EMANの物理学 過去ログ No.7320 〜

 ● 回路の微分方程式

  投稿者:ボブ - 2009/08/08(Sat) 16:07  No.7320 
こんにちは。
聞く人がいなくて・・・・・・・。
質問させてください。

回路の問題を解いて、次の微分方程式が出てきました。

L(d^2Q(t)/dt^2)+ Q(t)/C = 0
条件; Q(t1)=Qo , dQ(t1)/dt = 0

これを解くと、 Q(t)=Qocos(t-t1/√LC)
となるのですが、三角関数の式を含むように作れません。
とりあえず、基本解で、e^(λt) まではいきました。
どのようにして、Q(t)=Qocos(t-t1/√LC) の形に持っていくのでしょうか?
返信頂ければと思い投稿しました。

  投稿者:T_NAKA - 2009/08/08(Sat) 17:12  No.7322  <Home>
これは素直に、線形微分方程式を解けばいいのではないでしょうか。

ω≡1/√(LC) とすると、該当の方程式 Q"+(ω^2)Q = 0 なので、一般解は

Q(t) = C1・exp(iωt)+C2・exp(-iωt) 

となります。よって、

Q'(t) = iω{C1・exp(iωt)-C2・exp(-iωt)} 

ですね。これに初期条件を代入すると、

C1・exp(iωt1)+C2・exp(-iωt1) = Qo
C1・exp(iωt1)-C2・exp(-iωt1) = 0

から、C1 と C2 を解くと
 
C1 = (1/2)Qo・exp(-iωt1)
C2 = (1/2)Qo・exp(iωt1)

と求まりました。よって、

Q(t) = C1・exp(iωt)+C2・exp(-iωt) = Qo[exp{iω(t-t1)}+exp{-iω(t-t1)}]/2
= Qo・cos{ω(t-t1)} 

です。

  投稿者:ボブ - 2009/08/08(Sat) 17:47  No.7325 
あ、本当ですね。素直に出来ました。
ご丁寧な途中式のおかげで解決できました。
どうもありがとうございました。