EMANの物理学 過去ログ No.7930 〜

 ● 趣味で相対論p40「増大する質量」について

  投稿者:kafuka - 2009/11/26(Thu) 19:27  No.7930 
EMANさん

「趣味で相対論」を読んでいます。
僕は、趣味で母校の講義を受けているのですが、
p41で
「力」Fを計算して、それが、γ^3mdv/dt になるとしてあります。
いわずもながら、tで微分したのでは、ローレンツ変換で不変ではありません。
「物理法則は、慣性系によらず不変」=>「F(固有力)も慣性系によらず不変」
が成り立つためには、ローレンツ変換で不変である必要があります。

先生の講義では、
ローレンツ変換で不変な「力」F=dp/dτ=md2x/dτ2   (τは固有時)
であると習いました。(τはスカラーなので、Fはpと同様、ローレンツ変換で不変)

したがって、p41の F=d/dt(mγv) は d/dt(mdx/dτ) ですから、
この計算から出てきた γ^3mdv/dt は、現実の、つまり慣性系によらない「力」の値
を表わさない
と思いまがすが、いかがでしょうか?

尚、僕の計算では、d/dτ(mdx/dτ) = dt/dτ d/dt(mγv) ですから、
    F=γ^4mdv/dt
となりました。
http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/62546419.html

  投稿者:EMAN - 2009/11/26(Thu) 23:47  No.7932 
> γ^3mdv/dt は、現実の、つまり慣性系によらない「力」の値
> を表わさないと思いまがすが、いかがでしょうか?

 この話はサイト上の同名の記事と同じですね。
http://homepage2.nifty.com/eman/relativity/increase.html

 この計算は、ある観測者からみた、
従来の意味での力の定義に従って光速近い物体を加速するときに
どうなるか、という話なので、別に固有時を使うことはないのです。

 もう少し先まで進みますと、
固有時を使った運動方程式の話が出てくると思います。第3章かな?
 サイト上にはまだ作ってなかったのを思い出したので
明日から作業に取り掛かりたいと思います。

 一応、こんな記事もありますけれど、あまり気に入ってないのです。
http://homepage2.nifty.com/eman/relativity/4force.html
 

 ところで、

> 慣性系によらない「力」の値

 という考え方は変だと思います。
 値は、それぞれの立場に座標変換されて変わるものですから。

  投稿者:凡人 - 2009/11/27(Fri) 00:19  No.7933 
>> 慣性系によらない「力」の値
>という考え方は変だと思います。
kafukaさんの主張内容が良く理解出来ていませんが、kafukaさんが謂う所の「慣性系によらない「力」」は、以下の箇所で示されている、「4元加速度・4元力」に関連するという事はないでしょうか?
http://www.geocities.jp/maeda_hashimoto/tor/tor_ch01pr09p02.htm
<<追伸>>
誤解を受けると悪いので念の為お断りしますが、私はkafukaさんのF=γ^4mdv/dtは誤っていると思っています。
何故ならば、ここで問題にしているFは、「慣性系によらない「力」」では決してなく、観測系から見た(加速系の)「力」ですから、F=d(観測系から見た(加速系の)運動量)/d(観測系の固有時)としなければならないと思っているからです。

  投稿者:kafuka - 2009/11/27(Fri) 08:47  No.7934 
EMANさん
お答え頂きありがとうございます。

>値は、それぞれの立場に座標変換されて変わるものです
それは、理解しているつもりです。
書き方が悪かったです。
言いたいのは、
「力」の定義が、ローレンツ変換不変な定義でないと(慣性系内部での)「力」の計算値が、
(慣性系内部での)実験結果の値と一致しなくなる
のつもりです。

力を含めて実験結果の値が「慣性系によらない」というのは、
相対論の前提
1.光速度不変
2.異なる慣性系でも「慣性系内での物理法則」は、全く同じである
の2の方の帰結を言っているつもりです。
つまり、
ある慣性系Aに対し、cに近い速度で動いている慣性系Bがあったとして、
それぞれの系の中で、別々に「全く同じ実験」をして、結果が出たとします。
2は、この実験結果が、全く同じである という主張です。
(測定装置の 時間も実験対象と同じだけ遅れ、長さも同じだけ縮みますから)
したがって、測定された位置も同じ、系内の運動量の値も同じ はずです。
だったら「系内の力の値」も同じ でしょう。
例を挙げれば、
μ粒子は、静止している時、平均寿命は、2.2x10-6[s]です。
ほぼ光速で走れば、この間、660m走ります。
問題1.
   μ粒子が0.999cで高度1万mから降ってきた。地上まで到達するか?
   答: する(約14800m走ることができるので)
問題2.
   この場合のμ粒子と「同一の系」で測定すると、平均寿命は何秒か?
僕(先生も)答は、2.2x10-6[s] です。
(測定装置の時間も遅れることをお忘れなく)

尚、相間屋になるつもりは、ありません。

  投稿者:凡人 - 2009/11/27(Fri) 10:15  No.7937 
kafukaさん、横から失礼して申し訳ありません。
>「力」の定義が、ローレンツ変換不変な定義でないと(慣性系内部での)「力」の計算値が、
>(慣性系内部での)実験結果の値と一致しなくなる
との事ですが、F=γ^3mdv/dtのFについては、
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E7%89%B9%E6%AE%8A%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96
の「相対論的質量」の箇所でも、
>相対論的質量の考え方は、一般相対性理論における等価原理とは相容れないものである。
述べられている通り、一般相対性理論では通用しないものである事を、EMANさんもご存知の上でF=γ^3mdv/dtとされていると思うのですが、F=γ^4mdv/dtならば、「(慣性系内部での)「力」の計算値が、(慣性系内部での)実験結果の値と一致」するのでしょうか?
尚、今回の問題は、慣性系と加速系の間の物理量の変換則に関わる事なので、理論展開の為の文章表現についても、その点に留意されたほうが宜しいのではないかと思うのですが、如何でしょうか?

  投稿者:EMAN - 2009/11/27(Fri) 10:15  No.7938 
 少し論点に食い違いがありましたことを認めます。

 kafukaさんが学校で習われました「相対論的な運動方程式」はそれで問題ありません。
 私も後のほうでそれを紹介しています。
 そしてそれは非相対論的極限にて、通常の運動方程式と同じ意味になります。
 定義によっては光速の値などの差が出ますけど、本質的な差ではありません。

 逆に言えば、相対速度が光速に近い場合には、両者は別物だということです。

 ですから、kafukaさんの最初の質問にあるように、
私の計算結果が「慣性系によらない力」の値を表していないというのは
正しいです。

 ただ「慣性系によらない力」と「従来の力」の定義は異なりますから、
「慣性系によらない力」というのは、
どういう意味なのかを考えないといけません。

 相対論をやっていると、従来の概念が限定的なものであって、
「慣性系によらない量」を使うのが正義であるかのように思えますよね。
 しかしどこでも使えば良いというものでもありません。

 「慣性系によらない力」というのは
少々意味をつかみにくい量になっているはずです。
 意味さえもが従来とは変化してしまっているのです。

 私の記事中では、従来の意味で考えていますし、
それが使える状況なので、その結果で問題があるわけではありません。

  投稿者:hirota - 2009/11/27(Fri) 10:40  No.7939 
ローレンツ変換で不変な「力」なんて言い方はダメです。
正式には「4元力」とか「ミンコフスキーの力」と言って、定義式の「形」は不変でも4元ベクトルの成分は座標変換と共に変換されて変化します。
測定できるのは座標に依存した普通の力の方ですから、取って代われるものではありません。

  投稿者:EMAN - 2009/11/27(Fri) 10:46  No.7940 
 ああ確かに。 相手の意見を立てようとして、つられちゃったな。
「慣性系によらない力」って表現は意味が通らない。
「4元力」って言い直した方がいい。

  投稿者:EMAN - 2009/11/27(Fri) 11:09  No.7941 
 kafukaさんの返信には、他にも
「本当に分かってんのかな」とつっこみたくなる要素が
幾つかあるのだけれど、
話題がそれるのをおそれるのと、
ご自分で気付かれることを期待するのとで、
敢えてメインらしきところに絞って応答してみました。

 後で話題にするかもしれない。

  投稿者:kafuka - 2009/11/27(Fri) 12:02  No.7942 
EMANさん
Hirotaさんの「測定できるのは座標に依存した普通の力の方ですから、取って代われるものではありません」
で納得しました。
つまり、F=dp/dt=γ^3mdv/dt の方が正しい 
ということです。
(とは言うものの、凡人さんのコメについては後で書きます)

>「本当に分かってんのかな」とつっこみたくなる要素
1つは、「異なる慣性系でも「慣性系内での物理法則」は、全く同じである」
ですか?
先生は、「異なる慣性系でも「物理法則」は、同型である」と言われました。

Hirotaさん
>ローレンツ変換で不変な「力」なんて言い方はダメです。
ちょっと、考えてみます。
まず、ユークリッド空間でのベクトルの回転変換
1.長さ(ノルム)が不変
2.形が不変(曲がったり切れたりしないということ)
成分は座標変換と共に変わるが、ベクトルが「回転変換で不変」と言うのは、良いと思います。

で、ミンコフスキー空間でのベクトルの回転変換
1.ミンコフスキーノルムが不変
2.形が不変(曲がったり切れたりしないということ)
これを「ローレンツ変換で不変」と呼ぶのは妥当じゃないとしても、
この不変性のことを、XX不変という呼び方は、ないのでしょうか?

  投稿者:hirota - 2009/11/27(Fri) 12:15  No.7943 
>相間屋
ググッてもweb辞書でも見つからないし、「相問屋」でも見つからない。
「孔子項託相問書」だと、子供と問答をして言い負かされたという話だが、関係あるかな?

  投稿者:hirota - 2009/11/27(Fri) 12:34  No.7945 
法則や方程式はローレンツ不変とかローレンツ共変とか言います。
ローレンツ変換で不変な量はスカラーだけです。(ノルムもスカラー、空間的な形が変わらないのもノルムが不変なため)
ベクトルは共変だったり反変だったりします。

  投稿者:T_NAKA - 2009/11/27(Fri) 16:08  No.7954  <Home>
>kafukaさん

「異なる慣性系でも『物理法則』は、同型である」
というのは、日本語として意味が捉え難いです。
「異なる慣性系でも、その慣性系が静止系と観測される系から見れば物理法則は同じ」なのか
「物理法則を示す方程式はローレンツ変換で形が変わらない」ということなのか
よく分からないですね。
普通は、後者のことを言って、hirotaさんの言うとおり「ローレンツ共変」というのが正しいと思います。

ところで、「相間屋」ではなく「相間さん」だと、すぐ検索に引っ掛かります



  投稿者:kafuaka - 2009/11/27(Fri) 17:42  No.7955 
Hirotaさん
>ベクトルは共変だったり反変だったりします
T_NAKAさん
>「異なる慣性系でも『物理法則』は、同型である」というのは日本語として意味が捉え難いです
これからは、ちゃんとした言葉を使うようにします。

高専での相対論の講義は、特殊が8コマ、一般が0.5コマで終わりなのです。
最後の方で、共変や反変は、ちょこっと出てきましたが、
それまでは、先生は、
「XXXXは、ローレンツ変換で不変」とか「XXXXは、ローレンツ変換で形が変わらない」
という言い方で通されました。
もちろん、この「不変」が「形が不変」を意味し
「成分の不変」までもは意味しないことの、十分な説明はありました。

そんなわけで、「不変」で意味が通ると思っていました。
決して子供の屁理屈で言っていたわけでは、ないのです。

「趣味で相対論」を読んで「共変、反変」をきちっと押さえようと思います。

  投稿者:hirota - 2009/11/27(Fri) 18:06  No.7956 
>相間さん
おーっ、これでしたか!
そういえば略さない方は聞いた事がありました。ありがとうございます。

  投稿者:T_NAKA - 2009/11/27(Fri) 19:25  No.7957  <Home>
>kafukaさん

>問題2.
>   この場合のμ粒子と「同一の系」で測定すると、平均寿命は何秒か?
>僕(先生も)答は、2.2x10-6[s] です。
>(測定装置の時間も遅れることをお忘れなく)

などと言う例を持ち出すから、「異なる慣性系でも『物理法則』は、同型である」を
「異なる慣性系でも、その慣性系が静止系と観測される系から見れば物理法則は同じ」
と理解されていると思ってしまう訳です。

どうも「物理現象」と「物理法則」の混同があるような気がするのは私だけでしょうか?
私は「物理法則=方程式」と理解してます。
静電場しか存在しない状態を、別の慣性系からみると、磁場が存在しているように見える場合があります。
つまり「物理現象」は異なってしまいますが、「マックスウェル方程式」の「形」は変わりません。

  投稿者:kafuaka - 2009/11/27(Fri) 21:37  No.7960 
>T_NAKAさん

同じことを、僕は「アインシュタインが相対論を築いた時の前提」に
立ち返って、言ってるだけなのですが、、、
前提:
  (1) 光速度不変
  (2) 異なる慣性系でも「その系内の物理現象」は、全く同じである(その系内=速度差0の系)
     これから、「系Aに対し系Bが速度vで遠ざかるなら、系Bから見れば、
     系Aは、−vで遠ざかるように観測される」 ことが言える。
    (γがつかないところがミソ − かなりの学生が「系Bは時間が遅れるから、、」と考えてわからなくなる)
  (3) 慣性系の速度差→0 で、ガリレイ変換に一致
で合ってますか?

で、僕は、物理現象を記述(予言)するのが、物理法則であり方程式 と思っています。
>静電場しか存在しない状態を、別の慣性系からみると、磁場が存在しているように見える場合があります
もちろん、同意です。

でも、前提(2) と何ら矛盾しない と思っています。
(屁理屈をこねるつもりでは、ないです)
>別の慣性系からみると、、、、
が、前提(1)(2)(3)の帰結と思っています。

まだ、相対論の勉強を始めたばかりなので、一々「前提」に立ち返かえらないと、
考えを進められません。
慣れれば、「異なる慣性系でも『物理法則』は共変である」を元に、
考えを進められると思います。

宜しくご指導の程、お願いします。

PS。
何故、(2)にこだわるかと言うと、ローレンツ変換の逆変換が、

(ct、x、y、z)と(ct’、x’、y’、z’)において、「 ’を入れ替え、vを−vに変える」だけで済む

ことが簡単に言えるからです。

  投稿者:T_NAKA - 2009/11/28(Sat) 01:46  No.7963  <Home>
>(2)異なる慣性系でも「その系内の物理現象」は、全く同じである(その系内=速度差0の系)

と、私の言う「異なる慣性系でも、その慣性系が静止系と観測される系から見れば物理法則は同じ」
は同じですか?

>これから、「系Aに対し系Bが速度vで遠ざかるなら、系Bから見れば、系Aは、−vで遠ざかるように観測される」ことが言える。

ここで、何故「これから」という接続詞がつくのか?私には分かりかねます。
慣性系Aと慣性系Bの相対速度がVということは、Aから見た場合とBから見た場合では方向が逆で、大きさが|V|ということは、特に「異なる慣性系でも『その系内の物理現象』は、全く同じである」を前提にしなくても明らかだと思います。
ここで言っている「物理現象」とは、何のことですか?相対速度のことを示しているのなら、論理が飛躍しているような気がします。

  投稿者:yuya - 2009/11/28(Sat) 09:05  No.7966 
kafukaさんに誘われたので足跡を残しておきます。

相対論を勉強し始めたとき、時間やら長さの概念について
常識だと思っていたことが常識ではなくなるので、
何を信じてよいのか、足場が無くなったような感覚になりますよね。

で、必要以上に全てのことを疑ってかかるようになり、ずいぶん時間が経ってから
「あぁ、相対論でもここは変わらないのか」と気づいたりします。

私にとっては、そのひとつが「慣性系同士の相対速度」でした。

そもそも速度は「距離÷時間」だ、という固定観念があって、
距離やら時間の概念が揺らいでいるのに、速度が無修正でいられるものか、
という思い込みがありました(まぁ、そんなこと言ってたら「光速度不変」なんて永遠に語れないわけですが)。

しかし相対論においても、
そもそも無数の「慣性系」というものが存在して、どれが特別ということもなく、……(*)
それらは互いの相対速度によって単純に( $v$ と $- v$ のように)特徴づけられる、……(#)
ということを、入門当時に読んだ本に
もっときちんと書いてくれてあったらなぁ、と今になって思います。

kafukaさんの「前提2」というのは、(*)のことを指しているのですよね。

(*)から(#)が導かれると考えて悪いということもないのでしょうけど、
「AとBの相対速度」という言葉を用いた時点で、
(*)も(#)も暗黙の了解のような位置づけだと私は理解しています。

これは「Lorentz共変」以前の前提ですが、
「少しだけ理解が進んだ時点でつまづく」という凶悪さがありますなぁ。
古典物理の常識にとらわれている間は疑問にも思わないが、
相対論のノリになじみ始めるとぶち当たるという。

  投稿者:kafuka - 2009/11/28(Sat) 09:43  No.7967 
>(2)異なる慣性系でも「その系内の物理現象」は、全く同じである
これでは、曖昧すぎました。
「その系内の実験結果」とし、実験系の重心が「その系内」=「その系から見て静止」
とします。

>何故「これから」という接続詞がつくのか?私には分かりかねます
すみません。以下に訂正します。

異なる慣性系でも「その系内での実験結果」は、全く同じである
これから、どの慣性系も対等である。と言える
したがって、「系Aに対し系Bが速度vで遠ざかるなら、系Bから見れば、
系Aは、−vで遠ざかるように観測される」 ことが言える。

で、T_NAKAさんの言う「異なる慣性系でも、その慣性系が静止系と観測される系から見れば物理法則は同じ」
は、この文の「物理法則」が「実験結果を記述(予言)する方程式」という意味であれば、
僕は、同じと思います。
T_NAKAさんが出された例で言えば、
>(ある慣性系Aで)静電場しか存在しない状態を、別の慣性系(B)からみると、磁場が存在しているように見える場合、
Aと同じ実験(静電場しか存在しない状態)を、Bですれば、同じ結果(=静電場しか存在しない状態)が得られ、
それぞれの「実験結果を記述(予言)する方程式」は、この場合、全く同一
という極めて当たり前のことを言っているだけです。

僕の主張をまとめると、
1.異なる慣性系でも「その系内での実験結果を記述(予言)する方程式」は、全く同一
2.「他の慣性系の実験結果を記述(予言)する方程式」は、ローレンツ共変
もちろん、1は2に含まれる ― 速度差を0とした場合なので。

  投稿者:T_NAKA - 2009/11/28(Sat) 13:22  No.7973  <Home>
多分、kafukaさんのおっしゃる前提(2)というのは「相対性原理」のことなんだと思います。
これはEMANさんの記事「アインシュタインの指針」
http://homepage2.nifty.com/eman/relativity/einstein.html
でも「どんな慣性系でも物理法則は同じ」と説明されていますね。

「どんな慣性系でも物理法則は同じ」
というのを、kafukaさんは
「異なる慣性系でも、その慣性系が静止系と観測される系から見れば物理法則は同じ」
と理解されていると認識しました。
しかし、私は別の理解をしています。
「慣性系Aからみた物理現象を記述する方程式は、同じ現象を別の慣性系Bからみた物理現象を記述する方程式と形は同じ」
ということで、いちいち「その慣性系が静止系と観測される系」なんかを考えてません。
異なる慣性系同士の座標変換がローレンツ変換なので、
「異なる慣性系でも、その慣性系が静止系と観測される系から見れば物理法則は同じ」
というだけでは、座標変換の式は出てこないと思うのです。

  投稿者:kafuka - 2009/11/28(Sat) 15:05  No.7978 
yuyaさん
Justアドバイスありがとうございます。

>kafukaさんの「前提2」というのは、(*)のことを指しているのですよね。
そうです!!
どの慣性系も対等である と理解しています。

>私にとっては、そのひとつが「慣性系同士の相対速度」でした。
僕もそうなんです。
>「AとBの相対速度」という言葉を用いた時点で、(*)も(#)も暗黙の了解のような位置づけだ
なるほど、そう考えればいいんですね。

ただ、「距離やら時間の概念が揺らいでいる」間は、
問: 慣性系AとBの相対速度は、0.999cである。
    この時、Aから見てBの速度を求めよ。
って問題に、引っかかってしまいそう、、、

T_NAKAさん
>「慣性系Aからみた物理現象を記述する方程式は、同じ現象を別の慣性系Bからみた物理現象を記述する方程式と形は同じ」
と理解できるよう勉強します。

それで、
>、、、というだけでは、座標変換の式は出てこない
うーん。
先生は、
  (1) 光速度不変
  (2) 「異なる慣性系でも、その慣性系が静止系と観測される系から見れば物理法則は同じ」
  (3) 慣性系の速度差→0 で、ガリレイ変換に一致
  それと、「アインシュタインの前提」には無いですが、いろいろ理由をつけて
  (4) この座標変換は、線形変換である
から、ローレンツ変換の式を導出されたように、僕には思えたのですが、
よく考えると、
(2) ⊂ 「慣性系Aからみた物理現象を記述する方程式 は、、、、と形は同じ」
ですから、(2)では弱すぎますね。
(2)∩(4)=「慣性系Aからみた物理現象を記述する方程式は、、、、と形は同じ」
だったら、話は合うのですが、、、
ノートをよく検討します。

  投稿者:凡人 - 2009/11/29(Sun) 11:04  No.7985 
kafukaさんへ
F=γ^4mdv/dtについてですが、ローレンツ変換を二重に行って、おかしな結論を導いてしまったという事は無いでしょうか?
>尚、今回の問題は、慣性系と加速系の間の物理量の変換則に関わる事なので、理論展開の為の文章表現についても、その点に留意されたほうが宜しいのではないかと思うのですが、如何でしょうか?
と申していた件については、如何でしょうか?
それと、今回の件は、以下の「特殊相対性理論との関係」の箇所も参考になると思いますので、ご紹介をさせていただきます。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E8%88%AC%E7%9B%B8%E5%AF%BE%E6%80%A7%E7%90%86%E8%AB%96
<<追伸>>
kafukaさんの
http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/62546419.html#62546419
でT_NAKAさんからご紹介いただいた、以下の村上先生の記事を読んで、大変勉強になりました。
http://homepage3.nifty.com/mkdragon/studies/relative/keq.pdf
大変有難う御座いました。
また、的外れな批判を行ってしまいまして、大変申し訳御座いませんでした。