EMANの物理学 過去ログ No.7867 〜

 ● 実質加速度の数学的・物理的な見方

  投稿者:シャート - 2009/11/07(Sat) 15:35  No.7867 
はじめまして、シャートと申します。
現在、大学2回生(工学部)で流体力学を勉強していてどうしても理解出来ないことがありましたので、どうかご教授お願いします。

理解出来ないのは以下の3つです。

@実質加速度の物理的意味がよくわかりません。
高校までで習う加速度っていうのは一つの物質に着目して考えますよね?

実質加速度っていうのは、任意の流体粒子A,Bに対して、粒子Aと粒子Bの間にも成り立つ加速度って考えてもよいのでしょうか?

A同じく実質加速度についてです。粒子ってブラウン運動していて、ブラウン運動ってランダムな運動ですよね?ランダムな運動と仮定すると、流体粒子Aとそのdx離れた場所にある粒子Bの速度っていうのは連続量じゃなくて不連続量じゃないんですか?そうすると距離で偏微分することに若干の抵抗を抱いてしまいます。

B同じく実質加速度についてです。流体の速度を、空間に対して連続量と認めたとして。
よく実質微分を説明してくれるサイトや教科書にはテーラー展開を使っていますよね?
(参考文献:http://www.cv.titech.ac.jp/~kandalab/jp/lecture/rinkou/kiso1-2/kiso1-2.html

ここでテーラー展開ではなくて全微分しても実質微分の式は出てきますよね?ということは・・・・・・・

テーラー展開→近似を用いて実質微分の式を導出
全微分→近似を用いずに実質微分の式を導出

ってことですよね?近似しても近似しなくても同じ式が出てくるっていうのはどういうことなんでしょうか?

要するに、Cn級の関数においてテーラー展開して、二次以上の微少量を近似した式と
Cn級(C1級以上だと全微分可能)の関数において、全微分した式が一致する理由がよくわからないです。

以上についてご教授お願いします!

  投稿者:甘泉法師 - 2009/11/07(Sat) 20:51  No.7868 
こんばんは。

@について発言します。
流れの速度の場 v(x,y,z,t)=v(r,t) があるとして

>高校までで習う加速度っていうのは一つの物質に着目して考えますよね?

御主張のとおりに考えます。Δtの時間差で 粒子は r から r+vΔt に移動する。だから、この粒子についての加速度は
速度場の場所も時刻もかえて

{ v(r+vΔt,t+Δt)−v(r,t) }/ Δt  
=[{ v(r+vΔt,t+Δt)−v(r,t+Δt)}+ {v(r,t+Δt)- v(r,t)}]/ Δt  
= (v・▽)v + ∂v/∂t 

これを Dv/Dt ともかきます。 ニュートンの法則の右辺の加速度です。実質加速度という呼び方があることを教えてもらいはじめて知りました。
どこの場所でも時間がたっても流れはかわらないつまり ∂v/∂t=0だと第2項はきえますが、それでも流れの空間変化による第1項から加速度をもちます。 たとえばいかだが川が狭まっていき流速が早くなっていくところを通過すれば力を受け・加速度を得 ます。

=甘泉法師=


  投稿者:シャート - 2009/11/08(Sun) 14:31  No.7870 
返信ありがとうございます!

{ v(r+vΔt,t+Δt)−v(r,t) }/ Δt
             ↑↑↑
この段階ではまだ「流体粒子一つに限定」して考えていて、次の式変形で「流体粒子1つに限定していない項の和」に変えたって考えていいんですかね?第二式も結局、和を考えている以上粒子一つに限定はしているけど、項だけに着目すれば、2つの項はそれぞれ粒子に限定していない項になっていますよね?

要するに粒子に固有な式を、粒子に依存しない二つの項に分解できたってことですか?

  投稿者:甘泉法師 - 2009/11/08(Sun) 18:58  No.7872 
こんにちは。

>要するに粒子に固有な式を、粒子に依存しない二つの項に分解できたってことですか?

 そうですね。

蛇足:
 質点の力学の運動方程式のdv/dtというのは質点のvをあらわしているという大前提があります。vを考える位置は当然、質点についてまわります。少し前に粒子がいた位置が今は真空でv=0というか定義できないのもあたりまえです。
 一方、流体の力学では空間(時間も)はすべて動く物で詰まっています。行く川の流れは絶えずしてしかも元の水にあらずで違う水だがたまたま時間を経て同じ位置にいたものどうしの当時の速度の違い∂v/∂tという量を考えることができます。 同じ時刻の速度の位置的勾配=となりあう水どおしの速度の差の具合 という量も考えることができます。この二つで、流れといっしょに動く質点の実質加速度(と言うのですね)を表したことになります。

=甘泉法師=

  投稿者:シャート - 2009/11/11(Wed) 06:08  No.7879 
返信遅れてすいません。

理解できました。
自分の考えを確認できてよかったです。理解が間違っているかもっていう不安が消えました。
ありがとうございます!!

しかしまあ、流体力学も難しいですね・・・・
疑問が次から次へと浮かんできて、先に進めてる気がしないです(笑)