dx sgn(x) x^2n+1  e^(i(λ-λ')x^(2n+2)/(2n+2))
        = 2 C*C  e^(i(λ-λ')c) ∫[0、∞]dx x^2n+1 e^(i(λ-λ')x^(2n+2)/(2n+2))
        = 2 C*C  e^(i(λ-λ')c) ∫[0、∞]dξ e^(i(λ-λ')ξ) --- ☆
・例4 f(x)=1/x  F(x)=log|x|
 <λ’|λ> = C*C  e^(i(λ-λ')c) ∫[-∞、∞]dx sgn(1/x) 1/x e^(i(λ-λ')log|x| )
        = 2C*C  e^(i(λ-λ')c) ∫[0、∞]dx 1/x e^(i(λ-λ')log|x| )
      = 2 C*C ∫[-∞,+∞] e^(i(λ-λ')ξ dξ
      = C*C 4πδ(λ-λ')  規格直交
・例5 f(x)=e^(ax)   F(x)= e^(ax) /a
 <λ’|λ> = C*C  e^(i(λ-λ')c) ∫[-∞、∞]dx e^(ax) e^(i(λ-λ') e^(ax) /a )
      = 2 C*C e^(i(λ-λ')c) ∫[0,+∞] e^(i(λ-λ')ξ dξ ;a>0--- ☆ 
      = 2 C*C e^(i(λ-λ')c) ∫[-∞,0] e^(i(λ-λ')ξ dξ ;a<0--- ☆’
・例6 f(x)=1/sin ax, F(x)= -1/a log|tan ax/2|
 <λ’|λ> = C*C  e^(i(λ-λ')c) ∫[-∞、∞]dx sgn(1/sin ax) 1/sin ax  e^(-i(λ-λ') 1/a log|tan ax/2|)
= C*C  e^(i(λ-λ')c) Σn ∫[2nπ/a、(2n+1)π/a]dx 1/sin ax  e^(-i(λ-λ') 1/a log|tan ax/2|)  - C*C  e^(i(λ-λ')c) Σn ∫[(2n+1)π/a, (2n+2)π/a、]dx 1/sin ax  e^(-i(λ-λ') 1/a log|tan ax/2|)
= C*C  e^(i(λ-λ')c) Σn ∫[-∞,∞] exp^(i(λ-λ')ξ)dξ − ∫[∞,-∞0] exp^(i(λ-λ')ξ)dξ 
= 2C*C  e^(i(λ-λ')c) Σn ∫[-∞,∞] exp^(i(λ-λ')ξ)dξ 
= 4πC*C Σn δ(λ−λ’) 規格直交  Σnは整数の数で加算無限

・例7 f(x)=1/cos ax, F(x)= 1/a log|tan (ax/2+π/4)|
 <λ’|λ> = C*C  e^(i(λ-λ')c) ∫[-∞、∞]dx sgn(1/cos ax) 1/cos ax  e^(i(λ-λ') /a log|tan (ax/2+π/4)|)
= C*C  e^(i(λ-λ')c) Σn ∫[(2n-1/2)π/a、(2n+1/2)π/a]dx 1/cos ax  e^(i(λ-λ') /a log|tan (ax/2+π/4)|) - C*C  e^(i(λ-λ')c) Σn ∫[(2n+1/2)π/a、(2(n+1)-1/2)π/a]dx 1/cos ax  e^(i(λ-λ') /a log|tan (ax/2+π/4)|)
= C*C  e^(i(λ-λ')c) Σn ∫[-∞,∞] exp^(i(λ-λ')ξ)dξ − ∫[∞,-∞0] exp^(i(λ-λ')ξ)dξ 
= 2C*C  e^(i(λ-λ')c) Σn ∫[-∞,∞] exp^(i(λ-λ')ξ)dξ 
= 4πC*C Σn δ(λ−λ’) 規格直交  Σnは整数の数で加算無限
・例8 f(x)=1 / cosh^2 ax  F(x)= tanh ax / a
 <λ’|λ> = C*C  e^(i(λ-λ')c) ∫[-∞、∞]dx  1 / cosh^2 ax  e^(i(λ-λ') tanh ax /a)
  = C*C  e^(i(λ-λ')c) ∫[-1/a、1/a]e^(i(λ-λ')ξ dξ
= 2C*C  e^(i(λ-λ')c) sin{(λ-λ')/a}/(λ-λ') --- ★

 ☆ 計算 ∫[0,+∞] e^(i(λ-λ')ξ dξ= πδ(λ-λ')
   が正しければ規格直交。

 ★ 連続固有値とすると規格直交化できないもの。



=甘泉法師=




  投稿者:ASA - 2010/03/29(Mon) 15:11  No.8626 
甘泉法師さん
>ASAさんのコメントは境界条件の重要さを示唆するものですね。
>もしこの理解が正しければ次に境界条件はなぜ必要か、
 数式が記述する世界と実世界の対応は完全ではありません。
 完全に近づけるような調整要因が境界条件だと理解してます。

>どういうものかを教えていただき勉強したく
 物理的状況によるのでどういうものかを具体的に挙げることはできません。
 とりあえずは、物理的に変でなくなるようにするとしかいえません。
 境界条件の問題も難しい問題をはらんでます。新たな物理的状況を想定すると従来排斥してきた条件が適用できるということもありえますから。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/03/29(Mon) 19:27  No.8628 
こんにちは。

>物理的状況によるのでどういうものかを具体的に挙げることはできません。

難しい議論のようですので、せめて御既述のものについて教えてください。
-------------------------
Re: 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか ASA - 2010/03/26(Fri) 15:37 No.8590

ある状態をψ(x)、φ(x)とすると
演算子pに対しては、 ψ(∞)φ(∞)-ψ(-∞)φ(-∞)=0を満たす状態空間を考える限り、pはエルミットです。∫|ψ|^2dxや∫|φ|^2dxが有限なものは、 x=+-∞で0収束するので上記条件を満足してます。
G=(f^(-1)p+pf^(-1))/2;f(x)実関数では、 f^(-1)ψ(x)φ(x)](∞,-∞)=0を満たす状態空間を考えてます。
例えば、 No.8577 の例7; f=1/cosh(x)では、より厳しい0収束条件を状態空間に課してます。

Re: 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか ASA - 2010/03/27(Sat) 07:49 No.8595
[修正] [削除]

課している条件は、f^(-1)ψ(x)φ(x)](∞,-∞)=0です。
無限遠の条件は、上記制約条件とダブっています。
むしろ、0収束条件は厳しい場合もあります。

例としてf=1/cosh^2(x)だと
制約条件は、f^(-1)ψ(x)φ(x)] (∞,-∞)=0
固有関数uは、u=√fe^(iλtanh(x))
制約条件を満たす固有関数uを考えると
e^(iνtanh(x))](-∞,∞)=0;ν=λ-λ'
=e^(iν)-e^(-iν)
=2i sin(ν)=0
ν=nπ
λ=nπ
----------------------------

部分積分により  ∫φ* (Gψ)dx = h'/i [1/f(x) φ* ψ]~+∞_-∞ +  ∫(Gφ)* ψdx
右辺第一項の消失が条件ということでよろしいでしょうか。 

条件式のφ,ψに固有関数を代入するのはなぜでしょう。本家本元の演算子Pの条件は [φ* ψ]~+∞_-∞=0 ですが、φ,ψ に固有関数、つまり平面波を入れると [exp {i(k-k’)x]~+∞_-∞=2i sin(k-k’)∞ で 0になるのか微妙ですが....

ν=nπの御結果は面白いのでその出方を確認したくよろしくお願いします。

=甘泉法師=

  投稿者:凡人 - 2010/03/29(Mon) 21:57  No.8630 
ASAさん
>数式が記述する世界と実世界の対応は完全ではありません。
>完全に近づけるような調整要因が境界条件だと理解してます。
済みませんが、この主張は、具体的にどのレベルの理論のどの物理量の事を指しているのでしょうか?
ご教示の程を宜しくお願いいたします。
(まさか、超ひも理論のレベルの事をいわれている訳ではないですよね?)

  投稿者:冷蔵庫 - 2010/03/30(Tue) 01:34  No.8632 
ASAさん大人気ですね。

とりあえず、自分の発言のおかしな部分を訂正しておきます。「固有関数空間」て何だ(笑)。

冷蔵庫 No.8617
(誤)
 当該状態空間に属していない固有関数を含めた空間を考えると、Gはエルミート性をもたない
→当該状態空間に属していない固有関数を含めた空間を考えると、Gはエルミート演算子ではない

このように、Gがエルミート演算子かどうかが、考える固有関数空間に依ります。

(正)
 当該状態空間に属していないGの固有関数を含む、Gの固有関数の集合の張る
関数空間を考える。このときGはエルミート性をもたない
→当該状態空間に属していないGの固有関数を含む、Gの固有関数の集合の張る
関数空間を考える。このときGはエルミート演算子ではない

このように、Gがエルミート演算子かどうかが、考える関数空間に依ります。

(誤)
『「エルミット」演算子は考える空間に依って、
「エルミット」だったり、「エルミット」じゃなかったりする』

(正)
『「エルミット」演算子は考える関数空間に依って、
「エルミット」だったり、「エルミット」じゃなかったりする』

はい。これで、「考える」を「作用を定義する」に置き換えたら意味が通じますか?
もう少し詳しくいうと、演算子の作用する関数空間は人が定義しますよね。
例えば運動量演算子pだったら、e^ipx(pは任意の実数)の張る空間を考えることが多いですが、
周期的境界条件を課して、e^ipx(pは任意の整数*2π/L)の張る空間を、pの作用する空間と定義するする場合もありますよね。
もし、e^ipx(pは任意の複素数)の張る空間を演算子の作用する空間と定義すると、pは「エルミット」じゃない、ということになりますか?
一応、具体例で説明したつもりですが、
とりあえずこれで、ASAさんNo.8619の前半に答えたことになりますか?
疑問点があれば質問してください。

  投稿者:冷蔵庫 - 2010/03/30(Tue) 01:53  No.8633 
>ASAさんの主張だと、
>『「エルミット」演算子は考える固有関数空間に依って、
>「エルミット」だったり、「エルミット」じゃなかったりする』

ここだけ引用すると、

「『』内のことをASAさんが主張している」

ということを私が主張しているように聞こえますけど、私はそう言っているつもりはありません。
もちろん主張の捏造もしているつもりはありません。

>『「エルミット」演算子は考える固有関数空間に依って、
>「エルミット」だったり、「エルミット」じゃなかったりする』
>ということを仰っているように聞こえますが、

ここまで引用してください。
No.8605でも少し言いましたが、
「ASAさんが矛盾したことを主張している」とは言っていません。
「ASAさんが矛盾したことを主張しているように見える」と言っています。
だから、「矛盾したように見えない言い方で言い直してください」
というのが私の主張です。

「私がどうして矛盾しているように見えると思ったか」の説明はまた今度にします。

  投稿者:ASA - 2010/03/30(Tue) 08:17  No.8634 
甘泉法師 さんNo.8628
>部分積分により  ∫φ* (Gψ)dx = h'/i [1/f(x) φ* ψ]~+∞_-∞ +  ∫(Gφ)* ψdx
右辺第一項の消失が条件ということでよろしいでしょうか。 
OK。

>条件式のφ,ψに固有関数を代入するのはなぜでしょう。
 Gの固有関数が、エルミット演算子Gであるための関数空間に属する条件を導出するためです。

>[exp {i(k-k’)x]~+∞_-∞=2i sin(k-k’)∞
 pの固有関数では、連続的な固有値kでは上記条件を満たしません。
x=Lにおける境界条件(周期的)でkL=2nπとかすれば、エルミット条件を満たします。このとき固有値kは離散的になります。 

  投稿者:ASA - 2010/03/30(Tue) 08:25  No.8635 
>ASAさん大人気ですね。
 困ったものです。対応が雑になるかもしれないのでご容赦を。
>「作用を定義する」に置き換えたら意味が通じますか?
 ある程度。
>もし、e^ipx(pは任意の複素数)の張る空間を演算子の作用する空間と定義すると、pは「エルミット」じゃない、ということになりますか?
 
甘泉法師 - 2010/03/29(Mon) 19:27 No.8628
ASA - 2010/03/30(Tue) 08:17 No.8634
参照。
 エルミット条件による限り、pは「エルミット」じゃない、ということになります。

>「私がどうして矛盾しているように見えると思ったか」の説明はまた今度にします。
 だから、その説明を冷蔵庫さん主張として初めのほうで要求したわけです。

  投稿者:hirota - 2010/03/30(Tue) 12:20  No.8641 
Hermit作用素は Hilbert空間で定義されてますから無限遠での条件が付いてるのが変ですが、これは「より広い空間で定義された作用素を Hilbert空間に制限したら Hermitになってる作用素」という意味ですね?
そうすると、「固有関数が Hilbert空間に入ってない」と言うのは Hilbert空間では「固有関数がない」の意味ですから、Hilbert空間でしか意味のないアレコレが成り立たないのは当然ですね。(外の関数じゃ内積もノルムも存在しない)

Re: 困ったな
特定の相手と細かい議論をしてると言葉が乱暴になってくるのは良くあることなんで、それを目にした初心者さんには、誰にでも言うわけではなく優しい応対をしてるスレッドがある所も見て欲しいです。

  投稿者:murak - 2010/03/30(Tue) 14:06  No.8642 
関数空間における(線型)作用素のある種のクラスを表す言葉として、自己共役(self adjoint)、エルミート(Hermit)、対称(symmetric)等がある。有限次元のヒルベルト空間、あるいは無限次元でも有界(=連続)な線型作用素に対しては、これらの言葉の意味するところは同じであるが、無限次元ヒルベルト空間の非有界作用素に対しては同じでない。これは、非有界作用素の定義域が(その非有界性から必然的に)ヒルベルト空間全体になり得ない事と深く関連している。つまり、非有界作用素については(ヒルベルト空間に議論の足場を置くとしても)その定義域というものに十分注意を払わなくてはならない。そして、その定義域に関して、単なる形式的なエルミート性に留まらなない、より厳格な性質を満たすもののみを、自己共役作用素とヒルベルト空間論では呼ぶ習わしになっている。量子力学に出てくるような微分作用素や関数倍の作用素は一般には有界ではなく、従ってその定義域はヒルベルト空間全体にはなり得ない。つまり、その自己共役性の判定にはより厳格な条件が必要である。しかし、自己共役性の条件が満たされるなら、それの(広義)固有関数系について、いわゆる(広義の)完全性が成り立つ。(ここで、「広義」と書いたのは、「量子力学で通常行われるような連続固有値の取り扱いを許すような扱いにおいて」という意味である。この完全性は非有界作用素の定義域を超えて、ヒルベルト空間に対するものとして成り立つ(以前書いた作用素のスペクトル分解と単位の分解に関する書き込み参照)。自己共役性のより厳格な定義についてはかなり昔にこの掲示板に書いたことがある。)

  投稿者:hirota - 2010/03/30(Tue) 18:25  No.8644 
以前に見たmurakさんの「自己共役の定義」を忘れてしまったので、ググッて見たけど消えてますね。
別に見つけたpdf
http://elis.sigmath.es.osaka-u.ac.jp/~aida/lecture/21/self-adjoint2009.pdf
だと、対称作用素に「共役作用素と定義域も一致」という条件をつけたものになってますが、同じだと思って良いですか?
(しかしググッて見ても、エルミート作用素は対称作用素を指してたり自己共役作用素を指してたりで、さっぱり分からんなー)

  投稿者:murak - 2010/03/30(Tue) 19:07  No.8645 
> #8644
それでいいです。

確かに「エルミート作用素」という言葉で「対称作用素」を指したり「自己共役作用素」を指したり、人によってまちまちですね。その辺りが紛らわしいので、hirotaさんの引用しているpdfでは(行列以外では)「エルミート」という用語を用いずに「対称」と「自己共役」で区別しているのだと思う。(ちなみにノイマンの教科書(日本語訳)では「エルミート」をここで言う「自己共役」の意味で使っている。)

  投稿者:凡人 - 2010/03/30(Tue) 21:37  No.8649 
murakさん
>自己共役性のより厳格な定義についてはかなり昔にこの掲示板に書いたことがある。
これの事でしょうか?
http://eman.hobby-site.com/bbs/past/log02337.html

  投稿者:甘泉法師 - 2010/03/30(Tue) 23:42  No.8652 
こんにちは。

>x=Lにおける境界条件(周期的)でkL=2nπとかすれば、エルミット条件を満たします。このとき固有値 kは離散的になります。 

 御説と2i sin{(k-k’)∞}=0 を同一視する、つまりk−k’=2nπ/L L→無限大 で小さな距離をおいて林立するスペクトルを連続とみなすいい加減さを許すとします。 ディラックの直観的ユルさです。 Hilbert 空間から派生したRigged Hilbert SpaceとかGelfant’s triplet とか私は名前しか知らないもので基礎付けられるようですが、ディラックのδ関数とそう違わないものと勝手に信じています。

 そういう観方で
Re: 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか 甘泉法師 - 2010/03/29(Mon) 12:27 No.8623
 境界条件 [1/f(x) φ* ψ]~+∞_-∞ = 0 を固有関数にあてはめ
 [1/f(x) u_λ'* u_λ]~+∞_-∞ = 0 をみてみると
事例
・例1 f(x)=1    F(x)=x
2i sin{(λ-λ’)∞}=0  連続スペクトル
・例2 f(x)=x^2n  F(x)=x^(2n+1)/2n+1
2i sin{(λ-λ’)∞}=0  連続スペクトル
・例3 f(x)=x^2n+1 n≠−1  F(x)=x^(2n+2)/(2n+2)  
2cos{(λ-λ’)∞}=0 連続スペクトル
・例4 f(x)=1/x  F(x)=log|x|
2cos{(λ-λ’)∞}=0 連続スペクトル
・例5 f(x)=e^(ax)   F(x)= e^(ax) /a
e^i{(λ-λ’)∞/a } −1 = 0  連続スペクトル 
・例6 f(x)=1/sin ax F(x)= -1/a log|tan ax/2|
sin {-(λ-λ’)/a  log|tan ∞/2|}=0 連続スペクトル
・例7 f(x)=1/cos ax F(x)= 1/a log|tan (ax/2+π/4)|
cos {(λ-λ’)/a  log|tan (∞/2+π/4)|}=0 連続スペクトル
・例8 f(x)=1 / cosh^2 ax  F(x)= tanh ax / a
ASAさんの計算で離散スペクトル

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2010/03/31(Wed) 08:29  No.8654 
murakさんNo.8642
 単なるアウトライン的な知識の開示でなく、
>その自己共役性の判定にはより厳格な条件が必要である。
 具体的にその条件を示すとか、
または、議論の俎上に上がっている演算子Gについて条件チェックした結果を提示してもらえませんか?
 hirotaさんが No.8644で紹介しているpdfでは、p^2+V(x)での自己共役拡張(スツルムリウビルの例)で説明がありますね。
 この定義に基づくと、議論のp一次についても、なんらかの自己共役拡張方法が必要なんじゃないですか?
 

  投稿者:murak - 2010/03/31(Wed) 09:07  No.8655 
具体的な条件はhirotaさんの#8644(もしくは参照しているpdf)に書いてある通り。
それ以上の個別の議論に首を突っ込むつもりはないし、またその能力も時間もないのであしからず。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/03/31(Wed) 20:11  No.8661 
こんにちは。

>部分積分により  ∫φ* (Gψ)dx = h'/i [1/f(x) φ* ψ]~+∞_-∞ +  ∫(Gφ)* ψdx
>右辺第一項の消失

********************************************************
※  [1/f(x) φ* ψ]~+∞_-∞=0 ただし∫φ* (Gψ)dx,  ∫(Gφ)* ψdxが無限大の場合は、その限りでない。※ 
  ⇔ ∫φ* (Gψ)dx =  ∫(Gφ)* ψdx  エルミート

※-※ は任意の1に規格化されたφ、ψ ここで ∫φ*φdx=1 ∫ψ*ψdx=1 について成り立つ、つまりGは全状態ベクトルを定義域にする。すなわちGの固有ベクトルは全空間を張る=完全系をなす。
********************************************************
と考えます。
事例説明します。
1. 有界な台をもつφ、ψについては明らかに[1/f(x) φ* ψ]~+∞_-∞=0
φ, ψ が井戸ポテンシャルの染み出しのe^-|x| とか ガウス波束の e^-x^2 のようにひろがる場合に
2-1 ベキの増は減衰に勝てないから [x^n φ* ψ]~+∞_-∞=0 
2-2 1/f(x)が端でどんどん大きくなりφ, ψ の減衰に勝つ関数
 e^x^9 とか e^(e^・・・(e^x^3))・・・) の場合には [1/f(x)φ* ψ]~+∞_-∞が0でなくなるが、その場合は∫φ* (Gψ)dx,  ∫(Gφ)* ψdx が無限大(トウマクナッテイルダロウト期待)。


・ ガウス型波束 ψ=(a/π)^1/4 exp(-a x^2)  ∫ ψ* ψdx=1
・ 1/f(x) = exp 2ax^3
・ 境界条件
[1/f(x) ψ*ψ]~+∞_-∞ = +∞_- 0 = +∞
・ ∫ψ*Gψdx
ψ'=(a/π)^1/4 exp(-a x^2) (−2ax) 
(1/f)’= exp 2ax^3 (6ax^2)
ψ*Gψ =ψ* { 1/f p + h'/i (1/f)’}/2 ψ
= h'/2i ψ* { exp 2ax^3 ψ'+ exp 2ax^3 (6ax^2)ψ}
= (a/π)^1/4 h'/2i exp 2a(x^3-x^2) ( 6ax^2 −2ax)
∫ψ*Gψdx= +∞

したがって
--------------
>Re: 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか ASA - 2010/03/27(Sat) 12:31 No.8597
> 対象とする状態空間では、G はエルミットです。

   エルミート演算子Gの作用域は全空間である。

>  Gの実固有値をもつ固有関数は、必ずしも当該状態空間に属していないのです。

   Gの固有関数のセットは全空間を張り、完全系をなす。

>  "当該状態空間に属していないエルミット演算子の固有関数は、必ずしも直交しないし、

   エルミート演算子の固有関数は固有値方程式と境界条件※-※で定まる。固有値は連続の場合も離散の場合もある。異なる固有値に属する固有関数は直交する。

 と考えます。

>投稿者:ASAさん - 2010/03/24(Wed) 07:06 No.8568
>任意のF(x):F'=fについて1/f(x)とpとの反交換関係からなる演算子Gは、エルミット。

 と率直に考え支障ないと存じます。


計算の復習

>投稿者:ASAさん - 2010/03/24(Wed) 13:20 No.8570
>完全性もδ(x^2-x'^2)とx=-x',x'の2点になるのでNG。

表式δ(x^2-x'^2)のでてくる仕組みがわかりませんでした。解説いただければ助かります。

>c=-∞を想定するなら、

>投稿者:ASAさん - 2010/03/26(Fri) 10:26 No.8585
> e^{(i(λ-λ')(c+∞)}=1 としているようですが、

積分定数cが-∞とは想定していませんが.....、コメントをもとに計算を考え直しました。∫[0,∞] exp^(i(λ-λ')ξ)dξ=πδ(λ-λ') でよいかご意見をいただければ幸いです。 

>投稿者:ASAさん - 2010/03/26(Fri) 10:48 No.8586
>  そもそも、
>  Fに対する定数項cは、固有関数uの位相を変るものです。

そうですね。

> なので、大きさが1のe^(iλc) と固有値λの関数を持ってくるのは不適切です。

微分方程式を解くと積分定数があらわれるのが、もし「不適切」でも、自然と考えます。微分方程式の解き方がへんであれば教えてください。

> これが許されるなら、λの任意の関数 g(λ)によってe^(ig(λ))をかけることが可能になるので、如何様にもできます(全てのF>で直交性δ(λ-λ')が成立しないとか)。

cλ、cはλによらない、という一次関数をg(λ)という一般の関数に置き換え論じる具合がわかりませんでした。直交性が成立しない例などで不適切の具合を解説いただければ勉強します。

=甘泉法師=

  投稿者:冷蔵庫 - 2010/04/01(Thu) 03:09  No.8666 
「私がどうして矛盾しているように見えると思ったか」の説明をします。
(今までもしてきたつもりなんですが)

>"当該状態空間に属していないエルミット演算子の固有関数

という言葉についての違和感について説明します。
まず私は
「エルミット演算子 = エルミット性を持つ演算子」と思っています。
そして、Gは「当該空間」(またはその部分空間)に作用するときにのみ、エルミット性を持ちます。
つまり、Gがエルミット演算子であるのは、「当該空間」(またはその部分空間)をGの作用する空間と考えたときのみです。
ここまでの私の理解はよろしいでしょうか。

そうすると、「エルミット演算子の固有関数」と言ったとき、この固有関数は「当該空間」に含まれていないとおかしいことになります。
なぜなら、エルミット演算子の作用は、「当該空間」(またはその部分空間)
を考えなければならないからです。

Gの固有関数は「当該空間」外にもありますが、そのような関数を基底に含むような空間への作用を考えたとき、
Gはエルミート性を持たない→Gはエルミート演算子ではない
ということになります。

ですから、「"当該状態空間に属していないエルミット演算子の固有関数」
という言葉の意味がよくわかりません。

これで説明になりましたか?

  投稿者:ASA - 2010/04/01(Thu) 07:30  No.8667 
冷蔵庫さん
>これで説明になりましたか?
No.

>エルミット演算子の作用は、「当該空間」(またはその部分空間)
を考えなければならないからです。
と書かれているように
>>"当該状態空間に属していないエルミット演算子の固有関数
上記の"当該状態空間"という用語で冷蔵庫さんのいうところの"「当該空間」(またはその部分空間)を考え"ていることを明示してます。
"当該状態空間"という用語は、エルミット演算子に係っていてそれが成立する要件を示しています。
冷蔵庫さんは>「エルミット演算子の固有関数」というASA主張の部分のみを切り出されて云々しておられますが、
 別スレで明男さんが明確に指摘しておられますが、元の主張と全く意味が違うことになりかねません(明男さんには、冷蔵庫さんに対してこそ注意をして欲しかったです)。
 ですから、引用は正確にと注意を致したわけですし、また、切り分けられないものを切り分ける事自体に対して"マナー違反"と捉える方もいますが、率直に"読解力に疑問を覚えました"と述べたわけです。

>そのような関数を基底に含むような空間への作用を考えたとき、
と書かれていますが、以上の理由により主張ではそのようなケースは除かれているわけです。この件については、ご理解いただけるでしょうか?
 これについては、No.8597で既に
>誤解でなく対象とする状態空間の前提条件です。
 と明確に説明済みです。

 このままだとこのようなやり取りが何度も繰り返し、スレがこの件で埋まってしまうという問題が発生します。
 このような問題が発生する件について冷蔵庫さんは、どのように考えるかを最優先でお答え下さい。

上記理由により、これだけ何度も説明をしているのに
>「"当該状態空間に属していないエルミット演算子の固有関数」という言葉の意味がよくわかりません。
が全く分かりません。

  投稿者:yuya - 2010/04/01(Thu) 08:43  No.8670  <Home>
不思議なものだなぁ。
詳しい人同士の議論がこんなに無限ループになることもあるのですね。

特に初心者がそういう議論を見た場合には、
一方の主張だけが理解できて他方が全く理解できない場合であっても、
それは「自分に理解できるか」という問題であって、
どちらが正しいか即断しちゃいけないのかも知れませんね。

まぁ無限ループが続けば続くほど、
それこそ「枯れ尾花」がどんどん明瞭になっていくというメリットはあるかも知れませんが。

  投稿者:hirota - 2010/04/01(Thu) 10:24  No.8671 
凡人さんが引用した
これ
http://eman.hobby-site.com/bbs/past/log02337.html
には自己共役の定義は書いてないが、固有関数がヒルベルト空間に入ってない準固有値のことは書いてある。
(問題になる作用素が、ヒルベルト空間の全域では定義されてない非有界作用素だって事は常識で良いんだよね?)

しかし、 $G=\frac{1}{i f}\frac{d}{dx}-\frac{f'}{2i f^2}$ の定義域って一筋縄じゃいかんね。
 $k\rightarrow0$ で $G\rightarrow\frac{1}{i}\frac{d}{dx}$ になる $F(x)=\frac{1}{k}\arctan(k x)$ (主値) の場合でも、 $G\, h\in L^2(R)$ (:ヒルベルト空間) となる $h$ は無限遠で $G\,o(x^{-3/2})=o(x^{-1/2})\in L^2(R)$ だから $h=o(x^{-3/2})$ である必要があるかと思ったら、固有関数は $u_\lambda=\sqrt{f}\exp(i\lambda F)=O(x^{-1})$ なのにヒルベルト空間内の定義域に入っている!
こりゃ、この極限として運動量演算子を考えるのは問題あるな。

  投稿者:ASA - 2010/04/01(Thu) 15:15  No.8674 
hirotaさん 10:24 No.8671
 そこら辺の事、詳しそうなmurakさんの見解を伺おうとしましたが、逃げられてしまいました(残念)。

  投稿者:冷蔵庫 - 2010/04/01(Thu) 23:06  No.8678 
> このままだとこのようなやり取りが何度も繰り返し、スレがこの件で埋まってしまうという問題が発生します。
 このような問題が発生する件について冷蔵庫さんは、どのように考えるかを最優先でお答え下さい。

一応、私個人の希望としては説明の仕方をもう少し工夫していくことで、この議論を続けていきたいと思っていますし、
議論が前進させて行くことをあきらめてはいません。
このまま終わるのも後味が悪いですし。
ただ、emanさんはじめ、この掲示板を使用している他の方々の迷惑になるというのであれば、
この議論を続けないということも仕方がないのかもしれません。
そのあたりは皆さんの意見を伺いたいと思います。

  投稿者:冷蔵庫 - 2010/04/02(Fri) 00:21  No.8680 
ASAさんのNo.8667に対し、まだ答えてないことがありますが、とりあえずそれに対する答えは後にして、
今現在の私の理解についてまとめておきたいと思います。
流れをざっと追う感じで書くので、あまり細かいところの厳密性は気にしないことにします。
ちゃんと書かなくても、大体察してくれるだろうという気持ちで書くので、察することができなかったり、
気になるところは指摘をお願いします。

まず、実数xを複素数に写像する関数f(x)を考えます。
そして、演算子x,pの、任意の関数f(x)への作用を定義します。
このとき、演算子x,pはどんな関数に対してもエルミート性を示すわけでは
ありません。
そこで、演算子x,pがエルミート性を持つように、演算子x,pの作用する関数空間を定義し直すことにします。
(適当な境界条件を満たすような関数に制限します)

次に演算子x,pから作られる演算子Gを考えます。
G=xpを考えると、Gのエルミート共役G†が定義できるのは、
xψ^*(x)φ(x)](∞,-∞)=0
となる関数空間を考えたときで、このときG†=pxとなります。
この条件を外すと、部分積分時の表面項の寄与によりおかしなことになります。
但し、G=xpはこのような条件を課したとしても、G≠G†なので、
エルミート演算子になることはできません。

そこで、G=(f^(-1)p+pf^(-1))/2のような演算子を考えます。
このような演算子は、作用する空間をうまく定義することで、エルミート演算子になる可能性があります。
(fの選び方によっては不可能かもしれません。ここはちゃんと考えてない。)
部分積分時の表面項の寄与がなければ、このような形の演算子は実の固有値を持つ関数に対しエルミート性を示します。
エルミート演算子を定義するために、表面項の寄与が消える適当な境界条件を課してやらなければなりません。

大事なことは、演算子Gがエルミートであるような関数空間の定義は、
「固有値が実数である」というだけでは必ずしも十分ではなくて、
境界条件を手で課してやらなければならない場合がある、ということです。

  投稿者:明男 - 2010/04/02(Fri) 00:45  No.8681 
お邪魔します。

冷蔵庫さん

こちらで議論されている内容については十分興味深いのですが、ほぼお二方の行き来になっていたところで、話題になりにくい疑問を呈されたのだと思います。私の印象では揶揄や意味のない書き込みではなく、怠惰や思いこみによる失礼な態度とも思えませんでした。(失礼ですが)ASAさんに比して、誤解や知識・咀嚼の不足はあると思いますが、概ね理解を目指して教えを乞うている態度であったと思います。
このスレ主は甘泉法師さんですが、私としては迷惑なことだとは思っていません。

  投稿者:hirota - 2010/04/02(Fri) 11:24  No.8686 
関数空間を工夫しても固有関数が直交しないんじゃメリットないのでは?
それに関数を制限してヒルベルト空間の完備性やら定義域の稠密性やらが失われたら何もできないし・・。

  投稿者:凡人 - 2010/04/02(Fri) 23:42  No.8693 
冷蔵庫さんのNo.8680の
>「固有値が実数である」というだけでは必ずしも十分ではなくて、
>境界条件を手で課してやらなければならない場合がある、ということです。
という理解は、奇妙な事に、ASAさんのNo.8626の
>数式が記述する世界と実世界の対応は完全ではありません。
>完全に近づけるような調整要因が境界条件だと理解してます。
という理解とかなり似通っている所があるように思えるのですが、偶然の一致でしょうか?
それは置くとして、私は数学的な内容はよく分っていませんが、一般的には、正準量子化だけで量子論を一意に決定する事は出来ないというのが量子論に於ける通説だと思っています。
そして、量子論を一意に決定するために、境界条件を「手で課す」とか「調整」するのではなく、物質的状況に妥当するように「仮定」するのだと思っています。
仮定した境界条件が物質的状況により妥当していればいる程、また、数学的な矛盾がより少なければ少ない程、より良好な量子論を決定出来る場合が多いと私は理解しています。
具体例については、
http://homepage2.nifty.com/eman/quantum/normalize.html

http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%BA%95%E6%88%B8%E5%9E%8B%E3%83%9D%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%B7%E3%83%A3%E3%83%AB
をご覧下さい。
尚、ゲージ場理論では、量子論を決定するために、ゲージ不変性を用いていると思いますが、この内容については、私の理解の範囲を超えているため、説明出来ないのが残念です。
また、量子論は、多くの研究者の血の滲むような努力によって、量子現象をより正しく記述出来るように理論的な整備を行ってきたし、今でも理論的な整備は継続していると思っています。
この事に思いを馳せれば、ASAさんや冷蔵庫さんの様に、具体的な内容を展開せずに量子論を評論するような真似は出来ないと思います。
(↑済みませんが、表現を少々和らげました。)
<<追伸>>
誤解を受けるといけないので補足しますが、ASAさんの「完全に近づけるような調整要因」として、「繰り込み条件」を連想される方がいらっしゃるかもしれませんが、ここでは境界条件に絞って話しを展開させていただいております。
尚、繰り込み条件は、「完全に近づけるような調整要因」というべきものではないという事に注意が必要です。
詳しい内容は、以下をご覧下さい。
http://www-utap.phys.s.u-tokyo.ac.jp/~namikawa/S_QFT/10_QFT.pdf

  投稿者:冷蔵庫 - 2010/04/03(Sat) 23:20  No.8700 
>明男さん No.8681
ご意見ありがとうございました。

とりあえずここでは、ASAさんNo.8667へのレスをします。
hirotaさんNo.8686、凡人さんNo.8693にもお返事をしようと思っていますが、
しばらく(一週間ぐらい?)後になるかもしれません。
気長にお待ちください。

>ASAさん No.8667

>冷蔵庫さんは>「エルミット演算子の固有関数」というASA主張の部分のみを切り出されて云々しておられますが、
 別スレで明男さんが明確に指摘しておられますが、元の主張と全く意味が違うことになりかねません(明男さんには、冷蔵庫さんに対してこそ注意をして欲しかったです)。
 ですから、引用は正確にと注意を致したわけですし、また、切り分けられないものを切り分ける事自体に対して"マナー違反"と捉える方もいますが、率直に"読解力に疑問を覚えました"と述べたわけです。

すいません。ASAさんの仰る「切り分けられないもの」というのがわかりません。

>"当該状態空間に属していないエルミット演算子の固有関数

という言葉を抜き出したところまではいいですよね。
で、単純に国語の問題ですけど、

『当該状態空間に属していない』という言葉が『エルミット演算子の固有関数』に係っていると読むのが自然ですよね。
(『エルミット演算子の固有関数』は、『エルミット演算子の』が『固有関数』に係っていると読めます。)
「切り分けられない」というのは、このような読み方が間違っているということでしょうか。

私の主張をまとめると、

「『>"当該状態空間に属していないエルミット演算子の固有関数』
という言葉は、上で私が述べたように読むのが自然である。
だが、この読み方をすると、意味が通らない。
意味の通る読み方を私は知らないので、それがあるならば教えてほしい。
また、私のように誤解をする人がいるおそれがあるので、誤解しにくい言い方で主張すべきである。」

ということになります。

また、

>"当該状態空間に属していないエルミット演算子の固有関数

の読み方としてもう一つ私が考えたのは、
『当該状態空間に属していない』と『エルミット演算子の』が『固有関数』
に並列に係っているという読み方があります。
まあ、初めに指摘したものと意味的にはほとんど変わりませんが。

それから、『当該状態空間に属していない』が『エルミット演算子』に係るという読み方が正しくないことにも触れておきます。
状態空間に属する/しないのは演算子ではなく、関数だからです。
(以前に私は『当該状態空間に属していないエルミット演算子』という引用の仕方をして、ASAさんにお叱りを受けました。
そのときは、その引用が間違っている理由をこのように理解していましたが、
これは正しいでしょうか。
No.8666ではその反省を踏まえたうえで正確な引用をしたつもりですが、
ASAさんの仰る「正確な引用」がわかりません。)

  投稿者:冷蔵庫 - 2010/04/03(Sat) 23:46  No.8701 
ASAさんへの返事の続きです。

>上記の"当該状態空間"という用語で冷蔵庫さんのいうところの"「当該空間」(またはその部分空間)を考え"ていることを明示してます。
"当該状態空間"という用語は、エルミット演算子に係っていてそれが成立する要件を示しています。

すみません。この二文もよくわかりません。
『当該状態空間』という語は名詞ですよね。
名詞が『エルミット演算子』に係るというのはおかしいですよね。
どのような係り方をしているのか、正確に教えてください。

>冷蔵庫さんは>「エルミット演算子の固有関数」というASA主張の部分のみを切り出されて云々しておられますが、
 別スレで明男さんが明確に指摘しておられますが、元の主張と全く意味が違うことになりかねません(明男さんには、冷蔵庫さんに対してこそ注意をして欲しかったです)。

主張の意味がどのように変わるのでしょうか。

>>そのような関数を基底に含むような空間への作用を考えたとき、
と書かれていますが、以上の理由により主張ではそのようなケースは除かれているわけです。この件については、ご理解いただけるでしょうか?

『以上の理由』というのを理解できていないと思います。
ただ、『エルミット演算子』と言った時点で、そのようなケースが除かれることを、

冷蔵庫 No.8666
『「エルミット演算子 = エルミット性を持つ演算子」と思っています。
そして、Gは「当該空間」(またはその部分空間)に作用するときにのみ、エルミット性を持ちます。
つまり、Gがエルミット演算子であるのは、「当該空間」(またはその部分空間)をGの作用する空間と考えたときのみです。

のように理解しています。

>>「"当該状態空間に属していないエルミット演算子の固有関数」という言葉の意味がよくわかりません。
>が全く分かりません。

がわかりません。

  投稿者:ASA - 2010/04/04(Sun) 08:44  No.8705 
冷蔵庫さん
>すいません。ASAさんの仰る「切り分けられないもの」というのがわかりません。
 修飾語などで限定条件など明示している物のこと
 こういった物に対して、勝手に切り離して考えることを非難しました。

>意味が通らない。
すいません。冷蔵庫さん仰る「意味が通らない」というのがわかりません。
これも、以前にお願いしましたが何故「意味が通らない」なのか、筋の通った説明(これを主張と呼んでいるので、No.8700 には、主張と呼べるものがないわけです)をお願いします(また前に戻りました。loop1)。
 

>『当該状態空間』という語は名詞ですよね。
>名詞が『エルミット演算子』に係るというのはおかしいですよね。
 例 東京にある家の敷地面積
 東京は名詞です。東京は家に係っているように思えますがおかしいのですか?
 日本語の用法についての議論が延々と続きそうですね。

 
>主張の意味がどのように変わるのでしょうか。
冷蔵庫さんが受け取る"主張の意味"は変ってしまうのでは?どう変るかまでは判りませんが。

>>>「"当該状態空間に属していないエルミット演算子の固有関数」という言葉の意味がよくわかりません。
>>が全く分かりません。
>がわかりません。
 何故、判らないかということについて説明が述べられていないので、やはり理解できません(loop2)。

  投稿者:hirota - 2010/04/06(Tue) 15:15  No.8721 
 $F:R\rightarrow I$ を有界な単調増加関数 ( $f=F'>0$ ) として、開区間 $I=(a,b)$ はその値域とすると、
ヒルベルト空間 $L^2(I)$ での内積は $y=F(x)$ の変換で
 $<\varphi,\psi>=\int_a^b\overline{\varphi(y)}\psi(y)\,dy=\int\overline{\varphi(F(x))}\psi(F(x))f(x)\,dx$ 
となる。
そこで、変換 $T:L^2(I)\rightarrow L^2(R)$ を
 $(T\psi)(x)=\sqrt{f(x)}\psi(F(x))$ 
と定義すれば、これはヒルベルト空間の同型写像となり、 $L^2(I)$ での作用素 $p=\frac{1}{i}\frac{d}{dy}$ は
 $\frac{d}{dx}(T\psi)(x)=\frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}\psi(F(x))+f(x)^{\frac{3}{2}}\psi'(F(x))$ 
∴ $\psi'(F(x))=f(x)^{-\frac{3}{2}}\frac{d}{dx}(T\psi)(x)-\frac{f'(x)}{2f(x)^2}\psi(F(x))$ 
より
 $(T p\,\psi)(x)=\frac{\sqrt{f(x)}}{i}\psi'(F(x))=\frac{1}{i f(x)}\frac{d}{dx}(T\psi)(x)-\frac{f'(x)}{2i f(x)^2}\sqrt{f(x)}\psi(F(x))$ 
 $=(\frac{1}{i f(x)}\frac{d}{dx}-\frac{f'(x)}{2i f(x)^2})(T\psi)(x)=(G\,T\psi)(x)$ 
となって $L^2(R)$ での作用素 $G=\frac{1}{i f}\frac{d}{dx}-\frac{f'}{2i f^2}$ に対応する。
ところが、 $L^2(I)$ では
 $<\varphi,p\psi>-<p\varphi,\psi>=\frac{1}{i}\int_a^b\overline{\varphi(y)}\psi'(y)+\overline{\varphi'(y)}\psi(y)\,dy=\frac{1}{i}\left[\overline{\varphi(y)}\psi(y)\right]_a^b$ 
となるので区間の両端での値が等しくないと対称作用素にならない。
 $L^2(I)$ から両端での値が等しい関数だけ取り出して部分空間を作ってみても、完備でないからヒルベルト空間にならない。(そんなのは対称作用素と言わない)
と言うわけで対称作用素じゃないから、固有関数 $\exp(i\lambda y)$ が直交しなくても矛盾じゃない。
ただし、固有関数のうちで両端での値が等しい関数だけ取り出すと $L^2(I)$ の直交基底になってる。(フーリエ級数)
この場合、両端での値が等しくない固有関数は固有値の違う固有関数で表わされてる。(ヘンテコですね〜)

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/06(Tue) 17:22  No.8723 
こんにちは。

>ところが、  $L^2(I)$  では

 $<\varphi,p\psi>-<p\varphi,\psi>=\frac{1}{i}\int_a^b\overline{\varphi(y)}\psi'(y)+\overline{\varphi'(y)}\psi(y)\,dy=\frac{1}{i}\left[\overline{\varphi(y)}\psi(y)\right]_a^b$ 

>となるので区間の両端での値が等しくないと対称作用素にならない

大きさが1に規格化されている という規格化条件を課せば無限「区間の両端での値が等しく」ゼロである、といえないでしょうか。

=甘泉法師=







  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/06(Tue) 23:02  No.8724 
こんにちは。

>投稿者:甘泉法師 - 2010/03/29(Mon) 12:27 No.8623
 
  に再掲した計算の見直しです。
----------------

演算子 G = 1/f(x) p - h'/2i 1/{f(x)}^2 f' = 1/2(1/f(x) p + p 1/f(x) )= G+  エルミート   ここでf(x)は実関数。  

  !! f(x)=0では発散するため定義されない !!

固有値方程式 
{ 1/f(x) p - h'/2i 1/{f(x)}^2 f' } u = λh'u 
1/f(x) u' = (1/2 1/{f(x)}^2 f' + iλ)u    

  !! u ≠ 0としてuで割れば !!

log u = 1/2 log |f(x)| + ∫ iλf(x) dx
 u = C|f(x)|^(1/2)e^(iλF(x)) ; F'=f(x) F(x)=∫~x f(ξ)dξ 不定積分

  !! f(x)=0 よって u=0 にもなる x が存在する場合には、その左右でCを変えることができる。!!

 例 G= (1/x p + p 1/x)/2

  u =  1/√(2π)|x|^(1/2)e^( iλx^2/2 ) x>0
  u = - 1/√(2π)|x|^(1/2)e^( iλx^2/2 ) x<0

  Cの変更により x=0でカスプが滑らかにかわる。

例 G= (1/x^(2n+1) p + p 1/x^(2n+1))/2 n≠-1

  u =  1/√(2π)|x|^(n + 1/2) e^( iλx^(2n+2)/(2n+2) ) x>0
  u = - 1/√(2π)|x|^(n + 1/2) e^( iλx^(2n+2)/(2n+2) ) x>0

----------------
 こうして f(x)がxのべき乗である場合、偶数でも奇数でも固有値は 連続 −∞<λ<+∞ で 異なる固有値に属する固有関数は直交することが
 わかった。

PS f(x)のグラフがx軸をまたがない e^ax についてはこうはいかないので、考えています。

=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/07(Wed) 00:15  No.8725 
こんにちは。

>PS f(x)のグラフがx軸をまたがない e^ax についてはこうはいかないので、考えています。

 G= (e^ax p + p e^ax )/2   a>0

固有値方程式の解

  u =  C (e^-ax)^(1/2) e^( iλe^-ax /(-a) )

Gがエルミートであるための境界条件
[ e^( iλe^-ax /a ) ]^L_-L = 1 − e^( i λe^aL /a ) = 0 
λ  = 2naπ /e^aL  L→∞で連続スペクトル。 -∞<λ<+∞ 

規格直交性
∫u_λ'* u_λ dx
=C*C  ∫^∞_0 e^( i(λ-λ')x ) dx
  積分値はのまさんに教えていただいたように
=C*C[ πδ(λ-λ') + i /(λ-λ')]
  
!! 直交しないし、直交するサブセットもつくれない  !!
....と思われましたがもっとくわしくみてみます。

Re∫^∞_0 e^( i(λ-λ')ξ ) dξ = πδ(λ-λ')

Im∫^∞_0 e^( i(λ-λ')ξ ) dξ は境界をくわしくみると
= Im 1/( i(λ-λ') ) { e^( i(λ-λ')ξ - 1 }, ξ=e^aL /a, L→+∞ for λ≠λ'
  0 for λ=λ'
境界条件を満たす固有値λならば、虚数部は0になり、固有関数は規格直交。

まとめると
境界条件 λ  = 2naπ /e^aL  L→∞で実質連続スペクトル。 -∞<λ<+∞
固有関数  u =  1/√π (e^-ax)^(1/2) e^( iλe^-ax /(-a) )
規格直交性 ∫u_λ'* u_λ dx=δ(λ-λ’)
完全性  射影 ∫|λ>dλ<λ|を任意の位置の固有関数δ(x−x0)にはたらかす
 <λ|x0>=1/√π (e^-ax0)^(1/2) e^( -iλe^-ax0 /(-a) )から
 ∫|λ>dλ<λ|x0>=1/π (e^-ax)^(1/2) (e^-ax0)^(1/2) e^( iλ{ e^-ax /(-a) - e^-ax0 /(-a)} ) = δ(x−x0) と恒等射影。
 
なんとか片付きました。

=甘泉法師=

  投稿者:凡人 - 2010/04/07(Wed) 09:43  No.8727 
甘泉法師さん
>>PS f(x)のグラフがx軸をまたがない e^ax についてはこうはいかないので、考えています。
一応お伺いしますが、固有値や固有関数が存在するとかしないとかいう以前に、この場合、波動関数(?)は規格化出来るのでしょうか?
もし出来ないとすれば、甘泉法師さんの論議は、量子力学と全く無縁な論議だと思います。
<<追伸>>
すみませんが、この場合の規格化済みの波動関数(?)とその定義域をお教え下さい。

  投稿者:hirota - 2010/04/08(Thu) 12:03  No.8740 
>大きさが1に規格化されている
 $L^2(R)$ の中には 2 乗積分が 1 であっても無限遠で 0 に収束しない関数がいくらでもありますから、作用素の定義域に入っていることを使わないと証明できません。(面倒だからやらないけど、ヒルベルト空間の練習問題に良いかな)
まあ、 $L^2(R)$ では運動量が自己共役ってのは量子力学の基礎知識だけど、自分で証明しようとすると面倒と言うことで・・

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/08(Thu) 13:20  No.8741 
こんにちは。

>2 乗積分が 1 であっても無限遠で 0 に収束しない関数がいくらでもありますから

わたしが想像できるのはe^-|x| とか、e^-x^2 とかのように無限遠で0に収束するものだけなので、どんな関数か例を教えていただくとありがたく存じます。
よろしくお願いします。

=甘泉法師=


  投稿者:hirota - 2010/04/08(Thu) 14:16  No.8742 
値が 0 と 1 を取る step 状の関数で、値が 1 の区間が無限個あるけど区間幅の総和は 1 になってるもの。

とか、

値が 0 でない所は三角形になってて、三角形の高さはドンドン高くなるけど幅はドンドン小さくなるもの。(積分が 1 になるように比率を調整)

などなど。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/08(Thu) 15:01  No.8743 
こんにちは。

どちらも、特に後者は明らかに、無限遠で0ではないでしょうか。

=甘泉法師=

  投稿者:hirota - 2010/04/08(Thu) 16:04  No.8744 
「無限遠で0に収束」の定義に当てはめれば分かります。(ε-δ の練習問題)

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/08(Thu) 17:50  No.8745 
ありがとうございます。考え直しました。

理解確認のため前者の例
値が 区間 [n,n+a_n] で 1 他で 0  n≧1  a_n=1/2^n
a1=1/2^1=1/2
a2=1/2^2=1/4
a3=1/2^3=1/8
-----
どこまで遠くにいってもnのところに高さ1の柱が立ち規格化されている。

後者はδ関数に収束する関数列のようで、明らかに無限遠で0と思うのですが

波動関数が前者のようであれば運動量の具合がよくないことからして、波動関数には規格化だけでない物理の要請がなにかあるんでしょうね....。

=甘泉法師=


  投稿者:hirota - 2010/04/08(Thu) 18:51  No.8746 
>後者はδ関数に収束する関数列
いや、関数列じゃなくて、三角形が無限に並んでる形の一つの関数です。

>前者のようであれば運動量の具合がよくない
単に作用素の定義域に入ってないだけで、波動関数(状態ベクトル)としての問題はない。
(比率によっては位置作用素の定義域にも入ってない)

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/08(Thu) 19:12  No.8748 
こんにちは。

>単に作用素の定義域に入ってないだけで、波動関数(状態ベクトル)としての問題はない。

戯言 波動関数の会話
「あ、そこ入っちゃいけないよ、運動量作用素の定義域からでちゃうから」
「はい。でもどうしてだめなんですか?」
「はいったら運動量についてなにもいえないだろ」
「(運動量についてなにもいえないとこまるのかな...)これまで入った人はいないんですか?」
「いるもいないも、はいったら物理的でなくなるから存在しなくなっちまうよ。なにしろ運動量についてなにも言えない世界なんだから!」
「それはたいへん。そんなヤバイところには行けないように手をうっていないんですか」
「大丈夫、われわれ物理的存在はそっちには行けないから}
「...!?」


PS
>三角形が無限に並んでる形の一つの関数です。

高さが無限小でない三角形が並ぶなら面積=1/2Σ底辺X高さ=1/2全長X高さ=+∞ で 2乗積分が1になるようにはできないように思うのですが..
=甘泉法師=




  投稿者:yuya - 2010/04/08(Thu) 22:43  No.8749  <Home>
甘泉法師さん:

>高さが無限小でない三角形が並ぶなら面積=1/2Σ底辺X高さ=1/2全長X高さ=+∞ で 2乗積分が1になるようにはできないように思うのですが..

三角形がびっしり並んでいるのではなくて、間隔が空いているのでは?

[8742]
>値が 0 でない所は三角形になってて、

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/09(Fri) 00:20  No.8751 
こんにちは。

>三角形がびっしり並んでいるのではなくて、間隔が空いているのでは?
>[8742]
>> 値が 0 でない所は三角形になってて、

理解を確かめるための例
関数のグラフはx軸上の区間 [n-a_n, n+a_n]を底辺とする高さynの二等辺三角形、他で 0. n=0,±1、±2、... a_n=a_-n=1/2^(n+2)
a0=1/4
a1=a_-1=1/2^3=1/8
a2=a_-2=1/2^4=1/16
-----
y0はひとつの三角形の2乗積分が1/2であるように決める。
ynはひとつの三角形の2乗積分が1/2^(|n|+2)であるように決める。
左右どこまで遠くにいってもnのところに二等辺三角形が立つ。1に規格化されている。

ありがとうございました。

前の柱の例とあわせ、こういう状態については

座標または位置を測定することができるのでしょうか
いいかえると状態を位置の固有関数で展開できるのでしょうか。

運動量を測定することができるのでしょうか
いいかえると状態を運動量の固有関数で展開できるのでしょうか。

もし前者がYesで後者がNoなら、それはフーリエ変換または 
<p|x>=1/h e^ipx/h’ の関係式とどう折り合いがついているのでしょう...?

=甘泉法師=









=甘泉法師=

  投稿者:hirota - 2010/04/09(Fri) 09:51  No.8755 
自己共役作用素がヒルベルト空間の全域で定義されてなくても、
稠密な部分集合 (どの点も任意の精度で近似できる) で定義されていれば、
全域が展開可能です。(そう言うのしか自己共役と言わない)
位置や運動量作用素の定義域は稠密ですから、全く問題ありません。
(定義についてる細かい条件は全部意味がある)

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/09(Fri) 11:59  No.8756 
こんにちは。


>投稿者:hirotaさん - 2010/04/06(Tue) 15:15 No.8721
> ところが、  $L^2(I)$  では
 $<\varphi,p\psi>-<p\varphi,\psi>=\frac{1}{i}\int_a^b\overline{\varphi(y)}\psi'(y)+\overline{\varphi'(y)}\psi(y)\,dy=\frac{1}{i}\left[\overline{\varphi(y)}\psi(y)\right]_a^b$ 
> となるので区間の両端での値が等しくないと対称作用素にならない。

 $L^2(I)$ についての事情、理解しました。


これを吟味する基礎として $L^2(R)$  、つまり通常の運動量演算子の場合について考えます。

 $L^2(R)$  、いいかえると通常の運動量演算子の場合の境界条件について

 $\frac{1}{i}\left[\overline{\varphi(y)}\psi(y)\right]_a^b$ 

が0でない場合がある。例 φ、ψが先の柱がずっと並ぶ規格化された”電柱”関数の場合。

それでも通常の運動量演算子については
>自己共役作用素がヒルベルト空間の全域で定義されてなくても、

≡ 運動量は電柱関数では定義されていない

>稠密な部分集合 (どの点も任意の精度で近似できる) で定義されていれば、

≡ 運動量は、電柱関数を任意の精度で近似でき、かつ境界条件を満たす関数では定義されている。

>全域が展開可能です。(そう言うのしか自己共役と言わない)
 
疑問:境界条件を満たす運動量固有関数のかさねあわせで境界条件を満たさない電柱関数が表せるはずはない。境界では必ず食い違う。  それでも近似できるとしてよいのか?

>投稿者:ASAさん - 2010/03/26(Fri) 15:37 No.8590
> ある状態をψ(x)、φ(x)とすると
> 演算子pに対しては、 ψ(∞)φ(∞)-ψ(-∞)φ(-∞)=0を満たす状態空間を考える限り、pはエルミットです。∫|ψ|^2dxや∫|φ|^2dxが有限なものは、 x=+-∞で0収束するので上記条件を満足してます。

 電柱関数は「ψ(∞)φ(∞)-ψ(-∞)φ(-∞)=0を満たす状態空間」にない。
 電柱関数を任意の精度で近似する関数は「ψ(∞)φ(∞)-ψ(-∞)φ(-∞)=0を満たす状態空間」にある。
 だから 電柱関数は「ψ(∞)φ(∞)-ψ(-∞)φ(-∞)=0を満たす状態空間」にあると”大人の判断”をしてもよい?

=甘泉法師=

  投稿者:hirota - 2010/04/09(Fri) 13:08  No.8757 
>電柱関数が表せるはずはない
無限個の電柱は1個づつの関数の無限和で表せます。
(そもそも無限級数と言うのは、有限和によって任意の精度で近似できると言う意味)

>大人の判断
「境界条件を満たさない関数でも、境界条件を満たす関数で近似できるから境界条件を満たすと判断する」なんてのは、
「こじつけの判断」と言うべき。

ところで、I は開区間だから端点は関数の定義域に入ってないことに気付いてます?(積分結果は極限値)

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/09(Fri) 14:51  No.8758 
こんにちは。


>ところで、I は開区間だから端点は関数の定義域に入ってないことに気付いてます?(積分結果は極限値)

 なるほど。 すると  $\frac{1}{i}\left[\overline{\varphi(y)}\psi(y)\right]_a^b$   での境界での値はどう計算されるものなんでしょう...。 y→α、β(+∞や-∞) 
の極限での関数値という意味になるんでしょうか。

部分積分で共役どうしの差をみる技法は、境界での(極限)値をもつ関数にしか適用できない。
極限値をもたない電柱関数には技法が適用できない。極限値をもつ、電柱関数を任意の精度で近似する関数には技法が適用できる。そして差が0なら運動量は電柱関数を任意の精度で近似する関数を作用定義域としてエルミートである。

> 「こじつけの判断」と言うべき。

 修正してみましょう。

 電柱関数は「  $\frac{1}{i}\left[\overline{\varphi(y)}\psi(y)\right]_a^b$  =0を満たす状態空間」にない。値が0でない、というのでなく極限値が存在しないので全く俎上にのらない。
 電柱関数を任意の精度で近似する関数は「  $\frac{1}{i}\left[\overline{\varphi(y)}\psi(y)\right]_a^b$  =0を満たす状態空間」にある。
 物理を考えるうえでは電柱関数を近似関数でおきかえても問題はおきない。だから物理としては電柱関数が「境界条件を満たす状態空間にない」ことを気に病む必要はない。

=甘泉法師=

  投稿者:hirota - 2010/04/09(Fri) 15:19  No.8759 
>近似関数でおきかえ
別に近似関数でおきかえてるわけではなく、
「有限和によって任意の精度で近似できる」=「正確に無限級数展開できる」
ですから、正確な展開です。

>値を返せない・定義できない
その通りです。
作用素の定義域に入ってない関数なんぞの値を求める必要は無いので問題ない。
(電柱関数はもちろんのこと、三角形がどんどん細くなる関数も微分作用素の定義域に入ってない:微分した結果がヒルベルト空間に入らない)

作用素の定義域に入ってない関数であっても、作用素の固有ベクトルで正確に展開できる。と言うのがスペクトル分解のキモです。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/09(Fri) 15:37  No.8760 
こんにちは。

>作用素の定義域に入ってない関数なんぞの値を求める必要は無いので問題ない。

>単に作用素の定義域に入ってないだけで、波動関数(状態ベクトル)としての問題はない。

気になるのは「関数なんぞ」が波動関数(状態ベクトル)たりえるのか、つまり
運動量を観測できないような物理的状態は存在するのか です。

=甘泉法師=

  投稿者:hirota - 2010/04/09(Fri) 15:42  No.8761 
作用素の定義域に入ってない関数 (状態) であっても、作用素の固有ベクトルで正確に展開できる。
わけですから、
観測すれば、どれかの固有状態になって固有値 (観測値) が得られます。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/09(Fri) 18:11  No.8762 
 こんにちは。


>作用素の定義域に入ってない関数 (状態) であっても、作用素の固有ベクトルで正確に展開できる

 運動量が定義できない関数(状態)だが、状態の運動量を観測できて値を得る、とはなんとも狐につままれたような話ですね。


 コップの空間に砂糖水を入れる。水分子の位置ベクトルは「定義域内」で砂糖分子の位置ベクトルは「定義域外」だとする。砂糖分子のいくらでも近くに水分子があり、その水分子の位置ベクトルと砂糖分子の位置ベクトルを同じとみなしてよいという約束をする。その約束の下での実際上は、コップ内の空間をすべて「定義域内」とみなしてさしつかえない。

Gに戻って
>Re: 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか 甘泉法師 - 2010/04/07(Wed) 00:15 >No.8725
 G= (e^ax p + p e^ax )/2   a>0
固有値方程式の解
  u =  C (e^-ax)^(1/2) e^( iλe^-ax /(-a) )
規格直交性
∫u_λ'*  u_λ dx
=C*C  ∫^∞_0 e^( i(λ-λ')x ) dx
  積分値はのまさんに教えていただいたように
=C*C[ πδ(λ-λ') + i /(λ-λ')]
  
!! 直交しないし、直交するサブセットもつくれない  !!
----------------------
  λが真に連続なら第2項が現れるが、砂糖分子を捨て水分子だけを選ぶことに似た境界条件 λ  = 2naπ /e^aL L→+∞ を満たす稠密な{λ}だけに状態を限ることにする。 すると i /(λ-λ') の項はなくなり規格直交化ができる。そして{λ}の固有関数系の完全性も(おそらく)いえる。

んだろうと考えます。


運動量演算子の固有関数についてみても境界条件は

 1/2π e^(i(λ-λ')x ]~+L_-L  L→∞ = 0

(λ-λ')L = nπ

 λ-λ' = nπ/L  L→∞

 境界条件を満たすにはふつうに連続なλでなく π/L  L→∞ の間隔をおいた{λ}を扱っていることがわかる。ふつうの物理の計算では{λ}を連続と扱っていて、問題は生じていませんね。
  
=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/10(Sat) 12:27  No.8765 
こんにちは。

 G= (e^ax p + p e^ax )/2   a>0

のエルミート、境界条件を満たす固有関数の完全性について引き続き考えます。


有限井戸の束縛状態の波動関数 ψ(x)〜e^-κ|x| 井戸の外で
どうしでの境界条件をみると

  e^{(a-2κ)L} - 0 ≠ 0  for a-2κ>0

よって ψ(x) κ<a/2 はGの定義域にはない(砂糖分子)。
しかしながら Gの、境界条件を満たす固有関数の重ね合わせであって、ψ(x)に限りなく近いものが存在する(水分子)。 限りなく近いものへの置き換えを許す前提の下に全空間で
Gは定義されエルミートであり固有関数は完全系をなす。

境界で発散する関数でも、境界で0になるフーリエ成分の級数でいくらでも近く表わせる(除く境界線上)とイメージが近いです。


  e^{(a-2κ)L} - 0 =+∞  for a-2κ>0 

 と部分積分が消失しないのでエルミート性が成り立たないと危惧されるが、

 ∫ψ* G ψ dx が ∞ なので
 
 積分が∞ = 境界から∞ + 転置複素共役積分が∞,  
 積分が∞ = 転置複素共役積分が∞ 

 とエルミートの式が成り立つとみなせる

 んだろうと考えます。

=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/10(Sat) 14:02  No.8766 
 こんにちは。

 次に離散固有値がでる

 G={ (coth ax)^2 p + p (coth ax)^2 }/2 を考えたいのですが、そのために

 
>投稿者:hirotaさん - 2010/04/06(Tue) 15:15 No.8721
>  $L^2(I)$  から両端での値が等しい関数だけ取り出して部分空間を作ってみても、完備でないからヒルベルト空間にならない。(そんなのは対称作用素と言わない)

 $L^2(I)$  から両端での値が等しい関数だけ取り出して作った部分空間に、両端での値が等しくない関数(砂糖分子)は属していないが、それにいくらでも近い状態(水分子)は属しておおり、その水分子のベクトルと砂糖分子のベクトルを同一視することを約束すれば

> ただし、固有関数のうちで両端での値が等しい関数だけ取り出すと  $L^2(I)$  の直交基底になってる。(フーリエ級数)
この場合、両端での値が等しくない固有関数は固有値の違う固有関数で表わされてる。(ヘンテコですね〜)

は、ヘンテコでなくすんなり理解されると期待します。   

もっとよく考えてみるために「完備でないからヒルベルト空間にならない」具合をもう少し解説いただければ助かります。

=甘泉法師=




  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/10(Sat) 22:33  No.8769 
こんにちは。

あらためて自分の考えを ASAさん、冷蔵庫さんの議論にコメントするかたちで述べてみます。


投稿者:ASAさん - 2010/03/27(Sat) 07:49 No.8595

>  逆に固有関数uに制約を課さないでそのフルセットを考えると直交しない場合があり、当該状態空間で完全系を成さない場合もある。
   
   「フルセット」には独立でないものも含まれており、いくつかを抜き出して完全系をなすことができる。ただしここで※演算子が定義できない状態のいくらでも近傍に演算子が定義できる状態があり、前者を後者と同一視する。※としている。

>  逆に、対象とする状態空間に触れずに"エルミート演算子の固有関数は直交し、かつ完全系"というよくある方が誤解を招くと思います。

   状態空間は演算子ごとに変わるものではない。 


投稿者:ASAさん - 2010/03/27(Sat) 12:31 No.8597
> >という条件がGをエルミートにするために要るように読めます(誤解だと言われるかもしれませんが)。
>  誤解でなく対象とする状態空間の前提条件です。
   
> 対象とする状態空間では、G はエルミットです。
> これも何度も書きますが、Gの実固有値をもつ固有関数は、必ずしも当該状態空間に属していないのです。

   状態空間は演算子ごとに変わるものではない。
    たとえ 数直線は掛け算を考えているか足し算を考えているかでかわらない。
   境界条件を満たす固有関数(以後、「固有関数」とよぶ)は状態空間に属す。
   境界条件を満たさない固有関数(以後、「固有値方程式の一般解」とよぶ)も状態空間に属する。
   後者は前者で展開できないが、前者の重ねあわせであって後者の任意の近傍にある状態がある。


>  "当該状態空間に属していないエルミット演算子の固有関数は、必ずしも直交しないし、連続固有値のフルセットは、当該状態空間において完全系であるとは限らない。"

   固有関数及び固有値方程式の一般解はみな状態空間に属している。
   完全系をなすように「連続固有値のフルセット」から解を選ぶことができる。ただしここで※-※としている。


投稿者:ASAさん - 2010/03/27(Sat) 16:10 No.8601

> "固有関数全体の空間" を全ての実固有値の固有関数が張る空間とすればOKですね。

  状態空間 ⊇ すべての実固有値の固有値方程式の一般解(から選んだ独立な関数の組)が張る空間 ⊇ 左の内、境界条件を満たすもの(=固有関数)が張る空間 だが
  状態空間 = すべての実固有値の固有値方程式の一般解(から選んだ独立な関数の組)が張る空間 = 左の内、固有関数が張る空間 とみなせる。ただし、※-※ としている。

投稿者:ASAさん - 2010/03/28(Sun) 13:09 No.8611

> "当該状態空間に属していないエルミット演算子の固有関数を使い、当該状態空間内の関数に対してエルミット性を満たすエルミット演算子で、エルミット性をチェックすると、必ずしも満足するとは限らない"なら話は通じ

   固有関数も固有値方程式の一般解も状態空間に属する。 
   固有値方程式の一般解は部分積分の項が0でないのでエルミート性の関係式を満たさない。ただし左記の任意の近傍にエルミート性の関係式を満たす関数がある。ただし、※-※としている。

>  エルミット演算子がエルミット性を満たすのは、当該状態空間内の関数に対しての話です。当該状態空間外のものに対してエルミット性が保証されているわけではない。普遍的なエルミット演算子なるものが存在している>わけでなく、ある演算子がエルミット演算子であるかどうかは、対象とする状態空間に依存する。

   状態空間は演算子ごとに変わるものではない。エルミート演算子の固有値の異なる固有関数は直交し完全系をなす。ただし、※-※としている。
   PS 普遍性が明白な例 I 恒等演算子 0 ヌル演算子


投稿者:ASAさん - 2010/03/29(Mon) 07:07 No.8619
>  前提とする空間は、常に固定しています(Gがエルミート演算子である空間)。

  状態空間 = すべての実固有値の固有値方程式の一般解(から選んだ独立な関数の組)が張る空間 = 左の内、固有関数が張る空間 とみなせる。
  ただし、※-※としている。


PS
※演算子が定義できない状態のいくらでも近傍に演算子が定義できる状態があり、前者を後者と同一視する。※

>投稿者:甘泉法師 - 2010/03/22(Mon) 19:18 No.8562
> ヒゲが何本か生えても気にしないずぼらさ、

=甘泉法師=

  投稿者:murak - 2010/04/11(Sun) 18:25  No.8770 
あくまで一般論としての補足

ヒルベルト空間論に基づき量子論を展開する立場では、ヒルベルト空間 $\mathcal{H}$ 全体を状態空間と考え、観測可能量(observable)はその上の自己共役作用素で表されると考える。一般に、有界でない自己共役作用素 $T$ については、その定義域 $D(T)$ は $\mathcal{H}$ 全体にはなり得ないが、その場合に、 $T$ の作用をその定義域以外で無理に考える必要は無い。(つまり状態空間の中には物理的に実現可能でない状態も含まれているのだと考える。)

作用素の定義域が $\mathcal{H}$ で稠密になっていれば、確かに $\mathcal{H}$ の任意の元を $D(T)$ の点列 $\{x_n\}$ で近似できるが、 $T$ が非有界であれば、 $x_n\to x_*$ であっても $Tx_n$ が収束しないような例が必ずつくれる(これがつまり、 $T$ が有界でないという事の意味。そのような $x_*$ に対する $Tx_*$ は $\mathcal{H}$ の内部では定義できない)。

その場合でも、その定義域に十分な注意が払われた自己共役作用素(つまり $\mathcal{H}$ で稠密な定義域をもつ対称作用素で $D(T)=D(T^*)$ となるもの)になっていれば、量子力学で必要とされるスペクトル分解と単位の分解が可能な事(量子論の通常の言い方では固有関数系の直交性と完全性)は数学的に保証されている。(その際、単位の分解は $\mathcal{H}$ 全体に対して可能であり、その表示の下では、 $T$ の作用は形式的に掛け算作用素の形をとる(これがつまりスペクトル分解という事)。しかし $D(T)$ に入っていない $x\in\mathcal{H}$ については、 $Tx$ のその形式的表示のノルムは有限確定値にはならない。)

  投稿者:ASA - 2010/04/11(Sun) 20:05  No.8771 
murak さんNo.8770
>Hで稠密な定義域をもつ対称作用素で D(T)=D(T*)
この条件のチェック方法はどのようにするのでしょうか?
具体例としては、単調増加でないF=x(x^2-k)/(x^2+k);(k→0でG=p)
f={(x^2-k)/(x^2+k)}^2 など



  投稿者:murak - 2010/04/11(Sun) 23:33  No.8772 
一般に実数値関数 $F(x)$ による掛け算作用素 $M_F$ は、その定義域における任意関数 $\varphi(x), \psi(x)$ に対して $\langle M_F\varphi,\psi\rangle=\langle\varphi,M_F\psi\rangle$ が成り立つので対称作用素である。従って、 $F(x)$ が本質的に有界であれば、それは作用素として有界になって自動的に自己共役である。本質的に有界でない $F$ の場合は、
<tex> D(M_F)=\{\varphi\in L^2(R)|\int|F(x)\varphi(x)|^2dx < \infty</tex>
とおいて $M_F$ の定義域を定義し、それが $L^2(R)$ において稠密になっていることを示す。(そして $D(M_F)=D(M^*_F)$ 、すなわち $D(M_F)\subset D(M^*_F)$ と $D(M_F)\supset D(M^*_F)$ を真面目に示す。)


  投稿者:ASA - 2010/04/12(Mon) 07:51  No.8773 
murak さんNo.8772
 回答ありがたいのですが、質問を誤解されているようなので補足します。
 作用素はG=((1/f)p+p(1/f))/2を前提にしてます。
 D(G)=D(G*)の具体的なチェック方法が核心です。
つまり、D(G)⊂D(G*)とかD(G*)⊂D(G)の関係をL2任意関数ψにおいて示す方法を具体的にお尋ねしたわけです。(いうところの対称要件をGが満たすことは、なんとなく判ります。ψ総当りでチェックするわけにはいかないですよね。)
 あと、本質的に有界とありますが、何をもって"本質的"とするのでしょうか?


  投稿者:ASA - 2010/04/12(Mon) 08:09  No.8774 
補足
 1/fはx=+-√kで発散で、<Gψ>,<G*ψ>もそれぞれ発散。D(G)=D(G*)={0}:実質空、従ってf={(x^2-k)/(x^2+k)}^2でのGは自己共役作用素でよいの?

  投稿者:murak - 2010/04/12(Mon) 09:00  No.8775 
失礼。単なる関数倍の作用素かと思ったので、あのように書いた。微分作用素を含む場合は、一般に、対称性を満たすような関数空間を定義域として(暫定的に)設定して自己共役な拡大の存在を示したりするようだが、先にも書いたように、特定の具体例について議論する能力は私には無いのでご了承願いたい。
(なお、「本質的に有界」とは「測度零の集合上を除いて有界」の意味。)

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/12(Mon) 14:37  No.8776 
こんにちは。

Re: 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか murakさん - 2010/04/12(Mon) 09:00 No.8775
>単なる関数倍の作用素かと思ったので、あのように書いた。
>(なお、「本質的に有界」とは「測度零の集合上を除いて有界」の意味。)

xの関数F(x)倍する演算子のお話、興味深く拝読しました。
理解を確かめるために質問させてください。

Re: 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか murakさん - 2010/04/11(Sun) 23:33 No.8772
一般に実数値関数  $F(x)$  による掛け算作用素  $M_F$  は、その定義域における任意関数  $\varphi(x), \psi(x)$  に対して
 $\langle M_F\varphi,\psi\rangle=\langle\varphi,M_F\psi\rangle$  が成り立つので対称作用素である。従って、  $F(x)$  が本質的に有界であれば、それは作用素として有界になって自動的に自己共役である。本質的に有界でない  $F$  の場合は <tex> D(M_F)=\{\varphi\in L^2(R)|\int|F(x)\varphi(x)|^2dx < \infty</tex> とおいて  $M_F$  の定義域を定義し、それが  $L^2(R)$  において稠密になっていることを示す。(そして  $D(M_F)=D(M^*_F)$  、すなわち  $D(M_F)\subset D(M^*_F)$  と  $D(M_F)\supset D(M^*_F)$  を真面目に示す。)
--------------------

本質的に有界でない演算子F(x)= e^(x^3) 
有限井戸の束縛状態の波動関数 ψ〜e^-κ|x| ∫ψ*ψdx=1  について

|Fψ|=+∞ (あるいは |F^1/2 ψ|=+∞?) なので 上記によれば 
ψはFの定義域にない。-----1)

オブザーバブルXの関数F(X)はオブザーバブルである。
Xの固有関数は全(物理的に現前できる?)状態空間を張る。
ψはxの固有関数で展開できる。...というかψ(x)自身が展開係数。もちろんψはXの定義域にある。
F(X)の固有関数も全状態空間を張る。
ψはFの固有関数で展開できる。-----2)

状態ψについてxを測定し、値 x0〜x0+Δx を得る確率は ∫[x0、x0+Δx] ψ*ψdx    
状態ψについてF(x)を測定し、値 F(x0)〜F(x0+Δx)を得る確率は同じく ∫[x0、x0+Δx] ψ*ψdx。単調増加なので表式は簡単。
ψはFの測定の情報を与える。-----3)

2)3) と 1) は矛盾しないのでしょうか。

=甘泉法師=

  投稿者:murak - 2010/04/12(Mon) 23:09  No.8777 
自己共役作用素 $A$ と関数 $F(x)$ から、自己共役作用素 $F(A)$ をつくることは確かに出来るが、その定義域は関数 $F$ の形に依存する。なので(詳しくは述べないが)矛盾ではない。
(なお、 $F$ が連続であれば、 $\sigma(A)$ を $A$ のスペクトルとするとき、集合 $\{F(\lambda)|\lambda\in\sigma(A)\}$ の(複素平面 $C$ における)閉包が $F(A)$ のスペクトルになることは正しく、また $F(A)=\int F(\lambda)dE(\lambda)$ という表示も可能だが、 $F(A)$ の測定値がある区間に落ちる確率を求めるにはスペクトル分解(と単位の分解)をやり直さなくてはならない筈。)

(あまり暇ではないので、これ以上のお付き合いは御容赦願いたい。)

  投稿者:冷蔵庫 - 2010/04/12(Mon) 23:52  No.8778 
ご無沙汰しています。冷蔵庫です。
まずはNo.8686のhirotaさんにお答えします。

>関数空間を工夫しても固有関数が直交しないんじゃメリットないのでは?
>それに関数を制限してヒルベルト空間の完備性やら定義域の稠密性やらが失われたら何もできないし・・。

演算子がエルミート性を持つように関数空間を決定するという話です。
その結果、その空間の基底は直交します。
ヒルベルト空間の完備性やら定義域の稠密性については、私はよく知りませんが、
それらが失われないような関数空間において演算子を定義する必要があるのかもしれません。

  投稿者:冷蔵庫 - 2010/04/13(Tue) 00:57  No.8780 
続きまして、No.8693の凡人さんにお答えします。

ASAさんは何と仰るか知りませんが、私は物理の議論をしているわけではありません。
エルミート演算子の定義に関してお話しているだけです。
もちろんエルミート演算子が量子力学において重要な役割を果たすことは言うまでもありませんが、
私の議論では、系のハミルトニアンは出てきません。
演算子の作用する関数も波動関数だとは言っていません。(ただ、そう解釈することは自由です)
単に、Gという演算子をエルミート演算子として定義するために必要なことを述べているだけです。
ですから、凡人さんが引用している私とASAさんの発言は別のことを言っています。
ただ、記憶違いでなければ、ASAさんも私の発言と同様のことを以前仰っていたような気がします。

また、量子力学の議論の中で、「ある演算子G(例えばハミルトニアン)がエルミートであること」が物理的な状況から要請されるならば、
関数空間へ制限を加えることが必要になることがあるかもしれません。
といっても大体は演算子x,pのエルミート性が保証されていることと
Gの固有関数で張られる空間を考えれば十分で、
さらに制限が必要になるような物理系の例を私は知りません。

それから、「手で課す」という言い方ですが、
「人間の都合で好き勝手に変えてしまう」というつもりで言ったのではありません。
「その条件は自動的に課されるわけではないので、人間が(必要に迫られて)課す」
といったニュアンスと思ってください。

  投稿者:hirota - 2010/04/13(Tue) 12:09  No.8781 
No.8721 で「ヒルベルト空間 $L^2(I)$ で作用素 $p=\frac{1}{i}\frac{d}{dy}$ が対称作用素でなく固有関数 $\exp(i\lambda y)$ も直交しないけど、
固有関数のうちで両端での値が等しい関数だけ取り出すと $L^2(I)$ の直交基底になっててヘンテコだ〜」と書きましたが、
これは作用素の定義域を「両端での値が等しい関数だけ」に制限すると解消されます。
それだけで $p=\frac{1}{i}\frac{d}{dy}$ が自己共役作用素になり、固有関数は離散的な直交基底となって、な〜んの異常もありません。
(いや〜定義域って大事ですね〜)

なんだか人為的な制限だな〜と思うでしょうが、これは開区間 I に 1 つだけ端点を追加して両端をつなぎ、ring にすると不自然ではありません。
ring 上の関数空間 $L^2(S^1)$ は、1 点があろうとなかろうと測度 0 の集合でどうなろうと影響ありませんから、
 $L^2(S^1)$ と $L^2(I)$ はヒルベルト空間として同じものです。
しかし微分作用素には大違い!
両端での値が違う関数は ring 上では不連続関数ですから、作用素の定義域に入らないのは当然!
てなわけで、めでたく解決!
なお、 $L^2(S^1)$ には平行移動不変性がありますが、これも運動量が意味を持つ事と対応してるみたいですね。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/13(Tue) 21:56  No.8783 
こんにちは。

>これは作用素の定義域を「両端での値が等しい関数だけ」に制限すると解消されます。

世界の端をくっつけて環にすれば、両端での値が等しい連続関数は連続な周期関数になり、フーリエ変換はフーリエ級数になる。 

この描像を世界の端がそのままの世界にも持ち込むと、2点、+∞、−∞のところでの値の食い違いに目をつむればすべての波動関数はフーリエ級数で展開できる、

 ということですね。その場合、2点での値は等しく{f(-∞)+f(∞)} /2、「電柱関数」のように規格化されていても極限値f(-∞)、f(∞)が存在しない関数の場合は,有界な台の上の関数におきかえることを許せば(台f)(-∞)= (台f)(∞)= 0 になります。


=甘泉法師=


  投稿者:凡人 - 2010/04/14(Wed) 22:56  No.8784 
冷蔵庫さん
>ASAさんは何と仰るか知りませんが、私は物理の議論をしているわけではありません。
>エルミート演算子の定義に関してお話しているだけです。
という事は、純粋に数学的な観点から論議をされているという事でしょうか?
もしそうであるならば、もう少し論理的・数学的に整理してからコメントをされるよう心がけたほうが良いと思いますし、
>ヒルベルト空間の完備性やら定義域の稠密性については、私はよく知りませんが、
>それらが失われないような関数空間において演算子を定義する必要があるのかもしれません。
とコメントをされる前に、これらの数学的な内容を確認されたほうが良いのではないかと思いました。

また、冷蔵庫さんが、
>「その条件は自動的に課されるわけではないので、人間が(必要に迫られて)課す」
とコメントをされたところの「条件」は、冷蔵庫さんがNo.8680にて、
>「固有値が実数である」というだけでは必ずしも十分ではなくて、
>境界条件を手で課してやらなければならない場合がある、ということです。
とコメントをされていたので、「境界条件」の事を指しているものと思っておりますが、具体例をご提示いただけませんでしょうか?
私がNo.8693にて、
>また、量子論は、多くの研究者の血の滲むような努力によって、量子現象をより正しく記述出来るように理論的な整備を行ってきたし、今でも理論的な整備は継続していると思っています。
>この事に思いを馳せれば、ASAさんや冷蔵庫さんの様に、具体的な内容を展開せずに量子論を評論するような真似は出来ないと思います。
と述べた事を今一度思い起こしていただけますと助かります。

  投稿者:hirota - 2010/04/15(Thu) 16:24  No.8785 
読み直してみたら、冷蔵庫さんの言ってる「演算子の作用する関数空間」てのは僕が書いてる「作用素の定義域」の意味だね。
「定義域」は状態空間で稠密でないと意味が無く、状態空間は完備なヒルベルト空間でないと意味が無いから、定義域を空間と見る考えはチートも浮かばなかった。
「稠密」は状態を固有関数で展開 (有限和で任意精度の近似) するのに必要で、
「完備」とは展開の収束を含めて (合理的な範囲で) 極限操作が自由に出来る事だから、コレがないと使い物にならない。

  投稿者: - 2010/04/17(Sat) 00:03  No.8788 
 多少専門的にやっているものなので、
いくつかコメントをしておきます。

(1)エルミート性と自己共役性について。
普通、数学ではエルミート性という言葉を使う時は、
有限自由度系を意図していることが多いです。
また、対称演算子のことをエルミート演算子としている本もありました。
そういう意味で、エルミートという言葉は
こういった厳密な議論をするときは避けたほうが無難です。

(2)固有関数について。
自己共役演算子には、必ずしも固有関数があるとは限りません。
しかしながら、実固有値によるスペクトラム分解は可能です。

http://elis.sigmath.es.osaka-u.ac.jp/~aida/lecture/21/self-adjoint2009.pdf

の定理23を参照のこと。
完全系などの議論は
正確にはスペクトラム分解の意味で考える必要があります。
大体、物理でやっているのと同様の議論ができるので
気にする必要性はほとんどありませんが。
少なくとも、数学的には、演算子が自己共役であるといえば、
その後の議論はすべて保障されています。
したがって、px+xpに関する議論の結論は上述のとおりで、
上述から外れる部分は何らかの問題があると思われます。

(3)自己共役作用素がヒルベルト空間全域で定義できないことについて。

こういったことは関数解析の世界ではよく知られたことではあります。
じゃあ、どこで定義されるべきであるかということを議論するには、
自己共役拡大の理論が必要になります。

http://www.math.tsukuba.ac.jp/~isozakih/lecture/Funct.Anal.2.pdf

この理論から予言されていることは、
自己共役作用素が満たすべき境界条件はユニークではないということです。
こういった自由度がアノマリーや繰り込みに関連しているという人や、
ブラックホールのエントロピーに絡んでるのではないかという人、
ファンデルワールスの状態方程式の源であるという人などさまざまいて、
現在も精力的に研究がなされています。

(4)半直線上のp演算子について
この系でp演算子をちゃんと定義できないということは、
すでに指摘されている事実です。
実は、半直線上での運動量測定に相当する実験系が存在し、
その意味で重要な問題で何人もの人が解決法を議論していますが、
いまだに一定の見解に到達していません。
僕が一番最近に見たのは、
一直線をZ_2で割ったものであるとして
正値測定を定義するというものでした。

  投稿者: - 2010/04/17(Sat) 00:26  No.8789 
境界条件については、

http://www.kochi-tech.ac.jp/~cheon/linepoint/linepoint001.html

などが初等的で読みやすいかもしれません。
境界条件も結局は自己共役拡大の理論に帰着されます。

ASA氏、No.8773のメッセージに関してですが、

http://www.math.tsukuba.ac.jp/~isozakih/lecture/Funct.Anal.2.pdf

の10頁に実数上でどうやるかが書いてあります。
これを参考にすればいいと思います。

  投稿者:ASA - 2010/04/17(Sat) 07:37  No.8791 
あさんNo.8789
より前のmurakさんNo.8642に対する質問に関してるのですけど
ASA No.8654 >この定義に基づくと、議論のp一次についても、なんらかの自己共役拡張方法が必要なんじゃないですか?

ご紹介の10頁にある補題4.11をみるとzの二次微分ですし、また定理4.12をみるとT=-∂x^2+V(x)と2次微分ですし、さらに次の定理4.13でも-u''=fと2次微分です。p一次だと、1階微分の存在だけで2階微分の存在や連続などが条件になってない気がするのですよね、だからチェック方法としても違うのでは(条件が1つだと、条件2つよりより広い範囲をチェックしなければならないと考えます)?
 よろしかったら、p一次の自己共役拡張方法について解説してください。

  投稿者: - 2010/04/17(Sat) 20:02  No.8792 
ASAさん。
一回微分に関しては

http://www.math.tsukuba.ac.jp/~isozakih/lecture/Funct.Anal.2.pdf

のp24以降にのってます。ご参考のほどを。

  投稿者: - 2010/04/17(Sat) 20:28  No.8793 
甘泉法師さんのNo.8243についてコメントしておきます。

>オブザーバブル=固有ベクトルが完全系をなす、
>ここで完全系とは ∫de または Σe |e><e|=1 のこと、

とありますが、これがそもそも自己共役演算子についてはいえません。 

http://elis.sigmath.es.osaka-u.ac.jp/~aida/lecture/21/self-adjoint2009.pdf

の定理23を参照のこと。
解説すると、射影演算子の測度 $\mathrm{d}P_e$ を用いて、

 $H=\int e \mathrm{d}P_e$ 
 $\mbox{1}\hspace{-0.25em}\mbox{l}=\int \mathrm{d} P_e$ 

とかけますが、

 $P_e=\left|e \rangle\langle e \right|$ 

となるような $|e \rangle$ の存在は保証しません。
実際、このような $|e \rangle$ が存在しなくても、
期待値が実数になるといった議論は可能ですのでまったく問題ありません。

ちなみに、 $L^2(\mathbb{R})$ には自由粒子の固有関数は存在しませんが、
上述の意味で、スペクトラム分解ができ、
固有値が実数であることや、
時間発展がユニタリーであることが議論できます。

  投稿者: - 2010/04/17(Sat) 21:06  No.8794 
補足

誤解を招きそうな表現でしたが、
実は $P_e$ の存在も保証されてません。
 $P_e$ そのものではなく、
ある実数の区間 $(a,b]$ に対して $P_{(a,b]}$ が定義され、
これより、ルベク測度 $\mathrm{d}P_e$ が定義されるという構造です。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/17(Sat) 21:22  No.8795 
こんにちは。


>これがそもそも自己共役演算子についてはいえません。

先に記したのは自説でなく定説だと理解してました。
量子力学、完備関係式 で検索したページからたとえば
 
http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/Dirac-4.PDF
ディラックを読む  (10)式

http://www.geocities.jp/fukunaga_masaru/text/jj_linux/node3.html
つまり、エルミート演算子の固有ケットは次の完備関係式を満たす。
定義 1.5 (完備関係式(クロージャー)) .

http://www-lab15.kuee.kyoto-u.ac.jp/~zaki/kenkyu/1r.pdf
完備関係式(24)

これらは誤りでしょうか。わたしの読み方の不注意でしょうか。


 オブザーバブル
 エルミート演算子 自己共役演算子
 完備関係式

これらは同じことと信じて疑わなかったのですが... 違ってもそれは「数学」で「物理」に影響しない..とはいえませんか。



>期待値が実数になるといった議論は可能ですのでまったく問題ありません。

 期待値(多数の観測の平均値)の前に、個々の観測ができるかが気になります。

> Pe=|e><e|となるような |e>の存在は保証しません。

 完備関係式を満たさないならば、|e>では展開できない状態がある すなわちどんな状態についてもEを観測して値を得ることができる=オブザーバブル でないことになりますね。 ご主張を以下のように理解してよろしいでしょうか。

すべてのオブザーバブルは自己共役演算子であるが
自己共役演算子であってオブザーバブルでないものがある(ぜひ例を知りたいです)


=甘泉法師=

  投稿者: - 2010/04/17(Sat) 22:14  No.8796 
甘泉法師さん

 1について。
提示されたページは、
自己共役演算子に関しての記述としては間違っています。
いずれのページも数学者が書いたものではなく、
したがって、このような誤解があっても仕方ないと思います。
 また、

>違ってもそれは「数学」で「物理」に影響しない..とはいえませんか。

とおっしゃっている通り、
た、物理屋が量子力学を応用して使う分には
問題が出ない程度の誤謬だと思います。
 ただ、ここで行われているような基礎的な議論を行うのには、
不適当な内容だと思います。

 また、完備関係式は、
 $\mbox{1}\hspace{-0.25em}\mbox{l}=\int \mathrm{d} P_e$ 
が対応しております。

 2について。

>期待値(多数の観測の平均値)の前に、
>個々の観測ができるかが気になります。

射影測定は可能です。
 $P_{(a,b]}$ は定義されているので。
たとえば、 $x$ 演算子の測定は
 $\int^a_b x |\Psi|^2 \mathrm{d}x$ 
のように定義している本があると思われますが、
このような定義にすべて改変すればいいということになります。



>完備関係式を満たさないならば、|e>では展開できない状態がある

そもそも、 $|e\rangle$ が定義できません!
また、 $\mbox{1}\hspace{-0.25em}\mbox{l}=\int \mathrm{d} P_e$ 
が完備関係式と同様の働きをします。

>すなわちどんな状態についてもEを観測して値を得ることができる
>=オブザーバブル でないことになりますね。

 そもそも、等式が成り立ちません。
たとえば、自由粒子ですら、
エネルギーが発散する $L^2(\mathbb{R})$ の元の存在を
容易に示すことができます。
  $H$ の定義域にある状態について、
観測して値を得ることができる=オブザーバブルという定義なら
問題はないと思われます。
 その場合、 $<H>$ は状態がHの定義域にあるのならば
問題なく値を得ることができ、
上述の意味で、オブザーバブルです。



  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/17(Sat) 23:00  No.8797 
 こんにちは。

 当方、ディラックの教科書以上の数学議論は未経験で深いご教示には沈黙せざるを得ません。

> ただ、ここで行われているような基礎的な議論を行うのには、
>不適当な内容だと思います。

 わたしの今の関心はpとxからなり見た目明らかにエルミートの演算子、{f(x)g(p)+ f(x)g(p)} とか、の異なる固有値の固有関数は直交し、全体で完全系をつくるか? ですが、それは「ここで行われているような基礎的な議論」を経ないとなんともいえないものなのでしょうか。

>射影測定は可能です。
>そもそも、  $|e\rangle$  が定義できません!

 ディラック式の、測定と固有状態がペア、との固定観念から離れがたく、「固有状態の定義できない演算子」といわれると途方にくれてしまいます...。

>たとえば、自由粒子ですら、
>エネルギーが発散する  $L^2(\mathbb{R})$  の元の存在を
>容易に示すことができます。

 具体を考えれば糸口がつかめるかもしれません。 この元の例をみせてもらうと助かります。

>   $H$  の定義域にある状態について、
> 観測して値を得ることができる=オブザーバブルという定義なら

   $H$  の定義域にない状態が 物理的に実現しないならわかりますが
   $H$  の定義域にない状態が物理的に実現するならば、その状態のEを測定する(測定行為はできますよね)といったいどうなるのか、...と想像が尽きません。 

=甘泉法師=

  投稿者: - 2010/04/17(Sat) 23:20  No.8798 
甘泉法師さま。

>当方、ディラックの教科書以上の数学議論は未経験で深いご教示には沈黙せざるを得ません。

提示した参考文献を読めば、
大体のあらすじはつかめるかと思います。

>pとxからなり見た目明らかにエルミートの演算子、
>{f(x)g(p)+ g(p)f(x)} とか、
>の異なる固有値の固有関数は直交し、全体で完全系をつくるか?

とありますが、それ以前にp^2ですら複雑な議論が必要になります。
 また、pとp^2が同じ定義域を持つかということも
自明な問題ではありません。
 このことは、古典的には両立可能に見える二つの演算子が、
量子的にはかたっぽだけしか物理的な意味をも多内ということです。
このことは、逆に物理的には喜ばしい側面もあります。
古典的には系が持っている対称性が量子効果により破られることが
知られていますが、
このことを理解する手がかりになるという議論があります。

>ディラック式の測定と固有状態が分かちがたい固い頭で、
>「固有状態の定義できない演算子」といわれると
>途方にくれてしまいます...。

再掲になりますが、
 $L^2(\mathbb{R})$ 上に、p^2の固有関数は存在しません。
このことを言っています。

>具体を考えれば糸口がつかめるかもしれません。
>この元の例をみせてもらうと助かります。

たとえば、

 $\psi(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{n} \exp (-x^2 + \mathrm{i}n x)$ 

は二乗可積分で $L^2(\mathbb{R})$ の元ですが、
 $\frac{p^2}{2m}\psi(x)$ は二乗可積分ではありません。

  投稿者: - 2010/04/17(Sat) 23:29  No.8799 
甘泉法師さん。
お答えしてない分があったので返答差し上げます。

$H$ の定義域にない状態が物理的に実現するならば、
>その状態のEを測定する(測定行為はできますよね)といったいどうなるのか、>...と想像が尽きません。

ヒルベルト空間の元としてはあるということは私は申し上げましたが、
そのような状態が実験系で達成可能であるかはまた別問題だと思います。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/17(Sat) 23:42  No.8800 
こんにちは。

元の例を教えていただきありがとうございます。
これから考えてみますが、その前に

>  $L^2(\mathbb{R})$  上に、p^2の固有関数は存在しません。 

pの固有関数 1/√2π e^i(p-p0)x/h' も
xの固有関数 δ(x−x0)も 二乗可積分でない
そんな乱暴な議論を常日頃している身ですが、噛みあっていますでしょうか。

=甘泉法師=



  投稿者: - 2010/04/17(Sat) 23:49  No.8801 
甘泉法師さん。

その二つはもちろん二乗可積分ではなく、
Hilbert空間の外にあるものです。

  投稿者:kafuka - 2010/04/18(Sun) 00:41  No.8802 
科目履修生を1年習っただけの素人ですが、量子基礎論に興味を持っておるものです。
僕は、
「個々の観測値は、固有値のいずれかの1つに一致する」が原則で、
したがって、固有関数がなければ観測できない(ノイズしか得られない)
と思っていたので、
>期待値が実数になるといった議論は可能
ということ、目から鱗です。
ところで、スペクトル分解なのですが、僕の持っている本では、
射影演算子は、|p><p|や|e><e|とか書いてあります。が、
>そもそも、  $|e\rangle$  が定義できません!
  $H=\int e \mathrm{d}P_e$ 
  $\mbox{1}\hspace{-0.25em}\mbox{l}=\int \mathrm{d} P_e$ 
これで、前にMurakさんに教えて頂いた話や、アイシャムの本にある
「ヒルベルト空間の完備化にはルベーグ積分が必要」ということ
が納得できました。

それから質問ですが
>半直線上のp演算子
の問題は、ASAさんや甘泉法師さんの議論でもわかりましたが、
有限開区間でのp演算子にも同様の問題は、ありませんか?
実験系で言えば、非常に深い量子井戸でのp演算子です。
ずーと前に終わった議論なので、参考までに書くのですが、
この場合のpのスペクトルが、
パウリの本(2本のδ関数)とランダウの本(連続スペクトル)とでは違っています。

  投稿者: - 2010/04/18(Sun) 01:45  No.8803 
 kafukaさん。
質問に答えたいのですが、
パウリとランダウの本は手元にないので……。
簡単にまとめていただけるとありがたいかと。
 ただ、こんな感じではないかなと想像して議論すると
いかのようになります。

 井戸の中でのp演算子ですが、
どこで定義されているかということで様相がかなり変わります。
つまり、
 $L^2(\mathbb{R})\cap C^1(\mathbb{R})$ が定義域の微分演算子と考えるのか、
 $L^2(\mathbb{R})\cap C^1(\mathbb{R}-{-l,l})$ の微分演算子と考えるのか。
たとえば、前者ですと、
連続スペクトラムの展開とみなせるような議論となりますし、
後者ですと、離散スペクトラムの展開とみなせる議論となります。

 重要なのは、ナイーブには運動量演算子でも、
定義域が異なると異なる演算子であり、
したがって、異なるスペクトラム展開となるということです。

 したがって、パウリ、ランダウの議論に差があるのは、
(定義域が)異なる運動量演算子を考えているからだと思われます。

  投稿者: - 2010/04/18(Sun) 01:49  No.8804 
訂正

13行目は、

 $L^2(\mathbb{R})\cup C^1(\mathbb{R}-\{-l,l\})$ 

の誤りです。

  投稿者:ASA - 2010/04/18(Sun) 07:01  No.8806 
あ さん No.8792
 もしかして、質問の内容を取り違えて受け取られたかも。
 ご紹介の箇所は、先の投稿前にざっくり目を通したのですが、
"微分作用素−id/dx に境界条件を課したものの自己共役性" とあります。
問題にしているのは、一次微分を含んだ対称作用素:G=((1/f)p+p(1/f))/2+h;f,h:実関数(とりあえずh=0)での自己共役性です。
fに依存するのでどうなのかなというのが質問の核心です。
hirotaさんが、F'=fでFが単調増加関数の場合は、マッピングにより議論を行なってましたが、Fは単調増加とは限らないし、一般の場合どうなるのかという話です。

  投稿者: - 2010/04/18(Sun) 07:29  No.8807 
ASAさん。

http://www.math.tsukuba.ac.jp/~isozakih/lecture/Funct.Anal.2.pdf

の24ページ以降の議論と同様にやればできると思います。

大体のロードマップは、
p21以下の議論に習って不足指数を計算し(p24以降でもやっています)
自己共役拡大があるかどうかをチェックします。
次に、
 $\langle \psi | G \phi \rangle=\langle G \psi | \phi \rangle$ 
を満たす定義域を探します。
その後、その定義域が過不足ないかを証明します。

繰り返しますが、すべてのプロセスはp24以降の内容と
同様に行えます。

  投稿者: - 2010/04/18(Sun) 07:35  No.8808 
ちなみに、僕が計算しないのは、単純にめんどくさいからで、
どこが定義域の関数を考えているのか(線分、半直線、直線、etc)、
 $f$ の形はどうなっているのか、で結論が変化すると思われます。
まぁ、 $G\psi=E\psi$ は明らかに解けるので、
半日あれば結論が得られると思いますよ。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/18(Sun) 09:03  No.8809 
こんにちは。

>Re: 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか あ さん - 2010/04/17(Sat) 23:49 No.8801
> その二つはもちろん二乗可積分ではなく、
> Hilbert 空間の外にあるものです。

再掲
>投稿者:甘泉法師 - 2010/03/30(Tue) 23:42 No.8652
>ディラックの直観的ユルさです。 Hilbert 空間から派生したRigged Hilbert SpaceとかGelfant’s triplet とか私は名前しか知らないもので基礎付けられるようですが、ディラックのδ関数とそう違わないものと勝手に信じています。
 
どうも物理が考えているのはH空間そのものではないようです。
参考 wikipedia http://en.wikipedia.org/wiki/Rigged_Hilbert_space

残念ながらわたしは議論できるほどどちらの空間についても詳しくありません。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2010/04/18(Sun) 09:11  No.8810 
あ さんNo.8807
>同様にやればできると思います。
同様にやるというのがわからないのですよ。
ざっと見では、不足指数の計算方法が理解できません。
p24以降では、
1. 有界区間で、いきなり作用素Lの定義域が作用対象uの境界条件と共に与えられます。
 後の補題部分では、部分積分を使用してますけど、uの境界条件だけでなく作用素Gの場合には、構成要素のfに全面的に依存しますよね。ですから、同様にやるというのが理解できないのですよ。
2.半無限区間で、1.と同様で境界条件が違う
3.直線全体でいきなり定義:D(L)=H1(R),Lu=-iLu';証明は演習
となっていて、つまり、辻褄が合うように定義すれば、作用素は自己共役ということですから、まず、様様なfにおいて作用素Gでどのように定義域(作用域)と作用対象uの境界条件を設定すれば辻褄が合うのかということが不明なのですよ。

>fの形はどうなっているのか、で結論が変化すると思われます。
ですから、作用素Gにおいて、fによる何らかのクラス分けが結果的に得られると思いますが、そのやり方について教えて欲しいわけです。
(1/fを(x-an)^nと展開しておくのですかね?)

ちなみにGの固有関数uは、u=(√f)e^(iλF)という形してます(従来ではEの代わりにλを使用してます)。

  投稿者: - 2010/04/18(Sun) 10:15  No.8811 
甘泉法師さん

Rigged Hilbert Spaceには詳しくないのでコメントは差し控えますが、
この手の議論を散乱状態まで拡張するとなると、
Hilbert空間論をはみ出すというのはその通りだと思います。
せっかくですので、wikipediaの参考文献

http://arxiv.org/PS_cache/quant-ph/pdf/0502/0502053v1.pdf

でも呼んでみることにします。

ASAさん。

では1ページ目から読んでください。
このノートは自己共役拡大のやり方を過不足なく書いていますので。
この手法は任意の演算子に適応可能です。

もう少し詳しく説明すると、考える空間を $\mathbb{X}$ とおくと、
 $G$ の定義域として、 $H^1(\mathbb{X})$ の部分空間で、
 $\mathbb{X}$ の境界で関数の値がゼロであるような空間を採用します。
 $D(G)$ と置きます。

補題8.1以下のステートメントは微分を $G$ に置き換えてください。
もちろん、そのまま成立するかどうかはチェックが必要です。

 不足指数 $n_\pm$ は

 $G^* \psi = \pm \mathrm{i} \psi$ 

の線形独立かつ二乗可積分な解の数で与えられます。
まぁ、 $G^*$ の $\ ^*$ はあまり気にせず、
 $G$ と読み替えてといてください。
どの解が可積分になるかは $f$ と系のトポロジーによって変化します。
 $n_+=n_-$ ならば自己共役な拡張が存在しますが、
なければありません。

  $D(L_\zeta)$ に相当する境界条件は、

 $\langle \psi | G \phi \rangle-\langle G \psi | \phi \rangle = - \frac{2\mathrm{i}}{f} \psi^* \phi |_{boundary}=0$ 

より、求めることができるはずです。

  投稿者:kafuka - 2010/04/18(Sun) 10:55  No.8812 
>あさん
Resありがとうございます。
前の議論を簡単にまとめると、
大学に入って最初に習う「箱の中の粒子」の場合で、
ψ(x)は、パウリの本もランダウの本とも同じで、
ψ(x)=Aexp(-ip0x/h')+Aexp(ip0x/h')   ただし、ψ(x)はx< -lで0、x> +l で0   ・・・(1)
で、パウリの本やたいていの本は、運動量は、+p0と-p0の重ね合わせ
したがって、ψ(p)は、δ(p-p0)+δ(p+p0)   ・・・(2)
しかし、これの逆フーリエ変換は、(1)にならない
そこで、x軸が-lから+lの輪になっていると考え、
(たぶん、HirotaさんのNo.8781の方法かな?)
(2)の逆フーリエ変換は、その中にすっぽりはいる とすることにより、
TOSHIさんが解決しました。
つまり、 井戸の中でのp演算子を、  $L^2(\mathbb{R})\cup C^1(\mathbb{R}-{-l,l})$  の微分演算子と考え、
離散スペクトラムの展開とみなしていると思います。

一方ランダウの本は、
 $L^2(\mathbb{R})\cap C^1(\mathbb{R})$  が定義域の微分演算子と考え
連続スペクトラムの展開とみなす議論です(と思います)
その結果、ψ(p)は、δ関数の和でなく、連続関数となります。
しかし、これは、ψ(p)の高次分散が、4次以上で発散するので誤りであり、パウリの本の方が正しいとされました。

で、僕の疑問なんですが、、、
4次以上で発散するのは、単純にフーリエ変換をとっているためで、
つまり、ψ(x)とψ(p)の関係が、単純にフーリエ変換の関係になるのは、
|ψ>=∫|x><x|ψ>dx  ・・・(3)
<p|ψ>=ψ(p)=∫<p|x><x|ψ>dx=∫ψ(x)<p|x>dx
<p|x>を計算すると、ψ(p)=ψ(x)のフーリエ変換
ということですが、
>そもそも、  $|e\rangle$  が定義できません!
し、(3)があやしい
ということなので、xに射影する射影演算子をξ(x)とすると、
   $H=\int e \mathrm{d} \xi(e)$ 
   $\mbox{1}\hspace{-0.25em}\mbox{l}=\int \mathrm{d}  \xi (e)$ 
の類推で、
|ψ>=∫|ψ>dξ(x)
としないといけない。したがって、
形式上<p|ψ>=ψ(p)は、∫<p|ψ>dξ(x)=∫ψ(p)dξ(x)
僕の力では、これ以上 進めませんが、
単純なフーリエ変換にならないような気がするのです。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/18(Sun) 11:03  No.8813 
こんにちは。 



>  $\psi(x)=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{n} \exp (-x^2 + \mathrm{i}n x)$  は二乗可積分で  $L^2(\mathbb{R})$  の元ですが、
 $\frac{p^2}{2m}\psi(x)$  は二乗可積分ではありません。

 あ さん ありがとうございます。

 ψ(x)のフーリエ変換 ψ(k)=1/√2 Σ1/n exp { -1/4 (k-n)^2 } 偶関数。 k=nを中心とするガウス波束の重ね合わせですね。
 対称性からkの1乗の期待値は0ですが、以下のように平均2乗誤差は∞ととりちらかります。重みが1/nなので kの2以上の偶数乗の積分は発散することがわかります。物理として受け入れて問題ないと思うのですが...。

> また、pとp^2が同じ定義域を持つかということも
> 自明な問題ではありません。

Pを観測する装置とP^2を観測する装置を別々につくる必要はなく、
Pを観測する装置での観測値を電卓で2乗するだけでP^2の観測値が得られる。
ことを考えると、同じ定義域を持たないことのほうが不自然に思われます。


 Hilbert空間  定義域は2乗可積分の関数
 Rigged Hilbert空間 定義域は2乗可積分の関数に限らない
が両空間の違いのひとつでしょうか。
 先の発言での運動量固有関数、位置固有関数はδ関数という2乗可積分でない関数ですが、
 散乱状態でない、Hilbert空間での2乗可積分な運動量固有関数、位置固有関数とはどんな式なのか興味があります。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2010/04/18(Sun) 11:10  No.8814 
あさん No.8811
更に疑問が湧いてしまいました。
不足指数 n+- は、無限大とかでもよろしいのでしょうか?
(このような場合でも自己共役な拡張が存在がユニークであることが保証されてる?)

また、境界条件は、 ψ*φ/f|[-∞,∞]=0とのことですが、
∞で0収束のf=-2xe^(-x^2):F=e^(-x^2)のようなものの場合は、具体的にどのような境界条件を与えたらよいのでしょう?
(例えばψ(∞)*φ(∞)=0で、ψ(∞)*φ(∞)/f(∞)がうまく定義できるの?)

>fと系のトポロジーによって変化します。
 作用因子の構造と披作用空間のトポロジーとの関係について、詳しくないので具体例をもって説明いただけると助かります。


  投稿者: - 2010/04/18(Sun) 11:14  No.8815 
kafukaさん

問題意識がよくわからないのですが、
二通りのpがあったとして問題はないと思います。
また、高次分散が発散することにはまったく問題はないと思います。
たとえば、 $H\psi$ が二乗可積分であっても、
 $H^2\psi$ が二乗可積分でないヒルベルト空間の元は無数にあります。

甘泉法師さん

物理としては問題ありませんが、
細かい議論をする際はこのあたりをちゃんと考える必要性が出てきます。

  投稿者: - 2010/04/18(Sun) 11:26  No.8816 
ASAさん。

不足指数ですが、線分、直線、半直線の場合は有限ですよ。

>(例えばψ(∞)*φ(∞)=0で、ψ(∞)*φ(∞)/f(∞)がうまく定義できるの?)

これについては、
 $\int \mathrm{d}x |G\psi(x)|^2<\infty$ といった条件から、
うまく定義できます。

トポロジーによって変化するといってるのは、
状態空間を線分や直線、半直線と変えていくと
変化するという意味です。

まぁ、参考文献を読んでください。
高々30ページに満たないですから。
これ以上の説明は、参考文献のコピペに終始することになるでしょうし。

  投稿者:ASA - 2010/04/18(Sun) 11:26  No.8817 
No.8814 への補足
 あさん紹介のものを、つらつら見るとL2の要素ψに対して、超関数論的な意味(sobolev空間)でψ'がL2要素になっているから、pで自己共役とみえるのですが誤解でしょうか?
 GψがL2要素にない場合の具体的な作用域とか境界条件の設定方法を示してないようにみえるのですよ。

  投稿者: - 2010/04/18(Sun) 11:31  No.8818 
ASAさん。
まず、

>ψ'がL2要素になっているから、
>pで自己共役とみえるのですが誤解でしょうか?

とありますが、半直線上で、pは自己共役ではありません!

>GψがL2要素にない場合の
>具体的な作用域とか境界条件の設定方法を
>示してないようにみえるのですよ。

おっしゃるとおりで、Hilbert空間の範囲でしか考えていません。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/18(Sun) 11:32  No.8819 
こんにちは。 

kafukaさん

>しかし、これは、ψ(p)の高次分散が、4次以上で発散するので、
>棄却されました。

しかし、それでは有限井戸ポテンシャルの束縛状態の解もψ(p)の高次分散が、6次以上で発散するので、棄却せねばなりません。 発散のもとは square shape、直角です。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2010/04/18(Sun) 11:41  No.8820 
あさん No.8816
>不足指数ですが、線分、直線、半直線の場合は有限ですよ。
この表式の作用素Gだと、一階の微分からなるので有限でしょうね。
(G=(fe^(p^4)+e^(p^4)f)/2だと解の数が無限になりそうな気がしますが)

>といった条件から、うまく定義できます。
(Gψ,Gφ)<∞が存在しない場合は(ψ,φ=0以外)?

>とありますが、半直線上で、pは自己共役ではありません!
 ええ、ですから、変域xとの関係で辻褄が合う適切な境界条件が設定できない場合ですよね。

  投稿者: - 2010/04/18(Sun) 11:48  No.8821 
ASAさん。

二つとも仮想の範囲なのでなんとも。

とりあえず、前半ですが、実際に解の数が無限になるかどうかを
チェックしてください。

後半ですが具体的にどのようなGのことなのでしょうか。
ご提示をお願いします。

  投稿者: - 2010/04/18(Sun) 11:58  No.8822 
ASAさん。
最後のご質問を見落としてました。
これは、適当な境界条件がないということもできますし、
欠陥指数が等しくないから不可能であるということもできます。

強調しておきたいことは、前者を直接証明することはなく、
後者を証明して前者を証明したことにするということで、
後者のほうが本質的な内容を含んでるといえます。

  投稿者:ASA - 2010/04/18(Sun) 12:02  No.8823 
あ さん No.8821
F=tan(kx)^2のGなどは?

  投稿者: - 2010/04/18(Sun) 12:02  No.8824 
No8811ですが、任意の演算子に適応可能という主張をしていますが、
これはあきらかに誤りですので訂正します。
適応範囲は紹介したノートに書いてありますので、
ご確認ください。

  投稿者: - 2010/04/18(Sun) 12:09  No.8825 
ASAさん。

周期的に0点を持つ関数のなす空間を考えればよいかと。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/18(Sun) 12:10  No.8827 
 こんにちは。

>半直線上で、pは自己共役ではありません!

 動径方向の運動量のエルミート性についてはディラックの教科書で昔ならいましたが、Web上でも

前野先生の日記
http://homepage3.nifty.com/iromono/diary/200501A.html
■2005.1.14
★間違えた〜〜〜〜
★量子力学講義録訂正
 11回について、とりあえずの直し。

に解説があります。この書き直しでまだ決着していないのでしょうか。

=甘泉法師=

  投稿者: - 2010/04/18(Sun) 12:15  No.8828 
甘泉法師さま

この方法でも、 $p_r$ は自己共役ではないので。
 $p_r^2$ は自己共役ですが。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/18(Sun) 12:29  No.8829 
こんにちは。


Dirac §38 (59) からの帰結 演算子 - ih'd/dr - ih'r^-1
は明らかに自己共役ですが、これで問題ありということでしょうか。確認です。


これは3次元空間で、ですが、前野先生の解説のように2次元空間についてが問題なのでしょうか。

=甘泉法師=

  投稿者: - 2010/04/18(Sun) 12:33  No.8830 
甘泉さん

1

Diracは所持していないので、話の流れを教えていただけると助かります。
ただ、半直線上における提示された演算子は自己共役ではありません。

2

rの空間が半直線であるというのが問題です。
ですから、二次元だろうと三次元だろうと自己共役ではありません。

  投稿者:kafuka - 2010/04/18(Sun) 13:35  No.8831 
>あさん
No.8812 を訂正しました。
>高次分散が発散することにはまったく問題はないと思います。
了解です。
>二通りのpがあったとして問題はないと思います。
p演算子の定義域の取り方によっては、
パウリ本とランダウ本、二通りのψ(p)があったとして問題はない という意味でしょうか?
現実(非常に深い量子井戸)では、どちらかだと思うのですが、、、

>甘泉法師さん
有限ポテンシャル井戸のことは忘れていました。すみません。
じゃ、ランダウの本のψ(p)を、あやまりとする理由はないのでは?
それから、
>Pを観測する装置での観測値を電卓で2乗するだけでP^2の観測値が得られる。
というのは、おかしいと思います。
仮にp=-ih'∂/∂x と置くと、p^2=-h'^2 ∂/∂x∂/∂x=-h'^2∂2/∂x2
です。
で、-h'^2∂2/∂x2に(固有関数があれば)固有値は=観測値になりますから、
この値は、-ih'∂/∂x に(固有関数があれば)固有値(=観測値)の2乗とは、一般には異なると思います。

  投稿者: - 2010/04/18(Sun) 14:23  No.8832 
kafukaさん。

現実の運動量がどっちのものであるかは、
どういう測定装置を考えているかによると思います。
それは、数学的な議論からはまったくわかりません。

ぶっちゃけ、われわれが現実的に測定しているのって、
準位が遷移する時に放出される電磁波の波長とかでしょ?
電子顕微鏡とか、電磁波ぶっつけて位置を測るって手もありますが、
pを直接測定するってとき、どうしますか?


  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/18(Sun) 14:27  No.8833 
こんにちは。

あ さん

> Diracは所持していないので、話の流れを教えていただけると助かります。

§38 中心力場の運動 から

H=1/2m (px^2 + py^2 + pz^2) + V

r=(x^2 + y^2 + z^2)^1/2

[r,px]=x/r [r,py]=y/r [r,pz]=z/r

pr = r^-1 (x px + y py + z pz)  [r,pr]=1

pr* = pr - 2ih'r^-1  エルミートでない

pr - ih'r^-1 はエルミートで交換関係も満たす。

H=1/2m (1/r pr^2 r + k(k+h')/r^2 ) + V

pr=-ih'd/dr

とこんな感じです。

> ただ、半直線上における提示された演算子は自己共役ではありません。

上記の場合は極座標をつかったから r>0 ですが、お話は真に空間が途切れている半直線
なんでしょうか。

kafukaさん

>仮にp=-ih'∂/∂x と置くと、p^2=-h'^2 ∂/∂x∂/∂x=-h'^2∂2/∂x2
です。

 同じことを運動量空間で考えると 単に固有値との積を2回にするだけです。
 
 P|p>=p|p>
 P^2 |p>=P(p|p>)=p^2|p>

どちらの空間で考えても等価ですからこちらのほうが簡単に考えられるのではないでしょうか。

>じゃ、ランダウの本のψ(p)を、あやまりとする理由はないのでは?

 ありません。 有限無限にかかわらずSquare shape のおもちゃ性を認識して注意深く使うなら。

=甘泉法師=

  投稿者: - 2010/04/18(Sun) 14:37  No.8834 
甘泉法師さん

大体の流れはわかりました。
その上で言と、
交換関係や代数関係でどうのこうのという議論以上のことが、
自己共役性を議論する際には必要なのです。

そのような議論を適応させますと、
真に空間が途切れている場合であれ極座標であれ、
 $p_r$ は自己共役になりません。

こういった話はマニアック量子力学の世界ではよく知られていまして、
確か、シッフの教科書に言及されていたと思います。
古典といわれるテキストには、
たまにびっくりするような間違いがあったりします。

(シッフはシッフでベリー位相に関する記述が間違っていたと思います)

  投稿者:kafuka - 2010/04/18(Sun) 15:20  No.8836 
>あさん
運動量自体の測定は難しいと思いますが、量子細線での結果を見たことがあります。

>現実の運動量がどっちのものであるかは、どういう測定装置を考えているかによると思います
物理量に対する「状況依存性定理」は、知っていましたが、ψにも状況依存性が
あるのですね。

甘泉法師さん
>単に固有値との積を2回にするだけ
了解です。すみません。
ただ、もし|p>が定義できなければ、
固有値はありませんから、「固有値との積を2回にする」のは意味を持たない
ですね。

  投稿者: - 2010/04/18(Sun) 15:45  No.8837 
kafukaさん。
状況依存性(contextualityのことですよね?)とはまた違うと思いますよ。
単純に測定器の問題ですから。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/18(Sun) 18:56  No.8838 
こんにちは。

>古典といわれるテキストには、
>たまにびっくりするような間違いがあったりします。

Dirac §38 (59) からの帰結 演算子 - ih'd/dr - ih'r^-1
前野先生のHPによるとメシアも同じことを別の表現で
 Pr=r^-1 (- ih'd/dr) r   
この形だと 
 Pr^m = r^-1 (- ih'd/dr)^m r もすぐにわかります。

Diracの
H = 1/2m (1/r pr^2 r + k(k+h')/r^2 ) + V
の表式はメシアのエルミートなPrでは
H = 1/2m (Pr^2 + k(k+h')/r^2 ) + V
 動径方向の運動量 と 球面上の運動量にきれいにあらわせます。

ランダウもこのPrを導入して
「こうして中心対称場の中の運動の問題は、片側を限られた(r=0における境界条件)半無限領域の1次元運動の問題に帰着される」としています。

ディラック、メシア、ランダウ、大御所がみな間違っていたとは、... 学問の進歩ですね。

=甘泉法師=

  投稿者: - 2010/04/18(Sun) 23:26  No.8839 
甘泉法師様

半直線上で、 $p_r$ は自己共役になりませんが、
 $p_r^2$ は自己共役になります。
念のために

  投稿者:ASA - 2010/04/19(Mon) 07:52  No.8840 
かなり、話が進んでますね。
 問題は、普通のハミルトニアンで記述される状態で、円柱座標系や極座標系で記述されたPrがオブザーバブルであるかどうかということでしょうか(自己共役とオブザーバブルとの関連について)。
 あ さんの意見を伺いたいところです。

  投稿者:kafuka - 2010/04/19(Mon) 10:20  No.8841 
あさん
>高次分散が発散することにはまったく問題はないと思います。
高次分散が発散する場合、キュムラント展開が存在しないことになると思いますが、
それは、数学的に問題はないのでしょうか?
量子力学的には、ψ自体は、観測できないとするのだから、キュムラント展開が存在しなくてもいいと思いますが、、、

甘泉法師さん
>Pを観測する装置での観測値を電卓で2乗するだけでP^2の観測値が得られる
>(p空間の方では)単に固有値との積を2回にするだけ
とのことですが、
pの高次分散が4次や6次以上で発散する場合は、
pの高次モーメント∫ψ*p^nψdx も、4次や6次以上で発散することになります。
これは、p^nという物理量に固有値がないように見えます。(僕の勘違いかなぁ)
物理量の固有値が存在しない状態では、測定するとノイズしか得られないと思います。
しかし、この場合でも「Pの観測値を電卓でn乗するだけ」で、P^nの観測値が得られる
ことになり、腑に落ちません。
どう考えればよいでしょうか?

[戯れ言]
ψ(x)のキュムラント展開が存在する場合、
粒子の位置xの高次分散を、順次 測定して行けば、
ψ(x)を測定したことになりそうな気が ^^;

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/19(Mon) 17:27  No.8842 
こんにちは。

>この場合でも「Pの観測値を電卓でn乗するだけ」で、P^nの観測値が得られる

Xを観測して値aを得たデータは、Xの関数f(X)を観測して値f(a)を得たデータとして使える、ということですね。

>ことになり、腑に落ちません。

 f(a)は一般に有限値なのにどうして期待値が∞でありえようか、いやありえるはずがない という考えですね。
 期待値とは、N個のデータから Σfi / N を計算し N→∞の極限をとることですから、

例1 xは区間[0,1] で確率密度P=1 の場合

  Σxi / N → 0.5

 f(x)=(x−1/2)^(-2) - 4 を考える。 f(0)=f(1)=0 f(x)≧0。 x=1/2で発散するが、観測してジャスト1/2になることはない(測度0)のでf(a)は有限値。 Nをふやしていけば、1/2のいくらでも近傍のところの値を返すことがおきて、その寄与から
  Σfi / N → +∞

例2 コーシー(ローレンツ)分布^2 の確率密度 
  P ∝ (1+x^2)^(-2)

 f(x)=x^n を考える。f(a)は有限。

 <x^2> 有限の定数

 <x^4> から発散。 Nをふやしていくとどんどん遠いxのところの大きな値(x^2でもかえしてくるがそれは収束する小さな値)を返すことがおきて、その寄与で Σfi / N → +∞

ということでしょうか。

=甘泉法師=




  投稿者: - 2010/04/19(Mon) 23:08  No.8844 
甘泉法師さん。

 そういう意味で、
より新しい最近のテキストを参照する必要があると思います。

http://www.amazon.co.jp/Functional-Analysis-Methods-Mathematical-Physics/dp/0125850506

のシリーズとか、

http://www.amazon.co.jp/Quantum-Computation-Information-Cambridge-Sciences/dp/0521635039/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=english-books&qid=1271686033&sr=1-1

とか、よい本はどんどん出ています。

ASAさん。

 普通は、オブザーバブルは自己共役演算子であるとします。
従って、Prはオブザーバブルではありません。
おそらく、期待値の実数性や完全性関係などが
破れているのではないかと推測しています。
このような問題はこの手のことをやっている人には
よく共有されている事実だと思います。

 ただし、Pr^2は自己共役にすることができるので、
動径方向のHamiltonianは自己共役演算子であるとすることができます。
 もちろん、Prのようなわかりやすい演算子が
観測量足りえないというのは気持ち悪いという人もいて、
以前も述べましたがさまざまな研究がなされています。
残念なことに、この問題は多くの人に受け入れられる解決は
なされていません。
追いかけてみて、論文を書いてみるのも一興かもしれません。

kafukaさん

 高次のキュムラント展開の存在は
量子力学の公理系で要求されていません。
ですから、まったく問題ありません。

 分野が異なりますが、経済学で恐慌の理論を取り扱う際、
分散が存在しない分布が有用であるということが知られています。
その意味で、確率論の枠組みにおいても、
このような分布には意味があるといえます。

 あと、

>物理量の固有値が存在しない状態では、測定するとノイズしか得られないと思います。

についてですが、たとえば、 $x$ の期待値を測ることを考えていただければいいかと思います。その場合、決してノイズしかえられないというわけではないことがわかっていただけると思います。

  投稿者:kafuka - 2010/04/20(Tue) 00:48  No.8845 
甘泉法師さん
>Xを観測して値aを得たデータは、Xの関数f(X)を観測して値f(a)を得たデータとして使える
についてですが、量子力学の場合、xは、演算子です。
例えば、調和振動子の基底状態ψ0で、物理量としてp演算子を考えると、
pψ0は、虚数値をとりますから、その測定値は、完全なノイズと思います。
p^2も連続固有値ですが、その期待値<p^2>は、2m(1/2hω)/2=m/2 hω
完全なノイズを、自乗してもまともな値(m/2 hω)になりようがないのでは
という素朴な疑問だったのです。
しかし、pψ0をp空間で考えると、
ψ(p)=∫ψ0exp(-ipx/h')dx=Cexp(-Ap^2)
というガウス分布で、pの測定値は、ノイズではありません。
∫ψ*(p)p^2ψ(p)dp は、∝ガウス分布の分散 になりますから、
まともな値(m/2 hω)になって不思議はないことに気づきました。
ありがとうございました。

以上は、連続固有値の場合です。
>あさん
p^nψ(p)が、例えば4次で発散する場合、p^4の連続固有値も定義できないと思います、
連続固有値も定義できない状態では、測定するとノイズしか得られないのでは
と思ったのですが、、、
「期待値を測る」それは出来ますね。すみません。

  投稿者:のま - 2010/04/20(Tue) 04:59  No.8846 
ちょこっと見かけただけでちゃんと読んでないですが、

<tex>      p_r = -i \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial r} r, \quad      p_\theta = -i \frac{1}{\sqrt{\sin \theta}} \frac{\partial}        {\partial \theta} \sqrt{\sin \theta}, \quad      p_\phi = -i \frac{\partial}{\partial \phi}</tex>

は極座標においてエルミート演算子ですが、そういう話と違うのかな?

一般に、ラグランジアンが

<tex>      L= \frac{m}{2} g_{ij}(x) \dot{x}^i \dot{x}^j -U(x)</tex>

で与えられる系の座標不変な量子化は、

<tex>      p_i = -i g^{-1/4} \frac{\partial}{\partial x^i} g^{1/4}</tex>

<tex>      H = \frac{1}{2m} g^{-1/4} p_i\ g^{ij} g^{1/2} p_j\ g^{-1/4}          +U(x) </tex>

です。ここで <tex> g^{ij} </tex> は上付き計量(計量の逆行列)、<tex> g </tex> は計量の行列式。これらはエルミートで、特にハミルトニアンは座標不変です。(そういう風に作ってある)

  投稿者: - 2010/04/20(Tue) 06:01  No.8847 
のまさん。

残念なことに、一般座標変換に対する性質と
自己共役性はまったく関係ありません。

演算子 $H$ の共役演算子 $H^\dagger$ について、
 $H=H^\dagger$ とできるかどうかが問題となります。

この中で、 $p_r$ だけは自己共役な演算子になりません。
厳密な議論は、http://www.math.tsukuba.ac.jp/~isozakih/lecture/Funct.Anal.2.pdf
参考のこと。

なお、 $p_r$ がおかしいということはすぐに示せます。
 $H$ が自己共役なら $\exp (\mathrm{i} H t)$ が
ユニタリー演算子になるということが知られています。
半直線上の場合 $\exp (\mathrm{i} p_r t)$ は並進の演算子で、
その結果、内席を保存せず、ユニタリー演算子ではないことがわかります。

  投稿者:ASA - 2010/04/20(Tue) 07:31  No.8848 
あ さん No.8844
>普通は、オブザーバブルは自己共役演算子であるとします。
 物理的観点からして、これの正当性なり妥当性が問われるのでは?
オブザーバブルは、原義的には観測量ということですから、

>期待値の実数性や完全性関係などが
破れているのではないかと推測しています。
 今の場合は、完全性でしょう。
対称性要件より、原点での被作用関数の条件として、u(0)=0と制約してますから。
 不足指数による議論だと、e^xと発散性になるので駄目ということですが、物理的に考えると、原点で反射するケースですから、p^2でも同様の制約条件u(0)=0が状態に課されます。この制約された状態空間を考えるとpの完全性(対象とする全状態を展開できるという意味)は満足されてます。ちなみに期待値は0で実数ですね。

>論文を書いてみるのも一興かもしれません。
 論文書くほどのことでもないでしょ。数理物理にも興味ないし。
オブザーバブル=自己共役とみなすときの、自己共役要件を何にするかという数学上の定義問題でしょ。
 オブザーバブル=自己共役と看做さなければ問題ないし、普通の物理的問題ではオブザーバブル⊇対称(物理本ではこれをエルミットとしているのもある)で足りていて、物理的問題が生ずるようなら適切な境界条件で避けられます。
 

  投稿者: - 2010/04/20(Tue) 08:03  No.8849 
ASAさん。

u(0)=0であったとしても
完全性条件が満たされるかどうかはいえないと思います。
また、完全性だけでなく、うまい関数の極限を考えると、
虚数固有状態を作ることができたりします。

また、p^2に関して、u(0)=0が課されるとも限りません。
そして、u(0)≠0の場合に関しても、
それなりの物理的解釈があったりします。

最後に、この問題は純粋に数学的な問題ではありません。
数学の指し示していることは、
おっしゃるような適切な境界条件がないということなのです。
実際に問題が生じることが知られています。
だからこそ、この問題はいまだに研究されているのです。

  投稿者:hirota - 2010/04/20(Tue) 12:43  No.8850 
No.8721 では、
底空間の変換 $F:R\rightarrow I$ が
ヒルベルト空間の同型写像 $T:L^2(I)\rightarrow L^2(R)$ ,  $(T\psi)(x)=\sqrt{F'(x)}\psi(F(x))$ 
を導き、これによって $L^2(I)$ の作用素 $p=\frac{1}{i}\frac{d}{dy}$ が
 $L^2(R)$ の作用素 $G=T p\,T^{-1}=\frac{1}{i F'}\frac{d}{dx}-\frac{F''}{2i (F')^2}$ に変換される。
と書きましたが、
また別の変換を試してみました。
 $R^+=(0,\infty)$ として底空間の変換 $\exp:R\rightarrow R^+$ ,  $y=\exp(x)$ ,  $x=\ln(y)$ を考えると、
 $L^2(R)$ の内積は $<\psi,\phi>=\int_{-\infty}^{\infty}\overline{\psi(x)}\phi(x)dx=\int_{0}^{\infty}\overline{\psi(\ln(y))}\phi(\ln(y))\frac{dy}{y}$ 
だから、 $(T\psi)(y)=\frac{1}{\sqrt{y}}\psi(\ln(y))$ がヒルベルト空間の同型写像 $T:L^2(R)\rightarrow L^2(R^+)$ となる。
そして、 $L^2(R^+)$ の微分作用素は
 $\frac{1}{i}((T\psi)(y))'=\frac{1}{i}\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\psi(\ln(y))\right)'=\frac{1}{i y}\left(\frac{1}{\sqrt{y}}\psi'(\ln(y))-\frac{1}{2}\frac{1}{\sqrt{y}}\psi(\ln(y))\right)$ 
 $=\frac{1}{y}(T p\,\psi-\frac{1}{2i}T\psi)$ 
∴  $T p\,\psi=y\,p\,T\psi+\frac{1}{2i}T\psi=\frac{1}{2}(y\,p+p\,y)T\psi=A T\psi$ 
となって、な〜んと $L^2(R)$ の $p=\frac{1}{i}\frac{d}{dy}$ が $L^2(R^+)$ の
 $A=\frac{1}{2}(y\,p+p\,y)=T p\,T^{-1}$ になってしまいました!
いや〜、A の固有関数の形を見て「もしや?」と試してみたんですが、大当たり!

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/20(Tue) 16:48  No.8851 
こんにちは。

kafukaさん。 もう解決の件ですが、蛇足。

>pψ0は、虚数値をとりますから、その測定値は、完全なノイズと思います。

運動量の測定値が完全なノイズ(どの値もとる確率が同じ)なのは位置の固有関数 δ(x-x0)ですね。
 
 δ(x-x0) = 1/√(2π) ∫ exp ik(x-x0) dk

=甘泉法師=




  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/20(Tue) 20:54  No.8852 
こんにちは。

あ さん
>半直線上の場合  $\exp (\mathrm{i} p_r t)$  は並進の演算子で、
>その結果、内席を保存せず、ユニタリー演算子ではないことがわかります。


pr t は正しくは pr r でしょうか。
並進だと内積を保存しない、という理屈が頭にはいってきません。
もうすこし解説いただければ助かります。


片方に有界な領域、で想起したのですがパウリの定理
http://hooktail.maxwell.jp/bbslog/23005.html
tohrisugari-san さんのレス (2009/02/24(Tue) 13:37) に解説されている

定理:ある量子系にハミルトニアン \hat{H} と正準共役で,かつエルミートな時間演算子 \hat{T} が存在する場合,ハミルトニアンの固有値は連続値で (-\infty,\infty) の領域のすべての値をとる.

を HをXに TをPに 置き換えて Xが半直線だから矛盾。よってPは存在しない、ということでしょうか。

=甘泉法師=






  投稿者:のま - 2010/04/20(Tue) 21:55  No.8853 
あさん

>半直線上の場合 exp(i p_r t) は並進の演算子で、
>その結果、内席を保存せず、ユニタリー演算子ではないことがわかります。

なるほどそのようですね。メジャーはちゃんとなるけどr積分の区間ががtだけずれてしまうわけですね。確かに半直線であることが元凶になってエルミート性を仮定すると矛盾してしまいます。座標不変量子化は極座標のような特異性のある座標には適用できないようですね。説明ありがとうございました。

  投稿者:のま - 2010/04/20(Tue) 22:25  No.8854 
甘泉法師さん

>並進だと内積を保存しない、という理屈が頭にはいってきません。
>もうすこし解説いただければ助かります。

|ψ'> = exp(iap_r)|ψ>, <ψ|ψ>=1 とします。
もし p_r がエルミート演算子なら、<ψ'|ψ'>=1
のはずですが、座標表示だと、

ψ'(r,θ,φ)= exp(iap_r) ψ(r,θ,φ) = exp{a(1/r)(∂/∂r)r} ψ(r,θ,φ)

= (1/r) exp(a∂/∂r) r ψ(r,θ,φ) = (r+a)/r ψ(r+a,θ,φ)

に注意して、

∫(0,∞)dr ∫(0,π)dθ ∫(0,2π)dφ r^2 sinθ ψ'^*(r,θ,φ) ψ'(r,θ,φ)

= ∫(a,∞)dr' ∫(0,π)dθ ∫(0,2π)dφ r'^2 sinθ ψ^*(r',θ,φ) ψ(r',θ,φ)

となって r'(=r+a) の積分区間が a からになってしまい、これは一般に1にならない
ので矛盾です。

  投稿者: - 2010/04/21(Wed) 00:12  No.8855 
半直線上の量子力学における、
運動量演算子に関する論文を提示しておきます。
この問題の物理的意義と数学的なreview、
およびこれまでの経緯が追いかけられるようになっています。

http://arxiv.org/PS_cache/arxiv/pdf/0710/0710.1724v3.pdf

これは、査読付き雑誌に投稿済みですが、
上述のURLでただで内容が見れます。


  投稿者: - 2010/04/21(Wed) 00:27  No.8856 
あと、半直線上のp演算子が虚数期待値を持つことに関して。
 $u(0)=0$ のなす空間はHilbert空間上で稠密。
したがって、
 $\lim_{n\to\infty} u_n = \sqrt{2k}e^{-k x}$ 
となる数列が存在。
この収束は、
 $\int_0^\infty|u_n(x)-\sqrt{2k} e^{-k x}|^2dx$ 
の意味で、したがって、 $\lim_{n\to\infty} u_n (0)\neq 0$ となるのが味噌。
 $\lim_{n\to \infty} \langle u_n|p u_n \rangle = \lim_{n\to \infty} \langle p^* u_n| u_n \rangle =i k$ 

  投稿者:ASA - 2010/04/21(Wed) 07:15  No.8857 
あさん。

> うまい関数の極限を考えると、虚数固有状態を作ることができたりします。
hirota さん No.8850のR→R+マッピング議論によるとψ→ψ+として、ψ(-∞)=0→ψ+(0)=0ですから、
完全にu(0)=0を満たしていることが条件です(そういう意味でe^(-kx)は、除外される)。
あと虚数固有状態は、本質的固有値の状態とは看做さないのでは(p^2における、負固有値と同様)?

>p^2に関して、u(0)=0が課されるとも限りません。
>そして、u(0)≠0の場合に関しても、
>それなりの物理的解釈があったりします。
 No.8848では、一次元系を前提としてます。この場合で、u(0)≠0の物理解釈とはどのようなものでしょう?ちょっと思いつかないです。御紹介の文献にもu(0)=0(数学的にはU(1)の特殊ケースだけど)は、物理的理由から来るとありますけど。

  投稿者:ASA - 2010/04/21(Wed) 07:24  No.8858 
のま さん No.8854
 数学的には、おかしいのかもしれないですけど、物理的には変ではないですよね。
 並進の意味するところが、球対称的なので、ψは、原点に対するincominng,or outgoinng の球面波に限られますから(波数aを持つ)。
一次元的並進とは、意味が違います。

  投稿者: - 2010/04/21(Wed) 08:07  No.8859 
ASAさん。

8857について。

8850の議論はpについての議論ではないので、
その意味でpについて適応することができません。
(逆に、このあたりの議論がめんどくさいので、
僕はやりたくなかったんです。)
また、虚数固有値は本質的状態とみなされないとありますが、
それはどうやって判断するのでしょうか?
ここで挙げたのは一例で、期待値が虚数になる状態など山ほど作れますよ。
結局のところ、極限を取るという操作に問題があるということになり、
Hilbert空間(完備な内積空間)をあきらめることになります。
完備性をあきらめるということは、完備関係式もまったく正当化できません。

ぶっちゃけ、完備関係式+実数固有値を仮定すると、
自己共役演算子が出てきますので、
対称演算子はどちらかが(もしくは両方)死んでいるはずです。

 $u(0)=0$ の物理的意義は、
壁にぶつかったときに位相のずれが起きてもよいというものです。
むしろ、こういうずれがあるほうが自然であるともいえます。
たとえば海を考えてください。
護岸にぶつかる波は、護岸のところでDirichlet条件を満たしますか?

8858についてですが
並進対象性ですが、これは、
 $H=H^\dagger$ が成り立たないことからきていますので、
相当量の自己共役演算子に関する議論が死にます。

  投稿者: - 2010/04/21(Wed) 08:15  No.8860 
失礼、8859の $u(0)=0$ は $u(0)\neq 0$ の誤りです。
後、壁とかいてますが、半直線の端点のことです。
最後に、硬い護岸の例を出しましたが、
砂浜に打ち寄せる波のほうがいいかもしれません。

いずれにせよ、波というのは境界条件というものが非常に重要になります。
その自由度がすっぽり抜けているという問題意識は
妥当なものだと考えています。

  投稿者:kafuka - 2010/04/21(Wed) 09:11  No.8861 
>甘泉法師さん No8851
本題からそれて恐縮ですが、
>運動量の測定値が完全なノイズ(どの値もとる確率が同じ)なのは位置の固有関数 δ(x-x0)です
この場合のpの測定値は、僕のいうノイズではないです。
この場合、ψ(p)は、超平べったい関数(?)ですが、
−∞から+∞まで積分すると1になり(と定義されるので)、発散とは言えないと思います。
僕のいう「測定値がノイズになる」というのは、
例えば、有限井戸のp^6 に対する(連続固有値の)固有関数Φ(p)のように、
固有関数が発散する状態ではないかと思うのです。
ここでΦ(p)は、 aΦ(p) = p^6Φ(p) で、
仮に、p^6という1つの物理量を測定する測定器があったとして、量子井戸のp^6 を測定すれば、、、測れない=測定値はノイズ
というつもりです。

とは書きましたが、おっしゃるように、b|P> = p|P> の固有状態|P>がまともとすると、
a|P> = pppppp|P> = bbbbbb|P> なので、
pppppp に対する固有状態がおかしくなる理由わかりません。
お教え頂ければ幸いです。

  投稿者:のま - 2010/04/21(Wed) 12:11  No.8862 
ASAさん

>一次元的並進とは、意味が違います。

その通りです。ただ、定義的にはエルミート演算子であるのに一方でそうだとすると矛盾するというのは、この量子論は無意味(inconsistent)と考えるべきだと思います。よく知られた座標不変量子化(デカルト座標における量子論を一般座標に書き写す方法)をナイーブに適用しただけなのですが、極座標のような特異性を持つ座標は適用外なのでしょう。

  投稿者: - 2010/04/21(Wed) 14:38  No.8863 
のまさん。

その言い方、勉強になりました。
僭越ながら、使わせていただきます。

  投稿者:hirota - 2010/04/21(Wed) 16:10  No.8864 
ついでだから、極座標の変換 : $R^+\times S^1\rightarrow R^2,\,x=r\cos(\theta),\,y=r\sin(\theta)$ が引き起こすヒルベルト空間の同型写像 $T:L^2(R^2)\rightarrow L^2(R^+\times S^1)$ はどうなるかと言うと、
 $L^2(R^2)$ での内積が
 $<\psi,\phi>=\int\overline{\psi(x,y)}\phi(x,y)dx dy=\int\overline{\psi(r\cos(\theta),r\sin(\theta))}\phi(r\cos(\theta),r\sin(\theta))r dr d\theta$ 
だから、 $\psi\in L^2(R^2)$ に対して $(T\psi)(r,\theta)=\sqrt{r}\,\psi(r\cos(\theta),r\sin(\theta))$ とすれば良い。
そして、 $L^2(R^2)$ の微分作用素 $p_x=\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial x},\,p_y=\frac{1}{i}\frac{\partial}{\partial y}$ はまとめて α 方向の微分
 $p_\alpha=\cos(\alpha)\,p_x+\sin(\alpha)\,p_y$ 
とすると、
 $\frac{\partial}{\partial r}(T\psi)=\frac{1}{2\sqrt{r}}\psi+\sqrt{r}(\psi_x\cos(\theta)+\psi_y\sin(\theta))$ 
 $\frac{\partial}{\partial\theta}(T\psi)=r\sqrt{r}(-\psi_x\sin(\theta)+\psi_y\cos(\theta))$ 

 $\psi_x=\frac{1}{\sqrt{r}}\left(\cos(\theta)(\frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{2r})-\sin(\theta)\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)T\psi,\,\psi_y=\frac{1}{\sqrt{r}}\left(\sin(\theta)(\frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{2r})+\cos(\theta)\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)T\psi$ 
 $T(p_\alpha\psi)=\frac{\sqrt{r}}{i}(\psi_x\cos(\alpha)+\psi_y\sin(\alpha))=\left(\frac{\cos(\alpha-\theta)}{i}(\frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{2r})+\frac{\sin(\alpha-\theta)}{i}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)T\psi$ 

 $T p_\alpha\,T^{-1}=\frac{\cos(\alpha-\theta)}{i}(\frac{\partial}{\partial r}-\frac{1}{2r})+\frac{\sin(\alpha-\theta)}{i}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}$ 
これが極座標で表わした α 方向の運動量作用素。

  投稿者: - 2010/04/21(Wed) 20:53  No.8865 
hirotaさん。
8850のメッセージでは勉強させていただきました。

ところで、
 $T$ が同型写像とありますが、それはどうやって示していますか。
 $R^2$ と $R^+\times S^1$ は同相ではないので気になります。
ご教授お願いします。

  投稿者:ASA - 2010/04/22(Thu) 07:31  No.8867 
のまさん No.8862
 あさんとのやり取りをみて、すれ違っているようなのでコメントしました。のまさん>定義的にはエルミート演算子
あさん>一般座標変換に対する性質と自己共役性はまったく関係ありません。
 まず、のまさんのエルミートとあさんの自己共役の意味する違っているような気がします。
 p=(1/ir)(d/dr)rは、のまさん流儀によるとエルミート演算子なのかもしれませんが、ここの議論では、演算子Tが(ψ,Tφ)=(Tψ,φ)を満たす時、対称演算子、更に対称演算子が定義域に関してD(T)=D(T*)であるとき自己共役、これを直接チェックするのは、面倒なので不足指数を判定の指標とすればいいでしょう、という流れになってます。
 俎上に上がっているp=(1/ir)(d/dr)rは、自己共役でないしさらに対称ですらありません。
 だから、のまさん流儀によるエルミート演算子という定義がおかしいのであって、あくまで数学上の問題だとASA No.8858で指摘したわけです。
>量子論は無意味(inconsistent)と考えるべきだと思います。
 この量子論が何をさすのかよくわかりません。普通の量子論とは違うもののような気がします。
 量子論にも流儀がありますが、普通の正準量子化だと座標系をFixしてから、そこで交換関係を満たすものを設定しますが、デカルト座標での[p,q]=ih(定数)ですべての座標系がOKというわけではありません((p,q)ペア選択のの任意性とともに、これのほうが良く知られてますよね)。
 あえてやるとするなら、実績のあるデカルト座標での選択から、hirota さんが示しているようなマッピングの議論で求める方法がストレートでよい気がします。

  投稿者:ASA - 2010/04/22(Thu) 07:38  No.8868 
 追伸
 ぶちゃけ、量子論では得られる期待値<T>が同一であれば、同じ量子化とみなせるので、極論すれば、座標系によりハミルトニアンの形が変ってもなんら問題ありません(ポテンシャルの表現をどうしたらよいのかという問題ありますけど)。逆に、座標不変なる要請がどこから来るのか気になります。

  投稿者: - 2010/04/22(Thu) 09:42  No.8869 
ASAさん。
一般に、Hamiltonianの自己共役拡大の仕方によって、
spectrumが変化することが知られています。
したがって、期待値も変化します。

こういった期待値の変化は物理的意味がある場合があります。
たとえば、ブラックホールのエントロピーと絡んだり、
気体の状態方程式と絡んだり。

古典論のハミルトニアンをひとつ持ってきたのに、
対応する量子力学系がユニークに決まらなかったでござるというのは、
非常に気持ち悪く感じられるかもしれません。
こういうのを専門用語ではInequivalent quantizationといいます。

そもそも、何でこんなことがおきるかというと、
対応原理がいい加減で、当てずっぽの指針だからです。
古典力学はシンプレクティック多様体であるのに対して、
量子力学はHilbert空間で、
そもそもこの二つに厳密な対応などないのです。

そういう意味で言うと、古典的には定義できるはずの演算子が、
量子的には定義できないというのはそれほど不思議なことではないのです。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/22(Thu) 10:42  No.8870 
こんにちは。

kafukaさん
>−∞から+∞まで積分すると1になり(と定義されるので)、発散とは言えないと思います。

位置、運動量の固有関数は二乗可積分ではありません。
ノルムの2乗は1ではなく、δ(0)=+∞です。

>pppppp に対する固有状態がおかしくなる理由わかりません。
>お教え頂ければ幸いです。

発散する<ψ|p^2m|ψ> を |p^m|ψ>|^2 と見れば
状態 p^m|ψ> は 二乗可積分でないので L2、ヒルベルト空間の元ではない、ということが都合が悪いのかもしれません。

二乗可積分にこだわらない、δ関数の固有関数を認知する立場、 rigged Hilbert spaceでは問題にしないと思います。

=甘泉法師=


  投稿者:hirota - 2010/04/22(Thu) 11:10  No.8871 
ヒルベルト空間の写像は要素同士の対応に、ベクトル空間としての演算 (和とスカラー倍) および内積が対応していれば同型写像です。
ベクトル演算は関数が一次で入ってるから自明で、内積は同じになるように変換を決めました。
要素対応は、解析関数を使ってるから可測関数対応は自明で、内積が同じだから2乗可積分対応も自明です。
また、関数空間と数列空間 (関数と固有関数展開の係数が対応) がヒルベルト空間として同型であることから分かるように、底空間の位相は関係ありません。

なお、極座標のヒルベルト空間は一意的ではありません。
No.8864 では $R^+\times S^1$ の一様測度で関数空間を作りましたが、測度空間 $(R^+\times S^1,\mu)$ を dμ=r dr dθ で定義して
 $<\psi,\phi>=\int\overline{\psi(x,y)}\phi(x,y)dx dy=\int\overline{\psi(r\cos(\theta),r\sin(\theta))}\phi(r\cos(\theta),r\sin(\theta))r dr d\theta$ 
 $=\int\overline{\psi(r\cos(\theta),r\sin(\theta))}\phi(r\cos(\theta),r\sin(\theta))d\mu$ 
とすれば変換 $T:L^2(R^2)\rightarrow L^2(R^+\times S^1,\mu)$ は
 $\psi\in L^2(R^2)$ に対して $(T\psi)(r,\theta)=\psi(r\cos(\theta),r\sin(\theta))$ だけで良い。
すると、
 $\frac{\partial}{\partial r}(T\psi)=\psi_x\cos(\theta)+\psi_y\sin(\theta),\,\frac{\partial}{\partial\theta}(T\psi)=r(-\psi_x\sin(\theta)+\psi_y\cos(\theta))$ 
 $\psi_x=\left(\cos(\theta)\frac{\partial}{\partial r}-\sin(\theta)\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)T\psi,\,\psi_y=\left(\sin(\theta)\frac{\partial}{\partial r}+\cos(\theta)\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)T\psi$ 
 $T(p_\alpha\psi)=\frac{1}{i}(\psi_x\cos(\alpha)+\psi_y\sin(\alpha))=\left(\frac{\cos(\alpha-\theta)}{i}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\sin(\alpha-\theta)}{i}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}\right)T\psi$ 

 $T p_\alpha\,T^{-1}=\frac{\cos(\alpha-\theta)}{i}\frac{\partial}{\partial r}+\frac{\sin(\alpha-\theta)}{i}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial\theta}$ 
こっちの方が極座標として素直だね。

  投稿者: - 2010/04/22(Thu) 14:03  No.8872 
hirotaさん。

冷静に考えてみると、その通りですね。
ご返答ありがとうございます。


ちなみに、ぱっと見僕が思ったことは、
 $R^+ \times S^1$ は単連結ではなく、
従ってこの位相に関する量が
量子力学レベルで出てくるのではないかということです。
いわゆる、アハラノフボーム効果やベリー位相等々。

また、 $r=0$ のラインで、
 $\psi(r,\theta)$ がすべて同じ値にならないといけないわけですが、
そのあたりの対応関係はどうなのかなと。

よく考えてみると、 $L^2(R^2)$ で考えてもおきることだし、
測度ゼロの意味で同一視できるという意味で
気にしてもしょうがなかったです。

  投稿者:hirota - 2010/04/22(Thu) 15:53  No.8873 
測度ゼロ同一視と言えば、No.8850 の A は $L^2(R^+)$ の作用素ですが $L^2(R)$ に拡張できますね。
 $R^+$ を座標反転で $R^-=(-\infty,0)$ にして $L^2(R^+)$ を $L^2(R^-)$ に移しても A は不変ですから、2 つをくっつけて $L^2(R^-)\bigoplus L^2(R^+)$ の作用素にできます。
 $R^-\cup R^+$ は測度ゼロ同一視で R ですから、A は $L^2(R)$ の作用素になりました。
(原点での不連続にお構いなしで、 $R^-$ と $R^+$ で別々に微分するという変な作用素だけど)

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/22(Thu) 17:42  No.8874 
 こんにちは。

Re: 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか のまさん - 2010/04/20(Tue) 22:25 No.8854

 ご教示 ありがとうございます。並進による積分区間のずれ、理解しました。

 h'/i (∂/∂r + 1/r) または h'/i 1/r (∂/∂r) r
 が自己共役でないのに 

Re: 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか あさん - 2010/04/18(Sun) 23:26 No.8839
> 半直線上で、  $p_r$  は自己共役になりませんが、
>  $p_r^2$  は自己共役になります。

 その二乗
-h'^2 (∂/∂r + 1/r)^2 または -h'^2 1/r (∂/∂r)^2 r
が自己共役である というのが不思議です。どういう具合になっているんでしょうか。

=甘泉法師=

  投稿者: - 2010/04/22(Thu) 18:49  No.8875 
hirota様。

微分できるかどうかを仮定しない作用素として、
デルタ関数に代表される、超関数型のポテンシャルを持つ作用素が
上げられます。
こういった、超関数型の作用素と境界条件は大体の一致が見られます。
その意味で、特に変な作用素というわけではないと思います。

甘泉法師様。

この場合、
 $\psi=\exp (\frac{1}{\sqrt{2}}(-1\pm \mathrm{i}) k x )$ 

 $H\psi=\pm\mathrm{i}\psi$ 
の虚数解になりますが、
どちらも二乗可積分ですよね。
よって、欠陥指数の手法でうまくいくということになります。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/22(Thu) 20:27  No.8876 
こんにちは。

あ さん ちゃんと引用文献を勉強していないので、欠陥指数を知らないのですが
ご回答を理解したく質問いたします。

>この場合、
>  $\psi=\exp (\frac{1}{\sqrt{2}}(-1\pm \mathrm{i}) k x )$ 
>が

 xが動径で半直線[0、∞)上にあるのですね。

> $H\psi=\pm\mathrm{i}\psi$ 

 Hはハミルトニアンのことでしょうか。
 H=h’^2/2m  (d/dx + 1/x )^2 + 中心力ポテンシャル+遠心エネルギー

a = 1/√2(-1±i)とおいて

 h'/i (d/dx + 1/x ) exp(akx)= h'/i (ak+1/x) exp(akx)

{h'/i (d/dx + 1/x )}^2 exp(akx)= -h'^2 { (ak)^2 + 2ak/x } exp(akx)

固有値方程式になりませんが...

=甘泉法師=

  投稿者: - 2010/04/22(Thu) 20:39  No.8877 
甘泉法師様

半直線上の話だと思っていましたので、
考えているハミルトニアンは、
 $H=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}$ 
です。
一般のケース(でいいのでしょうか?
 $H=-\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{d}{dx}+\frac{1}{x})^2+\cdots$ 
は、 $\psi(r)\times \frac{1}{x}$ の満たす方程式ですよね?

についても事情は同じです。
フォンノイマンは一般のケースについて、
Hamiltonianが複素共役演算子と交換するなら、
自己共役であるということを示しています。

具体的には、
 $H\psi=\mathrm{i}\psi$ 
なら、
 $H\psi^*=-\mathrm{i}\psi^*$ 
で、欠陥指数が一致するという按配です。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/22(Thu) 21:39  No.8879 
こんにちは。
あ さん

>  $H=-\frac{\hbar^2}{2m}(\frac{d}{dx}+\frac{1}{x})^2+\cdots$ 
> は、  $\psi(r)\times \frac{1}{x}$  の満たす方程式ですよね?

片端が途切れた空間にはリアリティが感じられないので3次元空間で極座標を導入した場合を考えました。たくさんの教科書がとりあげていますし。

Re: 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか 甘泉法師 - 2010/04/18(Sun) 18:56
> Pr=r^-1 (- ih'd/dr) r   
> H = 1/2m (Pr^2 + k(k+h')/r^2 ) + V
>  動径方向の運動量 と 球面上の運動量にきれいにあらわせます。

別のあらわしかただと Pr=h'/i(d/dr + 1/r) です。
Prは自己共役でないのにPr^2が自己共役であることは
どのように確かめるかを知りたいのです。

>フォンノイマンは一般のケースについて、
>Hamiltonianが複素共役演算子と交換するなら、
>自己共役であるということを示しています。

[ H+,H]=0 を確かめよということでしょうか。

=甘泉法師=

 






  投稿者:kafuka - 2010/04/22(Thu) 21:46  No.8880 
>甘泉法師さん

普通の連続固有値の固有ベクトルは、おっしゃる方法や他の方法で、ヒルベルト空間に入れられますが、
有限井戸のp^6ψ(p)のように、発散する場合は、どうやってもヒルベルト空間に入らない
のではないか?ということです。
はやりの言葉を借りれば、
波動関数ψ(q)が発散する場合「ψ(q)の量子論は、無意味(inconsistent)と考えるべきだ」
ということです。

とは、書きましたが、ψ(q')のフーリエ変換ψ(q)が発散しても、
もし、ψ(q')のフ−リエ級数がまともなら、
そっちが、意味のある量子論で、矛盾はない
という意見に賛成です。

  投稿者: - 2010/04/22(Thu) 22:12  No.8881 
甘泉法師様

なぜ合えて、
 $p_r=(- \mathrm{i} \hbar \frac{d}{dr}) $ 
ではなく
 $p_r=r^{-1} (- \mathrm{i} \hbar \frac{d}{dr}) r$ 
を使うのか、その理由はわかりませんが
(ぶっちゃけどっちも自己共役ではないので)、
判定基準は、 $H$ を複素共役とった演算子を考えて、
(ポテンシャルとか、微分項の係数を複素協約取るだけ)
とる前と等しければオッケーです。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/22(Thu) 22:54  No.8882 
こんにちは。

>なぜ合えて、
>  $p_r=(- \mathrm{i} \hbar \frac{d}{dr}) $ 
>ではなく
>  $p_r=r^{-1} (- \mathrm{i} \hbar \frac{d}{dr}) r$ 
>を使うのか、その理由はわかりませんが

理由は

球座標における古典的なハミルトニアンと同じ形になる。
なお古典的なハミルトニアンをとく場合にはr[0,∞)は気にならない。

http://homepage3.nifty.com/iromono/diary/200501A.html 前野先生
しかし通常2次元だと積分は∫dr dθ rとなる。このdr dθ rの最後のrが問題。-i\hbar{\partial\over\partial r}の微分を部分積分しようとすると、このrを微分してしまうぶんだけ余計なおつりが出て、....
3次元の場合だとこのp_rを2回演算してやるとちゃんとラプラシアンの動径部分が出てくる。...
つまり、3次元空間以外では、エルミートなp_rをただ自乗しただけではラプラシアンの動径部分が出ないのである。

というところです。



>判定基準は、  $H$  を複素共役とった演算子を考えて、
>(ポテンシャルとか、微分項の係数を複素協約取るだけ)
>とる前と等しければオッケーです。

明らかに H = 1/2m (Pr^2 + k(k+h')/r^2 ) + V =H+ ですね。

単独では自己共役でないものがどういう具合で2乗は自己共役と保証されているのか?
{ h'/i (d/dr + 1/r)}^2 になると端のところの問題はどうして気にならなくなるのか?
を理解したいところです。
  
=甘泉法師=





  投稿者:のま - 2010/04/22(Thu) 23:08  No.8883 
ASAさん

最初に言ったようにこのスレはちょっとしか見てないので話の流れはわかりません。座標不変量子化はデカルト座標の量子論を一般座標に拡張したもので、概要は最初に書きました。それを3次元極座標に応用すれば、p_r = -i(1/r)(∂/∂r)r は <ψ|p_rψ'> = <p_rψ|ψ'> を満たすためエルミート演算子です。

<ψ|p_rψ'> = ∫drdθdφ r^2 sinθ ψ^* (-i/r)(∂/∂r)(rψ')
=∫drdθdφ r^2 sinθ (i/r)(∂/∂r)(rψ^*) ψ' =<p_rψ|ψ'>

測度 g^(1/2) = r^2 sinθ の存在が重要です。これは、座標不変量子化においては、

<x|x'> = g^(-1/2) δ^N(x-x') (直交性)
∫d^N x g^(1/2) |x><x| =1 (完全性)

から来るものです。結局、特異性のある極座標への適用はダメなのですが。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/22(Thu) 23:47  No.8884 
こんにちは。 

実数係数の演算子( 例 x )が自己共役なのは自明。

虚数係数の微分演算子( 例 h'/i d/dx )が自己共役かどうかは部分積分での境界条件による(例 ψ(±∞)=0)。
境界条件がイレギュラーなもの(例 半直線)は自己共役と期待できない。しかし3次元球面座標の動径の話であれば、動径部分の波動関数R(r)=χ(r)/rとおいてR(r)の全空間での有限性から座標原点で χ(0)=0が要請されるのでPrは自己共役になる。

虚数係数の微分演算子の2乗は実数の演算子なので自己共役は自明...と考えてみましたが、部分積分を2回することになるのでやはり境界条件がたいせつ。 Prが自己共役だからこそPr^2も自己共役になる。

と考えました。あっていますでしょうか。

=甘泉法師=

  投稿者:のま - 2010/04/23(Fri) 00:02  No.8885 
甘泉法師さん

>その二乗
>-h'^2 (∂/∂r + 1/r)^2 または -h'^2 1/r (∂/∂r)^2 r
>が自己共役である というのが不思議です。どういう具合になっているんでしょうか。

まあ p_r も p_r^2 も定義的にはエルミート演算子でしょう。ただ、もう理論が矛盾体系になってしまっているので、どちらもエルミート演算子でないともいえるし、どうでもいいですね。あさん の話はよく読んでないので申し訳ないけどわかりませんが、また別の量子論なのかな、と思っています。

(1つの古典論に対して量子論は沢山ある。通常、直線座標上ではユニークに決まりますが、ラグランジアンに x と dx/dt が混じった項があると、量子論ではその順序が問題になるからです。だから連続的に直線座標に移行できるならそれと等価な量子論が自然で、これが座標不変量子化の意義。これは主に ASA さんへのコメントですが…)

  投稿者:ASA - 2010/04/23(Fri) 07:21  No.8887 
のま さん No.8883
これ、やはり境界条件が違いますよね。
境界条件が違うので対称演算子で無いと書きました。
(rψ(∞)=0と、ψ(∞)=0との違い)

>エルミート演算子です。
<ψ|p_rψ'> = <p_rψ|ψ'> は対称条件です。
(ψの範囲をより強い0収束に絞り込んで、対称条件を満足するとしましょう)
それでも、ここ議論だと、あくまでも対称演算子にすぎないわけです。
そして、さらにドメインとの関係で自己共役性(D(T*)=D(T))が示されないと、e^(iT)のユニタリ性が保証されないです。
 ユニタリでない演算子を作用させて、内積をとって同じにならなくても問題ないですよね(論理矛盾はありません)。

 hirotaさんがNo.8871で示している運動量(並進)演算子が自己共役でないと問題ですけど。

  投稿者:ASA - 2010/04/23(Fri) 08:10  No.8890 
あ さん No.8869
 立場の違いにより見解が異なると思われるので、清水さんのテキストをベースに立場を整理してみます。
[
 量子論構成上の3つの課題
 i)関数空間の選択
 ii)物理状態に対応する射線の規定
 iii)可観測量の設定

 これらを決定する一般的原理は今のところなく、下記のような様々な立場がある。
 a)ヒルベルト空間ありき
 b)可観測量ありき
 c)古典論ありき
 d)場(基本変数)ありき
 e)d)で可観測量は量子測定論できまる
]
あさんはa)に近いのだと思います。ここでの自分はc)に近いです。
なので、古典対応物の"期待値が変化"するような自己共役拡大は認められません(そのようなHamiltonianは却下)。

>期待値の変化は物理的意味がある場合があります。
物理的意味があると看做す人もいるなら同意です。
(個人的にはブラックホールのエントロピーなどは、眉唾と思ってますが、熱力学におけるマクロ変数、温度とかエントロピーとかを基本変数にして作用素を作る試みはそれなりの意味があると思います)

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/23(Fri) 08:30  No.8891 
こんにちは。

>まあ p_r も p_r^2 も定義的にはエルミート演算子でしょう。ただ、もう理論が矛盾体系になってしまっているので、どちらもエルミート演算子でないともいえるし、どうでもいいですね。

中心力ポテンシャルでの動径方向運動量を測定できるかできないかは考え方次第、と言っても実験物理学者は納得いかないと思うのですが....

=甘泉法師=



  投稿者:ASA - 2010/04/23(Fri) 08:41  No.8892 
hirota さん No.8873
 自分が甘泉法師 さんとぐだぐだ論じたあれですね。
 甘泉法師さんは、偶固有関数と奇固有関数持ち出しました。
 自分は、+領域(R+)と-領域(R-)で固有関数同じとしました。
 合成とみると、怪しい原点では、両側から1/2づつ寄与するのでOKということですな。


  投稿者: - 2010/04/23(Fri) 08:56  No.8893 
ASAさん

清水さんのテキストは未読なのでなんとも。
ご指摘の点については次のような反論が可能だと思います。

ASAさんには非常に大きな勘違いがあると思います。
自己共役拡大というのは、
スタンダードな量子論の演算子があって、
それを拡張するというものではありません。

まず、対称演算子があって、
その対称演算子を含むような拡張のことを自己共役拡大というのです。
たとえば、「端で波動関数が $0$ になれ」っと言うのも、
自己共役拡大によって得られるひとつの拡張でしかありません。

つまり、量子力学的には、端っこで波動関数が $0$ になるというものも、
その他の条件も、みんな対等なのです。
そもそも、波動関数が $0$ になれという条件がよくかされますが、
その物理的根拠は何ですか?
これは、壁の高さを極限に持っていけば実装されるという議論がありますが、
極限のもって行き方によって
異なる境界条件が実装されることが知られています。
ぶっちゃけ、 $0$ になれという条件は昔の人が置いた仮説(ansatz)で、
量子論の枠組みでこれを正当化することは不可能です!
古典的推測でも、これを説明するのも不可能です。

量子力学の原理から出てこない以上、
どの自己共役拡大が正しいかということは、
実験によって確かめられるべきことで、
そういう意味で、重要な意味があるのです。

繰り返しますが、

>古典対応物の"期待値が変化"するような自己共役拡大は認められません(そのようなHamiltonianは却下)。

とありますが、そもそもこういった議論をするためには、
量子論において古典対応物の正当な期待値が存在するはずです。
それは、どの自己共役拡大に相当するものなのかが
明白でなくてはなりません。
しかしながら、それを決定するものは量子論の中にはなく、
実験事実と比較するしかないはずです。
その意味で、自己共役拡大はちゃんと見積もらないといけない、
真に重要なパラメーターなのです。

あと、ブラックホールエントロピーに関して
思うところがあるようですので、
他の例として、
自己共役拡大によるスペクトラムの変化により、
状態方程式が理想気体からずれ、
ファンデルワールスの状態方程式とよく似た方程式を得ることができる事を
いっておきます。

  投稿者: - 2010/04/23(Fri) 09:34  No.8894 
甘泉法師さん

n次元の動径方向の運動量 $p_r$ は自己共役ではありません。
しかしながら、 $p_r^2$ は自己共役拡大を持ちます。

  投稿者:ASA - 2010/04/23(Fri) 09:47  No.8895 
あ さんの読み方自体に誤解があります。

>自己共役拡大というのは、スタンダードな量子論の演算子があって、それを拡張するというものではありません。
 そんな主張はしてません。

>「端で波動関数が0 になれ」っと言うのも、自己共役拡大によって得られるひとつの拡張でしかありません。

 だから、立場a)では、あるヒルベルト空間のなかで自己共役拡大するための要件と位置づけられるわけでしょ。
 立場c)だと、位置づけが別になることもあります。

>物理的根拠は何ですか?
 古典対応だと、粒子の反射(壁の高さを極限)とか、ハミルトニアンとの整合性など。

>極限のもって行き方によって異なる境界条件が実装されることが知られています。
 これも質問済みで回答がないのですが、0でない境界条件の物理的実例は何しょうか?砂浜に打ち寄せる波の話がありましたが、量子力学で良くだされる確率波との関係が全く判りませんでした。

>古典的推測でも、これを説明するのも不可能です。
 意味不明です?
 ある特定の量子論を構成するための要件をどのようにするかの立場の違いですから、構成された量子論の内部から説明することができないのはむしろ当然では?

>実験によって確かめられるべきことで
 古典対応物があるなら、それらについては既に実験済みでしょ。

>自己共役拡大はちゃんと見積もらないといけない、真に重要なパラメーターなのです。
課題iii)可観測量の設定の件ですよね。
古典対応物なのに、既定事実と矛盾してたら捨て去るしかないですよ。

>自己共役拡大によるスペクトラムの変化により、状態方程式が理想気体からずれ、ファンデルワールスの状態方程式とよく似た方程式を得ることができる事をいっておきます。
 これも、どのような作用素でどういう条件制約してスペクトラムの変化させたかによると考えます。たまたまなのか、より包括的に実在気体の状態方程式を満足するようにできているのか?各々の変数期待値に関して、古典的対応物がちゃんとしているか?等々ね。

  投稿者:のま - 2010/04/23(Fri) 10:01  No.8896 
甘泉法師さん

動径方向の正準共役運動量なんて演算子は量子力学にはあり得ないということです。だから測定もできません。「どうでもいい」と言ったのは理論が矛盾してるから何とでも言えてしまうということです。そしてそれらは全て無意味です。(正準共役運動量がもとの座標の並進ジェネレーターになっていることは正準交換関係 [x,p]=i だけから示せることです。だから工夫の余地はないのです。)

  投稿者:のま - 2010/04/23(Fri) 10:16  No.8897 
p.s. もし可能性があるとすれば正準共役運動量のエルミート性を放棄すること。いずれにせよ観測可能量ではないことになります。

  投稿者:のま - 2010/04/23(Fri) 11:06  No.8898 
ASAさん

<ψ|Tψ'> = <Tψ|ψ'> なら T はエルミート演算子。
T がエルミート演算子なら exp(iaT) (aは実数) はユニタリ演算子。
<ψ|ψ'> = <ψ'|ψ>^*

線形代数の初歩。

  投稿者: - 2010/04/23(Fri) 11:46  No.8899 
ASAさん。
cの立場としても、完備性関係式や期待値が実数ということは
使っちゃうわけですよね。
また、測定にかんして、射影測定を考えるわけですよね。

だとするなら、こういった議論は避けられませんよ。
つまり、cの立場とかは関係ありません。
僕の言っている話は、根本的に量子論共通の話なのです。

ASAさんの言っているのは、物理的直感で自己共訳でなくてもうまいこというだろうということですよね。
むしろ、旧来の量子論にたいする大胆な拡張を
提案なさっていると思います。
ぜひ、その新しい量子力学の内容を開陳していただきたく思います。

その観点でいくと、僕の主張は最も保守的な量子論にのっとています。

あと、壁の高さの極限、Hamiltonianの整合性では、
dirichlet条件は出てきません。
壁の物理的意味は、
phys rev. A66 (2002) 052102
vdWとの関連は
prog. theor. phys. 123 (2010) 35
実験による決着はまだついてません。

  投稿者:ASA - 2010/04/23(Fri) 12:53  No.8900 
あさんNo.8899
>ASAさんの言っているのは、物理的直感で自己共訳でなくてもうまいこというだろうということですよね。
違いますよ。
 量子化の手続きは、いろいろあるのでしょうけども、ある手続きに従ってなされるときのチェック条件として、古典的対応物を使うとする立場です。
例えば、自己共役だとしても、古典的対応物でのチェックでだめなら可観測量としないという話です。
 

  投稿者:ASA - 2010/04/23(Fri) 13:09  No.8901 
のまさん
><ψ|Tψ'> = <Tψ|ψ'> なら T はエルミート演算子。
ψ,ψ'は、任意のL2関数が条件ですから、p_rは非エルミート演算子ですよね。

No.8883> <ψ|p_rψ'> = ∫drdθdφ r^2 sinθ ψ^* (-i/r)(∂/∂r)(rψ')
=∫drdθdφ r^2 sinθ (i/r)(∂/∂r)(rψ^*) ψ' =<p_rψ|ψ'>

上記引用は、rψ→ξ,rψ'→φとの対応で,<ξ|pφ> =<pξ|φ>とおなじですから、明らかに作用域を制限してます(lim(r→∞) rψ(r)→0)。
 作用域の制限をしない(普通の条件判定)なら、p_rは非エルミート演算子となるはずです、違いますか?

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/23(Fri) 14:20  No.8902 
こんにちは。

あ さん
>つまり、量子力学的には、端っこで波動関数が  $0$  になるというものも、
>その他の条件も、みんな対等なのです。
>そもそも、波動関数が  $0$  になれという条件がよくかされますが、
>その物理的根拠は何ですか?

>ぶっちゃけ、  $0$  になれという条件は昔の人が置いた仮説(ansatz)で、
>量子論の枠組みでこれを正当化することは不可能です!
>古典的推測でも、これを説明するのも不可能です。

http://keisan.casio.jp/
カシオ 計算式ライブラリ Home > 物理公式集(10)
水素原子の動径波動関数の計算例
をみるとみな
R(r)=χ(r)/r  χ(0)=0
を満たしていますが....

=甘泉法師=

  投稿者:のま - 2010/04/23(Fri) 19:23  No.8903 
作用域の制限なんてしてないですよ。演算子の "見た目" で勝手な判断しないで下さい。-(i/r)(∂/∂r)r = -i(∂/∂r + 1/r) は長さ次元(−1)の演算子です。遠方での収束性を良くすることはあれ悪くすることはない。だいたい、ASAさんの理屈では座標演算子はどれもエルミート演算子でないという理屈になる。

  投稿者:hirota - 2010/04/23(Fri) 19:34  No.8904 
No.8873 は元々の $A=\frac{1}{2}(x p+p x)$ が自己共役でない事を意味してます。
と言うのは、No.8873 で構成した方を $A^\oplus$ と書くと、これは原点で不連続でも良いので
元の $A$ の定義域 $D(A)$ より $A^\oplus$ の定義域 $D(A^\oplus)$ の方が広がっており、
 $\psi\in D(A^\oplus),\,\phi\in D(A)$ に対して $<\psi,A\phi>=<\psi,A^\oplus\phi>=<A^\oplus\psi,\phi>$ 
だから $A^\oplus$ は $A$ の共役作用素に含まれており、 $A$ とその共役は定義域が違う事になる。
また、これから「対称作用素の自己共役拡大」は
「対称性を保ったまま最大限に定義域を広げたもの」になる事が分かります。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/23(Fri) 23:27  No.8905 
こんにちは。

のまさん
>動径方向の正準共役運動量なんて演算子は量子力学にはあり得ないということです。だから測定もできません。「どうでもいい」と言ったのは理論が矛盾してるから何とでも言えてしまうということです。そしてそれらは全て無意味です。

でもそれは実験事実に反するのでは?
座標原点においた原子核のα崩壊で飛び出るα粒子の運動量は測定できないんでしょうか。

=甘泉法師=




  投稿者: - 2010/04/24(Sat) 00:17  No.8906 
ASAさん。
古典対応物のチェックで
生き残る候補が無数にあるということが僕の主張です。
甘泉法師さん。
8902について水素原子の固有関数は普通はラゲールの多項式を採用しますが、
一般には合流型長幾何級数で書くことができます。
そして、その中には無限遠点で収束し、原点で $0$ でなく、
かつ、シュレディンガー方程式を満たすものがあります。
(ただし、角運動量=0の場合のみ)
この場合は、実験的に大体決着が付いているので
仕方がない側面もありますが、
本来はこういった事をちゃんと取り扱うべきなのです。

8905について。
アルファ粒子の運動量は実際には何で測っていますか?
たとえば、エネルギーから逆算していたり、
桐箱を用いて位置を測って確かめていませんか?

  投稿者:のま - 2010/04/24(Sat) 01:18  No.8907 
甘泉法師さん

そこで測定しているのは普通の運動量です。存在し得ないのは極座標の動径座標の正準共役運動量。極座標の動径座標を r(∈R^+) としたとき、[r,p]=i を満たすエルミート演算子 p です。一般に半直線を定義域とする座標の正準共役変数は正準量子論の中に存在し得ないのです。

  投稿者:凡人 - 2010/04/24(Sat) 01:21  No.8908 
のまさん、あさん、いろいろとご教示いただいた事については感謝しますが、これ以上この話題で論議をされても進展はないような気がします。
過去にネット上のこの種論議を幾度か見てきましたので、進言させていただきます。
理論や論理の正しさだけではどうにも出来ないものがこの世に存在する事を理解した上で、論理や理論を追求される事を私は望みます。

  投稿者:ASA - 2010/04/24(Sat) 07:10  No.8910 
hirotaさんNo.8904
 そうですね。
 A[+]の原点での不連続(高次微分も含めて)を除くように、
 定義域D(A[+])を制限する(これをD(A'[+])とする)ようにすれば、
 D(A)=D(A'[+])となりますよね。
 +側(R+)と-側(R-)とで、基底をそろえておけば、Aの固有関数(基底)で展開できることになってますよね。
 自己共役拡大の方法はまだ良く分かってないのですが、"最大限"じゃなくて"同じ"になるようにする(制約条件つきで)のではありませんか?
 そうじゃないと自己共役=可観測量という定式化が成立しない気がしますけど。

  投稿者:ASA - 2010/04/24(Sat) 07:21  No.8911 
あ さん
>古典対応物のチェックで生き残る候補が無数にあるということが僕の主張です。
 そりゃそうでしょう。
立場c)的にも、手がかりに古典対応物から初めても、古典対応物がないものも作れるでしょうから。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/24(Sat) 08:45  No.8912 
こんにちは。



あさん - 2010/04/24(Sat) 00:17 No.8906
> そして、その中には無限遠点で収束し、原点で  $0$  でなく、
> かつ、シュレディンガー方程式を満たすものがあります。
> (ただし、角運動量=0の場合のみ

角運動量0 s状態で 動径波動関数R(0)≠0ですが、件のχ(r)=rR(r)はχ(0)=0ですね。


Re: 自由粒子のハミルトニアンはオブザーバブルか 甘泉法師 - 2010/04/23(Fri) 14:20 No.8902
> R(r)=χ(r)/r  χ(0)=0

の境界条件の説明例です。

http://lab.twcu.ac.jp/sakai/80920qm2.pdf
P.27下 
もともと波動関数u は原点でも有界でなければならないから,波動関数は
lim ru(r, θ, φ) = 0 (6.54) 
r→0
という原点r = 0 での境界条件を満たさねばならない。
-----

http://www.th.phys.titech.ac.jp/~muto/lectures/QMI08/QMI08_chap12.pdf
P.140
12.1.3 原点での境界条件 の最下行
すなわち,動径波動関数は原点付近でRl(r) ≈ r^l のようにふるまう。
-----



χを使えば中心対称場は ポテンシャルUを U_l = U+h'^2/2m l(l+1)/r^2 におきかえて
シュレジンガー方程式 {d^2/dr^2 + 2m /h'^2 (E-U_l)}χ= 0
規格化  ∫|χ|^2 dr = 1
境界条件 χ(0)=0 χ(∞)=0

こうして1次元運動の問題になったら、rの領域をR(-∞、∞)に拡大、境界をX(±∞)=0にしてシュレジンガー方程式を解く。U(-r)=U(r) 偶関数に拡張する。大文字で座標区間(-∞,∞)で考えていることをはっきりさせている。
解のうち奇関数のもの(X(0)=0)だけをとりだしそのr(0、∞)の領域を見れば求める解χ(r)になる。(規格化を正すため√2倍して)


奇関数解Xの運動量はごくふつうに考えられる。 奇関数だから ∫A (sin kx)dk の形に展開できる。正方向と負方向の波の振幅は同じで位相は逆。...こういうふうに考えた運動量をr(0、∞)の領域の波動関数χ(r)の運動量とみなしてもいいかどうか?  わかりませんが、そんな安易なものではないんでしょう。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2010/04/24(Sat) 09:31  No.8913 
のま さん No.8903
 いってることが良く分かりません。
ここでいってるのは、内積計算時の作用域ですから、演算子を作用させた結果の範囲でなくて、演算させる対象そのもの範囲ですよ。
 
まず以下についてお答え下さい。
No.8883> <ψ|p_rψ'> = ∫drdθdφ r^2 sinθ ψ^* (-i/r)(∂/∂r)(rψ')
=∫drdθdφ r^2 sinθ (i/r)(∂/∂r)(rψ^*) ψ' =<p_rψ|ψ'>
 これは、本当に任意のL2関数で成立しているのですか?
 例えば、遠方で動径関数がO(1/r)の形だと、成立していないように思えます。

  投稿者:のま - 2010/04/24(Sat) 11:29  No.8914 
ASAさん

球対称で遠方で 1/r だったら元より二乗可積分じゃないですよ。座標空間は3次元ですよ。1次元じゃない。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/24(Sat) 12:00  No.8915 
こんにちは。

のまさん 2010/04/24(Sat) 01:18 No.8907
>存在し得ないのは極座標の動径座標の正準共役運動量。極座標の動径座標を r(∈R^+) としたとき、[r,p]=i を満たすエルミート演算子 p です。一般に半直線を定義域とする座標の正準共役変数は正準量子論の中に存在し得ないのです。

p_rは存在しない。ましてやp_r^2が存在するワケがない、と思いきや

あさん 2010/04/23(Fri) 09:34 No.8894
>n次元の動径方向の運動量  $p_r$  は自己共役ではありません。
>しかしながら、  $p_r^2$  は自己共役拡大を持ちます。

p_r^2 は観測可能量? この具合を不思議に思っています。 
演算子p_r^2を要素に「分解」してはいけないということでしょうか?

=甘泉法師=

  投稿者:hirota - 2010/04/24(Sat) 12:36  No.8916 
ASAさんNo. 8910
>基底をそろえておけば
 $L^2(R^-)\oplus L^2(R^+)$ の基底は−側と+側で独立に取って、全部の組み合わせを集めたものです。
(−側の基底を $f_n$ , +側の基底を $g_m$ とすると、 $(f_n,g_m)$ の全部が基底)
>"最大限"じゃなくて"同じ"になるように
それより定義域の広い対称作用素があると、No.8904 の論法で自己共役ではないことになりますから"最大限"じゃないといけません。

  投稿者:ASA - 2010/04/24(Sat) 12:47  No.8917 
のまさん No.8914
 了解。重み付けありで内積を考えるわけですね。そうすると対称条件が満たされていることになりますね。しかし、自己共役条件が満たされているわけでないので、e^(iPr)はユニタリとは限らないとなります。

のまさん No.No.8898 >T がエルミート演算子なら exp(iaT) (aは実数) はユニタリ演算子。線形代数の初歩。
 これが数学的に、矛盾しているのでは?
 (連続固有値(連続濃度)の場合は、固有値の数が可付番無限での行列の性質が必ずしも成立してないということだと思います)

対称演算子は、のまさんの用語だとエルミート演算子なのですが、数学的にいうとe^(iT)でT=T*(自己共役)なら、ユニタリですが、Tが対称演算子の場合は、ユニタリとは限らないとされてます。だから、のまさん流の数学上の問題と思われます。
 Prは可観測量として採用できないという結論は変らないのですが、その理由付けとして、矛盾するからというのではなくて、整理された数学上の立場からは、自己共役でないからとなります。
 他の理由付けとしては、Prの固有関数が直交してない(エルミート演算子の固有関数が直交しない例)というのも考えられます(確か、ディラックでは固有関数の直交条件を可観測量に課していたはず)。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/24(Sat) 13:46  No.8918 
こんにちは。
続けます。


波動関数が求められればフーリエ変換で運動量についてもわかる。
たとえば 水素原子の基底状態の波動関数は、原子単位で 1/√π e^-r なのでフーリエ変換して
運動量波動関数は 2√2/π 1/(1+p^2)^2 コーシー(ローレンツ)分布^2。こちらも球対称。


 さて、これから”動径方向の運動量”を求めようとしても、どういう演算をしたらいいのかとりくつ島がない。動径方向というのはどこの場所にいるかによるし、場所と運動量は両立しないし...。 ”動径方向の運動量^2”はなおさらわからない。
 先にあげた原点にある原子核からの崩壊α粒子の運動量の例はわたしの間違いでした。


中心力場にある粒子のハミルトニアン
H=1/2m( Pr^2 + h’^2 l^2 /r^2)  + U(r)
ここで Pr = h'/i 1/r d/dr r

ハミルトニアンHはオブザーバブル、自己共役。 エネルギーだから。量子力学での公理のようなもの。
U(r)はオブザーバブル、自己共役。 座標の実数関数だから
( Pr^2 + h’^2 l^2 /r^2) はオブザーバブル、自己共役。運動量の2乗だから。
Pr^2、h’^2 l^2 /r^2 はオブザーバブル、自己共役ではない

ということではないんでしょうか。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2010/04/24(Sat) 14:12  No.8919 
hirotaさんNo.8916
 なるほど、了解です。



  投稿者: - 2010/04/24(Sat) 14:12  No.8920 
甘泉法師さま。8912について。

じつは、原点で発散する解でも、 $L^2$ にはいっているものがあります。
そういうものを除外する理由は、量子力学にはまったくありません!
ですから、この要請自体が誤りです。
まぁ、知らなくてもほとんど問題ないので、
このようにおかれたのでしょう。

こういったことを真剣に取り上げた研究は
1980年代にロシアでやられていまして、
(Mosc. Univ. Phys. Bull 42 (1987) 81.等)
発散する場合のSpectrumが研究されています。

8915について。
結果論的にはそうです。
古典的には $p_r$ を二乗すれば $p_r^2$ のように見えますが、
量子的には、
 $p_r$ の値域と定義域を気にして掛け算をしないといけません。
どんな定義域の $p_r$ を二乗したかにより行き着き先は変わるわけですし、
一般には $X^2$ と $X$ が同じ定義域を持ちえるとも限りません。
したがって、そもそも $p_r$ の二乗が $p_r^2$ であるかどうかすら、
微妙な問題があるのです。


ASAさん。No.8911に付きまして。
そういう、雑多な演算子の中に物理がある可能性がある
というのが僕の主張です。

 たとえば、半直線上の二階線形微分方程式
 $H=-\frac{d^2}{dx^2}$ 
にはさまざまな境界条件が現れますが、
その中には、古典系 $H=p^2$ の持つ、
スケール不変性を破るようなものが現れます。
つまりあらわに古典対称性を破るので、
こいつは無意味な演算子であるというのか、
量子力学レベルでは古典系の持つ対称性が破れる量子異常[1]という現象が
起きるがそのアナログと考えるかは、
モデルとしている実験系の実験結果を踏まえて、
ちゃんと見積もるべき事象だと思います。

もし、量子異常が生じるなら、この拡張は意味があるわけですし、
その意味で、重要な意味があるのです。
(これは、単純なこじ付けではなく、
古典ラグラジアンの持っている対称性を破るような要素は、
普通の量子化の手順の中には存在しません。
そうなってくると、繰り込み条件のような、
系を特徴付けるいわば境界条件のようなものが重要になってくるわけです。
それは同じ演算子であっても、(繰り込み点が異なれば)物理量は変化し、
自己共役拡大の境界条件と考えている人がいます)

([1]超対称性理論
現代素粒子論の基礎として
太田信義・坂井典佑共著
サイエンス社 p15)

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/24(Sat) 14:40  No.8921 
こんにちは。

>じつは、原点で発散する解でも、  $L^2$  にはいっているものがあります。
>そういうものを除外する理由は、量子力学にはまったくありません!
>ですから、この要請自体が誤りです。

私は門外漢なので感想だけ。
とすると、これまでそういう解が実験で観測されなかった(しようと実験家が努力してこなかった)のは訳ありなんでしょうね。

>古典的には  $p_r$  を二乗すれば  $p_r^2$  のように見えますが、
>量子的には、
>  $p_r$  の値域と定義域を気にして掛け算をしないといけません。

pr=1/rd/dr r なら明らかに pr^n=1/r(d/dr)^n r にみえますが....  厳密な数学は難しいものですね。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2010/04/24(Sat) 14:41  No.8922 
あさん
>雑多な演算子の中に物理がある可能性があるというのが僕の主張です。
はい、可能性なら否定できませんね。あとは、その可能性がどの程度あるかという見積もり(予断)にすぎませんから。
No.8890 の立場e)では、測定という行為と測定器自身をその内側に取り込む形で枠組みを作り、どのような測定方法を用いると何が可観測量になるかをも規定できるようにする訳です。これが本筋と考えれば、アナロジによって闇雲な拡張で量子異常現象に当ると考えるのは、順序が違うとの疑問も成り立ちます。

>境界条件のようなものが重要になってくるわけです。
 これは異論ないですが、どのような測定器をもちいて観測するのかという観点も絡む気がするのですよね。まず、その部分を解明するのが先決かと。

  投稿者: - 2010/04/24(Sat) 16:15  No.8923 
甘露法師さん。

たとえば、厳密な量子井戸は
量子細線、量子ドットなどを駆使しても作れるものではありませんし、
なかなか難しいものなのです。

また、このような特異点が絡む系として、
一次元水素原子があります。
これは、ポリマー上の励起子の記述に用いられているものですが、
こういったものの実験も十分なスペクトラムが得られているわけでは
ありません。

そういう意味で、実験的にはまだまだよくわかっていない系は
たくさんあります。

残念なことに、普通の水素原子のspectrumについてはDirichlet条件が実験に合います。

ASAさん。
逆に、予断で適当な境界条件を課していたのが、
境界条件に絡む研究以前の研究なのです。
むしろ、こちらは予断、偏見なくすべて調べようという立場です。
ASAさんは、たとえば、 $u(0)=0$ のように置くのは、
予断以上の根拠を持って説明できますか?
(前にも言いましたが、無限に高くする極限も、
極限のとり方によっては $u(0)\neq 0$ に行きますよ)

いいですか。
勝手に手で物理的根拠もない仮定をおいて系を限定しているのが
従来の立場。
そういうのはやめて、古典系から出発したとき、
ちゃんと考えられうるパラメーターを全部見積もり、
結論を出すべきだというのがわれわれの立場です。

そして、モデル化した系があって、
その現実の模型とどの自己共役拡大が合うかは、
実験で決めるというのが筋だと考えます。

場合によっては量子異常が起こるような系を
模型の対象にすることもあるかもしれません。
そういう模型も当然量子論の枠組みで記述できるはずなのですから。
その場合、境界条件が自然な形で
(しつこいようですが、拡張ではなく、
古典系を量子化する際に必然的に出てくる自由度です)
量子異常を説明する可能性があるというのは、
むしろ、量子力学の現実記述力を示しているとさえいえます。

観測については、もうちょっと微妙な問題があります。
たとえば、エネルギーを測る時は電磁波のspectrumを見てますよね。
実際には演算子そのものが指定する実験を行っているわけではなく、
なんかプローブ系といわれる観測系のデーターを載せた系があって、
その系を図っているわけです。
e)の立場というのは、そういう、
positive value operator measure
といわれる操作を実験量と絡める立場で、
前にお勧めした、

http://www.amazon.co.jp/Quantum-Computation-Information-Cambridge-Sciences/dp/0521635039/ref=sr_1_1?ie=UTF8&s=english-books&qid=1271686033&sr=1-1

等に詳しいです。
ここの議論は装置と演算子は仮定して議論しているので、
ここで述べたような点になんら寄与しないと考えます。

  投稿者:のま - 2010/04/24(Sat) 16:34  No.8924 
ASAさん

ASAさんは多分、複素ベクトル空間と実ベクトル空間を、少なくとも現在、混同しています。量子論の状態空間は複素ベクトル空間です。そういう危惧があったので私は <ψ|ψ'> = <ψ'|ψ>^* という内積の公理の1つを書いておいたのですが…。「*」は複素共役の意味。

複素ベクトル空間においては <ψ|Tψ'> = <Tψ|ψ'> ( = <ψ'|Tψ>^* ) のとき T はエルミート演算子です。つまり <tex> T^\dagger = T </tex>. もし実ベクトル空間だったら T は対称演算子ですが、今考えてる状態空間は複素ベクトル空間です。

  投稿者:hirota - 2010/04/24(Sat) 16:59  No.8925 
3 次元極座標のヒルベルト空間を
 $L^2(R^+\times(0,\pi)\times S^1,\mu),\,d\mu=r^2\sin(\theta)\,dr d\theta d\varphi$ 
 $<f,g>=\int\overline f g\,d\mu=\int\overline f g\,r^2\sin(\theta)\,dr d\theta d\varphi$ 
として
 $p_r=\frac{1}{r\,i}\frac{\partial}{\partial r}r,\,p_r f=\frac{1}{r\,i}(r f)_r$ 
とすると、
 $<p_r f,g>-<f,p_r\,g>=\int(\,\overline{\frac{1}{r\,i}(r f)_r}\,g-\overline f\frac{1}{r\,i}\,(r\,g)_r)\,r^2\sin(\theta)\,dr d\theta d\varphi$ 
 $=i\int(\,\overline{(r f)}(r g)\,)_r\sin(\theta)\,dr d\theta d\varphi=i\int\left[r^2\overline f g\right]_0^\infty \sin(\theta)d\theta d\varphi$ 
なるほど、境界条件を適当にすれば $p_r$ は対称作用素だな。
(境界条件の設定は稠密性に影響しない)

  投稿者: - 2010/04/24(Sat) 17:11  No.8926 
のまさん。

演算子 $p_0$ を
 $p_0:=-i\frac{d}{dx}$ 
 $\mathrm{Dom}(p_0):=\{f\in L^2(\mathbb{R}^+)\cap \mathrm{AC}(\mathbb{R}^+)|f(0)=0\}$ 
で定義したとしましょう。 $\mathrm{AC}(\mathbb{R}^+)$ は
絶対連続な関数の空間をさしていまして、おまじないだと思ってください。
 $\mathrm{Dom}$ は定義域の意味です。
このとき、
任意の $f$ と任意の $p_0$ の定義域に含まれる $g$ に対して、
 $\langle f| p_0 g \rangle=\langle f'| g \rangle$ 
となるような $f'$ のことを、
 $f'=p_0^\dagger f$ 
と定義します。これが共役演算子の数学的な定義です。

このとき、 $\mathrm{Dom}(p_0^\dagger)$ は $\mathrm{Dom}(p_0)$ と
等しくなく、
 $\exp (-k x)$ という関数が含まれます。
つまり、 $p_0^\dagger$ は虚数固有地を持ち自己共役演算子ではありません。
とうぜん、 $p_0$ も自己共役演算子ではありません。
ここで、
 $\langle f | p_0 g \rangle=\langle p_0 f| g \rangle$ 
ですが、
 $\langle f | p_0 g \rangle=\langle p_0^\dagger f| g \rangle$ 
は常に成り立たちません。
前者は $f=\exp (-k x)$ となることはありませんが、
後者はそうなる場合があるからです。

  投稿者:hirota - 2010/04/24(Sat) 17:59  No.8928 
共役作用素のさらに詳しい説明:
ヒルベルト空間 $X$ に線形作用素 $A$ があって、その定義域 $D(A)$ は稠密とすると、
 $f\in X,\,g\in D(A)$ に対して $<f,A g>$ は $g$ の線形写像である。
この線形写像は、 $f$ 次第では $<h,g>$ と表す事ができる。
$A$ が対称作用素なら $f\in D(A)$ に対して $h=A f$ で $<f,A g>=<A f,g>=<h,g>$ )
 $<h,g>$ と表わせるような $f$ の集合を定義域として $f\rightarrow h$ を $A$ の共役作用素と定義する。
これが一意的であるためには $D(A)$ の稠密性が必要。
 $<f,A g>=<h,g>=<k,g>$ の場合、 $<h-k,g>=0$ であり、稠密性より $g\in D(A)$ は $h-k$ を任意の精度で近似できる。
∴ $<h-k,h-k>=0$ となって一意的。
上の括弧内から、対称作用素では共役作用素の定義域は $D(A)$ を含む事が分かる。
なお、No.8926 の自己共役でない演算子は No.8904, No.8916 で説明した「定義域を狭めると自己共役でない」の状況を作ったものです。

  投稿者:ASA - 2010/04/24(Sat) 18:09  No.8929 
あ さんNo.8923
>逆に、予断で適当な境界条件を課していたのが、
これは、異論がありますね。予断ではなく、実験事実に合うものを選択しているとみるべきでしょうね。

>すべて調べようという立場です。
 非物理的状態を多く含むので、非効率なのでは(現実を説明するという物理的観点から)?その分、他のことに効率的に研究リソースを振り向ければ、更なる進展が期待できますけど(仕分け人的見解)。

>予断以上の根拠を持って説明できますか?
 予断というのが良く分からんですが、実験事実を説明するからでしょ。

>勝手に手で物理的根拠もない仮定をおいて系を限定しているのが従来の立場。
 ここが大きな認識の違いですね。古典対応なり、実験事実から適切な系なり条件を選択しているのが従来の立場。 

>観測系のデーターを載せた系があって、その系を図っているわけです。
 ええ。大雑把には、観測系とプローブ系の相関みたいなものが関係するわけですよね。この相関は、各系の状態とそれがどう作用するかにより決められるはずです(量子揺らぎに起因する誤差も含めて定量的に予言するもの)。
 このあたりの一般論が構築できていないので、観測方法についてもある適当な1モデルにすぎないPVOMでとりあえず"装置と演算子は仮定して議論”しているんでしょ(単なる1例)。従来の枠組みだと作用は演算子で決められるはずです。そして、演算子(拡張やら境界条件も含めて)を決めるのに参考となる実験例が非常に多いので、ここで述べている点に関しても効率的な展開が期待できると考えてます。
 逆に観測系のみを弄繰り回しても、進展しない気がするんですよね。
あと、工学的応用の観点からすると'量子揺らぎに起因する誤差も含めて定量的に予言するもの'が非常に重要になりますね。

ps.のまさんのご相手をお任せします。
のまさん:ウィキペディア(Wikipedia)では『エルミート作用素(エルミートさようそ、Hermitian operator, Hermitian)または自己共役作用素(じこきょうやくさようそ、self adjoint operator)は、複素ヒルベルト空間上の線形作用素で、その共役作用素が自分自身に一致するようなもののことである。』としてます。

  投稿者: - 2010/04/24(Sat) 18:36  No.8931 
ASAさん。

>実験事実に合うものを選択している
>実験事実から適切な系なり条件を選択している

とかありますが、ここがポイントになります。
選択するといった場合、選択肢があってその中から選んでいるわけです。
つまり、自己共役拡大をやってその中で実験事実にあうものを選んでいる、
そういう言い方ですよね。
僕は、そうするのが筋であるといってるのです。

そうじゃなくって、
>非物理的状態を多く含むので、非効率なのでは
>(現実を説明するという物理的観点から)?
>その分、他のことに効率的に研究リソースを振り向ければ、
>更なる進展が期待できますけど(仕分け人的見解)。
という効率重視の立場でしょ。
それは間違いだとは決して思いません。
ただ、そこには理論的な飛躍がある=ansatsがはいっているわけで、
そこは認めなくてはなりません。

こういう論理の飛躍はある系ではうまくいくかもしれませんが、
ほかの系ではうまくいかないかもしれません。
特に実験系がないようなものや、
古典的類推がうまくいくとは限らない量子論ではなおさらです。
だから、自己共役拡大をちゃんとやることには意義があるのです。

あと、PVOMを用いた理論に関してですが、
これは、自己共役な演算子による実験を含む、
現在考えられる最も一般的な実験の枠組みです。
http://as2.c.u-tokyo.ac.jp/~shmz/zakkifiles/07-06-05.html
等参照してください。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/24(Sat) 19:43  No.8933 
こんにちは。

あ さん
>残念なことに、普通の水素原子のspectrumについてはDirichlet条件が実験に合います。

グルジアの学者の、中心力場での微分計算で原点にできるδ関数を無効にするため u(0)=0 (12)という考察を見つけました。
http://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1002/1002.1278.pdf
面白く読みました。ご参考まで。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2010/04/24(Sat) 20:02  No.8935 
あさん
>自己共役拡大をやってその中で実験事実にあうものを選んでいる、そういう言い方ですよね。僕は、そうするのが筋であるといってるのです。
ええ。従来のやり方についての見解に違いが有るように見えたのでコメントしただけで、筋についての異論はありません。
 しかし、ここでの選択は、系統的に自己共役拡大を網羅した後に選び出されたものとは限らないでしょ。

>特に実験系がないようなものや、
技術的要因によって実験系を構築できないものは、それほど急いでやる必要ないと思いますね。量子論の基礎に関する問題は、自己共役拡大以外にもたくさんあると思います。例えば、Conway-Kochen (2006)‘Free Will’ Theorem(整合性、局所性、完全相関性を仮定 → 物理量の割り当ては測定装置の状況等に依存せず、その状況依存性は系固有の任意性「自由意志」の現れである)とか、

紹介されたのは清水さんのところですね。ここは、良く見てます。清水さんは
一般化測定を想定していて、その中で特に確率分布をターゲットにするのがPVOMといわれるものですね(状態変化を含めるかどうかケースバイケースらしいが)

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/24(Sat) 22:02  No.8937 
こんにちは。

極座標のPrの具合を体得するために 1電子原子の1s状態の動径波動関数
R=2(Z/a0)^3/2 e^-ρ  ρ=(Z/a0)r で Pr=1/r h'/i d/dr r について計算してみます。

期待値は h'/i(Z/a0) と虚数。 Prがエルミートでないことがはっきりする。

2乗の期待値は h'^2 (Z/a0)^2 と実数。

Px^2+Py^2+Pz^2=P^2の期待値も同じ h'^2 (Z/a0)^2。 一致するのはs状態 l=0だから。

=甘泉法師=

  投稿者: - 2010/04/24(Sat) 22:59  No.8938 
ASAさん。

前半は、体系的にちゃんとやっていないという意味で、
いい加減なことをやっているなぁという意見になります。

中半についてですが、
実験系が構成できるかどうかは
面白いから予算とって来てやろうと思ってくれないといけないんですよw
先ず、理論が先行するというのは大事なことなんです。
小林益川しかり、ベルの不等式しかり

後半ですが、

http://arxiv.org/PS_cache/quant-ph/pdf/0604/0604079v1.pdf

ですよね。思わず笑ってしまったのですが、

>技術的要因によって実験系を構築できないものは、
>それほど急いでやる必要ないと思いますね。

の代表的な例をあげてくるとは。
 量子力学のオープンプロブレムはおっしゃるとおり、
実験可能なものからそうでないものにいたるまで
相当たくさんあります。
理論的解釈的なものから実験に絡むものまでさまざまです。
 その中で、どれが価値がある問題であるという議論自体が
ある意味無価値だと僕は思っています。
特に、ASAさんがあげたような純粋理論は日本では特に評価されません。
こういう、研究に意味があるかどうか役に立つかどうか、
そういう視点ではなく、
もうちょっと広い視点で予算を配分してほしいものです。
(ちなみに、日本では、こういった研究はほとんど予算が付きません。
まだ、量子ナノ装置で重要になるだのといって
観測と絡められる自己共役拡大のほうが予算がとりやすいですね)

後半、PVOMについてですが、テキストを読んでください。

甘泉法師様

ざっと呼んでみました。
アイディアはいいけどアクセプトされないんじゃないかなと思います。
これは、下衆の勘ぐりなんですが、
ver5となってますが相当レフリーともめてるんじゃないかなと。

(9)式で両辺を $r$ で割った形で出していますが、
普通はそんなことしませんよね。
さくっと、 $r$ をかけて整理する。
すると、 $r\delta(r)$ という項が出てきて、消えちゃうと。
この式を正当化するもはそうとう難しい。

また、 $\delta$ のソースが物理的にまずいことを起こすと
いってるようですが、
それももうちょっと説明が要ります。

また、参考文献(3)は
 $r^{-1}$ 型の自己共役拡大を始めた最初の人ではないので、
もうちょっと引用文献がほしいところです。
なお、(3)のGiriという方が、ブラックホールのエントロピー云々
やった人だと思います。
ついでに、(3)は自己共役拡大のスケールアノマリーにも関連しています。
そういう意味で、よいしょしておきます。

最後の不満は僕の論文を引用していないw

というわけで、個人的には信用が置けません。
相当の修正が加わると思いますので、そのご参考にしたいと思います。

  投稿者:kafuka - 2010/04/25(Sun) 00:38  No.8939 
お邪魔します(文字通り、お邪魔でしょうが)

xとpの正準交換関係から、数学的に出てくるのは、
p=-ih'∂/∂x に限定されず、一般に、p=−ih'∂/∂x+∂F(x)/∂x
です。TOSHIさん:http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2007/05/post_0064.html

で、極座標の運動量演算子は、
p_r= -ih'(1/r)(∂/∂r)r=-ih'(1/r)(r∂/∂r+∂r/∂r) = -ih'(∂/∂r+1/r)   ・・・・全充さんによる

HirotaさんNo8925>境界条件を適当にすれば  $p_r$  は対称作用素
なので、∂/∂r単独では問題があっても、1/rとの組になるのが、
「極座標の場合」の本来の姿とすれば、
少なくとも対称作用素にはなります。

  投稿者:のま - 2010/04/25(Sun) 05:25  No.8942 
ASAさん

複素ベクトル空間の"部分空間"上における対称作用素、自己共役作用素という数学的用語を私が知らなかったために誤解しました。混乱させてしまい大変申し訳ありません。"ASAさんが実ベクトル空間と混同" という件は撤回します。

あさん

コメント見逃してました。説明ありがとうございます。よくわかりました。

その用語でいうならおっしゃるように <Tψ|ψ'> = <ψ|Tψ'> を満たす T は対称作用素にすぎません。しかしこのとき、

< exp(iaT)ψ | exp(iaT)ψ >
= Σ(n=0,∞) < exp(iaT)ψ | ((iaT)^n/n!)ψ >
= Σ(n=0,∞) < (-iaT)^n/n!) exp(iaT)ψ | ψ >
= < exp(-iaT)exp(iaT)ψ | ψ >
= < ψ | ψ >

ですから私の証明に問題はないはずです。私がエルミート演算子とかユニタリ演算子という用語を使ったため ASA さんにいらぬ誤解を与えてしまったようです。

  投稿者:ASA - 2010/04/25(Sun) 06:31  No.8943 
のま さん No.8942

>= Σ(n=0,∞) < (-iaT)^n/n!) exp(iaT)ψ | ψ >
>= < exp(-iaT)exp(iaT)ψ | ψ >

i→-iに変えるのと同様に、T→T*にしないといけないのでは?
T=T*がself adjointの条件なので、ユニタリ性は、自己共役演算子で成立するという話でしょ。


  投稿者:のま - 2010/04/25(Sun) 08:36  No.8944  <Home>
ASAさん

ちょっとご説明がよくわかりませんが、そもそも T の定義域と値域が一致する保障がないので T^n (n≧2) は定義されないのかもしれません。とするといずれにせよ ASA さんが当初からご指摘のようにこの証明はダメですね。

まとめると、3次元極座標上の p_r = (i/r)(∂/∂r)r は対称作用素だが自己共役でない(自己共役だと"仮定"すれば当然矛盾する)。3次元極座標上の正準量子論([r,p]=i, r, p が共に自己共役となる量子論)は存在しないが、この量子論自体が矛盾体系というわけではない。

これでよろしいでしょうか?

  投稿者: - 2010/04/25(Sun) 09:22  No.8945 
ちなみに、 $H$ が自己共役なら、
 $\exp(\i H t)$ がちゃんと定義できて、
Unitaryであるという定理があります。
参考までに。

  投稿者:凡人 - 2010/04/25(Sun) 10:02  No.8946 
>3次元極座標上の正準量子論([r,p]=i, r, p が共に自己共役となる量子論)は存在しないが、
http://hb3.seikyou.ne.jp/home/E-Yama/Undoryo_Enzansi.PDF
はどうでしょうか?

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/25(Sun) 10:03  No.8947 
こんにちは。
議論に少しでもついていきたく初歩的なことを教えてください。


{operator 作用素 演算子} の

{self adjoint 自己共役(共軛) 自己随伴 Hermitian エルミート}

 という用語はみな同じ意味でしょうか。


 対称作用素は、自己共軛作用素と違うものでしょうか。


 物理観測量(自己共軛作用素)を、その定義域にない物理状態(複素ヒルベルト空間の点)について観測すれば、結果はどうなるのでしょうか。

 よろしくお願いいたします。

 =甘泉法師=

  投稿者:のま - 2010/04/25(Sun) 11:57  No.8948  <Home>
凡人さん

ざっと見ただけですが、座標表現の p_r の式はここと同じで -i/r(∂/∂r)r. これは対称演算子であるけども自己共役でないです。つまり物理でいうエルミート演算子ではない。議論中何がおかしいかというと、演算子としての 1/r は、実はちゃんと定義(well-defined)できないのです。なのにあたかもちゃんと定義されてるように扱ってる。ここが嘘でしょうね。

  投稿者:hirota - 2010/04/25(Sun) 16:05  No.8949 
スレッド内で何度も説明された事をもう一度見たい場合、ページ内検索が便利です。
ただし、[日付順表示]の状態では古いコメントが表示されませんので、[タイトル表示]にして、
そこから当スレッドを開いて検索すれば、スレッド内のコメントが全部表示されるので便利です。

  投稿者: - 2010/04/25(Sun) 17:00  No.8950 
のまさん。8948に関して。
半直線でmeasureが $r^2 dr$ では-i/r(∂/∂r)rは自己共役ではありません。
ところが、一直線上だと自己共役拡大が遂行できます。

甘泉法師さん。
1,2,については過去の僕の投稿に書いた記憶があります。
そちらを参照ください。
3は理論的については何もいえません。

  投稿者:hirota - 2010/04/25(Sun) 19:07  No.8952 
3 は No.8761 で甘泉法師さんの質問に答えてますから、それが納得できなかったんでしょうね。
でも、教科書の初歩的な事をそのまま書いただけですから、納得できないとチョト困る。

  投稿者:凡人 - 2010/04/25(Sun) 19:32  No.8953 
のまさん、あさん、ご教示頂きありがとう御座いました。

  投稿者:ASA - 2010/04/25(Sun) 19:37  No.8954 
hirotaさん No.8952
 可観測量の定義域外の状態(拡大された表現空間におけるある状態)が、本当に物理状態に成り得るのか疑問ですよ。何をもって物理状態とするのかを明らかにしてない場合は、あさんのようになんとも言えないと思えます。
 普通は、何が物理状態であるかを明らかにしてから(例えば、系のハミルトニアンで決める等;射線の規定)、系における任意の状態をその固有関数で展開できる演算子を可観測量として選んでいるので、定義域外の物理状態というのが、ちょっと想定できませんよね。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/25(Sun) 21:27  No.8955 
こんにちは。

コメントありがとうございます。

8947の問1と問2はログを見直してみます。

問3について

hirotaさん
>3 は No.8761 で甘泉法師さんの質問に答えてます
で、No.8761
>作用素の定義域に入ってない関数 (状態) であっても、作用素の固有ベクトルで正確に展開できる。

すべての定義域以外の点の任意の近傍に定義域の点があるように混合している。
前には砂糖と水の溶液にたとえました。 新しく数直線上の無理数と有理数のたとえではどうでしょうか。

たとえ
複素ヒルベルト空間 ⇔ 数直線
作用素の定義域にはいっていない元 ⇔ 無理数  
作用素の定義域にはいっている元 ⇔ 有理数   

失念失礼いたしました。 

あさん
>3は理論的については何もいえません。

教科書の初歩で上記のとおりだそうです。すべての定義域外の元が、厳密にドンピシャでなくても、任意の近傍にある定義域の元で代用できるなら物理のような荒い応用では問題ないので、皆さまの厳密な議論も物理にきくことはなさそうで安心です。

=甘泉法師=







  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/25(Sun) 21:58  No.8956 
こんにちは

のまさん - 2010/04/25(Sun) 11:57 No.8948 HomePage
>演算子としての 1/r は、実はちゃんと定義(well-defined)できないのです。

演算子XがオブザーバブルならXの関数f(X)もオブザーバブル。
Xを観測して値xを得たデータは、f(X)を観測して値f(x)を得たデータとして使える。
f(X)=X^-1 も例外ではない。

このこととご発言を考えあわせるとそもそも動径rがオブザーバブルではないということになるんでしょうか。

位置ベクトル(x,y,z)がオブザーバブルならあらわしかたが違うだけの(r,θ、φ)の組みもオブザーバブルになりそうなものですが....。

=甘泉法師=

  投稿者:hirota - 2010/04/25(Sun) 22:11  No.8957 
No.8761 の説明は量子力学の教科書によくある「厳密性は適当に誤摩化す」の類です。
(詳しい人からは即座にツッコミが来る・・・と思ったら、書いた時になかったのは意外)
それをさらに「たとえ」で分かろうというのは適当に適当を重ねるようなもんです。

おっと、厳密でないとは言っても不連続関数 (微分作用素の定義域に入ってない) がフーリエ級数で展開できるのは本当ですよ。

>演算子 X がオブザーバブルなら X の関数 f(X) もオブザーバブル
f(x)=i x だと対称作用素にもなりません。
実関数に限っても、x, y, z から r の計算には平方根がありますが、それが問題ないなら $p_r^2$ から $p_r$ の計算にも問題ないはず。

  投稿者:甘泉法師 - 2010/04/25(Sun) 23:00  No.8959 
こんにちは。

ご指導ありがとうございます。

>実関数に限っても、

 そうですね。f(X)は実関数とすべきでした。

>x, y, z から r の計算には平方根がありますが、それが問題ないなら

平方根の問題とは、x, y, zを観測値として r= ±√(x^2+y^2+z^2) と2価になるところ正値しか選ばない恣意性ということでしょうか。 それとも別のことでしょうか。

>  $p_r^2$  から  $p_r$  の計算にも問題ないはず。

  $p_r^2$   が自己共軛だとして議論されていますが私には自明でありません。   $p_r^2$  は、極座標のラプラシアンの動径部分 *(−h’^2)ですが、自己共軛なのでしょうか。あ さんは自己共軛拡大とおっしゃっていましたが言葉から理解できませんでした。

適当な
=甘泉法師=


  投稿者:管理人 - 2010/04/27(Tue) 08:33  No.8983 
 このスレッドは投稿数が増えすぎて、
掲示板機能に支障がでる可能性が出てきましたので、
急遽、過去ログへと移動することを決定しました。

 その通知のために今すぐは移動しませんが、
今晩には、その作業を行う予定です。

========================================

 議論の続きは

「定義域外状態の観測」
「動径座標演算子の自己共役拡大について」

などのスレッドに引き継がれているようです。

 ご協力ありがとうございます。