EMANの物理学 過去ログ No.6532 〜

 ● 運動量と角運動量保存

  投稿者:米サラリーマン - 2009/03/08(Sun) 09:41  No.6532 
はじめまして。アメリカの小企業でサラリーマンをしているものです。
物理知識はあまりありませんが、趣味で見ていたらEMANさんのページに当たりました。角運動量の保存法則のページで、直線的な運動量の合成で加速したり、減速したりすることを考察されていたことに感激しました。そこで、自分でも理解したいと思い、角運動量保存の式
<tex>mr _{1} v _{1} =mr _{2} v _{2} </tex>
とどう関係するのかと思いましたが、頭が鈍くなかなか進みません。
実際に<tex>v _{2} </tex>
を出すにはこの式しかないので、どうにか直線的な運動量だけで表現できたらもっとわかりやすいのですが、そもそも愚問でしょうか。教科書的にはそれがあったらよかったと思うのですが。V2はR2が極小になったとき(Emanさんの解説中ではアンテナ中心に近づいたとき)巨大になります。それが直線的な運動量で説明をどう考えたらよいか困っています。また、教科書にないのは、回転半径がマイナスになったとき、つまり勢いあまって回転体が中心を跳び越して反対側に行ってしまったときはどうなるのかが私の小さな頭ではすぐには答えが出ません。

また時間のあるときにお邪魔させてください。

  投稿者:yuya - 2009/03/09(Mon) 13:23  No.6546 
米サラリーマンさん、はじめまして。

お書きになった文章から、米サラリーマンさんの状態を推測して説明を書きますが、
疑問点から外れていたら、ぜひ再度ご指摘ください。

角運動量が $mrv$ 、つまり $m|\vec{r}||\vec{v}|$ で表せるのは、 $\vec{r}$ と $\vec{v}$ とが垂直な場合だけで、
一般には $m\vec{r} \times \vec{v}$ となります。
外積が分かりにくければ、とりあえず大きさだけ考えて、
 $m|\vec{r}||\vec{v}|\sin\theta$ (ただし、 $\theta$ は $r$ と $v$ のなす角)と思っても構いません。

EMANさんの図を拝借して、等速直線運動の場合の角運動量(の大きさ)を見てみます。
http://www.geocities.jp/abreverse/angular.jpg
 $|\vec{r_1}| = a$ 、 $|\vec{r_2}| = a / \sin\theta_2$ 、
 $|\vec{v_1}| = |\vec{v_2}| = v$ 、
 $\theta_1 = 90^{\circ}$ 

これらを用いると、
 $m|\vec{r_1}||\vec{v_1}|\sin\theta_1 = m \cdot a \cdot v \sin 90^{\circ} = mav$ 、
 $m|\vec{r_2}||\vec{v_2}|\sin\theta_2 = m \cdot (a / \sin \theta_2) \cdot v \sin \theta_2 = mav$ 
となり、両者が等しいことが分かります。

改めて $m|\vec{r}||\vec{v}|\sin\theta$ という式を見たとき、
後ろの $|\vec{v}|\sin\theta$ の部分が、EMANさんの図における緑の矢印に相当します。
物体が $\vec{r_1}$ にいる(つまりアンテナに最接近している)ときは、赤い矢印全体が、同時に緑の矢印でもあるわけです。
すなわち、基準点からの距離が $(1/\sin\theta_2)$ 倍になった分、
緑の矢印成分が $\sin\theta_2$ 倍になって、打ち消しあっているのです。

  投稿者:米サラリーマン - 2009/03/24(Tue) 13:29  No.6638 
不景気で忙しくなってしまい、今日Yuyaさんのご助言拝見いたしました。
大変有難うございます。ごめんなさい。独り言だと思って聞いてください。直感的にわからないことがあります。半径が大きくなると速度が遅く、半径が小さくなると速度が上がるという法則の中で、半径が小さい時に糸が切れてそのまま直線運動になったときは、その速い速度のままで放たれると思うのですが、その直線運動を非常に大きい半径の運動と考えたとき、どうして小半径から直線運動になったときに速度が遅くならないのかと思いました。もしその直線運動をきわめてRの大きいものにしたら何か変わるのでしょうか?小学生的な質問でごめんなさい。

  投稿者:yuya - 2009/03/24(Tue) 16:36  No.6640 
米サラリーマンさん:

これは、2種類の「半径」を混同していることが原因です。
「直線運動は非常に大きい半径の運動と考えられる」というときの「半径」は、
「曲率半径」であって、そのときのカーブにぴったりハマるような円の半径のことです。
すなわち、カーブの程度をはかるための指標にすぎません。
これに対し、角運動量の定義に現れる $m\vec{r}\times\vec{v}$ における $|\ \vec{r}\ |$ は、
基準点(どこでもよいが、途中で勝手に変更したらダメ)からの距離であって、
曲率半径とは全く異なります。

そもそも角運動量は回転運動だけに定義されるわけではないので、
 $|\ \vec{r}\ |$ を「半径」と呼ぶこと自体、あまりオススメしないという人もいます。

糸が切れたあとの角運動量も保存されることは、元のEMANさんの記事
http://homepage2.nifty.com/eman/dynamics/angular2.html
に詳しく書かれています。

以上の説明を踏まえて、もう一度考えてみてください。
「あなたの説明は分からない・納得できない」というご指摘は大歓迎です。

  投稿者:米サラリーマン - 2009/03/25(Wed) 13:31  No.6643 
yuyaさん、確かにおっしゃる通りだと思います。有難うございます。
ひとつ理解でき、そのまた疑問が生まれたのですが、中心A点を基準とする円運動で、質点Mで、大きい半径から小さい半径になった時、速度Vは増加するのですが、大きい半径から小さい半径にするのに要した仕事は遠心力(rでの)x(大きい半径-小さい半径)だと思うのです。その要した仕事はこの角運動量保存とは無関係でしょうか?つまり小さい半径になりしめてはいるものの、小さい半径での増加したVにはエネルギーを寄与してはいないのでしょうか。別の疑問も書いてしまいます。もし小さい半径でVが増加した状態で糸を切った場合、その増加したVのまま直線運動になって飛んで行きます。その先にまるでその直線運動が接線になるような別の大きい円(別中心B点)の円コース(バンクの様に)が用意されていた場合、その直線運動は中心Bでの円運動になっていきます。ここで、どうにかしてまた以前と同じように半径を小さくしていきます。すると小さい半径になったときVはまた増加します。そして糸(ないですが)を切り増加したVのまま直線運動として飛び出していく。その先に別中心Cの円バンクが用意されていて、、、。と繰り返すと速度Vは増加の一途をしていく?わけはないとは思いますが、どこがおかしいのでしょうか。考えました。まずひとつは円運動から直線運動になるときはVはそのままですが、直線運動しているものが円運動に変えられるときVは一定を保つのか、単純ですが答えにつまりました。子供のおもちゃでパチンコ玉を二本の細いプラスチックレールが支えるタイプのものを思い浮かべると、摩擦はあまりないので、直線運動が円運動になっていく場合は速度Vは変わらないかと? ところで上記に戻りますが、質点Mの運動エネルギーはVの二乗に比例ですのでかなり大きくなります。外部から加えられた仕事は上記の「半径を小さくした仕事」です。この外部から加えられたエネルギーと、結果速くなっている質点Mの運動エネルギーは同じでしょうか?
支離滅裂になってしまいましたが、すみません。

  投稿者:yuya - 2009/03/26(Thu) 13:16  No.6645 
>ひとつ理解でき、そのまた疑問が生まれたのですが、

そりゃ素晴らしい。わくわく。

>中心A点を基準とする円運動で、質点Mで、大きい半径から小さい半径になった時、
>速度Vは増加するのですが、大きい半径から小さい半径にするのに要した仕事は遠
>心力(rでの)x(大きい半径-小さい半径)だと思うのです。その要した仕事は
>この角運動量保存とは無関係でしょうか?

具体的な仕事の計算が正しいかどうかは別にして、とにかく、(中心方向の力によって)回転半径を変えるためには
質点Mに外から仕事を与えなければならないことは確かです。
そして、もらった仕事の分だけ、質点の運動エネルギーは増加します。
運動エネルギーは $mv^2/2$ ですから、これは「速さが増大する」ということです。

しかし、角運動量は保存されます。

「もらった【仕事】の分だけ、【エネルギー】が増加する」
「もらった【力のモーメント】の分だけ、(単位時間に)【角運動量】が増加する」

この2つをきちんと区別する必要があります。

「仕事はもらっているが、力のモーメントはもらってない」場合、
運動エネルギーは増加しても、角運動量は保存されるわけです。

そして、この状況はまさにそういう例なのですが、とりあえずここまでに納得できない点はありますでしょうか?

  投稿者:米サラリーマン - 2009/03/27(Fri) 14:44  No.6650 
すみません。理解していない部分があります。
Yuyaさんのお言葉から、
「もらった【仕事】の分だけ、【エネルギー】が増加する」
これは私にとっては苦しいです。力は中心に向かわせる方向のもの。これは円接線方向に対して垂直なので、円接線方向に仕事はしたのかしていないのかがわかりません。エネルギー増加がどうなされたのかが見えていません。
「もらった【力のモーメント】の分だけ、(単位時間に)【角運動量】が増加する」
これはおそらく、円接線方向へ力が働いていたのなら角運動量は増加する。しかし、中心方向引っ張り力は円接線方向へは働いていないので角運動量は一定。という理解でよろしいでしょうか。

愚問だと思いますが、円運動エネルギー保存則という言葉はあまり聞きませんが、角運動量保存則のほうが良く耳にします。円運動エネルギーは保存するに決まっていて当たり前なので馬鹿っぽいので言われていないだけでしょうか。

  投稿者:yuya - 2009/03/27(Fri) 20:13  No.6652 
>力は中心に向かわせる方向のもの。これは円接線方向に対して垂直なので、
>円接線方向に仕事はしたのかしていないのかがわかりません。

まず、仕事やエネルギーは(ベクトルではなく)スカラー量ですから、
「○○方向に仕事をした」という言い方はしないのですが、
それはさておき、おっしゃりたいことはある程度分かります。

物体にかかる力が、物体の変位(位置の変化)と平行な成分を有していれば、
その力は物体に仕事をします。
たとえ力が働いていても、変位に垂直であれば、与える仕事はゼロです。

物体が普通に円運動をしている(すなわち半径が変化せずに回転している)ときは、
物体の運動する方向(接線方向)は常に中心方向と垂直なので、中心方向の力は確かに仕事をしません。
しかし物体が半径を乗り換える場合、
必ずその過程で「中心方向」と垂直でない経路をとらざるを得ません。
したがって、中心方向の力は物体に仕事を付与するわけです。

そもそもEMANさんの元記事
http://homepage2.nifty.com/eman/dynamics/angular2.html
は、「(角運動量保存を認めると)中心方向の力を加えて回転半径を縮めるだけで
物体が加速されることになるが、なぜこんなことが起こるのだろうか?」
という疑問に端を発しています。これが「変だ」と感じる背景には
「中心方向の力は物体に仕事をしない」という先入観があったはずで、
そういう意味では米サラリーマンさんも同じような問題意識をお持ちのように見えます。

>「もらった【力のモーメント】の分だけ、(単位時間に)【角運動量】が増加する」
>これはおそらく、円接線方向へ力が働いていたのなら角運動量は増加する。しかし、
>中心方向引っ張り力は円接線方向へは働いていないので角運動量は一定。という理解
>でよろしいでしょうか。

いいと思います。

>愚問だと思いますが、円運動エネルギー保存則という言葉はあまり聞きませんが、角運
>動量保存則のほうが良く耳にします。円運動エネルギーは保存するに決まっていて当た
>り前なので馬鹿っぽいので言われていないだけでしょうか。

角運動量保存則は別に円運動に限ったものではありません。
円運動だろうとなんだろうと、力のモーメントをもらわなければ角運動量は保存されますし、
円運動だろうとなんだろうと、仕事をもらわなければ運動エネルギーは保存されます。

対話を重ねることで少しずつ理解が深まれば何よりです。また考えてみてください。

  投稿者:米サラリーマン - 2009/03/28(Sat) 15:43  No.6654 
レベルが低くお恥ずかしいのですが、お付き合いいただき有難うございます。
Yuyaさんのお言葉:
>しかし物体が半径を乗り換える場合、
>必ずその過程で「中心方向」と垂直でない経路をとらざるを得ません。
>したがって、中心方向の力は物体に仕事を付与するわけです。
このご説明はすばらしく理解できました。有難うございます。
中心方向の力は物体に仕事を付与する、、、その意味(量?)を考えたいと思います。ここで運動量からちょっとそれてしまいますが、ある半径での円運動の運動エネルギーは、
<tex>mv ^{2} /2</tex>
です。ここで、中心方向への力により半径が0に近く小さくされたとき、
角運動量保存の式からですと、
<tex>mr _{1} v _{1} = mr _{2} v _{2} </tex>
つまり
<tex>v _{2} =  \frac{r _{1} }{r _{2} } </tex>
ですので、<tex>r _{2} </tex>が小さくなると<tex>v _{2} </tex>は巨大になります。
<tex>v _{2} </tex>が巨大になりますと、運動エネルギーも2乗で巨大になります。
ここで頭の小さい私としては、巨大過ぎないか?と思ってしまうのです。
与えられた仕事がもしこのエネルギー増加分と等しいとすると、仕事はそんなに大きいものなのかとかんぐってしまうわけです。
なにせ中心近くでのVは例えば半径が大きかったときに比べて10000倍となっていたとすると、運動エネルギーはその2乗倍ですし。それに比べて与えた仕事はそこまでの増加に寄与したとは考えにくいわけです。(何か私におかしな点があるのでしょうが。)
前説で述べさせていただいた、円運動から糸が切れてすっ飛んでいった場合、円運動だったVがそのまま円接線方向に受け継がれるのでVはそのままだと思います。大きい半径からすっ飛んでいった時のVと、極小さい半径時にすっ飛んでいったときの巨大Vを比較すると、直線運動エネルギー同士の比較としてすごい差がある気がしてしまいます。実際中心方向に引っ張る力の仕事はそんなに大きいのかを後で考えて見たいと思います。余談ですが、今住んでいるところはトルネードが発生する地域です。実際に発生現場に行くと局所的であることに驚きます。直径25mほどのトルネードが通った後は、その通ったところだけが破壊され、その外周から1m外れたところは何も被害がないわけです。高さ15mほどの立派な木が根から抜き取られて倒れているのを見るとぞっとします。しかしそのちょっとはずれたところにはチュウリップが何もなかったかのように咲いていました。中心での風速が異常に巨大になっているのはなぜなのかは明確な答えがないそうですが。
また後日よろしかったらお願いいたします。






  投稿者:yuya - 2009/03/28(Sat) 22:49  No.6655 
>ここで頭の小さい私としては、巨大過ぎないか?と思ってしまうのです。

なるほど〜!そんなこと考えたこともなかった。

等速円運動を保つためには、速さと半径に応じた向心力を加える必要があります。
したがって回転半径を縮めるためには、この向心力を一時的に大きくする必要があります。
そこでまず、等速円運動の最中の向心力の大きさを調べてみます。

向心力の大きさを $F$ とすると、 $F = mv^2 / r$ と表されます。
一方、角運動量の大きさ $L$ は、定義から $L = mrv$ です。
この2つから $v$ を消去すると、 $F = L^2 / mr^3$ となります。
すなわち、向心力は半径の3乗に反比例しています。
ここから分かることは、ある指定された角運動量で円運動させたいとき、
1/10の半径を選ぶと1000倍の向心力を必要とする、ということです。

定常的な円運動を実現させるために必要な向心力でさえ、
半径が短くなるとこんなに急激に大きくなるわけですから、
回転半径を縮めている最中に働く力は(中心に近づくにつれて)どんどん大きくなり
与える仕事も想像以上に大きくなることが納得できるのではないでしょうか。

トルネードのお話はとても興味深かったです。ありがとうございました。
メカニズムを物理的に説明できたら楽しいだろうなぁ、と思いますが、
今のところ私には全然分かりません(^^;)

  投稿者:米サラリーマン - 2009/03/30(Mon) 15:41  No.6664 
また変な疑問が浮かびましたが、おそらく間違っていると思います。ご指摘下さると幸いです。
向心力Fはrの三乗に反比例で、Vはrの一乗に反比例で、運動エネルギーEは
rの二乗に反比例。
<tex>F(r)=1/r ^{3} </tex>
<tex>V(r)=1/r</tex>
運動エネルギーはVの2乗に比例ですので、
<tex>E(r)=1/r ^{2} </tex>
向心力と運動エネルギーの二つのグラフを考えると、rが1以上のときはEのほうが大きく、rが1以下のときFのほうが逆転して大きくなります。
Fは積分したものが実際に施した仕事になると思いますので、具体的にはその辺ですでに私の疑問は間違っているかと思いますが。
ごめんなさい。
入力した仕事に対して、出力された運動エネルギーの量が比例してマッチしていない気がしてしまいました。
確かに半径が1以下のときは向心力はE以上ですが、半径が1まではEのほうがFより大きい?

  投稿者:hirota - 2009/03/30(Mon) 17:40  No.6665 
基礎を固めた組織的勉強なしで個々の疑問を解消するだけで、理解というものは得られるんだろうか?

  投稿者:yuya - 2009/03/30(Mon) 17:47  No.6666 
「エネルギー」と「力」という、次元の異なるものの大小を比較しても、意味がありません。

もう一つ注意すべきことは、「もらった仕事量と運動エネルギーが等しい」のではなく、
「もらった仕事量と、運動エネルギーの【増加量】が等しい」ということです。

仕事の収支が合っていることを納得するには、
運動エネルギーそのものの値ではなく、その変化を考えなければなりません。

計算の準備として、まず運動エネルギー $E(r)$ を、角運動量の大きさ $L$ (ここでは一定)で表せば、 $L = mrv$ から、
<tex>E(r) = \frac{mv^2}{2} = \frac{m}{2} \cdot \left( \frac{L}{mr} \right)^2 = \frac{L^2}{2m} \cdot \frac{1}{r^2}</tex>
となります。一方、前回述べたとおり
<tex>F(r) = - \frac{L^2}{m} \cdot \frac{1}{r^3}</tex>
です。ここでマイナスをつけたのは、向心力が $r$ の小さい方向(中心方向)に向いていることを表すためです。

 $E(r)$ と $F(r)$ を見比べると、
<tex> F(r) = \frac{\D E(r)}{\D r}</tex>
が成り立っていることが分かります。これは分かりやすく書けば
<tex> \Delta E(r) = F(r) \cdot \Delta r</tex>
ということで、( $E(r)$ 自体ではなく) $E(r)$ の【増加量】が、
力 $F(r)$ かける変位 $\Delta r$ 、すなわち「もらった仕事量」に等しいことを表しています。

hirotaさん:

私は、小さな疑問が解決されていく達成感を積み重ねるほうが、
組織的勉強を始めるモチベーションが高まるのではないかと思っていますが、
目先の疑問が解消しちゃうと、それだけで満足して、
かえって組織的勉強から遠ざかってしまう人も、もしかしたら多いかもしれませんね。

米サラリーマンさんはどちらでしょうかね(^^)

  投稿者:hirota - 2009/03/31(Tue) 11:03  No.6669 
ほんとうに疑問が解決 (理解) されているんだろうか?
それらしい答を得て「解消」されただけじゃないのか?
という所で首をひねってるわけです。
自身が理解してるかしてないかの識別感覚があれば、どんな方法でも問題ないんですが、これは何か小さくない達成経験がないと持てないんじゃないんですか?

  投稿者:米サラリーマン - 2009/03/31(Tue) 11:52  No.6670 
Hirotaさん、Yuyaさん。申し訳ないです。
私のモチベーションが達成経験の先として十分かどうかはわかりませんが、ジャイロ効果の納得が私の本当のゴールです。もちろん、レベルが低すぎて無理かもしれませんが、初歩的な物理言葉でどうにか理解できないかなと願っています。と言うのも、ジャイロ効果について直感的な納得ができず、また文献もバリエーションがない感じがします。まず角運動量保存がカギかなと思っていますが、ご迷惑をおかけしています。
Yuyaさん。長らくお付き合いいただいたおかげで角運動量保存は完璧に理解できました。大変有難うございました。(とはいっても馬鹿なので紙上でLなしで積分をしたりして試しに最初のRを3、小さくなったRを1とか入れて、ああなるほど同じだと納得してましたが。)

  投稿者:yuya - 2009/03/31(Tue) 13:27  No.6672 
hirotaさん:

なるほど。そうですね。
それらしい答を得て『解消』されただけの状態を助長するのは、
私としても本意ではありませんので、自分の説明方法を省みる必要がありそうです。
今後もいろいろご指摘ください。

「いい説明のしかた」って何なのかなぁ……。

米サラリーマンさん:

とりあえず疑問は解消したようですが、体系的に勉強すればもっともっと面白いですから、
ぜひ成書にも当たってみてください。

  投稿者:米サラリーマン - 2009/04/01(Wed) 11:35  No.6678 
Yuyaさん。
私にはまだ小さい子供がいますが、結局人間真っ白な状態で生まれてくるということをしみじみ感じます。そして、できればすんなり色々なことを理解できるようになればと願いますがそうもいかないのが現実です。今回は角運動量保存でしたが、これひとつとっても未だに知らない人5人集まれば色々な無知疑問が生じると思います。Yuyaさんがご親切に丁寧にその都度ご返事していただいたことで、大変幸運でありました。このような長くなっても良い、問答集があれば多くの人に本当に理解の手助けになるものになると思います。ただ、それが整然としてなくだらだらかっこ悪く笑われてしまうようなものでも、私としては学生時代にそのようなものがあったらなと思います。あらためて有難うございました。

  投稿者:hirota - 2009/04/02(Thu) 18:04  No.6689 
>角運動量保存がカギかなと思っています
ところで、ジャイロ効果は角運動量保存と関係ないことは分かったんですか?(なにしろ、角運動量が変わるときの話だし・・)
保存則って、一部が解ければ残りも自動的に分かるとかいった風に、問題を簡単にするには役立ちますが、最初の一部の解明には当然ながら役立たない。(魔法の杖ではない)
ジャイロ効果の理解は、その最初の一部の解明に相当するレベルでしょう。(EMANさんの説明を既に読んでるわけですから、それ以上の説明は思いつかない)