EMANの物理学 過去ログ No.7847 〜

 ● フーリエ変換と不確定性原理

  投稿者:じーつー - 2009/11/02(Mon) 12:58  No.7847 
レベルの高い議論が白熱している中失礼します。Wikipediaの『フーリエ変換』の頁
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%83%BC%E3%83%AA%E3%82%A8%E5%A4%89%E6%8F%9B
の不確定性原理の部分を証明しようと思って、行き詰まってしまいました。

まず、私ができたことは

・元の関数とフーリエ変換された関数の分散の積は、<tex>f(t)</tex><tex>f(at)</tex>に変えても、不変。
・パーセバルの等式は、Wikipediaの記事では周波数で書かれているので、角周波数で書くときは、
因子<tex>1/2\pi</tex>を周波数側の内積に掛けなくてはいけない。
<tex>f(t)</tex>としてガウス関数を取り、<tex>E=\hbar\omega</tex>を代入すると
<tex>\Delta t\cdot \Delta E=\hbar/2</tex>
が成り立つ。ただし、ΔtやΔωは、それぞれの分散の平方根(標準偏差)。

です。一方できないことは

@パーセバルの等式の証明
Aガウス関数で、分散の積が最小

です。パーセバルの等式は、次のようになってしまい、わからなくなってしまいました。
今回はAはとりあえず考えず、以下の私の考えのマズいところを指摘していただきたいです。よろしくお願いします。
上では時間と角周波数で考えていますが、下では位置と波数で考えているのでご注意ください。

<tex>\int_{-\infty}^{\infty}\hat{f}(k)\hat{g}^*(k)dk&=\int_{-\infty}^{\infty}\left[\int_{-\infty}^{\infty}(f*g^*)(x)e^{-ikx}dx\right]dk\\&=\int_{-\infty}^{\infty}(f*g^*)(x) \left[\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ikx}dk\right]dx\\&=2\pi\int_{-\infty}^{\infty}(f*g^*)(x)\delta(x)dx\\&=2\pi(f*g^*)(0)\\&=2\pi\int_{-\infty}^{\infty}f(-y)g^*(y)dy</tex>
となりf(y)とg(y)の内積になりません。

  投稿者:じーつー - 2009/11/02(Mon) 13:55  No.7848 
すみません。解決しそうです。あとで修正します。