EMANの物理学 過去ログ No.7098 〜

 ● 偏微分と全微分

  投稿者:ポチ - 2009/07/04(Sat) 18:02  No.7098 
先日はありがとうございました。
再び質問させてください。

dU=TdS-PdV    を温度一定の元で、体積で微分すると、

(δU/δV)=T(δS/δV)-P というのですが、
一応はわかるのですが、何だかしっくりこないです。 dとδの区別があいまいです。約分とは違うのですよね?
丁寧すぎるような途中式を教えてください。

また、単にdUとかと書いている「d」は微分という意味なのですか?

  投稿者:ららら - 2009/07/04(Sat) 21:38  No.7103 
dは全微分
δは変微分
細かく区別は必要ないとzzz

  投稿者:EMAN - 2009/07/05(Sun) 21:10  No.7113 
 もしδが偏微分を表しているというのならおかしいですよね。
(δU/δV)=T(δS/δV)-P ではなくて、(δU/δV)=-P のはずです。

 お使いの教科書で δ がどういう意味で使われているか、
それ以前の使用例を確認してみないことには分かりませんが、
この記号は、時に、汎関数微分の意味で使われることもありますし、
ただの「微小変化」の意味合いで使われることもあります。

 一方、「dU」というのも「微小変化」という意味で
使われることもありますが、微分の意味で使われることもあります。

 微分の意味で使われるときには、dU はただの微小変化ではなくて、
「無限小の微小変化」という意味になります。

 私はあまりこだわらないんですが、教科書によっては、
この違いに非常にこだわって、ほぼ同じ意味であるにも関わらず、
数学的な dU と、実際の物理量の微小変化 δU を区別しているものがあります。

 要するに、数学的には (dU/dV)=T(dS/dV)-P だけど、
今は、無限小ではない、現実の変化 δV を考えているので、
このような式をそのまま使うのは気が咎める。
 しかしこの式を借りてきて当てはめるならば、
(δU/δV)=T(δS/δV)-P と書ける、とか、
まぁ、そういう程度の話ではないかと私は思います。

  投稿者:hirota - 2009/07/07(Tue) 10:43  No.7124 
熱力学のような変量が多種類ある場合に dU と書くと、これは条件とか経路とかの制約なしで常に成り立つ「全微分」を意味するはずです。
数学では、他の変数を固定する条件での偏微分は ∂U と書きますが、熱力学では条件が更にあったりするので δU を使うようです。
まあ、これが出てきたら全微分のように常に成り立つ関係式じゃないから、「微小変化を考えたときの条件に注意しろ」ということですね。

  投稿者:ポチ - 2009/07/07(Tue) 11:09  No.7126 
う〜ん、なかなか理解に苦しみますが、演習を重ねてがんばります。
色々とアドバイスありがとうございました。