EMANの物理学 過去ログ No.5970 〜

 ● 丸太どうしの接触

  投稿者:EMAN - 2008/11/28(Fri) 00:07  No.5970 
「角運動量の保存について」という議論がかなり長くなったので、スレッドを分けます。

 丸太どうしが衝突するとき働く力の方向は、それぞれの重心を結んだ方向なのか、などについての話題はこちらでお願いします。

参考図 http://www.geocities.jp/abreverse/maruta.jpg

  投稿者:lele - 2008/11/28(Fri) 00:12  No.5971 
先ほどの投稿に、追加した内容が、このテーマになりましたので、重複しますが、再度書きます。

丸太の接触、、、私は、この場合、yuya様の図のように力が働くと思います。
上手い説明とはいえないかもしれませんが、、
当たった瞬間を想定して、その状態で両者が静止しているものとします。
そして、(完全弾性衝突の場合)接触している点(この場合線になりそうですが、、、)に強力な斥力が働くということを想定します。すると、両者は、接触点に衝突方向の反対の向きの力が加わったように、「はじかれた動き」をします。
両者のこの動きは、両者の質量の中心と視点に相対速度が無い、場合ですので、例えば左の丸太が下から上に移動して、静止している右の丸太に衝突する場合、上記の「はじかれた動き」と、全体の重心移動(上昇丸太の半分のスピードで、図の上向きに移動)が合成されたような動きを取ると予想します。

  投稿者:lele - 2008/11/28(Fri) 02:22  No.5974 
一部分を訂正します。。。

丸太の接触、、、私は、この場合、yuya様の図のように力が働くと思います。
上手い説明とはいえないかもしれませんが、、
当たった瞬間を想定して、その状態で両者が静止しているものとします。
そして、(完全弾性衝突の場合)接触している点(この場合線になりそうですが、、、)に強力な斥力が働くということを想定します。すると、両者は、 ■(接触点に衝突方向の反対の向きの力が加わったように、)⇒(接触点を微小な面として捕らえて、この面と垂直な方向に力が加わったように)■「はじかれた動き」をします。
両者のこの動きは、両者の質量の中心と視点に相対速度が無い、場合ですので、例えば左の丸太が下から上に移動して、静止している右の丸太に衝突する場合、上記の「はじかれた動き」と、全体の重心移動(上昇丸太の半分のスピードで、図の上向きに移動)が合成されたような動きを取ると予想します。

  投稿者:yuya - 2008/11/28(Fri) 10:38  No.5977 
EMANさん、どうもお手間を割いていただきありがとうございます。
ただ、よくよく考えると、どうも私の勘違いが原因だったようです。
そもそもなぜ「衝突の際の力が各球(丸太)の重心を通らないといけない」と思ったかと言うと、

ASAさん[5944]:
>トルクN~は
>N~=排~×F~で作用反作用等しいので
>N~=R~×F1~=-ηR~×R~'と、一般に0では有りません。
>(外力でなく、内力だけでトルクが発生)
>従って、全角運動量は保存してません。

と同じように、衝突の際の力によるトルク $\vec{N}$ を計算する際、
<tex>\vec{N} = \vec{r_1} \times \vec{F_1} + \vec{r_2} \times \vec{F_2}</tex>
ここで $\vec{F_2} = -\vec{F_1}$ (作用・反作用)により
<tex>= (\vec{r_1} - \vec{r_2}) \times \vec{F_1}</tex>
となり、これがゼロとなる(角運動量が保存される)ためには
 $\vec{r_1} - \vec{r_2}$ と $\vec{F_1}$ は平行でなければならず、
衝突点が重心線上にあるときには $\vec{F_1}$ 、 $\vec{F_2}$ は各重心を通るはずだ、と考えたのでした。

しかし、ASAさんの例はそもそも【力の作用点が】各重心( $\vec{r_1} \neq \vec{r_2}$ )にある場合であり、
私の例とは異なりますね。

トルク(力のモーメント) $\vec{r} \times \vec{F}$ における $\vec{r}$ は
【力の作用点の】位置ベクトルである、という基本中の基本を忘れていました。
衝突の力は各重心ではなく衝突点(一点)において働きますから、この位置を $\vec{r_3}$ とすると、
正しいトルクは
<tex>\vec{N} = \vec{r_3} \times \vec{F_1} + \vec{r_3} \times \vec{F_2}</tex>
<tex>= \vec{r_3} \times (\vec{F_1} + \vec{F_2}) = \vec{r_3} \times \vec{0}</tex>
で、これは力の向きに関わらずゼロになる、ということですね。

私の変な思い込みのせいでEMANさんから誤った回答[5958]を引き出してしまったと思うのですが(追記:すみません、均質球同士の場合は実際に重心を通るのかな?)、
以上のような理解で良さそうでしょうか?

  投稿者:EMAN - 2008/11/28(Fri) 12:07  No.5979 
> 私の変な思い込みのせいでEMANさんから誤った回答[5958]を引き出してしまったと思うのですが(追記:すみません、均質球同士の場合は実際に重心を通るのかな?)、

 はっはっは。 [5958]は間違ってませんよ。

 丸太の場合にはもう少し面倒な要素があって、これは、無重量状態で、宙に浮いたスプーンを指でつつく時に、果たしてスプーンはその場で回転するだけなのか、重心移動をするのか、重心移動するとすればその大きさはどう計算するのかという問題に似ています。

 これは多分、単純な公式がないので、パソコンで本物っぽい動きを手軽にシミュレーションするときにはゴマカシ(人為的な、大胆な仮定)を導入してリアリティを追求します。 少なくとも私はそのようなやり方をしてごまかしてきましたので、この問題はもう一度細かく考え直してみようかと思います。

 yuyaさんの書かれた数式の方の解釈はもう少し後で詳しく読んでみます。

  投稿者:yuya - 2008/11/29(Sat) 08:32  No.5989 
leleさん[5968](前スレ)
>トルクを生じるとすればどこに消えるのか?ということですが、、、
>この「消える」という意味が、当初から私にはわかりませんでした。
>エネルギーにしろ、角運動量にしろ、衝突の前後で、状態は変わるも
>のの総量は変わって無いですし、ずっと変わらないはずです。
>もしも、「トルク」という言葉が衝突の際の摩擦(熱 等)という意
>味でしたら、このスレの一番最初の私の疑問と、類似しているように
>思います。直ぐに楽になれます。

トルクは普通に「力のモーメント」という意味で使っています。
「仕事をもらっているのにエネルギーが保存している」ような状況があったとしたら
「なぜ?仕事はどこに消えたの?」と不思議になりますよね。
それと同様に、この例では
「トルクをもらっているのに角運動量が保存している」ように見えたので、
「なぜ?トルクはどこに消えたの?」と感じてしまったわけです。
ただし、[5977]に書いたように、正しく考えればトルクは生じていない(と思う)ので、
ビリヤードの例において熱や摩擦の話を持ち出す必要は全くなさそうです。

EMANさん[5979]
>はっはっは。 [5958]は間違ってませんよ。

はうっ……失礼いたしました。
EMANさんを惑わせるほどの間違いができるくらいなら、私は一人前のはずですね(笑)。

当初は、角運動量保存則が衝突の力の向きを制約すると考えていたのですが、
[5977]のように考えている今、衝突の力の向きが何によって定まるのか、
私は全く指針を持たない状態になってしまいました。
「ビリヤード球が平らな壁に当たったとき、衝突の力が球の重心のほうを向く」という事実は
自明なこととは感じられないのですが、これは何かほかの事柄から導くことができるのでしょうか?
まず私はこれを理解しないと、(とても興味のある)丸太の議論にはきっとついていけないですよね……。

  投稿者:EMAN - 2008/11/29(Sat) 09:58  No.5991 
 すでに丸太の説明は頭の中でまとまったのだが、図を準備したいのと、家庭のことをやらなくてはならないのとで、今すぐは取り掛かれない。
 ちょっと留守にします。

 どんな場合にも重心の方向に働くわけではないということだけは今言って置きます。

  投稿者:大学生A - 2008/11/29(Sat) 10:53  No.5992 
おお!楽しみっす。(^^)v

  投稿者:lele - 2008/11/29(Sat) 18:46  No.5995 
「仕事をもらっているのにエネルギーが保存している」ような状況があったとしたら
「なぜ?仕事はどこに消えたの?」と不思議になりますよね。

スイマセン。。まだ言いたいことを解釈し切れてないかもしれませんが、、、

例えば、ボーリングの玉を転がすと、玉は人から仕事をしてもらうことになりますよね。(だから、止まっていた玉が速度を持つ訳で、、、)

玉は、頂いた仕事を運動エネルギーとして保存します。玉とレーンの間に摩擦が無くて、空気抵抗が無ければ、100万年経っても転がってます。(運動エネルギーの保存と言うのは、こういう意味ですね。)

仕事は、玉の運動エネルギーに変わった。。。ということになります。
もし、転がり摩擦で止まったら、運動エネルギーは、床の熱とか、音とか、に変わった、、、ということになります。

トルクをもらっているのに角運動量が保存している

というのも同じ理屈で、トルクを貰ったから、角運動が発生して、何事も無ければ、保存し続けるのが道理というものだと思います。


  投稿者:yuya - 2008/11/29(Sat) 20:58  No.5997 
leleさん:

[5995]に書かれていたことは、その通りだと思います。

>トルクを貰ったから、角運動が発生して、何事も無ければ、保存し続けるのが道理というものだと思います。

トルクをもらった後同士の2つの瞬間を比べれば、もちろんその通りです。
私が悩んでいたのは、ビリヤードの例では衝突の前と後とを比較しても、
(外力が働いていないから)角運動量が変わらないはずなのに、
衝突による力(内力)によって物体がトルクを受けている(ように見えた)のは変だなぁ、ということでした。

  投稿者:lele - 2008/11/29(Sat) 21:30  No.5998 
間違ってるかもしれませんが、私の解釈です。。。
この問題は、もう、納得した。。。というのでしたら読み飛ばしてください。

ビリヤードの台の上で手玉(運動球)が、的球に衝突するという動きは、EMAN様の2個玉上下動の図と、ある意味同じです。視点をテーブルに固定せず、二個の玉の中間位置に視点を保持すると、左右から転がってきた玉が、真ん中でかする という動きになり、この運動系として、既に角運動量を持ってしまっている、、、ということです。

もうひとつ、ナゼ、手玉と的玉が回転するか、、、というと、
表面に摩擦の無い(理想的な?)玉を想定すると、回転(自転)しないはずです。
実際は、大なり小なり摩擦があるので、回転します。
この時の、エネルギーの変換や、消耗のされ方、、、というのは、多分このスレの一番最初の問題と深いところで繋がっているような気がするのですが、、
■修正…非完全弾性衝突の場合、衝突の瞬間に玉は角運動量を持つと共に、最初の運動エネルギーの一部分が熱その他のエネルギーに変換されてしまう。と思います。

衝突後の玉の自転が速いほど、衝突後の両玉の離脱速度(遠ざかるスピード)が遅くなるような気がします。その差(運動エネルギーが少ない分)は、玉の回転に費やされたもの+上記の摩擦に起因する熱エネルギー等、と予想します。(間違ってたらスイマセン。)

  投稿者:EMAN - 2008/11/30(Sun) 02:13  No.6001 
 眠れなくなったので、図の要らない部分だけ話してみる。
 合ってるかどうかは分からない。

 なぜ2つのビリヤード球が衝突する時、2球の共通接線の「仮想壁」に衝突すると考えていいのか。 これは人為的仮定に過ぎないんですよね。 そうしないとビリヤード球が自転してしまう。 別にこれで自転しても、角運動量の保存則に反するわけでもない。 (そこは後で図を使って説明しようと思ってる部分ですが。) でも、単純な衝突シミュレーションをしたい場合など、自転を考えたくないなら、こういう仮定があると楽ということ。

 直線上での2球の衝突は、高校物理でやるけれど、平面上での2球の衝突というのは滅多にやらない。 これはなぜか? 直線上ならば、衝突後の2球の速度は 2 つの数値を求めれば良くて、運動量保存則とエネルギー保存則を使えば決定できる。

 しかし平面になると、衝突後の2球の速度は 4 つの数値を求める必要がある。 運動量保存則は 2 成分使えて、それとエネルギー保存則とで、条件が 3 つしかない。 結果は不定。 なぜこんな単純な問題の答が不定だろう?
 質点の衝突というのは理想化したものに過ぎないので、一旦ビリヤード球のようなものを考えて、質点には自転が生じないことを条件に入れないといけない。

 というわけで、別に、2物体の重心を結ぶ方向に力が働く必要はないと言える。

 しかし誤解して欲しくないのは、作用反作用が互いの重心を結ぶ方向以外に働くことによって、角運動量保存を破ってしまう事例があるわけではないということ。 互いの重心を結ぶ方向以外に働く力というのは、それぞれの物体の重心周りでの回転を引き起こす。 けれども、これは角運動量保存則を完全に満たす形で行われる。 図で説明したいのはその辺だけなんだ。

  投稿者:lele - 2008/11/30(Sun) 02:57  No.6002 
2物体の衝突について、衝突後に回転をしないのは、物体が完全弾性衝突をして、且つ、接触面に垂直な線上に物体の重心がある、という特殊な場合だけ(といっても、球形の鉄球を使いがちな物理の実験はこれに近いですが、、)
だと思います。
玉が衝突後に回転(自転)するパターンは、、、
完全弾性衝突〜接触面垂線が重心非通過
非完全弾性衝突〜接触面垂線が重心通過
非完全弾性衝突〜接触面垂線が重心非通過

という風に分けることが出来ると思います。
間違ってたらスンマセン

  投稿者:大学生A - 2008/11/30(Sun) 10:10  No.6003 
「作用反作用」という言葉の通り、互いに同じ大きさで反対の向きに生ずる
二つの力積に関して、その作用線を共有すれば、作用点がどこに存在しようと、
力のモーメントの和が任意の時刻で0になるので、系の角運動量が保存するのは自明では?
また、二つの剛体の回転運動に関して、各々の重心を基準とした回転状態を
表す物理量(回転速度、角運動量、回転エネルギー等)同士は互いに独立では?

自身ありませんけど・・・。w

  投稿者:yuya - 2008/11/30(Sun) 17:49  No.6010 
leleさん[5998]:
>この問題は、もう、納得した。。。というのでしたら読み飛ばしてください。

いえ、まだ私は全てを理解できていないので、ご意見をいただけるとありがたいです。

>視点をテーブルに固定せず、二個の玉の中間位置に視点を保持すると、左右から転
>がってきた玉が、真ん中でかする という動きになり、この運動系として、既に角
>運動量を持ってしまっている、、、ということです。

その通りだと思います。

衝突によって球が回転(自転)しようとすまいと、直進運動も含めてきちんと角運動量を考えれば、
(途中で原点を変えない限り)どこに原点をとっても保存則は成り立つ、ということですね。

これは裏を返すと、角運動量保存則をもってしても、衝突時の力の向きは決定できない、
ということになるので、球が実際に回転するかどうかに関するleleさんの見解[5998][6002]が
正しいかどうか、現在のところ私には判断できません。

EMANさん[6001]:

>なぜ2つのビリヤード球が衝突する時、2球の共通接線の「仮想壁」に衝突すると考
>えていいのか。 これは人為的仮定に過ぎないんですよね。 そうしないとビリヤ
>ード球が自転してしまう。 別にこれで自転しても、角運動量の保存則に反するわ
>けでもない。

とても時間がかかりましたが、私も同様の理解に達しました。
[5958]の「力が重心を通る」という制約は、角運動量保存則による要請ではなく、
「自転をしない」・「球は質点である」……(*)という仮定を置いた場合の要請なのですね。

大学生Aさん[6003]:
>「作用反作用」という言葉の通り、互いに同じ大きさで反対の向きに生ずる
>二つの力積に関して、その作用線を共有すれば、作用点がどこに存在しようと、
>力のモーメントの和が任意の時刻で0になるので、系の角運動量が保存するのは自明では?

全くおっしゃるとおりです。衝突の際の力は文字通り「作用・反作用」をなしており、
全体として系に与えるトルクは(力の方向に関わらず)ゼロです。
よく考えれば当たり前の話なのですが、トルクを計算する際に
位置ベクトルを間違えてしまったので([5977]参照)、アホなところで悩んでいました。

ビリヤードの例は、「ASAさん[5944]の方程式が成り立つような具体例を、
ニュートン力学の範囲内で何とか提示できないか」と考えて作ったものですが、
ASAさんの意図していた「作用・反作用が同一作用線上にない場合」を反映しておらず、
そもそも実例として不適切でした。

  投稿者:lele - 2008/11/30(Sun) 21:08  No.6011 
6010〜これは裏を返すと、角運動量保存則をもってしても、衝突時の力の向きは決定できない、

という文の、衝突時の力の向きは決定できない、、、というのは、
具体的には、衝突後の玉の運動(飛んでいく方向と、速さ)が決定できないのではないか。。ということを言っているのでしょうか。

だとすると、その通りだと思います。玉と玉の接触時に摩擦があると想定した場合、摩擦係数によって、玉の速度と運動方向は異なると思います。

摩擦係数が決まった上で、、、角運動量の保存と、運動エネルギーの保存と、両方を満たす条件となると、衝突後の玉の運動は一義的に決まるはずです。

  投稿者:EMAN - 2008/11/30(Sun) 23:53  No.6014 
 もう必要ないかな、と思い始めてますが、気になるので、
図を使った説明を書いておきます。
http://homepage2.nifty.com/eman/img/maruta.jpg

 丸太の衝突を単純理想化したのが、この図です。
 2つの質点を棒で繋ぎました。

 図1では、片方の質点が弾性衝突して速度を相手に移してます。 その後、どういう挙動をするかというと、ちょっと分かりにくい。 片方の質点が静止していて、それを引っ張るようにもう一つの質点が移動するけど、ペアの質点が静止していることに気付いているわけではないから・・・。
 結果から言えば、衝突前から図の上向きの運動量があるので、双方とも上方へ移動しながら回転するわけですが、本当にそうなるかなぁ、と感じてしまう。

 最初、全く回転してなかったものが衝突の結果回転するので、角運動量保存則を疑うかもしれないけれど、全体の重心が移動している場合には、どこかに原点を固定して考えないといけない。 最初、左側の丸太だけが上方へ向かっていますので、大きく時計周りするような角運動量が元々あったわけです。

 図2では、その辺を分かりやすくするため、重心が固定するような立場でこの衝突を考えてみました。 衝突の結果、重心が移動することなく、2つの丸太がその場で回転を始めるのが割と自然に理解できると思います。 こちらも、元々、重心を中心として右回りの角運動量を持っていたわけですから、衝突の結果として新たな角運動量が生まれたわけではありません。

 こんな感じで、棒が衝突するとき、力の方向がどうなるかは、その衝突点の方で決まってしまうのであって、特にそれぞれの重心の位置なんかは関係してないのだと言えそうです。

 ちょっとまだ疑問を持ってるんですけどね。 衝突点だけで力の方向や大きさが決まるとしたら、それは非弾性衝突になったり、全体としてエネルギー保存を満たさなかったりしそうでしょう? うまい条件を入れて、衝突後の全体の動きを一義的に決める方法はあるだろうか、とか考えています。


  投稿者:hirota - 2008/12/01(Mon) 11:49  No.6015 
衝突点での力×時間=力積(運動量変化)が決まってるなら、任意の慣性系固定点周りの角運動量も決まるから、重心運動と重心周りの角運動量に分解するのは簡単です。
むしろ、衝突での力を求めるほうが問題でしょう。
質量ゼロの棒に垂直衝突なら質点衝突で良いですが、重心に質量が集中してると回転だけ起こして重心運動なしで力もゼロになるし、その中間の状況だとハテ?(完全弾性衝突って質点に同等な状況でしか定義できないのでは?)

  投稿者:yuya - 2008/12/01(Mon) 16:22  No.6016 
leleさん[6011]:
>玉と玉の接触時に摩擦があると想定した場合、摩擦係数によって、玉の速度と運動方向は異なると思います。
>摩擦係数が決まった上で、、、角運動量の保存と、運動エネルギーの保存と、両方を満たす条件となると、衝
>突後の玉の運動は一義的に決まるはずです。

そうですね。ちょうど別のスレッドでも話題になっていますが[6008]、
(動)摩擦係数とは、「(垂直方向から見た)抗力の傾き」にほかなりませんから、
衝突の力を抗力と同じように考えると、
「摩擦係数を与える」というのは、「力の向きを与える」というのとほぼ同義ですね。

EMANさん[6014]:
> もう必要ないかな、と思い始めてますが、気になるので、
>図を使った説明を書いておきます。

分かりやすい説明をありがとうございます。

> こんな感じで、棒が衝突するとき、力の方向がどうなるかは、その衝突点の方で決まってしまうのであって、
>特にそれぞれの重心の位置なんかは関係してないのだと言えそうです。

理解しました。ビリヤード球の例で、仮想壁(共通接面)に垂直な力がたまたま重心を通るのは、
「球」という形の特殊性によるものですね。この特殊性のせいで、私は論点を見誤りそうになっていました。

> ちょっとまだ疑問を持ってるんですけどね。 衝突点だけで力の方向や大きさが決まるとしたら、それは非
>弾性衝突になったり、全体としてエネルギー保存を満たさなかったりしそうでしょう? うまい条件を入れて、
>衝突後の全体の動きを一義的に決める方法はあるだろうか、とか考えています。

すみません、この部分だけ、EMANさんが何を問題としていらっしゃるのか、まだ理解できていません。
(質点の)非弾性衝突において力学的エネルギーが保存されないように見えるのは、
質点は回転できないからであって、回転のエネルギーを含めてエネルギー保存を考えればよいのではないでしょうか?

  投稿者:EMAN - 2008/12/03(Wed) 12:28  No.6021 
> すみません、この部分だけ、EMANさんが何を問題としていらっしゃるのか、まだ理解できていません。

 お待たせしました。 考えることが3つも4つも増えてしまっていたので、取り敢えず他を切り離して、統計力学の記事を完成させることに集中していたのです。 記事は今できました。

 私の漠然と持っている疑問は、こういうことです。 とりあえず棒と玉の衝突を質点に分けて、重心方向と回転方向に分ければいいことは分かった。 ・・・けれども、パソコン上でシミュレーションするためにはどんな計算をしたらいいだろう? 「質量 M で慣性モーメント I の棒」と、「質量 m の玉」という理想化されたパラメータのみがあって、これらの物体が衝突した結果、玉と棒の重心速度と棒の角速度を求めるにはどうしたら良いだろうか?

 玉と玉の場合は、玉が回転を起こさないとか、仮想壁を考えるとかいった人為的な仮定を導入して解決することができた。 しかし棒の回転を考慮に入れた場合はどうだろう? 何らかの納得の行く簡単な仮定を入れればうまく行くだろうか? その場合、エネルギー保存はどうなるだろう?

 前に弾性衝突という表現を使ったのはちょっと言葉が悪かった。 要するに、パソコンのシミュレーション画面上で物体が動き続けるようにできるのか、それともエネルギーが棒の振動などに変わってしまって最終的には動きが止まってしまうのが宿命なのか。

 そういう問題について、これから考えたいなぁ、と思いながらも、手を付けられないでいます。

  投稿者:hirota - 2008/12/03(Wed) 16:37  No.6024 
内部振動や熱などの損失がないなら、エネルギー保存だけで計算できる。
簡単のため2次元で説明すると、物体 1, 2 の質量を  $m_1,m_2$ 、重心位置を  $x_1,x_2$  (2次元ベクトル)、重心速度を  $v_1,v_2$ 、慣性能率を  $I_1,I_2$ 、角速度を  $\omega_1,\omega_2$  とすると、運動量は  $p_i=m_i v_i$  , 角運動量は  $L_i=I_i\omega_i$  であり、運動エネルギーは  $E=m_1 v_1^2/2+I_1\omega_1^2/2+m_2 v_2^2/2+I_2\omega_2^2/2$  となる。
そして、衝突の接触点位置を  $x_c$ 、衝突の瞬間に物体 1 から物体 2 へ移動した運動量を  $\bigtriangleup p$  とすれば、衝突による物体 1, 2 の運動量変化は  $p_1'=p_1-\bigtriangleup p$  および  $p_2'=p_2+\bigtriangleup p$  、角運動量変化は  $L_1'=L_1-(x_c-x_1)\times\bigtriangleup p$  および  $L_2'=L_2+(x_c-x_2)\times\bigtriangleup p$  となり、衝突後のエネルギーは<tex>E'=m_1 |v_1-\bigtriangleup p/m_1|^2/2+I_1(\omega_1-(x_c-x_1)\times\bigtriangleup p/I_1)^2/2+m_2 |v_2+\bigtriangleup p/m_2|^2/2+I_2(\omega_2+(x_c-x_2)\times\bigtriangleup p/I_2)^2/2</tex>
となる。
接触点の様子から  $\bigtriangleup p$  の方向が分かれば、衝突後のエネルギー式は  $|\bigtriangleup p|$  に対する二次方程式となって根は2つあり、自明な根  $\bigtriangleup p=0$  を除けば解が求まる(かも)。

  投稿者:yuya - 2008/12/03(Wed) 17:06  No.6025 
EMANさん、お忙しいのにありがとうございます。
[6021]
>私の漠然と持っている疑問は、こういうことです。

おっしゃっていることの意味はしっかり読み取れました。

衝突後の運動を考える際、「未知数の個数だけ保存則等の条件を用意する」という観点は
私にとってはむしろ「高度」で、私はもっと原始的に
「衝突によってどんな力積を及ぼしあうか(力の作用点の位置も含めて)
決まればよいのではないか」と考えました。

力積には「向き」と「大きさ」がありますが、「向き」に関しては、
たとえば「接触面に垂直に」という仮定は妥当だろうし、
それこそ摩擦係数を与えれば接触面との角度が定まるので、
これで決定できると思いました[6016]。

ただ、力積の「大きさ」に関しては接触面の形や摩擦係数だけでは分からないので、
これだと条件が足りないのかなぁ、どうなのかなぁ、と考えていました。

hirotaさんが書いてくださった[6024]を見ると(私はまだ完全には吟味できていませんが)、

>接触点の様子から  $\bigtriangleup p$  の方向が分かれば、

とのことで、力積の大きさが分からなくても衝突後の運動が決定できる、ということになりますでしょうか。

  投稿者:EMAN - 2008/12/03(Wed) 17:34  No.6026 
> hirota さん、

 その方法で計算できそうですね。
 面白そうなので久々にプログラムしてみるか。

 でも、条件足りてないのに、どうして決定できるんだろ?
 運動量保存2つ、角運動量保存1つ、エネルギー保存1つ。合計4つ。
 未知数は、運動量4つ。回転2つ。

 運動量の方向を決めることが足りない2つ分の条件を補ってるのかな?

  投稿者:大学生A - 2008/12/04(Thu) 07:39  No.6037 
>接触点の様子からΔpの方向が分かれば、・・・

つまり、この時点で重心の運動量が変化する方向成分は、
Δpの方向に対して平行な方向成分に限定されるから、実質
的に、運動量の未知数は2つってことかな?

  投稿者:EMAN - 2008/12/04(Thu) 09:52  No.6042 
 人為的な仮定が二つ入ってますね。(多分・・・)

 一つは、力積の方向を物体の形状から(それらしい理由はあるけれど)勝手に決めているということ。

 もう一つは、「2物体のそれぞれの重心を結んだ方向」の力積成分がそれぞれの重心を動かし、「それに垂直な成分」はそれぞれの物体を回転させるということ。

 2番目は真実かと思い込んでいましたが・・・。
 運動量保存則は、2物体の重心を、それぞれの重心を結んだ方向以外に運動させることを禁止してはいない。 それによって角運動量が生じてしまうけれども、それぞれの物体の自転の変化が、その変化量を打ち消していれば問題ないわけですから。

 しかし2番目の仮定にも理があるように思える。 2物体に分けて、激力で考えてる限りはこうなるってことなんかな?

  投稿者:hirota - 2008/12/04(Thu) 09:54  No.6043 
初期条件から得られるのは Δp の方向だけでなく接触点位置もです。
ただし、使われるのは Δp 垂直成分だけですが。(モーメントアーム長)
そういうわけで、未知数6に対して4(保存則)+2(初期条件から)で数が合います。

力の方向は、摩擦なしなら接触面に垂直ですが、摩擦のある場合は良く考えてません。(摩擦係数から角度が決まるんかな〜?)
2番目の方は基本に戻って証明できます。(一応、計算して確認してから使ったんだけど、一見もっともらしい事だし面倒なので省略しちゃった。疑問を持ったのはさすがです)

  投稿者:EMAN - 2008/12/04(Thu) 11:05  No.6044 
> 初期条件から得られるのは Δp の方向だけでなく接触点位置もです。

 接触点位置が初期条件に数えられる! そうか・・・。
 物体の初期速度なんかと同じようなものだと考えてしまってました。

> 2番目の方は基本に戻って証明できます。

 確からしいことは分かるのですけど、許されてることがなぜ起きない、という点ではまだ腑に落ちません。

 ・・・ああそうか、一点での激力にこだわらなければ、特殊な仕組みを作れば可能か・・・。 相手との速度差や回転差を利用して、相手を丸ごと横向きに放り投げる装置とかを使って。 言ってること合ってるかな?

  投稿者:大学生A - 2008/12/04(Thu) 12:29  No.6046 
 $p_1'=p_1-\bigtriangleup p$ 
 $p_2'=p_2+\bigtriangleup p$ 
 $L_1'=L_1-(x_c-x_1)\times\bigtriangleup p$ 
 $L_2'=L_2+(x_c-x_2)\times\bigtriangleup p$ 
 $E=m_1 v_1^2/2+I_1\omega_1^2/2+m_2 v_2^2/2+I_2\omega_2^2/2=m_1 |v_1-\bigtriangleup p/m_1|^2/2+I_1(\omega_1-(x_c-x_1)\times\bigtriangleup p/I_1)^2/2+m_2 |v_2+\bigtriangleup p/m_2|^2/2+I_2(\omega_2+(x_c-x_2)\times\bigtriangleup p/I_2)^2/2(=E')$ 

そうか。
未知数8つで式7つってことかな?
だから、 $\Delta p$ の方向が分かれば、未知数がひとつ減って7つになり、
解けそうだと。

  投稿者:yuya - 2008/12/04(Thu) 13:19  No.6047 
EMANさん[6042]:
>もう一つは、「2物体のそれぞれの重心を結んだ方向」の力積成分がそれぞれの重心を動かし、「それに垂直
>な成分」はそれぞれの物体を回転させるということ。

2物体の重心を $G_1$ 、 $G_2$ 、衝突時の接点を $C$ とします。
 $C$ は必ずしも線分 $G_1G_2$ 上に来るとは限らないですよね、幾何学的に。
物体1の受ける力積( $-\Delta p$ )については、その $CG_1$ 方向の成分が、
物体2については $\Delta p$ の $CG_2$ 方向の成分が、それぞれ重心の運動に関与するのではないでしょうか?
一般には $CG_1$ 、 $CG_2$ の方向は $G_1G_2$ の方向と異なりますから、

>運動量保存則は、2物体の重心を、それぞれの重心を結んだ方向以外に運動させることを禁止してはいない。

ことと矛盾しないと思います。
そして、これは1点での撃力に限定しなくても成り立つのではないでしょうか。

  投稿者:EMAN - 2008/12/04(Thu) 13:33  No.6048 
> ことと矛盾しないと思います。
> そして、これは1点での撃力に限定しなくても成り立つのではないでしょうか。

 ああ! ほんとだ。 目が塞がってました。
 棒の動きの方にばかり気が行ってて、小さな玉と細長い直方体ばかりイメージしてたせいかも知れません。

 ありがとうございます。 私としては全てすっきり解決です。

 摩擦がある場合にΔpの角度を決定できるかという話が残ってそうですが、これはゴマカシが利くからなぁ。

  投稿者:yuya - 2008/12/05(Fri) 13:57  No.6051 
EMANさん[6044]
>接触点位置が初期条件に数えられる! そうか・・・。
> 物体の初期速度なんかと同じようなものだと考えてしまってました。

うーむ、どう違うのだろう。

例えば質点の場合、運動方程式から、
質点の初期運動量と質点にかかる力のタイムテーブル $\vec{F}(t)$ とが与えられれば、
原理的に未来永劫の質点の運動が完全に決定されますよね。

それと同様に、剛体が衝突して撃力を及ぼしあう場合は、
衝突前の初期条件(各重心位置、各運動量、接触位置)とともに、
やり取りした運動量( $\Delta \vec{p}$ )さえ与えられれば、衝突後の運動は個々の物体のレベルで決定されます。

つまり、未知数は $\Delta \vec{p}$ だけだと考えれば、これを求めることに専念すればよく、
知りたい衝突後の情報はすべて、 $\Delta \vec{p}$ の関数として
(1) $\vec{p'_1} = \vec{p_1} - \Delta \vec{p}$ 
(2) $\vec{p'_2} = \vec{p_2} + \Delta \vec{p}$ 
(3) $\vec{L'_1} = \vec{L_1} - (\vec{x_c} - \vec{x_1}) \times \Delta \vec{p}$ 
(4) $\vec{L'_2} = \vec{L_2} + (\vec{x_c} - \vec{x_2}) \times \Delta \vec{p}$ 
というふうに求まります(大学生Aさん[6046]と同じものです)。

ここでは $\Delta \vec{p}$ の束縛条件として、
「2次元平面内で」「接触面に垂直に」「エネルギー保存を満たすような大きさで」
という指定を与えることで、実際に $\Delta \vec{p}$ が定まります。

上記(1)〜(4)において、接触位置 $\vec{x_c}$ は、初速(というか運動量ですが) $\vec{p_1}$ ・ $\vec{p_2}$ などと同様の初期条件と考えてよいと
私は思うのですが、何か質的な違いがありますでしょうか?

EMANさん[6026]の

>でも、条件足りてないのに、どうして決定できるんだろ?
 
に対する答えは、私は以下のように考えます。

運動量保存則は(1)+(2)によって得られる必要条件ですし、角運動量保存則にしても同様です。
保存則にまとめてしまった時点で、
「内部で実際にどれだけのやりとりがあったか」という情報が捨てられてしまうので、
一般には系内の個々の部品の運動までは決定できなくて当然で、
上記のように物体ごとの方程式に踏み込んで初めて決定できるのではないでしょうか。

にも関わらず、質点の衝突を考えたときには、なぜか運動量保存則(とエネルギー保存則)だけで事足りてしまいましたよね。
これは、「 $\Delta \vec{p}$ の実際の値は要らないや」ということで未知数をひとつ諦める代わりに
方程式を一本だけ捨ててしまうことができたからだと思います。
剛体の衝突で運動量保存則と角運動量保存則を用いて考えるのは、
「要らない未知数は $\Delta \vec{p}$ ひとつだけなのに、方程式(ベクトル方程式)を2本捨てようとしている」ことに
該当するのではないでしょうか。

  投稿者:EMAN - 2008/12/05(Fri) 14:57  No.6053 
> うーむ、どう違うのだろう。

 運動量保存も、角運動量保存も、衝突前の運動のパラメータと衝突後のパラメータの間の関係を規定するものです。 Δp は元々のパラメータには含まれていません。

 Δp というのは計算しやすくするために導入された未知数で、未知数を増やした代わりに式の数が増えますから、問題はそのままです。

 衝突点の位置というのも、それぞれの保存則にとっては興味のないものです。 物理の基本法則は、物体がどこでぶつかるかは制限していないのです。 にもかかわらず、衝突点の位置というのは、その後の運動の様子を規定するためには重要な要素です。 法則はその自由度を許しているのに、人為的に決定してやらないといけない。

 Δp というのは2次元のベクトルで、2成分ありますから、方向を決めて 1 成分が決まればもう一方も決まるというので、方向の決定は自由度を一つ下げるのに役立ちます。

 要するに、元々は衝突前のパラメータをどれだけ変更したら良いかというだけの問題だったものに対して、自然界の法則は二つ分の自由度を許していて、Δp の導入によっても自由度は変わらず、しかし自然法則が決定することのなかった重要な要素である Δp の方向と衝突点とを人為的に決めることで、この問題は解決する、というわけです。

  投稿者:大学生A - 2008/12/05(Fri) 15:01  No.6054 
>大学生Aさん[6046]と同じものです

いえいえ、hirotaさん[6024]の導出式です。(^^;)

  投稿者:yuya - 2008/12/05(Fri) 16:42  No.6055 
大学生Aさん[6054]:
>いえいえ、hirotaさん[6024]の導出式です。(^^;)

了解しました(^^)
hirotaさん、失礼いたしました。

EMANさん、どうもありがとうございました。

私は「運動方程式こそが全てを決めるのであって、
運動量保存則や角運動量保存則はそこから導き出された『便利な定理』に過ぎない」
と考えていました。

しかし、運動方程式は「【もし】こういう力を受けると、こういう加速度が生じる」と言っているだけで、
肝心の「どういう局面でどういう力が働くか」に関しては何も言っていないのですね。
(万有引力の逆2乗則はとりあえず置いて)唯一、力について規定している作用・反作用の法則を加味することで、
運動量保存則・角運動量保存則が導かれ、実効的に運動を規定することになりますが、
もともとの運動方程式が有していた「どんな力が生じるか」という自由度は
消えた訳ではなく影に隠れただけであり、運動を決定するためには人為的な仮定を置く必要があるわけですね。

もともと「うーむ、どう違うのだろう。」という疑問を抱いたとき、
「物体がどこで衝突するかなんて、同一の(あるいは極めて近接した)位置を共有したところに決まっているし、
物理以前に数学的に決まっているじゃないか」と思っていたのですが、
「位置を共有したときに、そこを作用点として力を及ぼしあう」ということ自体、
「そんなことは基本法則のどこにも書いてない」、ということになるわけですね。[6053]の

>物理の基本法則は、物体がどこでぶつかるかは制限していないのです。

というご説明は、そういう意味だと理解してよろしいでしょうか。
誤解がありましたらご指摘ください。

  投稿者:FNBO - 2008/12/10(Wed) 11:42  No.6084 
No.6014 のEMANさんのコメントにつきまして>双方とも上方へ移動しながら回転するわけですが、本当にそうなるかなぁ、と感じてしまう。と疑念を持っていらっしゃるのですが、私も疑念を持ち、別の結果になるという内容を長々と書いたのですが、早とちりしないよう内容の確認するため前画面に戻りましたら全て消えてしまいました。昼飯でも食いますかな。

  投稿者:FNBO - 2008/12/10(Wed) 11:23  No.6085 
この丸太衝突の問題について最終的にどのようにご納得されたのか私は計算が苦手で何を表しているものか理解できないのですが・・読んでまして
No.6014 > 図1では、片方の質点が弾性衝突して速度を相手に移してます。 その後、どういう挙動をするかというと、ちょっと分かりにくい。 片方の質点が静止していて、それを引っ張るようにもう一つの質点が移動するけど、ペアの質点が静止していることに気付いているわけではないから・・・。
 結果から言えば、衝突前から図の上向きの運動量があるので、双方とも上方へ移動しながら回転するわけですが、本当にそうなるかなぁ、と感じてしまう
につきまして双方とも質量が同じで慣性運動しているならば、EMANさんに疑念がありますように>片方の質点が静止していて・>衝突前から図の上向きの運動量があるので・・
という文章は?です。この条件なら衝突点から丸太は上側と下側へ運動するのだと思います。

  投稿者:EMAN - 2008/12/10(Wed) 12:09  No.6086 
 FNBOさん、消えてしまった投稿ってのはこれ、No.6085 ですか?

 投稿失敗した時に、時々スパムフィルターに引っかかって記録されるので、
探してみたらそれらしいのが見つかりました。
 一応、こちらで再投稿処理しておきました。

  投稿者:FNBO - 2008/12/10(Wed) 12:18  No.6087 
昼飯食い終わりました。コンピータの仕組みはよくわからんのでそんなこと出来るのですね。あ、ありがとうございました。

  投稿者:yuya - 2008/12/10(Wed) 18:11  No.6089 
FNBOさん、初めまして。

EMANさん[6014]:
>結果から言えば、衝突前から図の上向きの運動量があるので、双方とも上方へ移動しな
>がら回転するわけですが、本当にそうなるかなぁ、と感じてしまう。

私も実はこの部分をきちんと読解できていなかったです。

「双方」というのが、「2つの丸太の双方」という意味なのか、
「1つの丸太の中での、両端の質点の双方」という意味なのか、
という点において誤解を生じているおそれは無いでしょうか?

[6085]には、(EMANさんの投稿の引用部も含めて)いくつか「双方」という語が出てきますが、
FNBOさんがどちらの意味で捉えていらっしゃるか、お手数ですが教えていただけませんか。

  投稿者:FNBO - 2008/12/10(Wed) 18:45  No.6090 
yuyaさんはじめまして、私は荒く考察や解釈するクセがあるので何か誤解していたらこれからもどんどんご指摘お願いいたします。
えーと、EMANさんの図を見て、「2つの丸太の双方」と意味で解釈しました。

  投稿者:yuya - 2008/12/10(Wed) 19:11  No.6091 
FNBOさん[6090]:
>えーと、EMANさんの図を見て、「2つの丸太の双方」と意味で解釈しました。

ということは、

FNBOさん[6805]:
>につきまして双方とも質量が同じで慣性運動しているならば、

の「双方」も、「2つの丸太の双方」という意味ですね。
EMANさんの言及部分は、初め上の丸太が静止していて、
下の丸太だけが上向きに動いてぶつかって来た場合の話ですが、
その点についてもOKでしょうか?

ちなみに、その前の

EMANさん[6014]:
>片方の質点が静止していて、それを引っ張るようにもう一つの質点が移動するけど、
>ペアの質点が静止していることに気付いているわけではないから・・・。

における「片方の質点」「もう一つの質点」は、下から動いて来た丸太の中での、
(衝突後の)右端の質点と左端の質点の話です(……よね?)

どこがネックになっているか分からないので、いろいろ試していますが、
理解の助けになりますでしょうか。
私も誤読している可能性もあるし(^^;)

  投稿者:FNBO - 2008/12/10(Wed) 19:47  No.6092 
私も少し混乱してまいりました。ネックになりましたのは、
双方の丸太とも質量が同じで慣性運動しているという条件ならばですが、どちらが静止しているとか、どちらの丸太が一方的に向かってきたという内容が前提として矛盾があるのではないかと思っていた訳です。

  投稿者:大学生A - 2008/12/10(Wed) 20:00  No.6093 
なるほど。ならば、系の重心を基準にした座標系で考えたらスッキリしそうですね。
そうすれば、二つの物体間の相対速度だけを吟味すれば良さそうなので・・・。

  投稿者:yuya - 2008/12/10(Wed) 20:32  No.6094 
ああ、なるほど。

宇宙空間に丸太が2つあって、両者が接近しているという構図において、
どちらが動いてどちらが止まっているかというのは、確かに意味がありません。
そういう意味では、

EMANさん[6014]:
>結果から言えば、衝突前から図の上向きの運動量があるので、双方とも上方へ移動しながら回転するわけですが、

というのは、「上の丸太(衝突前)が静止して見えるような慣性系」から見た場合の話であって、
慣性系が異なれば丸太の運動の向きが異なって見えてもおかしくありませんね。

全く同等な2つの丸太が接近する場合、両者の「真ん中」で待ち構えていれば
そこで衝突するに決まっていますから、その点(系の重心)で観察すれば、
(FNBOさんのおっしゃるように)
2つの丸太の衝突部は跳ね返って上下に遠ざかっていくと思います。


  投稿者:FNBO - 2008/12/10(Wed) 21:00  No.6096 
両者の「真ん中」はもちろん、「上の丸太(衝突前)が静止して見えるような慣性系」でも上下に遠ざかっていくと思います。細かい事書いてすいません・・・

  投稿者:FNBO - 2008/12/10(Wed) 21:26  No.6097 
すいません間違えました訂正いたします。、「上の丸太(衝突前)が静止して見えるような慣性系」では下からやってきた丸太がとまって静止していた丸太だけが上に行くのでした

  投稿者:lele - 2008/12/10(Wed) 22:47  No.6098 
FNBOさん 
衝突した側(下から上がってきた側)の丸太が、衝突後に「止まって」というのは、これまで、幾つか議論されていた中で得られた共通の認識なのでしょうか。。
それとも、まだ、結論らしいものは明確になっていなくて、貴殿の推測なのでしょうか。
(理解力が足らなくて、説明しておられるお話が飲み込めていません。。)

私は、衝突後、衝突した側の丸太は、回転を始めながら、丸太の重心は、上方向に、移動を行う。(衝突された側の丸太も同じ方向に回転しながら、前記丸太よりも、速い速度で上方向に重心移動を行う、、と思っていました。)
勿論、観測者の視点は、最初静止している(衝突される)丸太と同じです。

  投稿者:heavy moon - 2008/12/11(Thu) 06:42  No.6103 
途中参加なので、ポイントを外しているかもしれませんが・・・。
とにかく、まず、剛体の一点に撃力が加えられた場合を考えるべきではないでしょうか?

原島鮮「力学1」p200に〔例題〕があります。一般的には剛体はある一点(これを「衝撃の中心」と言う)を中心に回転し始めることになります。
このことをEMANさんの図1の、はじめ止まっていた丸太に当てはめると、衝撃の中心は右端になります。
止まっていた丸太の左端が速度Vを得たとすると、重心の速度はV/2、重心まわりの角速度(の大きさ)はV/rとなりますが(重心から端までの距離をrとした)、丸太の運動量、重心まわりの角運動量は保存しますから、この二つの量は衝突後一定です。
動いていた丸太については、完全弾性衝突だとすると衝突前の速度はVのはずですから、速度Vの座標系で考えれば明らかなように、衝突後の重心の速度はV/2、角速度は同じV/rとなります。

ベクトルの表現がいい加減ですが、適当に補正してお読みください。〔例題〕はこちらに載せておきます。

http://www.geocities.jp/tokyomarlin/harashima.jpg


  投稿者:FNBO - 2008/12/11(Thu) 08:06  No.6104 
No.6098 leleさんへの返信
>幾つか議論されていた中で得られた共通の認識なのでしょうか
いえ私が改めて考察し直した推測です。つまり私が始めに上下に移動すると指摘した事が誤りである事に気付き訂正しました。その思考の過程は、まず丸太の衝突を対称の現象とみる観測者の視点では、yuyaさんもご納得されたように
衝突後は上下に同じ速度で離れていきます。現象は対象的なので丸太の回転は無視しています。この現象を別の系の観測者から見ることを考えます。
{衝突を対称の現象とみる観測者}と{上の丸太(衝突前)が静止して見えるような観測者}の中間に位置する系の観測者は、丸太衝突後、下からやってきた丸太が遅く下側へ、上からやってきた丸太が速く上側へ離れて行くように見えると考えられます。よって上の丸太(衝突前)が静止して見えるような観測者は
先に述べたような結果になるような気がしました。

  投稿者:大学生A - 2008/12/11(Thu) 09:58  No.6105 
おお!なるほど。
heavy moonさんのNo.6103の内容から計算すると、
EMANさんモデルの衝突では、解が一意に決まりそうですね。
系の重心を観測点に取れば、撃力が丸太の軸に対し垂直に
働く場合、両方の丸太は共に並進運動エネルギーがすべて
回転エネルギーに変換されそう。
すると、非弾性衝突ならば、衝突後はすれ違うってことかな?

  投稿者:yuya - 2008/12/11(Thu) 10:33  No.6107 
leleさん[6098]:
>衝突した側(下から上がってきた側)の丸太が、衝突後に「止まって」というのは、
(略)
>衝突後、衝突した側の丸太は、回転を始めながら、丸太の重心は、上方向に、移動を行う。

この2つは矛盾しておらず、ともに正しいと思います。
下の丸太の右端が、上の丸太の左端に弾性衝突して「止まる」というのは、
衝突の直後の一瞬だけのことで、しかも右端だけに着目したときの話です。
そのすぐ後から、慣性で走り続けようとするパートナー(下の丸太の左端)に引きずられて、
leleさんのおっしゃるような運動が始まると思います。

上の丸太(衝突前)が静止した系において、衝突前の各丸太の両端(計4つ)の速度は、
下の左端: $v$ 、下の右端 $v$ 、上の左端 $0$ 、上の右端 $0$ 
ですが、これが弾性衝突により、内側の2つが入れ替わって
下の左端: $v$ 、下の右端 $0$ 、上の左端 $v$ 、上の右端 $0$ 
となります。つまり、
衝突後、双方の丸太は全く等価な初期条件(左端 $v$ 、右端 $0$ )を与えられた
と考えてよいですよね。なので、

[6098]:
>衝突された側の丸太も同じ方向に回転しながら、前記丸太よりも、速い速度で上方向に重心移動を行う

というところは当たっていないのではないでしょうか。

heavy moonさん、とても適切な例題を示してくださってありがとうございます。
おかげで頭がスッキリしてきました。

[6103]:
>一般的には剛体はある一点(これを「衝撃の中心」と言う)を中心に回転し始めることになります。
>このことをEMANさんの図1の、はじめ止まっていた丸太に当てはめると、衝撃の中心は右端になります。

初め、これを「右端のもとの位置を固定中心としてずっと回り続ける」という意味にとってしまいましたが、
右端自体も重心移動に伴って動くのですね。

[6047]で、

>2物体の重心を  $G_1$  、  $G_2$  、衝突時の接点を  $C$  とします。
>物体1の受ける力積(  $-\Delta p$  )については、その  $CG_1$  方向の成分が、
>物体2については  $\Delta p$  の  $CG_2$  方向の成分が、それぞれ重心の運動に関与する

と書いたのですが、訂正しないといけないのかな。
「受ける力積のうち、重心方向の成分が重心運動に、その垂直方向の成分が回転に寄与する」
のではなくて、
「受ける力積の【全体が】重心運動に寄与し、そのうち重心方向に垂直な成分が回転【にも】寄与する」
ということになるのでしょうか。

どんどん自信が無くなってきたので、どなたか、これでよいかどうか教えてください(^^;)

  投稿者:heavy moon - 2008/12/11(Thu) 14:11  No.6108 
大学生Aさん、どうも。

>すると、非弾性衝突ならば、衝突後はすれ違うってことかな?

そうですねえ。ただ「進行方向の速さ」的には(つまり、真横で見ていると)、後ろからぶつかって行った方が追い越すような気がするんですが・・・?

yuyaさん、どうも。

>丸太に乗って見れば、常に右端を中心に回転しているのでしょうか?

丸太の重心は並進運動ですから、それを中心に回転していると考えるべきではないでしょうか? 「衝撃の中心」というのは、あくまでも撃力が加えられた瞬間だけの概念でしょう。

>「受ける力積の【全体が】重心運動に寄与し、そのうち重心方向に垂直な成分が回転【にも】寄与する」
ということになるのでしょうか。

その通りだと思います。垂直成分は回転にも、重心のその方向の運動にも寄与します。言い換えれば、この場合、重心を動かさずに回転させることはできません。
質点系の運動方程式をそのまま適用すればいいんですよ。『力学1』に、

「質点系の重心の運動は、この点に全質量が集まり、また全外力がこれに集中して作用すると考えるときの運動に等しい。 内力は無関係である」

とあります。剛体を剛体たらしめているのは内力ですから、無関係ということになります。また、「重心まわりの角運動量の変化は、重心まわりの外力のモーメントの等しい」ということも『力学1』10.4に証明があります。

  投稿者:FNBO - 2008/12/11(Thu) 20:27  No.6109 
返事おくれてすみません今帰宅しました。今朝のコメントの後電車のなかで、丸太衝突後回転させてみたら、ほんとにyuyaさんleleさんEMANさんのおっしゃられる結果になったと思いました。とりあえずこれからみなさんのコメント拝見させていただきます

  投稿者:lele - 2008/12/11(Thu) 21:51  No.6110 
6098で、書いた私の予想の
(衝突された側の丸太も同じ方向に回転しながら、前記丸太よりも、速い速度で上方向に重心移動を行う、、と思っていました。)
というのは、思い違いでした。衝突した方も、されたほうも上に重心移動するけど、そのスピードは、衝突した側の方が速い、と思います。
私なりの理屈を上手く整理して書こうとしたのですが、どうもまだ、手に負えない部分が残ってる感じがします。

  投稿者:yuya - 2008/12/11(Thu) 21:58  No.6111 
heavy moonさん[6108]:
>>「受ける力積の【全体が】重心運動に寄与し、そのうち重心方向に垂直な成分が回転【にも】寄与する」
>ということになるのでしょうか。
>
>その通りだと思います。垂直成分は回転にも、重心のその方向の運動にも寄与します。

ご教示ありがとうございます。安心しました。

>言い換えれば、この場合、重心を動かさずに回転させることはできません。

こういうことを起こしたければ、外力のベクトル和をゼロにする必要があり、
いわゆる偶力(couple)を加えないといけないわけですね。

>>丸太に乗って見れば、常に右端を中心に回転しているのでしょうか?
>
>丸太の重心は並進運動ですから、それを中心に回転していると考えるべきではないでしょうか? 「衝撃の
>中心」というのは、あくまでも撃力が加えられた瞬間だけの概念でしょう。

ちょっと深みにハマり込んでしまったので、再度ご教示願いたいのですが……。
丸太の衝突に限らず、一般的な剛体の「回転」というものについて、よく分からなくなってきました。

剛体の各部は、「互いの距離を変えない」という制約を満たしつつ、相対運動していますよね。
このとき、「剛体中のどの点を中心に据えようとも、一般にはその中心自体が運動しつつ、
剛体はその任意の「中心」の周りを、何らかの角速度を持って回転している」
と考えることが可能だと思うのです。
この「中心」としてたまたま重心を採用すれば、並進運動に関する記述を同時に行なうことができて便利ですが、
回転そのものを考える限りにおいては、重心はなんら特別なものではないように感じます。
私は前回の投稿後にこのように考えたため、
「丸太に乗って見れば、常に右端を中心に回転しているのでしょうか?」という質問は
意味をなしていないと考え、削除していたのでした。

しかし、例えば
http://www12.plala.or.jp/ksp/mechanics/rigidBody/
などを読んで勉強していると、

>剛体が何も拘束を受けておらず, 自由に運動できるとき,剛体は重心回りに運動します.

>つまり 自由な回転運動では,回転軸が重心を通る ということです.

といった記述があり、「やはり重心は何か特別なものなのだろうか」とも感じます。

正しくはどう理解すればよいのでしょうか?

  投稿者:FNBO - 2008/12/11(Thu) 21:59  No.6112 
leleさんが私に対して返信されているのかわからないですけれど、私の前のコメントは「衝突した方も、されたほうも上に重心移動するけど」について同意見ですということです。それ以外はまだ考察していません。これからはじっくり考えてから投稿しようと思います。

  投稿者:FNBO - 2008/12/11(Thu) 23:13  No.6113 
論点それていたら無視して下さい。ちょうど、丸太の重心と丸太の端で衝突させたら同じ速度で上側へ行くと思うのですが「消しゴム」、このとき衝突後の2つの丸太の距離は開いていくのでしょうか?180度位回転して再衝突したりするのでしょうか?

  投稿者:heavy moon - 2008/12/12(Fri) 06:00  No.6115 
yuyaさん[6111]:
>正しくはどう理解すればよいのでしょうか?

物理に通じているわけではないので、答えが的確ではないかもしれません。ご承知おきください。

>剛体はその任意の「中心」の周りを、何らかの角速度を持って回転している」と考えることが可能だと思うのです。

確かに、相対運動としては、ある点が重心のまわりを回れば、(その点に固定され、軸が慣性系に平行な座標系で見れば)重心はその点のまわりを逆回転しますが・・・。前回引用した、

「質点系の重心の運動は、この点に全質量が集まり、また全外力がこれに集中して作用すると考えるときの運動に等しい。 内力は無関係である」

に続いて、これを孤立系にあてはめた以下の記述があります。

「孤立系の重心は、はじめ慣性系に対して運動していれば、いつまでもその速度で等速直線運動を行ない、はじめ静止していれば、いつまでも静止する」

したがって、孤立系を慣性系でながめた場合、「重心以外の1点が並進運動し、重心がそのまわりを回る」ということはあり得ません。
言い換えれば、例えば、剛体を重心を通らない軸のまわりに回転させようとすると、軸に力を加えなければならないということですね。二次元だと向心力。三次元だと複雑になるので、EMANさんに丸投げしたいと思います。

http://homepage2.nifty.com/eman/dynamics/mom_tensor.html


  投稿者:hirota - 2008/12/12(Fri) 14:46  No.6118 
http://homepage2.nifty.com/eman/img/maruta.jpg
の図1の状況を一様な棒で計算してみました。(No.6024 の式を使用)
棒1, 棒2とも長さ D, 質量 m で慣性能率は  $I=\frac{m D^2}{12}$  です。
そして、位置 (-D,y)〜(0,y) にある棒1 (最初は y < 0 ) が速度  $v_1=(0,v)$  で位置 (0,0)〜(D,0) にある棒2に衝突する場合を考えると、衝突時の棒1の重心は  $x_1=(-\frac{D}{2},0)$ , 棒2の重心は  $x_2=(\frac{D}{2},0)$ , 衝突点は  $x_c=(0,0)$ , 衝突前の運動量は  $p_1=m v_1=m v(0,1)$ , 運動エネルギーは  $E=\frac{m v_1^2}{2}=\frac{m v^2}{2}$  となっていて、棒1から棒2へ移動した運動量を  $\Delta p=|\Delta p|(0,1)$  として、衝突後の運動エネルギー
<tex>E'=\frac{m}{2}(v-\frac{|\Delta p|}{m})^2+\frac{m D^2}{24}(\frac{6|\Delta p|}{m D})^2+\frac{m}{2}(\frac{|\Delta p|}{m})^2+\frac{m D^2}{24}(\frac{6|\Delta p|}{m D})^2=\frac{m v^2}{2}-v|\Delta p|+\frac{4|\Delta p|^2}{m}</tex>
を衝突前と等しいとすれば、 $|\Delta p|=\frac{m v}{4}$  が得られ、衝突後の運動量  $p'_1=\frac{3}{4}m v(0,1),p'_2=\frac{1}{4}m v(0,1)$ , 速度  $v'_1=\frac{3}{4}v(0,1),v'_2=\frac{1}{4}v(0,1)$ , 角運動量  $L'_1=L'_2=-\frac{m v D}{8}$ , 角速度  $\omega_1'=\omega_2'=-\frac{3v}{2D}$ , 運動エネルギー  $E'=\frac{m v_1'^2}{2}+\frac{I\omega_1'^2}{2}+\frac{m v_2'^2}{2}+\frac{I\omega_2'^2}{2}=\frac{9m v^2}{32}+\frac{3m v^2}{32}+\frac{m v^2}{32}+\frac{3m v^2}{32}=\frac{m v^2}{2}$  が求まり、衝突直後の棒1右端速度は  $|v'_1|+\frac{D}{2}\omega_1'=0$ , 棒2左端速度は  $|v'_2|-\frac{D}{2}\omega_2'=v$  となる。
衝突直後の衝突点速度が、当たった方が止まって、当てられた方が v で動き出すってのは質点の完全弾性衝突と同じだけど、一般的なのかな〜?(数式いじれば出ると思うけど、読者の余地を残すってことで・・)
なお、一様な棒じゃなく両端に質点があるモデルだと慣性能率は  $I=\frac{m D^2}{4}$  なので、衝突後は運動量  $p'_1=p'_2=\frac{m v}{2}(0,1)$ , 速度  $v'_1=v'_2=\frac{v}{2}(0,1)$ , 角運動量  $L'_1=L'_2=-\frac{m v D}{4}$ , 角速度  $\omega_1'=\omega_2'=-\frac{v}{D}$  となって、端点の質点だけが衝突して後は引きずられると言う計算と同じ結果になります。

  投稿者:hirota - 2008/12/12(Fri) 15:23  No.6119 
前のを書いた後で気が付いたけど、両端に質点があるモデルを
http://homepage2.nifty.com/eman/img/maruta.jpg
の図2の視点で見ると、重心運動は停止してしまいますから、今度は反対側の端が衝突して、回転が止まって衝突前と同じ速度で動き出してしまいます。
これは実物でやると面白いんじゃないでしょうか?(子供に見せるとウケそう)

  投稿者:大学生A - 2008/12/12(Fri) 17:58  No.6122 
おお!なるほど!
つまり、対向してきた歩行者二人が、片手で「ハイタッチ」を
左右一回ずつ計二回行ってから、互いに向かい合ったまま、
後ずさりしてすれ違うみたいな感じだな。w

  投稿者:FNBO - 2008/12/12(Fri) 21:05  No.6123 
重心が固定ということは、図2は丸太の重心ともうひとつの丸太の隅が衝突する位置ということでしょうか?ハイタッチ→後ずさりですが+αスライドするのかしないのか
迷っています。