EMANの物理学 過去ログ No.6732 〜

 ● 確率のとこ教えてください

  投稿者:まさと - 2009/04/08(Wed) 11:01  No.6732 
Let X be a random variable defined as follows:
X is a real valued function on a sample space W ={(x,y): 0<=x<=1 & 0<=y<=1}, where a probability is given by width, and X satisfies
X((x,y))=7x for all (x,y) in W.
Input the variance V(X), down to two places of decimals.
式だけでもお願いします。

  投稿者:EMAN - 2009/04/08(Wed) 13:54  No.6733 
 今時、英語だろうが日本語だろうが気にすることではないのですが、いかにも丸写しの印象があって、果たしてまさとさんは問題の意味は分かってるのだろうか、というところがまず気になります。

 私は X((x,y))=7x がどういう意味か分からないです。

  投稿者:まさと - 2009/04/08(Wed) 14:24  No.6735 
英文自体のみこめていません。
given by width ってどういうことでしょうか。
Xは確率密度?

  投稿者:EMAN - 2009/04/08(Wed) 14:28  No.6736 
 おそらくは、W の範囲内の点(x,y)がランダムに選ばれる時、X の値が 7x になるから、そんな具合に次々に現れる X の値の分散の値を小数点以下第2位まで求めよ、というだけの問題かと思います。 given by width ってのは、Xの値は x だけで決まるって意味かと思うんだけど違ってたらごめん。

  投稿者:yuya - 2009/04/08(Wed) 16:04  No.6737 
>given by width って

width→「ワイド度」→「広さ」かも知れないですね(自信なし)。
例えば 0≦x≦0.5 かつ 0≦y≦0.3 に収まる(x,y)が選ばれる確率は0.15とか?
どっちにしろ X = 7x を考える限りにおいてはxだけの一様分布を考えればいいですね。
yを使う問題が後に続くのかな(Z = 2x + y みたいなのが)。

  投稿者:明男 - 2009/04/09(Thu) 11:10  No.6739 
何か良く分かりませんね。
単純に考えれば、Xは実数値確率変数なので、連続確率分布の問題と思いますが、それだと全区間での積分値が1である筈だと思うのですが、X=7xではそうなりませんね。widthも確率P=Xdxにおけるdx(幅)と符合しますが、Xを確率密度関数と見なせるかどうか疑問です。
それを無視すれば、連続確率分布の定義式から、
 平均M=∫xXdx=7/3
分散V=∫(x-M)^2Xdx=[7/4x^4-98/9x^3+343/18x^2]_{0,1}=9.9166・・・
から、9.92を得ますが・・・。
それにしても、yの位置づけや英文のInputの意味も計りかねます。

  投稿者:yuya - 2009/04/09(Thu) 13:33  No.6742 
 $X$ はただの確率変数(くじの当選額とか、サイコロの目とかと同じ)で、確率密度とは違うのでは?
それこそ given by width が確率密度 $f(x, y)$ の情報を与えていて(一様分布?)、
<tex>f(x, y)\D x \D y = \D x \D y</tex>
ということかな、と思ったのですが……。

もしそうだとすると、
<tex>E(X) = \int_0^1 \int_0^1 X f(x, y)\D x \D y = \int_0^1 \int_0^1 7x \D x \D y = \frac{7}{2}</tex>
<tex>V(X) = \int_0^1 \int_0^1 [X - E(X)]^2 f(x, y) \D x \D y = \int_0^1 \int_0^1 \left(7x - \frac{7}{2}\right)^2 \D x \D y = \frac{49}{12}</tex>
となります……うーむ、あまり信用しないでねぇ〜(笑)。

>Inputの意味
どことなくCBT(computer based testing)のにおいが……。
最近は画面上で試験したりするらしいですね。

  投稿者:hirota - 2009/04/09(Thu) 19:04  No.6747 
つまり、確率空間を W=[0,1]×[0,1] 、確率は一様分布
として、確率変数を X : W → R ただし X(x , y)=7x ( x だけに依存=幅だけに依存)
と定義したときの X の共分散を求めるわけですね。
X による W の像は [ 0 , 7 ] (やはり一様分布) だから、この共分散を求めれば良いんじゃないですか?

  投稿者:明男 - 2009/04/10(Fri) 11:37  No.6748 
>hirotaさん
ということはつまり、yuyaさんの考えで良いということですね。
結局分布関数が一様・・・確率密度(関数)=1という条件が明示されていないという問題なのですねえ。

  投稿者:hirota - 2009/04/10(Fri) 18:24  No.6751 
>yuyaさんの考えで良い
その通りです。

>条件が明示されていない
probability is given by width ですから、「確率=幅の長さ:一様分布」と明示されてます。(この言葉が W の確率を指してることを、今読み返して気が付いた。 width が x だけの意味で、y 方向の確率分布は未定と見るべきか、それとも y 方向も width なのかな?)