EMANの物理学 過去ログ No.7881 〜

 ● 磁場は仕事するか

  投稿者:甘泉法師 - 2009/11/16(Mon) 21:15  No.7881 
こんにちは。ある物理フォーラムで提起された話題ですが

===============
磁場は仕事をするのか

1 テーブルにおいたクリップに磁石を近づけたらクリップは磁石に向け動いた。 
  磁石のつくる磁場はクリップに仕事をし、クリップは運動エネルギーをもつ。

2 磁場による力は荷電粒子の速度と垂直 F・v=0。 磁場は仕事をしない。
  クリップを構成する荷電粒子(原子核、電子)のどれにも磁場は仕事をしない。磁場はクリップに仕事をしない。

===============

1と2の折り合いをどうつけるのかわかりません。 諸兄姉から目からうろこのお答えを期待します。

=甘泉法師=


  投稿者:EMAN - 2009/11/16(Mon) 21:59  No.7882 
 こんばんは。
 私も不思議だなーと思って、考えてたらちょっと閃いたので書きますね。

==========================================================

 一様な磁場の中に磁石を置いたら、磁石は移動するでしょうか。

 移動するような気がしますが、実は移動しません。

 棒の両端にSとNのモノポールがついているようなもので、
片方は右へ、片方は左へ向かおうとして、結局動けないわけです。

 電荷が回転すれば磁石のようなものになりますが、
結局これも、一様な磁場の中では、右にも左にも動かないのでしょう。

 以上が 2 の状況ですね。

 すると、1 の状況というのは、一様でない磁場中で起きる現象なんですよ。
 きっと。
 一様でない磁場中で、電荷が円運動しますと、
電荷に働く力の向きというのはちょっと違ってきますね。

 これで疑問を解決できますでしょうか。

==========================================================

 以前から分かってたわけでなく、
今書きながらだんだん分かってきましたので、
最後の方がいい加減ですけど、
多分これで伝わるかなーと思ってこれくらいにしときます。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/11/16(Mon) 23:11  No.7883 
こんにちは。 お考えいただきありがとうございます。

> 一様な磁場の中に磁石を置いたら、磁石は移動するでしょうか。

 移動しませんが磁石の向きが磁場と一致するまでモーターのローターのように回転トルクを受け、回転のエネルギーを得るでしょう。磁場は仕事をします。

> 電荷が回転すれば磁石のようなものになりますが、

 電荷は一様な磁場の中で円運動またはらせん運動を行なうでしょう。磁場は仕事をしません。

> すると、1 の状況というのは、一様でない磁場中で起きる現象なんですよ。

∇Bが0でないとしても荷電粒子の経路のすべての点で ローレンツ力 F=q v X B について F・v=0となり、磁場は仕事をしないのではないでしょうか。

 悩める

 =甘泉法師=

  投稿者:凡人 - 2009/11/17(Tue) 00:28  No.7884 
「棒の両端にSとNのモノポールがついているようなもの」というのは、現在の論議内容からすると、磁気双極子同じものとして取り扱っても支障がないと思うのですが、いかがでしょうか?
もし同じものとして取り扱った場合に支障があれば、その内容をお教え頂けますと助かります。

  投稿者:EMAN - 2009/11/17(Tue) 00:35  No.7885 
 凡人さん、
磁気双極子として扱って支障はないのでしょうけれど、
甘泉法師さんはそういう抽象化した概念を利用するのではなく、
運動する点電荷というイメージのままで直接説明できることを
望んでいらっしゃるのだと思いますよ。
 だからその意図を汲んだ範囲で考えるのです。

  投稿者:EMAN - 2009/11/17(Tue) 01:00  No.7886 
 自由な電荷の場合は、磁場は電荷に仕事をしませんが、
何かに固定されて回転などをする場合には、
そこに束縛される力によって軌道が制約されますから、
磁場から力を受けながら、それと同じ方向へ進むということが
起こりえないでしょうか。
 すると、磁場は電荷に仕事をすることになりますね。

 磁場は電荷に仕事をしないという前提が
かなり限定的なものなのではないかと思います。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/11/17(Tue) 08:27  No.7887 
こんにちは。

>そこに束縛される力によって軌道が制約されますから、
>磁場から力を受けながら、それと同じ方向へ進むということが
>起こりえないでしょうか。

ありがとうございます。

束縛される力によって軌道が制約された挙句のvについて磁場が作用しやはりF・v=0とも考えられないでしょうか...

悩める

=甘泉法師=


  投稿者:hirota - 2009/11/17(Tue) 11:33  No.7888 
磁場は電荷自体の運動エネルギーは変えず、電荷の運動を制約してる物体に仕事する。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/11/17(Tue) 17:06  No.7889 
こんにちは。

> 磁場は電荷自体の運動エネルギーは変えず、電荷の運動を制約してる物体に仕事する。

ありがとうございます。

電荷が物体に仕事をしてエネルギーが減っても、磁場による力は速度と直交するので、磁場から電荷にエネルギーは補填されないのではないでしょうか...。

悩める

=甘泉法師=


  投稿者:子牛 - 2009/11/17(Tue) 20:53  No.7890 
甘泉法師さん

こんばんわ、子牛といいます。面白そうな問題ですね。
こう考えるのはいかがでしょうか。
いま、円形コイルが上と下に二つあるとして、同じ方向に電流が流れているとします。
ローレンツ力によって二つのコイルは引き合っています。
コイルが動かない場合、仕事はしないので問題はまったくありません。
このコイルがこの力によって近づく場合を考えます。このときは仕事をします。
ただしこのときは、両コイルに鎖交する磁束が増えますので各コイルには電流と逆方向の
誘導電界を受けます。
したがって、コイルに流れる電流を変えないようにするためには
電源からエネルギーを供給する必要があります。
コイルの代わりに薄い円形磁石の場合電源からエネルギーを供給することはできません。
このエネルギーは、周りの磁気エネルギーから供給されるしかありません。
磁界は仕事をしませんがこの電界を通してエネルギーの授受があると考えられます。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/11/17(Tue) 22:43  No.7891 

こんにちは。興味深い事例をありがとうございます。

まず、正確に理解できているか確認させてください。

>このコイルがこの力によって近づく場合を考えます。このときは仕事をします。

この仕事をWとしましょう。

>したがって、コイルに流れる電流を変えないようにするためには
>電源からエネルギーを供給する必要があります。

>コイルの代わりに薄い円形磁石の場合電源からエネルギーを供給することはできません。
>このエネルギーは、周りの磁気エネルギーから供給されるしかありません。

これらエネルギーをEとしましょう。御主張は

『W=E。コイルなら電源が、永久磁石なら磁気がエネルギーを供給』

と理解してよいでしょうか。

=甘泉法師=









  投稿者:子牛 - 2009/11/17(Tue) 23:37  No.7892 
子牛です。

>『W=E。コイルなら電源が、永久磁石なら磁気がエネルギーを供給』
と理解してよいでしょうか。

もともとの問題は磁石がクリップをひきつけることだと思います。
私は磁石をコイルに置き換えましたがこの場合、
磁力をを維持するためにエネルギーが必要になります。

磁石の意場合はどうでしょうか。電流モデルと同じだけのエネルギーの補給がないと
電流モデルで考えた磁界分布を再現できないのではないでしょうか。
このへんを定性的に議論したつもりです。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/11/19(Thu) 17:09  No.7895 
 こんにちは 子牛さん

 輪を周る誘導起電力が中を通る磁束の時間変化により生じることを注意いただきありがとうございます。 本題の「磁場が仕事をするか」との関連は別に投稿しますので、ここでは別の気づいた点を備忘に書きとめます。

 抵抗のある輪に一定の電流が流れるようにするためには直流電源につなぐことが必要です。抵抗のある系は散逸系なのでエネルギー保存則には熱エネルギーを考慮しなければならないなどやっかいなので、輪は抵抗がない超電導状態にして、電源は省くことにします。するとふたつの輪が接近するにつれ誘導起電力は電流を弱める向きに働いて輪の磁力も弱まっていきます。 
 さて輪を永久磁石に替えた場合も同じく磁力が弱まります。 磁石の分子は相変わらず同じ磁力を生みますが、誘導起電力により生じた電流が磁石の外周を磁力を減らす向きに流れるからです。なお話が本質からずれないよう永久磁石も電気抵抗を0としました。

以上、本題とは関係ない話で失礼しました。
誤りは指摘、教示いただければ幸いです。勉強になります。

=甘泉法師=






  投稿者:甘泉法師 - 2009/11/19(Thu) 21:11  No.7897 
こんにちは。

Re: 磁場は仕事するか 子牛さん - 2009/11/17(Tue) 20:53 No.7890
> いま、円形コイルが上と下に二つあるとして、同じ方向に電流が流れているとします。
> ローレンツ力によって二つのコイルは引き合っています。
> このコイルがこの力によって近づく場合を考えます。このときは仕事をします。

ありがとうございます。 ご提示の電流が引き合い近づく場合をできるだけ単純な場合にして考えてみますのでおつきあいください。

【設問】2本の電気抵抗0の直線導線が平行に並んでいる。両導線には同じ大きさ同じ向きの電流が流れている。導線は引き合い近づき仕事がなされる。ではどんな力が電線に仕事をしたのか。

答A 磁力。 これは常識的な答えなので説明はいらないでしょう。

答B クーロン力
【説明】電流は、相方電線に流れる電流で生じる磁場により大きさは変わらないものの、向きは相方電線側へと曲げられる。 電流と逆向きの電子の運動で考えてみても、やはり相方導線向きに曲げられることがわかる。 電子は相方電線側から電線外の真空へ跳びだそうとするが、原子核結晶のプラスの電気のクーロン引力にとどめられ速度を減らして運動エネルギーを失っていく。原子核結晶も電子のクーロン引力により相方電線側に動き運動エネルギーをもつ。 この過程で電子と原子核の相対速度は小さくなっていきつまり電流は減っていき、電子=原子核結晶系(電線)は相方電線に向け近づく運動をするようになる。
 以上まとめると電子の運動エネルギーが電線の運動エネルギーに転化することがわかる。この過程で磁力は電子の運動の向きを変える役目を果たすが電子の運動エネルギーにはさわっておらず、すなわち仕事はしていない。
 この過程で減少する電流を一定に保つよう電線に電源をつなげば、電場により電子の運動エネルギーは回復して、それが磁場により曲げられ... と上のプロセスが定常的にくりかえされる。 こうしてつないだ電源が電線に運動エネルギーを供給していることがわかる。

【感想】
1 物理はBが正しいが、Aと思いなして計算しても間違いは生じないうえ簡単、ということでしょうか....
2 不正確をおそれずにいえば磁場は電子だけが運動エネルギーを持つエントロピーの小さい状態を原子核結晶も運動するエントロピーの大きい状態に転化する過程をひきおこす触媒みたいです。

悩める
=甘泉法師=





  投稿者:ASA - 2009/11/20(Fri) 08:10  No.7899 
甘泉法師さんNo.7897
 変な理解をされているようですね。
 電場エネルギー:Ee,磁場エネルギー:Em,電磁波エネルギー:Es,物体の運動エネルギー:Ek,物体の内部エネルギー:Euとし、系への外力による仕事をWとすれば、
W=(Ee+Em+Es+Ek+Eu);(:増分)が成立してます。
No.7897では、W=0,Ee=Es=Eu=0 のケースで、僞m=-僞kです。
系内部の仕事を問題にするのは不適切です。
内力であるファンデルワールス力等が系にどのような仕事をするのかを考察するのと同様で煩雑なだけです。思考の節約には、磁場エネルギーを認めるのがスマートでしょう。
 系内の磁力を介して外力が仕事をすれば、系内磁力の原因である電流(系内電子の運動)が増加することがあって当然ですし、そもそもNo.7881 の疑問自体がナンセンスに思えます。

  投稿者:子牛 - 2009/11/20(Fri) 21:03  No.7903 
甘泉法師さん

こんばんわ、子牛です。

>【設問】2本の電気抵抗0の直線導線が平行に並んでいる。両導線には同じ大きさ同じ向きの電流が流れている。
> 導線は引き合い近づき仕事がなされる。ではどんな力が電線に仕事をしたのか。

A、B、ともに正しいと思います。
ただ、Bの解答としてはもっと直接的な方法があると思います。
今電線がVの速度で近づいたとしますと、磁界は電線の中を流れる電流に速度起電力を与えます。
電線の中を流れる荷電粒子の電荷をq、速度をv(小文字)そこにおける磁界をBとするとこの粒子の受ける力は、

F=q[VxB]

となります。したがって、この力によってこの粒子が失うエネルギーWは単位時間あたり

W=-q[VxB]v=[qvxB]V

となりますが、これはこの粒子がローレンツ力によって単位時間に行った仕事Q

Q=[qvxB]V

と一致します。これで荷電粒子のエネルギーが速度起電力を通して仕事をしたことが定量的にはっきりしたと思います。

子牛

  投稿者:甘泉法師 - 2009/11/22(Sun) 20:26  No.7905 
こんにちは。子牛さん

> この粒子がローレンツ力によって単位時間に行った仕事Q
> Q=[qvxB]V

 電流に働く力と導線に働く力をなぜ同一とみなせるのだろうか、と中学の理科の授業からずっと違和感を持っていました。そもそも力とは物に働くもので電流という現象に力が働くという意味がわかりませんでした。みなさんはそんなことはなかったでしょうか。
 磁力は動く電荷に働くのであってそのまわりに静止したあるいは磁場と同じ向きの速度の電荷があってもそれには磁力は働かないこと、つまり電流に働く力と導線に働く力が区別できることはローレンツ力を習って始めてわかりました。 力[qvxB]は伝導電子の属性、Vは導線の伝導電子以外の部分の属性です。つまり力[qvxB]は導線の伝導電子の部分に働くのであって導線のその余の部分には働きません。 
 とはいえ不思議なことにあたかもローレンツ力が導線全体に仕事をしたかのようにみなして計算すると正しい仕事の値がかえってきます。 このみなし計算式の解釈を考えます。 当たり前のことですが力学の公式 仕事=力・変位 の力と変位は同じ物体についてのものです。みなし計算式は(電流に働く磁力)・(導線の変位)ですが、ここでは、力の働く対象と変位の対象は異なっています。 計算結果は、次元はたしかに仕事またはエネルギーですが式の中にでてくる力がなした仕事ではありません。
 実際、公式を正しく当てはめ力と変位を同じものにとった式(電流に働く磁力)・(電流の変位)も式(導線に働く磁力)・(導線の変位)も値は0です。磁力が導線全体にする仕事=(電流に働く磁力)・(電流の変位)+(導線に働く磁力)・(導線の変位)=0ですから磁力は仕事をしないことが確かめられます。
 このように(電流に働く磁力)・(導線の変位)は磁力のした仕事とは解釈できません。

>これで荷電粒子のエネルギーが速度起電力を通して仕事をしたことが定量的にはっきりしたと思います。

 磁力は電子の速度に垂直にはたらくので電子に仕事をしない。しかし磁場がきっかけで生じる電場(電子と正イオン結晶間のクーロン力または速度起電力)は電子と正イオン結晶の系(導線)に仕事をする。この導線が受ける仕事量は、あたかも磁力が導線に仕事をしたようにみなして計算した値と一致する。 
 総合すると以上がはっきりしました。 ご教示ありがとうございます。

 導線電流のつくる磁場については疑問はほぼ片付きました。
 さて、永久磁石どうしあるいは磁石とクリップの斥力・引力のする仕事については、電場ではだめで磁場でしか説明できないのでしょうか。磁石も荷電粒子だけで構成されているから、磁力はどの荷電粒子にも仕事をしないように思えるのですが....。


PS 残った瑣末な疑問

電場(電子と正イオン結晶間のクーロン力または速度起電力)のどちらをとるかは考え方次第ですが、

・電子と正イオン結晶間のクーロン力・・・ (長所) 導線の動く方向が明らか  (短所)電子の運動エネルギーは導線の運動エネルギーに100%転化するのでなく一部は電子と正イオン結晶の電気振動(プラズマ振動)として内部エネルギーに転化してしまうかも

・速度起電力・・・(長所)電子の導線方向の運動エネルギーの減が明らか (短所)エネルギー減の分が導線の運動エネルギーに動きに転化する仕組みが明らかでない。

・どちらか片方考えることでよいのかなぜ両方適用しなくてもいいのか

ご教示いただければ幸いです。


=甘泉法師=

  投稿者:子牛 - 2009/11/24(Tue) 19:33  No.7912 
甘泉法師さん

こんばんわ、子牛です。

導線内の電子の議論は後回しにして、もっと単純な場合を考えることにします。
いま、電荷qの荷電粒子がy方向に速度vでz方向に一様な磁界Bのなかを飛んでいるとします。
つまり、この粒子に力を及ぼすものはこの一様磁界以外存在しないということです。
もちろんこの粒子はローレンツ力を受けるのでx方向に曲がります。x方向の速度をVとすると、
V=qvBt/m
となります。ただしmは粒子の質量でtは非常に短い時間(V<<v)とします。
このVにより粒子は次の力Fをyの負の方向に受けます。
F=qVB
したがってこの粒子のy方向の速度は次のようになります。
v-Int(Fdt)/m=v-v(qBt/m)^2/2
Int(dt)は時間による積分です。
これより粒子の速さの二乗は、
(v-Int(Fdt)/m)^2+V^2=v^2-v^2(qBt/m)^2+(qvBt/m)^2=v^2
となり変化しないことになります。
つまり磁界はこの粒子に対して仕事はしていないということです。
この粒子はx方向の力を受けているので外部に仕事をしてこの方向の速度をゼロにすることができます。
このとき、粒子の速度はy成分しかなくなるのでエネルギーを失い、この失ったエネルギーは外部に行った仕事に一致します。
単一粒子の場合は、このようにエネルギーの流れは簡単に表現できていますが如何でしょうか。
話が長くなりますので、導線内の電子については必要があれば議論したいと思います。

子牛

  投稿者:甘泉法師 - 2009/11/24(Tue) 21:15  No.7913 
こんにちは。

>この粒子に力を及ぼすものはこの一様磁界以外存在しない

ので粒子はローレンツ力が向心力となるような半径で円軌道を周回します(サイクロトロン運動)。が、しかし、

>この粒子はx方向の力を受けているので外部に仕事をしてこの方向の速度をゼロにすることができます。
>このとき、粒子の速度はy成分しかなくなるのでエネルギーを失い、この失ったエネルギーは外部に行った仕事に一致します。

「この粒子に力を及ぼすものはこの一様磁界以外存在しない」ことと「外部に仕事をしてこの方向の速度をゼロにする」ことが両立する実験配置がイメージできませんでした。 もっと詳しく教えていただければ幸いです。

たとえばこんな配置はどうでしょう。
粒子(質量m、電荷q)はサイクロトロン運動半円周回でx軸上に戻ってくる。 x軸上の配置した玉(質量M>>m、電気中性)と弾性衝突しエネルギーを渡す。をくりかえして運動エネルギーを減らしていく。


          ↓↑ 速度は衝突で減。これにつれ玉の配置間隔(=サイクロトロン半径 mv/qB X2)も減。
↑v        ・           
・質量m-------●質量M----●----●------x
 玉は弾かれる ↓      

=甘泉法師=



  投稿者:子牛 - 2009/11/24(Tue) 22:52  No.7914 
子牛です

もちろん、一様磁界がはたらいているならサイクロトロン運動を続けるだけです。外部とのエネルギーのやり取りはありません。
しかし、このままでは私たちのの考えている電流のエネルギーロスとはまったく関係のない話になってしまいます。
主題は、どのようにエネルギーが転化したかということの具体的な描写ではないでしょうか。サイクロトロン運動では常に方向が変化しています。
直角方向の速度変化は磁界によるものです。このとき平行方向の速度は減少します。これはどのような力が働いているからなのでしょうか。
磁界でないことは明らかです。

子牛

  投稿者:甘泉法師 - 2009/11/24(Tue) 23:47  No.7915 
こんにちは。

>サイクロトロン運動では常に方向が変化しています。
>直角方向の速度変化は磁界によるものです。このとき平行方向の速度は減少します。これはどのような力が働いているからなのでしょうか。
>磁界でないことは明らかです。

ありがとうございます。次の問答におきかえて見てみます。

問)地球のまわりの月の運動では常に方向が変化しています。直角方向の速度変化は地球の引力によるものです。このとき平行方向の速度は減少します。これはどのような力が働いているからなのでしょうか。
答)月に働くのは地球の引力だけです。どうして平行方向の速度の減少に特別の力が必要なのでしょうか?

あるいは

問)室伏選手が回している「ハンマー」の運動では常に方向が変化しています。直角方向の速度変化は鎖の張力によるものです。このとき平行方向の速度は減少します。これはどのような力が働いているからなのでしょうか。
答)ハンマーに働くのは鎖の張力だけです。どうして平行方向の速度の減少に特別の力が必要なのでしょうか?


 私の読み解きに大きな勘違いがあればぜひ正してください。よろしくお願いします。失礼しました。

=甘泉法師=

  投稿者:大学生A - 2009/11/25(Wed) 10:03  No.7918 
横レス失礼します。

要は、磁場が仕事をしないような物体は、どのような性質をもつものなのか?
ということではないでしょうか。
ならば、答えはその内部で電流が生じない物体ということかと。
逆に、内部電流の生じ得るすべての物体は磁場によってエネルギーを受け取り
得ると言えるかもしれません。

的外れなレスなら、すみません。

  投稿者:子牛 - 2009/11/25(Wed) 20:49  No.7920 
甘泉法師さん

こんばんわ。

>問)地球のまわりの月の運動では常に方向が変化しています。直角方向の速度変化は地球の引力によるものです。
>このとき平行方向の速度は減少します。これはどのような力が働いているからなのでしょうか。
>答)月に働くのは地球の引力だけです。どうして平行方向の速度の減少に特別の力が必要なのでしょうか?

少し話の論点からずれますが、いい問題を出していただきました。
次の室伏選手のハンマーにかかる力は人為的な力でよく分かりませんが、月の場合は地球の引力がなければそのまま
等速直線運動をします。仮にy方向に進んでいる場合速度は変化しません。引力がある場合y方向成分は変化します。
このための力はおっしゃるように重力です。
サイクロトロン運動でもこの点は同じです。
>>磁界でないことは明らかです。
は言い過ぎました。誤解を与えて申し訳ありません。

本題に戻ろうと思います。
導線中の電子に問題をすこし近づけます。
荷電粒子の運動を拘束してx方向に動かなくします。剛体の壁でx方向の運動ができなくします。
このとき摩擦はないとしてy方向には自由に動けるとします。
剛体壁の設定が問題なら、ハンマーのように室伏選手にx方向のローレンツと逆にに引っ張ってもらっても構いません。
このとき粒子のy方向の速度は変化しません。
地球の周りを回る月の場合は誰が引っ張るのか分かりませんが、地球に逆らってx方向に動かないようにしても、
y方向の速度は変化します。拘束運動を続ければ重力のy成分が働き出すからです。
荷電粒子の場合は拘束運動を続けてもy方向に力は働きません。
次に、室伏選手に力を加減してもらいゆっくりとローレンツ力の働くx方向にVの速さで動かしてもらいます。
このとき粒子は室伏選手に対して仕事をします。また、y方向の粒子の速度vは減少します。
このときのエネルギー収支が合うのは先に議論したことですからここでは省略します。

この辺で先に進みませんか。

子牛

  投稿者:子牛 - 2009/11/25(Wed) 20:50  No.7921 
大学生Aさん

こんばんわ。子牛といいます。

内部電流が流れていなくても、永久磁石の場合は仕事をすることができます。
磁石同士が引き合う場合外部に仕事をするわけですが。
このとき、磁石内に渦電流が流れなくても、磁石の磁化が変化しなくても
外部に仕事をします。
このときの磁気エネルギーの変化を計算すると面白いことが分かるかもしれません。

子牛

  投稿者:大学生A - 2009/11/25(Wed) 23:41  No.7922 
子牛さん、こんばんは。

返信ありがとうございます。
なるほど、磁性体は外部磁場によって、エネルギーを受け取り得ますね。
ということは、「電流」の定義を広げて、「磁化電流」も含めなければ
ならないということかな?
ちょっと考えてみます。m(_ _)m

  投稿者:甘泉法師 - 2009/11/26(Thu) 16:53  No.7929 
Re: 子牛さん - 2009/11/25(Wed) 20:49 No.7920

こんにちは 子牛さん

>ハンマーのように室伏選手にx方向のローレンツと逆にに引っ張ってもらっても構いません。

はい、設定がわかりました。理解を確認させてください。

  y正方向
室伏力 ↑v 磁力
F=mg ←●→ F=qvB  x正方向

磁場Bの向きは画面の下から上。 室伏力と磁力はつりあっている。 g=qBv/m=vω ここでω=qB/m、サイクロトロン角振動数。 電荷は速度vの等速運動をする。

>次に、室伏選手に力を加減してもらい

はい、設定を変更します。
加速度定数 g≠v/ωにして上図の初期条件からの変化をみます。

磁力 F=qVXB=qB(Vy, −Vx)なので運動方程式は
m dVx/dt= − mg + qBVy
m dVy/dt= − qBVx

速度について解くと
Vx=(v−g/ω)sinωt
Vy=(v−g/ω)cosωt+g/ω

座標は
x =(v−g/ω)/ω・(1 − cosωt) 
y =(v−g/ω)/ω・ sinωt + g/ω・t 

電荷が室伏力からされる仕事Wは
∫ −mgVxdt = − mg/ω・(v−g/ω)(1 − cosωt)

運動エネルギーTは
m/2 [(v − g/ω)^2 +2g/ω(v−g/ω)cosωt+(g/ω)^2 ]
= mv^2/2 − mg/ω・(v−g/ω)(1 − cosωt)
= mv^2/2 − mgx 

∴ T + Φ = mv^2/2,  Φ=mgx ポテンシャルエネルギー

これからわかることは

・直交する重力場と磁場の下での電荷の運動、とこれをみることができます。するとΦは重力ポテンシャル
 電荷は水平に等速運動しながら上下には円軌道を描いていきます。

・磁力が仕事をしないことを磁力のする仕事 F・V=qVXB・V=qB(VxVy −VxVy)=0 の計算から確認。
 力 mg は電荷に仕事をします。

PS 
ご関心の
>直角方向の速度変化は磁界によるものです。このとき平行方向の速度は減少します。
>これはどのような力が働いているからなのでしょうか。
についてご関心に関係するかと思い付け加えます。

>ゆっくりとローレンツ力の働くx方向にVの速さで動かしてもらいます。

 ωt<<1 では
 Vx=(v−g/ω)sinωt 〜 (v−g/ω)・(ωt)= 上記V
 一次の微小量

>このとき粒子は室伏選手に対して仕事をします。

−W = mg/2ω・(v−g/ω)(ωt)^2 = mg/2ω・上記V・(ωt) 
 二次の微小量


>また、y方向の粒子の速度vは減少します。

 Vy=(v−g/ω)cosωt+g/ω 〜 v −(v−g/ω)/2・(ωt)^2
 減少量は二次の微小量

 はずしていたらすみません。
 愚図な私におつきあいただき恐縮です。私にお構いなくどんどん前進してください。

=甘泉法師=

  投稿者:子牛 - 2009/11/27(Fri) 20:56  No.7958 
甘泉法師さん

丁寧な計算拝見させていただきました。

私の設定ではx方向の速度Vが一定になるよう室伏選手に力を調整してもらうつもりでしたが、
せっかく計算していただいたので力が一定としたこの計算をもとに話をさせてもらいます。
甘泉法師さんが計算で出された、

>∴ T + Φ = mv^2/2,  Φ=mgx ポテンシャルエネルギー

こそ私が言いたかったことです。

>・直交する重力場と磁場の下での電荷の運動、とこれをみることができます。するとΦは重力ポテンシャル
> 電荷は水平に等速運動しながら上下には円軌道を描いていきます。

と続けられていますが、直線軌道からそれほどずれない短い時間にもこの関係は当然成立しています。
この間、室伏選手の力の方向と粒子のx方向の力の向きは逆になっています。または粒子は重力と逆方向に動いています。
したがって粒子はエネルギーを失っています。逆に室伏選手あるいは重力場はエネルギーを得ていることになります。
実際微少時間で考えられた、

>>このとき粒子は室伏選手に対して仕事をします。
>−W = mg/2ω・(v−g/ω)(ωt)^2 = mg/2ω・上記V・(ωt) 
> 二次の微小量
>>また、y方向の粒子の速度vは減少します。
> Vy=(v−g/ω)cosωt+g/ω 〜 v −(v−g/ω)/2・(ωt)^2
> 減少量は二次の微小量

で計算されたエネルギー変化はともに二次の微小量ですが、お互い正確に一致します。
このまま時間を進めていけば、やがて粒子のy方向の速度は逆転する時がきます。
このときはローレンツ力のx成分も逆転しますから、粒子はエネルギーをもらうことになります。

この話はあくまで、導線内の電流を簡単化したところから始まっていますので、電流が逆転する状況まで考える
必要はないと思います。また一様な磁界中という設定も電線があまり大きく動かない場合を考えています。

電流の運動エネルギーが減少して、外界に仕事をしたというのはこのような状況でいえることだと思います。

結局磁界中で自由運動している場合は磁界と粒子の間にエネルギーのやり取りはないが、ある種の拘束があると
エネルギーをやり取りできるということではないでしょうか。
たしか、このことは以前に誰かが言っておられたと思います。

>私にお構いなくどんどん前進してください。

今回の問題を考えているとき非常に面白いことに気づきました。その意味で今回の問題は私にとって得るものが
大きく議論にも参加させて頂きました。
早くその話がしたくて先を急ぎたかったのですが、失礼があったならお許しください。

子牛

  投稿者:甘泉法師 - 2009/11/27(Fri) 23:15  No.7962 
こんにちは。 ありがとうございます。

Re: 磁場は仕事するか 子牛さん - 2009/11/27(Fri) 20:56 No.7958
> 私の設定ではx方向の速度Vが一定になるよう室伏選手に力を調整してもらうつもりでしたが、

はい、設定がわかりました。考えます。

  y正方向
力  ↑v 磁力
N ←●→ F=qvB  x正方向
    →V 一定

磁力 F=qVXB=qB(Vy, −Vx)なので運動方程式は
m dVx/dt= − N + qBVy
m dVy/dt= − qBVx

速度について解くと
Vx=V なので、上に代入して
Vy= v − V・ωt
座標では
x=Vt    等速運動
y=vt − Vω/2・t^2  等加速度運動

運動エネルギーTは
m/2 [V^2 + (v − V・ωt)^2 ]

力 N = qBVy =qB(v − V・ωt) なので最初は引き、後では押し、です。
力Nのする仕事Wは ∫−NVdt=−mV(vωt − V・(ωt)^2 /2)

・ 極初期の短い時間 ωt<<1ではW 〜 −mVvωt = −qBvV t です。   

・ T=m/2 (V^2 + v^2)+W

・ 仕事をするのは力Nで磁力は仕事をしないことがやはりわかります。


>結局磁界中で自由運動している場合は磁界と粒子の間にエネルギーのやり取りはない

 同意します。磁力は仕事をしません。

>が、ある種の拘束があるとエネルギーをやり取りできるということではないでしょうか。

 こちらには異議があります。どんな拘束があろうとなかろうと磁力は仕事をしません。前の発言の例で言うとエネルギーのやり取りは運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの間で起きるもので、「磁力エネルギー」が顔を出すことはありません。上の例でもくどいですが述べました。
 ただし、磁力は運動エネルギーとポテンシャルエネルギーのやりとりの具合には関与します。前の発言の例で言うと磁力なしでは電荷は自由落下加速度運動することろ、磁力があれば円軌道等速運動します。上の例では磁力なしでは等速運動するところ磁力があれば等加速度運動しますが、こちらはポテンシャル下でなく恣意的な力の設定での話しですから言及は適切でないかもしれません。
 もしご発言がこういう意味でしたら同意します。

>早くその話がしたくて先を急ぎたかったのですが、失礼があったならお許しください。

 なんとも恐れいります。 お話をお聞きしたく存じます。

=甘泉法師=

  投稿者:子牛 - 2009/11/28(Sat) 18:12  No.7979 
甘泉法師さん

こんにちは。式の展開は正しいので、後は解釈ですね。

>運動エネルギーTは
>m/2 [V^2 + (v − V・ωt)^2 ]

また、短い時間では

>W 〜 −mVvωt = −qBvV t
>・ T=m/2 (V^2 + v^2)+W

このときNがする仕事の符号はマイナスですから、Nは仕事をされたことになります。
もちろんここで行っているNとはこの力の元、室伏選手とか地球とかです。
そのぶん粒子の運動エネルギーが減っています。

粒子の運動エネルギーがこの仕事に転化したことは問題ないですね。

>前の発言の例で言うとエネルギーのやり取りは運動エネルギーとポテンシャルエネルギーの間で起きるもので、
>「磁力エネルギー」が顔を出すことはありません。

>ただし、磁力は運動エネルギーとポテンシャルエネルギーのやりとりの具合には関与します。

問題はこのNが何によって仕事をされたのかということです。
いえることは、粒子の運動エネルギーが変化したということだけだといわれているように思いますが、
素朴に考えると、このNは磁力によって力を受けています。それ以外の力はありません。
普通このような場合、磁力によって仕事をされたというのではないでしょうか。

子牛

  投稿者:甘泉法師 - 2009/11/29(Sun) 00:09  No.7984 
 こんにちは。

>素朴に考えると、このNは磁力によって力を受けています。

 簡単のため力Nと磁力がつりあっている場合で述べます。

    y正方向

    力  ↑v 磁力
 ◎→ N ←●→ F=qvB  x正方向


 Nの源である◎に働くの力の大きさはN=Fです。

>普通このような場合、磁力によって仕事をされたというのではないでしょうか。

 ◎に仕事がされるかどうかは、◎が変位するかとうかによります、仕事=力・変位ですから。
 力Nを外場と扱えば◎の変位は考えません。 たとえば地球の重力mgがでてきても地球の運動まで考えないのが普通です。
 ◎の運動まで問題に取り込めばたとえば

    力  ↑v 磁力
 ◎→ N ←●→ F=qvB  x正方向
 →V
 
 ◎はdW=F・Vdtの仕事を受けるでしょう。

 =甘泉法師=

  投稿者:子牛 - 2009/11/29(Sun) 11:22  No.7986 
甘泉法師さんこんにちわ。
だいぶ話が煮詰まってきましたね。
ひとずつ順番に行きます。

>簡単のため力Nと磁力がつりあっている場合で述べます。

>Nの源である◎に働くのは磁力でありませんが大きさはN=Fです。

●は磁力と◎から受ける力によってつりあっているのですね。
この場合、◎は●を通して磁力から力を受けているといってもいいと思います。
最初に考えていた、平行な電線は磁力によって引き合っています。
この電線が動かないように手で引っ張って動かないようにしたとします。
このとき手が感じている力は磁力といってもよいと思うのですが、
このときと状況は異なっているのでしょうか。

これは言葉の定義の問題かも知れませんのでとりあえず次に進みます。

>仕事がされるかどうかは、◎がx方向で変位するかどうかによると存じます、W=F・xですから。
>室伏選手がハンマーからいくら強い力を受けても軸足が動かないなら仕事はされないかと。
> 左右の●に引かれて◎が変位しない例。

              ↑
>●-----←◎→-----●
>↓


◎が動かないのですから、この場合左右の●は仕事をしないことは了解です。

>◎が変位する場合には受けた仕事は運動エネルギーに変わり
>◎の運動エネルギー + ●の運動エネルギー + ●-◎の相互作用エネルギー = 一定 となり、
>磁力はここにも顔を出さないと思いますが....いかがでしょうか。

左の●の力を少し緩めますと、釣り合いが崩れ左の●と◎は右のほうに動きます。
このとき、左の●は力と反対側に動きますので、仕事をされることになります。
逆に、◎と右の●をあわせた系は仕事をしたことになりエネルギーを失います。
どのようなエネルギーになるかは●や◎が具体的に何かによって決まります。

◎が一様磁界中の荷電粒子、右の●が一様磁界を作っている磁石などの場合は、
計算していただいたように粒子の運動エネルギーが減少します。

平行な電線の場合は◎が電線、右の●はもう一方の電線になります。、
このときは電線中の電流が速度起電力によって減少します。その結果電流の作っている
磁気エネルギーが減少します。

言葉の定義の問題は別としてこのような現象が起こっていることに問題はないと思うのですが、
いかがでしょうか。
この認識が共通であれば、私はこれ以上この件でお話しすることはないと思うのですが。

子牛



  投稿者:甘泉法師 - 2009/11/29(Sun) 15:36  No.7990 
こんにちは。

>左の●の力を少し緩めますと、釣り合いが崩れ左の●と◎は右のほうに動きます。

ありがとうございます。詳しく見てみます。

 左●が◎に及ぼす力を何らかの方法で少し緩めますと、
 ◎での釣り合いが崩れ、◎は右のほうに移動します。この点はお考えと同じです。
 
 左●での釣り合いが崩れ、まったく◎からの力がなくなれば左●は円軌道を描き、そこまででなく力が残っていれば直線と円の間の軌道を描くように動き出します。
 これはお考えと異なります。

>このとき、左の●は力と反対側に動きますので、仕事をされることになります。

 「左●が◎に及ぼす力を緩める方法」が定まらないのでどう考えるべきか迷うのですが、たとえば鎖が仕掛けで突然伸びて長くなり◎と●はある時間は非拘束になると
 左●が◎に及ぼす力が緩めば、◎が左●に及ぼす力も緩み、
 左●と磁力の釣り合いが崩れ左●はある時間、非拘束運動の円軌道上を運動します。左●には磁力しか働かないので仕事はされません。これはお考えと異なります。


>逆に、◎と右の●をあわせた系は仕事をしたことになりエネルギーを失います。

はい。一般則に従って◎と右●の系は、外部に仕事をすればエネルギーを失い、仕事をしなければエネルギーは一定です。


>◎が一様磁界中の荷電粒子、右の●が一様磁界を作っている磁石などの場合

       ↑v 
 ◎→ N ←●→ 磁力F=qvB  x正方向
チャージ  磁石

 ●はチャージqで磁力qvBが働いていた設定の筈ですが...
 紙面下から上に一様磁場Bがある上に、●も磁石でかつどちらか向きの一様磁界をつくっているのですか....。 
 これまで考えていない複雑なケースに見えすぐには頭に入りません。
 
>平行な電線の場合は◎が電線、右の●はもう一方の電線になります。

↑     ↑v 
 ◎→ N ←●→ 磁力F=qvB  x正方向
 電荷   電荷

 ●も◎もそれぞれの電線中で電流を形成する動く電荷と拝読しました。ふたつの電線に電流を流すほか一様磁場Bをかけるという設定でしょうか。すると◎にも磁力が働くでしょうし.. こちらもこれまで考えていない複雑なケースに思えイメージできません。

=甘泉法師=

PS 恣意的に自分に都合のよいものを選んでいるつもりや、わからないふりをしていることはまったくありません。
   ピシャリと間違いを正していただければ本望これにすぎることはありません。  誤解いただかないよう念のため。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/11/29(Sun) 16:36  No.7991 
こんにちは。

Re:子牛さん - 2009/11/24(Tue) 22:52 No.7914
>しかし、このままでは私たちのの考えている電流のエネルギーロスとはまったく関係のない話になってしまいます。
>主題は、どのようにエネルギーが転化したかということの具体的な描写ではないでしょうか。

わたしから具体的な描写をひとつ提案します。

Re:甘泉法師 - 2009/11/24(Tue) 21:15 No.7913
粒子(質量m、電荷q)はサイクロトロン運動半円周回でx軸上に戻ってくる。x軸上の配置した玉(質量M>>m、電気中性)と弾性衝突しエネルギーを渡す。をくりかえして運動エネルギーを減らしていく。

          ↓↑ 速度は衝突で減。これにつれ玉の配置間隔(=サイクロトロン半径 mv/qB X2)も減。
↑v        ・           
・質量m-------●質量M----●----●------x
 玉は弾かれる ↓      


このモデルを改良してみましょう。

  画面下から上に一様磁場B

   第一段
   ・→v            @電子が水平運動 速度v     
                  A磁力で1/4円軌道曲がり
       ↓       B質量Mと弾性衝突。ほとんど速度0に。
   →*   ・         C左から飛んできた光子に射られ水平速度v復活  
 -----------●質量M-----------------x  初段
       ↓      
   第二段            D磁力で1/4円軌道曲がり
               ↓  E質量Mと弾性衝突。ほとんど速度0に。
      →*        ・  F左から飛んできた光子に射られ水平速度v復活           
  ------------------------●-----------x  二段
                 ↓             
第三段                G磁力で1/4円軌道曲がり
                ↓  H質量Mと弾性衝突。ほとんど速度0に。
      →*         ・ I左から飛んできた光子に射られ水平速度v復活           
  --------------------------------●--------- 
                         ↓             
    第四段


  *が・に与えるエネルギー    = ●の運動エネルギー
  
  電流維持のためかける           
〜 電位差が電子に与えるエネルギー = 導線系の運動エネルギー  


  磁場は電子に円軌道を描かせるだけで、仕事はしていません。くどくてどうもすみません。

 欠点をひとつ。円軌道が1/4なので電場と直交した動きですが、1/2にすれば電場と逆、1にすれば電場と同じ向きなど、導線が動き出す方向は如何様にもなります。
 作画の上下あわせがうまくいきません。補ってごらんください。
  =甘泉法師=






  投稿者:子牛 - 2009/11/30(Mon) 22:48  No.7993 
こんばんわ。

甘泉法師さん。もう少しで意見が一致すると思ったのですが、また話が込み入ってきました。
私はできるだけ単純に考えているつもりですがなかなか意図が伝わりません。
いろいろな設定を細かく検討していただいたのですが、甘泉法師さんが最初に出された問題に戻りませんか。
問題を私の理解の範囲で整理すると、

1.磁界は荷電粒子の速度と垂直方向の力しか与えないので、荷電粒子に仕事をしない。
2.しかるに磁石同士が引き合うのをどう理解するのか。

だと思います。この理解が間違っていたら以下の議論は無意味になります。

1をもう少し検討するために磁界と荷電粒子のみが存在する系を考えます。
つまり荷電粒子は磁界以外と相互作用していない設定です。

磁界が空間的に一様であれば荷電粒子はサイクロトロン運動をします。
このとき、磁界は荷電粒子に仕事をしませんし粒子から仕事をされることもありません。

そこで次の場合はどうでしょうか。

A.磁界が時間的に変動している場合。(もちろん誘導電界が発生します)
B.磁界が時間的には変動していないが、空間的には変化しているとき。

もし磁界と荷電粒子との間に仕事のやり取りがないのであれば、粒子の速さは変化しません。
すなわち、運動エネルギーは変化しないことになります。
Aの場合は誘導電界が仕事をするという考え方もありますがいかがでしょうか。

子牛

  投稿者:ASA - 2009/12/01(Tue) 07:25  No.7994 
 横レスすいません。
>磁界が空間的に一様であれば荷電粒子はサイクロトロン運動をします。
このとき、磁界は荷電粒子に仕事をしませんし粒子から仕事をされることもありません。
 厳密には、サイクロトロン放射で荷電粒子は、エネルギーを失います。
 磁場は、空気抵抗と同様な摩擦力効果を荷電粒子に与えます。

  投稿者:yuya - 2009/12/01(Tue) 18:04  No.7998 
議論に参加したくて追いかけてました。
子牛さんにも計画があるかと思うので、KYな発言になっていたら申しわけないのですが……。

直線電流同士、あるいはコイル同士(ひいては磁石同士)が、互いに「まっすぐに」近づいたとしても
(つまり両導線に垂直に両者を結ぶ線に沿って近づいたとしても)、
その中の特定の電荷に注目すると、決してまっすぐには近づいていないですよね。
直線電流ならナナメに、コイルなら螺旋を描くと思うのです。

磁力は仕事をしないので、荷電粒子の「速さ」は変えられないけれど、速度の「方向」は変えられる。
つまり、「導線に沿った成分」と「導線に垂直な成分」との配分は変えられる。
導線に沿った成分の変化は誘導起電力として表れ、垂直な成分の変化は導線の運動を規定する。

そういうことではないでしょうか?

  投稿者:甘泉法師 - 2009/12/01(Tue) 19:38  No.7999 
こんにちは。

>1.磁界は荷電粒子の速度と垂直方向の力しか与えないので、荷電粒子に仕事をしない。
>2.しかるに磁石同士が引き合うのをどう理解するのか。

はい。問題をはっきりさせていただきありがとうございます。

>つまり荷電粒子は磁界以外と相互作用していない設定です。
>磁界が空間的に一様であれば荷電粒子はサイクロトロン運動をします。
>このとき、磁界は荷電粒子に仕事をしませんし粒子から仕事をされることもありません。
>次の場合はどうでしょうか。
>A.磁界が時間的に変動している場合。(もちろん誘導電界が発生します)
>B.磁界が時間的には変動していないが、空間的には変化しているとき。

 磁力は qv x B ですから 磁力が時間dtに行なう仕事は ∫(qv x B)・vdt で、ベクトル積の定義から0です。磁力は仕事をしません。
 電場Eの力が時間dtに行なう仕事は、Eの由来によらず(誘導電場でも)、∫qE・vdt です。
 A、Bの場合ともに磁力は仕事をすることができませんが、電場の力は仕事をすることができます。

 これまで述べたことと変わり映えせずお退屈様です。

 =甘泉法師=


  投稿者:子牛 - 2009/12/01(Tue) 19:59  No.8000 
こんばんわ。
yuyaさん参加ありがとうございます。
yuyaさん、甘泉法師さん。ご意見の返事は少し待ってください。
私なりにもう少し続けます。

Bの場合は磁界の空間的な変化によらず荷電粒子の運動エネルギーは変化しません。
運動方程式は、

m dv/dt = q[vxB]

なので、両辺と粒子速度との内積をとれば、右辺はゼロとなり、

d/dt(1/2 mv^2) = 0

となるからです。この問題が面白いのは粒子をどのように拘束しても磁界の力はつねに
粒子速度と直交し仕事をしないと思われるからです。
次に、この粒子に外から力fを与えます。

運動方程式は、

m dv/dt = q[vxB] + f

先ほどと同様両辺とvとの内積をとれば、次の式となります。

d/dt(1/2 mv^2) = fv

この式の右辺はfとvの内積ですが、正の場合は粒子はエネルギーをもらい早くなり、
負の場合はエネルギーを失い遅くなります。
粒子に仕事をしているのはあくまでfであり磁界は顔を出しません。
これがこの前からお話している問題設定だと思います。
このfを調整することによって粒子を完全にとめてしまうこともできます。
逆に、とまっている粒子を一定の速度まで加速することも可能です。
fで動かしているのですからあたりまえの話をしているだけです。磁界は一切出てきません。

次のこの荷電粒子を電流の一部と考えてください。fを電源電圧による力とします。
回路に電源をつないで電流を流すときは、上の荷電粒子を加速するのと同じことが起こっています。
今この電源を逐電されたコンデンサーだと考えてください。コンデンサーは電流にエネルギーを与えながら放電します。
抵抗がない場合は、導線のLとコンデンサーのCで共振回路となり振動現象が起きます。
通常このような現象は、コンデンサーに蓄えられた電気エネルギーと、
電流によって作られる磁気エネルギーとの、エネルギーのやり取りといいませんか。

この辺がこの前言った言葉の定義の問題だと思っているのですが如何でしょうか。

子牛

  投稿者:ASA - 2009/12/01(Tue) 20:34  No.8001 
yuyaさん
 近づく近づかないの話は関係ありません。
 磁石の話だったら実に簡単です。
 磁場H~が磁化M~の磁石に働く力は、F~=grad (H~・M~)
 一定の磁化M~を持つケースを考えると、磁場に勾配が無いと力は働きません。
 一定の磁化は、等価円電流に置き換えて理解することもできます。 
 磁場に勾配がある時には、磁力線は平行ではないので、環電流に働く力は、リングの半径方向からずれます。
 (サイクロトロン運動は、一定磁場かつ点電荷のなので筋違いの議論をしているようにみえます)

  投稿者:yuya - 2009/12/01(Tue) 22:54  No.8003 
ASAさん:

ありがとうございます。自分の問題意識とASAさんのコメントとが、
頭の中でまだうまくリンクしていないので、少し考えさせてください。
忘れた頃に再質問してしまうかもしれませんが、そのときはどうぞよろしくお願いします。

子牛さん:

本題とずれるかも知れないし、それこそ「言葉の定義」の問題かも知れないのですが。

[7979]の

>問題はこのNが何によって仕事をされたのかということです。
>いえることは、粒子の運動エネルギーが変化したということだけだといわれているように思いますが、
>素朴に考えると、このNは磁力によって力を受けています。それ以外の力はありません。
>普通このような場合、磁力によって仕事をされたというのではないでしょうか。

このご意見に強い違和感を覚えます。

例えば大人が子供(質量 $m$ )を肩車しているとき、子供には重力  $\vec{W} (= m\vec{g})$  が下向きにかかります。
この子供を支えるために、大人は子供に上向きの力  $\vec{N}$  を加え、 $\vec{N}$  と  $\vec{W}$  は釣り合っています。……(1)
この  $\vec{N}$  の反作用として、子供は大人を  $\vec{F}$  の力で下向きに押し返します。……(2)

(1)から  $\vec{N} = - \vec{W}$ (釣り合い)、(2)から $\vec{F} = - \vec{N}$ (作用・反作用)ですから、
この二つにより  $\vec{F} = \vec{W}$  が言えます。

しかし、このとき大人が子供から押されて「重い」と感じる力は、
あくまで「重力のかかった子供を支える自分の力に対する反作用」であって、「重力」ではありません。

もちろん $\vec{F}$ は重力 $\vec{W}$ が「原因で」生じた力だし、大きさも方向も全く等しいですが、
 $\vec{F}$ と $\vec{W}$ をきちんと区別して理解することは、
力学の学習の上で決定的に重要なことだと思うのです。

これと同じことが、磁力の例での室伏選手にも言えると思います。
室伏選手にかかる力は、あくまで
「荷電粒子にかかる磁力と釣り合わせるために室伏選手が加えた力に対する反作用」
であって、「磁力」と呼ぶべきではない、というのが私の考えです。

でも、もしかしたらプロの世界では以上のことを重々承知の上で、
「磁力」って呼ぶのかも知れず、私は大恥かいてるかもしれません(笑)。

  投稿者:子牛 - 2009/12/02(Wed) 08:00  No.8004 
yuyaさん

ご指摘ありがとうございます。

>このご意見に強い違和感を覚えます。

>「荷電粒子にかかる磁力と釣り合わせるために室伏選手が加えた力に対する反作用」
>であって、「磁力」と呼ぶべきではない、というのが私の考えです。

仰せのとおりかもしれません。私は趣味で参加しているだけでもちろんプロではありません。
後でもう少し議論を続けさせていただこうと思っています。次は「起承転結」の転になると思っています。
もう少し話の流れを見てください。

子牛

  投稿者:ASA - 2009/12/02(Wed) 11:09  No.8005 
自己フォローです。
>磁場に勾配がある時には、磁力線は平行ではないので、環電流に働く力は、リングの半径方向からずれます。
 磁力線なり磁束のイメージが確立していれば自明ですが、数式でも説明しておきます。
 divB~=0…(1)
 ある特定方向(z方向)に一定(2λ)の磁場の勾配があると
 (1)より {∂yBy+∂xBx=-2λ}が成立するので、 成分By,成分Bxが共に0ということはありえません。
 ByとBxが対称な条件(∂xBx=∂yBy=-λ)を満足するもとしてB~(-λx,-λy,2λz+b)を想定します。
 原点付近のみ磁力線はz軸に平行であり、xを軸とする半径lのリング上のある位置(x=lcosθ,y=lsinθ)では平行では有りません。
 このリングに流れる等価電流J~を、J~(-jsinθ,jcosθ,0)とすると、
 この電流素片に働く力F~は、F~=J~×B~なので、
 F~(jcosθ*(2λz+b),jsinθ*(2λz+b),jλ(sinθy+cosθx))
 リング上の等価電流素片x~(lcosθ,lsinθ,0)で、Fs~=(jbcosθ,jbsinθ,jλl)となり、動径方向(x,y)だけでなく磁化の方向zに磁場勾配に比例した力が働いていることが判ります。この力は磁性体の運動に関係なく働きます。ちなみに等価電流では半径lに拘束されており、しかも一定なので、Fx,Fyは仕事をしません。
 磁性体自体が自由に動けるなら、等価電流リング全体にかかる力Fz=∫(jλl)dsが、磁性体に対して仕事をします。

以前にも指摘しましたが、外力が仕事をせずに準静的変化なら、磁気勾配を持つ静磁場をH.~とし、磁性体の作る磁場をHm~とすると、相互作用(∫(H.~・Hm~)dV )エネルギーの増分と磁性体の運動エネルギーの増分が一定になってます。

  投稿者:子牛 - 2009/12/02(Wed) 21:12  No.8007 
こんばんわ。

子牛です。もう少し一方的にお話させてください。
前回、荷電粒子に力を与えた場合、力が行った仕事は粒子の運動エネルギーになるといいました。
一方、荷電粒子が運動しておれば電流とみなすことができますので回りの空間に磁界を作ります。
その結果磁気エネルギーができるのですが、このエネルギーはどこから生じたのかという疑問が出ます。
粒子の運動方程式、

m dv/dt = q[vxB] + f

からは磁界のエネルギーが出てくるようには思われません。
多分この式は電磁界を考えた場合不完全なのだと思います。
粒子の質量がゼロでも電荷をもっている場合は加速するために力が必要になります。
荷電粒子が単独で一定の速度で動いている場合を考えます。
このとき粒子に伴なって、粒子の速度に対して回転する磁界が存在します。
この粒子を進行方向に加速したとします。するとこの磁界もそれに伴なって大きくなります。
磁界が時間的に変化しますのでファラデーの法則にしたがってこの変化を妨げるような電界が発生します。
この電界は粒子の進行方向と逆になりますので、荷電粒子を加速するためにはそのための力が必要になるわけです。
この力を計算すれば、加速度に比例するのであたかもこの粒子が電磁的な付加質量をもっているようになると思いますが、
今回の議論ではそこまでの計算をしなくても、fが磁界のエネルギーを作れるということになります。
逆に荷電粒子を減速してエネルギーを取り出すこともでき、この場合は磁界のエネルギーが減少することになります。

かなり一方的に私の考えをかきましたが、間違いがあればすなおに訂正する準備がありますのでよろしくお願いいたします。

yuyaさん。えらそうなことを言いましたが、転どころか竜頭蛇尾となりました。

子牛

  投稿者:ASA - 2009/12/02(Wed) 21:25  No.8008 
 別の話題ですが、宇宙線が地磁気にトラップされ最終的に磁力線に沿って運動することも示せますね(極地方でオーロラが見られる理由)
 Fz=qλLzなのでVzは時間的に増大、しかし、自由な場合で、放射を無視すると速度Vは一定(初期速度V0)なので、Lzは時間的に減少し、Fz(t=∞)=0、Vz(t=∞)=V0が予想されます、つまり、回転半径を減少させながら最終的に初期速度V0になるように磁力線に沿って進むことがわかります。磁気勾配λがあることが重要ですね。

  投稿者:ASA - 2009/12/03(Thu) 07:17  No.8010 
yuyaさんNo.7998,8003

No.8005 で計算例を示したので、ある程度理解しやすくなったと思います。
>磁力は仕事をしないので、荷電粒子の「速さ」は変えられないけれど、速度の「方向」は変えられる。
磁力が仕事をしないというのは、EMANさんが初めの方のNo.7886で述べているように 束縛が無い場合です(普通はこれで議論は終わるはず)。
 直線の電線とかコイルや磁石のように内部の荷電粒子に束縛条件があるものでは、磁力が物体に対して仕事をします。
 (No.8005の計算例では、ローレンツ力Flのx,y成分を束縛力Fb~が打ち消すため、結局Flzしか残らず、これが物体に対しての仕事に寄与することを示した。)
 yuyaさんの問題意識がどこにあるか良く分かりませんが、上述の基本的なことを押さえてから議論に参加したほうがよろしいと考えコメントしました。

  投稿者:yuya - 2009/12/03(Thu) 09:13  No.8011 
>磁力が仕事をしないというのは、
(中略)
>束縛が無い場合です(普通はこれで議論は終わるはず)。

ローレンツ力 $\vec{v} \times \vec{B}$ は粒子に仕事をしないが、
束縛条件がある場合には束縛力が伴ない、
こちらは粒子の変位に垂直とは限らないから、
ローレンツ力と束縛力をあわせて「磁力」と呼ぶならば、
磁力が仕事をすることになるわけですね。

ありがとうございました。

  投稿者:ASA - 2009/12/03(Thu) 09:42  No.8012 
 普通、滑り台を滑り落ちている物に対して重力が仕事をしたとみなすのと同様な話です(物体の運動には、重力と抗力との合成力が働くが、抗力(束縛力)は仕事をしない)。重力場のポテンシャルエネルギーが運動エネルギーに転化したと看做すのと同様に磁場のポテンシャルエネルギーが運動エネルギーに転化すると看做すケースですね(何を問題にして議論しているのかいまだに良く理解できない)。
 

  投稿者:yuya - 2009/12/03(Thu) 10:01  No.8013 
なるほど。

私に関して言えば(他の初心者がどうか分かりませんが)
滑り落ちる物体の場合、束縛力の存在を忘れても(その仕事がゼロであるゆえに)
幸か不幸か物体のもらう仕事が正しく求まってしまうので、
ちゃんと「束縛条件のある状況」というものに思いを巡らせることなく
素通りしてしまっていました。

で、いざ今回の磁場の話のように束縛力のほうが仕事の主役に躍り出たときに
見落としてしまうんですね。勉強になりました。

束縛力が磁力に含まれるのなら、磁場氏からすれば、自分のあずかり知らないところで
束縛源(原始的にはレールとか)を付けたり外したりされたとたん、
「オマエは仕事してる」「してない」と評価が変わって
目を白黒させているかも知れません(どうでもいいですが)。

  投稿者:子牛 - 2009/12/03(Thu) 19:20  No.8014 
こんばんわ子牛です。

ASAさんの - 2009/12/02(Wed) 11:09 No.8005 について
自己フォローということでコメントは差し控えていたのですが一言言わせてください。
正しい議論を展開されていて結果も常識的に納得いくものと思っています。
ただ一つだけ気になったのは、誘導電界の話が入っていないことです。
ここでは、問題を単純にするため設定を磁性体ではなく円形の真電流とします。
このコイルが動いてない場合はASAさんのおっしゃる力がこの電流に働きますが何も仕事をしません。
円電流を一定の速度でZ方向に動かします。円電流に差交する磁束ψは

ψ = πl^2(2λz+b)

ですので、Z方向の速度をVzとすると単位時間に磁束の変化は

dψ/dt = 2λπl^2*Vz

となります。したがって誘導電界Eは

E = -λlVz

となり電流の単位時間の単位長さあたりの損失Wは

W = -Ej = jλlVz

となり外部に取り出されたエネルギーと一致します。

子牛

  投稿者:ASA - 2009/12/03(Thu) 21:36  No.8016 
子牛さん

 ご存知だと思いますが、磁性体での等価電流は仕事をしません。
 元々の甘泉法師 さんの疑問では
>磁石のつくる磁場はクリップに仕事をし、クリップは運動エネルギーをもつ。
 と磁性体を事例にしてますが、真電流のモデルは、具体的にどんな事例を念頭においているのでしょうか?
 定電流じゃ無いケースj(t,z,Vz)ですよね。自己場が変化するので、定電流のような自己場が変化しないケースとは、同じ距離動動いた場合でも仕事は違ってくるはずですね。

  投稿者:子牛 - 2009/12/03(Thu) 22:56  No.8017 
こんばんわ子牛です。

ASAさん。もう少し真電流のモデルを考えたいと思います。
たしかに定電流でなければ磁石のモデルとは異なります。
そこで、定電流にするためには、電源からエネルギーを供給必要があります。
そのエネルギーは電流の失ったエネルギー、すなわちコイルが磁界によって
外部にした仕事と一致します。
すなわち、この系が外部にした仕事は電源から供給されていることになります。

子牛

  投稿者:ASA - 2009/12/04(Fri) 07:45  No.8018 
等価電流と真電流とは、物理的には別物です。
電気抵抗率をρとすると、E=ρjが成立するのは真電流だけす。
 磁性体を真電流でモデル化するのは、不適切であります。

 真電流のものとして超伝導による電導リングを考えると、
 j=qlθ'素片に働く力は、誘導起電力は角方向に働き
 mlθ''=-a1z'…(1)
 z方向は以前同様で電流に比例
 mz''=a2θ';…(2) ;a定数
 (1)(2)から、z'''=-a3z' -> z''=-a^2z+a3
z=Asin(at+δ)-a3
初期条件t=0で、z=0,z'=0な解は、
z=A{cos(at)-1}
θ'=-a5(z+a4) t=0でθ'=ωとすると
 θ'=ωcos(at)
 ようするに振動解が得られますね。
 電流によるエネルギー(磁場のエネルギー込み)とリングの運動エネルギーは一定で、相互に変化する振子になってますね。

 振動電流は電磁波放射(mが大きければ、変位zは微小なので磁気双極子放射と看做せる)するので、最終的には初めに持っていた電流によるエネルギーが全て電磁波に転換されます。

  投稿者:子牛 - 2009/12/04(Fri) 21:22  No.8019 
こんばんわ子牛です。

ASAさん超伝導コイルのご検討ありがとうございます。

ただ私が言いたかったのは少し違います。
なにも、等価電流が磁石とまったく等価などと主張つもりはありません。
磁石が不均一磁界によって引き寄せられたとき外部に仕事をすることができます。
これは、磁気エネルギーが減少してその分が外部にした仕事になったと理解することができます。
次にこの磁石と等価な磁界を発生する電磁石を同じ状況におきます。
この電磁石が不均一磁界によってひきつけられたときも外部に仕事をすることができます。
ただしこの場合は電流を保つためにたえず外部電源からエネルギーを供給する必要があります。
このエネルギーは外部にした仕事と同じになるので、電磁石の作る磁界のエネルギーは変化しないことがわかります。
一言に、磁力によって仕事をした場合といっても、磁気エネルギーの変化で簡単に片付けることができない場合もあるといっただけです。

子牛

  投稿者:ASA - 2009/12/05(Sat) 07:00  No.8020 
子牛さん

 考え方が変ですよ。何らかの方法で一定電流を流すとすると電流そのものは変化しません。従って電流がつくる磁場の絶対値は、変らないので磁石と同様です。
 つまり、束縛力と同様に誘導逆起電圧に対して一定電流を流すための電圧増分は、キャンセルするので、誘導逆起電力に関する仕事は0です。ジュール熱相当のρj^2が恒常的に電源からサポートされるにすぎません。
 常に、トータルエネルギーは保存されているので、磁力(磁場)によって仕事をした場合は、磁気エネルギーの変化が伴います。

  投稿者:子牛 - 2009/12/05(Sat) 09:30  No.8021 
ASAさん

この場合、コイルのジュール損は関係ありません。
トランスを考えてください。一次側に電源をつないで定電流で駆動します。
二次側につなぐ負荷によって電源から投入されるエネルギーが変わりますが、
これが、一次側のジュール損によるものでないのと同じです。

子牛

  投稿者:ASA - 2009/12/05(Sat) 10:10  No.8022 
子牛さん
 
 議論しても無駄だと思いますが、トランスは、磁気結合した独立なコイルから成立するもので、変動電流による相互誘導現象でエネルギー伝達が行なわれるものです。
 単一コイルしか考えていない今の場合と物理的機構が違います。
 さらに、今ケースで、このような構成になっていたとしても、電流は変化しないので相互誘導によるエネルギー伝達機構は働きません。
 
 ちゃんと議論するつもりなら、モデルを具体化してからにしてください。
(そもそも保存則を考えればすぐにわかる事項なので、議論するほどの話じゃありません)

  投稿者:ASA - 2009/12/05(Sat) 12:06  No.8023 
 あと、子牛さんの論法で気になるのは、基準点を力を受け運動するリングに置いている点です。加速度運動する系を基準にすると、電磁場とか電流が複雑に変換されますので注意が必要です。

  投稿者:子牛 - 2009/12/05(Sat) 16:41  No.8025 
ASAさん

>ちゃんと議論するつもりなら、モデルを具体化してからにしてください。

私が問題にしているモデルははっきりしています。
永久磁石と等価な磁界を発生する電磁石です。
この電磁石が不均一磁界からひきつけられた場合誘導電界を受けますので、
電流を保つには、電源からのエネルギーが必要だといっているのです。
ASAさんはそれがジュール損にしかならないといわれるのでトランスの例を出したのです。
トランスの一次側コイルも、2次側から起電力を受けています。
このアナロジーを分かってもらえないのであればこの話を続けても意味がありません。
元の問題設定で、コイル内部のジュール損失は一定の電流を流している限り一定です。従って、誘導起電力を受けることによって増加した電源の仕事はジュール損になることはありません。
エネルギー保存則を考えるならこのエネルギーこそが外部にした仕事です。

>加速度運動する系を基準にすると、電磁場とか電流が複雑に変換されますので注意が必要です。

準静的な変化での議論をしています。誘導起電力を速度起電力と言い直せば済む話だと思います。

子牛

  投稿者:ASA - 2009/12/05(Sat) 19:43  No.8026 
子牛さん

やっぱり話が通じないですね。
>永久磁石と等価な磁界を発生する電磁石です。
 電磁石への電流をどう一定に保つのかの具体的モデルを聞いているのですよ。
 もしかして、永久磁石が引き付けられるときも、磁石には内的な電源を備えておりその内部エネルギーが解放されて、最終的な力学的エネルギーに転化されていると考えているのでしょうか?
 すると、エネルギー保存則が成立しなくなるんですよ。

>トランスの一次側コイルも、2次側から起電力を受けています。
 それとどういう関係があるのかできません。
 (ちなみに電源インピーダンスによって影響の度合いが違いますよね。
 定電流電源を使うなら、一次側コイルの電流は変りません)
 
>誘導電界を受けますので、電流を保つには、電源からのエネルギーが必要だといっているのです。
 基本的なことですが、電界がなした仕事というのは、ある特定の電界Eの方向にその電界の力を受けることで変化した電荷の移動距離が基準になってます。
 誘導が起こる前と誘導が起こったあとで電流は変化して無いので誘導電界による仕事はないのです。

 先に超伝導コイルの例を示しましたが、このケースで誘導電界によって奪われた電流のエネルギーが、力学的エネルギーに転化することを示したのです。
 今のケースを電荷の運動方程式で考えると、角方向の力はキャンセルされて0です。
 F=mlθ''+μlθ'=q(-az'+E)…(1)
  az';誘導電場,E;電源電場,μ;減衰係数、
  でθ'=ωなら
 つまり、E=μlω/q+az'(定電流源と同様な可変電圧ソース) が成立する。
 これから仕事W=∫Fdθl=m(lθ')/2+μl^2∫θ'^2dt=mv^2/2+μv^2T
 (E=μ=0のケースがNo.8018の超伝導コイル)
 となり、単位時間当たりジュール熱相当が供給されていることがわかる。

 "誘導電場で奪われるはずの電荷の運動エネルギーが電源から供給されたと看做した場合でも、そのやり取りは電気的で内的に完結しているため、力学的エネルギーの変化に寄与しません。"

>エネルギー保存則を考えるならこのエネルギーこそが外部にした仕事です。
 エネルギー保存側を正しく理解されることをお勧めします。

>準静的な変化での議論をしています。誘導起電力を速度起電力と言い直せば済む話だと思います。
 大雑把な話ではまあそうなんですよね。
静止系で記述した方程式(1)を見る限り誘導起電力は仕事をしません(荷電粒子が作る磁場の影響をとり入れて無いので雑ですけど)。
 ちゃんと方程式で示してもらえませんか?

  投稿者:yuya - 2009/12/05(Sat) 21:48  No.8027 
子牛さん:

いろんな人の相手を同時にするのは大変かも知れませんが、
ちょっと私にも教えてください。

>元の問題設定で、コイル内部のジュール損失は一定の電流を流している限り一定です。
>従って、誘導起電力を受けることによって増加した電源の仕事はジュール損になることはありません。

もし電源がないままだと、誘導起電力のせいでジュール損失が低下しますよね。
それが電源の仕事によって元のジュール損失に戻される、と考えるのは間違いでしょうか?

  投稿者:ASA - 2009/12/06(Sun) 07:47  No.8029 
自己フォローです。
>静止系で記述した方程式(1)を見る限り誘導起電力
 静止系基準なら、誘導起電力でなくローレンツ力と呼ぶべきですな。
デカルト座標での表現
F~:qv~×B~:
"ちなみにNo.8005>F~(jcosθ*(2λz+b),jsinθ*(2λz+b),jλ(sinθy+cosθx))は抜け有り"
を円筒座標系に変換し、拘束条件r=lを用いると角成分は
Fθ=-vz(x*Bx+y*By)となり、Bが円対称なら
 =-vzBl;(符号は、適当)
子牛さんのいう「速度起電力」がでてきます。

  投稿者:子牛 - 2009/12/06(Sun) 09:42  No.8031 
yuyaさん

>もし電源がないままだと、誘導起電力のせいでジュール損失が低下しますよね。
>それが電源の仕事によって元のジュール損失に戻される、と考えるのは間違いでしょうか?

もし電源につなげれていなかったら、抵抗がある限りらそもそも電流は流れていませんね。
抵抗がない場合、電源の仕事がジュール損になることはありません。
yuyaさんの趣旨は違うと思いますので、ご質問を次のように変えます。
電源から供給するエネルギーWを一定に保ったまま、誘導起電力が働いたらどうなるか。
この場合、電流が減るのでジュール損も減少します。
そこで電源からのエネルギーをdW増やして元の電流に戻したとします。
このときジュール損も元の値すなわちWとなります。(もともと電源のエネルギーはジュール損に消費されていた)
しかし電源からはW+dWのエネルギーが供給され続けています。
このdWはどこに行ったのでしょうか。

子牛

  投稿者:子牛 - 2009/12/06(Sun) 09:45  No.8032 
ASAさん

>やっぱり話が通じないですね。

そうですね。
話が険悪になっているとのご指摘もありますように、私も少し感情的になってたのかもわかりません。
せっかくいろいろなご指摘を書いていただいたのですが、スレッド主さん不在のままの議論もどんなものかと思います。
新しいスレッドを立ち上げていただきましたら、いくらでも議論させていただきますがいかがでしょうか。

子牛

  投稿者:ASA - 2009/12/06(Sun) 09:56  No.8033 
子牛さん No.8032
 論ずるほどのことはありませんよ。
 ほんとエネルギー保存則について理解を深めることをお勧めします。

  投稿者:ASA - 2009/12/06(Sun) 10:19  No.8034 
子牛さんNo.8031

> 電源から供給するエネルギーWを一定に保ったまま、誘導起電力が働いたらどうなるか。
>この場合、電流が減るのでジュール損も減少します。

 No.8026の式(1)を見る限り、電流一定なら外力からサプライされるジュール損は一定ですよ。
>このdWはどこに行ったのでしょうか。
 解釈にもよりますが、誘導起電力が吸収したとみなせます。
 (しかし、荷電粒子の仕事に係わらないので意味の無い解釈です)
 アカウントすべきなのは、荷電粒子に対する仕事です。
 これを履き違えているので、子牛さんとは議論にならないわけです。

 仕事とかエネルギー保存則等々、ちゃんと方程式を建て基本から理解しなおされた方が良いと思います。

  投稿者:yuya - 2009/12/06(Sun) 11:11  No.8036 
>yuyaさんの趣旨は違うと思いますので、ご質問を次のように変えます。

ご配慮ありがとうございます。それが言いたかったことです。

>このdWはどこに行ったのでしょうか。

なるほど、問題をはっきり理解しました。

次にASAさんのコメントを理解したいのですが、

>No.8026の式(1)を見る限り、電流一定なら外力からサプライされるジュール損は一定ですよ。

この点に子牛さんとの相違はありませんよね。
子牛さんは「誘導起電力で電流が減った場合」の話をされていたわけだから。

>解釈にもよりますが、誘導起電力が吸収したとみなせます。

この文言を理解するのが、現在の私にとって最大のテーマです。

「誘導起電力が仕事を吸収する」というのは、どういった状況なのでしょうか。
誘導起電力が吸収した仕事はどこかにエネルギーとして蓄えられるのでしょうか。

ただ同時に「意味の無い解釈」ともおっしゃっているので、私は混乱しているのですが、
ほかにも「dWがどこに行ったか」について自然で有意義な解釈がありましたら、ぜひ教えてください。

  投稿者:ASA - 2009/12/06(Sun) 12:07  No.8037 
yuya さん

 単純な例に落として考えれば判りやすい話です。

 一様重力場(g)中で、質量mの質点には、-mgの力が働きます。
 重力による仕事dw_g=-mghです。
 質点が電荷(q)をもつなら、一様電場(E)をかければqEの力が働きます。
 静電力による仕事dw_e=qEhです。
 つりあい条件(mg=qE)では、dw_g+dw_e=0と見ることもできます。
 こういった見方を採用すると、重力がなす仕事は、静電力がなされた仕事に等しいわけです。
 しかし、質点の持つ有効なエネルギーは、運動エネルギーのみなので自由状態と看做した方がシンプルです。
 つまり、このようなケースでは、質点の運動に関して、重力による位置エネルギーとか電場による位置エネルギーとかを考えること事態が無意味です。

 子牛さんの考えだと、"重力(または、静電力)による仕事があるはずで、どちらかの増分のみが、力学的エネルギーに転じる"となるわけですね。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/12/06(Sun) 14:48  No.8038 
こんにちは。

子牛さん - 2009/12/01(Tue) 19:59 No.8000
> 甘泉法師さん。ご意見の返事は少し待ってください。
子牛さん - 2009/12/06(Sun) 09:45 No.8032
> せっかくいろいろなご指摘を書いていただいたのですが、スレッド主さん不在のままの議論もどんなものかと思います。

 スレッド主とは私でしょうか、それとも掲示板の主のEMANさんですか。
 私であるならば、みなさんの緻密な御議論をフォローできていないのですが意見を申しあげますと


【問】時刻0に無重力真空空間で同じコイン型永久磁石が引き合う向きで対向し静止している。

図   0------|------0
 
 磁石の片方を、形状・質量を変えずに以下のものにおきかえる。

A-1 等価ループ電流がネットで流れている閉導線(電気抵抗Rあり)
A-2 等価ループ電流がネットで流れている閉導線(電気抵抗R=0)
B-1 等価ループ電流をネットで、考えている時間中は一定に制御し流す電池内臓回路(電気抵抗Rあり)
B-2 等価ループ電流をネットで、考えている時間中は一定に制御し流す電池内臓回路(電気抵抗R=0)
C   等価ループ電流になるよう異種モノポールと棒で鉄あれい状につくった分子を集合配置したもの

 時刻0以降に永久磁石と同じ運動をするものはこのなかにあるか。あるならば運動エネルギーの出処の異同を論ぜよ。


【 あっているかどうかわからない解答 by 甘泉法師 】

1 永久磁石と同じ運動をするのはB−1、B−2、C。 B−1は発熱Qもする。
2 運動エネルギーは
   永久磁石   ∫M・ΔHdV 積分の領域は磁石  ΔH=(∇H・v+∂H/∂t)Δt
   B−1,2  −Δ電池のエネルギ − Q
   C      −Δ棒の歪エネルギ

議論がかえって混乱しないといいのですが。
お粗末さまでした。






PS
今の私の関心は M・ΔH≠0 を q(vXB)・v=0 とどう整合させるのかということです。

磁場はスピン0の粒子に仕事しないが、スピンを持つ荷電粒子には仕事をするのではないか。

=甘泉法師=

  投稿者:yuya - 2009/12/06(Sun) 16:54  No.8039 
ASAさん:

「誘導起電力が仕事を吸収する」って、そういう意味でしたか。了解しました。

子牛さんの問題意識である「dWがどこに行くか」というのは、
「トータルのエネルギー収支として、最終的にどこに変化をもたらして辻褄が合うのか」
ということだと理解しています。
それに対して「誘導起電力が仕事を吸収する」と答えたところで、
dWが「とりあえず」どこに行くかを言っているに過ぎず、確かにほとんど無意味ですね。

ご自身で「無意味な解釈」だとおっしゃっていた意味がよく分かりました。ありがとうございました。

さて、クリアになったところで仕切りなおして、
今度こそ本当に、意味のある解釈ではdWはどこに行ったと言えばよいのでしょうか?

私の現在の理解では、電池によるdWは、【直接には】誘導によって乱された電場の回復に使われるが、
電場や電流は現状復帰しているのだから、そこにエネルギーが溜め込まれているわけではなく、
何か別の形で変化を残しているはず。すると、あとはコイルの運動しかないなぁ。

となると、子牛さんのおっしゃっていた通りということになる。

これでいいのかな。


  投稿者:ASA - 2009/12/06(Sun) 17:14  No.8040 
yuya さん
 正確には、2つの力場により粒子への力がキャンセルしている時に、片方の力場のみに注目し、単独の力場による仕事W2を考えかつ、一方の力場が無いときの仕事W1を仮定し、その差分dWなるものを考えること自体が無意味です。

>意味のある解釈ではdWはどこに行ったと言えばよいのでしょうか?
 無意味な物理量なので、意味ある解釈は存在しません。

以下を参考にNo.8037を良く読み返してください。
 誘導電場は、磁場Bによる力(重力-mgに置き換える)。
 電池の力(静電力qEに置き換える)。

  投稿者:子牛 - 2009/12/06(Sun) 17:33  No.8041 
yuyaさん子牛です。

>ほかにも「dWがどこに行ったか」について自然で有意義な解釈がありましたら、ぜひ教えてください。

これは私が出した問題なので、私なりの回答をしておきます。
まず電源につながったコイルが単独で存在する場合を考えます。
電流が一定の場合は電源の行う仕事はすべてジュール損として熱になります。
次に、電流値を少し増やします。このときジュール損も増えますがそれ以上のエネルギーが必要になります。
それは、このコイルが空間に作る磁界が増えるので、磁気エネルギーが増加します。
つまり、このとき電源は磁気エネルギー増加のためにジュール損以外の仕事をする必要があったわけです。
ここまでは、異存のある人はそういないと思います。
次に、このコイルのそばにもうひとつのコイルをおきます。このコイルは抵抗だけがあり電源にはつながってないとします。
このとき、初めにあったコイルの電源から一定の電流を供給しているとします。
このときの電源の行う仕事は、コイル単独の場合と同じくジュール損だけになります。
なぜなら追加した2番目のコイルには電流も何も流れていないからです。
次に、電流を少し増やします。このときは2番目のコイルに誘導電界が発生し電流が流れます。
当然空間中の磁界も変化します。
この場合電源のする仕事は、最初のコイルで消費するジュール損と磁気絵エネルギーの変化分、
そして2番目のコイルで消費するジュール損となります。また、このとき、二番目のコイルが電磁力をうけ
外部に力学的な仕事をした場合はそのエネルギーも必要になります。
すなわち、外部コイルなどの存在で電源から見たインピーダンスが変化し、
同じ電流を流そうとしても仕事量が変わってきます。dWはそのために必要な仕事を言ったつもりです。

この視点で、不均一磁界によって引き付けられるコイルを考えます。
コイルの状態は変化し、同じ電流を流すには電源電圧を少し上げ余分なエネルギーを供給する必要があります。
このときの余分なエネルギーdWは変化した磁気エネルギーとコイルが外部にした力学的な仕事になります。
計算すると、電源から新たに投入された仕事dWはこのコイルが外部にした仕事と一致します。
したがって、この場合はエネルギ−保存則から磁気エネルギーは変化していないことになるのです。

子牛

  投稿者:yuya - 2009/12/06(Sun) 17:36  No.8042 
ASAさん:
> 正確には、2つの力場により粒子への力がキャンセルしている時に、
>片方の力場のみに注目し、単独の力場による仕事W2を考えかつ、一方の
>力場が無いときの仕事W1を仮定し、その差分dWなるものを考えること自
>体が無意味です。

え……?そういうものなのですか(汗)。

[8040]も踏まえて[8037]も読み返しましたが、
自分では無意味に感じないのはどうしてなのだろう……。
そんなこと聞かれても知るか、って感じですよね。すみません(笑)。

えと、ほかに「無意味」と感じる方はいらっしゃいますか?
無意味と感じないのは私と子牛さんだけ?(すっげー不安)

本当に無意味なら、ここから続きの議論は
無意味な前提の上に建てられた砂上の楼閣ということになりますが、
そうなるかもしれないことを承知の上で、
もう少し子牛さんや甘泉法師さんと議論したいと希望しています。

議論を詰めた上で、もしも「あー、確かにASAさんの言ってた通り無意味だったな」と
気づくことができれば、それはそれで(壮大な遠回りですが)収穫だと思っています。

ASAさんにとっては不快かも知れませんが、どうか暖かく見守ってください。
せっかくいろいろ説明を尽くしてくださったのに申し訳ありません。

(追記:以下は子牛さんの[8041]を読む前に書いたものです。)
さて子牛さん、電磁石だと(電場を保ったまま)タダでコイルを運動させることはできず、
電池からの追加の仕事dWが必要であることは分かりました。
これで、すでに甘泉法師さんが[7905]あたりで到達した理解にやっと私が追いついたことになります。

しかし、永久磁石だとそんな電源は付いてないですよね?

そこで気になるのが[7921]の

>内部電流が流れていなくても、永久磁石の場合は仕事をすることができます。
>磁石同士が引き合う場合外部に仕事をするわけですが。
>このとき、磁石内に渦電流が流れなくても、磁石の磁化が変化しなくても
>外部に仕事をします。

というコメントです。いったいどうなっているのだろう?という点が
これから解き明かされていくのが楽しみです。

  投稿者:子牛 - 2009/12/06(Sun) 17:53  No.8043 
甘泉法師さん

子牛です。お元気なようで安心しました。なれなれしく御免なさい。
私は、甘泉法師さんとの話をやめようと思っていません。勿論いやでなければの話ですが。
今回、甘泉法師さんの出された問題とご自身の回答を拝見しました。
先ほどyuyaさんに書いた観点から概ね私も同意です。
ただCについてはもう少し考える必要があると思っています。

子牛

  投稿者:ASA - 2009/12/06(Sun) 18:18  No.8044 
yuya さん
>子牛さんや甘泉法師さんと議論したいと希望しています。
 ご自由に。
>議論を詰めた上
 胡乱な議論になると危惧したので要点をコメントしました。
>これから解き明かされていくのが楽しみです。
 今までの議論の様子を見る限り、お二人さんとの議論では、解き明かされることは無いと思います。

  投稿者:ASA - 2009/12/06(Sun) 18:46  No.8045 
子牛さんNo.8041
 議論にならないと思いますが、一応コメントしておきますね。
> このときは2番目のコイルに誘導電界が発生し電流が流れます。
遅延時間を考慮しないといけないですよ。
 まともに計算するなら、境界条件込みで遅延ポテンシャルを計算することになります。
>この場合電源のする仕事は、最初のコイルで消費するジュール損と磁気絵エネルギーの変化分、
>そして2番目のコイルで消費するジュール損となります。
 周波数,遅延時間と結合強度(これらは距離に依存)によるので"2番目のコイルで消費するジュール損"が必ずしも成立するわけではありません。
 放送局などは、電波送信出力は一定で、受信機の数に依存するわけではありません。
>電源から見たインピーダンスが変化し、
放送局のアンテナなどは、エアインピーダンス固定値を基準に設計してます。

 別スレでも述べましたが、電流を変化させると電磁波としてある量のエネルギーを放射します。

>磁気エネルギーは変化していないことになるのです。
 yuyaさんからも指摘されてますが、これ、永久磁石と矛盾しますよ。
あと、磁気相互作用のエネルギーを無視しちゃいけません。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/12/06(Sun) 19:52  No.8046 
こんにちは。甘泉法師 - 2009/12/06(Sun) 14:48 No.8038の問題意識を別に言い換えてみます。

シュテルン=ゲルラッハの実験(1922)を見る。説明は、たとえば http://www.kagakudojin.co.jp/special/ryoshi/index05.html

図2のように銀原子のビームは磁場でふたつに分けられる。
銀原子は中性なので qvXB =0。 分かれた後の銀原子の速度は前と同じか違うか? 加速/減速していれば、磁場が銀原子に仕事をすることがわかるのではないか。

=甘泉法師=


  投稿者:yuya - 2009/12/06(Sun) 22:12  No.8047 
ASAさん:

>胡乱な議論になると危惧したので要点をコメントしました。

ご厚意をすぐに活かすことができず、すみません。
議論の過程でASAさんのコメントを読み返し、少しでも理解できるところを増やそうと思っています。

子牛さん、甘泉法師さん:

[8038][8041]についても理解しました。

電磁石と永久磁石との違いに切り込んでゆく準備は整ったと思いますが、いかがでしょうか。
とは言っても、私自身はどこから手を付けたらよいか、現在のところ見当も付かないのですが。

  投稿者:ASA - 2009/12/07(Mon) 08:28  No.8048 
yuyaさん

>議論の過程でASAさんのコメントを読み返し
 エッセンスを押さえたつもりですが、計算式などはアバウトなのでよく吟味してください。

 子牛さんのいうdWの有効性が理解できないのですよ。
 [8037]の例でdWがどうなっているか説明してもらえませんか?
 [8037]の例で基準となるのは、外場の無い自由な状態です。
 ここに重力が働いた時、基準と同じ運動状態にするため、電場がなす仕事をdWを呼称していると理解してます。
 このdWがどう粒子の運動と関係するのか理解できないのですよ。
 関係しないと考えるから無意味と判断したのですが、どのように有効と考えているのでしょうか?
 今の考えを聞かせてください。


  投稿者:yuya - 2009/12/07(Mon) 11:02  No.8049 
ASAさん:

>エッセンスを押さえたつもりですが、計算式などはアバウトなのでよく吟味してください。

了解しました。重ね重ね、ありがとうございます。

>dWの有効性が理解できない
>関係しないと考えるから無意味と判断した

あ゛〜、そういうことだったのですか。

なんか「釣り合っている2つの力のうち、1つが働いてる場合と働いていない場合とを
比較するのが、もう物理的に概念的に無意味」という意味だと[8040]を誤読してました。

大騒ぎしてすみません。いやはや。

「dWが荷電粒子の運動と関係しない」ことを納得できるまでは、議論する価値がありそうですね(私にとっては)。
トロくってすみません。

子牛さん:

せっかくなので[8037]の例を用いると、確かに、重力(に限らず、外からの力)  $\D\vec{F}$  に対して、
電場が常に逆向きの力で応戦できる状況だけを考えても、ほとんど実のある議論が出来ませんね。
(このあたり、私が完全に理解できていない可能性がありますが、
例を出した本人が無意味とおっしゃっているのでまぁ間違いないだろう、
ということで納得することにして、先に進ませてください。)

問題は、電磁石の場合、電池が $\D \vec{F}$ を常にキャンセルできるとは限らない、という点ですね。

荷電粒子が磁場から力を受ければ、一般には導線とは平行でない力を受けます。
で、電池が臨時業務として頑張ることができるのは、このナナメの力のうち、導線の方向の成分をキャンセルすることだけです。
これで電流は元に戻りますが、導線と垂直な成分の速度変化は残り、
(束縛がなければ)これが運動エネルギーの変化に寄与します。
(粒子は磁力だけだと仕事をもらわないのに、電池が中途半端に頑張ってしまうために、電池から仕事をもらうことになる。)
あとは、この運動エネルギーの変化を外への仕事に使うなり何なりすれば良い、ということですね
(例えば、荷電粒子に束縛力を与えてくる、束縛源としての導線を、
束縛力への反作用によって引きずる(その結果、コイルが動く)とか)。
で、トータルのエネルギー収支を考えると、電池の仕事dWが外への仕事に変わった、ということができる、ということでしょうか。

この理解が子牛さんの意図と乖離していなければ、
永久磁石について教えを乞いたいと思いますが、いかがでしょうか。

  投稿者:大学生A - 2009/12/07(Mon) 11:24  No.8050 
横レス、失礼します。

[8037]の例において、一様重力場(g)を系に含めるか否かでdWの有効性が、
決まるのではないでしょうか?
例えば、ある天体の重力場に逆らって、高度(表面からの距離)を維持する
ロケットがあるとします。
天体の重力場を系に含めない場合、天体の重心系を静止系と見立てるので、
ロケットの噴射を止めてもロケットの力学的エネルギーが保存されるように
見えます。
天体の重力場を系に含めた場合、天体とロケットとの重心系が静止系になる
ので、ロケットの噴射の有無が、系全体の力学的エネルギーに影響すると
考えられるかと。

的外れなら、すみません。m(_ _)m

  投稿者:大学生A - 2009/12/07(Mon) 11:44  No.8051 
永久磁石を定常円電流を維持する制御機能を持つ「電池付ループ回路」に
見立てているのですか?
永久磁石の場合、磁化電流に寄与するのは、束縛電子の「軌道角運動量」と
「スピン角運動量」ですよね?
どちらも、外部電磁場によって影響を受けるのでは?
つまり、磁気モーメントを維持する制御機能を持つ永久磁石など、
存在しないのでは?

的外れなら、すみません。m(_ _)m

  投稿者:ASA - 2009/12/07(Mon) 12:25  No.8052 
大学生A さんNo.8051
>どちらも、外部電磁場によって影響を受けるのでは?
磁気飽和している状態での磁化Mは一定です。外場に影響されません。
つまり、スピンオーダーが完全になされている状況なので多少の外場の影響は受けない状況だと考えればよいでしょう。

  投稿者:大学生A - 2009/12/07(Mon) 12:41  No.8053 
ASAさん

返信、ありがとうございます。

>磁気飽和している状態での磁化Mは一定です。外場に影響されません。
>つまり、スピンオーダーが完全になされている状況なので多少の外場の
>影響は受けない状況だと考えればよいでしょう。

なるほど。そうだったのですか。
となると、難しい話になりそうですね。

  投稿者:大学生A - 2009/12/07(Mon) 12:58  No.8054 
あ!なんとなく、解りかけてきたような。

ロケットだけに推進力を与えれば、力学的エネルギーは保存しないが、
天体にも推進力を与えて、二つの重心が動かないようにうまく調整すれば、
保存しますね。
つまり、電磁石側にだけ電池があると考えるのではなく、外部電磁場の
発生源側にも電池があって、それらがエネルギー保存則が成り立つように、
定常円電流を維持する働きをすると考えればいいわけかな?

電池のパワーの流れを考えることは、天体とロケットの推進力のパワーの
流れを考えるのと同じで、あまり意味はなさそうですか。
なぜなら、推進力の代わりには、天体とロケットとの間に挟む「支い棒」
でもいいわけだから。

  投稿者:ASA - 2009/12/07(Mon) 15:25  No.8055 
大学生A さんNo.8054
>天体とロケットとの間に挟む「支い棒」でもいいわけだから。
 そうです。抗力を与えるなら梯子でも台でも棒でもなんでもよいわけです。

  投稿者:大学生A - 2009/12/07(Mon) 16:24  No.8056 
ASAさん

返信、ありがとうございます。

結局、等価モデルを推進力にこだわってしまうと、

「あれ?噴射燃料の消費分のエネルギーはどこに行ったの?」
「運動エネルギーかな?位置エネルギーかな?」
「いや、ロケットに生じる圧縮歪み?」

となってしまうのですね。
等価モデル次第で、変化する物理量にこだわっても、あまり意味がないと。

  投稿者:yuya - 2009/12/07(Mon) 16:32  No.8057 
本題と外れるけど、大学生Aさんの助けになれば……。

>天体の重力場を系に含めない場合、天体の重心系を静止系と見立てるので、
>ロケットの噴射を止めてもロケットの力学的エネルギーが保存されるように
>見えます。

そもそも噴射力(ロケットへの上向きの力)を止めなくとも(というか止めなければ)、
ロケットが動いている場合には力学的エネルギーが保存しない、ということはOKでしょうか?

たとえば、噴射力が重力とちょうど釣り合いつつ、等速で落下している場合を考えてください。

この場合、ロケットの運動エネルギーは変化しませんが
重力ポテンシャルの坂を降りていくことになります。

  投稿者:子牛 - 2009/12/07(Mon) 19:01  No.8058 
yuyaさん

こんばんわ子牛です。

>で、トータルのエネルギー収支を考えると、電池の仕事dWが外への仕事に変わった、ということができる、ということでしょうか。

そのように考えています。

>この理解が子牛さんの意図と乖離していなければ、
>永久磁石について教えを乞いたいと思いますが、いかがでしょうか。

すみません。甘泉法師さんとの意見がまだ一致していないと思っています。
その後で進みたいと思っていますので少し待ってください。

子牛

  投稿者:子牛 - 2009/12/07(Mon) 19:04  No.8059 
甘泉法師さん

こんばんわ子牛です。

>シュテルン=ゲルラッハの実験(1922)を見る。

この実験は電子のスピンを確認した実験だと理解していました。
磁気能率をもてば、磁界の勾配で力を受けることは問題ないですよね。

本来の問題は、
「荷電粒子が磁界から受けるローレンツ力は、運動方向と直角であるにもかかわらずなぜ仕事をされうるのか」
だったと思うのですが。

甘泉法師さんの出された次の問題で考えます。
>A-2 等価ループ電流がネットで流れている閉導線(電気抵抗R=0)

この問題の解答は甘泉法師さんと私で一致しています。
この場合外部からエネルギーの供給がありません。この等価ループ電流が他の磁石なりに吸い寄せられて、
運動エネルギーを得たわけですが。この電流が減り磁力が低下したために永久磁石とは異なった運動をします。
(1)電流が減るということは磁気エネルギーが減るということである。
(2)すなわち磁気エネルギーが運動エネルギーに転化した。
(3)言い直せば、磁界がこのループ電流に仕事をすることによりループ電流の導線が運動エネルギーを得た。
という解釈に自然に行き着くと思うのですが。

ここまで了解いただけるなら。後は簡単だと思います。
「本来直角にしか働かない磁力がこの場合に仕事をするのはなぜか。」
を示せば問題は解決されたことになります。

如何でしょうか。

子牛

  投稿者:甘泉法師 - 2009/12/07(Mon) 21:27  No.8060 
こんばんは。ご意見ありがとうございます。

1.
> 磁気能率をもてば、磁界の勾配で力を受けることは問題ないですよね。

はい、問題ありません。疑問は、
その力は仕事をするか、つまり磁界(の勾配)による力は銀原子に仕事をしているか、です。

2.
> 本来の問題は、

子牛さん - 2009/11/30(Mon) 22:48 No.7993
> 1.磁界は荷電粒子の速度と垂直方向の力しか与えないので、荷電粒子に仕事をしない。
> 2.しかるに磁石同士が引き合うのをどう理解するのか。
  と整理していただいたとおりです。 

3.
>(1)電流が減るということは磁気エネルギーが減るということである。

   ある点の磁場 = 電流による磁場 + 電流にとっての外部磁場
   
   磁場エネルギー密度 = (電流による磁場 + 電流にとっての外部磁場)^2

磁場エネルギー密度の電流「あり−なし」の差 = (電流による磁場 + 電流にとっての外部磁場)^2 − 電流にとっての外部磁場^2
   =(電流による磁場)・(電流による磁場 + 2・電流にとっての外部磁場)   

 減るのかどうかはすぐにはわかりませんでした。事情を説明するため恣意的な設定ですが同じ円筒に左巻きのコイルと右巻きのコイルのふたつを巻き同じ電流を流します。磁場はキャンセルして0ですが、どちらか片方の電流を切れば磁場があらわれます。この場合、電流が減るということは磁気エネルギーが増えるということである、となります。
とはいえ、ベクトルの重ねあわせを考えると磁石とループ電流が引き合っているときに電流が減れば磁気エネルギーは減るし、反発しあっているときに電流が減れば磁気エネルギーは増えると存じます。


 =甘泉法師=

  投稿者:子牛 - 2009/12/07(Mon) 22:14  No.8061 
子牛です

>>(1)電流が減るということは磁気エネルギーが減るということである。

>   ある点の磁場 = 電流による磁場 + 電流にとっての外部磁場
>   
>   磁場エネルギー密度 = (電流による磁場 + 電流にとっての外部磁場)^2

>磁場エネルギー密度の電流「あり−なし」の差 = (電流による磁場 + 電流にとっての外部磁場)^2 − 電流にとっての外部磁場^2
>   =(電流による磁場)・(電流による磁場 + 2・電流にとっての外部磁場)   

> 減るのかどうかはすぐにはわかりませんでした。

> 事情を説明するため恣意的な設定ですが同じ円筒に左巻きのコイルと右巻きのコイルのふたつを巻き同じ電流を流します。
> 磁場はキャンセルして0ですが、どちらか片方の電流を切れば磁場があらわれます。
> この場合、電流が減るということは磁気エネルギーが増えるということである、となります。

一般的な話をしているのではなく、甘泉法師さんの問題の場合はどうでしょうか。
外部からエネルギーの供給はありません。引き付けられたコイルの運動エネルギーは無から生じませんから、
何らかのエネルギーが補填したことになります。このエネルギーがどこから来たのかどうお考えなのでしょうか。

子牛

  投稿者:ASA - 2009/12/08(Tue) 07:41  No.8062 
>ベクトルの重ねあわせを考えると磁石とループ電流が引き合っているときに電流が減れば磁気エネルギーは減るし、反発しあっているときに電流が減れば磁気エネルギーは増えると存じます。
磁化ベクトル(等価電流の角運動量)M~で考えれば理解しやすいです。
 電流環1の磁化をM1~,電流環2の磁化をM2~とすれば、
クロスの磁気エネルギーUm12は、(M1~・M2~)に比例します。
 引き合う時、M1~=M2~なので、Um12>0
 磁化が減る時、エネルギー差分凾tm12<0
 反発する時、M1~=-M2~なので、Um12<0
 磁化が減る時、エネルギー差分凾tm12>0
 差分は、その他の運動エネルギーや外力のなす仕事などになってます。

 磁石やそれと等価な電流環だと、磁化M~は一定なので、クロスの磁気エネルギーUm12の差分を考えるだけで完結してます。


  投稿者:hirota - 2009/12/08(Tue) 09:57  No.8063 
かなり手遅れのコメントですが、
超伝導リングの電流が外部磁場の影響で変化すると言うのが分かりません。
超伝導状態なら磁力線がリングを横切るのは不可能で、リングに囲まれた磁束は変化せず、リング電流は一定なんじゃないんですか?

  投稿者:ASA - 2009/12/08(Tue) 10:21  No.8064 
hirota さんNo.8063
勘違いしてますよ。
リングに囲まれた磁束が変化しないことは、OKです。
それは、外部が変化した時、"リングに囲まれた磁束を変化"させないため、リング電流が変化するのです。外部とリング電流のものとの重ね合わせで、リングに囲ませた閉領域が一定となるので、事実上新たな磁力線がリングを横切ることが不可能になってます。
 


  投稿者:ASA - 2009/12/08(Tue) 11:42  No.8065 
 補足です。
 ttp://web.sc.itc.keio.ac.jp/rehabil/pages/topics/oki9903/squid.html
 などをみると
 >超伝導リングの中に磁界Bを通過させないように、これを打ち消す超伝導電流(遮蔽電流)Is が流れる。
 とあるので外部が変化することによって流れる電流を"遮蔽電流"と呼ぶようです。

  投稿者:hirota - 2009/12/08(Tue) 12:46  No.8066 
おぉ〜っと、そうでした。
(以前には知ってたのに! 記憶がパ〜)

  投稿者:甘泉法師 - 2009/12/08(Tue) 21:23  No.8067 
 こんにちは。

 ASAさん
>クロスの磁気エネルギーUm12は、(M1~・M2~)に比例します。

 有益な方法を教えていただきありがとうございます。さっそく、ダイポール・ダイポール相互作用のエネルギー

 U=M1・M2/r^3 − 3/r^5 (M1・r)(M2・r)

 は M1とM2が同一直線上に重なる「引き合う」場合は簡単になり

 U=−2M1・M2/r^3

 これをM1、rについて微分して

 ΔU = −2M2/r^3 ΔM1 + 6M1・M2/r^4 Δr 
  = 2M1・M2/r^3・( − ΔM1/M1 + 3Δr/r  )
    = (電流が減る ΔM1<0 で + ) + ( 距離が近づく Δr<0 で− )

子牛さん
>(1)電流が減るということは磁気エネルギーが減るということである。

 右辺第一項と第二項は正負反対で確かめるにはもっと細かい吟味が要りそうです。
 第1項は #8060、ASAさんにフォローいただいた#8062と符号が逆になっていまいました (^_^;)。

=甘泉法師=



  投稿者:ASA - 2009/12/09(Wed) 09:46  No.8068 
甘泉法師さん
>第1項は #8060、ASAさんにフォローいただいた#8062と符号が逆になっていまいました (^_^;)。
 8062は、8060にあわせてただけで適当です。
 F~=-gradUの表現に合わせると、
 Um=-m1m2/fm(r)で合ってます。
 電荷の場合 Ue=q1q2/fe(r)とは逆なので、
 エネルギー差分等を定量評価する際に注意しなければなりません。

  投稿者:yuya - 2009/12/10(Thu) 00:34  No.8069 
甘泉法師さん、ASAさん:

>8062は、8060にあわせてただけで適当です。

なぁんだ……ホッと一安心。私も秘かに悩んでたので。

>電荷の場合 Ue=q1q2/fe(r)とは逆なので、

なるほど。電荷の場合は異符号で引き合いますが、
互いに平行な双極子の場合は(電気でも磁気でも)
同符号(というか、ベクトル的に同じ向き)で引き合うからですね。

双極子を先に一つだけ置いて、もう一つの双極子を無限遠から所定の位置まで運んでくるとき、
「引き合う向き」で連れてくれば、磁場から仕事を取り出すことができるのに対して、
「反発し合う向き」で連れて来るには外から仕事を加えてやらないといけない。

つまり「引き合う向き」のほうが、配置を終えた状態のエネルギーは低い、ということになります。
だからこれでいいわけですね。

>ベクトルの重ねあわせを考えると磁石とループ電流が引き合っているときに電流が減れ
>ば磁気エネルギーは減るし、反発しあっているときに電流が減れば磁気エネルギーは増
>えると存じます。

Uの式からも分かるように、これは逆ではないかと思います。
「引き合う向き」のもとで電流が減少するという状況は、
相手の磁石の作る磁場に逆らった磁化を促すことに相当しますから
(反対向きの電流を流すことを考えると分かりやすい)、
エネルギー的には高いのです。

ただ、

>事情を説明するため恣意的な設定ですが同じ円筒に左巻きのコイルと右巻きのコイルの
>ふたつを巻き同じ電流を流します。磁場はキャンセルして0ですが、どちらか片方の電
>流を切れば磁場があらわれます。この場合、電流が減るということは磁気エネルギーが
>増えるということである、となります。

という思考実験に即して考えると、やっぱり反対の結果を予想してしまいますよね。

これは注意深く考えないといけません。

両コイルに電流を流して、右巻きのコイルをまず置き、
左巻きのコイルを無限遠から近づけてくるとします。
このとき、上述のようにコイル同士が反発し合うので、
外から仕事を加える必要があり、近づけば近づくほどエネルギーは高くなります。

究極に近づいて、逆向きの磁気双極子が重なったときを考えると、
磁場が打ち消しあって完全に消失し、エネルギーの低い状態になるかのように思えます。
しかし、近づけている間はどんどんエネルギーが上がっていくのに、
重なった瞬間にガクンと消失するのは不自然だと思いませんか?

おそらく、近づけば近づくほど、確かに磁場が打ち消される領域は増えるけれども、
両者の隙間には【互いの磁場を強め合う】領域があり、
ここが強烈な強さの磁場になるので、どんなに狭くても無視できない、ということなのでしょう。
その延長に「重なって完全に打ち消しあった状態」があると考えてはいけないようです。

  投稿者:子牛 - 2009/12/10(Thu) 00:35  No.8070 
こんばんわ甘泉法師さん

>>(1)電流が減るということは磁気エネルギーが減るということである。

>右辺第一項と第二項は正負反対で確かめるにはもっと細かい吟味が要りそうです。

この文言(1)に重きをおいておられますが、これは単なる結果の後追いを述べたまでです。
したがって次のように言い換えたらどうでしょうか。

(1)’電流が減ると同時に磁気エネルギーが減るということである。

つまり、磁気エネルギーが減ることは、電流が減ったことによって結論付けたのではなく
それ以前の議論からすでに結論されているのです。

もう一度、Re: 磁場は仕事するか 子牛 - 2009/12/07(Mon) 19:04 No.8059
を再掲します。

---------------------------------------------------------------------------------------------------
甘泉法師さんの出された次の問題で考えます。
>A-2 等価ループ電流がネットで流れている閉導線(電気抵抗R=0)

この問題の解答は甘泉法師さんと私で一致しています。
この場合外部からエネルギーの供給がありません。この等価ループ電流が他の磁石なりに吸い寄せられて、
運動エネルギーを得たわけですが。この電流が減り磁力が低下したために永久磁石とは異なった運動をします。

(1)電流が減るということは磁気エネルギーが減るということである。
(2)すなわち磁気エネルギーが運動エネルギーに転化した。
(3)言い直せば、磁界がこのループ電流に仕事をすることによりループ電流の導線が運動エネルギーを得た。
という解釈に自然に行き着くと思うのですが。
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^

もう少し段階的にまとめると、
この問題では
(A)この系は最初磁気エネルギーのみを持っている。
(B)この系への外部からのエネルギーの供給がない。
(C)この問題では最後に運動エネルギーが生じている。
(D)この運動エネルギーはどこから来たのか。
(E)磁気エネルギーが運動エネルギーに変化したと考えるしかない。
というように磁気エネルギーが減少したことを結論付けたのです。
(1)から(3)はこれをふまえた上で言葉を変えたものです。
(A)から(E)への展開に無理があると思われたらご指摘ください。

子牛

  投稿者:yuya - 2009/12/10(Thu) 00:35  No.8071 
なんとか本題に戻そうと鋭意努力中……(追記:あっ、子牛さんと同時投稿だ)

甘泉法師さん、子牛さん:

>ΔU =
(中略)
>   = (電流が減る ΔM1<0 で + ) + ( 距離が近づく Δr<0 で− )
>
>右辺第一項と第二項は正負反対で確かめるにはもっと細かい吟味が要りそうです。

磁場が仕事をしないことから ΔU = 0 を仮定すると(ホンマかいな)、
「距離が近づくのに伴って電流が減る」という、今回の例の定性的な結果を
よく言い表しているのではないか、と考えたのですが、
合ってますでしょうか?

そもそも、子牛さんのおっしゃる

>(1)電流が減るということは磁気エネルギーが減るということである。

という「磁気エネルギー」の定義を、実は私はよく理解できておりません。
(追記:以下の一文は撤回。再考します。)
ただ、甘泉法師さんの計算されているような「磁場」のエネルギーのことを指しているのではない、
と推測しているのですが、子牛さん、いかがでしょうか。

子牛さんが提起している「コイルの運動エネルギーはどこから来ているか」という問題に取り組むに際し、
「磁気エネルギー」という言葉が、もしかしたら甘泉法師さんの思考の妨げになっているのかもしれません。

とりあえず、「磁気エネルギー」という言葉にこだわらずに、
純粋に子牛さんの問題提起に対する答えを探求してみてはいかがでしょうか。

  投稿者:ASA - 2009/12/10(Thu) 08:46  No.8072 
yuyaさん No.8069
>>事情を説明するため恣意的な設定ですが同じ円筒に左巻きのコイルと右巻きのコイルの
>>ふたつを巻き同じ電流を流します。磁場はキャンセルして0ですが、どちらか片方の電
>>流を切れば磁場があらわれます。この場合、電流が減るということは磁気エネルギーが
>>増えるということである、となります。

>という思考実験に即して考えると、やっぱり反対の結果を予想してしまいますよね。

 思考実験は測定器を用いた実験と同様に注意が必要です。
引用例だと、電流は向きを持つものなので、負方向の電流を切る、つまり、電流を増やすと磁気エネルギーが増えると結論付けることもできます(無意味な例です)。
  

  投稿者:hirota - 2009/12/10(Thu) 09:55  No.8074 
二重コイルに逆電流を流したら磁場が0と書いてるけど、磁場が0なのは両コイルに囲まれた所と両コイルの外だけでしょう。
二つのコイルの隙間では磁場が圧縮されて高エネルギー状態です。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/12/12(Sat) 10:13  No.8085 
こんにちは。


手っ取り早く教科書の力を借ります。 わたしの手元にあるPanofsky Phillips 第2版には

Fi・ui + dUm’/dt + ΣkJk^2 Rk − Σ Jk Epsiron k = 0 (10−13)
仕事      磁場エネルギ    ジュール熱      起電力の仕事

とか

δUm = Σ( φi δJi + Fiα δxiα )              (10−28)

とか書いてあります。 みなさまお手持ちの教科書でも同様と存じます。

こういうふうに回路への仕事(率) F・u が磁気に関係する保存の式から導かれることに異議ありません。


子牛さん - 2009/12/10(Thu) 00:35 No.8070
> (1)電流が減るということは磁気エネルギーが減るということである。
> (2)すなわち磁気エネルギーが運動エネルギーに転化した。

 ここらの事情は1.のとおりです。

> (3)言い直せば、磁界がこのループ電流に仕事をすることによりループ電流の導線が運動エネルギーを得た。

 回路にかかる力は
 F= J 刀@dl X Bexternal
と計算されて、F・uを「磁場が」回路にした仕事であるとするのが常識で便利であることは疑っていません。
 この材料を使いスレッドを立てた理由をいうと「磁場は動く電子に仕事しない(もちろん他の粒子にも)のに、どういうやりかたでこれらの集合体であるところの回路に仕事をしているのだろう。回路に仕事をしているのは本当に磁場なのだろうか?」です。

 上の式が正しい値を返すことに疑いありませんが、こんな閑人の問答にたとえられるでしょうか。
A:やかんに水を入れてガスコンロにかけたらお湯がわいた。ガスが湯をわかした。
B:それはおかしいガスのほのおはやかんにしか接していない。ガスはやかんには熱をあたえても水には熱をあたえることはできない。湯をわかしたのはガスでなくやかんだ。
A:やかんが水に熱を伝えるのはあたりまえだ。何を言っているのかさっぱりわからない。

 電流回路についてはだいたい事情がわかりました。 強磁性体、一番簡単なスピンをもつ粒子について考えてみたいです。

=甘泉法師=

  投稿者:yuya - 2009/12/12(Sat) 10:33  No.8086 
ガス→やかん→水の場合、実際にガスがエネルギーを放出しているので、
水は直接にはやかんから、トータルの収支としてはガスからエネルギーを受け取っていると言えます。
この問答は純粋に「直接か/間接か」の観点の違いですね。

ところが、磁場の場合、直接の対象である荷電粒子に仕事をしていないのに、
なんでコイルが仕事を受けとることができるのか?というのが疑問の核心ですよね。

ガス→やかん→水
磁場→荷電粒子→コイル(導体)

磁場は荷電粒子に力を加えているが、エネルギーは与えていない。
なのに、荷電粒子らコイルにエネルギーが渡るのはなぜか?

つまり磁場は、自分では仕事をすることなく、他者どうしのエネルギーのやりとりの
「きっかけ」を作っていることになります。

「自分の手は汚さずに揉め事のきっかけを作る」ことって、可能だと思いませんか?

  投稿者:甘泉法師 - 2009/12/12(Sat) 16:19  No.8088 
コメントありがとうございます。

>つまり磁場は、自分では仕事をすることなく、他者どうしのエネルギーのやりとりの「きっかけ」を作っていることになります。

磁場が外場として、不変な定数としてあたえられている場合はおいておきます。回路に磁場をおよぼしているものまで同じ系内にとりこみます。磁場はきっかけつくりで自分はふえもへりもしないはずなのに、そのきっかけでおきる事象は瞬時にめぐりめぐって自分の増減にも影響を及ぼすことになっており因果の輪が閉じておりエネルギー保存も満たす、ということが子牛さんのお考えと忖度しました。そうなっていると存じます。

=甘泉法師=




  投稿者:子牛 - 2009/12/12(Sat) 18:31  No.8089 
甘泉法師さん、yuyaさん

こんばんわ子牛です。

Re: 磁場は仕事するか 子牛 - 2009/12/07(Mon) 19:04 No.8059
において、
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ここまで了解いただけるなら。後は簡単だと思います。
「本来直角にしか働かない磁力がこの場合に仕事をするのはなぜか。」
を示せば問題は解決されたことになります。
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と書きましたので、ここで私なりの考えを示します。
荷電粒子が磁界中を自由に運動している場合は、磁界は仕事をしません。
この例では荷電粒子は半径一定のコイル内に運動が拘束されています。
この拘束が物理的にどのようなものであるかはここでは問題としません。
ローレンツ力は拘束された粒子の速度に対しても直角に働きます。
したがって、この場合も自由に運動している場合と同じくローレンツ力は仕事をしません。
違うのは、この場合は拘束力によるローレンツ力以外の力を受け加速を受けます。
磁界はこの加速度運動に対して抵抗します。
このとき磁界は外部とのエネルギーのやり取りを行うことができると考えます。
例えば、静止している荷電粒子を何らかの力で加速して一定の速度にしますと、
磁界を発生し磁気エネルギーができます。逆にこの粒子を減速し静止させると、
外部に磁気エネルギーを取り出すことができます。

子牛

  投稿者:yuya - 2009/12/13(Sun) 22:36  No.8094 
子牛さん:

つまるところ、荷電粒子に外から仕事を加えて加速したとき、
どんなことが起こるのかを徹底的に理解しないといけないのですね。

粒子が荷電していなければ、もらった仕事の分だけ運動エネルギーが増えてオシマイです。

ところが荷電粒子の場合、電磁場に影響を及ぼすので、話は急に複雑になります。
外力は電磁場を触ったつもりがなくても、荷電粒子と電磁場との間でエネルギーのやりとりが生じ、
トータルとして外力(の主)と電磁場との間にエネルギー収支が生じ得ます。

理解しやすくするために、いったん中性粒子のように、外力からの仕事が
まるごと運動エネルギーの増加に変わったと考えると、
電流が増加しますが、「その際に期待される磁場の変化」というものを考えることができます。

ところが、磁場の変化を妨げる方向に誘導電場が生じ、
荷電粒子は加速こそするものの、その変化は中性粒子に比べて鈍ります。

これはすなわち電流の変化や、ひいては磁場の変化が(期待よりも)小さく抑えられることになりますが、
抑えられるとは言っても前よりは強くなっており、電磁場はエネルギーを得ます。

この「電磁場が得たエネルギー」は、「電流の増加に伴う磁気エネルギーの増加」と言われると、
右ネジの法則なんかをイメージして、それ以上深く考えずに納得してしまいそうになります。
しかし、エネルギー変化である以上、他の誰かから奪ってくるもののはずです。
「他の誰か」とは、直接には荷電粒子しかなく、
誘導電場によって荷電粒子に負の仕事をする(すなわち荷電粒子からエネルギーを奪う)
わけだから、その分だけ電磁場のエネルギーが増加することになります。

結局、外力は荷電粒子に仕事を与えたつもりでも、そのエネルギーの一部は粒から電磁場に渡り、
収支だけで考えれば
「外力のした仕事は粒子と電磁場に分配された」と言うことも可能でしょう。

Lorentz力に戻ってまとめると、

・Lorentz力そのものは仕事をせず、これによって直接電磁場のエネルギーが変化するわけではない。
・ただし、Lorentz力がきっかけ(?)となって、荷電粒子に(コイルからの束縛力などの)外力が加わることがある。
・もし粒子が帯電していなければ、あとは粒子と束縛力源との間のエネルギーのやりとりで話が完結するはずである。
・ところが荷電粒子の場合、「誘導電場による仕事」という形で、粒子と電磁場との間にエネルギーのやりとりが生じる。

・電磁場←(A)→荷電粒子←(B)→外界

・(A)の作用(Lorentz力)がきっかけで(B)の作用(束縛力)が起こり、これが再び(A)の作用(誘導起電力)を引き起こす。
・前者のLorentz力は仕事をしなくても、後者の誘導起電力は仕事をするので、電磁場は結局、エネルギーのやりとりに参加させられることになる。
・もちろん、三者のエネルギーをすべて勘定に入れれば、トータルのエネルギーは一定のはず。

以上が現時点での私の理解です。誤りがありましたらご指摘ください。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/12/15(Tue) 20:31  No.8104 
こんにちは。


子牛さん
>違うのは、この場合は拘束力によるローレンツ力以外の力を受け加速を受けます。
>磁界はこの加速度運動に対して抵抗します。
>このとき磁界は外部とのエネルギーのやり取りを行うことができると考えます。


導線の中を電流が流れる場合を考えます。電子が導線からでようとしても導線表面に高い電位差があって電子はそれを乗り越えることができません。つまり井戸ポテンシャルです。外部磁場がなければ電子の井戸の壁への衝突は左右均等ですが、磁場があれば衝突回数に偏りが生じます。井戸も動きます。

拘束力 井戸ポテンシャル
加速  電子:1 ローレンツ力による曲がり(仕事せず) 2 井戸壁でのはねかえり
    井戸:電子による押しやり
エネルギー保存
    電子の衝突直前KE = 電子の衝突直後KE + 井戸の衝突後KE 
しかし「磁界の抵抗」があるとするとそれは電子2についてでしょうからその場所は加速のある井戸壁で、そこでのエネルギーの式は
    電子の衝突直前KE = 電子の衝突直後KE + 井戸の衝突後KE + 磁界の加速度運動に対する抵抗エネルギ
ということでしょうか。井戸壁つまり導線表面で新たな電磁場エネルギが生じるというのはうまく考えられません。


 あるいは、電子のつくる磁場を考えれば電子の速さの低下に応じて
   |電子の磁場(衝突直前)|> |電子の磁場(衝突直後)|
 だから収支があわない、ということでしょうか。
 ふつう電子の運動エネルギーの式は1/2mv^2 だけで、運動のつくる磁場のエネルギーは考えないので、うまく考えられません。


 あるいはあるいは、衝突によりKEを失った電子が復活するようエネルギーが注入されることが、ご趣旨でしょうか。
そのための起電力は電磁誘導で磁場の変化と結びつきますからこちらで(も)磁場エネルギとのやりとりがありそうです。

=甘泉法師=




  投稿者:子牛 - 2009/12/16(Wed) 21:12  No.8105 
こんばんわ子牛です。

甘泉法師さんの設定では実際の電線内の現象が絡むので話を簡単にするために
井戸ポテンシャルを摩擦のない剛体壁としてはなしをさせてください。
コイルが静止しているときは、電子は不均一磁界内をローレンツ力を受けながら円運動します。
いま、コイルがxy面にありz方向の正の方向に磁界を発生させている磁石などがあるとします。
このとき、電子は螺旋運動をしながらz方向に進もうとしますが剛体壁があるためにxy面にとどまりつづけます。
剛体壁は摩擦がないので電子はエネルギーを失うことなくまわり続けます。
ここで、コイルをz方向に動かして磁界を発生させている磁石などに近づけます。
この設定で、

>拘束力 井戸ポテンシャル
>加速  電子:1 ローレンツ力による曲がり(仕事せず) 2 井戸壁でのはねかえり
>    井戸:電子による押しやり
>エネルギー保存
>    電子の衝突直前KE = 電子の衝突直後KE + 井戸の衝突後KE 

この場合も電子は剛体壁と衝突しますが、今度は剛体壁がz方向に動いていますので電子は剛体壁に仕事をします。
この仕事は磁界のローレンツ力によるものでないことは甘泉法師さんの言われているとおりだと思います。
つまり電子自身がエネルギーを失うことになります。このエネルギーは、井戸の衝突後KE、またはコイル外部への仕事になります。


>しかし「磁界の抵抗」があるとするとそれは電子2についてでしょうからその場所は加速のある井戸壁で、
>そこでのエネルギーの式は
>    電子の衝突直前KE = 電子の衝突直後KE + 井戸の衝突後KE + 磁界の加速度運動に対する抵抗エネルギ
>ということでしょうか。井戸壁つまり導線表面で新たな電磁場エネルギが生じるというのはうまく考えられません。

電子はどこからもエネルギーが供給されずにエネルギーを失ったわけですから速度が遅くなります。
この結果電流が減少することになりますからこの電流の作る磁界は小さくなります。

>2
> あるいは、電子のつくる磁場を考えれば電子の速さの低下に応じて
>   |電子の磁場(衝突直前)|> |電子の磁場(衝突直後)|
> だから収支があわない、ということでしょうか。
> ふつう電子の運動エネルギーの式は1/2mv^2 だけで、運動のつくる磁場のエネルギーは考えないので、うまく考えられません。

電子を加速する場合運動エネルギーと磁界のエネルギー分の仕事が必要となることは了解されているのでしょうか。
また、電子が減速する場合は自身の運動エネルギーの減少分だけでなく磁界のエネルギーの減少分まで外部に仕事をします。

>3
> あるいはあるいは、衝突によりKEを失った電子が復活するようエネルギーが注入されることが、ご趣旨でしょうか。
>そのための起電力は電磁誘導で磁場の変化と結びつきますからこちらで(も)磁場エネルギとのやりとりがありそうです。

ここで言われている、電子が復活するエネルギーとは何をさされて言われているのかよく分かりません。
剛体壁にエネルギーを与えて電子がエネルギーを失い、その結果磁気エネルギーが減ったというのが自然な解釈だと思うのですが。

子牛


  投稿者:甘泉法師 - 2009/12/16(Wed) 23:46  No.8107 
こんにちは。

>剛体壁にエネルギーを与えて電子がエネルギーを失い、その結果磁気エネルギーが減ったというのが自然な解釈だと思うのですが。

エネルギー保存について発言No.8085のように考えています。思いは同じです…よね。

=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2009/12/17(Thu) 18:18  No.8111 
こんにちは。

強磁性体の構成要素としてスピンを考えます。

スピンによる磁気モーメントをmとし、電子は磁場から Fi = m ・grad B = mj ∂Bi/∂xj の力を受ける。
スピンはもっと要素的な機構には還元できないし減衰もしない。
力Fから仕事 F・v は、ローレンツ力の場合と違い一般に≠0。   

だから磁場(の空間変化)は電子に仕事できる。

と考えますがあたっていますでしょうか。

=甘泉法師=