EMANの物理学 過去ログ No.5678 〜

 ● 角運動量の保存について。

  投稿者:lele - 2008/11/06(Thu) 23:06  No.5678 
EMANさま。いつも一方的にお世話になっています。
難しい議論の最中に失礼します。

何ヶ月も前から悩んでいる問題をお聞き下さい。
角運動量についての疑問です。

仮に、真空無重力中に、直径1メートル厚み1メートルの円筒型の鉄塊(イ)が毎秒1回転で回転体中心を軸に自転しているとします。
その円筒体の端面にピッタリ並ぶように、1ミリの隙間をもって、もうひとつの同じ大きさ、質量の円筒鉄塊(ロ)が浮かんでいます。こちらは、回転はしていません。
この状態からスタートして、A B 二つのケースを想定します。

A 1ミリの隙間にアロンアルファを垂らす、とか、強力な磁力で吸着させる、などして、二つの円筒体を(瞬時に)一体化させる。

B 1ミリの隙間にゲル状の物質を挟むとか、弱い磁力で円筒の端面同士を吸着させ、作為的にスリップさせ、徐々に回転速度が同じになるようにする。

■角運動量が保存されるとすれば、Aの場合も、Bの場合も、一体化した後の、回転速度(角速度)は同一のはずですよね。

■Aの場合に比べて、Bの場合、スリップ時に生じる摩擦熱は、大きい。
この熱エネルギーは円筒鉄塊(イ)が保有していた、回転運動エネルギーに起因していたが、熱として放散されてしまった以上、その分Bの回転速度は、遅くなるのではないか。。。(つまり、角運動量が少なくなる)
という疑問です。

単純な思い違いや、考え方を間違ってるのかもしれません。
ズバッと判りやすく説明していただければ、ここ数ヶ月の悩みから解き放たれ、楽になれます。よろしくお願いします。

  投稿者:あもん - 2008/11/07(Fri) 04:32  No.5680 
>>角運動量が保存されるとすれば、Aの場合も、Bの場合も、一体化した後の、回転速度(角速度)は同一のはずですよね。

その通りです。具体的にはものと角速度の 1/2 になります。(2つの円筒の密度分布が同一で、慣性モーメントが同じの場合)

>>Aの場合に比べて、Bの場合、スリップ時に生じる摩擦熱は、大きい。

ここが間違っています。どのように2つの円筒を結合しようとも、生じる摩擦熱は同じです。具体的にはもとの運動エネルギーの 1/2 が熱エネルギーに変換されます。瞬時に結合するからといって、生じる摩擦熱が小さいとは言えないのです。摩擦力×移動距離=∞×0=不定 なのですが、これを0と錯覚することから疑問が生じているように見受けられます。

p.s. 問題文、素晴らしく上手に書けていると思います。

  投稿者:EMAN - 2008/11/07(Fri) 09:55  No.5684 
 なかなか面白い問題です。
 昨晩はこの問題で楽しませてもらいました。

> Aの場合も、Bの場合も、一体化した後の、回転速度(角速度)は同一のはずですよね。

 この部分について、私はleleさんに問題を詳しく確認しないといけません。

 アロンアルファで瞬時に固定した場合、二つの円筒はその固定点を中心に回り始めると思います。 その際、エネルギーは保存せずに(熱に変わる)、角運動量は保存するという点はあもんさんと同じ意見です。

 単純な2物体の衝突の問題でも、衝突後に2物体が一体になる場合には、運動量が保存して、エネルギーの一部は熱になります。 それと同じです。

 (しかし角速度は 1/2 ではないんじゃないかな。)

 (追記: 単独の円筒の慣性モーメントが (1/2)MR^2 で、一体になった後では 3MR^2 になりますから、角速度は 1/6 ではないかと。)


 ところで、Bの場合、最終的に、2物体は一体にならないように思うのです。
 互いに摩擦を減らす方向に動くので、2物体は互いに歯車のように逆回転しながら、互いの周りを回るようになるのではないか、と思います。

 ああ、そうか、今気付いた。
 徐々に固化するゲルを使ったら、粘着と引き剥がしを繰り返して、発熱しながら、最終的にAと同じ状態になるのかぁ・・・。 するとBの途中の運動の仕方というのは一回逆方向に回ってから再び減速するという複雑な感じだけれど、それと全く同じ過程を瞬時に行ったのが A だということになりそうですね。

 A は相手をドーンと突き飛ばして逆回転させようとしたところが、出来なかったので、反動を食らって、相手ともども回りだすという感じ。 その反動の衝撃が熱になります。
 B は相手を突き飛ばして逆回転させることが出来たものの、徐々にブレーキがかかる感じ。

 うーん、本質部分はあもんさんに持っていかれたな・・・。

  投稿者:あもん - 2008/11/07(Fri) 10:23  No.5685 
EMAN さん、私は2つの円筒は、題意からして、回転軸を同じくして上下に配置されているんだと思ったのですが…。図が描けないので説明しづらいですが、ギアのように噛み合うわけではないと思う。

あと、私の先の文章で、「摩擦熱」と言ったのは「散逸エネルギー」に訂正させてください。問題で摩擦という言葉を使っていたのでそれを引用してしまいましたが、実際には円筒内における減衰しづらい音波や、外部に放出される電磁波も含まれます。

  投稿者:EMAN - 2008/11/07(Fri) 10:36  No.5686 
> 題意からして、回転軸を同じくして上下に配置されているんだと思ったのですが…。

 ああ! そうか、確かに、端面ってのはそういうことですね。
 問題を複雑にしてしまいました。 すみません。

  投稿者:yuya - 2008/11/07(Fri) 13:46  No.5687 
leleさん、はじめまして。

あもんさんの

[5680]
>摩擦力×移動距離=∞×0=不定 なのですが、これを0と錯覚することから疑問が生じているように見受けられます。

というご説明だけでも充分理解できるかと思いますが、さらに

http://homepage2.nifty.com/eman/electromag/delta.html

の「イメージ」の図も見ておくと良いと思います。

横幅が「移動距離」、高さが「摩擦力」、面積が「散逸エネルギー」に対応しますね。

  投稿者:hirota - 2008/11/07(Fri) 16:29  No.5688 
無駄に数式で説明すると、
  $ I_1=I_2 $        : 円筒1, 2の慣性能率
  $ I=I_1+I_2=2I_1 $ : 合体円筒の慣性能率
  $ \omega_1 $    : 円筒1の角速度
  $ \omega_2=0 $ : 円筒2の角速度
  $ \omega $     : 合体円筒の角速度
  $ L_1=I_1 \omega_1 $     : 円筒1の角運動量
  $ L_2=0 $       : 円筒2の角運動量
  $ L=I \omega=2I_1 \omega $ : 合体円筒の角運動量
  $ L=L_1+L_2=I_1 \omega_1 $   $ \therefore $   $ \omega=\frac{1}{2}\omega_1 $ 
  $ E_1=\frac{1}{2}I_1 \omega_1^2 $                : 円筒1の回転エネルギー
  $ E_2=0 $                   : 円筒2の回転エネルギー
  $ E=\frac{1}{2}I \omega^2=\frac{1}{4}I_1 \omega_1^2=\frac{1}{2}(E_1+E_2) $ : 合体円筒の回転エネルギー

  投稿者:lele - 2008/11/07(Fri) 21:53  No.5690 
なるほど、、スリップした方が摩擦熱が大きい。。と錯覚してしまったところがポイントだったわけですね。皆様 本当にありがとうございます。

どのような結合方法でも、生じる摩擦熱が同じ!!という部分が、左脳では、理解できそうなのですが、右脳の方がどうも、受け付けない部分がありますので、もう少し、お付き合いいただけるでしょうか。

私には、初期条件が同じでも、結合(速度(回転速度)の違う二つの物体が、一体化する)の方法や、状況によって、摩擦熱が違うように思えて仕方が無いのです。
本当に、どのような結合方法でも、生じる摩擦熱は同じ、なのでしょうか。

例えば、次のような例はどうでしょうか。。。
@完全弾性衝突の場合は、摩擦熱は生じないですよね。
A円筒体イとロの問題を、完全弾性衝突になぞらえると、衝突後、イが静止し、ロが、毎秒1回転するわけですね。
B回転速度(回転運動エネルギー)が移行する間には、両者が同一の回転速度を取る瞬間があるはずです。
C正にその瞬間に、両端面をアロンアルファで固定してしまうと、スリップすることなく、両円筒体を一体化することができるのでは無いでしょうか。つまり、発熱無しに結合するのではないでしょうか。

  投稿者:あもん - 2008/11/07(Fri) 22:38  No.5691 
>B回転速度(回転運動エネルギー)が移行する間には、両者が同一の回転速度を取る瞬間があるはずです。

もっともな疑問だと思います。少し高度な話になりますが、結合の最中を考えると、円柱の速度が部位ごとに違うということになるのです。そのズレの振動(固体中の音波)が複雑に行ったり来たりしながら散逸し、熱になったり電波になったりして、最終的に全体が一様な速度になっていくのです。ですから結合の最中は「両者が同一の回転速度になる」という単純な様相としては捕らえられないのです。

そして、十分硬い円柱、すなわち剛体の円柱を仮定しても、剛体は弾性体において音速を無限大にした極限なので、その極限操作をちゃんと考えないといけないのです。そうすると、やはり上と同じことになるわけです。

結果、今の円柱結合の問題では、どのように工夫しようと運動エネルギーの損失は免れないのです。

ちなみにもし散逸がない場合を仮定するなら、残りのエネルギーは円盤内の振動(音波)として永遠に残り、要するに永遠に各部位の速度が揃わないということになるわけです。これは内部エネルギーと称されるもので、柔らかい弾性体ならブヨブヨと回転することになります。

  投稿者:ASA - 2008/11/08(Sat) 07:04  No.5692 
ちょっと説明が悪いですね。
>スリップした方が摩擦熱が大きい。。と錯覚してしまったところがポイントだったわけですね。皆様 本当にありがとうございます。
 これは、モデルによるので一概に錯覚とはいえません。

バネで引っ掛けて結合するする場合と動摩擦により一定の力が働いて結合する場合との比較と見ることもできます。
 前者では、並進運動エネルギーが熱に変わらずに、バネへのポテンシャルエネルギーとその揺り戻しである共通重心系からみたそれぞれの物体の振動エネルギーなるというお話です。

>柔らかい弾性体ならブヨブヨと回転
 ブヨブヨなんてことはなくて、接触面を瞬時に接合という条件なら、捩りによる定在波が立つだけだから形状は変わりませんよ。


  投稿者:lele - 2008/11/08(Sat) 08:11  No.5693 
なるほど。そういうことが予想されるわけですね。
内部エネルギーもいずれは、放散されてしまうとすれば、二つの円筒鉄塊問題、で、
結合時に生じる(生じざるを得ない)熱エネルギー(つまり、失わざるを得ない円筒
イの運動エネルギー)は、常に同一なわけですね。
私は、計算がすごく苦手で、感覚的なイメージで疑問を言葉にしているだけなのです
が、、、もしややこしくなければ、今回の円筒鉄塊が結合する際に、発生してしまう
熱エネルギーをジュールやCalで換算するとどのくらいになるものなのでしょう
か。。。

それから、少し考えてみたのですが、、次のような解釈に間違いは無いでしょうか。

衝突という現象のひとつの見方を想定すると、次のように考えられると思うのですが、、、
@地面に立っている人が、ボーリングの玉を、台車の上に転がします。
A台車には、滑り台が設置されていて、玉は、ちょうどこの滑り台の溝を転がり上が
ります。
Bこの時の玉の減速に関わる、水平方向成分の反作用が、台車に作用して台車が運動
エネルギーをいただく、ということで、台車が加速を始めます。
CA 玉が滑り台を転がり上がった頂点で、アロンアルファーで玉を固定してしまい
ます。これが、多分、完全(非)弾性衝突 ですよね。
CB 玉が滑り台を転がり上がった後、再度ユーターンして、転がり落ちて、最後
は、台車からもこぼれてしまう、、、という状態が、多分完全弾性衝突ですよね。
CA は、玉が位置エネルギーとして保存されますが、完全(非)弾性衝突では、
これが同じ量の熱エネルギーに変わり放出されてしまっている、と考えられる訳ですね。

間違って無いでしょうか。

追伸。AsAさま ありがとうございます。文章作成後に拝読しました。。やはりポテンシャルエネルギーの介在でスッキリするとのことですね。実際は、見え難いし、直ぐに減衰してしまうので気が付かないところが厄介ですが。


  投稿者:あもん - 2008/11/08(Sat) 10:46  No.5694 
>もしややこしくなければ、今回の円筒鉄塊が結合する際に、発生してしまう
熱エネルギーをジュールやCalで換算するとどのくらいになるものなのでしょうか。。。

鉄の密度が一様だと仮定すると、発生する散逸エネルギーは、もとの運動エネルギーの半分で、

<tex>\Delta E = {1\over 2} \pi^3 \rho H R^4 f^2\sim 7.6 \times 10^3 {\rm J}</tex>

です。ここで  $\rho \sim 7.87 \times 10^3 \ {\rm kg/m^3}$  は鉄の密度、 $H=1{\rm m}$  は厚さ、 $R=0.5{\rm m}$  は半径、 $f=1/{\rm sec}$  は回転数です。

台車とボーリングの玉の考察は、間違っていないでしょう。

実際の物体(弾性体)の衝突においては、衝突2物体の内部で振動波(音波)が複雑に行き来し、2物体が離れたときに振動波が綺麗に解消してしまう場合が完全弾性衝突で、振動波が残ってしまう場合が非弾性衝突なわけです(散逸を無視した場合)。

例えば簡単な例として、まったく同じ2つの円柱状の棒を、円の断面を衝突面にして衝突させると、これは完全弾性衝突になります。2つの棒の長さ(厚さ)が異なると、非弾性衝突になります。2つの棒の長さの割合によって、はねかえり係数が変わってくるわけです。

  投稿者:ASA - 2008/11/08(Sat) 12:13  No.5696 
あもんさん
 やはり、変ですよ。
 円周の長さは伸びませんから、ポアッソン比を出すのは不適切です。
 (密度が変わらなければ、伸ばせば薄くなるのは道理ですけども)
 出すとすれば、ズレ弾性率でしょ。
 
 ちなみに、ねじると円柱の厚さ変わる物質ってどんなものですか?
 (たしかに結晶構造が細密充填なら、横滑りで厚くなるような気がしますが、実際聞いたことがないですね。ということは、実用上は無視して構わないということだと思います。というか結晶構造で厚さが変わるほど変位させると普通は結晶構造が破壊されるので、物理計測できない量を問題視している気がしますな。)

  投稿者:あもん - 2008/11/08(Sat) 12:37  No.5697 
あ、話が脱線してしまうという理由で、私は ASA さんへのコメントを消しました。15分くらいで消したんですけどね。

  投稿者:lele - 2008/11/09(Sun) 02:58  No.5698 
円筒鉄塊の問題は、私なりにとてもスッキリすることが出来ました。
相談させていただいて、本当に良かったです。ありがとうございました。

私が角運動量の保存について色々と考えるのには、個人的な理由があるのですが、、
次のような、ケースについてもちょっと悩んでいました。
もしよろしければ、考え方の指針を教えてください。
直径10cm長さ1mの軽量な円筒ケースの中に、水を入れて、、、
このケースは2本が平行に揃って並んだ状態で、更に、
夫々の円筒は回転体中心を軸として回転可能で、
この二つの回転軸は、一体として結び付けられているものとします。
(二つの円筒ケースの位置は、常に等間隔 平行だけど、夫々が自由に回転するということです。)
そして、このケースが真空無重力中に浮かんでいるとします。

イメージ的には、圧延ローラーの2本のローラー部分が、浮かんでいるような感じです。

円筒ケースを ちくわ と考えて、2本のちくわを串刺しにした位置関係で、串の部分を軸心(仮想の軸心)として、無重力中で毎秒1回転のスピードで回転させたとします。さらに、このとき2本の円筒ケースは、夫々の回転体中心軸を軸心として反対方向に毎秒10回転で回転しているものとします。
(■円筒ケースを2本反転させて並べているのは、トーション?(地球ゴマに生じる変な力)を相殺させる目的です)

このような回転をしている物体なのですが、最初は氷点下の状態で、ケース内の水は、凍っています。つまり剛体です。
それが、徐々に(話がややこしいようでしたら、あるとき全体が瞬間に)解けて、水に変化したとします。

私の想像では、氷の状態では、剛体として振舞っていたケース内の水は、溶けた後には、(串刺し軸の回転により)ケース内部で攪拌されるような力を受けて、つまり、内部で流動抵抗を生じて発熱すると思います。)

■1 そして、私の想像では、、、串刺し軸を軸心とした回転速度は、氷の溶解とともに、遅くなるのではないか。。。?と思うのです。
■2 また、夫々の円筒ケースの回転も遅くなり、再凍結させてケースと水を一体化させると、回転速度が低下しているのではないか、、と思うのです。
(特に■1について、ナゼそう思うか、と言われると、説明が更にややこしいのですが、串刺し軸を上から見た状態で、ケース内ので生じる水の動き(渦)が、全体の角運動量(毎秒1回転の)を吸収(置き換え)るように作用してしまうのではないか、、、と想像します。)

もし現実に■1が起こると、角運動量は保存されない、ということですね。
また、■2が起こった場合ですが、、、円筒体回転軸心を軸とした回転で、外力は、軸にしか作用しない状況ですので、これもまた、角運動量は保存されていない、、、と言えるのではないでしょうか。

勿論、■1と■2が生じないことが、多分、当たり前の回答だと思うのですが、、、
皆さん、どうお考えでしょうか。

私としては、角運動量に、何とか保存を思いとどまって貰いたいと願っています。

  投稿者:ASA - 2008/11/09(Sun) 07:58  No.5699 
leleさん
 ユニークな問題ですね。
>■1と■2が生じないことが
ちゃんと考えないと断言できないですが、
粘性力が働くケースなので、角運動量は保存しない気がします。
ということで、とりあえず■1と■2が生じるに一票。
 しかし、角運動量がどのように消えるのかは不明。

  投稿者:あもん - 2008/11/09(Sun) 15:09  No.5700 
まず簡単に水を非圧縮性流体と考えた場合(ただしもちろん溶解に伴う膨張や収縮はするとします)。この場合、筒内の氷が回転しながら解けて水になっても、水はもとのままの速度分布で回転するだけで、何も変わらないのです。一見、速度勾配があるので粘性が生じそうですが、実は生じません。実際、角速度を  $\omega$  とすると、水の速度ベクトル場は  $ v_i = ( - \omega y ,\ \omega x ,\ 0)_i $  ですが、このとき  $ \partial_i v_i = 0 $ ,  $ \partial_i v_j + \partial_j v_i = 0 $  なので、粘性応力は  $ \mu ( \partial_i v_j + \partial_j v_i ) + \lambda \partial_i v_i = 0 $  です。水は圧力勾配が求心応力となってそのまま回転するだけです。

次に圧縮性を考慮します。この時は、氷は水に溶けたときに、若干、密度分布が外よりになります。この密度分布に変化する際に、若干、粘性による散逸が生じます。つまり運動エネルギーが失われるわけですが、角運動量はもちろん保存されるはずです。種は簡単。慣性モーメントが若干増加し、角速度が若干低下するというバランスで、こういうことが起こりうるわけです。

  投稿者:あもん - 2008/11/09(Sun) 15:38  No.5701 
ああ、非圧縮性の場合、再度凍らせたときにどうなるかは、ご自分で考えてみてください。簡単な熱機関の一種になっているので、人によっては少し興味ぶかく(パラドキシカルに)思うかもね

  投稿者:あもん - 2008/11/09(Sun) 15:44  No.5702 
失礼、 $\lambda$ を含む粘性項は、 $\lambda \partial_k v_k \delta_{ij}$  の誤りでした。それと、こういう場合、添字  $k$  について和をとります(縮約規則)。

  投稿者:lele - 2008/11/09(Sun) 15:45  No.5703 
ご意見、ご指摘ありがとうございます。
5700⇒筒内の氷が回転しながら解けて水になっても、水はもとのままの速度分布で回転するだけで、何も変わらないのです。一見、速度勾配があるので粘性が生じそうですが、実は生じません。

なるほど、私もこれは知りたい部分でした。このご説明は、タライに水を入れて、タライごと、何時間も等速でぐるぐる回して(そうすることで、中の水もやっと回転に追いつく)、中の水もタライと同じ回転速度にした状態を示しているのだと思います。

ポイントは、このタライに蓋をして、ひっくり返す、という作業(つまり毎秒1回転の串刺し軸の回転)を行った場合に、タライの中の水が、剛体と同じように振舞っているかどうか、、、ということです。
実は、これは、既に実験をしていて、タライをひっくり返すことで、(一回ひっくり返しただけでも)中の水流は、一気に混沌とした方向性を持っていないような渦?に変わりました。(とても小さい透明円筒容器でしたので、120パーセントの自信は無いのですが、、、)
今回の、疑問は、この渦がポイントになりそうな気がするのです。

  投稿者:あもん - 2008/11/09(Sun) 17:04  No.5704 
ああ、更に回転軸を回転させるんですね。その部分は、ちゃんと読解できませんでした。それでは少し話がややこしいので、もうちょっと簡単なモデルがあるといいですね。

  投稿者:ASA - 2008/11/09(Sun) 17:27  No.5705 
leleさん、既に実験しておられたのですか、すばらしいですね。

 問題が複雑なので、ちゃんと解析しないと定性的なことも述べられないのですけど、初めのアバウトな予想が当っていそうですね。

 あと、あもんさんは、問題を取り違えている可能性がありますな。

>この渦がポイントになりそうな気がするのです。
 生じた小さな渦が角運動量を担っていそうですね。

 再凍結させるときに、この渦が残っていれば、全体に回転力を与えることになるかもしれません。
 
 小さな渦が消える場合は、分子の回転運動に転化され、最終的には分子から放射される電磁波となって、これがエネルギーとともに角運動量も持ち出すのでしょう。

  投稿者:あもん - 2008/11/09(Sun) 19:13  No.5707 
回転軸の回転、少し考えてみたけど、同じことですね。一般に粘性の生じない速度場を回転させて得られる速度場が、再び粘性を持たないことが数学的に証明できます。で、軸を同じくした2つの円柱容器の無重力内における歳差運動を考えると、その容器内の水の速度場は、あらゆる所で0の速度場から、2回の回転変換の合成で得られるので、やはりこれは粘性を持たない速度場なのです(どんなに複雑に見えても)。よって話は、先にお話したように、非圧縮性であれば、氷が解けても運動は何も変わらないということです。

ちなみに地上でタライをひっくり返すような操作は、外部からトルクや力を与えているので、この問題とは異なるものです。外部からのトルクが許されるならば、例えば回転している容器の回転を止めるという操作でも、容器内の水の粘性が生じ、明らかに剛体とは異なる振る舞いをします。急激にストップすれば、レイノルズ数が臨界値を超え、乱流が生じるでしょう。(外部トルクを許せば、角運動量保存は関係なくなるので、パラドキシカルな側面が消え、問題はつまらなくなるように思います。)

  投稿者:ASA - 2008/11/09(Sun) 19:59  No.5708 
 あもんさん
 問題のポイントと思われるところを説明します。
 前の問題の本質が、剛体に蓄積されるストレスとしてのエネルギーでありました。
 今の問題は、氷の状態で蓄積されたストレスが、溶けて液体になったとき、それが解放されるプロセスで生じる問題といえるでしょう。
なので
>(串刺し軸の回転により)ケース内部で攪拌されるような力を受けて、
があるかもと思われるわけです。

 初期速度場だけでなく、解放されるストレスを起因とする圧力場とのかかわりあいもあり、なおかつ、境界(円筒ケース)自体が運動しているので単純な話ではすまなくなってます。

 こういう問題は、いつぞや話題になったように無重力下で自発的に姿勢を回転させる宇宙飛行士の問題と比較できるかもしれません。

  投稿者:lele - 2008/11/09(Sun) 21:09  No.5710 
あもん様
⇒(外部トルクを許せば、角運動量保存は関係なくなるので、パラドキシカルな側面が消え、問題はつまらなくなるように思います。)
全くその通りで、私にとっても相談の意味がなくなってしまいます。
思い直してみると、私の実験というのは、水を円筒ケースに密閉し、このケースを十分回転させて中の水もケース同様に回転させておいて、その容器を180度反転させる、、、というものでしたので、外部応力という意味では、モロに加わってしまってました。
ただ、私がその際に感じたのは、、、
円筒ケースを反転させない状況では、ケースを静止させても中の水は10秒程度は、一様にスムーズに回転しながら流れている。ケースに接触している付近の水がウォーターベアリングのように作用している。つまり、ケースを静止させていても、内部の水は回転を続けている状態に近い。(とても荒っぽいテストではありますが、、、)
そして、これを速やかに180度ひっくり返すと、その瞬間に、回転する流れが乱れる、、、ように見えたわけです。多分、円筒ケースの回転軸を変えずに、急速に回転方向を逆にする、、という操作を加えても、上記のように瞬間的に水流を乱すことは出来なかったと思います。

私の推測ですが、、一様に剛体のように毎秒10回転で運動する水は、あらゆる部分で、その部分部分も、毎秒10回転で角運動をしているわけで、その部分部分は、角運動の向き、(あるいは仮想の回転軸)を保とうとする。。と思います。
ところが、ケースの方は、そんな水のことはお構い無しに、どんどん向きを変えてしまい、ケースが180度ひっくり返った状態では、とうとうケースの内面も、反対向きに回転している始末。。
水は、自分の持っている微小な角運動(=ケースの中でぐるぐる回る角運動ではなくて、任意な微小なエリアで夫々の部分が持つ自転のような角運動)を保とうとしながら、円筒ケースの回転に従わなければならず、結果、渦が残るのではないか、、、と思う次第です。

ASA様
今回の例で、氷から水へ、、のくだりは、、、
剛体であれば回転を続けるはずの物体が、(つまり、角運動量が保存されている)、流動体に変わることで、角運動量が保存されなくなるのでは、、、
という点について、外部からのモーメントが運動系に加わらないことをイメージして貰いやすいと思って書きました。

  投稿者:ASA - 2008/11/10(Mon) 18:10  No.5714 
境界の影響を分かりやすくするため、leleさんの問題を円筒ケースの替りに球体ケースで焼きなおします。
2つの同じ球体ケースを細長い棒で連結します。
連結した棒には仕掛けがあって、自由にねじることが出来ます。
つまり、球体ケースは棒を回転軸として自由に回転できます。
今、ケースのなかに氷をつめて、棒を回転軸としてそれぞれ逆の回転(10回/秒)を与えておきます。
こうすることで、この系の角運動量は+−0となっています。
次に、棒の中点を原点にし、全体をxy平面内で回転(1回/秒)させます。
これで、この系全体の角運動量はz軸と平行になります。
 何か特別な力が働かないばあいは、全体の角運動量は保存されます。
氷がつまった球体ケースは、連結棒を回転軸とした回転による角運動量を持ちます。
しかし、xy平面内の回転運動により角運動量の方向が回転するので、球体ケース内にはトルクが作用してます。つまり、氷はこのストレスを常に感じてます。
 さて、瞬間的に氷を溶かして液体になったことを前提とします、するとこの球体部分の角運動量を変える力が伝達されなくなるので、球体の持つ角運動量が一定方向を向くようになります。
 球体は、xy平面内の回転運動によりに回転してしたので、z方向の角運動量を寸前まで持っているので、z軸方向とxy面方向との角運動量の和を持つことになります。したがって液体になった瞬間にこの方向に球体の角運動量が固定されることになります。
 しかし、前述のストレス解放により乱流状態が生じるので、一様な回転が瞬時に生じるわけでは有りません、生じた各渦のもつ角運動量のトータルがそうなっているということです。

あもんさん>一般に粘性の生じない速度場を回転させて得られる速度場が、再び粘性を持たないことが数学的に証明できます。
といってますが、この前提は空間的に一様な回転であって、乱流へ変換するような局所回転の組み合わせでないでしょう。

 以後、球体ケースはz軸方向に回転しているので、最終的にこの方向に向けるような粘性力が水に対して働きます(境界条件の制約)。
 これの反作用は、元々のxy面での系全体の回転に影響するので、元の(1回/秒)より遅くなることが期待されます(熱力学と同様にプロセス依存です、準静過程に相当するものが実現すると仮定するなら角運動量は保存するという結論になりますけど一般にはそうならないと予想します)。回転に対する摩擦が短期的に働くとみてよいでしょう(結論としては、短期的な摩擦が働くので回転が遅くなる)。

  投稿者:あもん - 2008/11/10(Mon) 22:34  No.5715 
ASA さん:

>2つの同じ球体ケースを細長い棒で連結します。
>連結した棒には仕掛けがあって、自由にねじることが出来ます。

このモデルだと、氷が解けて粘性により全体の運動エネルギーが減少し、十分時間がたてば2つの球体ケースの自転はなくなってしまうだろうけど、相変わらず棒は無重力空間でもとの角速度で回転してるだけだよね。それで角運動量は保存しているので、パラドックスにはなってないでしょう。

ちょっとASAさんの言うこと、正確には読み取れなかったけど、確かに回転軸の回転がある場合、つまり角速度が変化するような回転系においては、そこでの慣性力を圧力勾配だけでは支えられず、液体は流動するでしょうね。

#5707 における回転軸回転のケースに関する私の発言、

>非圧縮性であれば、氷が解けても運動は何も変わらないということです。

は撤回させていただきます。角速度が変化しないケースと混同しました。

ちなみに角速度が変化する場合の慣性力加速度は、この系において静止している物体に対して、

<tex>\Vec{G} = -\Vec\omega \times ( \Vec\omega \times \Vec{r} ) - {d\Vec\omega \over dt} \times \Vec{r}</tex>

であり、よって、

<tex>\Vec\nabla \times \Vec{G} = -3 \ {d \Vec\omega \over dt}</tex>

ですから、このような系においては圧力勾配だけで慣性力を打ち消すことはできないというわけです。

  投稿者:あもん - 2008/11/10(Mon) 23:55  No.5716 
1つ発言を撤回したので、ここで質問者のleleさんにわかりやすい話をしとくべきですね。

いま、同じ2つの円柱容器があり、それぞれ中に氷が入っています。この2つの容器の円の面を糊で張り合わせ、1つの長い円柱を作ります。ここでできたのは、上下に2つの部屋があって、中に氷が詰まっている円柱容器です。

これを宇宙空間に放り投げます。無重力空間における軸対称な物体の運動は、重心系(慣性系)においては、一般に歳差運動です(知らなかったらどのような運動か調べてください)。これは角運動量はもちろん一定ですが、一般に角速度ベクトルが角運動量ベクトルを中心に首振りする運動です。一種の2重回転で、体操選手が空中でひねりを入れて回転しているのがこれです。

いま、氷が解けて水になった瞬間を考えると、水の静止系においては圧力勾配で打ち消せない慣性力が働くため、水はこの系で流動せざるを得ません。そして粘性摩擦により、力学的エネルギーを失うはずです。このことはおそらく、慣性系において、角速度が変動する間はずっと続きます。

最終的にどうなるかというと、歳差運動から、その特殊なケースである主軸回転に移行するはずです。円柱の場合、主軸回転は2種類ありますね(ネジのような自転と、ペン回しのような自転)。このどちらかになるでしょう。そこではもはや角速度が変動しないので、水は容器と一体となって運動し、粘性摩擦を生じません。水の静止系でみれば、圧力勾配で遠心力を打ち消しているという状況になるわけです。

この変化の間、もちろん角運動量は保存します。しかし力学的エネルギーは徐々に失われていくというわけです。このことに矛盾は生じないですね。

  投稿者:あもん - 2008/11/11(Tue) 00:01  No.5717 
ああ、別に容器の部屋が2つに分かれている必要はないね。1つの円柱容器で十分です。(^^;

  投稿者:lele - 2008/11/11(Tue) 02:27  No.5718 
なるほど、、、ご考察いただき、誠にありがとうございます。
お二方のご意見とも、直ぐに理解できるほどの消化能力が無いので、具体的なコメントが直ぐにはできません。申し訳ありません。

あもん様のコメントで、、、自転回転しながら歳差運動する(氷⇒水)物体で、いずれ2種類の主軸回転運動に収束していくであろう、、との推察ですが、なんとなく納得できます。
、、、この変化の間、もちろん角運動量は保存します。しかし力学的エネルギーは徐々に失われていくというわけです。このことに矛盾は生じないですね。
とのことですが、
失われた力学的エネルギーというのは流動抵抗の摩擦で生じる熱(他)にしか変わらず、角運動には影響を及ぼさない、、ということですよね。?


私の示した ちくわ2本串刺し運動体と、ASA様の再構築していただいた逆回転アレイ状モデルと、この歳差運動モデルが、どういう点が類似して、或いは、相違しているのか。。。もう少し考えたいと思います。


  投稿者:ASA - 2008/11/11(Tue) 07:29  No.5719 
>相変わらず棒は無重力空間でもとの角速度で回転してるだけだよね。それで角運動量は保存しているので、パラドックスにはなってないでしょう。
そうとは言い切れないという主張です。
最終状態に至るプロセスに依存する考えてます。電磁波が運び去る角運動量を考慮すればトータルの角運動量は保存しますが、散逸があるので力学系のみの角運動量は保存しません。

  投稿者:ASA - 2008/11/11(Tue) 07:41  No.5720 
 プロセスの途中では、温度上昇に寄与している分子の回転がもつ角運動量も考慮する必要が有りますね。粘性の影響により、微小な渦は、子の回転に転化され、マクロ的には静止する。

  投稿者:lele - 2008/11/11(Tue) 11:54  No.5721 
ASA様の {粘性の影響により、微小な渦は、子の回転に転化され、マクロ的には静止する。}
というご意見が、私も主張(予想)している意見と同じような気がして、ちょっと心強く感じます。(^^)

もうひとつのシンプルなモデルを考えてみました。
ターンテーブルの上に、2本の支柱を立てて、この支柱の間に「自公転」プレートを水平に差し渡します。このプレートは、支柱の同じ高さに設けられた回転軸を中心に水平な軸で回転する一方、プレートの中央にもうひとつの回転軸が設けられ、その軸に内部に水の入った円筒ケースが取り付けられ、回転体中心軸を中心に回転可能になっています。

ターンテーブルが静止した状態で、円筒ケースの回転軸が垂直で、円筒ケースが、毎秒1回転で回転していたとします。(内部の水も、剛体のようにケースに追従して)
次に、「自公転」プレート を180度反転させたとします。
円筒内部の水の持つ角運動量は、反転後内部の渦で熱に消耗される訳ですが、
その際の反力が、下のターンテーブルに100パーセント転化されるのか、
或いは、50パーセント転化されて、残りの50パーセントが熱になるのか、、はたまた、下のターンテーブルは、微動だにしないのか。。。

この状況の解釈で、本件に結論が出るような気がします。
多分、まともなセオリーとしては、100パーセント、下のターンテーブルに エネルギー(角運動量)が転化される、というものだと思いますが、、
(例えば)水分子の回転に角運動(の一部)が保存され、上記と異なる結果が出るようであれば、角運動は、保存されない、、という結果になるわけです。
「自公転」プレートを回転させるのに消耗するエネルギーの行き先についても考慮する必要があるかもしれません。

  投稿者:あもん - 2008/11/11(Tue) 13:51  No.5722 
>失われた力学的エネルギーというのは流動抵抗の摩擦で生じる熱(他)にしか変わらず、角運動には影響を及ぼさない、、ということですよね。?

そうです。念のため言っておくけど、電磁波の角運動量とか、分子スピンとか、全然関係ないからね。もともとのニュートン力学や流体力学にそんな仮定は入っていません。そんなものを持ち出さなくてはパラドックスの解消ができないと考えているならば、何か勘違いしているし、パラドックスの罠にはまっている証拠です。一応、議論の健全性のために忠告しておきます。

  投稿者:ASA - 2008/11/11(Tue) 14:48  No.5723 
>ニュートン力学や流体力学にそんな仮定は入っていません。
粘性は非保存力の典型ですから、一般に運動量やら角運動量が保存しないでしょ。
でも、ミクロ的分子の回転やら、電磁波等を含めると保存していると見ることができる。
 マクロな力学的視点からパラドクスでも、そういったものを含めると矛盾しないよというお話しだと思います。

 アレイのモデルだと、最終状態まで至る過程は初期条件によりけりなのでなんともいえないのですが、特殊な初期条件(境界条件含む)で無い限り力学的角運動量は保存しないと考えます。

  投稿者:あもん - 2008/11/11(Tue) 18:45  No.5725 
ASA さん:

>粘性は非保存力の典型ですから、一般に運動量やら角運動量が保存しないでしょ。

ああ、やっぱりそういう認識でしたか。なんか、ASAさんの話、変だなあと思っていたので、気になってさりげなく問うてみた次第です。

摩擦や粘性などが装置の外部(容器の外壁等)において生じているなら、運動量や角運動量は保存しないですよ。でも今の問題では、内部において生じているだけです。こういう場合は、もちろん力学的エネルギーは保存しないですが、全体の運動量や角運動量はきっちり保存するのです。

ASA さんのアレイモデルは、2重回転(変動する角速度)に関して、確かに私に良い示唆をしてくれました。その点は感謝致します。でも、パラドキシカルかという意味では、そんなに面白い問題ではないよね。

十分時間がたった後、2つの容器の自転(棒の自由な捩れによる回転)は停止し、全体の回転(棒の中点を支点とする回転)の角速度は何も変わらないというのが結論です。なぜ十分時間がたった後に容器の自転が停止する(0に収束する)かというと、2重回転している間は水が容器に対して流動せざるを得ないからです。水が流動すれば必ず摩擦を生じ、力学的エネルギーを失い続けます。ですから、自転が残ったまま定常状態になることはあり得ないというわけです。

  投稿者:ASA - 2008/11/11(Tue) 22:13  No.5727 
あもんさん
>もちろん力学的エネルギーは保存しないですが、全体の運動量や角運動量はきっちり保存するのです。
 幾分、割り切った考え方ですね。ここが意見の分かれ目でしょう。
 先に挙げたアレイの例だと、並進運動に対して特異な力が働いているわけではないので、重心運動量は変らないことは、OKですが、トータル角運動量が保存するかは、不明と考えます。

>パラドキシカルかという意味では、そんなに面白い問題ではないよね。
パラドックスを提示しようとしたわけでなくて、leleさんの問題を再編しただけです。

ふむふむ
>容器に対して流動せざるを得ないからです。
最終状態は、容器に対して静止した状態とお考えでしょうか?

>自転が残ったまま定常状態になることはあり得ないというわけです。
 すると、その自転の角運動量はどこへどのように消えたのかというのが問題となりませんか?
 同様のメカニズムが、アレイの例ですとz軸方向の角運動量に働かないのはなぜかとかね。

  投稿者:lele - 2008/11/12(Wed) 01:28  No.5730 
お忙しい中、何度も付き合っていただいて恐縮です。
5721で示した、運動のモデルについて、皆さん、どのように予想されるでしょうか。
ASA様は、、、角運動量の一部は、水の渦に移行する。
あもん様は、、、角運動量は100% ターンテーブルに転化される。
という解釈を予想しているのですが、間違いないでしょうか。
また、もし、EMAN様など、造詣の深い方がご意見をお持ちでしたら、是非ご意見をお聞かせいただけないでしょうか。?
通常、このような問題は、思考実験として意味合いしか持たないことが多いでしょうが、、私の場合、ある目的のために、実際にフレームを作り、モーターや、ベアリングを組み合わせて実験をしてみるつもりです。

運動量保存の法則と同様に、角運動量保存の法則が間違いなく成り立つのかどうか?。。私にとっては、かなりの一大事なのです。
御助言いただければ幸いです。

以下、再度モデル(ダブルターンテーブルモデル)を記載します。

ターンテーブルの上に、2本の支柱を立てて、この支柱の間に「自公転」プレートを水平に差し渡します。このプレートは、支柱の同じ高さに設けられた回転軸を中心に水平な軸で回転する一方、プレートの中央にもうひとつの回転軸が設けられ、その軸に内部に水の入った円筒ケースが取り付けられ、回転体中心軸を中心に回転可能になっています。

ターンテーブルが静止した状態で、円筒ケースの回転軸が垂直で、円筒ケースが、毎秒1回転で回転していたとします。(内部の水も、剛体のようにケースに追従して)
次に、「自公転」プレート を180度反転させたとします。
円筒内部の水の持つ角運動量は、反転後内部の渦で熱に消耗される訳ですが、
その際の反力が、下のターンテーブルに100パーセント転化されるのか、
或いは、50パーセント転化されて、残りの50パーセントが熱になるのか、、はたまた、下のターンテーブルは、微動だにしないのか。。。

  投稿者:あもん - 2008/11/12(Wed) 03:59  No.5731 
ASA さん:

>トータル角運動量が保存するかは、不明と考えます。

外部からトルクがかからない系の角運動量は保存します。内部にどんな摩擦があろうと、どんな力のやりとりがあろうとね。そしてこの角運動量保存則が、leleさんのパラドックスの重大な要素の1つであると、私自身は感じ取りました。

ただ、図のない文章だけの説明で、装置がどのようなものであるかを正確に読み取るのは私には無理でした。実際、誤解していたようです。

>パラドックスを提示しようとしたわけでなくて、leleさんの問題を再編しただけです。

そうですね。これは私の勝手な思い込みでした。

>最終状態は、容器に対して静止した状態とお考えでしょうか?

水が容器に対して静止した状態という意味なら、そうです。

>すると、その自転の角運動量はどこへどのように消えたのかというのが問題となりませんか?

ASAさんのアレイモデルでは2つの球体容器が逆回転しているので、2つの球体容器の角運動量の総和はもともと0であることに注意して下さい。ですから、それらが同じように水の粘性によって回転速度を落としていくというわけです。こうして、系の角運動量は変えずに、系の力学的エネルギーが低下していきます。

>同様のメカニズムが、アレイの例ですとz軸方向の角運動量に働かないのはなぜかとかね。

もし棒の角速度が変化すると、それは角運動量保存則を破ることになります。

  投稿者:あもん - 2008/11/12(Wed) 04:04  No.5732 
lele さん、多少努力はしたのですが、文章からは装置がどうなっているのかイメージできませんでした。装置を誤解すると、変な発言をして議論の健全性を損なうおそれがあるので、返答は控えさせてください。どこかに図をアップしていただけたら、考えますけど…。

  投稿者:ASA - 2008/11/12(Wed) 07:22  No.5733 
あもんさん
>>トータル角運動量が保存するかは、不明と考えます。
 ここでいうトータルは、力学系のみの話。
力学系のみを考え、散逸無しと割り切るなら、
"力学>系の角運動量は保存します"
がいえますけど、
散逸ありでエネルギーが最終的に電磁波で放散してしまう系なので、純粋に力学系とはいえないと考えます。

 電磁波の角運動量という、いわく「不健全」な概念を良く考察します。
 熱平衡状態にある物体は、ある特定のスペクトル分布をした電磁波を放射します(熱輻射)。
 アレイモデルで考えるとして、今、1つの球体に着目すると、進行方向への放射は、ドップラー効果で短波長にシフトします。
そうすると、進行方向への放射運動量が多いので、球体の持つ力学的運動量が減少します。

こうかんがえると、この力学系の力学部分のトータル角運動量は、保存してないと考えることもできます。
 
 しかし、この減少量が非常に少なくて、検出限界以下なら保存していると看做してもよろしいでしょう。
 
 さて、容器との摩擦のように何らかのメカニズムで内的なエネルギーが解放されると球体の温度が上昇します。すると、熱輻射の強度は、シュテファン=ボルツマンの法則により温度の4乗に比例して強くなります。すると先に述べた運動量の減衰率も、同様に大きくなります。
 これで検出限界以上になったとすれば、「保存していた」から「保存しなくなった」と、内的要因によって変化するということがいえます。

 以上の考察は、物理的に変なとこはなさそうですよね。
>"棒の角速度が変化すると、それは角運動量保存則を破ることになります。"
つまり、保存則を破っているように見える。

(元々、保存則などは限定された条件下でしか成立してなくて、想定した状況が条件を満たしているかは良く吟味しなければならないでしょう)

  投稿者:ASA - 2008/11/12(Wed) 07:46  No.5734 
lele さん
>5721で示した、運動のモデルについて、
 良く租借してないので、コメントは控えます。
>ASA様は、、、角運動量の一部は、水の渦に移行する。
 なので、こうなるか不明です。
>あもん様は、、、角運動量は100% ターンテーブルに転化される。
 なら、自分は、"99.9(小数点以下9が10個くらい)がターンテーブルに転化される"になるかも。
 なんにせよ、不明です。

  投稿者:lele - 2008/11/12(Wed) 09:59  No.5736 
ご考察頂き誠にありか問うございます。

⇒ただ、図のない文章だけの説明で、装置がどのようなものであるかを正確に読み取るのは私には無理でした。実際、誤解していたようです。

上手く説明できておらず、失礼しました。
ちくわ串刺しモデル
逆回転アレイモデル
さいさ運動モデル
ダブルターンテーブルモデル
をスケッチしてみました(間違っていたら指摘してください。)
http://conaris.web.fc2.com/newpageG.html

恥ずかしながら、、私の理解は、ニュートン力学の範囲のみとなっています。

  投稿者:ASA - 2008/11/12(Wed) 12:48  No.5738 
lele さん
 図見ました。
アレイモデルの理解は、OKです。
串刺しモデルの実現性に問題が有るように思えたので、現実的なアレイモデルに焼きなおしてみました。

>ニュートン力学の範囲のみとなっています。
 力学オンリーで理解するなら、"力学的トータル角運動量は変らない"で話は終わりです。

  投稿者:EMAN - 2008/11/12(Wed) 14:33  No.5740 
> もし、EMAN様など、造詣の深い方がご意見をお持ちでしたら、

 造詣が深いとは思いませんが、呼ばれたような気がしましたので出てきました。 ややこしくなったので途中で議論を追いかけるのをやめてました。

 電磁波が一方に放射されて角運動量に変化を与えるとかそういう些細な話はもう除外して構わないんですよね。


 ではまず、『ちくわ串刺しモデル』について。

 これは見た目の回転が遅くなる可能性がありますね。
 (まぁ焦らず、最後まで聞いてください。)
 それは内部を大きく回るような渦ができた場合です。
 一見、角運動量が保存されてないように見えますが、
内部での水の回転運動も計算に入れれば、角運動量は保存します。

 ガス天体なんかが、内核と外層部で回転速度が違うとか、
そんなイメージです。

 しかしこのモデルで、氷が溶けた、固まった、と言って、
そんな大きな回転が内部で生じるかというと、ありえなさそうです。
 ちくわの円筒内に自分が入っていることを想像するといいです。

 以後、串の回転を「公転」、筒の軸回転を「自転」と呼ぶことにします。
 円筒内部では公転と自転の2種類の遠心力が働いているけれども、
水は内部で充満しているのだから移動する場所を持たない。

 一つ懸念することは、
自転運動によって、円筒と水の間に摩擦が働く可能性。
 やはりこれも否定される。
 円筒内部の立場では、
一定の遠心力が掛かっているだけの静かな世界であり、
自分が回転していることは意識しないで済んでいるのだから。


  投稿者:ASA - 2008/11/12(Wed) 15:43  No.5744 
lele さん

ダブルターンテーブルモデル把握しました。
>ある目的のために、実際にフレームを作り、モーターや、ベアリングを組み合わせて実験をしてみるつもりです。
 機械の設計でしょうか?そうなら軸にかかる負荷など問題になりそうですね。

 上部が円筒ですと、反転させると抵抗が多くて、急速に乱流モードに移行しますが、アレイモデルのように球体なら反転させても抵抗なく、そのまま回転した水流が維持されます。このとき下部のターンテーブルへの影響は僅かなものと考えられます。
 
 円筒の場合は、反転させたとき残っている運動量によりますね。
 (前に述べたようにプロセス依存つまり、液体の粘性、容器の形状、初めの角速度、どのように反転させるか(反転速度)等々に依存しますので、反動として下部テーブルにかかるトルクは不明です)
 瞬時に反転させるとすると、トルクはかなり大きなものとなるでしょう。
 (角運動よりもトルクが問題になる気がします)

 良く考えると、これは、初めの2つの回転円筒が瞬間的に一体化する問題と同質ですね。

  投稿者:EMAN - 2008/11/12(Wed) 15:43  No.5745 
 読み進んで、思い付くままに書いていきます。

 No.5714で ASAさんが述べている球体モデルについて。

 ASAさんは、中の水に対して複雑な力が作用するかのように書かれていますが、このモデルでは「系全体の回転」の軸方向への動きはありませんから、コリオリ的な運動は発生しないものと思われます。

 球体内部は、遠心力が掛かるだけの平穏静かな世界だと考えられます。


 一方、leleさんが実験された回転水流のあるタライをひっくり返すときには、コリオリ的な力が作用しますので、内部の流れは大混乱を引き起こすことが想像できます。

  投稿者:ASA - 2008/11/12(Wed) 15:52  No.5746 
EMANさん

勘違いしてますよ。
>コリオリ的な運動
はω×vですよね。
系全体の回転方向(ω)は、z方向、
アレイがx軸に平行なら、球体内部の回転は、「y→z→-y→-z」ですから、
コリオリ力は働いてます。
(球体をz方向と鉛直に回転させることを読み落としている?)



  投稿者:EMAN - 2008/11/12(Wed) 16:12  No.5747 
 ダブルターンテーブルモデルはちょっと厄介ですね。

 まず微動だにしないという可能性だけは消えます。
 これは科学館によく展示してある、回転椅子に乗って、回転円盤を動かしてジャイロ効果を実感するやつと同じ原理です。

 円筒部分が剛体だとしても、面倒な話になる気がします。

 ひっくり返すときの力の掛け方次第では、円筒部分の回転が加速してしまったりしませんか? 「ダイナビー」というおもちゃと同じように。
 つまり、反転させるときの勢いによって、全体が新たな角運動量を獲得してしまう可能性があるということです。

  投稿者:hirota - 2008/11/12(Wed) 16:36  No.5748 
ちくわ2本おでん回転運動を数式 ( おでん座標 ) で表すと、
  $ \omega_1 $      :ちくわ1の回転だけの角速度ベクトル
  $ \omega_2=-\omega_1 $ :ちくわ2の回転だけの角速度ベクトル
  $ \omega $      :全体回転の角速度ベクトル (  $ \omega\perp\omega_1 $  )
  $ \omega+\omega_1 $   :ちくわ1合成回転
  $ \omega-\omega_1 $   :ちくわ2合成回転
  $ I_1 $      :ちくわ1慣性テンソル (  $ \omega_1 $ 軸まわりに回転対称 )
  $ I_2=I_1 $   :ちくわ2慣性テンソル
  $ I=I_1+I_2=2I_1 $ :全慣性テンソル
  $ L_1=I_1(\omega+\omega_1) $  :ちくわ1角運動量ベクトル
  $ L_2=I_1(\omega-\omega_1) $  :ちくわ2角運動量ベクトル
  $ L=L_1+L_2=2I_1\omega=I\omega $ :全角運動量ベクトル
  $ N_1=\omega\times L_1 $ :ちくわ1角運動量変化率 ( トルク ),  $ N_1\parallel\omega\times\omega_1 $ 
  $ N_2=-N_1 $   :ちくわ2角運動量変化率 ( トルク )
以上は、ちくわが剛体回転してる場合ですが、中身が流体になると、摩擦のない完全流体なら $ \omega_1 $ は全体回転に追随せず慣性空間に固定 ( トルクもなし ) となるでしょう。
摩擦があれば部分的に追随してトルクが発生するでしょうが、ちくわ1, 2が完全に同じなら、やはり $ N_2=-N_1 $ となって打ち消しあい、全角運動量 $ L=I\omega $ は変化せず、相対運動が減衰しても $ \omega $ 回転は不変でしょう。

  投稿者:EMAN - 2008/11/12(Wed) 16:48  No.5749 
> 勘違いしてますよ。コリオリ的な運動はω×vですよね。

 ああ、ありがとうございます。
 イメージに頼りすぎました。
 わずかに反れて軸方向へ向かったり離れたりする動きがありますね。

 あまり直径の大きな球を振り回すと、良くないということですね。

 しかしこれは球体内部の立場では、遠心力と同方向へ向かったり逆に向かったりを繰り返す、振動する力として感じられますから、定常的な渦を形成することはなさそうです。

 しかしこれで摩擦は生じますね。 その結果、球体の回転が失せる可能性がある。 もしそうなったとしても、全体の回転への影響はなさそうですね。

  投稿者:あもん - 2008/11/12(Wed) 17:45  No.5750 
ASAさん:

>電磁波の角運動量という、いわく「不健全」な概念を良く考察します。

ちゃんと「不健全」であることを認識していますか?

lele さんは力学における角運動量保存に関して疑問を持っていたのは話の流れからして明らかですよね。で、パラドックスめいた思考実験をいくつか用意してきたわけです。その思考実験はニュートン力学(流体力学含む)に関するものでした。

重要なのは、

 この実験は現実世界とは別に、
 ニュートン力学という数理世界(思考世界)の中に存在しうるもの
 と考えることができる

という点です。ですから、ニュートン力学の中でこの問題の回答がきちんと得られない限りは、ニュートン力学という数理モデルの無矛盾性に疑念が生じるのです。思考実験というのは、概してそういう類のものです。

熱輻射(電磁放射)の効果が気になるなら理想的な断熱(遮蔽)容器だと考えてください。何でわざわざ問題を複雑にして、回答を不明にするんですか? これが私が不健全だという理由です。

  投稿者:あもん - 2008/11/12(Wed) 18:16  No.5751 
leleさん:

図、拝見しました。要望に応えて下さったことにまず感謝いたします。

ちくわモデルはやはり完全に誤読してましたw ASAさんのアレイモデルは想定していた通りでした。ASAさんの装置の説明は大変わかりやすいものだったと思います。私の円柱モデルはその通りです。歳差運動と主軸回転がきっちり伝わっていたようで、安心しました。

ターンテーブルモデルですが、容器を180度回転させて十分時間がたった後、ターンテーブルはある程度の角速度をもち、容器(およびそれと一体に戻った水)もある程度の角速度をもっているでしょう。それらの角速度がどれくらいかは、実験装置の質量分布や水の粘性などに依存するし、実際計算するのは大変だと思われますね。ただ、もちろん全体の角運動量は保存し、力学的エネルギーは損失するという結果になるはずですね。

  投稿者:ASA - 2008/11/12(Wed) 18:19  No.5752 
あもんさん

>その思考実験はニュートン力学(流体力学含む)に関するものでした。
 それは、あなたの勝手な思い込みですよ。
>この実験は現実世界とは別に、
> ニュートン力学という数理世界(思考世界)の中に存在しうるもの
> と考えることができる
 これも、あなたの勝手な思い込みにすぎません。

leleさんは、現実の事例をもってそれをどう解釈するのか疑問思っていただけでしょ。
 そもそも角運動量なる概念は、ニュートン力学だけで成立する概念でなく、物理一般に成立する概念です。

>ニュートン力学という数理モデルの無矛盾性に疑念が生じるのです
leleさんがパラドックスとして事例を紹介したと解釈するのも、はずしている気がしますね。
 実験を自分で準備しようという姿勢からして、初めから単なる思考世界にとどまる話に見えませんでした。

leleさんが
5736>私の理解は、ニュートン力学の範囲のみとなっています。
ここで、はじめてニュートン力学の範囲で語っていたことが明確になりましたけども、

>何でわざわざ問題を複雑にして、回答を不明にするんですか?
 問題意識がどこにあるか判らなければ、答えようがありませんがな。
 現実との齟齬があるかもしれないけど、ニュートン力学の範囲で考えるならこうだと言われても、もし、機械設計に係わりそれが重要な要素なら、範囲を勝手に定めてよいものかどうか、これを勝手に判断できないでしょう。
 ということで、不明としたまでです。

とはいえ、leleさんの問題の核心は、まだ良く見えないのですけども。

  投稿者:あもん - 2008/11/12(Wed) 18:56  No.5754 
ASA さん

>>その思考実験はニュートン力学(流体力学含む)に関するものでした。
>それは、あなたの勝手な思い込みですよ。

思い込みだった可能性ももちろんありましたが、実際は事実でしたね。これくらいはいくら何でも察してあげることはできますよ。逆にこの思い込みが間違いだったなら、私は lele さんのことをキ●ガイだと思ったでしょうねw

>>この実験は現実世界とは別に、
>>ニュートン力学という数理世界(思考世界)の中に存在しうるもの
>>と考えることができる
>これも、あなたの勝手な思い込みにすぎません。

問題を無用に複雑化し、回答をなくそうとする態度よりは、よっぽど健全で意義のある思い込みですよ。

  投稿者:ASA - 2008/11/12(Wed) 18:56  No.5755 
>もちろん全体の角運動量は保存し、力学的エネルギーは損失するという結果になるはずですね。

 図をみると、一概にこれは言えないような。
 下部ターンテーブルの軸受けがどうなっているのかに依存します。一般には、大地がサポートでしょうし、軸受けの抵抗が相応にあるから(たぶん容器と水との抵抗より大きい)、十分時間がたった後は、どの道とまるという実験結果が得られると思います。
 それ以前に、そもそも、軸受けの初動抵抗が0にできないので、下部ターンテーブルが全く動かないというケースも考えられます(静止摩擦力を打ち破るトルクを与えないと動かない)。
 実験装置について、かなり精密に製作しないと意味がないような気がします。(その道の人なら、よろしいのですが)

  投稿者:ASA - 2008/11/12(Wed) 19:11  No.5756 
>思い込みだった可能性ももちろんありましたが、実際は事実でしたね。
 でも、散逸をどう扱うかという点は、まだ不明です。
散逸なしを勝手に想定するのはいかがなものかと。
No.5755でも述べましたが
現実の装置を組み立てるときは、散逸の影響を免れませんから。

>問題を無用に複雑化し
 無用かどうかは、leleさんの問題意識にかかかってきますね。
 実験しようとしてるから、どう考えてもこ断定できないですよ。

>よっぽど健全で意義のある思い込みですよ
 ご自由に。問題意識とそぐわないかもしれない回答をして、単なる自己満足に陥っていても、きっとあなたにとっては健全で意義のある行為なのでしょう。

  投稿者:ASA - 2008/11/12(Wed) 19:28  No.5757 
ちなみに説明しておきますと、
>大地がサポートでしょうし、
 この場合は、回転円筒瞬間接着と同様に、角運動量を担ったねじりの弾性波が、大地を伝わっていきます。装置自体は、角運動量を持たなくなります。
 角運動量保存則の実際問題への適用は、何が散逸性の角運動量を担いえるのかという分析も重要になります。

  投稿者:あもん - 2008/11/12(Wed) 20:37  No.5758 
うーん、多分、ASAさんはピグマリオン症ですね。現実世界と数理世界の区別がはっきりできていない思考の病気をこう呼ぶんですが、それっぽいです。科学と関係なく生きている人はほぼこの病気を持っているんですが、科学をよく知っていてもピグマリオン症の人は珍しくありません。数学や理論物理の人間でこの病気を持っている人はいないでしょうが、実験物理や工学系の人にはよくいるのです。別に悪意があって議論を混乱させているわけではないと信じます。

数理世界といってもあまりすぐにはピンとこないでしょうから、厳密性を犠牲にして、今の場合にわかりやすく言うと、

こういう思考実験においては、極力、理想的なものを想定して下さい

ということです。これは暗黙の掟です。ASAさんはこう言うと、「それはあなたの勝手な思い込み」と思うかもね。でも、これは思考実験の議論におけるかなり常識的なルールですよ。

ただ、ニュートン力学においては危うい概念がいくつかあることも確かです。その1つは「完全流体」です。これは場合によっては粘性が0の極限をちゃんと考えないといけないことがよく知られていますね。もう1つは「剛体」。これも場合によっては弾性体において音速∞の極限をちゃんと考えないといけないことが知られています。

今回のleleさんの最初の方の疑問では、たまたま剛体に関する一種のパラドックスが掲げられました。こういう場合は、必然的に弾性体の話になり、話が複雑化するのはやむをえないのです。しかしその後のASAさんの話は、無用に話を複雑化しているだけです。

ASAさんは本当に、lele さんがそういう実験の事情について尋ねていると思っているのかな? 軸の抵抗は0、テーブルは剛体、重力や電磁輻射や空気抵抗は無視できるという、理想的な状況を想定しているとは考えてあげられないのですか?「これらは本当の現実世界においては無視できない、だから結果はわからない」では、あんまりですよ。

  投稿者:ASA - 2008/11/12(Wed) 21:38  No.5759 
>科学と関係なく生きている人はほぼこの病気
 ハイハイ。科学と関係ない人は、皆病気。

>こういう思考実験
だから、leleさんは、その筋的な思考実験を展開すると宣言していないから。

 角運動量というものは、運動量よりも、馴染みない概念であるので、
角運動量保存といっても、普通はピンと来ないわけで、だから卑近な現象を元に物理的見方について色々意見を伺いたいというのが、leleさんの投稿目的です。
 その筋的な思考実験に基づいて議論を展開すると考えているのは、あもんさんだけですよ。だから、「あんたの勝手な思い込み」と評価したのです。
 leleさんが提示したのは、思考実験における抽象化(捨象)した数理モデルでなく、現象的な事例ですよ。素人的には、特定事例をベースに物理概念とか、物理的見方を習得していくのが普通ですよ。(全く、何勘違いしているのやら)
 事実、初めは、接触する回転円筒をの事例とした、解釈の話だったでしょ。
>剛体に関する一種のパラドックスが掲げられました。
 パラドックスでないです。こう解釈するんだけどどうかなという識者にたいする問いかけでしょ。(あもんさんは物理的疑問は何でもパラドックスにしてしまうんですね。)

>無用に話を複雑化
 あんたが、そう勝手に思っていることは良く理解できました。
 でも、leleさんの意見を聞かないとほんとのとこは分からないですよ。

>理想的な状況を想定しているとは考えてあげられないのですか?
 普通の人は、物理応用面に価値があると考えるので、現実的事例で説明しないと、「なんだ物理って机上の空論に等しいのか」と評価され、予算削減とかでその筋の人の首を絞めることになると思いますがね(プロでない場合は、社会的には、変人という評価が定着します。普通はデメリットと考えますが、思い込んじゃてる人は「特別」だとか思ってしまうんですかね)。

 質問者の理解度が進むなら、もちろん理想的モデルで説明しても良いのですが、そのときには、現実的にはこういう作用があるけど、こういう理由から切り捨てられるよと、前もって具体的に説明しないといけないと思います。

leleさんのコメント5736>私の理解は、ニュートン力学の範囲のみとなっています。
 現在理解できる枠組みを示しているだけで、それに満足しているとは書いていないですよね。なので、異なる枠組みでの理解の仕方を提示することこそ視野を広げるという意味での価値があると思います。
 何度も書きますが、角運動量というのは、ニュートン力学の範囲だけでないですよ。

  投稿者:lele - 2008/11/12(Wed) 23:29  No.5760 
むむーん。。色々ご意見をお聞かせ頂きありがとうございます。
パラドックス。。。理想的には、パラドックスを明確に示して、論拠となるセオリーに疑問を向けて、理解を深める、、、或いは、そんなバカな。。。と思う人にも、納得して貰う、、、そんなつもりでしたが、、最初の剛体の回転連結の話は、余りにも単純なので、これは自分の理解が足りないのであろう、、、ということは予想してました。案の定でした。。。
崩したいセオリーは、角運動量の保存則です。
以降の、流体モデルも、結局は、角運動量の保存則が成り立たないのでは、というのを願って構築したものですが、パラドックス示せるほど自分でも把握できていませんし、この機会に色々考えてみると、単純化したつもりのモデルでも、ニュートン力学とはいえ、流体が絡むとややこしくなるものなのですね。全く、咀嚼できてません。
私としては、すごく物理の強い人に、角運動の保存の法則を使わずに、提示したモデルの挙動を検討して貰い、
結果的に、それでもやっぱり角運動は保存されていた。。。となるのか、
おや?角運動が保存されていないぞ!となるのか、、、他力本願ですが、そこが知りたい、という動機でした。
どうやら、ニュートン力学の範囲では、皆さんの意見は、前者で一致しているようですが、、(しかし、角運動が保存されるという、納得できる論拠はまだ、見出せません)

私の頭の中では、角運動が保存されない場合があるのでは、、、とまだ、思っているのですが、上手く説明するのがとても難しいです。
少し書きかけたのですが、あまりに長くて、あきれるほど、直感的なので、書かない方が良いかも知れません。(^^)

ところで、角運動量保存の法則、というのは、絶対間違いの無いものとして証明されているのでしょうか。?

  投稿者:あもん - 2008/11/12(Wed) 23:38  No.5761 
>ところで、角運動量保存の法則、というのは、絶対間違いの無いものとして証明されているのでしょうか。?

理論が等方性(回転対称性)を持っている場合は、成り立つことが一般的に証明されています。ですから、ニュートン力学、電磁気学(相対論)、ありとあらゆる場の量子論でこれは成立します。

しかし一方で、この場合はどうなるの? 成り立っていないように思えるけど大丈夫なの? と提案すること(パラドックスをかかげること)はとても大事なことです。

  投稿者:waki - 2008/11/13(Thu) 03:18  No.5763 
はじめまして、leleさん。
ただの年寄りです。

No.5760に関して

>崩したいセオリーは、角運動量の保存則です。
>私の頭の中では、角運動が保存されない場合があるのでは、、、とまだ、思っているのですが、上手く説明するのがとても難しいです。

出来れば何故この考えに至ったかを御教授願いたいです。
(本当に、何故?が知りたいだけです。。。)

  投稿者:藤田伊織 - 2008/11/13(Thu) 05:30  No.5764  <Home>
角運動量の保存に関係して、最近悩んでいる問題を相談します。

問題「真っ直ぐな棒状の恒星の周りを周回する惑星の様々な軌道を考える」
(まず指摘されそうなこととして、恒星の質量が無限大になることですが、これは、直線電流と同じと考えてください。)

よろしくお願いします。


  投稿者:ASA - 2008/11/13(Thu) 07:14  No.5765 
本質的意図は、ここにあったのですな。
>崩したいセオリーは、角運動量の保存則です。
>私の頭の中では、角運動が保存されない場合があるのでは、、、とまだ、思っているのですが、上手く説明するのがとても難しいです。

>ニュートン力学の範囲では、皆さんの意見は、前者で一致しているようですが
 いろいろな散逸過程を説明したように、ニュートン力学の範囲という制限ではないです。
 結論としては、範囲制限なしに、角運動量の散逸がなければ、系内の角運動量は保存する。散逸があれば、保存しないです(複雑ではない、極自然なステートメントだ)。

>角運動が保存されるという、納得できる論拠はまだ、見出せません
 論法としては、運動量と角運動量を並行させる方法があります。
運動量が保存することをどのように納得しておられるでしょうか?

  投稿者:ASA - 2008/11/13(Thu) 08:29  No.5766 
あもんさん

>理論が等方性(回転対称性)を持っている場合は、成り立つことが一般的に証明されています。
細かいことですが、これも変ですね。作用が時間に陽に依存する(散逸のある運動方程式を導出するケース)では、空間的な回転対称性を満たしていても、保存するわけがありません。

  投稿者:lele - 2008/11/13(Thu) 12:13  No.5767  <Home>
ご相談する場合に、あまりコチラの意図を明確にしないほうが良いかと思い、ASA様やあもん様に誤解を与えていたかも知れず、申し訳ありませんでした。

いろいろな散逸過程=例えば電磁波が運び去る角運動量の散逸というものは、量子論的なものか、ニュートン力学的なものか、判らなかったのですが、いずれにしろこの運動系から、エネルギーが外部に放出(放射)され、その際に反力(この場合角運動としての)を受けるかどうか、、、受けるのであれば、例え量子論的な話であっても、角運動量は全体として保存される。 受けないのであれば、保存されない。。。と言う意味で解釈してました。

私の誤解かもしれませんが、、、、5705⇒小さな渦が消える場合は、分子の回転運動に転化され、最終的には分子から放射される電磁波となって、これがエネルギーとともに角運動量も持ち出すのでしょう。
このコメントが、個人的には、一番勇気付けられるものでした。角運動量が保存されないのでは?と思っている私でも、じゃーそれが、どこに行ってしまうのか、何に変わってしまうのか、、、不思議だったからです。

⇒運動量と角運動量を並行させる方法があります。
これは、多分イメージ的に理解できます。とても長い剛体の棒の回転運動で、
その先端の挙動を考えると近似的には直線運動と考えられますよね。
もし、角運動量が保存されない場合、突然何のリアクションも伴わずに、急反転する(運動量保存の法則に反する)ユーフォーが出来てしまうじゃないか??ということですよね。

5730 5736 ダブルターンテーブルモデルという単純化したモデルでも、意外なほどややこしそうだ、、、と判りました。

全体がどう挙動するか、、という捕らえ方ではなくて、ピンポイントで疑問を示す(言いたい点を述べる)必要があるように感じています。

5763⇒出来れば何故この考えに至ったかを御教授願いたいです。
(本当に、何故?が知りたいだけです。。。)

笑われるのを覚悟で、極簡単に書くと、

回転する生卵を、反転させると、内部に渦が生じるだろう。。
(修正-球に近い卵では、発現しにくいので、極薄い円筒の容器をイメージして貰った方が良いです。回転=レコードのような回転、反転=B面に裏返すような回転)

反転させるのには、エネルギーが必要だろう。。。
(内部が流動体の場合、反転は、惰性では行われないだろう という意味)

反転に費やしたエネルギーは、内部の温度上昇に費やされるだろうけど。。。

反転させるのにエネルギーが必要、、、というのは、どういうことだ。。

反転させている軸に関してみれば、角運動量が保存されていないじゃん!?

判りやすいモデルとして、5698(5736の2本ちくわモデル参照)を示しました。ASA様の逆回転アレイモデルも同義的なタイプです。
さらに、判りやすさを増すために、最初は、凍結させておき、ある瞬間に、溶解させる、、というイメージを示しました。

つまり、ちくわの串を軸として公転している物体が、加熱という、外部との角運動のやり取りが無さそうな操作によって、回転(公転)スピード低下するのでは、、、角運動量が保存されていないのでは!!、、ということを示したかったわけです。(パラドックスとしては書き表せませんでしたが)

  投稿者:TOSHI - 2008/11/13(Thu) 17:09  No.5770 
 どもTOSHIです。

 空間の一様性(平行移動不変性=空間原点をどこにとってもよい)や等方性(回転対称性=直交xyz軸をどの向きにとってもよい)は時間とは独立なので作用が時間を陽に含んでいても運動量や角運動量は保存します。

 作用が時間を陽に含むと保存しなくなるのはエネルギーですね。。。これらは全て閉じた系が対象なら保存するはずです。。。

 相手を論破するためには何を言ってもいいということではないと思いますよ。。何としても相手の言を否定し自己を正当化するという目的と,純粋に科学的な論題について主張するということはむずかしいでしょうが分けて書いてもらわないと読んでいる側が混乱します。。まあ当人同士以外は関係ないのかもしれませんし,自分が正しいと気取ってる奴の意見など聞きたくないと思われるでしょうが。。。
                          TOSHI

  投稿者:あもん - 2008/11/13(Thu) 18:50  No.5771 
>私の誤解かもしれませんが、、、、5705⇒小さな渦が消える場合は、分子の回転運動に転化され、最終的には分子から放射される電磁波となって、これがエネルギーとともに角運動量も持ち出すのでしょう。

leleさんが真に受けてしまってはまずいので、一応コメントしておきますが、こんなアホな話ないですからね。理論系の研究室でこんなこと言い出そうもんなら「いやいやいやw」と苦笑されて終わりですよ。

例として、体積 cm^3 程度の水が回転数 10/s 渦を作っていたとすると、その力学的エネルギーは E=10^-5 J くらい、角運動量は J=10^-6 kgm^2/s くらいのオーダーです。いま、仮にその力学的エネルギーが全て分子から放出される電磁波になったとしても、それによって運ばれる角運動量の最大値は J'〜hE/ε〜10^-20 kgm^2/s 程度のオーダーです。ここで ε は分子から放出される光子1個のエネルギーのオーダーで、eV 程度です。J'/J〜10^-14 なので、こんなものは完全に無視されます。ましてや熱輻射のようなインコヒーレントな電磁波では、完全に無視されるオーダーになります。

  投稿者:ASA - 2008/11/13(Thu) 18:52  No.5772 
TOSHIさんからコメントがあるとは思いもしなかったですが、

良く知られた例ですが
ラグラジアンとしては、
L=(m(r'^2+(rθ')^2+U(r))/2)e^(ηt)
があります。
U(r)=0のときの保存量としては、
mr'e^(ηt)=c1
mr^2θ'e^(ηt)=c2
となります。
広義の運動量や角運動量はコンスタントと、Lの対称性を反映して存在しますが、
力学的角運動量は
mr^2θ'=c2e^(−ηt)
となるので、保存してません(ここがポイント)。

ちなみに運動方程式は、
(mr'e^(ηt))'=∂rUe^(ηt)
なのでe^(ηt)で割ることで
(mr')'+ηmr'=∂rU
と速度に比例した抵抗力が働く式になります。

 Lが相応のものでないと、力学的運動量の保存として意味を持たないという例です。

 もし、保存力とか制限をつけていたら、コメントしませんよ。
 保存力との制限があると、もともとのステートメントは、"保存力なら保存する事を証明できる"ということでなんか説明になっていない気がしますが。

  投稿者:ASA - 2008/11/13(Thu) 20:54  No.5773 
あもんさん No.5771
>誤解かもしれませんが
はい誤読です。 No.5733を読んでください。
なので
>例として、
が変です。

  投稿者:lele - 2008/11/13(Thu) 21:37  No.5774 
5771⇒それによって運ばれる角運動量の最大値は J'〜hE/ε〜10^-20 kgm^2/s 程度のオーダーです。

私の話を続けさせていただくとすれば、、、
ご推察どおり、私としては、そんな小さな量のことを取り上げているつもりは全くありませんでした。(もっとも、それは、私が意図をしていなかった、、というだけの話です。)

自分の説明を読み直しているうちに、もっと判りやすい説明を思いつきました。

【首振り扇風機モデル〜〜〜(ドラエモン風)】
扇風機の羽根を取り外して、代わりに 水を満たした円筒容器をセットします。
スイッチをオンにして、しばらくすると、円筒容器内の水は、容器と同調して、(渦や乱流を伴わずに)回転します。
次に、この状態のまま、首振りスイッチをオンにします。
多分、円筒容器内の水は、乱流となり発熱します。
その熱エネルギーは、首振り動作で費やした運動エネルギーまたは、それ以上なのかも(モーターから?)
ある日、首振り装置部分がバカになってしまい、扇風機の上部か抵抗無しに くるくると自由に(垂直な軸で)回転するようになってしまいました。
■回っている扇風機の上部を手でくるっと(首振り方向に)回してみたのですが、直ぐに止まってしまいます。
これは、いったいどういうことでしょう。角運動が保存されていないように思えます。
扇風機が止まっている時や、円筒容器の代わりに羽根が取り付けてある場合は、同じようにくるっと回すと、慣性でいつまでも回り続けているのに、、、

(これは、先のコメントの生卵の反転の焼き直しです。)

■■やっとパラドックスにたどり着いたような気がするのですが、どこか、おかしい点があるでしょうか。。?
あるいは、こういう、(略直行する)2軸の回転を考える場合は、角運動量の保存則は除外されるのでしょうか。
それとも、単純な、誤認があるでしょうか。。。

  投稿者:あもん - 2008/11/14(Fri) 00:07  No.5776 
leleさん:

>■回っている扇風機の上部を手でくるっと(首振り方向に)回してみたのですが、直ぐに止まってしまいます。これは、いったいどういうことでしょう。角運動が保存されていないように思えます。

図がないのでやっぱり意味がわかりにくいんですが、lele さんと扇風機が宇宙空間に浮いたまま、leleさんが扇風機を握ってこの実験をやったと想像してみれば? そうすると、lele さんと扇風機は宇宙空間で回転を始める(あるいはもとの角速度が変化する)んじゃないかな? lele さんがもし「そうかもしれない」と思えるなら、地上でその実験をやった場合はもとの角運動量は地球に逃げているだけです。

>あるいは、こういう、(略直行する)2軸の回転を考える場合は、角運動量の保存則は除外されるのでしょうか。

そんなことはないので安心してください。角運動量保存則は、外部からのトルクが働かない限り、保存します。

  投稿者:lele - 2008/11/14(Fri) 00:45  No.5777 
コメントありがとうございます。
⇒地上でその実験をやった場合は、もとの角運動量は地球に逃げているだけです。

もとの角運動量というのは、なにを指しているのでしょうか。

上記の話の核心は、
扇風機が止まっている時や、円筒容器の代わりに羽根が取り付けてある場合は、扇風機の上部をくるっと(首振り方向に)回すと、慣性でいつまでも回り続けているのに、、、回っている扇風機(羽根が円筒容器に付け替えられたモノ)の上部を手でくるっと(首振り方向に)回してみたのですが、直ぐに止まってしまいます。
という部分です。
扇風機は地面に置いておくという想定です。首振り軸が摩擦抵抗無しに回転するので、軸の上部(扇風機の羽根とかモーターとかの有る部分)は、地上とは独立して、角運動量を保存するはずです。
しかるに、上述のように、扇風機のスイッチを入れた状態では、軸の上部に加えられた角運動量はどこかに消えてしまうように思えるのですが。。
(時間と共に、回転が遅くなるということは、角運動量が減っていく、、、ということでしょう。)
間違ってる可能性があるとすれば、、、、
水入り円筒容器も、剛体の場合と全く変わらず、軸の上部を回したら、予想に反して回り続ける。。。場合でしょうか。

  投稿者:waki - 2008/11/14(Fri) 01:55  No.5778 
leleさん。ありがとうございます。

No.5774について。

>多分、円筒容器内の水は、乱流となり発熱します。
>■回っている扇風機の上部を手でくるっと(首振り方向に)回してみたのですが、直ぐに止まってしまいます。

つまり扇風機の回転が容器の水の乱流と熱に変わるので角運動量は保存しないのでは?という事ですね?乱流とミクロの角運動量を無視するならばそうだと思いますけど。。。無視しなければトータルで保存しますね。

  投稿者:あもん - 2008/11/14(Fri) 05:03  No.5779 
leleさん:

>扇風機は地面に置いておくという想定です。首振り軸が摩擦抵抗無しに回転するので、軸の上部(扇風機の羽根とかモーターとかの有る部分)は、地上とは独立して、角運動量を保存するはずです。

あ、ここ誤解してるかも。首振りの軸が抵抗なしでも、扇風機のしっかりした土台を通して地面にトルクを与え、角運動量が逃げてしまうんですよ。例えば、扇風機の足が細い1本の棒だと考えてみてください。地面の上でこの細い棒1本で扇風機が立っていると想像するわけです。それで回転している容器を扇風機の首ごとグリッと回転させてみたとします。果たして、この不安定な扇風機は立っていられますか? 無理だよね? 誰かが支えてやらないと。この支えるという状態、あるいは複数の足を持たせた状態というのは、地面にトルクを与え、角運動量を逃がしているからなんです。

  投稿者:ASA - 2008/11/14(Fri) 07:40  No.5780 
leleさん:

角運度量が保存するというのは、散逸がないという理想的状態のお話です。
 (運動量と同じ話です)
現実には、必ず何らかの散逸(逃げ道)があるので、角運度量が保存しない方が一般的です。

>角運動量というのは、なにを指しているのでしょうか。
 質点モデルでいえは (r_i×p_i)というもの。
 まあ、良く分かりませんな。

>直ぐに止まってしまいます。
 ここが核心でしょう。
要するに散逸のパスや機構の違いにより、単位時間当たりに失われる量が違うということですから、どのように散逸するかというメカニズムを考察した方が有益でしょう。

 ちなみに、エネルギーが失われるときは、運動量や角運動量(部分的)も失われるます。 回転対称だから、エネルギーが失われる場合でも角運動量(部分的)のみが何が何でも保存するなんて事はありません。

  投稿者:lele - 2008/11/14(Fri) 13:51  No.5784 
⇒図がないのでやっぱり意味がわかりにくいんですが、

簡単に書いてみました。
http://conaris.web.fc2.com/newpageG.html


5779⇒扇風機の足が細い1本の棒だと考えてみてください。地面の上でこの細い棒1本で扇風機が立っていると想像するわけです。それで回転している容器を扇風機の首ごとグリッと回転させてみたとします。果たして、この不安定な扇風機は立っていられますか? 無理だよね?

私が誤解している場合はご容赦下さい。。
扇風機の足 というのは、図の支柱に相当する部分ですね。
私の想定している支柱は、地面と一体の剛体です。
「細い棒」でも剛体ならいいのですが、ふにゃふにゃ?だと、話がややこしくなるだけのような気がします。つまり、反力や重力で支柱が曲がったりねじれたり、してしまわない、、という前提に立って、考察しようとしているわけです。(もっとも、物理の問題の中には、そういう切り捨てたつもりの部分が、結果的に、実は大事な要素だったりする場合もあるのでしょうが。。。)


5780⇒エネルギーが失われるときは、運動量や角運動量(部分的)も失われるます。
角運動量の保存則に疑問を挟んだ話をしているわけですが、エネルギーの保存則まで、疑問を持っているわけでは有りません。(あくまで、初歩的なニュートン力学の範囲で)
ここで、エネルギーが失われる、というのは、何かに転換される(熱や、ひずみや、別の運動。。。他)という意味ですよね。

⇒現実には、必ず何らかの散逸(逃げ道)があるので、角運度量が保存しない方が一般的です。

具体的に、首振り扇風機の思考実験において、上部の首振り方向回転が保有している角運動量は、どういう逃げ方をするのでしょうか。
勿論、空気抵抗は0。バカになった軸受けの摩擦抵抗は0。としてです。



  投稿者:ASA - 2008/11/14(Fri) 17:02  No.5785 
lele さん

>首振り扇風機の思考実験
 理想化されたものを考えるわけですね。

>首振り方向回転が保有している角運動量は、どういう逃げ方
 外力無しで、完全に逃げ道がなければ回転し続けるでしょう(角運動量は保存)。


  投稿者:あもん - 2008/11/14(Fri) 17:38  No.5786 
leleさん:

図は想定通りです。私の言う細い棒(足)は支柱の部分です。剛体でいいです。図のようなすそ広がりでなく、いったん、ただの棒だった場合を考えてみて下さい。もちろん、地面には食い込んでなく、ひどく不安定です。隣で誰かが軽く支えて立たせていると思ってください。で、回転している扇風機の頭をグリッと180度回転させたとします。このとき、不安定な扇風機はある方向に勢いよく倒れようとするのです。土台がしっかりしていればよいですが、一本足だと誰かが力を入れて支えてやらないと倒れてしまうんです。ここまでわかりますか?

で、この支えた瞬間というのは、地球に対してトルクを与えているんです。つまり、角運動量が地球に逃げているんです。だから、角運動量が保存しなくなるわけです。地球の角運動量まで含めれば、もちろん保存しています。

もとのしっかりした土台に戻って考えても、同じことです。頭をグリッと回した瞬間、扇風機は傾こうとするんです。でも土台がしっかりしているから、左右で地面に対する応力に差異が生じることで、地面に対してトルクを与えるわけです。

このようにして地面から角運動量が逃げるカラクリを、まずはleleさんにちゃんと理解して欲しいのです。当然理解している、今理解した、理解できない、どれかで返事を下さい。加えて、今の実験がまだパラドックスめいて思えるかどうかもお願いします。

  投稿者:lele - 2008/11/14(Fri) 20:48  No.5789 
おつきあい頂き、ありがとうございます。

棒の件、了解しました。
まず、私の解釈では、
@構成を判りやすく説明する為の扇風機では、すこしずれてしまっていますが、垂直の回転軸の直線状に、円筒容器の質量中心が位置する形状に変更します。(私の説明したい、全体の作用に変化は無いはずです。)
A回転する円筒容器の内部を凍らせて剛体にしたとします。
B地球ゴマなどに見られる変な力(トーションと呼ばれるものかも、、)の作用で、二つの直交している軸(垂直軸と円筒容器の回転軸)の夫々に直交する、もうひとつの(見えない)軸を中心とした、回転モーメントを発生すると思います。(これは、グラインダーを手に持って角度を変えると体験できる力で、、、5730に示したモデルで、自公転プレートを回した際に、ターンテーブルに加わる力と同義だと思います。)
C上記の新たな3軸目のモーメントは、その下にある軸を介して地球にどのような力を与えるのか、、、という問題として考えられる思います。
D向き(方位)の説明ははしょるとして、上記の角モーメントは、支柱棒の地表との接点において、垂直軸の回転と同期して、横向きに働くと思います。
注、、、しかし、この力は棒を倒すような種類の(向きの?)力ではなく、棒は倒れないのではないか?と推察します。(棒が倒れるかどうかが、ポイントかどうかわかりませんので、飛ばしますが、、)
E棒の先端は、確かに、地球に対して横方向の力(こういう場合もトルクというのかどうか判りませんが、)を与えてますね。
E⇒支えた瞬間というのは、地球に対してトルクを与えているんです。
今、ちょっとわかりました。。上記の棒が倒れる、倒れない、、というのは、
棒の下端が、地表に対して、、、A 氷の上に棒が突き刺さらず乗っている。
B例えば直径1ミリの剛体棒が、深さ0.5ミリ直径1.1ミリ凹み部分に納まっている。  という二つの場合で異なりますね。
Aの場合、、棒は倒れる、、というか、円筒体の重心を中心にとして先端が横方向に動くように回転する力を受け、もし支えている人が弱いと横向きに弾き飛ばすような力で振舞うでしょう。。結果支えていないと、全体が重力で落下してしまいます。
Bの場合は、そのまま動かないと思います。

ココまでで、カラクリを理解しているかどうか、、のご返事とさせていただきます。とりあえず、なんとも言えない。。という答えになるでしょうか。

次に、、私の解釈ですが、上記のAの場合であっても、Bの場合であっても、装置(バカになった回転軸より上の部分)の角運動量が地面に逃げているとは思えません。
皿回しで、止まっている皿(なぜか落ちずにきちんと乗っている)に対して、棒をどんな風に動かしても、皿が回らないのと同じ理屈です。

予断ですが、、私のアイデアの進め方として、例えば、全く同じ装置を、特定の面で、左右対称に(鏡像というのでしょうか)組み合わせて、ややこしくなりそうな部分(回転モーメントなど)を相殺させます。
本例の場合も、二つの扇風機を支柱スタンドの底の面で張り合わせて、それを宇宙空間に浮かべてしまう、、というイメージで余計な、応力を消して考えることが出来ます。
本例の場合に当てはめると、連結された支柱部分は、バカになった回転軸から先の部分(モーターとか円筒容器とか)と、角運動的に切り離して考えられるはずです。

  投稿者:あもん - 2008/11/14(Fri) 23:52  No.5791 
>ココまでで、カラクリを理解しているかどうか、、のご返事とさせていただきます。とりあえず、なんとも言えない。。という答えになるでしょうか。

ここまでわかりやすく説明して、すぐにわからないのではちょっと望みがないかもね。まあ、あまり焦らず、もう少しご自分でよく考えてみてください。ただ間違っても、摩擦や粘性があると角運動量が保存しなくなるとか、電磁放射が…、なんて考えないようにね。

  投稿者:waki - 2008/11/15(Sat) 01:41  No.5793 
扇風機の話では地球に逃げる云々は関係ないのでは?

>多分、円筒容器内の水は、乱流となり発熱します。
>■回っている扇風機の上部を手でくるっと(首振り方向に)回してみたのですが、直ぐに止まってしまいます。

乱流が発生するから止まる(と考えている)のでしょう?でなければ止まる理由がわかりません。

  投稿者:lele - 2008/11/15(Sat) 02:17  No.5794 
扇風機の話では地球に逃げる云々は関係ないのでは?

コメントありがとうございます。
そうですね。。私の解釈でも、

@問題となっている角運動量は、垂直な軸に関するものであり、、、
A地球に逃げてしまう のであれば、そのモーメントも支柱を介して地球に伝わるしかないはずで、、、
Bしかし、その支柱が、垂直な軸で自由に抵抗無く回転してしまうのであれば、、、
C支柱から下に、(垂直な軸を軸心とする)回転モーメントは伝えたくても、伝えようが無い(抵抗無くクルクル回ってしまうので)という、
あまりにも単純なことを言っているだけのつもりなのですが、、、私か、あもん様のどちらかに、どこかにこの単純を上回る誤解があるでしょうか。

言い換えると、摩擦係数ゼロの氷の上にボードを置いて、その上に横から走ってきた人が飛び乗っても、ボードは氷から、横方向の抵抗を受けようが無い。。。ということです。 


  投稿者:あもん - 2008/11/15(Sat) 03:33  No.5795 
leleさん:

氷の上にあると想定するならそれでもいいです。その場合、扇風機の下面が地面から受ける応力は垂直応力だけになりますが、それでもトルクのやりとりが可能でしょ? その垂直応力(圧力=力面密度)の大きさが面の場所によって異なる場合です。そして実際、扇風機の頭が回っている時というのは、そのように下面の場所によって応力の大きさが異なることにより地面と角運動量のやりとりをしているわけです。(もし足が細い棒だったらこのやりとりができません。このときは扇風機の首を振ると扇風機は傾いて倒れてしまうのです。)

羽の代わりに水の容器を回転させている場合、それが同実験で停止しやすいことは確かです。でもその前に、角運動量保存がどうなっているのかをちゃんと理解することが先決なのです。さもないと、「角運動量って摩擦や粘性があると保存しないの?」などと、ありがちな勘違いをしてしまいそうです。

  投稿者:lele - 2008/11/15(Sat) 07:38  No.5796 
あもん様の、「垂直応力が面の場所によって異なる」というのは、例えば、、
棒の先が剣山になっていて、剣山の一本一本が、均一に力(垂直応力)を受けるのではなく、(上部の向きによって)東の方が強く、西の方が弱い ということでしょうか。。

私の解釈では、5784で図に提示した運動モデルでは、たとえスタンド部分をボルトで地面にがっちり固定していても、上部の(垂直軸に関する)回転モーメントは、地面に伝わり得ない、というものです。

⇒それでもトルクのやりとりが可能でしょ?
支柱下部を介して地面との間で、トルク(回転モーメントも含む)のやり取りは、もちろん可能です。
支柱の軸がバカとなっていない場合は、全ての方向や軸について、やり取り可能ですが、軸がバカとなりクルクル回ってしまうと、その軸に関してのやり取りは、空回りしてしまう、、、というだけの話だと思います。
ボックスレンチで六角ボルトを締めるときに、ボルトの頭がつぶれて、円形となってしまったとします。どんな力持ちでも、ボルトを強く締めることは出来ません。(そんなレンチでも、強く横に叩けば、ボルトの頭は横に吹き飛ぶ、、、というのが、あもん様の言うところのトルクの伝達に相当するものだと思います。)

  投稿者:あもん - 2008/11/15(Sat) 09:19  No.5798 
lele さん。おはようございます。

>支柱の軸がバカとなっていない場合は、全ての方向や軸について、やり取り可能ですが、軸がバカとなりクルクル回ってしまうと、その軸に関してのやり取りは、空回りしてしまう、、、というだけの話だと思います。

それはそうです。それはそうなんだけど、地面に伝達されるトルクの向きはその向きじゃないんです。いま、羽の回転の向きを x 方向とします。これは扇風機の風と平行な方向といってもいいです。また、首振りの方向を z 方向とします。これは通常、上下方向です。このとき、地面とやりとりされるトルクの向きは y 方向なんです。z 方向ではありません。ここで x, y, z は互いに直交しています。羽を回転させたまま扇風機の首が回転するとき、扇風機と地面の間でやりとりされるトルクというのは、各瞬間において y 方向なんです。

>棒の先が剣山になっていて、剣山の一本一本が、均一に力(垂直応力)を受けるのではなく、(上部の向きによって)東の方が強く、西の方が弱い ということでしょうか。。

そうです。

  投稿者:waki - 2008/11/15(Sat) 11:45  No.5800 
あもんさん。
No.5795について。

>羽の代わりに水の容器を回転させている場合、それが同実験で停止しやすいことは確かです。でもその前に、角運動量保存がどうなっているのかをちゃんと理解することが先決なのです。さもないと、「角運動量って摩擦や粘性があると保存しないの?」などと、ありがちな勘違いをしてしまいそうです。

地球の話は摩擦・粘性と関係ないでしょう。そんな話をしてもleleさんの疑問は解決しないのでは?と思います。
個人的には、ASAさんに指摘された事に近い事を、ご自分でもされている様に感じます。まぁ、御二方にとっては余計なお世話でしょうし、脱線も新しい発見があって良いものかも知れませんが。

  投稿者:lele - 2008/11/15(Sat) 13:33  No.5802 
あもん様に詳しく説明していただいた、、、、各瞬間において y 方向なんです。の部分は、理解していると思います。

5789で示した下記の部分が同じ意味のはずです。
B地球ゴマなどに見られる変な力(トーションと呼ばれるものかも、、)の作用で、二つの直交している軸(垂直軸と円筒容器の回転軸)の夫々に直交する、もうひとつの(見えない)軸を中心とした、回転モーメントを発生すると思います。(これは、グラインダーを手に持って角度を変えると体験できる力で、、、5730に示したモデルで、自公転プレートを回した際に、ターンテーブルに加わる力と同義だと思います。)

私が言いたいのは、この向きのトルクを幾らひねくり回しても、Z軸を軸心とする回転モーメントには変換できない(つまり、Z軸で回っているものを停止させたり、加速させたり出来ないでしょう。。。ということです。)
あまりに単純な理屈なので、なにか大きな見落としがあるのでは???と、
とても不安です。

  投稿者:あもん - 2008/11/15(Sat) 14:33  No.5803 
leleさん:

うーん、もしかしてleleさんは、角運動量が何だか知らないのでは?
念のために聞きますが、角運動量  $\Vec{J}$ に関する次の式をちゃんと理解してますか?

<tex>\Vec{J} = \sum_i m_i \Vec{r}_i \times \Vec{v}_i= I\omega</tex>

ここで  $I$  は慣性モーメント(テンソル)、 $\Vec{\omega}$  は角速度(ベクトル)です。特に、角運動量がベクトルであるということはいいですか?

もし問題ないという場合、

#5774(leleさん)
>あるいは、こういう、(略直行する)2軸の回転を考える場合は、角運動量の保存則は除外されるのでしょうか。

いまでもまだ「2軸の回転を考える場合は、角運動量の保存則は除外される」かもしれないと思っていますか?

  投稿者:lele - 2008/11/15(Sat) 15:02  No.5804 
いまでもまだ「2軸の回転を考える場合は、角運動量の保存則は除外される」かもしれないと思っていますか?

これは、大きな誤解です。。そのときも(記述した時)、まさかそんなはずは無いだろうなと、思ってましたし、万が一、「そんなことも知らないの?2軸回転直行軸の場合は、角運動は保存されないんだよ」なんていわれたら、私の疑問は、一気に解決するので、あえて聞いただけです。(^^)

勿論今でもそうは思っていませんよ。

角運動量は理解しているはずです。皆さんほどではないかもしれませんが、、、

私の、言いたいところは、御理解頂いてますか。?
ボックスレンチや、皿回しに例えての話です。

  投稿者:kara - 2008/11/15(Sat) 16:12  No.5805 
こんにちは。
横から失礼いたします。

角運動量を考える基準点を、支柱と円筒容器の軸との交点とします。すると、円筒容器の部分が、地面とやりとりできる角運動量は、水平方向で、円筒容器の軸と垂直な成分のみ。
 もし、羽根なら、こういうやりとりをして角運動量の方向を水平面内で回転させるには、首ふり運動しかないから、以後常に、地面とやり取りする角運動量は、羽根の角運動量と垂直方向成分のみとなって、羽根の回転速度は変わらない。一方、液体だったら、円筒内部でいろいろ乱れて、その後の、液体の角運動量は、円筒軸方向と垂直な成分を持ちうるから、それ以後の地面とのやり取りで、液体の角運動量の大きさがかわることもありうると考えられます。

  投稿者:あもん - 2008/11/15(Sat) 17:30  No.5806 
leleさん:

>私の、言いたいところは、御理解頂いてますか。?
>ボックスレンチや、皿回しに例えての話です。

ああ、それはまったく大丈夫ですから安心してください。

>これは、大きな誤解です。。そのときも(記述した時)、まさかそんなはずは無いだろうなと、思ってましたし、万が一、「そんなことも知らないの?2軸回転直行軸の場合は、角運動は保存されないんだよ」なんていわれたら、私の疑問は、一気に解決するので、あえて聞いただけです。(^^)

そうですか。ならいいんですが。うーん、どうも角運動量の理解が怪しい。(^^;;

ものすごく簡単な例として、首が馬鹿になっている扇風機のハネが回転している状態で、首はいっさい振らずに、ハネの回転が摩擦で自然に止まる場合を考えてください。この場合のハネの角運動量について、leleさんはどのように考えてます?(もしかして、首が馬鹿になっているから地上にも伝わらず消失した、不思議、と思ってないかな?)

【正答】ハネの持っていた角運動量は、扇風機土台の裏面が地上にトルクを与えることで、地球へと移ったのです。地球を含めて角運動量は保存しています。一方、力学的エネルギーは主に熱エネルギーへと変わり、消失しました。力学的エネルギーは散逸過程においては保存しません。

とりあえずこれを理解できるでしょうか?

  投稿者:あもん - 2008/11/15(Sat) 17:50  No.5807 
karaさん:
考察正しいと思います。(誤読している可能性もありますが、私なりに正しいと解釈できる文章です。)

  投稿者:lele - 2008/11/15(Sat) 18:37  No.5808 
コメントありがとうございます。
5806 十分理解しています。

首振り軸(垂直軸)での回転モーメントが地球に伝わる(その結果、首振りの回転速度が低下する)のはおかしい、、というのが私の主張な訳ですが、

さらに別の言い方で、設問に変えると。。。

ここに、タイヤが1個取れてしまった、ミニカーの車軸が有ります。
車軸の先には、ベアリングを介してタイヤがついているわけですが、
軸とタイヤが静止している状態からスタートして、、、車軸を持って、どのように振り回しても、回転させてもいいので、タイヤを(車軸に対して)回転させてみましょう。。という問題がでたら、あもんさんは、どのように回転させるのでしょうか。。。

回転させることが出来るのなら、初期状態で回転しているものを静止させることも出来るはずだし、、、

逆に、もし回転させられないのであれば、初期状態で回転しているものを静止させることは出来ないはずです。

条件を広げて、タイヤが軸(タイヤの回転軸)に対して偏った質量バランスの時は、この限りではなく、それこそ、皿回しと同じ理屈で、(つまり皿の底の糸面という内縁に棒を引っ掛け、棒をくるくる回せば、皿は回ります。)
※これは、扇風機の問題に置き換えると、車軸が垂直軸、タイヤは、バカになってしまった軸の上部(モーターと円筒のセット)ということです。

しかし、これは、問題を単純化して、ポイントを浮き立たせる為に、最初の説明文で除外しています。

5789⇒
@構成を判りやすく説明する為の扇風機では、すこしずれてしまっていますが、垂直の回転軸の直線状に、円筒容器の質量中心が位置する形状に変更します。(私の説明したい、全体の作用に変化は無いはずです。)

すごく単純なことを、くどくど説明するな。。とお感じでしたらご容赦下さい。どこら辺までが単純なのか、、基準がわかりませんので、、、

  投稿者:lele - 2008/11/15(Sat) 18:53  No.5809 
kara 様
コメントありがとうございます。
良く読んだのですが、(私が)十分に説明を理解できていない可能性も有ります。
とりあえず、、、なのですが、

5784 に示した図をご覧頂いて、
バカになった軸の上部を垂直な軸心で(惰性で)回転させたとします。円筒容器の中は氷(剛体)とします。モーターのスイッチは入っていても、入っていなくても良いです。
この状態で、バカになった軸の上部の回転を止める方法(つまり支柱を介してトルクを地面に伝達し、結果、回転を止めてしまう方法)は有るでしょうか。
もちろん、軸抵抗、空気抵抗はナシです。

という問題に置き換えられるのですが、、、この部分で意思の疎通か、理解力が足りないのか(私の)、、つまづいています。

Kara様は、どのようにお考えでしょうか。
止められると思いますか、思いませんか。

私は、回転を止めるようなトルクは、バカになってしまった軸から、下へは伝達できない、、、という見方です。

  投稿者:あもん - 2008/11/15(Sat) 20:20  No.5811 
leleさん:
karaさんのおっしゃってる前半部は、
http://www.death-note.biz/up/img/30637.png
これとだいたい同じね。
図や数式がないとわかりにくいという場合を考慮し、
早急に書いたので見てください。

  投稿者:あもん - 2008/11/15(Sat) 20:30  No.5812 
訂正:

 $\dot{\phi}=\dot{\theta}={\rm const.}$  は  $\dot{\phi}={\rm const.} \quad \dot{\theta}={\rm const.}$  の誤りです。失礼。

  投稿者:lele - 2008/11/15(Sat) 20:58  No.5813 
5812 拝見しました。ありがとうございます。
了解です。

私が示した「首振り扇風機」も、まさにこのモデルを示したくて、表現したものです。

つまり、下の土台をどう動かしても、二股になっているアーム部分(及び円盤)を垂直な軸心で回転させたり、静止させたり、することは出来ない(=回転モーメントを与えることは出来ない)、、と言うのが主張です。

  投稿者:あもん - 2008/11/15(Sat) 22:02  No.5815 
leleさん:

>5806 十分理解しています。

うーん、十分理解しているんですか。つまりz方向でない角運動量変化は、地面とのトルク伝達で可能だとわかってる。摩擦(散逸)があれば角運動量が変化し、それが地面へと逃げていることも知っていたわけですね。

それなのに、

#5777
>扇風機は地面に置いておくという想定です。首振り軸が摩擦抵抗無しに回転するので、軸の上部(扇風機の羽根とかモーターとかの有る部分)は、地上とは独立して、角運動量を保存するはずです。しかるに、上述のように、扇風機のスイッチを入れた状態では、軸の上部に加えられた角運動量はどこかに消えてしまうように思えるのですが。。
(時間と共に、回転が遅くなるということは、角運動量が減っていく、、、ということでしょう。)

本当にこんなことが不思議だったの? もう答えはすぐ間近だったでしょ?

水は剛体と違って容器内で自由に運動できるんだから、扇風機の頭をグリッと180度回したとき、もとの運動を維持してる傾向にあるわけです。一方、容器は剛体ですから、ハネと同じ振る舞いをしようとする。このとき水と容器で回転方向が逆になります。つまり水の粘性が働いて、散逸過程が生じ、時間がたって水と容器が一体となって回転を始めたとき、ハネの場合よりも回転速度が遅くなります。詳細は水と容器の質量比や180度回転させる速さに依存するでしょうが、ほぼ止まってしまう場合もあるでしょう。これは一種の摩擦です。水の粘性による摩擦。

「角運動量がどこかに消えてしまうように思える」じゃないでしょう?(^^;
この過程で地面にトルクが生じ、角運動量は地球に流れただけです。

* もしかしてハネの場合に、180度回転させたとき角運動量が逆向きになっていることを見落としてた?

* ちなみにこの過程の途中で渦が生じても、そんなものは結局消えてしまうからね。水には粘性があるんですから、容器内でずっと渦が維持しつづけることはできないし、ましてや電磁波などに変わっても、それが持ち去る角運動量はまったく無視される量です。埃が容器にぶつかった効果よりもずっとずっと小さい。まあ、これはもういわずもがなでしょうが。

  投稿者:lele - 2008/11/15(Sat) 22:58  No.5816 
すいません、、本当にまどろっこしいのかもしれませんが、


5808⇒
ここに、タイヤが1個取れてしまった、ミニカーの車軸が有ります。
車軸の先には、ベアリングを介してタイヤがついているわけですが、
軸とタイヤが静止している状態からスタートして、、、車軸を持って、どのように振り回しても、回転させてもいいので、タイヤを(車軸に対して)回転させてみましょう。。という問題がでたら、あもんさんは、どのように回転させるのでしょうか。。。

という質問に、お答えいただけるでしょうか。
それが、私が貴殿の説明を理解する一番の近道のはずです。


  投稿者:kara - 2008/11/15(Sat) 23:33  No.5817 
あもんさん:

>karaさんのおっしゃってる前半部は、
http://www.death-note.biz/up/img/30637.png
これとだいたい同じね。
図や数式がないとわかりにくいという場合を考慮し、
早急に書いたので見てください。
--
図を描いていただきありがとうございます。たしかに、5805の、羽根の場合になっていると思います。

leleさん:

>5784 に示した図をご覧頂いて、
バカになった軸の上部を垂直な軸心で(惰性で)回転させたとします。円筒容器の中は氷(剛体)とします。モーターのスイッチは入っていても、入っていなくても良いです。
この状態で、バカになった軸の上部の回転を止める方法(つまり支柱を介してトルクを地面に伝達し、結果、回転を止めてしまう方法)は有るでしょうか。
もちろん、軸抵抗、空気抵抗はナシです。

という問題に置き換えられるのですが、、、この部分で意思の疎通か、理解力が足りないのか(私の)、、つまづいています。

Kara様は、どのようにお考えでしょうか。
止められると思いますか、思いませんか。
--
5805を書いた時は、羽根ないし円筒の回転が争点と思ってましたが、首ふりの回転が問題だったんですね。失礼しました。
円筒容器内が剛体なら、バカになった軸まわりの首ふりは、摩擦その他の散逸を無視すれば、首ふりは一定の速さで回り続けると思います。
一方、水だったら、首ふりの角運動量は、容器内部の水の運動へ移りうるので、首ふりが減衰しうると思います。

  投稿者:lele - 2008/11/15(Sat) 23:34  No.5818 
水は剛体と違って容器内で自由に運動できるんだから、扇風機の頭をグリッと180度回したとき、もとの運動を維持してる傾向にあるわけです。一方、容器は剛体ですから、ハネと同じ振る舞いをしようとする。このとき水と容器で回転方向が逆になります。つまり水の粘性が働いて、散逸過程が生じ、時間がたって水と容器が一体となって回転を始めたとき、ハネの場合よりも回転速度が遅くなります。詳細は水と容器の質量比や180度回転させる速さに依存するでしょうが、ほぼ止まってしまう場合もあるでしょう。これは一種の摩擦です。水の粘性による摩擦。

この文から察するに、もしかして、、あもんさんは、
私が停止してしまう、、と主張しているのは、
内部が水で満たされた回転円筒の回転体軸心を軸とする回転、つまり、貴殿図面のx軸を軸心とする回転、と誤解されていませんか。

私が停止してしまう(のではないか)、と主張しているのは、貴殿図面のz軸 を軸心とする回転です。x軸を軸心とする回転が停止するであろうことは、このモデルの最初の説明(5774)で私も解説しています。

意味を取り違えていたら、ご容赦下さい。
いずれにしても、5816の、再質問に、何卒ご回答下さい。

  投稿者:あもん - 2008/11/16(Sun) 02:44  No.5821 
lele さん:

大変申し訳ない。私の誤読です。まさか「z方向の回転がとまるようにみえる」ということを言っているとは、問題の性質上、思ってもみませんでした。でもleleさんは何回かそのことを示唆していましたね。図のない説明で語弊があったとはいえ、私の方で可能性の全てをしらみつぶしすべきでした。それを怠ったことで、leleさんに多大な労力をかけてしまったことを、まずお詫びいたします。

5816の質問ですが、車軸を回してベアリング経由のタイヤを回すのは、もちろん無理です。

扇風機のz方向の回転が停止するように見えるという問題ですが、これはz方向に首をくるっと回すその回し方が判然としないので曖昧です。でもハネ装着においてz回転が持続するというのであれば、それと同じようにやれば水の容器でも回転は持続するはずです。leleさんがおっしゃるようにz方向の角運動量はどこにも逃げないからです。

だから、これは単なる錯覚じゃない?(^^;

もし実際に実験してそうなるなら、水の容器がハネに比べて重たくて、バカになっているはずの接合部に余分な圧力がかかり、抵抗が無視できなくなるとか、そういうことをまず疑いますけどね。他にもハネと水の容器で相違がでる要因があるんだけど、これはくるっと回す回し方に依存した話になるので、なんともいえません。

  投稿者:あもん - 2008/11/16(Sun) 03:34  No.5822 
あと、誤読にともなって、leleさんに、leleさんにとって当たり前であった、角運動量の定義、および低級な質問(z方向と垂直な方向の角運動量の地球への転化)を問うた無礼をお詫びいたします。また、karaさんに余計な混乱を与えてしまったことも加えてお詫びします。

  投稿者:あもん - 2008/11/16(Sun) 06:18  No.5823 
ちなみにくるっと回す回し方に依存した話というのは、leleさんもおっしゃっていた生卵と似たようなことね。生卵はゆで卵と比べて回しにくい、すなわち殻だけが上滑りして角運動量を与えにくいということです。でも角運動量を与えにくいということと、保存しないということは、別の事柄ね。念のため。

*いいわけじゃないけど、ターンテーブルモデルの直後に扇風機モデルだったんで、x方向の回転の話だと誤解したんだと思う。それに、何故ハネや水の容器がx方向に回転していなければならないのか、私にはいまだに謎です。(^^;

  投稿者:lele - 2008/11/16(Sun) 09:09  No.5827 
もやもやしていた部分がスッキリして良かったです。ありがとうございました。私も、あもん様のコメントをもう少し推理すれば、もっと速く気が付いたかもしれません。失礼しました。角運動量ではなく、議論が散逸したまま終わらずにほっとしました。(^^)

さて、私の疑問の核心に近づいてきました。

z軸回転が支柱を介しても地表へ逃げないのであれば、「角運動量保存の法則」が間違っていないなら、(x軸回転しようが、しまいが{円筒体が剛体または内部が剛体のように振舞う流体=定常流 の場合})回転円筒容器のz軸回転は、変わらない。はずです。

生卵は、角運動量を与え難いだけ というご説明も了解しています。逆に内部が定常流となるまで回転を加え続け生卵は、手でピタッと停止させても、1秒後手を離すと、再び回転を始める、、という一見面白い現象が見られます。
(これは、余談です。)

5821⇒だから、これは単なる錯覚じゃない?(^^;

そうなんです。実験して確かめたわけじゃないので、その可能性は十分あります。ただ、、、思考実験の積み重ねで、確かめられれば、面白い と思っているわけです。

5767⇒
@回転する生卵を、反転させると、内部に渦が生じるだろう。。
(修正-球に近い卵では、発現しにくいので、極薄い円筒の容器をイメージして貰った方が良いです。回転=レコードのような回転、反転=B面に裏返すような回転)

A反転させるのには、エネルギーが必要だろう。。。
(内部が流動体の場合、反転は、惰性では行われないだろう という意味)

B反転に費やしたエネルギーは、内部の温度上昇に費やされるだろうけど。。。

C反転させるのにエネルギーが必要、、、というのは、どういうことだ。。

D反転させている軸に関してみれば、角運動量が保存されていないじゃん!?


というのが、シンプルなイメージですが、
更に強力に補強させてください。
@の「回転する生卵」(流体入り回転円筒)という部分を、「モーターのスイッチがオンになり、回転が加えられ続けている生卵(流体入り回転円筒)」とします。

この物体をz軸上で回転させ反転させる。つまり、z軸上で角運動を与えると、
という部分を分析すると、、、

回転円筒がz軸で180度回転することで、流体の持つx軸での回転が(絶対座標に対して)反転します。これは、速やかに流体全体に伝播されるわけではなく、また、刻々と変化する回転により、円筒内は定常流を保つことなく、常に乱流や攪拌を伴うはずです。
つまり、z軸の回転が無ければ、定常流となるはずのx軸での回転が、z軸の回転により、攪拌が生じる(誘発?)されるわけです。

■可能性として、触媒のように、z軸の回転は、消費されることなく、ただz軸で回転することで、x軸の運動エネルギーが内部攪拌により熱に変わるだけ、、、という可能性も考えられる?かもしれませんが、、、
通常 物体の運動の方向を変えるだけでは、エネルギーは必要ありませんが、その速度を変えるにはエネルギーが必要です。
流体内部の分子に目を向けてみますと。。。
定常流に見られる流体の運動は、方向を変えるだけなのでエネルギーのやり取りが不要で、z軸で回転を続けますが、、攪拌〜発熱を伴う場合は、流体の分子の速度が刻々と変わるので、エネルギーが必要です。つまり、z軸での角運動量がココで消費されてしまっているのでは。。。?と思えるのです。

  投稿者:あもん - 2008/11/16(Sun) 18:45  No.5838 
leleさん:

すみませんが、今度は、各センテンスにおいて、生卵反転モデルと扇風機モデルのどっちが想定されているのか、読み解くことができません。3次元的な装置が想定されている場合、書いている人にとっては当たり前のイメージが、読み手にとっては想像以上に難解なのです。やはり図がないと、誤読の可能性が高すぎて、とてもコメントする気になれないです。スケッチ程度でいいですから、座標軸を入れた図をリンクしてもらえると助かります。

  投稿者:lele - 2008/11/16(Sun) 21:13  No.5839 
あもん様
お付き合い頂き誠にありがとうございます。また、ご返事が遅れましたが、
Kara様 waki様も、ご考察頂きありがとうございます。

前文がとても長くなったので、要部を再度書き直します。
ちなみに、、、生卵は全体のイメージの概略を説明しただけのものです。生卵に与える動きを、首振り扇風機の円筒容器に置き換えて、軸はあもん 様の図のものを踏襲したので、確かにわかりにくかったと思います。失礼しました。


以下、修正文です。あもん様の書いていただいた図を基に読んでください。
http://www.death-note.biz/up/img/30637.png

@内部が流体で満たされた円筒容器をx軸で回転させながら、z軸で回転させると、内部に渦が生じるだろう。。

Az軸で回転させるのには、エネルギーが必要だろう。。。
(円筒内部が流動体の場合、z軸回転は、慣性回転では行われないだろう という意味)

Bz軸回転に費やしたエネルギーは、内部の温度上昇に費やされるだろうけど。。。

C反転させるのにエネルギーが必要、、、というのは、どういうことだ。。

D反転させている軸に関してみれば、角運動量が保存されていないじゃん!?


というのが、シンプルなイメージですが、
Aの項目の真偽が最もポイントです。

回転円筒がz軸で180度回転することで、流体をつつむ容器の持つx軸での回転が(絶対座標に対して)反転します。しかし、これは、速やかに流体全体に伝播されるわけではなく、また、刻々と変化する回転により、円筒内は定常流を保つことなく、常に乱流や攪拌を伴うはずです。
つまり、z軸の回転が無ければ、円筒容器内の流体はで乱されること無く、剛体同様x軸での回転を続けるのに、、、z軸の回転により、攪拌が生じる(誘発?)されるわけです。

■可能性として、触媒のように、z軸の回転は、消費されることなく、ただz軸で回転することで、x軸の運動エネルギーが内部攪拌により熱に変わるだけ、、、という可能性も考えられる?かもしれませんが、、、

z軸で、回転を加えることで、初めて円筒容器は攪拌による発熱を開始する。
多分、z軸の回転速度と発熱量は、正比例の関係だと思う。(勿論x軸の回転も比例)
z軸での回転が、流体の運動に関与して発熱に変換されているように「思える。」

という訳です。お分かりだと思いますが、最後の一行に示したように、証明しているわけではなく、感覚的にそう思える、、、という段階です。
(投稿された何人かの方のコメントも、私と同じような感想をお持ちのようです、、)

  投稿者:lele - 2008/11/17(Mon) 00:09  No.5840 
もうひとつ、パラドチックな反証を思いつきました。

あもん様図面を基にして、

x軸で円筒容器に対してモーターで回転を加え続けます。

z軸でも回転を維持させます。(モーターで回しても可)

モーターを永遠に回して、円筒容器に角モーメントを投入し続けても、円筒体は、角速度の加速を永遠に続けるわけではなく、内部の流動摩擦により熱として消耗(放熱)されると思います。そして、これには、定常状態が考えられます。
つまり、例えば、1Wのモーターにより運動エネルギーを流入させ続けた場合、流体の温度は、93度で安定する(熱の放出が1Wぶんになる)、といった風にです。

これまで、角運動の保存、非保存について、私はz軸の回転についてばかり、述べていましたが、本当はx軸についても、保存されてしかるべきなんですよね。

x軸について、(モーターによる)角モーメントが与えられ続けているのに、上記のように、回転速度が一定となり、熱が放出され続ける、、、ということは、即ち、角運動量が熱に変わってしまっている。。。ということにはならないでしょうか。

  投稿者:kara - 2008/11/17(Mon) 21:16  No.5848 
こんばんは。

流体は複雑な動きをするから、僕には、具体的にどんな振る舞いをするかよく分かりませんけれど、仮に、z方向の首ふり運動の角運動量が、流体の渦に一部移ったとして、そのあと、粘性で渦が減衰しても、角運動量はなくなったわけでなくて、また首ふり運動の自由度に戻るだけだと思います。

  投稿者:lele - 2008/11/17(Mon) 21:58  No.5849 
kara様
コメントありがとうございます。

z方向の首ふり運動の角運動量が、流体の渦に一部移ったとして
…つまり、z軸の総角運動量は変わらないですね。

そのあと、粘性で渦が減衰しても、
…私の見方は、減衰に伴い発熱するということです。

角運動量はなくなったわけでなくて、また首ふり運動の自由度に戻るだけだと
…粘性で渦が減衰する反力で、再び円筒体の首ふり運動(=z軸回転)にもどる、、、、という解釈でしょうか。

私の疑問は、、、
だとすると、減衰に伴った発熱のエネルギーは、どこから来たのでしょうか。

  投稿者:kara - 2008/11/17(Mon) 22:22  No.5850 
leleさん

>角運動量はなくなったわけでなくて、また首ふり運動の自由度に戻るだけだと
…粘性で渦が減衰する反力で、再び円筒体の首ふり運動(=z軸回転)にもどる、、、、という解釈でしょうか。

はい、そのとおりです。

>だとすると、減衰に伴った発熱のエネルギーは、どこから来たのでしょうか。

モーターとかの動力源で、x軸方向の回転を一定に保ってるなら、モーターの供給したエネルギーがそのまま散逸してるでしょうし、モーターがないのなら、はじめあったx軸周りの回転のエネルギーが散逸していると思います。なので、動力無しで散逸が続けば、最終的には、首ふり運動だけが残って、支柱と円筒容器となかの流体は相対的に静止した状態に落ち着くのでは、と考えます。もちろん、z方向の角運動量は、変わらずです。

  投稿者:lele - 2008/11/17(Mon) 23:16  No.5852 
間違っていたらご容赦下さい。kara様の解釈では、
回転しているコマを中空構造にして、内部に流体を封入すれば、コマは回っているうちに内部の流体が攪拌され熱として?角運動が散逸してしまうことで、いずれ、コマの回転は停止する。。。
というお考えでしょうか。?

私の考えは、上記の場合、角運動は保存されると思います。つまり、コマは永遠に回り続けます。(コマの回し始めには、下記のような発熱があるでしょう)

また、もし、上記のようにコマが停止してしまう場合、角運動量は保存されていない、ということになります。つまり、角運動保存の法則とは、コマに対して外部から応力を加えない限り、角運動量が変化しない、、、というものだからです。

次のテストは、参考になるかもしれません。

ゆで卵は良く回るのに、生卵は回転し難い。
これは、手でくるっとひねっただけでは生卵の中身まで回転が伝わらない、、、というだけです。
十分長時間回転させた生卵は、しっかり回るし、瞬間的に手で停止させても、(殻は止まっても、中身がまだ回っているので)直ぐに自分から回り始めるという面白い運動をします。
内部が流動体の場合、回し始め等は、内部で渦や乱流など摩擦が生じますが、長時間回転させると、分子1個1個は、剛体のように、容器と同調して回転するはずだ。。。というのが私の解釈です。
(でも、x軸と同時にz軸回転を加えると、渦や乱流が生じるはずです)

  投稿者:kara - 2008/11/17(Mon) 23:47  No.5854 
leleさん

>間違っていたらご容赦下さい。kara様の解釈では、
回転しているコマを中空構造にして、内部に流体を封入すれば、コマは回っているうちに内部の流体が攪拌され熱として?角運動が散逸してしまうことで、いずれ、コマの回転は停止する。。。
というお考えでしょうか。?

いえ、「点」で支えているコマだと、接点に摩擦がなければ止まらないと思います。

流体の入った円筒容器の扇風機に戻りますと、はじめのx軸方向の角運動量(というよりも、一般に、角運動量の水平方向成分)は、5805で書いたとおり、地面に逃げることができます。なので、エネルギー散逸にともなって、角運動量の水平成分がしだいに地面に逃げて行って、最終的に、液体も容器も支柱も相対的に静止した状態で首ふりをするだろう、というのが5850です。

  投稿者:あもん - 2008/11/17(Mon) 23:59  No.5855 
leleさん:

昨日はたまってたDVDを観てたので、返事が書けませんでした。(^^;

>@内部が流体で満たされた円筒容器をx軸で回転させながら、z軸で回転させると、内部に渦が生じるだろう。。

その通りですね。これは容器の角速度が時間変動する場合(主に2重回転の場合)に一般にいえます。

>Az軸で回転させるのには、エネルギーが必要だろう。。。
(円筒内部が流動体の場合、z軸回転は、慣性回転では行われないだろう という意味)

これは違うでしょうね。例えばモーターがなく、もちろんジョイント等に摩擦がない場合ですが、z回転の角速度が変動するのは最初のうちだけです。x回転の角速度は次第に遅くなり、止まってしまうわけですが、このとき、容器と流体は一体となってz回転していて、以後、z回転の角速度は一定です。(最初変動するのは、z軸方向の角運動量の一部を流体が担っていたはずだから。)

このことはアレイモデルで私がいったことと同じです。


一方、モーターを付けて強制的に定常回転させる場合:

>x軸について、(モーターによる)角モーメントが与えられ続けているのに、上記のように、回転速度が一定となり、熱が放出され続ける、、、ということは、即ち、角運動量が熱に変わってしまっている。。。ということにはならないでしょうか。

もちろん、角運動量が熱に変わるなんてことはあり得ないわけですが、それよりも注意すべきは、

(A) x軸はz回転に伴ってグルグルと回転している。角速度は私の図における dθ/dt.

(B) x-y平面と平行な方向(z軸と垂直な方向)における角運動量は、グルグルと回転していて、すなわち変動している。これを変動させているトルクは、各瞬間、地面とモーターから供給されている。

(C) モーターの発するトルクもz回転に伴ってグルグルと回転している。よってその時間平均は0である。すなわち、モーターはエネルギーを供給しているが、角運動量の供給量は時間平均して0である。(地面による角運動量の供給量も時間平均すると0.)

以上の点に注意して、再考察してみてください。>leleさん

P.S. karaさんのおっしゃっていることは私には相変わらず正しく思えます。かなりしっかりと力学を勉強された方とお見受けしています。


  投稿者:lele - 2008/11/18(Tue) 01:14  No.5860 
あもん様  コメントありがとうございます。

時間平均0の話し、、、実は全く気が付いていませんでした。なるほどです。
でも、ちょっと考えたのですが、
例えば、エックス軸の回転で、モーターがオンになるのが、扇風機が東を向いた時だけ、だとすると、どういう解釈になりますか、、、時間平均0にはならなくなると思うのですが、、、

それから、基本的なところで、私の解釈が間違っているかどうか、確かめたいのですが、、
数日前に、問いにした、
「ここに、タイヤが1個取れてしまった、ミニカーの車軸が有ります。
車軸の先には、ベアリングを介してタイヤがついているわけですが、
軸とタイヤが静止している状態からスタートして、、、車軸を持って、どのように振り回しても、回転させてもいいので、タイヤを(車軸に対して)回転させてみましょう。。。」
という問題について、
私は、これは角運動量保存の法則を根拠として不可能だと思います。

この問題は、言い換えると、
「毎秒1回転しているタイヤをの車軸を持って、どのように振り回しても、回転させてもいいので、回転を遅く(または速く)させてみましょう。。。」
と言い換えられると思います。

私は、これも角運動量保存の法則を根拠に不可能だと思います。

私の解釈は、間違っているでしょうか。


kara様の説明を、一部誤解していたようで大変失礼しました。
エネルギーの散逸に伴い、角運動量が地面に逃げる、、、
という意味は、判っているつもりなのですが、、、
(つまり、トーション?と呼ばれるY軸で発生するモーメントにより地球に角運動量が移る そして、角運動量の総和は保たれる)ということですよね。

■■判らないのは、角運動量(x軸分10ジュール+z軸分1ジュールとする)のうち一部でも発熱(2ジュール)に費やされるのであれば、その出所は、x軸またはz軸の角運動量しかなく、
仮にz軸が回転し続けて1ジュールが保たれるとしても、発熱分の2ジュールの角運動量は、地球に伝わることなく、熱として散逸してしまっているように思えるのです。

それとも、このx軸の回転は、時間的に刻々変化し、中和すると0になるので、
もともと角運動量の保存という概念を当てはめられないのでしょうか。。(まさかとは思いますが)


  投稿者:あもん - 2008/11/18(Tue) 07:41  No.5862 
leleさん:

>例えば、エックス軸の回転で、モーターがオンになるのが、扇風機が東を向いた時だけ、だとすると、どういう解釈になりますか、、、時間平均0にはならなくなると思うのですが、、、

その場合は、地面との角運動量のやりとりが変わり、結果、容器の得る角運動量の時間平均は0になるわけです。「そんな絶妙な?」と思うかもしれませんが、そういう風に装置ができていて、そうなるような状態(定常回転)を考えているんだから、これは必然なんです。とにかくz軸と垂直な方向の角運動量は、地面とやりとりができるようになっていることが大事なんです。

>判らないのは、角運動量(x軸分10ジュール+z軸分1ジュールとする)のうち一部でも発熱(2ジュール)に費やされるのであれば、

角運動量が発熱に費やされる、という考え方は、物理では絶対にしません。モーターの回転による仕事や、装置が持っていた回転による運動エネルギーが発熱に費やされているわけですが、角運動量はこれとはまったく別の話です。

例えば粘土を投げて壁にペタッとくっつけた場合、粘土の運動エネルギーは発熱に費やされますが、粘土の運動量が発熱に費やされるわけではないでしょう?粘土の運動量は、地球に伝達されただけで、地球まで含めて運動量は保存しています。一方、力学的エネルギーは保存していません。

  投稿者:lele - 2008/11/18(Tue) 08:18  No.5863 
角運動量が発熱に費やされる、という考え方は、物理では絶対にしません。モーターの回転による仕事や、装置が持っていた回転による運動エネルギーが発熱に費やされているわけですが、角運動量はこれとはまったく別の話です。

ありがとうございます。私にとっては、頂いたこのコメントが理解の核心に繋がりそうな気がしてます。

では、単純に、エネルギーの保存の法則だけ考えて、私の■■の部分の疑問である、2ジュール分のエネルギーは、どこから来たものなのでしょうか。。。


例えば粘土を投げて壁にペタッとくっつけた場合、、、の話ですが、、

この例えは、このスレッドの一番最初に書いた、私の疑問で、理解させていただいたものですね。

  投稿者:lele - 2008/11/18(Tue) 09:10  No.5864 
もう少しで、理解できそうな気がします。。。ありがとうございます。

モーターにより、軸を介して円筒体の回転として投入される運動エネルギー10ジュールは、(円筒体の軸の摩擦や空気抵抗が無い場合でも、)全てが円筒体の回転エネルギーに費やされない場合がある。
内部で2ジュール分発熱してしまった場合は、円筒の回転エネルギーは、8ジュールで、、、角運動量は、円筒の角運動量分と、地球に移った角運動量分を足すと保存されている。

ということでしょうか。

だとすれば、

「ここに、タイヤが1個取れてしまった、ミニカーの車軸が有ります。
車軸の先には、ベアリングを介してタイヤがついているわけですが、
軸とタイヤが静止している状態からスタートして、、、車軸を持って、どのように振り回しても、回転させてもいいので、タイヤを(車軸に対して)回転させてみましょう。。。」
という問題について、
私は、これは角運動量保存の法則を根拠として不可能だと思います。

この問題は、言い換えると、
「毎秒1回転しているタイヤをの車軸を持って、どのように振り回しても、回転させてもいいので、回転を遅く(または速く)させてみましょう。。。」
と言い換えられると思います。
私は、これも角運動量保存の法則を根拠とすると不可能だと思います。

■上記の問題は、(修正…タイヤの内部に流動体を入れておけば)「可能だ」ということになるのでしょうか。


  投稿者:kafuka - 2008/11/18(Tue) 15:10  No.5870 
一言だけ、、、
>角運動量が発熱に費やされる、という考え方は、物理では絶対にしません。

両者は、次元が違うということから でしょうか?
しかし、円運動を電気エネルギーに変えることは、
できます。で当然、発熱できます。
回っている車輪を止めるのに、別の円運動は、必ずしも必要としません。
電気を起こせばいいのです。(回生制動)
で、車輪の角運動量を0にすることも出来ます。
電流中の電子は、↑も↓も同数ですので、角運動量を持ち去っている とは
言えません。
「角運動量によるエネルギーが発熱に費やされる」
こともあると思います。

  投稿者:あもん - 2008/11/18(Tue) 16:23  No.5871 
leleさん:

定常的に回転している場合は、モーターの仕事量は全部発熱になります。(z回転だけあってx回転がない状態からの始動を考えてるのかな?)

>■上記の問題は、(修正…タイヤの内部に流動体を入れておけば)「可能だ」ということになるのでしょうか。

タイヤ内部に流動体を入れとけば可能なのは、その通りです。

  投稿者:kara - 2008/11/18(Tue) 23:09  No.5873 
leleさん:

>kara様の説明を、一部誤解していたようで大変失礼しました。
エネルギーの散逸に伴い、角運動量が地面に逃げる、、、
という意味は、判っているつもりなのですが、、、
(つまり、トーション?と呼ばれるY軸で発生するモーメントにより地球に角運動量が移る そして、角運動量の総和は保たれる)ということですよね。

はい、そうです。

■■判らないのは、角運動量(x軸分10ジュール+z軸分1ジュールとする)のうち一部でも発熱(2ジュール)に費やされるのであれば、その出所は、x軸またはz軸の角運動量しかなく、
仮にz軸が回転し続けて1ジュールが保たれるとしても、発熱分の2ジュールの角運動量は、地球に伝わることなく、熱として散逸してしまっているように思えるのです。

「2ジュールの角運動量」というのは、おかしい言い方だと思いますが(ジュールは、エネルギーの単位だから)、角運動量は、地球に逃げて、エネルギーは熱として、液体の温度上昇に使われたり、電磁波放射で散逸したり、という理解で、正しいと思いますよ。地球は、今の場合、質量が無限大と考えていいはずですから、扇風機程度の角運動量をもらっても、びくともせず、地球へのエネルギー移動は無視できるはずです。

  投稿者:lele - 2008/11/19(Wed) 01:05  No.5874 
ありがとうございます。
お蔭様で、ずいぶん認識を深くすることが出来たように思います。

私の誤解を列記してみますと、、、

◆円筒体がx軸で抵抗無く回転している状態で、x軸を手に持ち、どんな動かし方をしても、回転を停止させることは出来ない。それは、角運動量が保存される、という法則が有るからである。
と思ってました。

で、色々考えて、流体首振り扇風機の例を考えたのですが、
これには、二つの側面が有りました。(だからややこしい??)

あもん様の図 http://www.death-note.biz/up/img/30637.png 
を基にすると。。

@なんとなくですが、z軸で回転を加えることにより、(x軸で回転を続けている)回転円筒体が発熱する、、、ことから、z軸の回転が熱エネルギーとして消耗されてしまったように考えてしまった。
{しかし、皆さんの意見ではそんなことは無いようである。}

Ax軸z軸回転により、流体円筒体のx軸についての回転が停止してしまう、、、ということは、上記の◆のx軸を図面のx軸に当てはめて考えると、
円筒体が剛体なら停止しないけど流体なら停止する。(あもん様kara様も同意の意見)
停止するということは、角運動が保存される、という法則が成り立っていないように思えた訳です。{しかし、停止しても、不思議ではない、という意見あり}

それから、基本的なところで、角運動量をエネルギーにストレートに置き換えてしまっていたところが誤りでした。
それを踏まえて、設問を書き直してみたのですが、
■■判らないのは、回転エネルギー(x軸分10ジュール+z軸分1ジュールとする)のうち一部でも発熱(2ジュール)に費やされるのであれば、その出所は、x軸またはz軸の回転エネルギーでしかなく、
仮にz軸が回転し続けて1ジュールが保たれるとしても、発熱分の2ジュールの回転エネルギーは、地球に伝わることなく、熱として散逸してしまっているように思えるのです。(再修正、、、直感的には、2ジュールではなく5ジュール分が熱に、残り5ジュールが地球の運動エネルギーに加えられるような??)
という、言い方になり、この設問には、角運動量の概念は入っていないことになりそうです。

  投稿者:ASA - 2008/11/19(Wed) 07:42  No.5879 
kafukaさん
回生制動(磁場と関係するケース)から以下のパラドックスを思いつきました。

 あもんさんの見解に基づいているので、あもんさんへの宿題となります。

アインシュタイン ドハース効果に基づく角運動量非保存
参照>http://homepage2.nifty.com/eman/quantum/spin.html
>磁性体の円盤に磁場を掛けておいて、円盤を静止させ、いきなり磁場を切ると円盤は勝手に回りだすのである。
>磁場が掛かっている時には円盤磁性体中のスピンはみんな磁場に対して同じ方向を向こうとして、向きが揃っている。 つまり全体として磁場に平行な向きの大きな角運動量が作られていることになる。
>スピンは互いに同じ方向を向いているより、バラバラな方向を向いた方がエネルギーが低くなって安定していられる。 つまり、スピン角運動量は互いに打ち消しあって全体の角運動量は0になってしまう。 この時、角運動量保存則を満たすためには、円盤全体が回らなければならないのである。

 現実の磁性体では、ヒステリシス効果により、外部磁場を急激に0にしても磁気を持ちます。
 また、転移温度(キュリー温度)以上では、このような磁気は消えることも知られています。

 この実験で使用した磁性体円盤を加熱し、転移温度以上にしたとき、円盤の回転はどうなるのかというのが問題です。

 あもんさんの見解だと、熱輻射では物体から放射される電磁波はコヒーレントなので無視できる。
 よって、円盤の回転はかわらないです。
 しかし、残留磁場を支えていたスピン角運動量は、磁場と共に消えるのでトータルの角運動量が保存しないということになります。

  投稿者:lele - 2008/11/19(Wed) 11:27  No.5880 
頓珍漢な話かもしれませんが、、、
熱による分子、原子の振動は、3次元的にランダムです。
瞬間瞬間での、運動量の総和は0でしょう。

物体に対して磁場を与えることで、何らかの角運動量の向きが揃えられる、、、のであれば、ランダムさは、軽減されます。
つまり、選択的に角運動量が生み出されている可能性があります。
角運動量は、エネルギーと等価では有りませんが、異なる角運動量の物体との衝突により、エネルギーを生じさせることが、可能です。

調べて無いので判らないのですが、磁気冷凍という技術は、これを用いているのではないでしょうか。

  投稿者:ASA - 2008/11/19(Wed) 12:23  No.5881 
lele さん

>物体に対して磁場を与えることで、何らかの角運動量の向きが揃えられる、、、のであれば、ランダムさは、軽減されます。
 よく理解しておられますね。
 統計力学的にスピン系のエントロピーで理解されます。
>磁気冷凍という技術は、これを用いているのではないでしょうか
 先に述べた、アインシュタイン ドハース効果でいうと、外部磁場を急激に取り除くと、強磁性体中で生じているスピンオーダーにより低下していたエントロピーが増加することになります。このとき、ランダムスピン状態に対応するエネルギーをその周辺からもらいます。つまり、熱を奪うので冷えます。これが磁気冷却の原理です。
 先のパラドックスの例で言うと、円盤のみに注目すると、温度が下がり、回転が生じているわけで、回生とは逆に、熱エネルギーが角運動量に変化しているように見えます。
 アインシュタイン ドハース効果の逆の効果は、バーネット効果として知られているようです。(回転運動で磁場が生じる現象、おそらく、熱も発生する)。

  投稿者:lele - 2008/11/19(Wed) 14:09  No.5882 
>よく理解しておられますね。
恐縮です、というか、とんでもないです。明治製菓のスピンしか知りません。

念のため、私の疑問について、ですが、、、

私の設問(x軸回転する流動円筒体のz軸回転時の挙動)で、
z軸が回転を続けるだろう、、という意見の根拠として、具体的に、角運動量保存則以外の切り口からの反証が得られていないので、(もっとも、止まるかもしれない、、、というのもなんとなくの予想ですが、、)個人的には、結論が出た、とは言えていない状況です。

私の設問が、ASA様の設問と、同義の部分があれば、回答の内容によっては、私の理解が進む可能性もあり期待してます。


  投稿者:waki - 2008/11/20(Thu) 00:30  No.5889 
leleさん。

No.5880について。

>頓珍漢な話かもしれませんが、、、
>熱による分子、原子の振動は、3次元的にランダムです。
>瞬間瞬間での、運動量の総和は0でしょう。

今までの"誤解"の要点はここに集約されるのでしょう?
総和が0になるのは平均値を引いているからです。角運動量保存則は平均値の保存則で、分子運動の平均値を除いた後のランダム成分とは関係ありません。乱流に対しても同じ誤解をしていると思いますが、どうでしょう?
(この誤解があるのではないかと思い、これを解くのが先決と思ったので『地球に逃げるとかは関係無い』と指摘したのですが、伝わらなかった様ですね。。。)

  投稿者:lele - 2008/11/20(Thu) 03:17  No.5890 
角運動量保存則は平均値の保存則で、分子運動の平均値を除いた後のランダム成分とは関係ありません。乱流に対しても同じ誤解をしていると思いますが、どうでしょう?

このご説明は、たとえむちゃくちゃにかき回されている様に見える乱流と言えども、、、角運動量の保存法則は、しっかり守られ続けてるんだよ。

ということをおっしゃっているのでしょうか。

であれば、理解はしているつもりです。しかし、それは、角運動量保存の法則を鵜呑みにすれば、理解しているつもり。。。ということです。

私の疑問が解消されないのは、
角運動量保存の法則自体が(ある条件では)成り立たない場合がある、と想定してしまえば、根拠が無くなってしまう。。。ということです。

もし、貴殿のおっしゃっている意味が通じていなければ、ごめんなさい。


(それから、、、私の(これまで述べてきた無茶な)推測では、、もともと角運動量がゼロ の系の場合は、 どのようなことをしても角運動量はゼロのまま、保存されると思います。)

  投稿者:waki - 2008/11/21(Fri) 01:39  No.5899 
leleさん。

うーん、かなり大きく外してましたか。

>しかし、それは、角運動量保存の法則を鵜呑みにすれば、理解しているつもり。。。ということです。

ありきたりに言えば、角運動量保存則は決して天下り的に鵜呑みにするものではなく、基本法則(力学ではニュートンの法則)から導かれるもので、基本法則が正しい(と信じる)限り必ず成り立つものです。逆に言えば、角運動量保存則が成り立たないならば、基本法則に誤りがあると言う事です。
もし、流体に対してニュートン力学に支配されない未発見の何かを探しているのならば、これ以上私から言う事は何もありません。

と言うのはありきたりの話で、今までの議論を見ると、多体系の角運動量保存則の導出等知らずに鵜呑みにしている、と言う訳では無い様に思えますが。。。何故、御自身で鵜呑みだと思っているのですか?

  投稿者:lele - 2008/11/21(Fri) 11:59  No.5905 
waki 様
お付き合い頂きありがとうございます。。
何故、御自身で鵜呑みだと思っているのですか?
ナゼ、角運動量保存則に疑問を向けているか、、という意味でしたら、、
理由は3つ有ります。
いずれも、理路整然とした理屈ではないのでご承知下さい。

@5871であもん様も条件によっては、可能。。。とされた私の設問について、
これは、言い換えると、
箱の中に、コマのような回転子が入っているとして、ある操作(運動)を箱に加えることにより、回転子の回転を遅くすることが出来る。。というものです。

角運動量を直線運動の運動量に置き換えると、この状況は、アイススケートをしていて、ある操作(運動)を加えることで、スケーターの速度を遅くすることができる。ということになると思うのです。(勿論摩擦等の抵抗ナシに)
※私の設問(=車軸問題)での理解(皆さんの意見も含む)をスライドさせて考えると、スケーターの運動量は、地球の回転に移り(結局回転ですが、、)、スケーターの運動エネルギーは、一部(50パーセント?)が地球の回転に加えられ、残りのがスケーター(流体状態のとき)の温度上昇に費やされる。ということになりそうです。これって、どうも私には、理解できない気がするのです。
※この状況が、おかしい、ということと、角運動量が保存されない、ということとを直接結び付けて論じられないのですが、今の理解としては、「何か、まだ十分に説明できない部分が残っているような気がする。。」という直感です。

A流体の運動は、複雑で解析が難しい、、、という側面は確かにあるでしょうが、私は、単純な2軸3軸の運動に対する流体の「象徴的な」挙動は、流体自体を超小型の発電器付きジャイロスコープや、このジャイロスコープをマイクロビーズに仕込んで、マイクロビーズ同士を更にジャイロの回転子として用いたやや大きいジャイロスコープとして、、、、という組み合わせで、表現できるはずだ、、、と思っています。(勿論再現できない動きはたくさんありますが、この問題に対するモデリングとしては、これで十分なのではないかと思います。)
すると、ここでも未解明らしき部分が感じられるのです。つまり、上記の発電マイクロビーズ集合体は、固体なのか、液体なのか、、多分液体の状況を意味するものは、ビーズ中のジャイロスコープの回転をロックにするか、フリーにするか、、ということに置き換えられますが、、、

Bもうひとつ、頭に描いている運動体のイメージがあるのですが、話しが何倍かややこしくなりそうなので、私には、説明したり、論じていただいたお話を解釈できる自信が有りません。(かなり単純な概念ですら、文章での説明や、理解をすることに困難さを感じました、私の技量不足ですが、、)、、、多少でも可能性がありそうなら、いっそ試作テストしてみようと思ってます。


私の予想(目標?)は、あもん様の図でのz軸の回転の減速です。

  投稿者:waki - 2008/11/23(Sun) 00:20  No.5913 
leleさん。

私は、何故角運動量保存則を鵜呑みにしていると思っているのかと聞いたのです。今は何故疑問を抱いているのかは聞いていません。また、No.5905を読む限り、かなり危険な感じがするので場合によっては返答を止めさせて頂きます。

>@5871であもん様も条件によっては、可能。。。とされた私の設問について、
これは、言い換えると、
箱の中に、コマのような回転子が入っているとして、ある操作(運動)を箱に加えることにより、回転子の回転を遅くすることが出来る。。というものです。

これは外力が加わっているでしょう?遅くなっても不思議ではありません。

>※私の設問(=車軸問題)での理解(皆さんの意見も含む)をスライドさせて考えると、スケーターの運動量は、地球の回転に移り(結局回転ですが、、)、スケーターの運動エネルギーは、一部(50パーセント?)が地球の回転に加えられ、残りのがスケーター(流体状態のとき)の温度上昇に費やされる。ということになりそうです。これって、どうも私には、理解できない気がするのです。

どこがおかしいと思っているのかがわからないと、どうしようもありません。。。

また、Aの話は私には無理です…。

  投稿者:あもん - 2008/11/23(Sun) 09:35  No.5920 
leleさん:

基本的に、ニュートン力学の理解不足に起因しているように見受けられますよ。今の話題にそくした初等的な問題を作ってみたので、時間があるときに解いてみてください。問題を解く過程の中で、色々気づくことができるように配慮したつもりです。
http://www.death-note.biz/up/img/31286.png


  投稿者:lele - 2008/11/23(Sun) 21:27  No.5926 
あもん様
時間を割いて問題まで作っていただきホントにありがとうございます。
今の私の能力では、初等と言われるこの問題でもギブアップです。(数式に弱いんです)でも、せっかくなので、ちょっとづつでも、言いたい事を数式で表せ、数式を具体的なイメージに置き換えられるように学習したいと思います。

モノが、どう動いて、何が起こるか、、、というのは、数式の前に、直感的にイメージされることが多いと思います。私が述べてきた、長い話も、全てそんな勘のような話です。だから争点が明確化されないのかもしれませんが、、

取り合えず、ここまでお付き合い頂きありがとうございました。
今後の方向として、私は、簡素化された実験をしてみることにします。
それは、あもん様図でz軸の回転(z軸で保有している角運動量)を、外部との力のやり取り無しに、(例えば円筒体の発熱等により)遅くさせることを目的としたものです。(理屈では上手くいかないのが当たり前だとは判ってますが、、) 

あえて、浮き彫りに出来たと思う私のジレンマを書きますと、、、

箱の中に、回転をしているコマが入っていて、触らなければ永久に回っているとします。箱には触れるがコマには触れないとして、、、私の直感では、このコマの回転は、箱をどんなに動かしても、それから箱の中の温度をどのように制御しても、、、変わらないはずだ。と思ってました。
外部との力のやり取りで、可能だ!!、、、という見方もあるでしょうが、(私の直感では)停止しているコマを箱の外に加えた力で、回転させられないのと同じ理屈で、回転しているコマを箱の外からの力のやり取りで停止させられるとは思えないのです。(コマの回転に関して)箱の外からの力のやり取り自体が出来ないと、思うのです。

一方これまでの議論の通り、(あもん様他も同意していただいた通り)
流動化させた2軸の回転により、箱の中のコマは遅くなる場合がある。
という現象も予想され、、、ここにジレンマを感じているわけです。

waki様
ご質問、十分に理解できておらず失礼しました。かなり単純な話でも、文にすると判りづらいですね。
>どこがおかしいと思っているのかがわからないと、どうしようもありません。。。
この話のおかしい部分は、、、スケーターの運動量が地球に移る、、という部分で、言い換えると、スケーターがどこにも触らず急停止してしまう、ということになるから不思議なのです。(ただしこのスケーターは、液体-固体人間で、滑っている方向(つまり、回転方向と相関)以外の軸については自由に力のやり取りが出来る)

>どこがおかしいと思っているのかがわからないと、どうしようもありません。。。
もうひとつの回答としては、
おかしいこと(=不思議なこと)には、理由があるはずだ、理由はまだ判らないけど、何かがあるはずだという意味です。

ASA様 ずっとお付き合い頂きありがとうございました。

EMAN様  読み返してみると、頂いたコメントにご返事が出来ていなかったことに気が付きました。大変失礼しました。いっぱいいっぱいの部分があり、文章は書いていたのですが、、満足できず何度も書き直しているうちに送信できずに終わってしまったようです。

今後とも宜しくお願いします。

  投稿者:ASA - 2008/11/24(Mon) 09:33  No.5927 
leleさん

どうも ASAです。

 あもんさんの問題(&回答)は変なので、気にしない方がよろしいです。
(角運動の話なのに何故仕事率の問題になるのか理解不能)

>あもん様図でz軸の回転(z軸で保有している角運動量)を、外部との力のやり取り無しに、(例えば円筒体の発熱等により)遅くさせることを目的としたものです。(理屈では上手くいかないのが当たり前だとは判ってますが、、)
 純粋に力学のみの問題と理想化した場合に、上手くいかないというのが理屈で解っていればよろしいと思います。
 前にも述べましたが運動量とパラの形式で角運動量も議論できます。

 力が働いてる2つの物体を考えると、作用反作用の法則から、
 F=M(d/dt)V,-F=m(d/dt)v、M(d/dt)V+m(d/dt)v=0,質量が変らなければ、
 積分してMV+mv=一定。これが運動量保存です。
 角運動の場合は、質量→慣性モーメント(I=芭r^2),速度→角速度(ω=2π/T)の置き換えで、I1ω1+I2ω2=一定 が得られます。
 ということで、今の例では、z軸回転速度を遅くさせることは不可能です。


>回転しているコマを箱の外からの力のやり取りで停止させられるとは思えないのです。(コマの回転に関して)箱の外からの力のやり取り自体が出来ないと、
 力の種類によっては、可能です(散逸力など)。
 (あと、一般に重力のような遠隔力は、箱とかいう障害を突き抜けて作用しますよ)

  投稿者:waki - 2008/11/24(Mon) 19:31  No.5928 
leleさん。

結局、何故鵜呑みにしていると思っているのかと言う質問に対しての御回答は頂けないのですね…。本当に鵜呑みにしていると理解しました。先に書いた通り、角運動量保存則はニュートンの法則から導かれるもので、これに従うシステムを考える限り、閉じた系では必ず成り立ちます。これを鵜呑みにしているのならば、理解に変わるよう勉強すべきと思います。その上であもんさんの問題なりを解いてみれば良いのではないでしょうか?

>この話のおかしい部分は、、、スケーターの運動量が地球に移る、、という部分で、言い換えると、スケーターがどこにも触らず急停止してしまう、ということになるから不思議なのです。

進行方向に地球を蹴れば良いですね。地球は丸いから踵で強く蹴るとか。ただし、鉛直方向にも運動するでしょうし、回転も生まれるでしょう。これらを地球・スケーター共に全部ひっくるめると、ニュートンの法則により運動量・角運動量は保存します。スケーター体内に血(流体)が流れているとしてもです。この時、スケーター体内での血の流れの変化による摩擦で、体温がほんの少し上がるかも知れません。これは摩擦による仕事でスケーターを構成する分子の運動量の分布が変わり、分散が大きくなった為(<tex>\langle(v-\langle v\rangle)\rangle^{2} </tex>)です。平均値はスケーターの全運動量/分子数に一致するので、地球も含めると保存しているのです。

  投稿者:lele - 2008/11/24(Mon) 22:05  No.5929 
何故鵜呑みにしていると思っているのかと言う質問
実は、この質問の意味と意図が良く判らなかったのですが、先ほどのコメントでわかったような気がします。
私から見て(例えばwakiさんが )角運動量の保存を鵜呑みにしているように思える、、、、と私が思っている、、、とwakiさんは感じていたのですね。

そうでは有りません。逆に、私が角運動量の保存という概念は、鵜呑みにするしかなく(理屈で理解しているのではない為)、だからこそ、理屈で理解している人なら、私の提示したジレンマ(=パラドックス)に、理屈で回答を出してくれるかも、、、と思ったわけです。

>進行方向に地球を蹴れば良いですね。
私の理解では、この向きの力のやり取りは、除外された上での話になるはずです。そのことは「滑っている方向以外」、、という部分で表したつもりでした。
>(ただしこのスケーターは、液体-固体人間で、滑っている方向(つまり、回転方向と相関)以外の軸については自由に力のやり取りが出来る)
(※読み直すと、軸と言う表現は、向き というべきでした。)

ただ、このスケーターの話は、角運動量を運動量に置き換えた上での推測の話ですので、、、(私が)意味を取り違えてるかも知れません。
ジレンマの本体は、あくまで、箱に入ったコマの話です。
もしも、今からでもご説明いただけるのなら、このパラドックスについて、考えていただけるとありがたいです。

ASA様
> 力の種類によっては、可能です(散逸力など)。
 (あと、一般に重力のような遠隔力は、箱とかいう障害を突き抜けて作用しますよ)

例えば、コマの重心が軸からずれていて、軸が重力(あるいは加速度)の向きと異なっていたら、力の伝達(重力の作用など)により、コマの回転に影響を与えることは可能ですが、私の想定しているコマは、偏心していません。
つまり、停止しているコマを箱の外から動かせることを示唆しているわけではないですよね。。

  投稿者:waki - 2008/11/24(Mon) 23:46  No.5930 
leleさん。

>そうでは有りません。逆に、私が角運動量の保存という概念は、鵜呑みにするしかなく(理屈で理解しているのではない為)、だからこそ、理屈で理解している人なら、私の提示したジレンマ(=パラドックス)に、理屈で回答を出してくれるかも、、、と思ったわけです。

それならば尚の事、理解に変える努力をすべきと思います。基本を理解せずに上っ面だけ人に言われて理解した気になっても、面白み半減でしょう?

>>進行方向に地球を蹴れば良いですね。
>私の理解では、この向きの力のやり取りは、除外された上での話になるはずです。そのことは「滑っている方向以外」、、という部分で表したつもりでした。

先の地球上の扇風機の話は、地球からの力(のモーメント)がありましたが、スケーターでは進行方向に力を受けられないのですか?それでは話がおかしくなるのも当然です(だから私は"地球は丸いから"と進行方向への運動量のやり取りが出来る様に考えた)。この様な類話の混同が起こるのも"理解"していないからではないですか?あもんさんも御指摘されている様に、基本的な力学の知識が乏しいのではないかと思います。御自身で学習し、理解されるのが一番確実で楽しいと思いますよ。

コマの話はあれだけではわかりませんが(内部が圧縮性の流体???)、どう追加の説明を受けようとも、私の回答は『コマの角運動量は変わるかも知れないが、コマに外力を加えた系も含めれば保存されています』となると思います。

  投稿者:lele - 2008/11/25(Tue) 00:37  No.5931 
目的は、角運動量保存則の理解ではなくて、不思議だと思っていることの原因の追究です。勿論、角運動量保存則の理解を深めることがひとつの道(或いは唯一の道)と指導される方もいるかもしれませんが、それは、今の私の土俵ではありません。
理解が乏しいという指摘は、色々な意味から誤りではないはずです。少なくとも、超初歩的な法則に矛盾している話を企てているわけですから、、、

スケーターでは進行方向に力を受けられないのですか?それでは話がおかしくなるのも当然です(だから私は"地球は丸いから"と進行方向への運動量のやり取りが出来る様に考えた
このあたりは、多分、私の懸念した通りで、伝えたい意味が伝わっていない、、、または、理解されていない、、、または、私の角運動量⇒運動量へのパラの形式での展開に誤りがある、、のいずれかです。この箇所の議論を収束させても、努力に見合った結果が得られ難い気がします。
(極簡単に説明すると、コマの回転(角運動量)を箱の外から操作できる ということは、直進運動している物体の運動量の速度を運動体に触らずに変化させられるのと同じじゃないか?とパラで類推したからです。)

私の回答は『コマの角運動量は変わるかも知れないが、コマに外力を加えた系も含めれば保存されています』となると思います。

これは、角運動量の保存則が破られない限り当たり前の話で、パラドックスと感じている部分の解明には繋がりません。



  投稿者:ASA - 2008/11/25(Tue) 10:32  No.5932 
leleさん

>つまり、停止しているコマを箱の外から動かせることを示唆しているわけではないですよね。。
 一般的な話だと、可能ですよ。モーター(電流と磁石の作用)が典型です。
回転子(ローター)が磁石であるモーターがあります。箱の材質によりますが、磁場を遮断しない箱なら、その箱の内部に閉じ込められたローターは、電流により引き起こされる外部磁場によって、停止から回転と運動が変化します。(最も磁場なんかは、近接作用として扱われますが)

  投稿者:lele - 2008/11/25(Tue) 10:48  No.5933 
色々な示唆を頂きありがとうございます。
確かに、モーターの件 間違いありませんね。失礼しました。
私の書き方が、段々と雑?になってしまていたのが原因で、コマが箱を介して外力とのやり取りが出来ない、、の書き方からグレーになってしまいました。

正確には、「箱をどのように動かしてもコマを回せない、(止められない)」
のではないか、、、ということです。

何故かと言うと、図http://www.death-note.biz/up/img/30637.pngのx軸回転が、遅くなる、という現象は、外部との磁力やその他の力のやり取りをしていないからです。この(回転子)の動かし方で、遅くなる、、、ということですから、箱とコマの問題に置き換えても、箱の動かし方、、、ということになると思います。

  投稿者:ASA - 2008/11/25(Tue) 12:08  No.5934 
leleさん
 
 あもんさんとの一連のやりとりを追っていないですし、どのような問題意識を現在持っておられるのかもわかりませんが、
>図http://www.death-note.biz/up/img/30637.pngのx軸回転が、遅くなる、という現象は、

剛体の回転としては、ありえないです。(回転摩擦は、無視できると書いてあるので)。

  投稿者:lele - 2008/11/25(Tue) 13:58  No.5935 
ASA様
そうですね。想定しているのは剛体ではありません。
それほどややこしい話ではないのですが、、言葉で説明すると以外に長ったらしくなってます。
もし、お時間が有れば、5839あたりをご覧下さい。

  投稿者:waki - 2008/11/26(Wed) 01:12  No.5936 
leleさん。

人のスタイルにとやかく言うものではないですね。大変失礼致しました。
しかし、偉そうな事を言っておきながら何も力になれなかったのは残念です。

  投稿者:ASA - 2008/11/26(Wed) 21:00  No.5944 
leleさんの問題と関係ないかもしれませんが、角運動量保存に関しての話題です。
2体間の散逸力として、相対速度に比例する減速力が働く場合を考えます。
(運動量移送の基本的モデル)
運動方程式を記述すると
F1~=m1(r1~)"=-η(r1~'-r2~')
F2~=m2(r2~)"=-η(r2~'-r1~')
F1~+F2~=0と作用=反作用が成立するので、系の全運動量は一定です。
r1~-r2~=R~と相対ベクトルで表わすと
R~"=-ηR~'(1/m1+1/m2)=-(η/M)R'
R~'=V0exp( -(η/M)t)
最終状態は、相対速度が0の運動です。
トルクN~は
N~=排~×F~で作用反作用等しいので
N~=R~×F1~=-ηR~×R~'と、一般に0では有りません。
(外力でなく、内力だけでトルクが発生)
従って、全角運動量は保存してません。
 ちなみに、全力学エネルギーも保存してません。これは各自ご確認を。
このようなケースでも、角運動量がエネルギーに変ったと看做すことができます。

  投稿者:waki - 2008/11/27(Thu) 00:21  No.5945 
ASAさん。

EMANさんの力学に書いてあるやつですね。ニュートン力学では確かにこの様な相互作用を禁止していませんので、私の主張(ニュートン力学に従う系では必ず角運動量は保存する)は誤りです。失礼致しました。まぁ、でも、そりゃ反則でしょう。。。

  投稿者:yuya - 2008/11/27(Thu) 00:23  No.5946 
ASAさんが[5944]で出してくださった例について、私は考え込んでしまいました。
leleさんの検討したい例から外れてしまうので別スレッドにすべきかとも思いましたが、
大きな趣旨は共通しているので、できればleleさんにも一緒に考えていただきたいところです。
ただleleさんは「数式が苦手」とおっしゃっていたので、ちょっと直感的に焼き直してみます。

空からビリヤード台を見下ろします。画面に向かって上を北とします。
ビリヤード台に赤球がひとつ静置されており、その南から(回転のない)白球が北上してきて、赤球に衝突します。
このとき、白球は赤球の真南にヒットするのではなく、やや西にずれたところで当たったとします。
赤球から見ると、自分の西半分を北向きに押されることになるので、時計回りの回転を得ます。
白球にしてみれば、上記の力の反作用として、自分の東半分を南向きに押されるので、やはり時計回りの回転を得ます。
衝突の際に及ぼしあう力は、両球全体を一つの系として見れば「内力」にあたるはずなのに、
衝突後は両球とも時計回りの回転を得ており、全角運動量が保存されていないではないか、ということになります。

あの……なぜなんでしょうか?

そもそも剛体において内力がトルクを生じないのは、
剛体内部の任意の2点が互いに及ぼしあう力が、2点を結ぶ線上にある(平行である)からですよね。
たとえ2つの力が「逆向き・等大」であっても、同一作用線上になければトルクを生じ、
このような外力を「偶力」(couple)と呼ぶわけですよね。
上の例でカギとなるポイントは、この偶力と同じようなことが、【内力として】生じている点だと思います。

ここまで考えたのですが、どのように解決すればよいか分かりません。
「だから、角運動量は保存されるとは限らない。これがその一例さ」と言われればそれまでなのですが、
だとすると角運動量保存則が成立する/しないの境目をどのように判定すればよいのか気になります。

  投稿者:yuya - 2008/11/27(Thu) 00:33  No.5948 
wakiさん:

投稿してからwakiさんの投稿に気付きました(2分違い……)。
ほんとだ、
http://homepage2.nifty.com/eman/dynamics/incomplete.html
に書かれていますね。勉強します。

  投稿者:あもん - 2008/11/27(Thu) 01:52  No.5950 
wakiさん:

>EMANさんの力学に書いてあるやつですね。ニュートン力学では確かにこの様な相互作用を禁止していませんので、

禁止されてますから(^^;

【作用反作用の法則】作用と反作用は必ず同一直線上にあって、大きさが等しく、向きが反対である。

ちなみに場が力学的自由度を持つ場合もニュートン力学の範疇とする考え方と、それは範疇ではないとする考え方があるでしょうが、私は後者の立場が好きです。ニュートン力学で許されるのは遠隔力までと割り切った方が、理論体系がすっきりするからです。それでも、ニュートン力学の適用範囲はかなり広く、電磁現象を除く日常的世界をかなりの精度で説明できます。電磁現象、特に磁気というのは、その存在自体がすでに相対論的効果と考えるべきものですね。

まあ、いずれの立場にせよ、ニュートン力学においては角運動量は保存します。相対論でも場の量子論でもひも理論でも然り。前にも言ったんですが、近似的な有効理論では保存しなくなることもあるけど、それは近似をとっているからにすぎません。

p.s. ちょっと正直に言いますが、もうこういう易しい話に首を突っ込むのは、できるだけ止めようかと思っています。

  投稿者:EMAN - 2008/11/27(Thu) 03:34  No.5951 
 不穏だな・・・。(笑
 私の記事を引っぱってきて間違ったことが語られるというのは。

 私は運動量保存則だけでは角運動量が保存することを説明できないと書いただけで、角運動量保存則自体を否定したことはありませんよ。

 孤立系で角運動量が保存しない事例など聞いたこともありませんし。


> ここまで考えたのですが、どのように解決すればよいか分かりません。

 yuyaさん、角運動量は原点の取り方によって変わりますよ。

 例えば、次のページの記事の中で、等速直線運動する物体に対してでさえ、角運動量を計算できるという話をしています。

http://homepage2.nifty.com/eman/dynamics/angular2.html

 この中で、「これはもはや円運動ではないが、角運動量は定義に従って計算できる。」という文章を探してみてください。 その後から説明が始まります。

 直線運動の角運動量は、見る位置によってはその値は 0 にも、また他の値にでもなることが分かると思います。
 yuyaさんの問題の場合、直進運動するビリヤードの玉に対しても角運動量を計算すべきです。 そして途中で原点を変えてはいけないのです。

 ASAさんの話もこれで解決できます。
 物体を摩擦か何かで減速させた物体(気体か液体か?)は反作用を受けており、そいつが直進運動的な力を受けたとしても、そいつの角運動量を計算すべきです。 それを無視するようなことをすれば、角運動量は保存しなくて当然でしょう。

  投稿者:ASA - 2008/11/27(Thu) 07:59  No.5952 
EMANさん
>物体を摩擦か何かで減速させた物体(気体か液体か?)は反作用を受けており、
 誤解しておられるのでは?No.5944 は、2つの質点からなる系です(作用が特殊)。
 でも、これは、おっしゃるように何をアカウントするかの問題といえましょう。(ニュートリノのように)

 この例は、当初粘性のモデルと考えてましたが、バーネット効果のように力学的角運動量が減少する現象の説明にもなると考えてます(粘性力も電磁気的作用で説明できるはず)。ちょっと探したのですが、この辺を詳しく解説しているものは見つかりませんでした。識者の方ご存知でしたら教えて下さい。

あもんさん
>近似的な有効理論では保存しなくなることもあるけど、それは近似をとっているからにすぎません。
 物理の全ての理論は、測定との対応から有効理論であって所詮近似的なものにすぎないですよ。
 (あと、ニュートン力学範囲でも非保存の作用を考えれば、保存しません。具体的に示したのがNo.5944です。)

  投稿者:lele - 2008/11/27(Thu) 08:57  No.5953 
できればleleさんにも一緒に考えていただきたいところです。
ありがとうございます。EMAN様の二つの記事を改めて見て、数式抜きの私の考え(疑問)を書きます。。

二つの玉が上下に動いて角運動量が生み出されてしまうような話、、
二つの物体に作用した力の反力、(左の玉は下向きの力、右の玉は上向きの力)をやり取りして、初めて駆動するわけですから、保存則を語るには、この力の行く末まで含めた系をひとくくりにする必要があるはずです。
つまり、上記の二つの反力によって、ちょうど対照的な位置にある3個目と4個目の玉が、反対方向に駆動されたことを想定して、、、初めて完結(つまり、系が閉じている)するのですね。(その4個の玉を考えると角運動量が保存されていると言うこと。初歩的なことだとするとスイマセン)

この話は別の解釈すれば、接近する二つの物体が、衝突コースに無い場合は、特定の角運動量を持つ、、ということになりますが、すれ違う1年前から、遠距離にある2点で角運動量が定まっている訳ですね。

この世の中が二つの物体だけだとして、その運動に交差する点が無いのであれば、いつまでたっても、その系には全体として固有の角運動量がいつまでも保存されているはず。。。ということは、ビッグバンの爆心点の大きさが、今の時代にも角運動量として残っているかもしれない、、、なんて想像してしまいました。

ここから、ちょっと疑問なんですが、二つの玉の図のさらに右側に、もう一個の玉が上向きに動いている、、、と想定してください。これらの運動系も(外部との力のやり取りが無ければ)、時間によって、角運動量が変化しないはずですよね。2玉であれば、最接近時の瞬間の挙動で特定の角運動量が算出できるでしょうが、3玉になると、最接近のタイミングも各々異なり、一本のビームでつなげることもできそうに無く、、、この場合角運動量という定義自体が出来るものなのでしょうか。。。

  投稿者:あもん - 2008/11/27(Thu) 12:22  No.5954 
ちなみにニュートン力学の作用は、

<tex>S_{\rm N} = \int dt \left( \sum_n {m_n \over 2} |\dot{\mathbf r}_n|^2 +G \sum_{n<n'} {m_n m_{n'} \over  |{\mathbf r}_n - {\mathbf r}_{n'} | } -k \sum_{n<n'} {q_n q_{n'} \over  |{\mathbf r}_n - {\mathbf r}_{n'} | } \right)</tex>

追加の相互作用を入れてもいいけど、通常、 $ \sum U(|{\mathbf r}_n - {\mathbf r}_{n'} |) $  という形。基礎理論と考える以上、一様等方性ははずせないからです。こんな簡素な理論で、身近な物体から太陽系まで、幅広く説明できるのが、物理の面白いところです。摩擦や粘性などの散逸(不可逆過程)は、あくまで統計力学的な効果(エントロピー抑制)であり、基礎理論に含める必要がないことは言うまでもないでしょう。

一方、相対論の作用は、

<tex>S_{\rm EH} = - \sum_n \left( m_n \int d\tau_n + q_n \int dx^\mu_n A_\mu (x_n) \right) - \int d^4 x \sqrt{-g(x)} \left( {1 \over 2\kappa} R(x) + {1 \over 4} \ F_{\mu\nu}(x) F^{\mu\nu}(x) \right)</tex>

一般座標変換に対して不変であるため、4元運動量、角運動量などが保存します(遠方で時空がフラットな場合)。電磁現象はもちろん、宇宙全体の振る舞いまで、この理論である程度説明されると考えられている、アインシュタインの傑作です。(重力場の作用積分を発見したのは数学者ヒルベルトであるため、アインシュタイン=ヒルベルト作用と呼ばれます。)

  投稿者:yuya - 2008/11/27(Thu) 13:05  No.5955 
念のため、私の挙げた例の図を示しておきます。
http://www.geocities.jp/abreverse/billiards.jpg
↑汚くてすみません。

EMANさん[5951]:
>不穏だな・・・。(笑
> 私の記事を引っぱってきて間違ったことが語られるというのは。

申し訳ないです。私の趣旨はもちろん、
「ここ(EMANさんの記事)に書かれているとおり、角運動量保存則は成り立たないですね」
ということではなく、
「ここを読めば私の疑問は(健全に)解けそうですね」
という意味です。

私は、あもんさん[5761]の

>しかし一方で、この場合はどうなるの? 成り立っていないように思えるけど大丈夫な
>の? と提案すること(パラドックスをかかげること)はとても大事なことです。

と同じように考えており、角運動量保存則の理解を深めたいと思っています。

[5951]:
>yuyaさん、角運動量は原点の取り方によって変わりますよ。
(中略)
>yuyaさんの問題の場合、直進運動するビリヤードの玉に対しても角運動量を計算すべき
>です。 そして途中で原点を変えてはいけないのです。

示してくださった記事と合わせて読み、理解いたしました。ありがとうございます。
全然回転していなかった2物体が、同じ向きに回転し始めたからといって、
それだけで「全角運動量が変化した」と決め付けてはいけないのですね。

ただ、「衝突の際に2物体が及ぼし合う力が、2物体の重心を結ぶ線と平行でない」
という状況は変わらず、もし全角運動量が保存するのであれば、
この「(まるで偶力のような)内力が生み出すトルク」は、どこに消えてしまうのでしょうか。
それとも、こういう力が生じるケースを考えること自体、ニュートン力学の範囲外なのでしょうか。
図の2つの力は、2物体の接点を作用点としていますから、同一作用線上にあるので、
ニュートン力学の制約に抵触しないように思えてしまうのですが……どこが間違っているのでしょうか?

leleさん[5953]:
>二つの物体に作用した力の反力、(左の玉は下向きの力、右の玉は上向きの力)をやり
>取りして、初めて駆動するわけですから、保存則を語るには、この力の行く末まで含め
>た系をひとくくりにする必要があるはずです。

ご意見ありがとうございます。ただ、すみません、初めのこの文(↑)が読解できませんでした。
もうちょっと考えてみます。せっかくたくさん書いてくださったのにすみません。

  投稿者:ASA - 2008/11/27(Thu) 13:07  No.5956 
No.5944 の補足です。
 運動エネルギーT
 T={P^2+m1m2V^2exp(-2μt)}/2M:M=m1+m2,μ=η(M/m1m2),P;運動量,V;相対初期速度
 であり、第2項が減衰項です。

 ちなみに角運動量は
 L~=倍miX~i×P~ + m1m2X~i×V~iexp(-μt)}/M :X~i;初期位置
 で、やはり第2項が減衰項です。
 最終状態は、相対速度が0なので、速度分布に関して最も凡庸な状態(エントロピー最大)が実現します。
このように散逸作用(エントロピー増大)のモデルとなってます。

>摩擦や粘性などの散逸(不可逆過程)は、あくまで統計力学的な効果(エントロピー抑制)であり、基礎理論に含める必要がないことは言うまでもないでしょう。
 基礎的作用から不可逆性(エントロピー増大)を導出するのは、物理学上の大きな課題と思いますよ。
 あと、TOSHIさんの記事にもありますけど、相対論の作用(相対論での幾何)では、上記課題を解決するのは絶望的だと思っています。
(現象を説明できる望みのない基礎理論ってなんだかなと思います)

  投稿者:EMAN - 2008/11/27(Thu) 13:22  No.5957 
> 3玉になると、最接近のタイミングも各々異なり、一本のビームでつなげることもできそうに無く、、、この場合角運動量という定義自体が出来るものなのでしょうか。。。

 leleさん、角運動量はたった一つの玉に対しても定義できますよ。 回転している必要はないのです。 回転していなくても0とは限りません。 原点の取り方によって値が違います。 しかし、同じ点を基準に計算する限りはずっと同じ値のままです。

 原点の取り方によって値が違うと言いましたが、全体として運動していない時は(全重心が静止しているような立場で見る場合には、という意味ですが)どこを基準にしても同じ値となるので、「あの回転している物体の角運動量は**だ」という共通の値での言い方が出来るわけです。

 2つの玉が接近した時点の2玉の重心位置だけで角運動量を考えるのは、かなり限定した考え方だと言えます。 最初から3玉の重心位置を基準に考えればちょっと分かりやすいかも知れません。

  投稿者:EMAN - 2008/11/27(Thu) 13:28  No.5958 
> ただ、「衝突の際に2物体が及ぼし合う力が、2物体の重心を結ぶ線と平行でない」という状況は変わらず、

 yuyaさんの図では衝突した瞬間の力が図の上下方向に向いていますが、現実は重心を結ぶ方向に働きますよ。 あたかも、両方の玉の共通接線のような壁があるようなもので、両方の玉はその壁に衝突したかのように振舞います。

  投稿者:あもん - 2008/11/27(Thu) 14:03  No.5959 
leleさん:

>ということは、ビッグバンの爆心点の大きさが、今の時代にも角運動量として残っているかもしれない、、、なんて想像してしまいました。

そういうことです。エネルギーも運動量も角運動量も、宇宙が生まれたときから変わってなくて、おそらく全て0でしょうね。エネルギーが0というとピンと来ないかもしれないけど、重力場(時空)のエネルギーも含めて0という可能性が十分に考えられるのです。

ちなみに量子論を考えない物理学は古典論と呼ばれるのですが、古典論においては最初の状態(初期条件)によりその後の運動が完全に決定してしまいます。例えば、leleさんが明日どこどこのレストランに行って何を注文するかとか、そういうことが宇宙が始まったときにすでに決まっているということになるわけです。もちろん、最初の状態の原子や分子の配置、速度など、事細かに分かればという話ね。このことを知ることができる知性は「ラプラスの悪魔」と呼ばれます。しかし実際には、宇宙には古典論では語れない部分(不確定性原理)があることがわかり、この決定論的宇宙観は露と消えてしまいました。

しかし保存量については、量子論でもちゃんと保存するのです。

>この場合角運動量という定義自体が出来るものなのでしょうか。。。

ニュートン力学の角運動量(ベクトル)は  $ {\mathbf J} = \sum_n m_n {\mathbf r}_n \times \dot{\mathbf r}_n $  で定義されるので、3つの玉でももちろん大丈夫です(^^; 玉のような大きさを持つ物体の場合は、各々の物体の重心の軌道角運動量と、それぞれの物体の重心周りのスピン角運動量に分離でき、なお簡単になります。特に剛体の場合、スピン角運動量は、物体の慣性モーメント(テンソル)を計算しておくことで、角速度(ベクトル)から簡単に知れます。

  投稿者:lele - 2008/11/27(Thu) 14:12  No.5960 
yuya 様
二つの物体に作用した力の反力、(左の玉は下向きの力、右の玉は上向きの力)をやり取りして、初めて駆動するわけですから、

■この意味は、EMAN様の二個玉の図で、すれ違う瞬間の状況を別の見方で解釈したものです。図のような位置で、{静止している}2つの玉が有ったとし、左の玉から、下向きにバネで重りを発射したとします。すると、玉は、上向きに動き出します。同じタイミングで右の玉では、上向きに重りを発射させ、玉は下向きに動き出します。発射直後の位置関係は、図とほぼ同じですよね。発射前のこれら物体の角運動量は、0ですが、発射後、2個の玉だけを見ると、角運動量が生じているように見えます。しかし、、発射された2個の重りまで、含めると、角運動量は、相変わらず0のまま。ということを言いたかったです。

■最初から直線運動をしている2個の玉が接近して、かする ように接触する。。というのが、貴殿がイメージしている問題ですよね。
その場合、かする 直前の2個の玉は(上の説明で類推できるように)角運動量を既に持っていると言うことです。(この場合時計回りの方向の角運動量)この角運動量が、接触によって、一部が二つの玉の自転回転に変換され、残りは、接触後の玉の直進運動として(少し減って)保存され続けるはずです。

EMAN 様
leleさん、角運動量はたった一つの玉に対しても定義できますよ。

そうですよね。というか、対象としている系について、特定の値が与えられる角運動量は、中身がどんなにややこしく動いていても、一つの玉のように、いつまでたっても特定の値のままだ、、と思っています。
接近する(衝突しない)2個の玉の運動を、棒(ビーム)でつなげてひとつの物体の角運動量に置き換える、、、というのは、そのひとつの表現だと思ってました。計算の方法はわかりませんが、2玉で計算できるなら、多分3玉でも同じように計算できるんでしょうね。

  投稿者:あもん - 2008/11/27(Thu) 14:31  No.5961 
ASAさん:

>基礎的作用から不可逆性(エントロピー増大)を導出するのは、物理学上の大きな課題と思いますよ。

まあ、厳密にはそうですけどね。

>あと、TOSHIさんの記事にもありますけど、相対論の作用(相対論での幾何)では、上記課題を解決するのは絶望的だと思っています。

上記課題って不可逆性の導出? 相対論は c=∞ の極限でニュートン理論に帰着するので、ニュートン理論で導出できれば十分ですけどね。まあいずれにせよ、古典論だけで、厳密な意味で全ての散逸過程を説明できるかどうかは、決してトリビアルではないということは同意です。

  投稿者:yuya - 2008/11/27(Thu) 22:43  No.5967 
leleさん、補足をありがとうございました。

なるほど、[5953]の冒頭の部分は、私の例ではなく、
もともと2球とも静止していた場合について述べてくださっていたんですね。
この場合は、このような運動量を生じさせるためには
2球に外力を与えたヤツ(leleさんの例で言えばバネや重り)がいるはずだから、
これらを系に含めて初めて保存則が成り立つ、ということですね。
全くその通りだと思います。

私の衝突の例においては、直線運動中の角運動量も考慮しなければならないこと
(および途中で勝手に原点を変えて考えてはいけないこと)はEMANさんから教わったとおりで、
これについてもleleさんのご意見に異論はありません。

ただし、外力を加えた場合と異なり、衝突の際に生じる力は内力ですから、
もしこれがトルクを生じるとすればどこに消えるのか?という疑問がありました[5955]。

ここからはEMANさんへのお返事になりますが、

[5958]:
> yuyaさんの図では衝突した瞬間の力が図の上下方向に向いていますが、現実は重心を
>結ぶ方向に働きますよ。 あたかも、両方の玉の共通接線のような壁があるようなもの
>で、両方の玉はその壁に衝突したかのように振舞います。

ありがとうございます。なるほど、それならば矛盾は生じませんね。
たまたま今回の例は球でしたが、↓この図のようにマルタの端がぶつかっても、
http://www.geocities.jp/abreverse/maruta.jpg
図のような力の方向は間違いで、やはりマルタの重心を通る、ということになりますでしょうか。
なんだか直感に反するような気もするのですが、これでいいでしょうか。

  投稿者:lele - 2008/11/27(Thu) 23:38  No.5968 
yuya 様
説明が、ズレた内容でなくて良かったです。(^^)

トルクを生じるとすればどこに消えるのか?ということですが、、、
この「消える」という意味が、当初から私にはわかりませんでした。
エネルギーにしろ、角運動量にしろ、衝突の前後で、状態は変わるものの総量は変わって無いですし、ずっと変わらないはずです。
もしも、「トルク」という言葉が衝突の際の摩擦(熱 等)という意味でしたら、このスレの一番最初の私の疑問と、類似しているように思います。直ぐに楽になれます。

丸太の接触、、、私は、この場合、yuya様の図のように力が働くと思います。
上手い説明とはいえないかもしれませんが、、
当たった瞬間を想定して、その状態で両者が固定しているものとします。
そして、(完全弾性衝突の場合)接触している点(この場合線になりそうですが、、、)に強力な斥力が働くということを想定します。すると、両者は、接触点に衝突方向の反対の向きの力が加わったように、「はじかれた動き」をします。
両者のこの動きは、両者の質量の中心と視点に相対速度が無い、場合ですので、例えば左の丸太が下から上に移動して、静止している右の丸太に衝突する場合、上記の「はじかれた動き」と、全体の重心移動(上昇丸太の半分のスピードで、図の上向きに移動)が合成されたような動きを取ると予想します。

  投稿者:EMAN - 2008/11/28(Fri) 00:02  No.5969 
 丸太の接触については、ひょっとしたら新しく別スレッドを立てた方がいいかもしれません。 それくらい面倒な話で、私もはっきりした答えを知らないのです。 類する話題をあちこちで議論しているのは前によく見かけたのですが、簡単に収まらなかったような気がします。

 じゃあ、私が立てておきますので、この話題はそちらでお願いします。

 私はしばらく考えを整理します。

  投稿者:waki - 2008/11/28(Fri) 01:46  No.5973 
No.5945 は誤解を含む表現でした。特にEMANさんの記事を読む方に対して、著者の意図に反する、誤解を与える恐れのある事を書いてしまった事は深くお詫び致します。
私がNo.5945で言いたかった事は、要するに次の通りです。
ASAさんのモデルの作用・反作用は、同一直線上に無いので角運動量が保存しません。実際にそんな相互作用があるかどうかは別にして、確かにニュートンは作用・反作用を"同一直線上で働く"とは限定していません。その意味でASAさんの主張は正しいと考えました(限定していない教科書も多くあると思います)。これは当時遠隔相互作用の種類を限定する十分な証拠が無かったからだと思いますが、現在からするとそれを元に"角運動量は保存するとは限らない"とするのはちょっと反則でしょう、と言う事です。
因みに、EMANさんの記事の主旨は、運動量保存則だけでは物理現象にそぐわない事(角運動量非保存)を許してしまい、これを回避するには作用・反作用の法則を修正するか、遠隔相互作用を否定すれば良い、と言う事だと理解しています。合ってますよね?

  投稿者:ASA - 2008/11/28(Fri) 07:44  No.5975 
あもんさん
>相対論は c=∞ の極限でニュートン理論に帰着するので、ニュートン理論で導出できれば十分ですけどね。

ちょっと変というか、粗雑ですよ。

 エントロピーの話題でもとりあげられましたが、プランク定数h→0で古典統計とはなりません。hの場合はある有限微小値であることが重要でありました。このように普通は基礎的定数を勝手にパラメータとして取ることは許されません。
 物性的観点からすると、各種緩和時間は、相互作用の強さによります。つまり誘電定数や透磁率などにより凡庸になる速度が定まるのでこれを勝手に0にできません。(またその比率も変えることはできません、そもそも、下手に0したら、電磁気的作用が働かない)。

 なので、ある特定の値で説明できるかが、その理論の試金石となります。

  投稿者:ASA - 2008/11/28(Fri) 08:08  No.5976 
waki さん

>現在からするとそれを元に"角運動量は保存するとは限らない"とするのはちょっと反則でしょう、と言う事です。
 現実の現象をみると、力学的角運動量が保存しない例がある(電磁気的作用)。場の理論で考えると自由度が多いのでわけわからんとなります。そこで、粘性とか磁場への変化とかでの運動量移送(散逸)という本質的面が見やすいようにニュートン力学でのモデルを提示しただけです。反則という訳ではないですよ。(肝は、相対速度に比例する力が働くケースなら並進運動量保存で角運動量非保存。絶対速度に比例する力が働くなら双方非保存)

  投稿者:あもん - 2008/11/28(Fri) 17:04  No.5982 
ASAさん:

>つまり誘電定数や透磁率などにより凡庸になる速度が定まるのでこれを勝手に0にできません。

通常、cgs なら単に c→∞ で、MKSA なら μ_0→0 という極限を考えるのです。この非相対論的極限では、磁場が消えて、クーロン力だけが遠隔力となって残るのです。

それと、私の主張の内容は、

ニュートン力学で不可逆過程が示せる ⇒ 相対論で不可逆過程が示せる

ですよ。念のため。プランク定数の話なんて私は全然してないし…。(^^; (A⇒B ってのは、もしAが成り立つならばBも成り立つということです。)

  投稿者:ASA - 2008/11/28(Fri) 17:30  No.5983 
>通常、cgs なら単に c→∞ で、MKSA なら μ_0→0 という極限を考えるのです。この非相対論的極限では、磁場が消えて、クーロン力だけが遠隔力となって残るのです。

 通常って、どこの業界ですか?
透磁率を勝手に変えたら、物性が変りますよ。そんな条件は、物理的に無意味です。先述しましたがインピーダンスである2つの定数の比率ですら変えることは許されません。

>ニュートン力学で不可逆過程が示せる ⇒ 相対論で不可逆過程が示せる
 
 それは成立しないでしょ。それとc→∞極限とはどんな関係があるのでしょうか、理解できません。

 ニュートン力学が相対論より包括的でより一般性のある理論体系であることが証明されていれば、あもんさんの主張は成立するのですが。

  投稿者:明男 - 2008/11/28(Fri) 23:33  No.5985 
私なんかの出る幕は無いのですが、傍目八目とも言うし、この長い、長ーいスレに足跡残そうかと。
何か、理論畑と応用物理(物性)畑の学徒が論争しているのを思い出しますね。どちらも我こそが「物理」を語っていると思っていたりして。
あもんさんのc→∞(μ_0→∞)とは、ニュートン力学が一般相対論のあるパラメータ極限、言い換えれば一般相対論の枠組みの中にニュートン力学が内包されていることを示しており、論理学の教えるとおり、A⇒Bならば、AはBに包含されるのだから、あもんさんの表現が間違っているとは思えないんですが。
通常云々の話は、基礎理論(重力理論、場の理論)なんかでは、よく出てくるニュートン近似の話にも見える。
CIAでは左手のやっていることを右手が知らない、なんて言いますが、同じ”物理”の世界でもコンセンサスが通じないことは、これまた良くみかけることですがねー。
ただの感想ですので、あまり突っ込まないように・・・。

  投稿者:nomercy - 2008/11/28(Fri) 23:59  No.5986 
粒子の速度をvとして v/c の最低次まで、
つまり1/cの最低次までとるって言うだけの話ですよね?

と書いてよく見るとスレッドのタイトルと全然関係ねえ(笑

  投稿者:TOSHI - 2008/11/29(Sat) 01:47  No.5987 
 TOSHIです。

 私も理論畑の素粒子屋でしたが仕事は流体,気象関係の数値屋だったからパラメータ物理や有効理論もかじっています。確かに現実の商品にするなら個々の数値パラメータが何かというのは重要ですが,例えば相対論での光速とされている限界速度cなどは理論構成的には具体的な数値は必要なくてc=∞(ニュートン)でなければ何でもいいわけですからc→∞のプロセスからc=∞への移行において連続的な現象を対象としているのであればc=∞の理論の話で特に問題ないと思います。

 おそらく流体のような連続体粘性の現象論でレイノルズ数が∞の理論である完全流体とレイノルズ数が小さいものは違うとかいう話もあるのでしょうがレイノルズ数が大きいのと∞は違うのですが現実に境界層を考えないその外部の話ならR=∞でのベルヌーイの定理で十分ですし。。。あ関係ないか。。                           TOSHI

  投稿者:ASA - 2008/11/29(Sat) 07:55  No.5988 
明男さん

>言い換えれば一般相対論の枠組みの中にニュートン力学が内包されていることを示しており、論理学の教えるとおり、A⇒Bならば、AはBに包含されるのだから、あもんさんの表現が間違っているとは思えないんですが。

 ですから、もしそうだとすると、ニュートン力学で一般的に成立することは、一般相対論では、特殊なケースでしか成立しないことを意味しています。

ニュートン力学で一般的に成立する⇒一般相対論で一般的に成立する。
は主張として変です。

ニュートン力学で一般的に成立する⇒一般相対論で成立するケースもある。
一般相対論で一般的に成立する⇒ニュートン力学で一般的に成立する。
が主張として正しいです。

 時間の矢に関しては、一般的に成立しなければならないものなので、あもんさんの主張は変だとコメントしたわけです。
 (個人的には、確率過程量子化から多体系でH定理へ結びつけるのが筋のよさそうな方法と考えますけど)
 ちなみに一般相対論的帰結として、タイムマシンが可能と考えておられる方いますか?

  投稿者:TOSHI - 2008/11/29(Sat) 09:08  No.5990 
 記号論理学というのは私にはむずかしくて集合=カテゴリーとしてA⊂B,例えば人間⊂動物という真命題の場合にも,人間⇒動物,つまり人間なんだから当然動物だよ,と言うストレートな意味と,動物⇒人間という逆の向きの意味,つまり動物の内包する性質=動物たる必要条件だから当然その属である人間にもその内包する性質があるよ,という意味があって,集合としてA⊂Bなることが記号論理では正反対に見える記号A>Bと書かれることもあるから記号だけでは機械的に解釈できないこともありますね。
                      TOSHI

  投稿者:明男 - 2008/11/29(Sat) 14:44  No.5994 
>TOSHIさん
なるほど、そもそも包含関係や(記号)論理を持ち出すことが不適切だった気がします。
たしかに、(一般)相対論がc→∞でニュートン力学に帰着するとは、包含関係では無く、ある種の漸近解と解のように、有効理論としての近似レベルの話でした。

  投稿者:lele - 2008/11/29(Sat) 19:25  No.5996 
5956に書かれていた
>摩擦や粘性などの散逸(不可逆過程)は、あくまで統計力学的な効果(エントロピー抑制)であり、基礎理論に含める必要がないことは言うまでもないでしょう。
 基礎的作用から不可逆性(エントロピー増大)を導出するのは、物理学上の大きな課題と思いますよ。

というのは、、どういうことか??、私にもわかるように簡単に説明していただくことは可能でしょうか。。。

  投稿者:FNBO - 2008/12/04(Thu) 22:25  No.6050 
少し前の話題になってしまうのですが、leleさんの二つの円筒体とアロンアルファの問題について最終的に前者の条件でも後者の条件でも同じ回転速度になるという事に漠然と納得していたのですが、考えてみたところどうも違った結果になってしまいました。先ずですが、アロンアルファやゲルの分、回転させる質量が増えるなどの屁理屈は除外するとしまして、結果的に序所にスリップさせる後者のほうが前者より回転速度が速く、また瞬時の結合の前者の方が後者より摩擦熱が大きいと思います。

  投稿者:lele - 2008/12/05(Fri) 22:53  No.6058 
FNBOさん
私も、頭の中のシュミレーションでは納得できない部分も残っているのですが、理解に役立った考え方を書きます。

角運動量と、運動量は、同質のものだ、、という視点から、次のケースを想定します。

つるつるのリンクの上に、板が置いてあり、ある人がスパイクを履いて氷の上を走り、板に飛び乗ったとします。
@板の上に、さっと足で飛び乗った場合
Aヘッドスライディングのように滑り乗った場合

イメージ的には、Aのほうが、ユニフォームは破れるし、胸がすりむけるかもしれないし、、、なんとなく摩擦が多そうな気がします。

でも、飛び乗る寸前の状態は、@もAも一緒なので、運動エネルギーも一緒です。そして、飛び乗った後、板の上に人が乗ったままだとすれば、@の場合でもAの場合でも、板が氷の上を滑る速さは同じはず、つまり、飛び乗った後の運動エネルギーも同じはずです。
だとすれば、飛び乗った際に、(生じてしまうor 消費せざるを得ない)エネルギーも同じでないとおかしい。(単純な足し算)

ということになります。
以上の説明は、エネルギー保存の法則と、運動量保存の法則自体に疑いを持った場合には、意味を成しませんので悪しからず。

もうひとつ、納得しやすいイメージを考えたのですが(図を描かないと判り難いですが、あえて、文で書いてみます。)

両端の閉じたパイプの中に重り玉が入っていて、玉の両側にはスプリングがついていてパイプの端に当たっている。(つまりパイプの中は、バネ 玉 バネ)として。。。

パイプとバネが質量が0として、バネが変形発熱等が無い完全な弾性復元力を持っているとすると、この円筒体は(円形端面を衝突面とした場合)、完全弾性体の象徴として考えられると思います。

二つの円筒体AとBが、円形端面同士でぶつかる場合を想定すると。。。

完全弾性体としての衝突の場合、衝突して、僅かの時間後、バネの変形量が最大になるのは、Aの円筒体とBの円筒体と同じタイミングで、その変形量も同じはずである。
次の瞬間、バネが再び復元を初め出すと、このバネの運動自体が2物体の運動エネルギーの移動(移転)をあらわしていることになる。
バネと、パイプに質量が無いので、バネは、反動で反対方向に歪むことなく、ニュートラルの位置で、停止すると同時に、二つの円筒体は、互いの円形端面での衝突が終り、離反する。
互いの円筒内でバネがニュートラルな位置で玉が静止している。。ということは、ロスしたエネルギーが0 であることを意味していて、、、円筒AとBは、衝突後に、その速度が入れ替わることになる。

反完全弾性体としての衝突の場合、衝突して、僅かの時間後、バネの変形量が最大になった瞬間に玉がパイプに引っかかってしまい、バネが戻らなくなってしまった、、、という状況と考えることが出来る。つまり、2個の玉の相対速度が0になった時点で、その状態が凍結されるということは、二つの玉の間で、もはや力のやり取りが行われないと言うことで、衝突後の二つの円筒体は同じ速度を保ち続ける、ということになる。
互いの円筒内でバネにストレスがかかった状態で玉が静止している。。ということは、衝突に際して運動エネルギー以外に当初のエネルギーが費やされたということになります。

そして、通常の物体の衝突というのは、バネが上記に述べたようなものではなく、不完全なもので、復元時に固有のロスがある、、、というものに類すると思います。

回転体の連結、における発熱(熱エネルギー)は、上記のバネ(=弾性エネルギー)に置き換えて考えられるもので、物体の摩擦係数や接触面積に左右されず、衝突後の両物体の(離反速度/衝突速度)によって決定されるものであると思います。(回転体が接触後、等速で連結してしまう場合、これは、反完全弾性衝突と等しく、消費せざるを得ないエネルギーは、一定ということになると思います。)

  投稿者:FNBO - 2008/12/06(Sat) 08:15  No.6060 
leleさんご意見ありがとうございます。時間がないので間違った解釈を書いてしまうかもしれないのですが、まずleleさんのスケートリンクへ飛び乗る寸前の状態がもし同じなら@とAのような結果になるか疑問に思ってます。円筒体の問題については、私もはじめは感覚的にleleさんと同じものでした。しかしよくよくかんがえてみれば摩擦があるからこそ運動が伝わるのであり、2つの円筒体間に摩擦がなければ運動が伝わらないのではと思います。問題となるのは目的に対する無用なまたは有用な摩擦です。結論は瞬時の方が抗力をより大きく受けるため円筒体から円筒体へ運動エネルギーを多く移す目的に大しては無用な摩擦が発生してしまうと思うのです。この抗力は回転させようとしている速度より遅いためわかりにくいのですが、おそらく力学的には逆向きに回転しているのと同じだと思います。これが無用な摩擦熱を増やします。1秒で1リットルの水を沸騰させるのも10分かけて1リットルの水を沸騰させるのも、同じエネルギー消費にはならないと思うからです。また熱は加速度により円筒体内部でも〜

  投稿者:lele - 2008/12/06(Sat) 21:28  No.6062 
6058の私のコメントの、バネ−重り−バネ は、たとえ、完全弾性衝突でない場合でも、2物体の衝突時に発生せざるを得ないエネルギー(初期条件の運動エネルギーから一定の割合で変換されてしまうエネルギー)が、摩擦熱というカタチをとらない場合がある(=取る必要がない)、ということを言わんとしています。
つまり、氷の上の板に人が飛び乗る、、、という動作をするとき、全く、摩擦発熱を生じない場合だって有り得る、ということです。
何故かと言うと、、、スリップで10カロリー発熱したとして、同じ、カロリーを位置エネルギーや、弾性エネルギーとして、消耗あるいは蓄積することで、物体の衝突時の挙動が説明できるからです。

例としては、氷の上の板の上に、横向きにバネを設置し、このバネめがけて、鉄の玉を投げつけると、玉が当たったバネは、徐々に縮んで(縮む過程で、板は加速度を得る。)いきますが、一番縮んだ時に、バネがロックされる構造にしておくと、、、玉は、板に対して摩擦熱を生じずに、一体化したと考えられます。
一番いいたいことは、この2物体が衝突後に一体化するような運動をする場合、運動エネルギーの中から必然的に10カロリーが消耗(転換)されてしまう。。。そして、10カロリーは、熱エネルギーというカタチの場合も有れば、上記のように弾性エネルギーで蓄積される場合もあり得る。ということです。
尚、完全弾性衝突の場合は、この消耗(転換)されるエネルギーが0となります。

  投稿者:FNBO - 2008/12/06(Sat) 21:45  No.6063 
leleさんすいません今朝は最後まで読む時間がなくてやっぱり解釈を間違っておりました。(スケートリンクへ飛び乗る寸前の状態がもし同じなら@とAのような結果になるか疑問に思ってます)というのは勘違いでした。円筒体問題で私が思うのは、回転体の運動エネルギーがAとBの場合にどの割合で変換されるかといいますと。Aの方がBより熱エネルギーへ多く変換され、つまり結果的(円筒体の結合後)にはBのほうが速く回転するということです。

  投稿者:FNBO - 2008/12/07(Sun) 08:08  No.6065 
私が気にしていることはもはや論点からずれてきているので、ひとりごととして聞いていただければと思います。もし私が板に飛び乗りさっと乗るかスライディングで乗るなら、踏み切るときに異なった力の制御をしそうな感じがしました。感覚的なものですが・・。極端に考えれば、空高く踏み切ればスライディングはできないというより板に着地する時の表面積を大きくしている感じです。論点を考えるならば板に接触する素材は違うが、着地する体勢は同じで良く、板の上でピタッと着地するか板の上で少し横滑りするかということですね。細かいところ気にしすぎました。続きはまた書きます。

  投稿者:FNBO - 2008/12/07(Sun) 21:28  No.6066 
(リンクの上の板に飛び乗った時の条件の違いにより、リンク上を板が滑る速度についての続きです。)この場合、円筒体結合問題と大きく条件が異なるのは、板は重力によるリンクとの摩擦によってやがて静止してしまうという点です。結論を先に述べますならば、どちらの速度が速いかまたは同じかは条件によりけりとあまりスッキリしないものでした。板がやがて止まる事を考えますと、ここでいう速度とはピークの速度という仮定にするものとします。さっと板に乗る場合を単位時間当たりにより多くの運動エネルギーを板に、またスライディングで乗る場合を単位時間当たりに少しずつ運動エネルギーを移すという表現で考察します。重力の影響によるリンクとの摩擦により板には単位時間当たり板を静止させようとする力が働き続けます。このことを踏まえて極端な考えを2つします。まずリンクと板との摩擦が極限的に0に近いならば、これは極限的に重力による摩擦の影響をなくせますから、円筒体の問題に近い条件なので少しずつ運動エネルギーを板に伝えている場合のほうがマックス速度は大きくなると思います。一方でリンクと板との摩擦がかなりありますと、場合によっては、少しずつ運動エネルギーを板に伝える場合の単位時間当たりの量より、重力の影響による単位時間当たりに静止させようとする作用が上回り、そもそも板が動かすことができないパターンが考えられます。つまり2つの中間的な考察をするならば、同じ速度になる場合もあるという事になります。よって速度差は条件に依存すると結論付けました。

  投稿者:lele - 2008/12/08(Mon) 02:19  No.6069 
FNBOさん こんばんは。
まず、、、思考実験として考える場合、特に意識的に考慮しない場合は、リンクと板の間の摩擦は、0 と考えることを前提としています。勿論、空気抵抗も有りません。その結果、話は単純化されて、ピーク速度という概念も必要なくなり、結合後は等速直線運動になります。普通の物理の問題は、(摩擦の減衰を対象にした問題以外は)多分すべてそうですね。

次に、、、サッと乗る場合(=短い時間)と、長く乗る場合の比較ですが、短い時間のほうが強い力、長い時間時間の方が弱い力 というのは、間違いないです。この時間と力を掛けた値は、力積 という概念で、この値が同じ場合は、結果、板(とその上に乗った人の)運動速度は、同じと言うことになります。

では、ホントに力積が同じになるかどうか、、ですが、前記の状態で、横向きバネに、玉をぶつけた場合、サッと というのは、強いバネ。長く…というのは、弱いバネに相当します。
強いばねの場合の場合、バネが最も縮むまで1秒 弱いばねの場合10秒とします。この時間の差は、バネの圧縮される長さの比率と同じで、ばねの強さが、10倍違うと言うことを意味しています。つまり、強さが10のバネで、1秒押すのと、強さが1のバネで10秒押すのでは、同じ力積となる(1×10と10×1)、、、ということで、結果、人の飛び乗った板の速度は、どんな乗り方をしても変わらない、ということになります。

  投稿者:FNBO - 2008/12/08(Mon) 22:27  No.6074 
No.6069 LELEさんへの返信
こんばんは。力積の概念について今朝少し学んだだけなので、正しいかわかりませんが、自分なりに解釈しまして、考えてきました。
まず力積の私の解釈について記します。
 作用した力C:作用した力D=作用の所要時間C’:作用の所要時間D’
 力積の概念   C>D C’<D’つまりC=DならばC’=D’
言葉で表現すると「作用した力が同等ならばそれに対応した作用の所要時間 も還元すれば同等である。」ということだと思います。
円筒体の問題の結論を導くには要素として力積の法則だけでは不十分で、エネルギー変換効率も考慮する必要があると結論しました。なぜならば 「作用した力が同等ならばそれに対応した作用の所要時間 も還元すれば同等である。」 という事はエネルギー変換効率についての概念は力積にはないと私は解釈しているからです。しかしここで疑問が生じます。エネルギー変換効率の概念があるならば力積の法則と干渉してしまいそうです。でもその2つの概念は確かに存在するのです。これらの概念を両立するためにはエネルギー変換効率の概念が力積の概念を内包するという結論がでました。それらをふまえて話は円筒体問題に戻ります。
私の結論では、序所に力を伝える条件Bの方が円筒体結合後の速度が速くなるのでした。なぜならば円筒体から円筒体へ運動エネルギーを伝える効率が条件Aに比べ良いからです。それでは力積の法則は成立していないように思えます。力積の法則はどのような作用でも還元すれば(C=DならばC’=D’)という等式に変形出来ます。これはつまり力積の概念があるのは作用した力の量が共有できる範囲までということです。私の円筒体の結論では条件Bの円筒体結合後の速度は条件Aは有する事ができません。また条件Aの円筒体結合後の速度は条件Bは遅らせながらも有する事ができます。つまり条件Aの円筒体結合後の速度まではAとBは共有できますので。LELEさんが説明されたように力積を適用できます。そして条件Bは運動エネルギーを移す目的に対してのエネルギー変換効率が条件Aより高いので、力積が適用出来なくなった条件Aの結合後の速度からさらに運動エネルギーを伝えることが出来、それによってBの円筒体速度の方が最終的に速く回転していると考えたのです。
 バネの問題につきましては、バネを最も縮ませた状態、つまり同じ状態にしますから、作用した力の量を共有しているのは自明であり、力積の法則の適用範囲内と私は思います。





  投稿者:FNBO - 2008/12/09(Tue) 07:49  No.6078 
またあれから考えまして自身の力積の解釈、もっと煮詰める必要がありそうです。現時点では、作用した力ではなく作用する前のポテンシャルについてのことかなと思ってます。作用する力のポテンシャルが同じ場合、力を大きくすると働く時間が短くなる。どのくらい作用できたかはまた別のような・・・

  投稿者:lele - 2008/12/09(Tue) 10:16  No.6079 
そうですね。
私も、こちらに書き込みをなされている多くの方のように、深い知識を持っていないので、参考書片手に考え込んでしまうこと しきりです。
物理の問題は、考えるテーマに従って、話を単純化してしまわないと、一気に迷宮に入り込みます。
例えば、貴殿のやかんのお湯を沸騰させる話では、テーマを100ccの10度の水を沸騰させるのに必要なエネルギーは、加熱時間により変わるのか?
とするのと、100ccの10度の水をコンロで沸騰させる時、ちょろ火か強火か、どちらがガス代がかからないか? 
とするのでは、考えるテーマが違います。(前者は、勿論、変わりません。後者は、放熱(更に言えば、熱伝達の効率や、、、、)がテーマになります。)
まず考えるテーマを明確にする。。。というのが、不可欠なんでしょうね。

  投稿者:FNBO - 2008/12/09(Tue) 21:59  No.6081 
leleさん いつも談話つきあってくださって有難うございます。力積には受け取るエネルギーについての記述ではないと思うようになりました。力を大きくすると伝達時間が短くなる、力を弱くすると伝達時間が長くなる、与えようとする力は還元すれば同じという意味しか持たないと思います。円筒体の問題についてはAの条件の場合、作用する時間が短いのでその代わり単位時間あたり与える力は大きくなる。。Bの条件は逆の結果です。。多分これが力積の意味するところだと思います。しかしここでエネルギー変換効率を持ち出したいのです。例えばleleさんのコメント「放熱(更に言えば、熱伝達の効率や、、、、)がテーマになります」とありますが時間についても効率の要素のテーマに含める必要があるのではと考えてます。さきほどの続きでは、Aの条件の場合、作用する時間が短いのでその代わり単位時間あたり与える力は大きくなり、さらに単位運動エネルギーを移すために発生させる単位熱のレートはBの条件に比べ高くなる。よってBの結果の方がより多くの運動エネルギーを移せるので速く回転する。なぜBの結果の方が速く回転するという事にこじつけようとしているかと申しますと、時間の短縮または遅延したことによる代償となるものがなにかしらの形で反映されないといけないと考えているからです。与えるエネルギーについての力積には代償があります。受け取るエネルギーについての変換効率も代償が必要です。