EMANの物理学 過去ログ No.5937 〜

 ● 電磁気

  投稿者:humanoid1 - 2008/11/26(Wed) 11:04  No.5937 
すみません、電磁気学の問題が解けないので助けて下さい。
「問題」
電気双極子:微小区間dで並ぶ点電荷qと-qの組。これはイオン結合性分子など分子の分極を表すモデルに使われる。双曲モーメント:p=qd
dに比べて十分に遠方の点Pでの電位Φ(r)を求めなさい。
→電位は、
<tex> \varphi  \left( \vec{r} \right) =1/ \left(4 \pi  \varepsilon  _{0} \right) * \left( \vec{p}  \cdot  \vec{r} \right) /r ^{3} </tex>


次に電場を求めなさい。
→ここに疑問が生じました。
求め方をここに記しますね。
<tex> \vec{E}  \left( \vec{r} \right) =- \nabla  \varphi  \left( \vec{r} \right) </tex>
<tex> \vec{E}  \left( \vec{r} \right) =-1/ \left(4 \pi  \varepsilon  _{0} \right) * \nabla  \left( \vec{p}  \cdot  \vec{r} /r ^{3} \right) </tex>
ここで、
<tex> \vec{p} = \left(p _{x} ,p _{y} ,p _{z} \right) </tex>
<tex> \vec{r} = \left(x,y,z\right) </tex>
<tex>r= \sqrt{x ^{2} +y ^{2} +z ^{2} } </tex>
微分方程式
<tex> \left( \partial / \partial x\right) f \left(x\right) g \left(x\right) =f' \left(x\right) g \left(x\right) +f \left(x\right) g \left(x\right) </tex>
を使うと、
<tex> \left( \partial / \partial x\right)  \left( \vec{p}  \cdot  \vec{r} /r ^{3} \right) = \left( \vec{p}  \cdot  \vec{r} \right)  \left( \partial / \partial x\right)  \left(1/r ^{3} \right) + \left(1/r ^{3} \right)  \left( \partial / \partial x\right)  \left( \vec{p}  \cdot  \vec{r} \right) </tex>
   <tex>=-3 \left( \vec{p}  \cdot  \vec{r} \right) * \left(x/r ^{5} \right) +p _{x/r ^{3} } </tex>(←なぜこのような計算結果になるのか分かりません。特に第一項目)
自分は<tex>-3 \left( \vec{p}  \cdot  \vec{r} \right) * \left(x/r ^{5} \right) </tex>ではなくて、<tex>-3 \left( \vec{p}  \cdot  \vec{r} \right) * \left(x/r ^{4} \right) </tex>だと思うのですが。

ちなみにプリントでの答え(電場)は、
<tex> \vec{E}  \left( \vec{r} \right) = \left(1/ \left(4 \pi  \varepsilon  _{0} \right) \right) * \left(- \vec{p} /r ^{3} +3* \left( \left( \vec{p}  \cdot  \vec{r} \right) * \vec{r} \right) /r ^{5} \right) </tex>
と、なっています。

詳しい解説、宜しくお願いします。

  投稿者:あもん - 2008/11/26(Wed) 11:29  No.5938 
<tex>{\partial \over \partial x} \ {1 \over r^3} = {\partial \over \partial x} (x^2+y^2+z^2)^{-3/2} = -{3 \over 2} \ (x^2+y^2+z^2)^{-5/2} \cdot 2x = - {3x \over r^5}</tex>

丁寧に追ってみて下さい。すぐわかるでしょう。

  投稿者:humanoid1 - 2008/11/26(Wed) 12:12  No.5939 
あもん様のおっしゃるとおりでした<m(__)m>
自分は計算においての粗雑さを露呈する形となってしまいましたね。
お見苦しいところをお見せいたしました。

本当に有難う御座いました。

  投稿者:あもん - 2008/11/26(Wed) 12:28  No.5940 
いえいえ。ちなみに「すぐわかるでしょう」と言ったのは、「簡単だろ」という意味ではなくて、ここまで計算をフォローしている humanoid1 さんならきっとすぐにわかるでしょうね、というニュアンスです。念のため。(^^;

  投稿者:hirota - 2008/11/26(Wed) 12:34  No.5941 
全微分が扱えるなら
<tex>d r^{-3}=-3r^{-4}dr=-3r^{-4}\frac{(x,y,z)}{r}d\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}</tex>
とかね。(双曲子とか微笑区間ってウケねらい?)

∇r が単位ベクトルになることは、r のグラフが円錐で傾きが1から即わかる。
<tex>d r=(\nabla r\cdot d\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix})</tex>

  投稿者:ASA - 2008/11/26(Wed) 13:41  No.5943 
計算チェックは、次元を確認すると良いです。
微分演算だと、該当次元が下がります。
今のケースで電位はr^-2の次元なので、電場はr^-3の次元をもちます。
r*x/(r^4)だとr^-2の次元で足りないので、計算違いとすぐ判ります。

∂x(r^-3)の計算なら、∂x=(∂r/∂x)∂rで計算するのが楽です。
((∂r/∂x)=x/r)