EMANの物理学 過去ログ No.7599 〜

 ● 平面波のポインティングベクトル

  投稿者:甘泉法師 - 2009/09/03(Thu) 08:27  No.7599 
こんにちは。 

初歩的な疑問です。 

電磁波の平面波
E=E0 sinξ x方向
H=H0 cosξ y方向
 ξ=kz−ωt  ω=ck
で、ポインティングベクトル z方向 は
ExH=E0・H0/2 sin2ξ で、振動しξにより0にもマイナスにもなり、
エネルギーがまっすぐ伝わる描像と一致しません。

どう考えたらいいのでしょう。

=甘泉法師=

  投稿者:EMAN - 2009/09/03(Thu) 10:06  No.7600 
 電磁波の電場成分と磁場成分は比例関係にありますので・・・つまり波形は同じになりますので、

E=E0 sinξ x方向
H=H0 sinξ y方向

などと置くべきです。
 これにより、ポインティングベクトルは
E × H = E_0 H_0 sin^2 ξ
となり、これで少なくともマイナスにはならずに済みます。
 しかしこれでもポインティングベクトルの大きさは変動します。

 ポインティングベクトルが変動することを心配していらっしゃるような印象を受けたのですが、ポインティングベクトルは速度ベクトルではないのですから、これで構いません。

 ポインティングベクトル(を定数で割ったもの)は運動量密度を表すというイメージだけを強く持っていると、ポインティングベクトルが一定でなければ速度まで変化してしまっているような感じを受けるかも知れません。

 しかしそもそも電磁波の場合には E = pc という関係があるのですから、ポインティングベクトル(を定数で割ったもの)が電磁波のエネルギー密度を表すとか、同時にポインティングベクトル(を別の定数で割ったもの)が運動量密度を表すのであれば、ポインティングベクトルが変動しようとも E と p には比例関係があるわけで、c は一定だと言えます。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/09/03(Thu) 20:31  No.7602 
EMANさん こんにちは

>つまり波形は同じになりますので、
私の間違いでした。ご教示ありがとうございます。

>E × H = E_0 H_0 sin^2 ξ
>となり、これで少なくともマイナスにはならずに済みます。
>しかしこれでもポインティングベクトルの大きさは変動します。

理解しました。
 電磁波は、時間ペース一定でなく脈打ってエネルギーを伝えている。
 時間平均で E_0 H_0 /2。運動量密度も同じふるまい。

 波として当然のふるまいですね。
 ありがとうございました。

 =甘泉法師=

  投稿者:EMAN - 2009/09/04(Fri) 09:21  No.7603 
> 波として当然のふるまいですね。

 波として当然かどうかは、見方しだいだと思います。

 例えば、ひもの上を伝わる波のエネルギーは、運動エネルギーか位置エネルギーのどちらかに着目すれば電磁波に似ていますが、この2種類のエネルギーは相互にやりとりしていますから、全エネルギーで見れば一定だったりします。

 ひもの上の波は振動数の2乗に比例してますが、電磁波ではそんな法則はなく、違っています。

 などなど・・・、昔の私は「波はみんな同じだろう」と根拠なく勝手に思い込んでいたので、長い間もやもやしていました。

  投稿者:大学生A - 2009/09/04(Fri) 10:52  No.7604 
>電磁波は、時間ペース一定でなく脈打ってエネルギーを伝えている。

電磁波の発生源となる電流密度分布の時間的変化が周期的ならば、
そうなるってことでは?
等加速度運動する荷電粒子が放出した電磁波は、脈打たないかと。

  投稿者:EMAN - 2009/09/04(Fri) 11:17  No.7605 
> 等加速度運動する荷電粒子が放出した電磁波は、脈打たないかと。

 今回は平面波に限定の話かな、と思って
そこには突っ込みませんでしたが、そうですね。

  投稿者:hirota - 2009/09/04(Fri) 14:08  No.7606 
光子の基本は円偏波でしょう。
「場の古典論」風に書けば、
 $potential:(A_i)=\begin{pmatrix}0\\0\\A\cos(x-c\,t)\\A\sin(x-c\,t)\end{pmatrix}$ 
 $field:(F_{i j})=(\frac{\partial A_j}{\partial x^i}-\frac{\partial A_i}{\partial x^j})=\begin{pmatrix}0&0&A\sin(x-c\,t)&-A\cos(x-c\,t)\\0&0&-A\sin(x-c\,t)&A\cos(x-c\,t)\\-A\sin(x-c\,t)&A\sin(x-c\,t)&0&0\\A\cos(x-c\,t)&-A\cos(x-c\,t)&0&0\end{pmatrix}$ 
3次元表記だと
 $E=\begin{pmatrix}0\\-A\sin(x-c\,t)\\A\cos(x-c\,t)\end{pmatrix},\,H=\begin{pmatrix}0\\-A\cos(x-c\,t)\\-A\sin(x-c\,t)\end{pmatrix}$ 
energy - 運動量 tensor は
 $(T^{i j})=\frac{A^2}{4\pi}\begin{pmatrix}1&1&0&0\\1&1&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}W&\frac{S^T}{c}\\\frac{S}{c}&M\end{pmatrix}$ 
W : energy 密度, S : pointing vector, M : Maxwell 応力 tensor
となって、|S|=W c の一定値です。
(「場の古典論」は SI 単位系じゃなく、 $\epsilon_0=\frac{1}{4\pi}$  の対称単位系なので御注意)

  投稿者:ASA - 2009/09/04(Fri) 16:45  No.7607 
EMANさん
>ひもの上の波は振動数の2乗に比例してますが、電磁波ではそんな法則はなく、違っています。

 電磁波は、電流の変化があると生じます。
 例えば、周期的電流によって放射される電磁波のエネルギーは、 ω^2I^2に比例します。
 なので、2乗比例法則がないとはいえません。
 電流じゃなくて、電荷(電場)を基準にするとω^4に比例となりますけど。
 (シュテファン=ボルツマンの法則等)

  投稿者:EMAN - 2009/09/04(Fri) 17:29  No.7608 
 だから、単独の平面波限定の話だってばさー。

 みんな、波を好きに重ね合わせて楽しんでるんだよな。
 詭弁自慢大会かいな。

 アイデアには感心するんだけど、
分かってない人はこれ見て混乱しちゃうよ?

 自分も対抗して何か出そうと思ったけど面白いのは思いつかなかった。

  投稿者:EMAN - 2009/09/04(Fri) 17:50  No.7609 
> 自分も対抗して何か出そうと思ったけど面白いのは思いつかなかった。

 アンテナのQ値の例でも出せば良かったかな。
 放射される電磁波のエネルギーは周波数依存があるとか。

 あんまり素敵な例じゃないな。
     

  投稿者:ASA - 2009/09/04(Fri) 18:17  No.7610 
補足しておきますね。
 z方向の変動電流を iz=Iexp(iωt)とします。
 ベクトルポテンシャルは
 Az=I(r)exp(iωt)となります。
 電場は、z方向のみで、Ez=-∂tAz=-iωI(r)exp(iωt)
 単独の微小電流なら、ここから放射されるのは単色球面波ですが、十分遠方なら、平面波とみなせます。
 エネルギー密度はU=Ez^2∝ω^2I(r)^2と、ω2乗則が導かれます。
 これは平面波をも含む一般的帰結です。
 電流は電荷の変化ですから、I=ωρ(ω,r)が成立するので
 U∝ω^4と4乗則が得られます。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/09/04(Fri) 19:18  No.7612 
こんばんは。

EMANさん - 2009/09/04(Fri) 09:21 No.7603
>この2種類のエネルギーは相互にやりとりしていますから、

1 
 電磁波では ベクトルポテンシャルの実フーリエ展開の coskr成分と sinkr成分 
 (たとえばランダウ相対論的量子力学(2.7)式 Qk,-Pk/ω)の間のやりとりでした。


先に考えたz方向に進む単色平面波ではベクトルポテンシャルは
A=A0 cosξ x方向 ここで ξ=kz−ωt 
= Q coskz - P/ω sin kz
  ここで Q=cosωt P/ω=-sinωt、定数係数を別にして。

場のエネルギーは 1/2(P^2 + ω^2 Q^2)、定数係数を別にして。
正準共役量 P, Q間の”やりとり”の形です。

大仰ですが量子力学のブラケット表記を借用すると
 cosωt| coskz> + sinωt|sin kz>
ふたつの異なる波の「状態」の重ねあわせ具合が調和振動で時間変化すること。
「調和振動子」のエネルギーは一定であること。
がわかります。

3 
 先に波だから当然としたのは早計でした。ひもの位置エネルギーと運動エネルギーの和は場所によりませんがベクトルポテンシャルのフーリエ係数間のやりとりは、必然的に同じ位置での関係でない。
 だから電磁波のエネルギーやポインティングベクトルは場所時間により変動する(先には脈打つといいました)ことができていると考えます。  
 

 先にはEとHがやりとりすると思い込んで間違いました。 円偏波は(そしてきっと逆向きの平面波との重ねあわせによる定常波も)、エネルギーのやりとりを、見えないAのフーリエ成分間でなく、目に”見えそこにある”EとHのやりとりのように解釈できてしまう特別の例と思います。
 
=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2009/09/04(Fri) 20:11  No.7614 
甘泉法師さん

>ひもの位置エネルギーと運動エネルギーの和は場所によりませんが
 波だったら、成立しませんよ。
 U=U0sin^2(x-vt);
 必ず粗密ができ、速度vで移動してます。

 

  投稿者:甘泉法師 - 2009/09/04(Fri) 22:53  No.7615 
こんばんは。

弦の振動については

EMANさん - 2009/09/04(Fri) 09:21 No.7603
>例えば、ひもの上を伝わる波のエネルギーは、運動エネルギーか位置エネルギーのどちらかに着目すれば電磁波に似ていますが、この2種類のエネルギーは相互にやりとりしていますから、全エネルギーで見れば一定だったりします。

により

ASAさん - 2009/09/04(Fri) 20:11 No.7614
> U=U0sin^2(x-vt);

は位置エネルギー。 運動エネルギー U0cos^2(kx-ωt) (次元あわせ修正)とあわせた全エネルギーは いつどこでもU0、と理解しておりました。

EMANさん ASAさん ご指導をお願いします。

=甘泉法師= 


  投稿者:kafuka - 2009/09/05(Sat) 04:02  No.7616 
>甘泉法師さん
EMANさんの「全エネルギー」というのは、系全体の全エネルギーの意味ではないでしょうか?
僕は、進行波の運動エネルギーは、中心からWaveFrontの方へと移動して行くものと、思っています。
「いつでも」A地点とB地点で、「位置エネルギー+運動エネルギー」が同じなら
定在波かなって思ったのですが、、、
水面の波で、静止面を「位置エネルギー=0、運動エネルギー=0 とし、
A地点に、Δt秒毎に、x軸の左側からΔEのエネルギーが一定間隔で与えられるとすると、
位置エネルギーU=|mgy|     (絶対値になるのは水圧のため。でないと沈む一方)
運動エネルギーT=ΔE となり、
Uは、時間の関数でないので、T+Uは、保存される。
次のΔt秒後、A+Δx地点に、ΔEは、移って行く(と同時に左側からΔEのエネルギーが、、、)
と考えると、A地点は単振動。したがって、どの地点でも単振動。

∴ いつでもどこでも「位置エネルギー+運動エネルギー」=ΔE で同じ

  投稿者:ASA - 2009/09/05(Sat) 07:32  No.7617 
甘泉法師さん

1次元波動方程式を
 ∂t^2ξ=(G/ρ)∂x^2ξ;v^2=G/ρ;G:剛性率,ρ:密度
 とすると
 一つの平面波解は
ξ(x,t)=ξ.cos(x-vt)
です。
 運動エネルギーUkは
 Uk=(ρ/2)(∂tξ)^2
 位置エネルギーUkは
 Up=(G/2)(∂xξ)^2
 Up=Ukが成立してます。
 なので
 U=Up+Uk=ρ(∂tξ)^2=ρξ.^2 {sin^2(x-vt)};ρξ.^2=U0
=U0sin^2(x-vt)

自由度がある電磁波などの場合は、
 例えば、
 Ex=Asin(z-vt),Ey=Acos(z-vt)
 という特殊なケースのみ
 U=Ux+Uy=A^2:いつでもどこでも一定となります。
 一つの自由度に注目すると粗密が生じてます。

 運動量が伝播しない、力学的単振動のモデルとは、根本から違っています。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/09/05(Sat) 09:03  No.7618 
こんにちは。

ASAさん
>運動量が伝播しない、力学的単振動のモデルとは、根本から違っています。

1 よくわかりました。ご教示ありがとうございます。

  弦の振動:  位置エネルギーのMaxと運動エネルギーのMaxが一致し伝わる
  平面電磁波; HエネルギーのMaxとEエネルギーのMaxが一致し伝わる

で似ています。

2 これら力学的単振動でないものを、あえて力学的単振動のようにみなすためには
  運動量空間の量(=フーリエ変換の成分)をみる、という天邪鬼が必要になって
  (量子化もして)フォノン、フォトンが出てくると理解します。

 =甘泉法師=

  投稿者:EMAN - 2009/09/05(Sat) 10:26  No.7619 
 確かに。 私が完全に誤ってました。
 単振動のイメージとごっちゃになって、同じものだと思い込んでいました。
 定常波ができたときにやっと単振動と同じイメージが出現するのですね。
 何でだろう。

 電磁波のエネルギーの周波数依存性については、ASAさんの前提ではそういうことが言えるのでしょうけれど、私が話したのは「力学的な振動の場合には振幅が同じでも振動数が違えばエネルギーが異なる。 この点は電磁波とは違う。」という話なので、話の内容が噛み合ってないのではないかと思います。


  投稿者:甘泉法師 - 2009/09/05(Sat) 11:35  No.7620 
こんにちは。

>何でだろう。


 正逆方向の波の重ねあわせある定常波では
E=E0 sinξ+ + E0 sinξ- x方向
H=H0 sinξ+ − H0 sinξ- y方向
 ξ+=kx−ωt  
 ξ-=−kx−ωt  
 ω=ck
書き直すと
E= -2E0 coskx sinωt x方向
H= 2H0 sinkx cosωt y方向
ポインティングベクトルは
ExH= -E0 H0 sin2kx sin2ωt z方向
-----
同一場所でE^2+H^2は振幅が違うので楕円を描き時間変化します。先の「きっと定常波でも」という拙予想は違っていました。


位相がπ/2ずれた同振幅の垂直2成分の和である円偏波では 
ひとつの成分のE,Hがsin(cos)なら 他成分ではcos (sin)なので 
E^2+H^2=一定(ε0、μ0は補ってみてください)となりますが、
これは特別な設定に思えます。


 とはいえ

Re: hirotaさん - 2009/09/04(Fri) 14:08 No.7606
>光子の基本は円偏波でしょう。

 なるほど。光子のヘリシティ±1が右/左旋光に対応することから、x方向、y方向でなく右旋光、左旋光が偏向の重ね合わせの基本と考えることもできそうです。
 時間ペース一定でのエネルギーの流れというのも、イメージとして粒子(群)の運動に近いですし。


 このように円偏波では
 エネルギー密度はいつどこでも同じ
なので一見エネルギーの出入はありませんが
 ポインティングベクトルはz方向 一定値
なのでエネルギーは確かに流れています。電磁波ですから、ポインティングベクトルがエネルギーの流れを表すことはEMANさんの記事のとおりです。

Re: Poyntingベクトルと「エネルギーの流れ」 EMANさん - 2009/08/24(Mon) 23:44 No.7545
>エネルギーが流れているかどうかという点は解釈次第って感じで、どっちでもいいんじゃないかという印象ですが、これも一から考え直そうとしているところです。

ご検討の事例のひとつに、どうでしょう。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2009/09/05(Sat) 15:59  No.7621 
EMAN さん

>私が話したのは「力学的な振動の場合には振幅が同じでも振動数が違えばエネルギーが異なる。 この点は電磁波とは違う。」という話なので

 力場の振幅で考えると違うとなりますが、電磁ポテンシャルの振幅で考えると同じとの指摘です。違う話ではありません。

 力学的振幅ξに対応するのは、ベクトルポテンシャルA~であってE~とかH~とかの力場ではありません。

方程式:∂t^2ξ=(G/ρ)∂x^2ξ→∂t^2A~=(1/εμ)∂x^2A~
係数: G->1/μ、ρ→ε 
平面波解Az=A0sin(kx-ωt)(ローレンツ条件成立)なら
エネルギー:
 Uk=(ρ/2)(∂tξ)^2 →Ue=(ε/2)(∂tA)^2=(ε/2)E^2
 Up=(G/2)(∂xξ)^2 →Um=(1/2μ)(∂xA)^2=(1/2μ)B^2=(μ/2)H^2
時間変動:ξ=ξ0exp(iωt) →A=A0exp(iωt)
周波数依存性:U=Uk+Up∝ω^2ξ0^2 → U=Ue+Um∝ω^2A0^2

以上の対応関係が成立してます。
よって、ベクトルポテンシャルで考えるとω^2比例法則が成立するといえるのです。
 同一の方程式系ですから、対応物が存在してます。
 (これは、力学系とLCR回路系との対応と同様です)

<結論>
「電磁気的な波動の場合にはポテンシャル振幅が同じでも振動数が違えばエネルギーが異なる。この点は力学的波動と同じ。」

  投稿者:EMAN - 2009/09/05(Sat) 20:21  No.7624 
 なるほど、そこまで話して下されば私にも分かります。

 すでに繰り返す必要もないくらいですけれど、要するに、電磁波というときに電場と磁場の波を思い浮かべるのではなく電磁ポテンシャルの波を考えるならば、その周波数が高いほど電場や磁場の振幅も大きくなるので、エネルギーも大きい。 かくして力学的な波と同じことが言える、というわけですね。

 これまでそういう視点で考えたことがありませんでしたので、大変勉強になりました。

  投稿者:hirota - 2009/09/08(Tue) 15:35  No.7627 
色々なケースを試してみると、

円偏光:
<tex>E=\begin{pmatrix}0\\-\sin(x-c\,t)\\\cos(x-c\,t)\end{pmatrix},\,H=-\begin{pmatrix}0\\\cos(x-c\,t)\\\sin(x-c\,t)\end{pmatrix},\,W=\frac{E^2+H^2}{8\pi}=\frac{1}{4\pi}\,,\,S=\frac{c}{4\pi}E\times H=\frac{c}{4\pi}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}=W c\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}</tex>

定在波(円):
<tex>E=\begin{pmatrix}0\\\sin(c\,t)\\\cos(c\,t)\end{pmatrix}\cos(x)\,,\,H=-\begin{pmatrix}0\\\sin(c\,t)\\\cos(c\,t)\end{pmatrix}\sin(x)\,,\,W=\frac{1}{8\pi}\,,\,S=0</tex>

直線偏光:
<tex>E=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\cos(x-c\,t),\,H=-\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\cos(x-c\,t),\,W=\frac{1}{4\pi}\cos^2(x-c\,t)\,,\,S=\frac{c}{4\pi}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\cos^2(x-c\,t)=W c\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}</tex>

と、ここまでは分かるけど、
定在波(直線):
<tex>E=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\cos(x)\cos(ct),\,H=-\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\sin(x)\sin(ct),\,W=\frac{1}{16\pi}\left(1+cos(2x)cos(2ct)\right),\,S=\frac{c}{16\pi}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\sin(2x)\sin(2ct)</tex>
になると、もうグチャグチャ!

  投稿者:ASA - 2009/09/09(Wed) 07:37  No.7635 
hirota さん
 
 定在波(直線偏光)は空間積分でみれば、エネルギーは定在波(円偏光)の半分でポインティングベクトルは同じく0。
 領域内部では、エネルギーが電界と磁界で時間的に推移している。それぞれのエネルギーのピーク位置は異なっているため、エネルギーの流れは空間的に行き来している。