EMANの物理学 過去ログ No.6804 〜

 ● 集合論の命題

  投稿者:一学生 - 2009/04/26(Sun) 00:40  No.6804 
ここは物理の掲示板なのは十分承知していますが、
どなたか教えて下さい><

空ではない実数の集合A、Bに対して、

sup(A+B)=supA+supB ・・・@

inf(A+B)=infA+infB ・・・A

が成り立つ。

と集合論の教科書に書いてあるのですが、
納得できません。
なので、これから記述することに間違いがあったら、ご指摘下さい。

@についてまずは言及します。
仮に、BがAの部分集合だとしたら、

A+B、つまり、A∪B=A+B−A∪B=A+B−B=A

となってAそのものになります。
よって、

sup(A+B)=supA

になる・・・

Aについても同様の議論です。

集合・位相論はどうも苦手です・・・どなたかご指南よろしくお願いいたします!


  投稿者:yuya - 2009/04/26(Sun) 07:44  No.6805 
こんにちは。

「A + B」が本当に「A ∪ B」の意味なら、一学生さんの疑問はもっともです。
教科書を少し戻って、「A + B」の定義を調べてみてください。
どうなってますか?

  投稿者:通りすがり - 2009/04/26(Sun) 09:03  No.6806 
一学生さん

これに限らず、本には誤植というのも必ずと言っていいほどありますので、何事も疑問が出てきたら、
他人に聞く前に、他の本で該当する箇所を比較・参照することをお勧めします。
いともあっさり自分の間違いや本の誤植であることがわかる場合もあります。
大学の図書館には多くの本が置いてあると思います。

  投稿者:hirota - 2009/04/26(Sun) 13:49  No.6812 
<tex>A+B=\{a+b\,|\,a \in A\,,\,b\in B\}</tex>

  投稿者:通りすがり - 2009/04/26(Sun) 18:26  No.6815 

<tex>A = (1, 3, 5),B = (2, 4, 6),A + B = (1+2, 3+4, 5+6),sup(A) = 5,sup(B) = 6</tex>

  投稿者:kafuka - 2009/04/27(Mon) 07:46  No.6817 
>通りすがりさん、Hirotaさん
A+B={a+b | a∈A, b∈B}
では、a+bのbは、1つのaに対して、b∈B のどれでも良いように思えます。
何故、対応する順序のものだけに 限定されるのか わかりません。
つまり、
A=(1,3,5) B=(2,4,6) なら、
A+B=(1+2,1+4,1+6,3+2,3+4,、、、)
と思うのですが、、、

(決して いちゃもんをつけているのでは ありません。本当にわからないのです)

  投稿者:hirota - 2009/04/27(Mon) 16:16  No.6820 
その通り、すべての組み合わせです。

  投稿者:hirota - 2009/04/27(Mon) 16:41  No.6821 
証明:
任意の x ∈ A+B に対して、a ∈ A, b ∈ B が存在して x = a+b なので、a ≦ sup(A), b ≦ sup(B) より
x = a+b ≦ sup(A)+sup(B)
∴ sup(A+B) ≦ sup(A)+sup(B)
任意の ε > 0 に対して、a ∈ A, b ∈ B が存在して a > sup(A) − ε/2, b > sup(B) − ε/2 だから、
a+b > sup(A)+sup(B) − ε
∴ sup(A+B) > sup(A)+sup(B) − ε ∴ sup(A+B) ≧ sup(A)+sup(B)
以上より
 sup(A+B) = sup(A)+sup(B)

  投稿者:一学生 - 2009/04/27(Mon) 18:45  No.6822 
なるほど・・・どうやら形式に色々と惑わされていたようです。
この分野はそういう難しさも結構ありますよね。
何冊かチェックしたところ同様の証明がありましたので、間違いないと思います。

議論に参加して下さった皆様、感謝致します!!!
大変助かりました。

  投稿者:通りすがり - 2009/04/27(Mon) 19:07  No.6823 
kafukaさん

私は具体的にわかりやすい例として、kafukaさんがご指摘の通りの定義で $A + B$ を与えました。
あえて $1 + 2$ のように書いたのは、そのルールにしたことを示すためです。
最初から抽象的に一般的に考えるよりも、制限をつけて問題を簡単にして具体的に考えるのも有効でしょう。
1つでも命題が成り立つことが実感・理解できるわけですから。
その意味で、制限をつけたごく簡単な例を示しました。
一般的な場合での証明は、hirotaさんが示されていますが、証明は他の本にも書かれています。
ただし本には誤植というものもありますので、自分で計算したのが正しいのに、「教科書と合わない、なぜだ?」と無駄に悩むこともあります。
その場合は他の本で同じようなところを参照すれば、本当に自分の間違いなのか、教科書の誤植なのかがわかるということです。
(誤植の場合でも、本の著者を責めてはなりません)


一学生さん

他の本で確認できたようで良かったです。
これからもがんばってください。

  投稿者:yuya - 2009/04/27(Mon) 20:23  No.6824 
ズッコケるっちゅうねん……というのはさておき、
一学生さんが正しく理解されているようなので、
めでたしめでたし、というところですかね(^^;)