EMANの物理学 過去ログ No.5737 〜

 ● 振動

  投稿者:KOOK - 2008/11/12(Wed) 10:51  No.5737 
度々済みません。下記の問題の解答があってるか教えてください。
(問題)<tex>m \left(d ^{2} x/dt ^{2} \right) =-kx</tex><tex> \left(k>0\right) </tex>
で運動方程式が与えられた振動を考える。
振動は位置エネルギーの極小値の近傍で行われる。上の運動方程式の場合、位置エネルギーUは<tex>U=1/2kx ^{2} +C</tex>(Cは定数)と書くことができるが、位置エネルギーがこの式でなくても、ある条件を満たせば振動は近似的に上の運動方程式で考えることができる。では、どのような振動なら上の方程式で考えることができるか、理由と共に記しなさい。

(自分の解)<tex>F \left(x\right) =a _{0} +a _{1} x+a _{2} x ^{2} + \cdots </tex>と書く。
xを十分小さくとれば、2次以上の項は無視できるので、
<tex>F \left(x\right) \kinji a _{0} +a _{1} x</tex>となる。
<tex>F \left(x\right) \kinji a _{1}  \left(x+a _{0} /a _{1} \right) </tex>
<tex>a _{1} <0</tex>であれば、<tex>x=-a _{0} /a _{1} </tex>を中心とした振動させる力になるから。


こんな感じです・・・。
う〜ん、位置エネルギーUについて全く触れない解答になってしまいました。
この問題での正答を教えて頂けませんか?宜しくお願いします。
これも調和振動子近似を用いるのですよね。

怜悧な皆様は実際にどのようにして解かれますか?








  投稿者:yuya - 2008/11/12(Wed) 14:03  No.5739 
この問題、なんだか「(特定の講義を)ちゃんと聞いてたかどうか」を測るような、
妙な問いの立てかたに見えます。答え(というより、そもそも何が問われているのか)が
分かんなくて当然のように思えるのは、私が素人だから???
他のみなさんのご意見はいかがでしょうか。
今のところよく分からずに言っているので、まだ信用しないでね、KOOKさん。

  投稿者:EMAN - 2008/11/12(Wed) 15:16  No.5742 
> 下記の問題の解答があってるか教えてください。

 いいんでないかな。 意味的には。

 ポテンシャルを使って説明したければ、
前にphoebusさんから頂いた答えを使えばいいんですよ。

 もう少し易しく書けば、ポテンシャル U(x) を
<tex>U(x) = a\sub{0} + a\sub{1} x + a\sub{2} x^2 + \cdots</tex>
と書く。 x が小さければ 3 次以上は無視できる。
  $ a\sub{1} x $ の項は平衡点の位置をずらすだけなので、あっても問題なし。
  $ a\sub{2} > 0 $ なら OK ってな具合。
 もし、 $ a\sub{2} = 0 $ なら 3 次以降の項が効いてきてだめですからね。 


 P.S. KOOKさん、申し訳ないです。
    うちの掲示板のTeXは ≒ 使えないんですよ。
    これ2バイト文字だから。
    代わりに \kinji って書けば表示されるようにしてあります。

  投稿者:yuya - 2008/11/12(Wed) 15:27  No.5743 
KOOKさん、EMANさん:

あぁ、なるほど、しょーゆーことですか……。
「ある条件を満たせば」「どのような振動なら」というのは、
 $U(x)$ がどのような式で表されていたら、ってことなんですね。
毎度余計なことを書いて失礼しました。

  投稿者:ASA - 2008/11/12(Wed) 18:37  No.5753 
KOOK さん

 より一般的なUの凹性について論ずるのがよろしいと思います。
∂xU(x)=0 を満たすあるxiに対して、∂x^2(U(xi))の正負を調べる。
この凹条件を満たすxiの近辺でU(x)を展開することで、phoebusさんの答えにつながります。(安定点が複数)

  投稿者:KOOK - 2008/11/13(Thu) 14:12  No.5769 
yuya様:矢張り問題の記述に対して疑問が生じますよね。最初見たときは何を言っているのかよく分かりませんでした。助言、有難う御座います。

EMAN様:意味的には合っているのですね。有難う御座います。<tex>a _{2} =0</tex>の場合については考えが及びませんでした。流石ですm(. .)m

ASA様:成る程こういった問題に関しては一般的にUの凹性について述べた方がよろしいのですね。助言を頂け、感謝しています。この問題、奥が深いんですね。