EMANの物理学 過去ログ No.6296 〜

 ● スピンについて

  投稿者:青年A - 2009/01/31(Sat) 01:55  No.6296 
テスト前の一学生です。
量子力学の問題で分からない問題があってので、質問させて下さい><

(問題)
 シュテルン・ゲルラッハの装置を用いて、スピンh/2(h:hバーだと思って下さい)の粒子のスピンの向きを測定する実験を考える。この装置は、例えばZ軸方向に不均一磁場をかけ、その領域中Y軸方向に粒子を通過させ、X軸方向に上向き(下向き)スピン粒子を上(下)向きに偏向させる。

1.Z軸方向に量子化したときのスピノール関数をσzα=α、σzβ=−βとしたとき、スピンがX軸方向の正方向と負方向を向いているスピノール関数をσxu±=±uをα、βで表しなさい。

2.以下のような実験を考える。

@スピンがX軸の正方向を向いている粒子ビームを上記したシュテルン・ゲルラッハ装置に投入する。
AX軸に偏極していない粒子ビームを投入する。

これら2つの違いを明確に示すためにはどのような実験をしたらよいか。

(問題終わり)

1について:
スピンの3つの方向を同時に知ることはできないんですよね?
そもそも、ここで出てきているα、βのスピノルは、スピンのZ軸方向を記述するために便宜的に導入されたものでは・・・それなのに何故σxが出てくるのか分かりません。 

2について:
スピンがX軸方向を向いているなら、Z軸方向では検出されないのでは・・・

もうお手上げです汗

  投稿者:TOSHI - 2009/01/31(Sat) 03:54  No.6297 
 どもTOSHIと申します。

 ちと紛らわしいので,αを|z,+>,βを|z,−>と書きます。σz|z,±>=±|z,±>(複号同順)ですね。

 |x,+>=a|z,+>+b|z,−>(a^2+b^2=1)と展開してabを決めるだけだと思います。a=<z,+|x,+>,b=<z,−|x,+>ですね。

 後は,パウリ行列のσxσz=−σzσxとかσx^2=σz^2=1とか交換関係,反交換関係のどの性質を使えばa,bは決まるのじゃないかと思います。健闘を祈ります。

                        TOSHI

  投稿者:青年A - 2009/01/31(Sat) 20:02  No.6298 
返信ありがとうございます・・・!

これを見てから今日さらに勉強して、Z方向だけではなく全てのスピンの方向は|z,+>,|z,−>の線形結合で表現できることを知りました。どうやら無意味にこの2つのスピノルを特別視していたようです。
TOSHIさんのご指摘通り、

 |x,+>=a|z,+>+b|z,−>(a^2+b^2=1)

となるようですね。1つ進展しました!同様に、負方向も表現できるのですね。

問題は、具体的に係数を求める方法ですか。
なるほど・・・パウリ行列が満たす性質を利用してですか。
そもそもパウリ行列は|z,+>、|z,−>の性質を満足するように数学的都合で導出されたものだから、今考えているスピンの原型の問題を解くにはかえってまどろっこしい気もします・・・どうなんでしょう。
むしろストレートに、【S^2, Sx】=0という可換である関係を利用した方がうまくいいくのでは。X軸方向のスピン関数はもう表現できているわけですし。

今から両方のやり方でやってみます!
何かおかしなことを書いてしまっているなら、訂正よろしくお願いします・・・!!!


  投稿者:青年A - 2009/01/31(Sat) 23:06  No.6299 
パウリ行列Sxの固有値、固有ベクトルを求めたらすごいあっさり出ましたw

問題2は未だ分かりませんが・・・汗

  投稿者:凡人 - 2009/02/01(Sun) 00:48  No.6300 
問題2は、まさか出題内容の誤りという事は無いですよね。

  投稿者:青年A - 2009/02/01(Sun) 01:35  No.6301 
どうなんでしょう・・・僕の知識では分かりませんwww
Z方向にて観測される結果にどういう違いがでるか、と認識しているのですが・・・

余談ですが、今回だけに限らず、特に実験装置に関するような問題は実際にその実験経験がないと考えにくいように思います。うーん・・・困った。。。

  投稿者:EMAN - 2009/02/01(Sun) 07:45  No.6302 
 うーん、私も問題の意味が分からない。

  投稿者:TOSHI - 2009/02/01(Sun) 08:14  No.6304 
 ども。。TOSHIです。

 2.の方は考えていませんでしたが,@のビームはz方向のスピンの観測だと上下観測確率が50パーセントのxスピン固有状態でもちろん純粋状態(純粋集団)。。Aのビームは偏極していないというと統計力学的にまったくランダムなものだと上下の確率がやはり50パーセントの混合状態(混合集団)かなあ。。

 であれば,状態がzスピンの2つの固有状態の重ね合わせの純粋状態@のビームなら,干渉する(絶対値の2乗で確率計算すると+と−の積の項がある)ので,それを観測する実験をすればいいという違いがあるだけですがね。。。。

                      TOSHI

                       

  投稿者:TOSHI - 2009/02/01(Sun) 08:22  No.6305 
PS:要するに@,Aはコヒーレント(coherent;可干渉的)なビームか,またはインコヒーレント(incoherent;不(非)可干渉的)なビームかの違いでしょうね。。
                   TOSHI

  投稿者:青年A - 2009/02/01(Sun) 12:58  No.6306 
頭から煙が上ってきました・・・皆さん、真剣に考えてくれてありがとうございます!

TOSHIさんの「コヒーレントかインコヒーレントか」というキーワードを元に僕も考えてみます。

なんか、大学に入ってから一問に費やす時間がすごく長くなったなぁ。。。

  投稿者:hirota - 2009/02/03(Tue) 10:18  No.6317 
シュテルン・ゲルラッハ装置というのは何か分からないのですが、
「X軸方向に上向きスピン粒子を上向きに偏向させる」という説明の「上向き」は何ですか?
後の話ではZ軸方向と解釈してるみたいですが、それだと「X軸方向に」と付いてる意味が分からない。