EMANの物理学 過去ログ No.7354 〜

 ● 密度について

  投稿者:TITI - 2009/08/09(Sun) 21:08  No.7354 
お久しぶりです。

早速質問なのですが、密度が位置の関数であらわされていることがよくありますが、これがなかなかイメージできなくて困っています。
ある点における密度ってどういう意味なのでしょうか?
そもそも、密度というのは、点ではなくて、ある一定の大きさを考えないといけないのではないか?と思ってしまいます。
たとえば、何かの密度が一定の空間で、一点を取って、この点の密度は・・・と言われても、パッとしません。(言わんとしていることはわかりますが。。。)
(今まで、当然の如くスルーしてきたのが怖い)

うまい説明が思いつかないので、どなたかよろしくお願いします。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/09(Sun) 22:23  No.7356 

こんにちは。

1.
物質内のある1点(x、y、z)をきめて、そこを中心に半径1kmの球を考える。
球の質量をM、体積をVとして比M/V=ρを計算すれば、これがこの点の密度。

2.
物質の分布にはむらがあるのが一般なので、半径rは1mにしたほうが値がより正確になる。
さらに半径rは1mmにしたほうが密度の値がより正確になる。
さらに半径rは1μmにしたほうが....
さらに半径rは1nmにしたほうが....

3.こうして点(x、y、z)における究極の密度はここを中心とする無限小半径の球の密度
 lim r→0 M/V。

=甘泉法師=

  投稿者:TITI - 2009/08/09(Sun) 22:40  No.7357 
早速ありがとうございました
やっぱり、極限で考えるしかないんですかね。

私の見落としは、分布にむらがあるのを考えていなかったことですね。
たとえば、広い平面に、点を有限個うった時を考えると、むらがあるため、面の取り方によって面密度がかわってきますね。

この場合って、密度を位置の関数であらわすと、ゼロか無限大になるのでしょうか?なんか、こう考えると、普段考えるようなものでは、密度って究極的にはゼロか無限大になってしまうように思えてしまうのですが・・・
(たとえば体積密度なら、分子が定数で、体積を無限小にすると考えると)

結局、分母を無限小に持っていく際に、分子が定数とみなせなくなる場合に限り、収束の問題になってくるのでしょうか?具体例などがあれば、ぜひ教えて下さい。

P.S
これに関連した電磁気学の質問があるので、上の疑問が解決したら、質問しようと思います。

  投稿者:kafuka - 2009/08/09(Sun) 22:49  No.7358 
ある位置(x,y,z)付近で、ある体積ΔxΔyΔzの質量がΔmだったら、
その位置での密度は、だいたいΔm/ΔxΔyΔz でしょう?

で「付近での値」から、「ある位置での値」にするために、
Lim[x+Δx→x、y+Δy→y、z+Δz→z] Δm/ΔxΔyΔz
とするのです。
これは、Δx=0、Δy=0、Δz=0のことじゃないです。
例えば、関数のグラフの傾きを考えてみて下さい。
f(x)=x^2 で、x=1の点の「傾き」には「0/0」じゃない「きっちりした値」があります。これが、
Lim[x+Δx→x] {f(x+Δx)-f(x)}/Δx
です。
実際にf(x+Δx)=(x+Δx)^2 で計算して、x=1としてみて下さい。

>広い平面に、点を有限個うった時
には、上記は適用できませんね。
的はずれで、ごめんなさい。

ただ、1m3に、電子が有限個ある場合でも、10^23個もあると、
↑の甘泉法師さんの式から、連続での式に繋がると思います。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/09(Sun) 23:17  No.7359 
こんにちは。

先の説明では物質を連続体とみなしました。

>この場合って、密度を位置の関数であらわすと、ゼロか無限大になるのでしょうか?
>なんか、こう考えると、普段考えるようなものでは、密度って究極的にはゼロか無限大になってしまうように思えてしまうのですが・・

点粒子からなるとみなせば密度はデルタ関数をつかって
ρ(x,y,z)= Σi mi δ(x-xi)δ(y-yi)δ(z-zi)     
 ここでmi, (xi,yi,zi) は 粒子iの質量、位置。

=甘泉法師=


  投稿者:明男 - 2009/08/09(Sun) 23:34  No.7360 
TITIさんの疑問はもっともだし、的を射ていると思いますね。

おそらく、甘泉法師さんやkafukaさんの説明は考え済みでしょう。有限個の点(あるいは点状物質)を想定されたのは現実の物質観によるものだと感じます。結論から言えば、”現実の”密度はあくまで平均であり、極限等の操作は数学的定式化ではないかと思います。結局物質を構成する、原子、原子核、あるいは素粒子まで考えれば、それらの(質量)密度を質量/体積で表しても、それはやはり平均的量としか言えない気がします。電子など大きさ0と思われるレプトンなどは密度のイメージがまさに点状でTITIさんの想定されたケースに近いと思いますが、数学的にはデルタ関数として扱えますので、密度(分布)はそれに従うでしょう。物理的な本質が離散か連続か、私にも分かりませんが。

  投稿者:kafuka - 2009/08/10(Mon) 00:23  No.7362 
>明男さん

数学的定式化!=現実 かもしれませんが、
1m3に、電子が有限個ある場合でも、10^23個もあると、
甘泉法師さんのデルタ関数の式から、連続での式に繋がると思いますので、
数学的定式化で十分と思います。

逆に、空間概念があいまいになるプランク距離以下では、
体積や密度の概念に変更が必要と思います。
その場合、新しい別の「数学的定式化」が必要になるだけで、
やっぱり、数学的定式化(が出来れば)、それで十分と思います。

もちろん、数学的定式化が出来るとは、限りませんが。
(例えば、正準量子化でさえ、δ関数どおしの積が出てくる=数学的に未定義)

釈迦に説法でした。気を悪くされましたらお詫びします。

  投稿者:明男 - 2009/08/10(Mon) 01:15  No.7363 
>kafukaさん

いやいや、kafukaさんの仰ることに異論はありませんよ。私の言いたいのは、TITIさんが疑問を持つに至った経緯が極く自然であるということです。ともすれば数学的描像が物理学の本質のように思いがちですが、逆であると言いたいわけです。

  投稿者:TITI - 2009/08/10(Mon) 23:14  No.7372  <Home>
皆さんありがとうございました。
やはり、デルタ関数で考えるのが便利なのでしょうかね。
個人的には、デルタ関数の考え方も考えにくいのですが。(たぶん、慣れの問題でしょう)今回のような疑問から、デルタ関数が必要とされたのでしょうし・・・

後でしようと思っていた電磁気学の質問も、結局は密度に関して、離散的と考えるか、連続的と考えるかの問題なのでほぼ解決してしまいました。
でも、「連続的」というのは、考えやすいけれど、直感的に受け入れにくいですね。