EMANの物理学 過去ログ No.7321 〜

 ● Poyntingベクトルと「エネルギーの流れ」

  投稿者:yuya - 2009/08/08(Sat) 16:45  No.7321  <Home>
記事「ローレンツ力の反作用」、さっそく読ませていただきました。

前のスレッドでも悩みながら自信なく主張したことなのですが、結局のところ

「 $E \times H$  と  $\Div(E \times H)$ を混同してはいけない。
ただPoyntingベクトルが『ある』(ゼロでない)というだけでは、エネルギーの流れがあることにはならない。
その発散  $\Div(E \times H)$  こそが、エネルギーの流れと解釈できるのである」

と理解して良いのでしょうか?問題があればご指摘いただけると幸いです。

  投稿者:EMAN - 2009/08/08(Sat) 21:05  No.7329 
> その発散  $\Div(E \times H)$  こそが、エネルギーの流れと解釈できるのである」

  $ \Div $ はベクトルの「湧き出し」を表すイメージですから、もしこれが 0 だとしても流れがあることまでは否定できないと思います。

 例えば、電磁波は普通、サイン波なんかに分解して表されますけれど、理論上は矩形波でも構わないはずです。 こういう場合、 $\Div(E \times H)$ は部分的に 0 となるでしょうけれど、やはりそこでも電磁波のエネルギーは流れているわけです。

 ま、その場に立って、そこだけ見ていれば、エネルギーに変化がない状況ではそれが流れているかどうかなんて判断がつかないわけですけれど。

 しかし静電磁場の場合は明らかに「流れてはいない」んじゃないか、と思えたりします。 けれど今回の記事のようにポインティングベクトルが輪を描いている場合には角運動量を持っているわけで、それは運動量がそこに輪を描いて存在しており、同じようにエネルギーの流れの輪もそこにあるんじゃないか、と思いたくもなるわけです。 だけどそんなのは人間の心理的な都合というか、一貫した解釈が通らなければ気持ち悪いというそれだけじゃないのかと私は思います。

  投稿者:yuya - 2009/08/08(Sat) 21:40  No.7331  <Home>
ありがとうございます。

> 例えば、電磁波は普通、サイン波なんかに分解して表されますけれど、理論上は矩形波で
>も構わないはずです。 こういう場合、  $\Div(E \times H)$  は部分的に 0 となるでしょう
>けれど、やはりそこでも電磁波のエネルギーは流れているわけです。
>
> ま、その場に立って、そこだけ見ていれば、エネルギーに変化がない状況ではそれが流れ
>ているかどうかなんて判断がつかないわけですけれど。

あー、なるほど。

ある微小領域でのdivの値は一般にはゼロをまたいで忙しく変化しているでしょうから、
中にはdivがゼロになる領域もあるだろうけど、「流れがない」というよりは
「たまたま湧き出しから吸い込みに切り替わっている(またはその逆)」と捉えるほうが正確ですね。
(全然違うけれど、単振動の両端では速度ゼロ、という話を思い出しました。)

>それは運動量がそこに輪を描いて存在しており、同じようにエネルギーの流れの輪もそこにある
>んじゃないか、と思いたくもなるわけです。 だけどそんなのは人間の心理的な都合というか、
>一貫した解釈が通らなければ気持ち悪いというそれだけじゃないのかと私は思います。

普通の質点のイメージだと、「そこに運動量がある」→「その質点はそこにはじっとしていない」
→「エネルギーも質点が持ち去ってしまう」という類推が働いてしまうからでしょうね。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/08(Sat) 22:39  No.7333 
こんにちは。

御記事 http://homepage2.nifty.com/eman/electromag/eng_moment.htmlから
単位体積の電磁波の運動量は w=EXH / c^2、同じくエネルギーは cw。 

御主張『wの上式は電磁「波」より一般的な電磁「場」についてはあてはまらない』
拙主張『wの上式は任意の電磁場にあてはまる。』

=甘泉法師=




  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/08(Sat) 23:25  No.7335 
PS 説明例 帯電した円筒の内部で電流が流れている。

+|↑|+   ↑
+|↑|+   ↑
+|↑|+   ↑
+|↑|+   ↑
+|↑|+   ↑
+|↑|+   ↑
+|↑|+   ↑
+|↑|+   ↑
 電流  ポインティングベクトル


御主張:棒の外の空間に電磁波はない。よって運動量の流れもない。
拙主張:棒の外の空間に下から上への運動量の流れがある。


  投稿者:EMAN - 2009/08/09(Sun) 08:11  No.7342 
> 御主張『wの上式は電磁「波」より一般的な電磁「場」についてはあてはまらない』
> 拙主張『wの上式は任意の電磁場にあてはまる。』

 あれれ?
 今回の私の記事は、運動量密度の考えは電磁波以外、つまり電磁場一般にも当てはまるのではないかという主張を強めるものですよ。 とは言っても、角運動量の密度が存在することについてだけ示して、明言を避けてますけど。

 ひょっとして、少し前、No.7329の私の投稿の中に、「しかし静電磁場の場合は明らかに「流れてはいない」んじゃないか、と思えたりします。」という文があるので、そこだけ読んで、私が逆の主張をしていると早合点されたかな?



> 帯電した円筒の内部で電流が流れている。

 この例は面白いと思うのですが、良く考えるとそれほど簡単だとも思えません。 この場合、電場の方向と磁場の方向(これは電流が作り出す磁場ですよね)を考えると、ポインティングベクトルは電荷の流れと同じ方向を向いているので、それだけではうまく説明できないような気がします。

 それにこの場合の電流の原因は外部にあるはずで、そいつも電流から反作用を受けているはずですから、それらも含めてきっちり数値が合うことを確認しないといけません。 今回の記事の例は、それが割と簡単にできる話なのでした。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/09(Sun) 12:33  No.7346 
こんにちは。

「ポインティングベクトル」、「運動量密度」、「エネルギーの流れ」について

1. 御記事 http://homepage2.nifty.com/eman/electromag/em_energy2.html
気をつけること
...しかしポインティングベクトルがあるからと言って、必ずしもエネルギーの移動があるとは考えられないことに注意しておこう。...
ポインティングベクトルがエネルギーの流れを表すとの解釈は、この式を電磁波の場合に適用した場合にだけ出来ることなのである。

から御主張を

電磁波について 「運動量密度」∝「エネルギーの流れ」∝「ポインティングベクトル」 であるが
電磁場一般についてはこの限りでない 

と解していました。

2.
>今回の私の記事は、運動量密度の考えは電磁波以外、つまり電磁場一般にも当てはまるのではないかという主張を強めるものですよ。

電磁場一般についての、、「運動量密度」、「エネルギーの流れ」、「ポインティングベクトル」の関係についてのお考えを
あらためて教えていただければと存じます。

3.
>角運動量の密度が存在することについてだけ示して、明言を避けてますけど

運動量密度から任意の中心に対する角運動量密度が計算されます。

4.
説明例について

説明例は思いつきなので不具合がきっと多々あることをまずおことわりします。そのうえで、

>ポインティングベクトルは電荷の流れと同じ方向を向いているので、それだけではうまく説明できないような気がします。

わたしはポインティングベクトルが電流と同じ方向を向くことで生じる不都合はないと考えています。

>それにこの場合の電流の原因は外部にあるはずで、そいつも電流から反作用を受けているはずですから、それらも含めてきっちり数値が合うことを確認しないといけません。

簡単のため起電力のいらない超電導状態としてみます。円筒の端をどう処理していようと、遠方での処理方法は円筒近傍の電磁場には影響しません。 実験の配置は?実験系全体の運動量保存は?は考察するに値いしますが、それはまた別のお話と存じます。

説明例に拘泥は避けたく存じます。

5.
任意の電荷のない空間の電磁場(電磁波であるか否かを問わない)について
わたしは以下のように考えています。

(1)
運動量密度 g :単位体積あたりの運動量
エネルギーの流れ N : 単位時間に単位面積を通過するエネルギー
関係 g=N/c^2 =ExH/c^2
(2)
エネルギー密度 w:単位体積あたりのエネルギー
w= (ε0 E^2 + μ0 H^2 ) / 2
エネルギー保存
∂W/∂t + div N = ∂W/∂t + c^2 div g = 0

6.
エネルギーの流れのイメージ図

エネルギーの「流れが0」の場合   池の水 〜静電場

 断面A   断面B
---|-----------|-----------------
水 |水 水 水 水| 水 水 水 水 水
水 |水 水 水 水| 水 水 水 水 水
---|-----------|-----------------

エネルギーの流れの「発散が0」の場合(I)

 断面A   断面B  平野の川 〜真空を平面波が通過中
---|-----------|-----------------
→ |→ → → →| → → → → →
→ |→ → → →| → → → → →
---|-----------|-----------------


エネルギーの流れの「発散が0」の場合(II)


 断面A   断面B  遊水池付き川 〜定常電磁場 
---|----------- |----------------
→ |→ → → → | → → → → →
→ |→ → → → | → → → → →
---|----------- |----------------
木木|水水水水水水|木木・・・
木木|水水水水水水|木木・・・
木木|水水水水水水|木木・・・
木木|水水水水水水|木木・・・
木木|水水水水水水|木木・・・
木木|水水水水水水|木木・・・
--------------------
木木木木木木木木木木木木・・・

エネルギーの流れの「発散が0でない」場合

 断面A   断面B  遊水池への水充填 〜充電中のコンデンサ 
---|----------- |----------------
→ |↓↓↓↓↓↓| ← ← ← ← ←
→ |↓↓↓↓↓↓| ← ← ← ← ←
---|----------- |-----------------
木木|水水水水水水|木木・・・
木木|水水水水水水|木木・・・
木木|水水水水水水|木木・・・
木木|水水水水水水|木木・・・
木木|水水水水水水|木木・・・
木木|水水水水水水|木木・・・
--------------------
木木木木木木木木木木木木・・・

=甘泉法師=



  投稿者:yuya - 2009/08/09(Sun) 12:54  No.7347  <Home>
数学的に何をもって「流れ」と呼ぶかを定めない限り無意味なのは承知の上で、
心情的に納得のいくイメージをつかむための議論を少し書きます。
というか、自分のイメージ論の奮闘記録のようなものを書きます。

一定の回転速度で回る均質なリングを考えたとき、
空間の各位置における運動量を図示すれば、
リングの接線方向に無数の矢印(すべて大きさが等しい)が描かれるはずです。

この「運動量だけが描かれた図」を見ている人にとっては、時間変化は全く感じられません。
にもかかわらず、我々が「リングに沿って何らかの『流れ』がある」と感じるのは、
各位置での運動量を担う「質点」という実体がどんどん入れ替わっているからですね。

単純な力学ですら、このようにイメージが分かれるわけですが、
電磁場の運動量はさらに抽象的です。
ちょうど、椅子とりゲームをしている子供と椅子のような関係ではないでしょうか。
力学なら、ぐるぐる回る子供たちが運動量を担っているわけですが、
今度は椅子の側に運動量が蓄えられていて、しかもそれがベクトルである以上、「向き」というものがある。

結局、「電磁場の運動量」とはそもそもそういうものだと割り切るしかないのでしょうね。
静電場だって、Eを表す矢印がいっぱい敷き詰めて描かれていたら、何らかの「流れ」を感じるわけだし……。

  投稿者:大学生A - 2009/08/09(Sun) 13:29  No.7349 
なるほど・・・。
って以前に似た話をどのスレかで見たような・・・。

  投稿者:EMAN - 2009/08/10(Mon) 20:49  No.7369 
> 電磁場一般についての、、「運動量密度」、「エネルギーの流れ」、「ポインティングベクトル」の関係についてのお考えをあらためて教えていただければと存じます。

 どう説明したら私の考えが分かりやすく伝えられるかを考えておりましたが、長く待たせても申し訳ないので、書いてしまいます。

 ポインティングベクトルを c で割ったものがエネルギー密度を表していて、さらに c で割ったものが運動量密度を表している、というのが私の考えです。 以上は実に単純なことであり、甘泉法師さんも同じ考えではないかと私は思っています。

 ところが、これら「エネルギー密度」や「運動量密度」は必ずしも光速で移動するわけではありません。 電磁波の場合は光速で移動しますが、静電磁場の場合には移動はしません。

 移動はしませんが、運動量密度はやはりその場にあるようです。 ニュートン力学の常識では運動量があればそこに移動する実体があると感じますが、静電磁場の場合には、何も移動する実体がないのであります。 「エネルギー密度」も同様です。

 ですから、ポインティングベクトルが「単位時間当たりに単位面積を通過するエネルギー量」だとする解釈は電磁波の場合にだけ出来ることだと、今でも考えています。

  投稿者:EMAN - 2009/08/10(Mon) 21:18  No.7370 
> わたしはポインティングベクトルが電流と同じ方向を向くことで生じる不都合はないと考えています。

 多分、甘泉法師さんの意図とは別の論点で私が意見を述べたので、反対意見のようになってしまったのだと思います。

 無限に長い電流の周りに生じる静電磁場が運動量密度を持つことについて反論したわけではありません。 私はこの場合の運動量密度が実際に運動量密度として認められるのかどうかを確認する術(単純な実験なり、直観的に分かりやすい計算なり)があるのかどうかに目を向けておりました。

 この例では、電荷の持つ運動量も、静電磁場の持つ運動量密度も同じ方向を向いてしまっておりますので、(それらは全く別の存在でありますが、)同じ方向であります。 当然のことですが、どちらかがどちらかの反作用だとは考えられません。 そこで、もし「静電磁場を含めた運動量保存」を何とかして確認したいのなら、(もちろんそれはミクロにはすでに確認されているのですが、できるならもっとすっきりとやりたいのです。)これらの合計の運動量に対する反作用がどこに働いたのかを考えないといけません。 しかし今回の例ではすでに電流が生じてしまった後の状況であり、反作用を受けた相手が出てこないのです。 ですから、そういうことを考えるには、あまりいい例ではないなぁ、という感想を書いたのです。


> 御主張:棒の外の空間に電磁波はない。よって運動量の流れもない。
> 拙主張:棒の外の空間に下から上への運動量の流れがある。

 はっきりさせておかなくてはいけないのは、まさにこの点でしょう。
 この点でだけ、私たちの意見には食い違いがあると思います。

 私は静電磁場は運動量を持つこともあるが、流れてはいない、と主張します。 これは少し前までは私にも受け入れがたいことであり、驚いていますが、今はそういうこともあるのだと考えています。

 ただしこのことは私はまだはっきりと確認できていません。 確認できるような事例を探し中です。 甘泉法師さんとのやりとりの都合上、不安ながらもこっち派に立たねばならなくなってしまっているだけです。

 一方、角運動量については今回の記事で、「何も流れがないのに静電磁場が角運動量を持つ」ことは分かりやすく確認できたと思っています。

  投稿者:EMAN - 2009/08/10(Mon) 21:29  No.7371 
> 普通の質点のイメージだと、「そこに運動量がある」→「その質点はそこにはじっとしていない」→「エネルギーも質点が持ち去ってしまう」という類推が働いてしまうからでしょうね。

 yuyaさんには伝わったみたいでうれしいです。(大学生Aさんもかな。)
 まさにそれ、そういう思考に縛られてしまうのでしょうね。
 私もそうだったし。
 ほんとうはもう少しきっちり(別角度から)確かめたいのであります。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/10(Mon) 23:24  No.7373 
こんにちは。

1.
>ポインティングベクトルを c で割ったものがエネルギー密度を表していて、

静電場を考えます。ポインティングベクトルは0。これをc で割ったものは0。
一方 エネルギー密度は ε0 E^2 / 2 ≠ 0。

2.
>さらに c で割ったものが運動量密度を表している

ポインティングベクトルをc^2で割ったものが運動量密度であること、異論ありません。

3.
>ポインティングベクトルが「単位時間当たりに単位面積を通過するエネルギー量」だとする解釈は電磁波の場合にだけ出来ることだ

反例 コンデンサの放電
http://radphys4.c.u-tokyo.ac.jp/~k-komaki/kougi/ren04-3.pdf の「1.」の設定
(i)コンデンサ内のポインティング・ベクトル S(ρ, z, t) を求めよ。
(j)円柱面 ρ = a,| z | < d/2 について S の法線成分Sρを積分し、コンデンサが単位時間に失うエネルギーを求め、(e)のW(t) と比べてみよ。

円柱面から電磁波はでませんがエネルギーは出ます。

=甘泉法師=


  投稿者:EMAN - 2009/08/11(Tue) 00:03  No.7374 
> 静電場を考えます。ポインティングベクトルは0。これをc で割ったものは0。
> 一方 エネルギー密度は ε0 E^2 / 2 ≠ 0。

 ああ、そうか。
 「ポインティングベクトルを c で割ったものがエネルギー密度を表している」と私が書いたのは間違ってましたね。 電磁波でないから、|E|と|H|は比例しないからこういうことも起きるのでした。 また E = p c の関係にも縛られることはないので、エネルギーと運動量が比例しなくても問題ないのでした。


> 円柱面から電磁波はでませんがエネルギーは出ます。

 なるほど、私が「電磁波の場合だけ」と書いたのは誤りで、「動電磁場の場合にも成り立つ」ということになりそうですかね。 そして「静電磁場」ではこの解釈は成り立たない、という点は大丈夫ですよね。

 コンデンサの放電中にどんなことが起きているか、まだ詳しくは確認していないので、後で確認したいと思います。 エネルギーが円柱面の単位面積から出て行くと言えるのかどうかについてはまだ疑問に思っていますので。 出て行ったエネルギーはその後どこへ向かうのか、とか。 電場の変位で磁場が生じていたりして電磁波が出てる感じが拭えないですし。

  投稿者:kafuka - 2009/08/11(Tue) 00:34  No.7375 
甘泉法師さん

お手数ですが、ちょっとだけ教えてください。
∇xH−∂D/∂t=j
で、コンデンサの中の電流jは0ですが、放電により電束密度Dが時間変化します。
したがって、円周方向(水平)に、磁場Hが生じ、それが時間変化(exp-at?)すると
思います。
で、
B=∇xA なので、Aも時間変化すると思います。
この変化は、Sinカーブじゃないですが、無限の彼方(水平方向)へと空間に消えて行く=エネルギーが放射される。
そう考えてよいでしょうか?

  投稿者:ASA - 2009/08/11(Tue) 08:32  No.7376 
EMAN さん

>エネルギーが円柱面の単位面積から出て行くと言えるのかどうかについてはまだ疑問に思っていますので。
 簡単な思考実験で否定できますよ。
 円盤コンデンサーの中心軸に細線抵抗を接続する場合を考えます。
 ある半径r0の内側ではポインティングベクトルは抵抗に向かいますが、
 その外側では、外側に向かいます。
 このように明らかに連続性を満たしていないのでエネルギーの流れとの解釈は無理です。
 
 E~=∂tA~の放射波動なら、ポインティングベクトルをエネルギーの流れと解釈できます。

  投稿者:EMAN - 2009/08/11(Tue) 09:25  No.7377 
> 簡単な思考実験で否定できますよ。

 まぁ否定や論破が目的ではないんで自主的にもっと詳しく調べるつもりではいましたが、私も簡単に考えた限りでは同じようなイメージを持ってますんで、ASAさんがそれが確かだと言って下さるのなら、議論の速度を速めるためにもちょっと楽して乗っからせて頂くことにしましょう。

 すると『ポインティングベクトルが「単位時間当たりに単位面積を通過するエネルギー量」だとする解釈は電磁波の場合にだけ出来ることだ』という説明は、あまり深く考えてない部分があったにせよ、先見の明があったということになりますかな。

 最終的な論点はそこではなく・・・まぁ、途中で私の間違いに気付かせて頂きましたので大きな収穫ではあったのですが・・・、今の議論では脇道に過ぎません。 本流は、「流れのない運動量」なるものの存在を認められるか認められないかというところだと私は思ってるのです。
 出来れば、角運動量の考えに頼らないで、直感的に「そうだ」と言える面白い例を探してみたいのです。

  投稿者:hirota - 2009/08/11(Tue) 10:15  No.7378 
「応力」=「運動量の流れ」です。
ここで、応力が釣り合って静止している状況を考えますと、運動量は存在しないけど運動量の流れはあるという状況になります。
これを矛盾と考えて応力の定義を制限するか、気にせず簡単な定義で済ませてしまうかは趣味の問題でしょう。
昔はともかく、色々なパラドックスを知ってる現在の僕は気にしない派になってしまったので、ポインティングベクトルは常にエネルギー流と思っています。

  投稿者:EMAN - 2009/08/11(Tue) 10:54  No.7380 
> 「応力」=「運動量の流れ」です。

 言われてみりゃあそうですね。
 昔、力学のページで「力は運動量の時間変化だ」という説明を書いたときに、力が働いてるけど動いてない事例だってあるぞ、(力は力だ、運動量に還元して考えるなんて不届きな!)と散々叩かれたのでした。 ちょっと視点を変えると割と身近にあるものだなぁ。


> 色々なパラドックスを知ってる現在の僕は気にしない派になってしまったので、

 色々知ってると、人に説明するときとか、人をからかうときに便利ですよね。 一発で間違いに気付かせてあげられたり。 私自身も解釈なんかはもうそんなに気にしていないのですが、それでも誰にも分かりやすい「必殺の一撃」になりうる例なんかを蓄えておくのは役に立ちそうですね。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/11(Tue) 17:35  No.7382 
こんにちは。

コンデンサの問題 http://radphys4.c.u-tokyo.ac.jp/~k-komaki/kougi/ren04-3.pdf
の「1.」について

kafukaさん - 2009/08/11(Tue) 00:34 No.7375
1.
抵抗が時間dtに放つ熱エネルギー  V^2/R dt
コンデンサがに失うエネルギー d(C/2 V^2)= CV dV
これらを等しくおき解いて V=V(t=0) exp (−t/CR)

2.
> ∇xH−∂D/∂t=j
j=0にして半径ρ<a の円筒の体積積分
H 2πρ −ε0 (πρ^2) ∂V/∂t=0 
H (ρ,t) = ε0 ρ /2  ∂V(t)/∂t
= −ε0ρV(t=0)/2CR  ・exp (−t/CR)
縁 ρ=aで
H (a,t) =−ε0 aV(t=0)/2CR  ・exp (−t/CR)
ρ>a で
H (ρ,t) =−ε0 a^2V(t=0)/ρ2CR ・exp (−t/CR)

3.
>無限の彼方(水平方向)へと空間に消えて行く=エネルギーが放射される。

問題の設定『まわりは真空であるとし、電界は両極板の間にのみ生じ、一様であるとする。』に従うならば
ρ>a では、電場E=0。ポインティングベクトルは0。エネルギーは外部空間に消えていくのではない。

仮説。御吟味大歓迎。

甘泉法師 - 2009/08/08(Sat) 23:25 No.7335 の説明例のように、導線の周囲の空間にポインティングベクトルが生じる。
ポインティングベクトルの流線は、コンデンサを出発して導線に沿って抵抗まで続き、抵抗に入る。

ASAさん - 2009/08/11(Tue) 08:32 No.7376
> ある半径r0の内側ではポインティングベクトルは抵抗に向かいますが、
> その外側では、外側に向かいます。

縁 ρ=a で磁場、ポインティングベクトルが0。御定義のr0=a。
エネルギーの流れは、コンデンサの外で0、コンデンサの中で中心軸向き。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2009/08/11(Tue) 18:48  No.7383 
甘泉法師さん

>エネルギーの流れは、コンデンサの外で0、コンデンサの中で中心軸向き。

 だとすると物理的に矛盾します。

コンデンサ外部に閉曲面を取ります。この閉曲面からの流出量は0となります。
十分時間がたつと電流は0で、電圧も0。トータルエネルギーは0となります。
初めは電場エネルギーE0=CV0^2/2のみだったのですが、時間がたつと0。
エネルギーが保存してません。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/11(Tue) 19:32  No.7384 
こんにちは。

> エネルギーが保存してません。

 中心軸の細線抵抗で発生する熱エネルギーは。

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2009/08/11(Tue) 20:44  No.7385 
>甘泉法師さん
ありがとうございました。

問題の設定を、単に初期条件というふうに解釈して、
Hが、常に円筒内だけに存在することに、考えが及びませんでした。

参考までに、何故、間違えたかというと、、、

半径rの位置で、Hが時間変化すれば、exp(-at) の形の変化であっても、
r+Δrの位置に、Eが生じると思ったためでです。
これは、E=−∇φ−∂A/∂t において、円筒の外ではφ=0であるが、A≠0と思っていた。
何故A≠0かというと、AB効果の、円筒内部だけの磁場で外部がA≠0となること
を、外村博士の実験では、薄い中空円筒の内部だけの円周磁場ですから、
この場合のコンデンサの放電にも当てはまると思ったわけです。
(コンデンサの放電の場合は、Hが「同心円状に」円筒内だけに存在する)
したがって、円筒の外で|A|=一定(Aの回転成分だけ?)

しかし、Hが時間変化 exp(-at) しますから、円筒の外の|A|は、空間的には一定でも、
時間変化は、あります。(t→∞で|A|→0)
したがって、円筒の外のE=−∂A/∂t≠0
(これがエネルギー放出を意味するかどうかは、疑問)

たぶん、僕が誤解していると思います。
簡単で結構ですので、ご指摘頂ければ幸いです。

ポインティングベクトルと関係ない議論をお詫びします。

  投稿者:ASA - 2009/08/11(Tue) 21:29  No.7386 
甘泉法師さん

 すると、細線抵抗をコンデンサーの外にあるケースを考えると。
 細線抵抗の内部のみ、電場があるとして。
 やはり大枠は変らず、
 >エネルギーの流れは、コンデンサの外で0、コンデンサの中で中心軸向き。
 導線の影響は、間隔の調整で無視できるから、
 やはり、連続してないことに変らない気がします。
 (電流そのものの影響が大きい)

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/11(Tue) 22:32  No.7387 

こんばんは。

> 細線抵抗をコンデンサーの外にあるケースを考えると。
>エネルギーの流れは、コンデンサの外で0、コンデンサの中で中心軸向き。

エネルギーの流れは、コンデンサの外で0、コンデンサの中で「外」向き。
抵抗に行き着くまでのエネルギーの流れ具合の仮説を甘泉法師 - 2009/08/11(Tue) 17:35 No.7382 で提案。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2009/08/12(Wed) 07:05  No.7389 
甘泉法師さんの思考がわかりません。

 rotH~=i~+j~;i:電流,j=∂tD~:電束電流
 rotHi~+rotHj~=i~+j~;
 電流が作り出す磁場と電束電流の作り出す磁場との和になってます。
 この関係は、抵抗の位置には関係ありません。
 
 >コンデンサの中で「外」向き。
 何故このように抵抗の位置で極端に変化する結論になるのか、説明願います。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/12(Wed) 15:07  No.7392 
こんにちは。

> 電流が作り出す磁場と電束電流の作り出す磁場との和になってます。

前者と後者は向きが逆。縁以遠でキャンセル。

> この関係は、抵抗の位置には関係ありません。

  電流の流れる抵抗が外の遠方にあれば、前者は0。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2009/08/12(Wed) 16:32  No.7393 
>前者と後者は向きが逆。
 これは良いのですよ。

 遠方に置かれた抵抗の周辺のポインティングベクトルは、0ということでよろしいですか(コンデンサーの外部は電場0より)?
 するとポインティングベクトルの連続性に問題がありそうに思えますが、これは問題ありという認識でよろしいですか?

あと、コンデンサー中心に配置された抵抗ですが、抵抗の長さは、コンデンサー間隔より非常に短い場合も有れば、長い場合も有ります(同じとは限らない)。
 短い場合は、電流の連続性により同じ長さのケースとコンデンサー内の磁場は変らないと考えられますから、導線にポインティングベクトルが集中していることになります。このとき導線内でエネルギー消費がされていると考えるのでしょうか?

逆に長い場合、コンデンサーからはみ出た部分は、導線の電流と抵抗の電流は、逆向きなので磁場を作る電流としてはキャンセルします。したがってH,Eともに0なので、ポインティングベクトルも0と考えてよろしいのでしょうか?

 あと、kafukaさんも指摘しているように電流が変化すると一般に電磁波が発生することが示せます。発生した電磁波は、エネルギーを運びます。今のケースで、電磁波が運び去るエネルギーは、いったいどこから来るのでしょうか?(エネルギーが保存しないように思えます)。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/12(Wed) 21:57  No.7395 
こんばんは。

1.
>遠方に置かれた抵抗の周辺のポインティングベクトルは、0ということでよろしいですか(コンデンサーの外部は電場0より)?

>短い場合は、電流の連続性により同じ長さのケースとコンデンサー内の磁場は変らないと考えられますから、導線にポインティングベクトルが集中していることになります。このとき導線内でエネルギー消費がされていると考えるのでしょうか?

>逆に長い場合、コンデンサーからはみ出た部分は、導線の電流と抵抗の電流は、逆向きなので磁場を作る電流としてはキャンセルします。

知恵不足には先人の知恵を借りて
MOGAMI http://www.mogami-wire.co.jp/paper/tline/tline-01.html
一方、導体に抵抗があれば、周囲の磁界による導体の軸方向の電位差ができて、電界の軸方向成分が生まれますが、この電界と円周方向の磁界から生まれるポインティングベクタは導体の内部に進む方向で、このエネルギが導体内部に入り込んで発熱し、それが導体損失に起因する減衰の起源になります。

抵抗の長短に応じて、抵抗へ一様にポインティングベクトルが注ぎます。 甘泉法師

2.
2005年の先人の議論 ポインティングベクトルと電流 http://hooktail.maxwell.jp/bbslog/7205.html 
がためになります。ポインティングベクトルを否定する方がいます。私の「仮説」に近い考えの方もいます。
より実りある議論の一助に目を通されんことを。

=甘泉法師=

  投稿者:大学生A - 2009/08/12(Wed) 22:07  No.7396 
うわっ!
四年前のスレッドも残ってるんですね。
yamaさんもその頃から、いらっしゃる御方だったんですね。
私はけっこう思いつきで書き込んでますから、滅茶苦茶ハズカシイ。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/12(Wed) 23:57  No.7397 
kafukaさん こんにちは。

> Hが、常に円筒内だけに存在することに、考えが及びませんでした。

先に計算したように円筒外でHは0でありません、Eは、問題の設定からは0です。

> 簡単で結構ですので、ご指摘頂ければ幸いです。

 残念ながらベクトルポテンシャルについて何かいえるほど知っていません。

 =甘泉法師=


  投稿者:凡人 - 2009/08/13(Thu) 00:30  No.7398 
>先に計算したように円筒外でHは0でありません、Eは、問題の設定からは0です。
であるとすれば、円筒外ではE×H=0となり、パラドックスは無いような気がするのですが、単純過ぎますでしょうか?
尚、私のような愚鈍な人間でも何がパラドックスなのかが理解できるよう、4行程度の簡潔な文章でパラドックスを記述していただけると助かります。
私は、ポインティングベクトル=電磁波が運ぶエネルギーの流れを表したものと考えるため、ポインティングベクトルに予想外の振る舞いがあれば、ベクトルポテンシャルの様に、必ず実験によってその効果が検証出来ると予想しておりますので、その辺の所もご説明頂けますと助かります。

  投稿者:ASA - 2009/08/13(Thu) 07:02  No.7399 
甘泉法師さん

 今までは抵抗が直線の場合でしたが、コイル状にするとまた興味深いです。

 ベクトルポテンシャルS~=E~×H~がどのようなばあいでも常にエネルギーの流れを表わすと思っていないだけです。
 しかし、div(S~)は、ある領域での電磁エネルギーの増減を表わすとして解釈して大丈夫そうに思えますが、自信ありません。

  投稿者:ASA - 2009/08/13(Thu) 07:32  No.7400 
>ttp://hooktail.maxwell.jp/bbslog/7205.html
  
 循環項の話が出てましたね。
 コイル状にした時の問題に相当しますね。
 (Sに任意性があるのでうまくSを選べば、運動量対応ができる。)

 divを取りエネルギー絶対値の増減を考えるには問題ないと思えます。

 なんにせよ、実態的解釈では、電流をベースに解釈した方が安全ですね。
  

  投稿者:ASA - 2009/08/13(Thu) 07:49  No.7401 
>抵抗の長短に応じて、抵抗へ一様にポインティングベクトルが注ぎます。 甘泉法師

 これが、よくわかりません。

導線の抵抗は0で細線抵抗(半径r)の半径より非常に小さいとして、両者の中心が2rはなれているとします。
 細線抵抗のある表面部分を考えると、導線と向かい合っている微小面では、距離がrですが、裏側では距離が3rと違いがでてきます。直線の作る磁場は1/rの特性ですから、裏側の方がポインティングベクトルは、小さくなってしまい一様ではありません。
 細線抵抗は一様電流でその極近辺では一様電位(電場の大きさは一定)としても、導線の作る磁場の差はどうしようもありません。
 導線と向かい合っている面の方が、発熱量が大きいと考えるのでしょうか?
お考えを聞かせてください。

  投稿者:kafuka - 2009/08/13(Thu) 09:50  No.7402 
甘泉法師さん
Res頂きありがとうございます。

ρ>a で
H(ρ,t)=−ε0 a^2V(t=0)/ρ2CR ・exp (−t/CR)

なのですが、題意からコンデンサの外のE=0(漏れ電界が0)
なので、ρ>aでのH(ρ,t)も0とみなす(漏れ磁界も0)
と思っていました。
でないと、Hが時間変化exp(-at) するので、コンデンサの外に漏れ磁界があると、
コンデンサの外のE=0は、おかしい からです。

尚、僕の言っていることは、題意に反するので問題外と思われるでしょうが、
僕の題意の解釈は、「ρ>aの漏れ電界や漏れ磁界が0とみなせる」として、表面までの(ρ≦a)のBxEを考える
ということです。
別の要因によってρ>aでE≠0になることまで否定してしまうと、場合によっては、整合性がなくなる
と思ったのです。

ASAさん
>kafukaさんも指摘しているように電流が変化すると一般に電磁波が発生することが示せます。
考慮して頂きありがとうございます。
No7375のことだと思いますが、
No7385つまり「漏れ電界や漏れ磁界が0」でも電磁波が発生する というのは、
定性的すぎると思ったので、計算してみると、コンデンサの外の|A|は、一定じゃなく、
(コンデンサの向こう半分の磁束による1/(ρ+a) ー 手前半分の磁束による1/(ρ-a) ) のようです。
(ストークスの定理で,コイルをぐるりと周回するA の線積分が磁束に等しくなるので)
ただし、(向こう半分の磁束の影響ー手前半分の磁束の影響) =Aの回転成分
この回転成分が、アハラノフ・ボーム効果を生み出す
と思います。
http://www.ieice.or.jp/jpn/books/kaishikiji/200012/20001201-3.html
を参考にしました。
僕の誤解ならアドバイス頂けると嬉しいです。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/13(Thu) 20:34  No.7405 
こんにちは。

凡人さん
>尚、私のような愚鈍な人間でも何がパラドックスなのかが理解できるよう、4行程度の簡潔な文章でパラドックスを記述していただけると助かります。

私は電磁場一般について、ポインティングベクトル=エネルギーの流れ=運動量密度*c^2であり、
パラドックスはないと考えています。

ASAさん

お話の条件が「簡単な思考実験による否定」であるところの抵抗が中心軸にある→外にある→長い→短い→...  と総括なくめまぐるしく変わり、ついに今回の設定は愚鈍な頭ではイメージできなくなりました。頭の回転がASAさんのレベルに達することがあれば検討したいのですが、EMANさんはじめ賢者の方の解説、吟味を期待しています。

=甘泉法師=



  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/13(Thu) 20:56  No.7406 
kafukaさん こんばんは。

>でないと、Hが時間変化exp(-at) するので、コンデンサの外に漏れ磁界があると、
>コンデンサの外のE=0は、おかしい からです。

電磁波についての見方を整理。


電磁波が出ないなら
コンデンサのエネルギ=抵抗の熱エネルギ
電磁波がでるなら
コンデンサのエネルギ=抵抗の熱エネルギ+電磁波エネルギ


このことは、「電流電圧派」と「ポインティングベクトル派」で一致。なぜなら電磁波が出る出ないはマクスェル方程式できまるので両派で見解に差がない。電磁波のポインティングベクトルがエネルギーの流れであることについても両派で見解の相違はない。


だから両派のどちらが正しいかを見るために電磁波放出を持ち出しても役にたたない。


電磁波のことは暗いのですが、出てもふつうは無視できるような微少量と推測します。

PS さもないと事例説明につかった東大の問題をはじめ入試や大学演習の問題は大きな勘違いをしていることになりますね。それはそれで面白いですが。

=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/13(Thu) 23:38  No.7414 
こんばんは。

EMANさん
> それでも誰にも分かりやすい「必殺の一撃」になりうる例なんかを蓄えておくのは役に立ちそうですね。

おそれながら以下は如何でしょう。

1.電磁気現象のエネルギー・運動量はどこにどれだけあるか決まらなければならない。
  そうでないと重力方程式の右辺がきまらない。
  
  位置がきまらない例 静電エネルギー をqφ や q1q2/r とあらわすとそれはどこにあるのか。


2.だから電磁場のエネルギー・運動量テンソルは「実体」である。

3.エネルギーの流れは「実体」である電磁場のエネルギー・運動量テンソルから派生する。
  静・動・定常・電磁波・電荷ありなし...等等を問わず。

4.具体的にはポインティングベクトルである。

必殺の返り討ちにあえばそれも本望。

=甘泉法師=



  投稿者:凡人 - 2009/08/14(Fri) 00:17  No.7415 
愚鈍な人間の思いつき的予想で申し分けないのですが、純粋な電磁気現象におけるエネルギー・運動量については全て、光子のエネルギー・運動量に還元できるのではないでしょうか?
また、ポインティングベクトルは、電磁場上の実体である光子のエネルギーの流れを古典論のレベルで計算する事が出来る便利な概念的実体であって、決して本当の実体(=物質)ではないと思います。

  投稿者:大学生A - 2009/08/14(Fri) 15:22  No.7422 
真空中に「エネルギー流」が存在した場合、その流速はcですよね?
もし、大域的に慣性系が取れるなら、ローレンツ変換で「エネルギー流」は、
消えませんよね?
なら、荷電粒子が作るポインティング・ベクトル場の成分のうち、
「制動放射で生じた電磁波」によるもの以外は、ローレンツ変換で消せる
ので、「エネルギー流」を表す物理量とは、言い切れないのではないでしょうか?

おもいっきり、的外れですか・・・?w

  投稿者:凡人 - 2009/08/15(Sat) 02:30  No.7427 
大学生Aさん
>「エネルギー流」を表す物理量とは、言い切れないのではないでしょうか?
私は、No.7415にて、
>ポインティングベクトルは、電磁場上の実体である光子のエネルギーの流れを古典論のレベルで計算する事が出来る便利な概念的実体であって、
と主張しているのですが、いかがでしょうか?

  投稿者:ASA - 2009/08/15(Sat) 09:46  No.7429 
大学生Aさん

>おもいっきり、的外れですか・・・?
的外れで無いと思います。
ベクトルポテンシャルS~の速度をどう定義するかちょっと問題ですが、

いま、点電荷が一定の速度で運動している場合を考えます。
運動している電荷は、磁場を作るので、結果としてポインティングベクトルS~が生じます。
 電磁エネルギー密度uは、変らないので∂t u=0。
 仕事してないので,E~・i~(δ(r~-v~t))=0
 前提となる式は、E~・i~ + ∂t u + div S~=0
 従って、div S~=0のはず。
 ここでのS~は、磁場の分布強度(速度軸線上は0)を反映していて、軸上の微小領域を考えると、div(S~)は0でなくなります。
 後方軸上からはエネルギーが流出し、前方軸上にエネルギーが集積することになります。
 これは、div S~=0と矛盾します。
(全空間積分すれば、正負キャンセルして0となり矛盾なし、点電荷(電流)を中心として球状の場合も明らかにOK。前提式の導出過程からも判るように、i~を内部空間に含まない場合は、必ずしも成立しないような気がします。)
 
 このようなケースでS~の流速を点電荷の速度と見て、慣性系の変換により、S~を電磁エネルギーの流れとする解釈を否定するという論法も十分ありだと考えます。

  投稿者:大学生A - 2009/08/15(Sat) 19:11  No.7433 
凡人さん、レスありがとうございます。

>いかがでしょうか?

量子論には疎いので(古典論も十分疎いけどw)、よく解りません。
でも、二物体間で電磁気的な相互作用がある場合、光子のエネルギーの流れが
存在したとするのなら、静電場でもその流れを認めなくてはいけないのでは?

ASA さん、レスありがとうございます。

>ベクトルポテンシャルS~の速度をどう定義するかちょっと問題ですが・・・

えーと、私の言いたいことを言い換えます。
例えば、

「物体Aの運動エネルギー」→「真空場の電磁エネルギー」→「物体Bの運動エネルギー」

上記のようなエネルギー変移が生じた場合、電磁エネルギー波の伝播速度は、
c未満の値を取り得ないと思うのですが・・・。
例えば、場の電磁エネルギー密度分布の時間的変化を、流体の質量密度分布の
時間的変化に置き換えた場合の流速に相当するものとして、「エネルギー流」
を定義するなら、一見、私の意見は的外れの様ですが、思い付いたのです。
つまり、ある流体の質量密度分布の時間的変化を与える流速場としての解は、
一意には定まらないので、ポインティング・ベクトル場も場の電磁エネルギー
密度分布の時間的変化を与える解の一つに過ぎないのではないか、と考えたのです。
結局、実在である「電磁エネルギー密度分布の時間的変化」を与える
「エネルギー流」の正体は、光速cで様々な方向へ伝播する様々な大きさの
電磁エネルギー波を重ね合わせて得られる「見かけ」の流れではないのでしょうか?
ならば、ローレンツ変換で消すことができないポインティング・ベクトルを、
実在の「エネルギー流」を表す物理量として認めるべきかと・・・。

おもいっきり、的外れかも・・・。(^^;)

ASA さん、すみません。
何か滅茶苦茶なこと書いてるみたいです。
そもそも、ローレンツ変換で消える成分は、伝播速度が遅いからではなく、
単に、その大きさが荷電粒子の速度に比例するからですね。
やっぱり、的外れっだったようです。
どうも、お騒がせ致しました。m(_ _)m

ああ・・・もう、わけが解らない。(T_T)

  投稿者:凡人 - 2009/08/15(Sat) 22:15  No.7436 
大学生Aさん、甘泉法師さん
>一方、導体に抵抗があれば、周囲の磁界による導体の軸方向の電位差ができて、電界の軸方向成分が生まれますが、この電界と円周方向の磁界から生まれるポインティングベクタは導体の内部に進む方向で、このエネルギが導体内部に入り込んで発熱し、それが導体損失に起因する減衰の起源になります。
は、
>光子のエネルギーの流れが存在したとするのなら、静電場でもその流れを認めなくてはいけないのでは?
と関係があると思うのですが、私は導体内部の発熱と抵抗損失は、電位差による力を受けて導体内部を移動する自由電子が、導体を構成する原子の束縛電子を励起し、電磁波が生じる為だと思っております。
当然、ここで発生する個々の電磁波のエネルギーの流れは、ポインティングベクトルで表現出来ますが、このポインティングベクトルの総和が、静電場のポインティングベクトルと等しいのではないかと考えてみたのですが、いかがでしょうか?

それと、大学生Aさん、すみませんが、
>ローレンツ変換で消すことができないポインティング・ベクトルを
というものは、どういうものなのかという事を、もう少し説明していただけると助かります。

  投稿者:大学生A - 2009/08/15(Sat) 23:28  No.7438 
凡人さん、レスありがとうございます。

>いかがでしょうか?

例えば、一個の電子が作る静電場でも、その流れを認めなくてはいけないのでは?

>ローレンツ変換で消すことができないポインティング・ベクトルを
>というものは、どういうものなのかという事を、もう少し説明して
>いただけると助かります。

えーと、・・・無かったことにしてください。w

  投稿者:凡人 - 2009/08/15(Sat) 23:57  No.7439 
>例えば、一個の電子が作る静電場でも、その流れを認めなくてはいけないのでは?
論議を収束させたいので、「一個の電子が作る静電場」なる状態の物質設定をしていただけないでしょうか?

  投稿者:大学生A - 2009/08/16(Sun) 00:15  No.7440 
>論議を収束させたいので、「一個の電子が作る静電場」なる状態の
>物質設定をしていただけないでしょうか?

いや、純粋に、点電荷が作る静電場において、光子のエネルギーの流れが
あるのかないのかが知りたかったので。
量子電磁気学にまで踏み込まないと、答えが出ないものなのでしょうか?
それなら、白旗掲げて撤退します。w

  投稿者:凡人 - 2009/08/16(Sun) 00:26  No.7441 
>量子電磁気学にまで踏み込まないと、答えが出ないものなのでしょうか?
それは違うと思います。
私が勝手に実際には有り得ない物質設定をしてみますが、電子の位置が固定されている静電場を設定すれば、H=0なので、ポインティングベクトルは0となるのではないでしょうか?

  投稿者:大学生A - 2009/08/16(Sun) 00:38  No.7442 
>電子の位置が固定されている静電場を設定すれば、H=0なので、
>ポインティングベクトルは0となるのではないでしょうか?

なるほど。
ありがとうございました。m(_ _)m

  投稿者:はっしー帝國 - 2009/08/16(Sun) 07:17  No.7444 
>電子の位置が固定されている静電場を設定すれば、H=0なので、ポインティングベクトルは0となるのではないでしょうか?

一個の電子は磁気モーメントを持っているので、「電荷と磁石の作るポインティングベクトル」と意味あいは同じなので、ポインティングベクトルはその周囲を土星の輪のようにクルクル廻っているはずです。

ちなみに、一個の電子ではなく帯電した球のようなものならば、帯電体の中の電子の向きがバラバラで磁気モーメントが打ち消しあうということで、H=0の意味もわかる気がします。
しかし強磁性体の金属が帯電したらポインティングベクトルはその周囲をクルクル廻っていると思います。

蛇足ですが、カー・ニューマンブラックホールも同様だと思います。たぶん。

  投稿者:EMAN - 2009/08/16(Sun) 08:44  No.7447 
 話が広がりすぎて複数の話題が混在しているので、少しずつでも収束させたいなぁと考えておりました。

 まず、kafukaさんは、平行平板コンデンサの両端をつないで放電するときにコンデンサ本体から電磁波が生じるのかどうかを気にしておられます。 これは議論の本流ではありませんが、解決すれば本流の議論の補助になるかも知れない話題です。

 これは別タイトルとして分けた方がいいくらいの話であり、まぁ、すでにそれ用のスレッドが作られてはいるのですが、残念なことにこちらでの議論を引きずっていて議論の独立が保たれていません。 (いや、どちらかというとあれは、kafukaさんの考え方が妥当かどうかについて議論するスレになっちゃってるかな。)それで、かえって議論の混線を引き起こしそうです。 というわけで、こちらで応答しようと思います。

 結論から言えば、電磁波は出ます。 すでに甘泉法師さんやASAさんが答えている内容とさほど変わりませんが、分かりやすく説明してみましょう。

 通常イメージされる電磁波は、コンデンサに交流電源を付けて、強制的にコンデンサの極板間の電場を繰り返し振動させて発生させるようなものです。 ところが今回の設定では、放電にともなう一度きりの変動しかありません。

 どう考えるのが楽かというと、電磁ポテンシャル $ \phi $ 、 $ \Vec{A} $ を考えて、これが波動方程式に従って伝播するというものです。 ところが、今回の問題設定には不都合があります。 漏れ電場がないというのですから、コンデンサの外部での $ \phi $ の初期状態が全域で一様なのです。 現実はそうではありません。 だから漏れ電場をイメージしてみて下さい。 そしてコンデンサが放電すると、この $ \phi $ の分布が変わっていきます。 つまり「コンデンサ外部の等電位線の形状の変化」が光速で伝わって、新しい形状へと順に書き換わっていく感じです。 今回の理想化された設定ではその部分が目隠しされており、正しくイメージする妨げになっているようです。

 さて、この変化は「ぬめーっ」と(しかし光速で)伝わっていきますから、激しく振動するようなイメージのものではありません。 それでも、甘泉法師さんが別スレッドで書いておられた「フーリエ変換によって周波数ごとに分ける」ことによって、多数の正弦波の組み合わせで解釈し直す事も可能ではあります。

  投稿者:凡人 - 2009/08/16(Sun) 09:29  No.7448 
>ポインティングベクトルはその周囲を土星の輪のようにクルクル廻っているはずです。
脳がすっかり古典論モードになっていたので、電子のスピンの事を忘れていました。
ところで、光のエネルギーが電子の周りを、土星の輪の様に廻っているという描像は、古典論的な人間には考えにくいのですが、いかがでしょうか?

  投稿者:はっしー帝國 - 2009/08/16(Sun) 09:50  No.7449 
>古典論的な人間には考えにくいのですが、いかがでしょうか?

何おっしゃるんですかぁー?

電子そのものが既に量子的じゃないですかぁー。

古典的というか、スカラーとして扱いたければ、「電子」と書かずに「静止した帯電体」と書けばよかったんではないですか?

  投稿者:EMAN - 2009/08/16(Sun) 12:56  No.7454 
 続きまして、議論の本流について。 主題が分かりにくくなってきていますが、こういうことだと思います。 誤解があればご指摘ください。

 ポインティングベクトルがある面を境にして 0 (またはほぼ 0)になることがあるので、「ASAさん、私」は必ずしもエネルギーや運動量がその面を実際に「通過」しているわけではない、と主張しています。

 対する「甘泉法師さん」は、コンデンサと抵抗の例をひいて、コンデンサが失うエネルギーと、抵抗が消費するエネルギーが両方ともポインティングベクトルを用いて計算できて、しかも両者の値は一致するので、実は両者の間をつなぐような細い「ポインティングベクトルの通り道」みたいなのがあって、理想的な設定下では見過ごされているだけなのではないか・・・ポインティングベクトルはエネルギーの流れそのものだと主張されておられるようです。

 どちらも相手を納得させることには成功していないという状況です。

  投稿者:ASA - 2009/08/16(Sun) 13:53  No.7455 
EMANさん
ポインティングベクトルS~で考えると大枠ではそうです。

 静的場合なら、divS~を考えれば、解釈可能かなと漠然と思っていましたが、一定速度vで運動する点電荷のポインティングベクトルを調べると、
divS~での解釈も困難です。

 z軸方向に運動する場合(v~={0,0,v})、このとき
S~=(Kv/r^6){-xz,-yz,x^2+y^2},K=q^2/16π^2ε
divS~=-2Kvz/r^6 です。divS~を全空間で積分すると、対称性から0。
 局所的な空間にエネルギーのソースやシンクを想定するのは、やはり無理を感じます。

 ちなみにG~=S~/c^2を全空間(r>a,a:点電荷の半径)で積分すると
 P~=v~(μq^2/6πa)と有限値をもちます。
同じ質量、同じ電荷をもつ球体が、その半径が小さいほど大きな運動量?を持つことになり、これもまた、ちょっと無理を感じます。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/16(Sun) 15:38  No.7456 
>Re: Poyntingベクトルと「エネルギーの流れ」 EMAN - 2009/08/16(Sun) 12:56 No.7454

1.
EMANさん 適切な議論の整理ありがとうございます。
私の考えを簡潔にまとめていただき感心しました。
EMANさんの問題意識は「ベクトルポテンシャルの流線のとぎれ」と理解しました。

2.
せっかく議論の筋を整理いただきましたので、これ以上コンデンサの例に拘泥脱線することは慎みたく存じますがEMANさんの問題意識の表現事例
----
http://radphys4.c.u-tokyo.ac.jp/~k-komaki/kougi/ren04-3.pdf の「1.」
。ただし、まわりは真空であるとし、電界は両極板の間にのみ生じ、一様であるとする。
(i)コンデンサ内のポインティング・ベクトル S(ρ, z, t) を求めよ。
----
Sはコンデンサ内で縁まで外向きだが、そのすぐ外では0になる。不連続。外向きのエネルギーはいったいどこへいったのか。
いや、この系のポインティングベクトルをエネルギーの流れと考えるから「どこへいった」と勘違いの問を発するのだ。エネルギーの流れではないのだから不連続であって困ることはない。

3.
EMANさんのお考えをまだ誤解しているようでしたらさらにご指導ください。

=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/16(Sun) 16:05  No.7457 
>Re: Poyntingベクトルと「エネルギーの流れ」 ASA - 2009/08/16(Sun) 13:53 No.7455 [修正] [削除]

こんにちは。

> z軸方向に運動する場合(v~={0,0,v})、このとき
>S~=(Kv/r^6){-xz,-yz,x^2+y^2},K=q^2/16π^2ε
>divS~=-2Kvz/r^6 

ASAさん 興味深い計算ありがとうございます。

粒子は周りに電磁場エネルギー(積分すると電磁的質量)の衣をまとっていると観て

将来、粒子がくる方 z>0 は衣が濃くなるようエネルギーを吸い込み
今後粒子が遠ざかる方z<0 は衣が薄くなるようエネルギーを吐き出す。

様子がみてとれます。

>ちなみにG~=S~/c^2を全空間(r>a,a:点電荷の半径)で積分すると
> P~=v~(μq^2/6πa)と有限値をもちます。

電磁的質量=μq^2/6πa。

>同じ質量、同じ電荷をもつ球体が、その半径が小さいほど大きな運動量?を持つ

同じ電荷量なら狭い空間に閉じ込めるほどクーロンエネルギーが大きくなり
すなわり電磁的質量が増します。

=甘泉法師=



  投稿者:ASA - 2009/08/16(Sun) 17:22  No.7459 
甘泉法師さん

>電磁場エネルギー(積分すると電磁的質量)の衣をまとっていると観て

 具体量を計算をすると辻褄が合わないです。



>電磁的質量
 有名な話で P=(4/3)mvとなって、非常に矛盾します。

 電荷がないときの質量m0=-m/3と負なら力学的運動量と無理やり一致させられますけど、負の質量は、ありませんし。

 概念的な説明ではなく、定量的な計算で示してもらえませんか、議論になりません。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/17(Mon) 00:21  No.7462 
こんにちは。

>有名な話で P=(4/3)mvとなって、非常に矛盾します。

御結果 μq^2/6πa = 4/3 U/c^2, U = ε0 /2 ∫r>a E^2 dv = q^2 / 8πε0 a

「Uは4元ベクトルをなすためにあらまほしい電磁的エネルギー
それに対し計算は 1/3 倍だけ余計になる」という有名な話ですね。

PS
 手元のパノフスキ(1962)には「-1/3倍の電子内で荷電を結びつける非電磁的エネルギがあって
 辻褄があうのでないだろうかか」と書いてありました。調べたついで。

  投稿者:ASA - 2009/08/17(Mon) 07:01  No.7465 
甘泉法師さん

 この矛盾は、電子だけでなくて、任意の大きさの球体で一般に成立します。

 つまり、電荷を集めたことによる静電エネルギーMeとこの電磁エネルギーMsとの比が4/3なのです。電子だけの話ではありません。

 チャージがないときの球体の質量をMoとします。∞遠方からチャージを球表面に集めたときの質量増分をMeとします。運動してないときの質量はM=Mo+Meです。
 なので速度vで運動しているときの運動量は、P=M v=Mo v+Me v となるはずです。
 しかし、ポインティングベクトルからの計算だと、Ms=4/3Meなので
P=M v=Mo v+Ms v=Mo v + 4/3Me v=Mo v+Me v +Me/3 vとなります。
 運動させると、不可思議な作用で必ずMe/3増え、逆にとまる時は、逆にMe/3だけ減るという、理解しがたいことが起こっていることになります。
 
 パノフスキによると、帯電した物体の運動の開始と停止に伴ってこのような非電磁的エネルギーのやり取りが必ず発生することになりますな。
 また、これはエネルギのだけでなく運動量の話でもあるので、この非電磁的エネルギーとの運動量の交換は球体が局在化しているので、粒子のように考えてることも出来るはずです。すると、運動開始時に必ず逆方向から飛んできて物体が持っている静電エネルギーに応じた運動量を与え、運動停止時に運動方向に飛び出すという奇妙な性質を持った不思議な未発見の粒子(しかも非電磁的作用)が存在することになります(存在しないと考えるのが自然と思いますね)。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/18(Tue) 23:28  No.7481 
こんにちは。

投稿者:EMANさん - 2009/08/10(Mon) 20:49 No.7369
>ところが、これら「エネルギー密度」や「運動量密度」は必ずしも光速で移動するわけではありません。 電磁波の場合は光速で移動
>しますが、静電磁場の場合には移動はしません。


電荷が並進運動する場合。電場の「衣」も動いて電磁気のエネルギー流が生じますから
エネルギーの流れの速度を ポインティングベクトル/エネルギー密度=N/W
とあらわすことができそうです。


他に電磁場のない空間の平面電磁波については N/W=c となります。 


一般に電磁エネルギーの流れの速さをN/Wと定義できるのではないでしょうか。

>ニュートン力学の常識では運動量があればそこに移動する実体があると感じますが、
>静電磁場の場合には、何も移動する実体がないのであります。 「エネルギー密度」も同様です。

移動するのは体積素片dV中の電磁場エネルギーWdV。移動速度uはN/W。体積素片が運ぶ運動量は uWdV/c^2=N/c^2 dV
と観ることで、いかがでしょうか。

4.
事例 帯電した磁石 http://www.photon-cae.co.jp/jp/tech/primer/em11.html について

等価の帯電球の自転とみて、球のまわりの電場エネルギーの衣も球体の回転につれて回転するから速度N/Wのエネルギーの環状の流れが、ひいては運動量の流れが、生じると観ることで、いかがでしょうか。

=甘泉法師=





  投稿者:EMAN - 2009/08/19(Wed) 16:21  No.7488 
> 電荷が並進運動する場合。電場の「衣」も動いて電磁気のエネルギー流が生じますから
> エネルギーの流れの速度を ポインティングベクトル/エネルギー密度=N/W
> とあらわすことができそうです。

 点電荷が等速直線運動をするときのポインティングベクトルの向きは一定方向ではないようです。 この事実だけで、このような解釈は困難に直面してしまうのではないかと思います。

  投稿者:ASA - 2009/08/19(Wed) 18:34  No.7490 
甘泉法師 さん

>事例 帯電した磁石
 これは、赤道面上から電荷を磁石に近づけるることで、トルクが発生すると主張してます。
 しかし、極方向から近づけた場合は、トルクは発生しませんよ。
 (起点方向によって大きさが異なる)
なので、一般性はありません。静的場でポインティングベクトルが、必ず運動量とかエネルギーを表現しているとの解釈は無理があります。

 一般には、電磁場の運動量に対応するのはベクトルポテンシャルA~との解釈ができます。
 これは、ハミルトニアンの形式(P~=p~-qA~)からいえますし、A~(r)=∫(i^/r')dr'からもいえることです(A~とi~は平行)。 

  投稿者:hirota - 2009/08/20(Thu) 09:51  No.7494 
極方向から近づけたら途中で磁荷にぶつかります。
特異性を避けるため微少に進路をずらせばトルクが発生します。

  投稿者:ASA - 2009/08/20(Thu) 10:55  No.7495 
hirota さん

>磁荷にぶつかります。
 双極子で考えているから、赤道方向から近づけてもぶつかるのは同じです。

 ちなみに、
 1.磁荷の大きさはどのくらいを想定してますか?
 2.厳密に電荷と磁荷との距離が0にならないと物理的に無意味と考えますか?
 3.例えば、軸上に穴があいた磁荷を想定することに問題は有りますか?
 回答をお願いします。

>トルクが発生します。
 具体的にどの程度のトルクが発生するのかを定量的に示してください。
 このトルクの量とポインティングベクトルが持つとされる(角)運動量の変化量との比を具体的に論じてください。

  投稿者:hirota - 2009/08/20(Thu) 15:29  No.7498 
甘泉法師さんのNo.7481にある
事例 帯電した磁石 http://www.photon-cae.co.jp/jp/tech/primer/em11.html
ではZ軸上下に2つの磁荷を置いてますが、その話題じゃないんですか?
この事例では原点には磁荷がないから、赤道方向から電荷を原点に移動してもぶつかりません。
いずれにせよ単なる指摘をしただけですから何も想定してませんし、前提が違うなら取り下げます。

  投稿者:ASA - 2009/08/20(Thu) 16:01  No.7499 
hirota さん

 その話題ですよ。
>赤道方向から電荷を原点に移動してもぶつかりません。

"磁石を座標(0, 0, d/2) 、 (0, 0, −d/2)にそれぞれ磁荷m 、−mをもつ磁気双極子として考えます。"
"またこの磁石が電荷qに帯電していることを表現するために座標 (0, 0, d/2) 、 (0, 0, −d/2)にそれぞれq/2の電荷を置きます。"
と書いてあるように最終的には、原点に移動させてから、磁荷と電荷の座標を一致させると考えるのが普通だと思います。
 でその筆者は、原点からZ軸に沿って移動させる場合は、Lzに影響ないとしているわけです(No.7490 の指摘と同様)。

>前提が違うなら取り下げます。
 ですから、前提は同じです。

  投稿者:hirota - 2009/08/20(Thu) 17:28  No.7500 
>原点に移動させてから、磁荷と電荷の座標を一致させる
どこに書いてあるのか分かりません。
特異点以外ならどんなコースを動いてもトルク積分は変わりませんが、磁荷にぶつかっちゃマズイでしょう。
その点で、この事例は初期電荷位置の設定が不適当だと思います。

  投稿者:ASA - 2009/08/20(Thu) 17:59  No.7501 
 hirota さん
 件のページでは、
 1.電磁場のもつz軸周りの角運動量Lzとして、磁荷と電荷を一致させた場合を計算し(7)を導出。
 2.x軸の無限遠点にある電荷qをx軸に沿って原点まで持っていくことによって上の磁気双極子を帯電させることにし(8)を導出
 3.(7)と(8)が一致することにより、
 "帯電した磁石の周りには実際にポインティングベクトルから計算したエネルギーの流れがあり角運動を持つことがわかります"
 と結論しています。

 このままだと最終的に形成される電場の形が違状況を比較するなんて無意味と思いますが、意を汲んで最終的な電場の形が一致するようにしたと考えました。(4)で示されているようにHr(r=0)=0ですから、カウントしなくても良いはずです。

 興味あるのは、
>微少に進路をずらせばトルクが発生します
と主張しているのでどのくらいの大きさになるのか知りたいのです。
(計算方法を含めて)
直感的には、トルクFは特異点からの距離dに依存し、lim(d->0)F=0に収束するような気がします。

 関係ないですけど、非保存場なので物理量は経路に依存します。
 赤道上面から原点に電荷が移動する場合、直線的に近づく場合、周回軌道で近づく場合(このとき回る方向と周回数に依存)で仕事量が違ってきます。

  投稿者:hirota - 2009/08/21(Fri) 10:22  No.7510 
トルク積分が経路に依存しないことの確認:(磁荷 1 つだけの磁場で確認すれば充分)
 ${\bf F}={\bf v}\times{\bf B}\, ,\, {\bf v}=\frac{d{\bf r}}{dt} \,,\, {\bf B}=\frac{{\bf r}}{|{\bf r}|^3}$ 
とするとトルク積分は
 $\int{\bf r}\times{\bf F}\, dt=\int{\bf r}\times({\bf v}\times{\bf B})\, dt=\int{\bf v}\,{\bf r}^T{\bf B}-{\bf B}\,{\bf r}^T{\bf v}\,dt=\int\left(({\bf r}^T{\bf B})1_3-{\bf B}\,{\bf r}^T\right){\bf v}\,dt$  ( $1_3$  は3次元単位行列)
  $=\int\left(({\bf r}^T{\bf B})1_3-{\bf B}\,{\bf r}^T\right)d{\bf r}=\int(\frac{1_3}{|{\bf r}|}-\frac{{\bf r}\,{\bf r}^T}{|{\bf r}|^3})\,d{\bf r}$ 
積分の中が行列だと面倒なので、任意ベクトル  ${\bf u}^T$  を掛けて
 ${\bf u}^T(\frac{1_3}{|{\bf r}|}-\frac{{\bf r}\,{\bf r}^T}{|{\bf r}|^3})\,d{\bf r}=(\frac{{\bf u}^T}{|{\bf r}|}-\frac{({\bf u}^T{\bf r})\,{\bf r}^T}{|{\bf r}|^3})\,d{\bf r}=d{\bf r}^T(\frac{{\bf u}}{|{\bf r}|}-\frac{{\bf r}({\bf u}^T{\bf r})}{|{\bf r}|^3})$ 
を考える。
これは微分形式なので、閉じた経路での積分はストークスの定理により、微分形式の外微分を閉じた経路で囲まれた面で積分したものに等しい。
外微分を計算するため、まず次の全微分を計算すると
 $d(\frac{{\bf u}}{|{\bf r}|}-\frac{{\bf r}({\bf u}^T{\bf r})}{|{\bf r}|^3})=-\frac{{\bf u}\,{\bf r}^T d{\bf r}}{|{\bf r}|^3}-\frac{({\bf u}^T{\bf r})d{\bf r}+{\bf r}\,{\bf u}^T d{\bf r}}{|{\bf r}|^3}+3\frac{{\bf r}({\bf u}^T{\bf r})\,{\bf r}^T d{\bf r}}{|{\bf r}|^5}$ 
  $=(-\frac{({\bf u}^T{\bf r})1_3+{\bf u}\,{\bf r}^T+{\bf r}\,{\bf u}^T}{|{\bf r}|^3}+\frac{3\,{\bf r}\,({\bf u}^T{\bf r})\,{\bf r}^T}{|{\bf r}|^5})d{\bf r}$ 
となり、2階微分
 $d{\bf r}^T(-\frac{({\bf u}^T{\bf r})1_3+{\bf u}\,{\bf r}^T+{\bf r}\,{\bf u}^T}{|{\bf r}|^3}+\frac{3\,{\bf r}\,({\bf u}^T{\bf r})\,{\bf r}^T}{|{\bf r}|^5})\,d{\bf r}$ 
が得られる。 最後にこれを反対称化すれば外微分が得られるが、対称行列なので全部消滅する。
従って、閉じた経路でのトルク積分は0になり、トルク積分が経路に依存しないことが分かる。
(手間を省こうとしたら、見たこともない変な計算になってしまった)

  投稿者:ASA - 2009/08/21(Fri) 10:26  No.7511 
hirota さん

>3.例えば、軸上に穴があいた磁荷を想定することに問題は有りますか?
この質問の回答がないのですけど、
自分は、電荷と磁荷(存在が確認されてないけど)は相互作用の種類が違うので、同じ座標をとることに物理的問題(エネルギーの発散等)はないと考えてます(件のページの筆者も同様)。

なので
>特異点以外ならどんなコースを動いてもトルク積分は変わりませんが、磁荷にぶつかっちゃマズイでしょう。
 なぜ、まずいのか理解できません。説明をお願いします。
 
 磁荷は、発散性の場を作るので、磁力線は必ず無限遠方に続いています。
この力線に沿って電荷を移動させるた場合、力が働きません(双極子なので、極方向しか存在してないですけど)。
 今、トータルmの磁化を半径lの球表面に均一に分布させたものを想定します。この球内部は、同一磁位で磁場がありません。

非保存場なのでトルク積分も経路に依存します。上で想定した微小球(最終的にはl->0)内部を通る周回経路を想定すると、電荷の最終位置は同じでも仕事の時と同様にトルク積分の値も様々な値を取ることができます。

 もしかして電磁場は本質的に非保存場であることを失念しておられるのではないですか?

  投稿者:ASA - 2009/08/21(Fri) 10:55  No.7512 
hirotaさん

B=r~/r^3 r>l B=0 r<=l で計算してみてください。
(たぶん、閉じた経路にならない)
微分形式は慣れてないので良く分かりませんが、
∂tB~=0、divB~=0なら、トルク積分は一定値を持ちそうですね。

  投稿者:hirota - 2009/08/21(Fri) 13:29  No.7513 
>磁荷にぶつかっちゃマズイ
Z軸上を動く電荷が、磁荷の所で ε だけX方向に離れて通るとします。
そこでの磁場強度は O(1/ε^2) なので力もY方向に O(1/ε^2)、位置ベクトルはZ方向に O(1) なのでトルクベクトルもX方向に O(1/ε^2)、積分路は O(ε) なのでトルク積分は O(1/ε) となります。
つまり、磁荷を微小に避けた積分は発散し、磁荷にぶつかる影響は計算不能です。

  投稿者:ASA - 2009/08/21(Fri) 14:54  No.7514 
hirota さん

>トルク積分は O(1/ε) となります。
 迂回すると、そのオーダーでトルクが大きくなるなら、
>No.7500
>特異点以外ならどんなコースを動いてもトルク積分は変わりませんが、
 この主張と全く矛盾しています。

トルク積分が一定値を持たないなら、帯電した磁石が持つポインティングベクトルから計算した角運動量Lとの対比が不可能思えます。
 この点は、どのようにお考えですか?

 というか、
 v=ε(dθ/dt)ですから、トルク積分の値は迂回角θ程度の大きさと見積もれます。
 まっすぐ進む場合は、迂回角θ=0なので、問題ないです。
 避けて原点にいたるなら、迂回角π。一周する場合は打ち消すので0。

 原点に帯電した半径εの金属球を置き、電荷を無限遠方から原点まで運んでも発散しません。
 同様のモデルを磁荷で採用しない理由をお聞かせ下さい。

  投稿者:hirota - 2009/08/21(Fri) 16:32  No.7515 
ありゃー間違えた!
トルク積分の確認で、磁荷を原点に置いてトルク計算も原点基準にしてしまった!
磁荷を迂回するときの影響は、トルクは原点基準だが磁荷は原点じゃないから経路依存しちゃってる。
結局、赤道面上の無限遠点から原点まで来る間に、磁荷のまわりに立ち寄ってクルクル回ったりすると無茶苦茶になる。

  投稿者:ASA - 2009/08/22(Sat) 14:21  No.7523 
 磁荷があるとトルク積分の値は経路によることが理解されたようなので、(経路によらない固定値を持つ)divB=0のケースで
ポインティングベクトルとトルク積分の関係を調べます。

 計算しやすい例として、z軸方向に伸びた無限長ソレノイド(半径R)を考えます。ソレノイド内部磁場は一定でB~=(0,0,b)。
 qの点電荷をxy面上でソレノイド中心(原点)まで移動さます(Vz=0)。
トルク積分のz成分は、qb∫{-(xVx+yVy)}dt=-qb∫r'dr'=-qbR^2/2;r'円筒座標

 一方ポインティングベクトルS~の主要部は、r~×B~=b(y,-x,0)
 角運動量密度のz成分は、(r~×S~)z/c^2=(qb/4π)(r~×(y,-x,0))z/r^3=(qb/4π){-(x^2+y^2)/r^3}
これを積分します。
(qb/4π){-}∫{(x^2+y^2)/r^3}dV
=(-qb/4π)∫{r'^2 r'/√(r'^2+z^2)}dr'dzdφ
=(-qb/2)2∫{cos^3θ}dr'dz ; z=r'tanθ[0,π]
=(-qb/2)2∫{(cos^3θ)r'/cos^2θ}dθdr'
=(-qb/2)2∫(cosθ)r'dr'dθ
=(-qb/2)2∫r'dr'
=(-qb/2)2(r'^2/2)[0,R]
=(-qb/2)R^2
となり一致します。

さて、次に点電荷でなく半径lの球体表面にトータルqの電荷を均一に分布させたものを考えます。
球体内部の電場は0であり、球外部の電場は点電荷と等しいです。そして、球の受けるローレンツ力は、点電荷と同じです。
なので球の中心を原点に持ってくる場合、トルク積分は点電荷と全く同一値になります。
しかし、ポインティングベクトルの場合は違います。空間積分の範囲が、r'[0,R]→r'[l,R]となるため、
結果としてδLz=(-qb/2)l^2だけ差が生じてしまいます。
 
 静的場でポインティングベクトルが角運動量をもつという解釈は、このような困難も伴います(他にもいろいろあるでしょう)。

  投稿者:ASA - 2009/08/22(Sat) 15:55  No.7526 
>δLz=(-qb/2)l^2だけ差が生じてしまいます。
 これ間違いですね。

>トルク積分は点電荷と全く同一値になります。
 間違いの元はここ。キャンセルしてるので、同一値になりません。

 結局同じですね。

 この考えは、ローレンツ力の反作用を空間全体が受け持つという(ω→0の極限)、なので、反作用は局所的なものとする考えと相容れないです。つまり磁場中で運動する電荷の反作用は、近接の場が受け取ると考えるのか、それとも、関連する空間全体で受け取ると考えるのかの違いです。
 後者の考えに立つと、静的場でのポインティングベクトルが角運動量を受け持つこともあります。
 
 しかし、この考えは、電磁作用の伝播速度は光速なので、現実とは相容れないと思います。
 例えば、先のソレノイドの例で、中心にある電荷をある時間Tで取り出します(トルク積分の項では、時間積分を速度と組み合わせて距離に置き換えるから意識しないようになっている)。
 このときソレノイドのもつ角運動量は、0になるはずです。しかし、影響はせいぜいcTの範囲にしか伝わってません、それ以外z>cTの領域には、ポインティングベクトルが存在しているので、元の角運動量密度をもつことになります。これは、明らかな矛盾です。辻褄合わせのため、時間Tまでにソレノイドが保有している角運動量を相殺する角運動量をもつ電磁波が生じると考えることができます。
 ある角運動量をもった電磁波が生ずることを認めると、外から中心に持ち込む時は、逆に当該角運動量相当の電磁波が生じることになります。
 すると、ソレノイド内部に生じる静的なポインティングベクトルによるものとダブルカウントになりこれまた矛盾します。
 静的場のポインティングベクトルは無視するのが、すっきりした見方と思います。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/22(Sat) 16:42  No.7528 
Re:ASAさん - 2009/08/19(Wed) 18:34 No.7490

>>事例 帯電した磁石
> これは、赤道面上から電荷を磁石に近づけるることで、トルクが発生すると主張してます。
> しかし、極方向から近づけた場合は、トルクは発生しませんよ。

こんにちは。

http://www.photon-cae.co.jp/jp/tech/primer/em11.html
の設定において


+qに帯電した半径aの環、中心軸はz軸、をz=+∞から+mの点磁荷があるz=+d/2まで移動する。
このプロセスで環を貫く磁束の変化は +m/2。
ーmの磁荷からの磁束は a<<d として無視。

ファラデーの法則
 Δφ=−2πaE Δt を積分すると
 m/2=−2πa ∫E ds sはプロセスをあらわす。

このプロセスで環に働くトルクの積分は
− qa∫E ds= −mq/ 4π 左辺にはzの移動方向がマイナス方向であることを考え−をつけた。   


+qに帯電した半径aの環、中心軸はz軸、をz=-∞から-mの点磁荷があるz=-d/2まで移動する。
このプロセスで環を貫く磁束の変化は -m/2。
+mの磁荷からの磁束は a<<d として無視。

ファラデーの法則
 Δφ=−2πaE Δt を積分すると
 -m/2=−2πa ∫E ds

環に働くトルクの積分は
qa∫E ds = −mq/ 4π   


両者を足すと環の受けるトルクは -mq/2π。
環が回転しないよう逆トルク mq/2πを与えるとそれが電磁場の持つ角運動量に転化する。


結果はaの大きさによらない。 a→0とすれば点電荷の場合になる。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2009/08/22(Sat) 18:25  No.7530 
甘泉法師 さん

>+qに帯電した半径aの環
 極限の取り方でどうにでもなります。
これを
+mに帯磁した半径bの環
との関係に変えます。
そしてb>>aの条件で極限をとります。
帯磁環の中心の磁束密度は0ですから、
帯電小環が貫く磁束の変化量は0にできます。

磁荷を用いるといろいろ不都合が生ずることをhirotaさんとの議論で明らかにできたと思うのですけど。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/22(Sat) 22:11  No.7532 
こんにちは。

Re: Poyntingベクトルと「エネルギーの流れ」 ASAさん - 2009/08/22(Sat) 18:25 No.7530

1  
先のコメントでは大きさを持たない点に働くトルク、自転の扱いはやっかいなため、帯電環と点磁荷の設定で考えました。


>+mに帯磁した半径bの環
磁荷が点でなく大きさをもてば、電荷の接近の運動により生まれる磁場
でトルクを受け、磁石の方が(も)回転します。
回転しないよう外から与えるトルクが電磁場の角運動量(先と同じく符号は正)に転化します。
配置が(私には)単純でなく定量的なたしかめはしてません。

=甘泉法師=


  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/22(Sat) 22:35  No.7533 
Re:EMANさん - 2009/08/19(Wed) 16:21 No.7488

こんばんは。

1.エネルギー保存
>ASAさん - 2009/08/16(Sun) 13:53 No.7455
の設定を拝借します。
電場のエネルギーの密度は
W(t=0,x,y,z)= K/2 r^-4.
衣が動くW(t=Δt,x,y,z)=W(t=0,x,y,z-vΔt) から
∂W/∂t = -v ∂W/∂z = 2z K r^-6.
となってASAさんの結果
>divS~=-2Kvz/r^6
とあわせ ∂W/∂t + divS~ = 0 とエネルギー保存の式になり
divS~はエネルギーの湧き出し吸い込みです。

2.流速はW/S~
ASAさんの結果を使わせていただき
>S~=(Kv/r^6){-xz,-yz,x^2+y^2},K=q^2/16π^2ε

円筒座標系でみると
z方向  (Kv/r^6)ρ^2= Kv ρ^2/(ρ^2+z^2)^3 = S ρ/(ρ^2+z^2)^1/2 = S sinθ
ρ方向 -(Kv/r^6)ρz = -Kv ρz /(ρ^2+z^2)^3 = -S z/(ρ^2+z^2)^1/2 = -S cosθ 
φ方向 0
ここで大きさ S= Kv ρ/(ρ^2+z^2)^5/2 = Kv /r^4 sinθ. θは極座標の角度。

先の発言のようにそれぞれの向きの流れをWでわると、
「z方向の速さ v sin^2 θ
 ρ方向の速さ -v sinθcosθ 
 でエネルギー密度wの流体が流れている」*

と観てみます。


>点電荷が等速直線運動をするときのポインティングベクトルの向きは一定方向ではないようです。 
>この事実だけで、このような解釈は困難に直面してしまうのではないかと思います。

御指摘のようにvはローレンツ変換に従う物理量でないので芳しくありませんね。撤回します。

3. 流速はc
変換で不変なように、エネルギーの流れは常に光速で流れる実体により起こる としてみると
流れる実体の質量密度は0で運動量密度はN/c^2。

S~/c^2    運動量密度
|S~/c|    運動エネルギー密度
W− |S~/c| 静止エネルギー密度
W       全エネルギー密度

*は、
 z方向の速さ c sin θ
 ρ方向の速さ -c cosθ 
 で運動エネルギー密度 βK/2 sin θ r^-4の流体が流れている.
 流体の運動量密度は  βK/2c sin θ r^-4
静止エネルギー密度は  K/2 r^-4 (1-βsin θ)

と観ることになります。

投稿者:EMANさん - 2009/08/10(Mon) 20:49 No.7369
>ところが、これら「エネルギー密度」や「運動量密度」は必ずしも光速で移動するわけではありません。 電磁波の場合は光速で移動
>しますが、静電磁場の場合には移動はしません。

あらためて、

a. 電磁場一般について、質量0で運動量密度をもつ”もの”が光速cで移動する。
だから「エネルギー流=運動量密度*c^2」の関係がなりたつ。

b. 任意の場所のエネルギー流はそこのポインティングベクトル EXH で計算される。
ポインティングベクトルがあるところ必ずエネルギー流がある。

c. 閉じた系で電磁場にかかわるエネルギーの湧き出しと吸い込みがあれば、湧き出しから吸い込みへの、エネルギーの流れがありポインティングベクトルの流線もある。

との説を提案します。いかがでしょうか。 

4.
>EMANさん - 2009/08/16(Sun) 12:56 No.7454
> ポインティングベクトルがある面を境にして 0 (またはほぼ 0)になることがあるので、「ASAさん、私」は必ずしもエネルギー
>や運動量がその面を実際に「通過」しているわけではない、と主張しています

拮抗を動かすため御説をよく理解・吟味したく

・ポインティングベクトルがある面を境にして 0 (またはほぼ 0) である問題事例
・エネルギーが確かに流れているのに、ポインティングベクトルは対応していない問題事例 及び/または ポインティングベクトルは0でないのに、確かにエネルギーが流れていない問題事例

をあらためて確認したくお知らせください。お願いします。

=甘泉法師=


ベクトル計算の公式∫dV divS~ =∫dA・S~ なのに、
divS~はエネルギーの湧き出し吸い込みであるが、S~はエネルギーの流れではない
とは考えにくいので、実体との対応をあれこれ考えています。

  投稿者:ASA - 2009/08/23(Sun) 06:28  No.7534 
甘泉法師 さん No.7532

>配置が(私には)単純でなく定量的なたしかめはしてません。
定量的に示さないと議論になりません。

 問題点は、そこでなくて。
 この例だと、磁荷環を周回するルートを取れば、どのようなトルクでも与えられることにあります。
 コメントは、以前の議論を踏まえたものをお願いします。

 

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/23(Sun) 09:32  No.7535 
Re:ASAさん - 2009/08/23(Sun) 06:28 No.7534

こんにちは。

>>配置が(私には)単純でなく定量的なたしかめはしてません。
>定量的に示さないと議論になりません。

1.

 簡単な計算に気づきました。
 先に 帯電環内の 磁束変化 による 起電力 でトルクを考えたことを今度は
    帯磁環内の 電束変化 による 起磁力 で考えれば
 磁石がz軸のまわりで自転しないよう外から与えるトルクが転化する電磁場の角運動量は、先の考察と同じ。

2.
E,Hが両方あれば、ポインティングベクトルが生じ、場に
エネルギーの流れ、運動量、ひいては角運動量が生じてしまう。

もともとの角運動量0の状態を保守維持するためにはEかHを消すしかない。
先の帯電環の場合は、帯電環の自転による磁場が磁石の磁場をキャンセル
今の帯磁環の場合は、帯磁環の自転による電場が電荷の電場をキャンセル !?
(磁荷が実在しないのでイメージできません。電流環による磁気双極子が実際なので前者のみ?

電荷と磁石の力学的カップリングにより、最初はどちらかの自転が、両方とも自転するようになるか。

自転する電荷か磁石に外からトルクを与えて止めれば、キャンセルの仕組みがこわれ電磁場はエネルギーの流れ、運動量、ひいては角運動量を持つ。

=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/24(Mon) 22:40  No.7544 
こんにちは。

Re: 甘泉法師 - 2009/08/22(Sat) 22:35 No.7533
>・ポインティングベクトルがある面を境にして 0 (またはほぼ 0) である問題事例
>・エネルギーが確かに流れているのに、ポインティングベクトルは対応していない問題事例 及び/または ポインティングベクトルは0でないのに、確かにエネルギーが流れていない問題事例

EMANさん http://homepage2.nifty.com/eman/electromag/em_energy2.html から
>例えば、2 枚の金属板を帯電させて並行に置くことでその間に静電場を作り出す。 そしてそれに対して磁石を横向きに置けばこの空間内でポインティングベクトルが計算できることであろう。 果たしてこの空間内をエネルギーが一定方向へ流れていると言えるだろうか?
>この範囲から出て行くポインティングベクトルは計算できるし、反対側からは入ってきているように計算できるだろう。 しかし実際にはこの空間には外部とのエネルギーの出入りはない。 計算上、上の式が成り立っているだけである。

この設定を扱う演習問題を見つけました。
http://teamcoil.sp.u-tokai.ac.jp/classes/EM2/Reports/2007/index.htm

1.ループ
「正解」ではポインティングベクトルはループをなしています。

2.運動量

a 初期から磁場があり、電場を0から大きくしていく場合:
電束の変化による起磁力で等価磁荷が両磁極板のーz方向に動き、運動量が生まれる
動かないよう外部から力積を与えると、その力積は+z方向の電磁場の運動量に転化する。

b 初期から電場があり、磁場を0から大きくしていく場合:
電極板間の磁束の変化による起電力で電荷が両電極板のーz方向に動き、運動量が生まれる。
動かないよう外部から力積を与えると、その力積は+z方向の電磁場の運動量に転化する。

?コンデンサ外のループでの逆向き運動量はどう考えるか?


3.角運動量
ループによる角運動量は二つのループで打ち消しあうと見えます。

4.エネルギ
拙説では、コンデンサ内で運動エネルギ密度 N/c があるはずです。それは全エネルギ密度 (ε0E^2 + μ0H^2)/2 の内数でしょう。

EとHが平行な配置なら 全エネルギは静止エネルギですが
EとHが垂直になれば、全エネルギの内訳として運動エネルギN/cが生まれる。 
と考えます。

?コンデンサの外のループでのエネルギはどう考えるか?

コンデンサの外にもHはもちろんEもあり、全エネルギ密度 (ε0E^2 + μ0H^2)/2 
の内数として運動エネルギ密度N/cがあるのでないか。 


=甘泉法師=


  投稿者:EMAN - 2009/08/24(Mon) 23:44  No.7545 
> 「正解」ではポインティングベクトルはループをなしています。

 ループを成しているという点には納得しつつあります。
 考えられる限りの例について具体的な図を自分で書いてみないと確信はできませんが、やってみます。 そして、磁場と電場を交差させる配置を組もうとする時点で、それに見合った運動量を受けるのだろうなぁという気もしております。 これも納得いくまで試してみます。 エネルギーが流れているかどうかという点は解釈次第って感じで、どっちでもいいんじゃないかという印象ですが、これも一から考え直そうとしているところです。

 一番のショックは、私が書いた、このスレッドの元となった記事が存亡の危機に立たされているというところですね。 ファインマンは勘違いをしていたのかな? 磁荷を前提に話したという感じではなさそうですけどね。 その辺りも再検証中です。

  投稿者:ASA - 2009/08/25(Tue) 06:56  No.7546 
>ポインティングベクトルはループをなしています。
これも、例外がありますな。
 無限長の導線に電荷を蓄え、電流を流す場合。ポインティングベクトルS~は、電流i~と平行ですから、ループをなしているといえません。
 ループ電流との条件をつければ成立しそうですね。
 無限直線の例では、divS~=0ですから、エネルギーの流れを云々することが無意味ですね。
 運動量比較、S~∝1/r^2,A~∝ln(r)となっているので、
 円筒座標系で積分して、∫S~rdr∝ln(r)、係数別にしてオーダー的には合いますね。

  投稿者:大学生A - 2009/08/25(Tue) 07:44  No.7547 
>EとHが平行な配置なら 全エネルギは静止エネルギですが
>EとHが垂直になれば、全エネルギの内訳として運動エネルギN/cが
>生まれる。と考えます。

え?電磁場の運動量密度とは別の概念なのですか?
コンデンサの電極自体が運動するエネルギーってことですか?
コンデンサ内のキャリア電子の平均運動エネルギーってことですか?

  投稿者:EMAN - 2009/08/25(Tue) 08:18  No.7548 
> これも、例外がありますな。

 ええ、もちろん。
 最初はそういう理想的な系ばかりを考えていたので私も反対していたのです。 コンデンサの例でも端の効果を考えないとループにはなってませんし。

 数値的に問題はないか色々と試してみたい条件はあるのですが、現実的な系では解析が難しいのがつらいところです。 現実的な系で例外はありそうでしょうか?

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/25(Tue) 08:18  No.7549 
こんにちは。

電磁場の運動量密度Pに速度Cを掛けたものを電磁場の「運動」エネルギー密度、と勝手に造語しました。
流れるものがあるとすると、それはこの「運動」エネルギ密度をもつと考えて。「運動」エネルギ密度と「静止」エネルギ密度をあわせて全エネルギ密度 (ε0E^2 + μ0H^2)/2 になると考えました。 ご批判ください。 

物質粒子の運動エネルギのことではありません。

=甘泉法師=


  投稿者:ASA - 2009/08/25(Tue) 09:08  No.7550 
EMANさん

>コンデンサの例でも端の効果を考えないとループにはなってませんし。
 ループか否かは、divS~をみれば、ある程度見当付きますよね。
 無論、先に示したようにdivS~=0でもループしてないことはありますが、
 divS~≠0ならば、ループしているとはいえないと思います(等速電荷の例)。

  定常電流つまり∂tAなら、
  divS~=div(-gradφ×rotA~)=0が成立します。
  このことから、非定常電流ならdivS~≠0であり、一般にループしているとはいえないと思います。
  逆に、定常ループ電流なら、S~もループであるといえるでしょう。

>現実的な系で例外はありそうでしょうか? 
 現実的なケースで、計算が容易なものというのは、なかなかないですよ。
 計算が容易なものは、演習問題とかになってますね。

  投稿者:大学生A - 2009/08/25(Tue) 09:18  No.7551 
甘泉法師さん、レスどうもです。

なるほど。納得しました。m(_ _)m

  投稿者:凡人 - 2009/08/26(Wed) 00:52  No.7555 
>現実的な系で例外はありそうでしょうか?
はっしー帝國さんがNo.7444で述べられたように、古典論の範疇で考察した場合、現実の電子が真の意味で「現実的な系で例外」となる資格を有するのではないでしょうか?
電子はスピンによる磁場を有しているので、ポインティングベクトルを自己の周囲に周回させていると思いますが、
http://www.nikkei-science.com/page/magazine/0611/tomonaga.html
によると、「電子は常に自己相互作用の“衣”をまとっている」とのことなので、電子は、自らの“衣”(=仮想電子対)の間で仮想光子をループ状に交換させる事によって辻褄を合わせているとすれば、素晴らしいと思います。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/26(Wed) 20:42  No.7560 
こんにちは。

1.
EMANさん http://eman.hobby-site.com/electromag/react.html#8
>しかし代わりに帯電した導線を使えばどうだろうか。 円形導線の中心を軸にして回転するように糸でつるしてやればいい。 
>導線全体が回転するような力を受けそうだ。 もしそうなるとしても、この反作用はどこに向かうだろう。 何かが代わりに逆回りするだろうか?

甘泉法師 - 2009/08/22(Sat) 16:42 No.7528
>http://www.photon-cae.co.jp/jp/tech/primer/em11.htmlの設定において
>+qに帯電した半径aの環、中心軸はz軸、をz=+∞から+mの点磁荷があるz=+d/2まで移動する。

ASAさん - 2009/08/25(Tue) 20:01 No.7552
>http://ci.nii.ac.jp/naid/110002078794/
>図3

みな帯電環とその中を通る磁束の話ですね。環流するポインティングベクトルで系の角運動量が説明されます。

2.
というわけで

EMANさん - 2009/08/24(Mon) 23:44 No.7545
>ファインマンは勘違いをしていたのかな? 磁荷を前提に話したという感じではなさそうですけどね。 

 ファインマン本に書いてあったとされた1.の一番上の話に勘違いはないし、磁荷の存在が必須でないのでは。

=甘泉法師=





  投稿者:ASA - 2009/08/26(Wed) 21:23  No.7561 
>>図3
>みな帯電環とその中を通る磁束の話ですね。環流するポインティングベクトルで系の角運動量が説明されます。

 いつ説明したのですか?

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/26(Wed) 23:32  No.7562 
こんばんは。

>いつ説明したのですか?

霜田先生自身の説明資料を最後の行に紹介します。パラドックスを楽しまれるならすぐには読まないことをおすすめします。
ところで設問中「長いソレノイドの外部では磁場が0だから」に違和感を持ちました。帯電環の回転による磁場はソレノイド内部に閉じこもらず、あたりまえにソレノイド外にあると思うのですが。 「帯電環が回転しないように外部からトルクをかける、そのトルクにより生じた角運動量はどこへいったか」と読んで理解しています。 

=甘泉法師=

霜田先生 http://ci.nii.ac.jp/naid/110002044928/

  投稿者:凡人 - 2009/08/27(Thu) 00:19  No.7563 
>みな帯電環とその中を通る磁束の話ですね。環流するポインティングベクトルで系の角運動量が説明されます。
電子が持つスピン角運動量も、ポインティングベクトルで説明出来たりするのでしょうか?

  投稿者:ASA - 2009/08/27(Thu) 06:43  No.7564 
甘泉法師さんが説明できないことと、問題を全く理解されてないことがわかりました。

 答えに有るように、(2)ソレノイドと絶縁体リングとの角運動量がキャンセルされ、かつ、回転しているリング周辺にできるポインティングベクトルが角運動量を有するとすると、この角運動量は、どこからきたのですか? 
 ソレノイドと絶縁体リングとの力学的角運動量はキャンセルされているのに、回転する絶縁体リング周辺に存在しているポインティングベクトルがもつとすると電磁的角運動量が余分になります。
 ということで角運動量が保存してないという問題は、なにも解決してません。
 あと、エネルギー移送をポインティングベクトルの観点から説明するという問題も残っていますよ。


  投稿者:ASA - 2009/08/27(Thu) 08:37  No.7566 
甘泉法師さん
>「帯電環が回転しないように外部からトルクをかける、そのトルクにより生じた角運動量はどこへいったか」と読んで理解しています。 
 外部が持ち去ったのでしょ。
 例ば、サポートが、ロケットのように自分自身の質量を投げ出して、その反動力により支えているなど。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/27(Thu) 09:06  No.7567 
こんにちは。

ASAさん - 2009/08/25(Tue) 20:01 No.7552
>図3での角運動とかリングへのエネルギー伝達などは、ポインティングベクトルのみだと説明が難しいでしょう。

ASAさん - 2009/08/27(Thu) 06:43 No.7564
>問題を全く理解されてないことがわかりました。
>答えに有るように、(2)ソレノイドと絶縁体リングとの角運動量がキャンセルされ、

愚鈍な頭では御頭の早い回転に追いつけず、上(1)細長いコイルから、下(2)閉じたコイルに設定がかわった御「問題を全く理解」していないこと御指摘のとおりです。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2009/08/27(Thu) 10:34  No.7568 
甘泉法師さん
>(1)細長いコイルから
ソレノイドの電位を無限遠方の電位(V=0)に固定しないで、表面への誘導電荷を認めれば同様ですよ。

的が外れた引用でなく、甘泉法師さんからの説明が聞きたいのですけど?
 無限長ソレノイドでリングを回転させない場合、どのようにポインティングベクトルを用いて角運動量やトルクとの関係を説明するのですかお聞かせ下さい。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/27(Thu) 12:18  No.7569 
こんにちは。

愚鈍な頭では御頭の早い回転に追いつけず、(1)細長いソレノイドから、(2)閉じたソレノイド さらに(3)無限に長いソレノイド とどんどん進む御「問題を全く理解」できていないこと御指摘のとおりです。

わたしは(1)止まりで、霜田先生の解答で定性的に満足しているレベルです。

>ソレノイドの電位を無限遠方の電位(V=0)に固定しないで、
 ソレノイドと電位の関係付けさえわかっていない始末です...。

=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2009/08/27(Thu) 14:06  No.7570 
>ソレノイドと電位の関係付けさえわかっていない始末です...。
 境界条件として電位を与えないと、電場は決定できないはずですが、
 電場を決定せずにどの様にしてポインティングベクトルを議論できるのか、
こちらが伺いたい始末です。
 
 で、(1)細長いソレノイドでよいですから、
 Q1:ポインティングベクトルがもつ角運動量が、どのようにリングの角運動量に転化するのか?
 Q2:リングを動かないようにした時、与えるトルクに基づく角動量が考えられが、これへの転換はどのようにおこなわれるのか?
 それとも、これは保存していないのか?

 以上の2点を説明願います。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/27(Thu) 15:29  No.7571 
こんにちは。

Re:ASAさん - 2009/08/27(Thu) 14:06 No.7570
>転換はどのようにおこなわれるのか?

EMANさん http://eman.hobby-site.com/electromag/react.html#8
>しかし代わりに帯電した導線を使えばどうだろうか。 
甘泉法師 - 2009/08/22(Sat) 16:42 No.7528
>http://www.photon-cae.co.jp/jp/tech/primer/em11.htmlの設定において
>+qに帯電した半径aの環、中心軸はz軸、をz=+∞から+mの点磁荷があるz=+d/2まで移動する。
ASAさん - 2009/08/25(Tue) 20:01 No.7552
>http://ci.nii.ac.jp/naid/110002078794/
>図3

の帯電環と磁束変化の問題について

1.
帯電環と電磁場の間に角運動量の保存があり、t>0の任意の時間で
帯電環の角運動量 + 電磁場の角運動量 = 初期値  同じことですが
静止している帯電環が回転しないよう外部から与えたトルク=電磁場の角運動量変化
と考えています。

2.
二項間の時空的やりとりは外力/角運動量・運動量・エネルギー保存式、マクスウェル方程式で決まると存じます。
具体的に説明する知恵と気力が今ありません。ASAさん、EMANさんはじめごらんの識者にアドバイスいただければ幸いです。

=甘泉法師=

PS 
>ポインティングベクトルがもつ角運動量が、どのようにリングの角運動量に転化するのか?

関連して電磁場が消失して角運動量が導体に与えられる事例
「ファインマンの角運動量のパラドックス」の説明を見つけました。
 http://www.moge.org/okabe/temp/elemag/node140.html

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/28(Fri) 18:44  No.7575 
こんばんは。

>具体的に説明する知恵と気力がありません。
知恵は足りませんが気力のみで

1.
設定 http://www.photon-cae.co.jp/jp/tech/primer/em11.htmlで磁気モーメントをd・m(t)と時間変化させる。磁石も電荷も自転しないよう外力をかける。

2.
変化の影響は光速で伝播するので
ポインティングベクトルの表式中、各項を
m/R+^3 → m(t-R+/c)/R+^3  
m/R-^3 → m(t-R-/c)/R-^3  
と置き換えたものがP(x,t)。

d<<R の近似では
P(x,t) ≒ q m(t-R/c) c^2/16π^2 ・2rd / R+^3 R-^3

3.
時刻0とtの電磁場の角運動量の差、これは外力によるトルクで生じたもの。
= rP(x、t)を表式のように空間積分したもの - rP(x、0)を表式のように空間積分したもの
 
アドバイスをよろしくお願いします。

=甘泉法師=



  投稿者:ASA - 2009/08/30(Sun) 11:27  No.7581 
甘泉法師 さん
 何をなさりたいのか良く分かりませんが、
 元が磁荷ベースなので、電流ならず磁流(現実には存在しませんが)が発生します。
 対称性から、電気と磁気の置き換えが成立するので。
 電気双極子が時間的変化する場合の近傍界と同様になるはずです。
 ポインティングベクトルの向きは、遠方で外向きとなるのは良く知られてますね。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/30(Sun) 11:53  No.7582 
こんにちは。
磁荷は実在しませんが、計算中の±磁荷の増減と同じ効果は磁石の位置においたソレノイドに流す電流の増減で実現できる、
と考えました。

>ポインティングベクトルの向きは、遠方で外向きとなるのは良く知られてますね。

浅学で知りませんでした。興味があります。よろしければ教えてください。よろしくお願いします。

=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2009/08/30(Sun) 19:00  No.7587 
 こんばんは。
 少し自習しました。

1.
 Panofsky-Phillips 14-33,42, 43式
 伝播にかかる時間を考慮した遅延の電流 は先に考慮しましたが、加えて
 遅延「電流の時間微分」による電場、磁場(放射場)がある。そのポインティングベクトルは外向き。

2.
それは電荷がない場合。電荷がある場合は、加えて放射場のHとr方向のEで、φ方向のポインティングベクトルも
 生まれる。エネルギー流の横流し?

 的外れでしょうか。

 =甘泉法師=

  投稿者:hirota - 2009/09/01(Tue) 19:10  No.7592 
Z軸上の原点上下に2つの磁荷 (N,S) がある場合に、電荷移動に対する原点基準のトルク積分が経路に依存するかどうか確認してみました。
その結果は、トルク積分のZ成分のみ経路依存しません。

また、同じ磁場でZ軸上に点電荷がある場合の pointing vector の moment 積分 (位置 vector × pointing vector の積分) を計算した所、電荷が2つの磁荷の間にある場合はどこでも一定値、磁荷の外側にある場合はゼロという結果になりました。

以上から分かることは、経路に依存するトルクの内、Z軸を倒すような成分は磁場の向きを変化させるので、磁場一定の場合には磁荷を支える力がトルクを受け取り、トルクのZ成分は磁場変化を起こさないのでトルクを吸収するような他の力はなく、経路に依存しない電磁場の角運動量となるわけです。
そして、Z方向∞から接近する電荷は磁荷位置が不連続点になってますから反例になりません。

  投稿者:ASA - 2009/09/01(Tue) 20:13  No.7593 
 hirotaさん
 一連の議論で磁荷を使ったモデルは、不適切だと主張をしてきたつもりです。
>トルク積分のZ成分のみ経路依存しません。
 すると、x,y成分は、経路依存するわけですね。
これは、これでまずいでしょ。

>電荷が2つの磁荷の間にある場合はどこでも一定値、磁荷の外側にある場合はゼロという結果になりました。
 z成分のみの話ですよね。x,y成分はどうでしたか?
どうせ電荷の最終位置にのみ基づく計算ですからある一定値になり、トルク積分が経路依存していることとの対応がつきません。

>Z方向∞から接近する電荷は磁荷位置が不連続点になってますから反例になりません。
 
 一番最初に尋ねたことの解答がありませんが、穴あき球体やらリング状の磁荷を考えることが何故出来ないのか(不連続の形状面による回避。このときz成分も経路依存で、z軸周りに磁荷(磁石)を回転させる力が働く)、物理的な理由を説明してください。

  投稿者:TOSHI - 2009/09/02(Wed) 10:28  No.7595 
おひさしぶりです。TOSHIです。

 またまた横レスでかつ宣伝ですが,よろしかったら拙ブログ「TOSHIの宇宙」の関連記事2008年4/30の「電場と電束密度,磁場と磁束密度(3)」をご参照ください。 http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2008/04/3_e492.html です。

  投稿者:hirota - 2009/09/02(Wed) 15:45  No.7596 
トルク積分Z成分が経路に依存しないことの確認 :
 ${\bf F}={\bf v}\times{\bf B}\, ,\, {\bf v}=\frac{d{\bf r}}{dt} \,,\, {\bf B}=\frac{{\bf r}-{\bf e}_z}{|{\bf r}-{\bf e}_z|^3}-\frac{{\bf r}+{\bf e}_z}{|{\bf r}+{\bf e}_z|^3}$ 
 ${\bf r}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}\, ,\, {\bf e}_z=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\, ,\, 1_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ 
とするとトルク積分は
 $\int{\bf r}\times{\bf F}\, dt=\int{\bf r}\times({\bf v}\times{\bf B})\, dt=\int{\bf v}\,{\bf r}^T{\bf B}-{\bf B}\,{\bf r}^T{\bf v}\,dt=\int\left(({\bf r}^T{\bf B})1_3-{\bf B}\,{\bf r}^T\right){\bf v}\,dt$ 
   $=\int\left(({\bf r}^T{\bf B})1_3-{\bf B}\,{\bf r}^T\right)d{\bf r}$ 
そのZ成分は
 ${\bf e}_z^T\int{\bf r}\times{\bf F}\, dt=\int{\bf e}_z^T\left(({\bf r}^T{\bf B})1_3-{\bf B}\,{\bf r}^T\right)d{\bf r}$ 
微分形式 ${\bf e}_z^T\left(({\bf r}^T{\bf B})1_3-{\bf B}\,{\bf r}^T\right)d{\bf r}$ の外微分は
 $d({\bf e}_z^T\left(({\bf r}^T{\bf B})1_3-{\bf B}\,{\bf r}^T\right)d{\bf r})=d({\bf e}_z^T\left(({\bf r}^T{\bf B})1_3-{\bf B}\,{\bf r}^T\right))\,\wedge\,d{\bf r}=-d{\bf r}^T\wedge\,d\left(({\bf r}^T{\bf B})1_3-{\bf r}\,{\bf B}^T\right){\bf e}_z$ 
   $=-d{\bf r}^T\wedge\,d\left({\bf e}_z\,{\bf r}^T{\bf B}-{\bf r}\,{\bf e}_z^T{\bf B}\right)=-d{\bf r}^T\wedge\,d\left({\bf e}_z\,{\bf r}^T(\frac{{\bf r}-{\bf e}_z}{|{\bf r}-{\bf e}_z|^3}-\frac{{\bf r}+{\bf e}_z}{|{\bf r}+{\bf e}_z|^3})-{\bf r}\,{\bf e}_z^T(\frac{{\bf r}-{\bf e}_z}{|{\bf r}-{\bf e}_z|^3}-\frac{{\bf r}+{\bf e}_z}{|{\bf r}+{\bf e}_z|^3})\right)$ 
   $=-d{\bf r}^T\wedge\,d\left(\frac{{\bf e}_z(|{\bf r}|^2-z)-{\bf r}(z-1)}{|{\bf r}-{\bf e}_z|^3}-\frac{{\bf e}_z(|{\bf r}|^2+z)-{\bf r}(z+1)}{|{\bf r}+{\bf e}_z|^3}\right)$ 
   $=-d{\bf r}^T\wedge\,(\frac{{\bf e}_z(2{\bf r}^T-{\bf e}_z^T)-(z-1)1_3-{\bf r}\,{\bf e}_z^T}{|{\bf r}-{\bf e}_z|^3}-\frac{3\left({\bf e}_z(|{\bf r}|^2-z)-{\bf r}(z-1)\right)({\bf r}^T-{\bf e}_z^T)}{|{\bf r}-{\bf e}_z|^5}$ 
          $-\frac{{\bf e}_z(2{\bf r}^T+{\bf e}_z^T)-(z+1)1_3-{\bf r}\,{\bf e}_z^T}{|{\bf r}+{\bf e}_z|^3}+\frac{3\left({\bf e}_z(|{\bf r}|^2+z)-{\bf r}(z+1)\right)({\bf r}^T+{\bf e}_z^T)}{|{\bf r}+{\bf e}_z|^5})\,d{\bf r}$ 
   $=-d{\bf r}^T\wedge\,((\frac{z+1}{|{\bf r}+{\bf e}_z|^3}-\frac{z-1}{|{\bf r}-{\bf e}_z|^3})1_3+{\bf e}_z(\frac{2|{\bf r}|^2-z-1}{|{\bf r}-{\bf e}_z|^5}+\frac{2|{\bf r}|^2+z-1}{|{\bf r}+{\bf e}_z|^5}){\bf e}_z^T$ 
        $+{\bf r}(\frac{|{\bf r}|^2-z-2}{|{\bf r}+{\bf e}_z|^5}-\frac{|{\bf r}|^2+z-2}{|{\bf r}-{\bf e}_z|^5}){\bf e}_z^T+{\bf e}_z(\frac{|{\bf r}|^2-z-2}{|{\bf r}+{\bf e}_z|^5}-\frac{|{\bf r}|^2+z-2}{|{\bf r}-{\bf e}_z|^5}){\bf r}^T+3\,{\bf r}(\frac{z-1}{|{\bf r}-{\bf e}_z|^5}-\frac{z+1}{|{\bf r}+{\bf e}_z|^5}){\bf r}^T)\,d{\bf r}$ 
    ( $\wedge$ は微分形式の外積,  $dx\wedge dy=-dy\wedge dx$ )
となり、 $d{\bf r}$ に挟まれた行列は対称だから、0 となる。
従って、閉じた経路でのトルク積分Z成分は0になり、経路に依存しないことが分かる。
また、遠方でXY面とZ軸を結ぶ積分経路を考えると、磁場は O(1/r^3), torque arm と経路長は O(r) だからトルク積分は O(1/r) となって、無限遠からの積分は方向がどこからでも同じである。
(次は pointing vector の moment 積分計算を示す予定。ま〜打ち込むだけで大変!)

  投稿者:ASA - 2009/09/02(Wed) 16:00  No.7597 
No.7593 への補足です。

>一連の議論で磁荷を使ったモデルは、不適切だと主張をしてきたつもりです。
 正確には、単独の磁荷(モノポール)ですね。
 分離不能の正負磁荷対からなる磁気双極子のモデルなら適切だと思います。
 普通、上のような多数の磁気双極子によって実在の磁石をモデル化します。また、これを等価な電流分布に置き換えて考えることもできます。

  投稿者:ASA - 2009/09/02(Wed) 16:20  No.7598 
 つづきです。
 磁気双極子集合体による磁石モデルでは、等価電流の十分外側ならN極→S極へ力線ですが、中心部では、nsペアが
 N極(ns)--(ns)--(ns)--(ns)-…-(ns)--(ns)--(ns)S極
と分布しているので、力線の方向は外部と逆になります。
 厳密に計算はしてませんが、これにより、トルク積分はキャンセルされるとみます。なので軸上に単独の磁荷があるモデルとは計算値が違ってきます。予想としては、電荷の最終位置が軸上なら完全に0になり、経路によらないでしょう(極上でら近づくときを含む)。

  投稿者:hirota - 2009/09/03(Thu) 14:57  No.7601 
pointing vector の moment 積分 :
 ${\bf E}=\frac{{\bf r}-{\bf e}_z k}{|{\bf r}-{\bf e}_z k|^3}\,,\, {\bf B}=\frac{{\bf r}-{\bf e}_z}{|{\bf r}-{\bf e}_z|^3}-\frac{{\bf r}+{\bf e}_z}{|{\bf r}+{\bf e}_z|^3}\,,\,{\bf r}=\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\theta\\r\sin\theta\\z\end{pmatrix}\,,\,{\bf e}_z=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ 
とすると pointing vector の moment 積分は
 $\int{\bf r}\times({\bf E}\times{\bf B})\, dV=\int({\bf E}\,{\bf r}^T{\bf B}-{\bf B}\,{\bf r}^T{\bf E})\,r\,dr\,d\theta\,dz$ 
   $=\int(\frac{{\bf r}-{\bf e}_z k}{|{\bf r}-{\bf e}_z k|^3}\,{\bf r}^T(\frac{{\bf r}-{\bf e}_z}{|{\bf r}-{\bf e}_z|^3}-\frac{{\bf r}+{\bf e}_z}{|{\bf r}+{\bf e}_z|^3})-(\frac{{\bf r}-{\bf e}_z}{|{\bf r}-{\bf e}_z|^3}-\frac{{\bf r}+{\bf e}_z}{|{\bf r}+{\bf e}_z|^3})\,{\bf r}^T\frac{{\bf r}-{\bf e}_z k}{|{\bf r}-{\bf e}_z k|^3})\,r\,dr\,d\theta\,dz$ 
   $=\int(\frac{{\bf r}-{\bf e}_z k}{|{\bf r}-{\bf e}_z k|^3}\,(\frac{|{\bf r}|^2-z}{|{\bf r}-{\bf e}_z|^3}-\frac{|{\bf r}|^2+z}{|{\bf r}+{\bf e}_z|^3})-(\frac{{\bf r}-{\bf e}_z}{|{\bf r}-{\bf e}_z|^3}-\frac{{\bf r}+{\bf e}_z}{|{\bf r}+{\bf e}_z|^3})\,\frac{|{\bf r}|^2-z k}{|{\bf r}-{\bf e}_z k|^3})\,r\,dr\,d\theta\,dz$ 
   $=\int(\begin{pmatrix}r\cos\theta\\r\sin\theta\\z-k\end{pmatrix}\frac{ \frac{r^2+z^2-z}{(r^2+(z-1)^2)^{3/2}}-\frac{r^2+z^2+z}{(r^2+(z+1)^2)^{3/2}}}{(r^2+(z-k)^2)^{3/2}}$ 
    $+(\begin{pmatrix}r\cos\theta\\r\sin\theta\\z+1\end{pmatrix}\frac{1}{(r^2+(z+1)^2)^{3/2}}+\begin{pmatrix}r\cos\theta\\r\sin\theta\\z-1\end{pmatrix}\frac{1}{(r^2+(z-1)^2)^{3/2}})\frac{r^2+z^2-z k}{(r^2+(z-k)^2)^{3/2}})\,r\,dr\,d\theta\,dz$ 
   $=2\pi\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\int\frac{\frac{(z-k)(r^2+z^2-z)-(z-1)(r^2+z^2-z k)}{(r^2+(z-1)^2)^{3/2}}+\frac{(z+1)(r^2+z^2-z k)-(z-k)(r^2+z^2+z)}{(r^2+(z+1)^2)^{3/2}}}{(r^2+(z-k)^2)^{3/2}}\,r\,dr\,dz$ 
   $=2\pi\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\int\frac{(k+1)r^3}{\left(\left(r^2+\frac{(z+1)^2+(z-k)^2}{2}\right)^2-\left(\frac{(z+1)^2-(z-k)^2}{2}\right)^2\right)^{3/2}}-\frac{(k-1)r^3}{\left(\left(r^2+\frac{(z-1)^2+(z-k)^2}{2}\right)^2-\left(\frac{(z-1)^2-(z-k)^2}{2}\right)^2\right)^{3/2}}\,dr\,dz$ 
   $=2\pi\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\int[\frac{k+1}{r^2+\frac{(z+1)^2+(z-k)^2}{2}}(\frac{(z+1)^2+(z-k)^2}{((z+1)^2-(z-k)^2)^2}\sqrt{\left(r^2+\frac{(z+1)^2+(z-k)^2}{2}\right)^2-\left(\frac{(z+1)^2-(z-k)^2}{2}\right)^2}$ 
                       $-\frac{r^2}{2\sqrt{\left(r^2+\frac{(z+1)^2+(z-k)^2}{2}\right)^2-\left(\frac{(z+1)^2-(z-k)^2}{2}\right)^2}})$ 
           $-\frac{k-1}{r^2+\frac{(z-1)^2+(z-k)^2}{2}}(\frac{(z-1)^2+(z-k)^2}{((z-1)^2-(z-k)^2)^2}\sqrt{\left(r^2+\frac{(z-1)^2+(z-k)^2}{2}\right)^2-\left(\frac{(z-1)^2-(z-k)^2}{2}\right)^2}$ 
                       $-\frac{r^2}{2\sqrt{\left(r^2+\frac{(z-1)^2+(z-k)^2}{2}\right)^2-\left(\frac{(z-1)^2-(z-k)^2}{2}\right)^2}})]_{r=0}^{r=\infty}\,dz$ 
   $=2\pi\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\int\left(\frac{k+1}{(|z+1|+|z-k|)^2}-\frac{k-1}{(|z-1|+|z-k|)^2}\right)dz$ 
となるから、| k | < 1 の場合は
 $\int{\bf r}\times({\bf E}\times{\bf B})\, dV$ 
   $=2\pi\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}(\int_{-\infty}^{-1}\left(\frac{k+1}{(|z+1|+|z-k|)^2}-\frac{k-1}{(|z-1|+|z-k|)^2}\right)dz+\int_{-1}^{k}\left(\frac{k+1}{(|z+1|+|z-k|)^2}-\frac{k-1}{(|z-1|+|z-k|)^2}\right)dz$ 
          $+\int_{k}^{1}\left(\frac{k+1}{(|z+1|+|z-k|)^2}-\frac{k-1}{(|z-1|+|z-k|)^2}\right)dz+\int_{1}^{\infty}\left(\frac{k+1}{(|z+1|+|z-k|)^2}-\frac{k-1}{(|z-1|+|z-k|)^2}\right)dz)$ 
   $=2\pi\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}(\int_{-\infty}^{-1}\left(\frac{k+1}{(k-1-2z)^2}-\frac{k-1}{(k+1-2z)^2}\right)dz+\int_{-1}^{k}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{k-1}{(k+1-2z)^2}\right)dz$ 
          $+\int_{k}^{1}\left(\frac{k+1}{(2z-k+1)^2}-\frac{1}{k-1}\right)dz+\int_{1}^{\infty}\left(\frac{k+1}{(2z-k+1)^2}-\frac{k-1}{(2z-k-1)^2}\right)dz)$ 
   $=2\pi\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}(\frac{2}{k+3}+\frac{2(k+2)}{k+3}+\frac{2(k-2)}{k-3}-\frac{2}{k-3})=8\pi\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$ 
となり、k > 1 の場合は
 $\int{\bf r}\times({\bf E}\times{\bf B})\, dV$ 
   $=2\pi\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}(\int_{-\infty}^{-1}\left(\frac{k+1}{(k-1-2z)^2}-\frac{k-1}{(k+1-2z)^2}\right)dz+\int_{-1}^{1}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{k-1}{(k+1-2z)^2}\right)dz$ 
          $+\int_{1}^{k}\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{k-1}\right)dz+\int_{k}^{\infty}\left(\frac{k+1}{(2z-k+1)^2}-\frac{k-1}{(2z-k-1)^2}\right)dz)$ 
   $=2\pi\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\left(\frac{2}{k+3}+(\frac{2}{k+1}-\frac{2}{k+3})-\frac{2}{k+1}+0\right)=0$ 
となる。

  投稿者:甘泉法師 - 2009/09/06(Sun) 22:07  No.7625 
こんばんは。

1.
Re: Poyntingベクトルと「エネルギーの流れ」 凡人さん - 2009/08/27(Thu) 00:19 No.7563
>電子が持つスピン角運動量も、ポインティングベクトルで説明出来たりするのでしょうか?

成否どちらに答えてみても自分で突っ込みが入れられる難しい問題です。

2.
かわって光子の場合を考えます。

Re: 平面波のポインティングベクトル 甘泉法師 - 2009/09/05(Sat) 11:35 No.7620
>hirotaさん - 2009/09/04(Fri) 14:08 No.7606
>>光子の基本は円偏波でしょう。
>> なるほど。光子のヘリシティ±1が右/左旋光に対応することから、x方向、y方向でなく右旋光、左旋光が偏向の重ね合わせの基本と考えることもできそうです。

 円偏向の光のポインティングベクトルは光の進行方向(zの正方向とする)と同じで一定値。だからz軸周りの角運動量(ヘリシティ)にポインティングベクトルは寄与しない。 円偏光の持つ角運動量が"運動量"の流れの渦だとしても、"運動量"はポインティングベクトルでは表せない。 光のスピンはポインティングベクトルでは説明出来ないようです。


 反論の可能性
 平面波では渦”運動量”と隣の渦”運動量”が逆向きでうちけしあうが、現実的な有限断面積の光線束の場合なら束の外を回る”運動量”の還流があり、これが角運動量を説明する? 分子電流の集合による磁性体の周電流のように。

 
PS
 本当に円偏向の光は角運動量を持っているのか?
 東北大の 円偏光した電磁波の性質
 http://www.astr.tohoku.ac.jp/~chinone/Polarization_Spin/Polarization_Spin.html
 を見て考えました。磁場の力も相対論も無視した粗い近似で見ても、回転する円偏光の電場によりxy平面上にある電荷qは円運動する。 右回り偏光(図 http://www.astr.tohoku.ac.jp/~chinone/Polarization_Spin/Polarization_Spin-node2.html )から電荷qは時計周りの角運動量を受け取る。よって右周り偏光はz軸の角運動量成分(ヘリシティ)がマイナスである。 光子では−1のスピン。 (15)式から 粒子に与えたエネルギー/粒子に与えた角運動量=ω


PS^2 qの符号が逆なら、受ける力の向きは逆になって困ると一瞬思いましたが、回転する向きは同じく時計回りでした。
    |q|が大きいほど多くの光を消費することができる。
 
=甘泉法師=