EMANの物理学 過去ログ No.7105 〜

 ● 熱力学で……

  投稿者:まるお - 2009/07/05(Sun) 00:13  No.7105 
熱力学で質問があります……
「全微分可能なら二階の偏導関数は微分の順番によらず一致する」みたいなことを授業でやったしこのサイトにも書いてあったんですが、数学の教科書を引っ繰り返しても「C1級関数⇒全微分可能」、また「C2級関数⇒二階の偏導関数が微分順序によらない」は書いてあったんですが、「全微分可能⇒二階の偏導関数が微分順序によらない」っていうのはどこにも書いてなくて、それどころかインターネットで検索してみたら、全微分可能だがC1級ですらない関数の例もありました(http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/10kaisk/070ksk.html)。

これはつまり、どういうことなんでしょうか?

  投稿者:EMAN - 2009/07/05(Sun) 20:51  No.7112 
 私はあんまり数学のような厳密さにはこだわってなくて、
あまり振る舞いの良くない関数については考えることもせず、
2、3の事例だけを思い浮かべて、これは確からしいな、と判断したら、
そのイメージで説明してしまう癖があるわけです。

 しかし今回指摘されたようなおかしな話を放置しているとまずいですね。
 こういう話はいつだって数学の方が正しいでしょう。
 証明されているわけだし、ちゃんと反例があったりするわけですから。

 しかし、私の該当すると思われる説明を再確認してみたのですが、
「全微分可能なら二階の偏導関数は微分の順番によらず一致する」と
言っている部分は見つけられなくて、ちゃんとその逆になっていましたから
問題ないのではないかと思います。
http://homepage2.nifty.com/eman/thermo/state_eq.html

 他にそういう問題のあることを書いている場所があったら教えてください。
 すぐに直さなきゃいけない、と考えてます。

  投稿者:yuya - 2009/07/05(Sun) 22:56  No.7115  <Home>
こっちのことではないでしょうか。
http://homepage2.nifty.com/eman/thermo/functions.html
(「数式狩り」セクション)
>これが全微分であるためには
>……
>という関係が成り立っていなければならないというものだ。

「PであるためにはQが成り立っていなければならない(Qが必要)」
という表現は、「PならばQ」と等価ですね。

  投稿者:EMAN - 2009/07/05(Sun) 23:17  No.7116 
 ああ、なるほど。
 表向き、気を使ったような表現になっているけれども、
やってることはまさに「逆もまた真なり」と
言ってるようなもんだなぁ。

>「PであるためにはQが成り立っていなければならない(Qが必要)」
> という表現は、「PならばQ」と等価ですね。

 うっ、そうなんですか。 すぐには頭が回りませんが。
 こういうの苦手なんだよなー。
(追記:この点については最初の書き込みから13分後にやっと納得。)

 さて、これをどう解釈して解決したらいいものやら。
 確かに他の熱力学の教科書でも似たようなことをやってる気がする。
 明日考えよう。(とはいうものの、やること一杯あるんだ。)

  投稿者:TOSHIi - 2009/07/06(Mon) 04:10  No.7117 
 どもTOSHIです。

 全微分可能なら偏微分可能ですが連続とは限らないから順序を変えても同じとは限らないのは当たり前のことですが,熱力学のところにそんな記述はないので,単なる質問者の勘違いではないでしょうか。。

 yuyaさんご指摘の部分も確かに必要十分条件を必要条件として用いていますが,必要十分条件なら明らかに必要条件だし,問題の場所は必要条件であれば十分のところですから,記述に全く問題ないと思います。

                            TOSHI

  投稿者:yuya - 2009/07/06(Mon) 06:53  No.7118  <Home>
TOSHIさん、ご指摘ありがとうございます。

P:全微分可能
Q:(∂A/∂y)_x = (∂B/∂x)_y
R:2階の偏微分が順序によらない

私の誤りは、QとRを混同していたことにあるのかな。

P⇔Qで、Qを満たす状況の一つとしてRがあり、
したがってRはPの十分条件、ということになりますでしょうか。
自信がないので、添削いただけると幸いです。

  投稿者:TOSHI - 2009/07/06(Mon) 13:36  No.7120 
 失礼,間違えてました。

 a,bの導関数はfの2階導関数ですね。
 
 条件:∂a/∂y=∂b/∂xは∂^2f/∂x∂y=∂^2f/∂y∂xを意味しますから,質問者もyuyaさんも正しくて,オッチョコチョイの私だけが勘違いでした。

 というわけでa=∂f/∂xとb=∂f/∂yが(x,y)でともに微分可能でも連続微分可能でないなら全微分であっても∂a/∂y=∂b/∂xとは限りませんね。

 しかし,物理量では相転移が関わるような微妙なケース以外では連続変量は普通は何回でも微分可能な滑らかな連続量と考えますから,そうしたことは考えませんね。

 熱物理学でも,いわゆるポアンカレの補題における可縮性条件のような問題に神経質になるとキリがないです。

 エントロピーの存在についての,カラテオドリの定理のようなものですがね。。。。

                  TOSHI

  投稿者:yuya - 2009/07/07(Tue) 10:37  No.7123  <Home>
TOSHIさん、再検討ありがとうございます。了解いたしました。

EMANさん:
>さて、これをどう解釈して解決したらいいものやら。

数学では習慣的に、必要条件のときは「……でなければならない」、十分条件のときは「……であればよい」と表現しますよね。
そこだけ修正するのも一手ではないでしょうか?

  投稿者:hirota - 2009/07/07(Tue) 11:06  No.7125 
「という関係が成り立っていなければならない」を「という関係が成り立っていれば良い」にすると、必要条件の意味が薄まるのでは?
気になるのなら、「これは過剰条件だが、病理的な関数は扱わないので問題ない」とでも断っとけばい〜んじゃないかな。

  投稿者:まるお - 2009/07/08(Wed) 16:23  No.7131 
返信遅れてすいません。皆さんレスありがとうございます。

>EMANさん
yuyaさんが指摘してくださったところです。リンク付けずに分かりづらくてすみませんでした。


TOSHIさんの
>物理量では相転移が関わるような微妙なケース以外では連続変量は普通は何回でも微分可能な滑らかな連続量と考えますから,そうしたことは考えませんね。
という説明で理解しました。

記述としてはそのまま「物理量は性質の良い関数であると考えられるので云々」でいいんではないでしょうか。

  投稿者:EMAN - 2009/07/09(Thu) 01:42  No.7138 
> 記述としてはそのまま「物理量は性質の良い関数であると考えられるので云々」でいいんではないでしょうか。

 そうですね。 そのようなことをちょこっと断り書きしときます。
 hirotaさんも同意見ですね。
 yuya さんの文章表現も参考にします。