EMANの物理学 過去ログ No.5642 〜

 ● 全ての物理量の次元

  投稿者:fqc - 2008/11/03(Mon) 10:39  No.5642 
についてです。
角運動量も長さm・質量kg・時間sの3つの基本的な物理量の次元
で表せます。

では電荷はどうかというと[Q]=m^3/2・kg^1/2・s^-1と表せる。
電磁気関係の物理量(電圧、抵抗、磁束)もやはり3つの基本的な物理量の次元で表せます。(証明略)

すると次の疑問が生ずる。

「あらゆる物理量は必ず長さm・質量kg・時間sの3つの基本的な物理量の次元で表せるだろうか?」

  投稿者:fqc - 2008/11/03(Mon) 11:05  No.5643 


クーロンの法則

     F=k・e^2/r^2  ---   (1)

  e:電荷

を土台にする。

1C'という電荷の量を次のように定義すると比例定数k=1に設定できる。

    距離r離れた2つの同一の電荷間に作用する電気力が1Nで
    あるとき、その電荷の量を1C'と定義する。

電荷eの次元を[e]と書くことにすると(1)式の両辺の次元をとると

      N = [e]^2/m^2

から    [e] = N^1/2・m

         = (kg・ms^-2)^1/2・m

         = kg^1/2・m^3/2・s-1    ---  (2)

となって電荷の次元が質量・長さ・時間の3つの基本的次元で表せた。




電磁気関係の物理量(電圧、抵抗、磁束)もやはり3つの基本的な物理量の次元で表せます。(証明略)

すると次の疑問が生ずる。

「あらゆる物理量は必ず長さm・質量kg・時間sの3つの基本的な物理量の次元で表せるだろうか?」

いかがでしょうか。

  投稿者:yuya - 2008/11/03(Mon) 11:09  No.5644 
例えば1メートルというものを、「4℃の水1t(トン)の立方体の一辺の長さ」と定義してもいいわけで、
そうなると 1[m] = [t^(1/3)]あるいは10[kg^(1/3)]となり、長さの次元は要らなくなっちゃいますよね。
「物理量」とは何かを考えたとき、上の話と「電荷の単位がkg・m・sで表せてしまう」という話との間に、
本質的な差があるのかないのか議論する必要があるように思います。
面白い問題なので、もうちょっと考えたいです。

  投稿者:ASA - 2008/11/03(Mon) 14:14  No.5645 
NG
反例:温度;ケルビン,量;モル数


  投稿者:fqc - 2008/11/03(Mon) 20:36  No.5647 
>「4℃の水1t(トン)の立方体の一辺の長さ」と定義

この場合まず第一に温度が明確に定義されていることが前提ですね。
温度なる熱力学的状態量を統計力学的に解釈しようとする際には1分子の平均
運動エネルギー、つまりエネルギーを土台にして温度が定義されます。
(ASA氏への返信も兼ね)

第二に上記の1t(トン)とは力(重力)の大きさのことですね。
つまりN(ニュートン)のことですね。
3  N=kg・m/s^2
なので、力という概念には質量・長さ・時間の定義(OR 無定義語と仮定されていること)が前提です。

本質的な事は、全ての物理量の次元数は3つ以下である、と断定できるか否かです。

とにかく3つです。
3つとして自然なのは kg・m・s ですが、
質量の変わりにエネルギーをとると、J・m・sでもいいです。
もちろん力を入れると例えば  N・J・s でもいいわけです。

ASA氏のモル数が反例として提示されましたが、モル数の本質は数の単位です。
ですから1ダースと1モルは本質的には同一の概念です。
つまりダースやカートンやモルは数の単位なので物理量の次元は無いと考えられます。

  投稿者:fqc - 2008/11/03(Mon) 20:55  No.5648 
> 距離r離れた2つの同一の電荷間に作用する電気力が1Nで
  あるとき、その電荷の量を1Cと定義する。

> [e] = kg^1/2・m^3/2・s-1    ---  (2)




ところで通常の電磁気での1クーロン=1cと、上記で定義された1Cとの
関係を求めてみよう。

まず

  F = k・e^2/r^2         k=1/(4πε0)=9×10^9

である。ここでは電荷の単位はCではなくて通常のクーロンc(小文字)である。

 さて 1C=Xc (エックスクーロン)とおいて、最上記の新しい電荷の単位Cの定義を使うと

  1 = 9×10^9・X^2/1^2

これから X=(√(10)/3)×10^-5=1.05×10^-5 となる。
つまり
    1C=1.05×10^-5c ---  (3)
となる。

  投稿者:yuya - 2008/11/03(Mon) 21:18  No.5649 
>ASA氏のモル数が反例として提示されましたが、モル数の本質は数の単位です。
>ですから1ダースと1モルは本質的には同一の概念です。
>つまりダースやカートンやモルは数の単位なので物理量の次元は無いと考えられます。

個人的には「粒子の個数」というのはむしろ重要な物理量のような気もしますが、
「粒子の個数以外の物理量が3つ以下の基本単位で表されるか」という問題を考えることにします。

>>「4℃の水1t(トン)の立方体の一辺の長さ」と定義
>
>この場合まず第一に温度が明確に定義されていることが前提ですね。

うっ……不用意でした(^^;)
「三重点ギリギリの液相の水1トン」でもいいわけで、温度の定義を避けることはできそうですね。

>第二に上記の1t(トン)とは力(重力)の大きさのことですね。

素朴に1000kgという「質量」のつもりで書いたのですが、いかがでしょうか。
長さの単位の実際の大きさは何でもいいので、
例えば「上記の水の質量1kgぶんの立方体の一辺の長さ」を長さの単位としたとき、
力の概念を持ち込む必要があるでしょうか?

  投稿者:ASA - 2008/11/03(Mon) 21:37  No.5650 
yuya>個人的には「粒子の個数」というのはむしろ重要な物理量
 ええ、SI基本単位になってます。

fqc>1分子の平均運動エネルギー、つまりエネルギーを土台にして温度が定義されます。
 分子の個数が同じ異なる物質、例えば水と鉄を用意し、同じ温度にしておきます。次に、これらに同じエネルギーを与えると、それぞれの温度の上昇は異なります(比熱が異なるので)。
 この現象を、fqc単位系的にはどう解釈されますでしょうか?
 エネルギーを土台にするのでは、上述の例から物理量としての一意性を失うのではと危惧します。
 温度はオーソドックスに熱平衡とかに絡めて定義しないと駄目でしょう。

  投稿者:fqc - 2008/11/03(Mon) 23:48  No.5651 
yuya>個人的には「粒子の個数」というのはむしろ重要な物理量

何故重要なんでしょうか。
ある個数が重要であるからには、その個数が定義や基本法則から必然的に関連
する場合でしょう。

ASA>ええ、SI基本単位になってます。

1molとは黒鉛12g中の炭素原子数=6.02×10^23のことです。
では何で12gかと言えば、C原子1個の質量を12の数値に対応させると
他の多くの原子の相対質量が整数に近くなるから。そして取り扱いが楽になる。 物質量としての1molを6.02×10^23ではなくて例えば1.234×10^20 個
としても便利さは別にして、全く原理的問題は無いと思います。


fqc>1分子の平均運動エネルギー、つまりエネルギーを土台にして温度が定義されます。

ASA>分子の個数が同じ異なる物質、例えば水と鉄を用意し、同じ温度にしておきます。次に、これらに同じエネルギーを与えると、それぞれの温度の上昇は異なります(比熱が異なるので)。

分子の個数が同じ=MOL数が同じ、です。
例えば単原子分子気体のモル比熱は全て同じで3R/2です。
固体金属のモル比熱5R/2で同じです。デユーロンプテイの法則。

  投稿者:yuya - 2008/11/04(Tue) 00:04  No.5652 
fqcさん:

>何故重要なんでしょうか。
>ある個数が重要であるからには、その個数が定義や基本法則から必然的に関連
>する場合でしょう。

いや、なんとなく「個数」って直感的に分かりやすい概念だからそう思っただけで、
その点について喰い下がるつもりはありませんです。

さて、私の挙げたような「質量の単位で長さを表す」例([5649]で修正したもの)は、
fqcさん的にはアリなのでしょうか、ナシなのでしょうか。

  投稿者:ASA - 2008/11/04(Tue) 07:32  No.5653 
fqcさん。
全体的に反論になってませんよ。御自身で固体金属と単原子分子気体とで比熱の違いを認めてますね。
>エネルギーを土台にするのでは、上述の例から物理量としての一意性を失うこれの回答になってません。 

>固体金属のモル比熱5R/2で同じです。デユーロンプテイの法則。
 常温付近という条件がつくのがミソですね。低温では違います。
 ちなみにデバイの法則をご存知ですか?

 先の例で、液体とか固体とかを例に出したのは、同じ温度でも物質によって分子間相互作用が異なり、相が違うことを想定したからです。

> 分子の個数が同じ=MOL数が同じ、です。
>例えば単原子分子気体のモル比熱は全て同じで3R/2です。
 なぜ単原子分子という条件がつくのか考察してください。
 (後、理想気体という条件もついていたような)
 ちなみに多原子分子だとどうなりますか?

  投稿者:ASA - 2008/11/04(Tue) 08:22  No.5654 
組成が同じでも比熱が異なる例:
http://home.hiroshima-u.ac.jp/er/Rmin_GL_006.html
炭素
比熱(298.15K)
単位 J・K-1・mol-1
6.115(ダイヤモンド)
8.527(石墨)
8.75(フラーレンC60)

 比熱を説明するのは、難しいものなんです。

  投稿者:yuya - 2008/11/04(Tue) 08:50  No.5655 
ASAさん:

難しいものなんですねぇ。勉強になります。

そもそも、例えば10K(ケルビン)という状態が、1Kに対して、
「何が10倍なのか」、自分で説明できないことに気付かされました。
これではお話にならないと思うので、勉強しなおして来ます。

等圧下における理想気体の体積じゃないですよね、さすがに(^^;)

  投稿者:あもん - 2008/11/04(Tue) 12:54  No.5656 
あんまりちゃんと読んでないけど、単位なんてしょせん人間の都合で決めてるものですから、3つといわず、1つにでも、無しにも、しようと思えばできるよね。MKSA ではアンペアを含めて4つだけど、ここから A を複合単位にするのと同じように、さらに光の速さやプランク定数/2πを1とすることで、単位を1つだけにすることもできます。これを自然単位系といいますが、慣習としてその基本単位を eV (エレクトロンボルト) にとるのが普通です。

素粒子論では「10^3 eV 程度の温度」とか「10^15 eV^-1 程度の寿命(時間)」とか「0.2 程度の速さ」などと普通に言うわけです。この自然単位系を日常でも使えば、それなりに便利なんですが、あまり洗練されていても、例えば次元解析によるチェック機構が弱くなるというデメリットもあるし、まあ MKSA くらいが日常では便利なんでしょう。

  投稿者:hirota - 2008/11/04(Tue) 14:05  No.5658 
光速度が不変であれば、時間と長さの単位は一つにできる。
万有引力定数が不変であれば、質量は時間と長さの単位に吸収できる。
真空の誘電率が不変であれば、電荷は時間, 長さ, 質量の単位に吸収できる。
アボガドロ定数が不変であれば・・・、ボルツマン定数が不変であれば・・・etc.
てなわけで、不変定数がたくさんあれば単位はドンドン減らしていけるけど、実は不変でなかったとか出てきたら増やさなきゃいけない事態もありうる。
でも、MKSですむのをMKSAにしてるのは、MKSだけで表すことが電磁気学を理解しないと簡単には分からんと言う実用的な理由だね。

  投稿者:ASA - 2008/11/04(Tue) 15:54  No.5659 
yuyaさん>難しいものなんですねぇ
定性的には、割合簡単ですが定量的に求めようとすると難しいわけです。

例えば、熱力学的知識を利用すると、次元解析よりエントロピーと比熱は同じ次元なので、比熱C∝T(∂S/∂T)、ようするにエントロピーの温度変化に依存。
エントロピーはS=klnWとボルツマン関係によりミクロ的な状態数に依存。

 同じ成分でも、その構造によって状態数の温度依存性が異なると考えれば、炭素の比熱の違いなど定性的に理解できます。

ちなみに状態数は自由度だけ掛け合わされ温度的な等分配を仮定すると自由度3ならばW∝T^3がいえます。
温度が0で状態が0になるというのは変なので、とりあえずの補正を入れてW=T^3+1とします。
すると
C=T(∂S/∂T)=kT(1/W)(∂W//∂T)=3k(T^3/(T^3+1))
 T>>1では比熱一定、低温で比熱は減少しT^3と自由度の冪に比例ということが定性的に理解できます。

  投稿者:fqc - 2008/11/04(Tue) 23:16  No.5660 
反論や同意も有るんですが、明日のため寝ます。
今の話題また別の具体的な問題にも関連しているようです。

  投稿者:EMAN - 2008/11/05(Wed) 14:33  No.5661 
 参戦しようかしよまいか。
 単純な話をやたら難しそうな方向へ持って行って議論している状況は、ちょっと道を踏み外しそうで心配だ。

 物理量の次元というのは、何と何を掛けたら何になるかというのを表すのにとても便利なわけだ。 ある物理量を、全く違う組み合わせで作れることがあるけれど、それぞれを分解してみると、やはり同じ組み合わせになっている。

 fqcさんが書いたようなやり方だと、電磁系の単位も MKSの組み合わせで書けるわけだけれど、整数乗では表せなくなっている。 それは便利だろうか。

 つまり、整数乗ではないということは、その中に電磁系の単位が含まれているということを意味していることになる。 だったら、MKSの他に、Aを導入する今のやり方の方が便利さでは断然スマートではあるまいか。 その物理量が何の組み合わせから出来ているかを分析するには、それがもっとも賢い。

  投稿者:EMAN - 2008/11/05(Wed) 14:37  No.5662 
 「個数」というのはどうか、というと、例として、ある同一のエネルギーを持っているかたまりがあって、個数とエネルギーを掛けたものは、やはりエネルギーのままだから、個数は無次元だということになる。

 しかし、そんなものは人間の都合に過ぎない。

 もし人間が、ある個数に特別な実用的意味を感じて、普通のエネルギーと、それがある個数だけ集まったエネルギーとに、別の名前の単位を割り当てて呼んでいたら・・・。 あらゆる物理量に、その個数を掛けたものを、それぞれ別の名称で呼ぶことに愛着を感じていたとしたならば、そういう文化圏では「個数」も立派な次元の一つだということになる。

 いや、そんな文化は効率が悪すぎるだろうと笑うことは出来ないのである。

 アインシュタインは質量とエネルギーは等価だと見抜いたわけだし、エネルギーを質量で表してももちろん構わない。 あるいは質量をエネルギーで表してもいい。 素粒子分野ではすでにそうしていると思うが。 しかし、それ以外の分野では相変わらず、質量とエネルギーに別の単位を名づけるやり方に愛着を感じているわけだ。 先ほどの「個数」の話と似たようなものである。


  投稿者:EMAN - 2008/11/05(Wed) 14:44  No.5663 
 MKSの3つを基本単位としているのは、人間がこれらを今のところ、それぞれ別の性質を持った、これ以上分解できない何かだと信じる気持ちが強いからだ。
 人間は時計と物差しと秤は全く別のものだと信じてきた。
 しかしどれも最終的には目盛りを読むのだから、同じものだともいえる。

 相対論では時間と長さをすでに同一視しているし、分ける意味も無くなるかもしれない。 このあたりは、あもんさんやhirotaさんがすでに指摘のとおりだ。

 MKSの3つよりも減らすことも可能だし、新しい現象が見つかったときに、それを分かりやすくまとめるために、一時的に増やすことも出来る。

  投稿者:ASA - 2008/11/05(Wed) 18:28  No.5664 
EMANさん
>以上分解できない何かだと信じる気持ちが強いからだ。
信念の問題ではないと考えます。
単位系の設定問題が、単位換算の問題にすり替わってます。
(あもんさんやhirotaさんの指摘はfqcさんの問題意識から外れているのでは?)
 多様な現象を記述するには、物理領域に限ってもそれ相応の数の尺度が必要です。
 ニュートン力学の力定義によれば、MKSの3単位があればどのような種類の力でも、運動(位置の時間的変化)を記述できるわけです。そのような意味で慣例的なクーロンを電荷の単位とすることに必然性はないと考えられます。
 また、ミクロスケールを扱う場合は、原子論な自然観に沿った、電子の電荷を1とする単位もありえるでしょう。
 しかし、物質の状態を示す量の一例として温度などは、ニュートン力学的な物とは違う物理的概念に基づいているので、これをMKSの3単元で記述すると不都合、つまり、物理的パースペクティブが失われると考えます。
 もしすべての物理量を重さ換算してしまうと、「温度1ngの水1Kgへ1pgの熱を与えると一体何gの温度になるのか」という問題になります(スマートさがかなり失われている)。このように、示量的変数と示強的変数が同じ次元を持つというのは、幾らなんでもかなりまずいと思います。

  投稿者:大学生A - 2008/11/05(Wed) 19:08  No.5665 
>そのような意味で慣例的なクーロンを電荷の単位とすることに
>必然性はないと考えられます。

なるほど。
でも、実験とかやってるうちに、天秤で釣り合う同形・同質の二物体が、
同じ外力に対し、異なる加速度を持った場合、

「あれ?なんで?ひょっとして、質量以外のパラメーターが存在する?」
「じゃあ、仮に電荷量と名づけて、新たに物理量を設けてみよう。」

という具合になりませんか?

  投稿者:EMAN - 2008/11/05(Wed) 19:11  No.5666 
> (あもんさんやhirotaさんの指摘はfqcさんの問題意識から外れているのでは?)

 これについてはfqcさんの反応を待つことにしましょう。
 私は、fqcさんが基本的な単位が「3つ」であることに何か宇宙の究極的な真理が隠されているのではないかという考えに寄り道しようとしているのではないかという気がしたのです。


> 多様な現象を記述するには、物理領域に限ってもそれ相応の数の尺度が必要です。

 同意します。 理論が多様なものを記述する方向に向かうとき、新たな概念や物理量を必要とするわけです。 熱力学もそうです。 一方、「究極の何か一つのもの」を捜し求めるとき、新たな物理量の種類が増えて行くのでは困りものです。 ただ、その追求の過程では、新たな物理量を持ち込む必要があることもあります。 例えば「ストレンジネス」みたいなものですかね。

> MKSの3つよりも減らすことも可能だし、
> 新しい現象が見つかったときに、
> それを分かりやすくまとめるために、一時的に増やすことも出来る。

と私が書いたのはそういう意味です。

 私の考えは、究極のミクロを追求する方へ向いており、ASAさんの考えはマクロを記述する理論を確立する方へ向かっているために、意見の相違があるように見えるだけだと思います。

 他の部分に対してはもう少し考えてから、必要があると判断したら返事します。

  投稿者:fqc - 2008/11/05(Wed) 22:10  No.5667 
どう返信すべきか?なのですが、まずは確認のためオーソドックスに基本的
な次元として長さmと時間sの2つだけの場合について考えてみます。
ご存知のようにこの場合は運動学(数学)だけです。質量・力・エネルギー
・角運動量・・なる物理量は一切出てきません。つまり定量的科学は何にも
出て来ない訳です。(ここまでは皆に賛同でしょう)

では長さmと時間s以外に1つの物理量(質量でもエネルギーでも・・私的にはエネルギーを推薦)を追加するだけで、電荷・弱電荷・強電荷も含めたあらゆる物理量に次元が表せるのではないだろうか? もしそうでなかった場合は最低何個の<独立した物理量>を追加すべきだろうか? となりこれもまた興味深い。

※それから、そもそも物理計算ミスのチェックに次元解析が有用なのは何故だろうか?
 これについても数学の各種の演算の各ステップがそもそも次元を保存するように定義されてきたようだ、とうのが私の結論。しかしこの件についてはずっと後日に別途提起します。

さては最初の返信から。

yuyaさん>さて、私の挙げたような「質量の単位で長さを表す」例([5649]で修正したもの)は、fqcさん的にはアリなのでしょうか、ナシなのでしょうか。

fqc>本質的な事は、全ての物理量の次元数は3つ以下である、と断定できるか否かです。とにかく3つです。3つとして自然なのは kg・m・s ですが、質量の変わりにエネルギーをとると、J・m・sでもいいです。もちろん力を入れると例えば  N・J・s でもいいわけです。

の独立な3つの量の立場からするとナシだと思います。
その理由は例えば独立な3つをkg・m・sとしたとします。
すると例えばkgの次元ないしは単位は独立なのだからmとsをいかに巧妙に
化合させても決してkgの次元を表せないからです。


他の返信はまた。

あと具体的な展開としては、先の電荷の次元を土台にしてプランク電荷なるもの得んとした。 その結果得られたものは何と電磁相互作用の結合定数1/137がらみの事柄だった。これも早く書き込みます。

  投稿者:fqc - 2008/11/05(Wed) 23:01  No.5668 
cqf>固体金属のモル比熱5R/2で同じです。デユーロンプテイの法則。

御免ミス、モル比熱は3Rが正しい。
 1次元の場合運動エネルギー+位置エネルギー=R/2+R/2=R。3次元はこの3倍だから。

ASAさん>常温付近という条件がつくのがミソですね。低温では違います。 ちなみにデバイの法則をご存知ですか?

ええ概略的には。これ当面の話題からそれてしまいます。 温度で固体結晶を出したのはまずかった。温度計としては理想気体なのでモル比熱としては3R/2だけでよかったですね。

あもんさんのいうc=h/2π=1とする自然単位系ですが、
素粒子論だと普通のようですね。
しかしこれはあくまで便利ないし単純さ優先の処方で、当面の話題と似て非なるものでしょう。


  投稿者:EMAN - 2008/11/06(Thu) 09:52  No.5669 
> あもんさんのいうc=h/2π=1とする自然単位系ですが、
> 素粒子論だと普通のようですね。
> しかしこれはあくまで便利ないし単純さ優先の処方で、当面の話題と似て非なるものでしょう。

 思想や解釈に近い話なので、こう考えなくてはならないと、強く主張をするつもりはありませんが。

 確かに素粒子論で採用している自然単位系はどこか便宜的なものに見えますね。 なぜこんなものを取り入れるのか? 論文を書くときに、数式がごちゃごちゃするのが面倒だから? それもあるでしょう。 単なる伝統や習慣? それもあると思います。 こんなことをしても、エネルギーや座標などの概念が消えるわけではありませんから。
 しかし最近の素粒子論というのは、宇宙を、数学的構造で説明しようという方向へ向かっています。 その構造の中に現れるあるパラメータを、人間という「情報処理をする生物」は長さと呼んでみたり、時間と呼んでみたりする。 そういう意味づけを、この生物は勝手に行っているだけ。
 素粒子論は、そういう幻想を取っ払おうとしているように、私は考えています。

 コンピュータはある種のルールの下に0と1を処理しているだけだけど、それが作り出すバーチャルリアリティには、音があり、色があり、奥行きや角度、風景が作り出される。 それに似たものだと私は考えます。

 このような考えを割と自然に受け入れられる人は、次元について、さっぱりした見方をするのでしょう。 当面の話題と似て非なるものだということであれば、私はしばらく黙って見ていることにします。

  投稿者:yuya - 2008/11/06(Thu) 12:56  No.5670 
fqcさん:

[5667]
>独立な3つの量の立場からするとナシだと思います。

「質量・長さ・時間」は互いに独立だというのはfqcさんにとっては疑いようのない前提なのでしょうか。
これを前提にすれば、そりゃ私の例は「ナシ」になるんでしょうけれども。

MKSの中で単位の種類を減らすことが

[5668]
>あくまで便利ないし単純さ優先の処方

ということであれば、電荷量をMKSで表すことも同様であるように見えるのです。

「質量・長さ・時間の3者が互いに独立かどうか」という問題と、
「電荷量が上の3者と独立かどうか」という問題とは、何が違うのでしょうか?

  投稿者:大学生A - 2008/11/06(Thu) 14:08  No.5671 
>電荷量をMKSで表すことも同様であるように見えるのです。

私も、そこんとこが気になる・・・。

  投稿者:あもん - 2008/11/06(Thu) 15:36  No.5672 
>本質的な事は、全ての物理量の次元数は3つ以下である、と断定できるか否かです。

率直に言って、私やhirotaさんは、こんなことを考えることに意味がないと言っているんです。yuyaさんもそう思っているはずです。(ちがう?>yuyaさん)

例えば、ある宇宙人は我々と同じように運動方程式を発見しているかもしれませんね。我々の言葉に翻訳すると、それは、

 F=kma

かもしれません。ここで k は「運動方程式定数」と呼ばれていて、

 k = 3.42541 ur^2/jb

です。b は、その宇宙人にとっての長さの単位で、r は時間の単位、j は質量の単位、そして u は力の単位です。

そこで、その宇宙人にこう言ってやります。「ああ、我々地球人は k=1 となるような単位系を用いているんだ。だから力の単位は、[質量][長さ]/[時間]^2 のようになるんだよ。」

宇宙人はそれを聞いて、「けしからんなあ。力の概念は質量や長さや時間とはまったく別のものだ。力の単位をそれらの単位の複合として表すなんて、便宜上のためとはいえ気持ち悪いことをするもんだ。」と、地球人を非難しました。

さあ、賢いのは地球人?それとも宇宙人?

・もし賢いのが宇宙人であれば、MKSA や MKS を使ってる地球人
 はなぜそれを改めないのかな?

・もし賢いのが地球人であれば、更に賢い方法は自然単位系ではないかな?

まあ、yuyaさんの説明の方がわかりやすいかもしれませんが、一応、その補助としてこのサイエンスフィクションをあげておきます。

  投稿者:あもん - 2008/11/06(Thu) 15:57  No.5673 
ついでにもう一つ。単位が同じになるからといって、それらの物理量が同じということではないよ。自然単位系を用いている人だって、「長さ 1eV^-1」と「時間 1eV^-1」は別の概念だと思っているのです。このことは MKS(A) で、エネルギーとトルクが同じ単位でも、別の概念だと思っていることと同様です。

  投稿者:yuya - 2008/11/06(Thu) 16:32  No.5674 
>>本質的な事は、全ての物理量の次元数は3つ以下である、と断定できるか否かです。
>
>率直に言って、私やhirotaさんは、こんなことを考えることに意味がないと言ってい
>るんです。yuyaさんもそう思っているはずです。(ちがう?>yuyaさん)

そもそもこういうことを考えた経験が無かったので、
初めから「意味がない」とは断定はできませんでしたし、今もそうですが、
現時点ではあもんさん・hirotaさん・EMANさんのご説明に納得・同意している状態です。

なので、私の

>「質量・長さ・時間の3者が互いに独立かどうか」という問題と、
>「電荷量が上の3者と独立かどうか」という問題とは、何が違うのでしょうか?

という疑問に対して、fqcさんが「こういう決定的な違いがあるんだよ」と示唆してもらえるなら
それについて勉強してみたいし、「よく考えると特に違いはないなぁ」ということであれば
(話がそれ以上広がらないという意味では残念ですが)それはそれでいいと思っています。

  投稿者:匿名希望 - 2008/11/06(Thu) 18:31  No.5675 

次元には 時間・長さ・質量 のほか 電荷・温度 もあるのでは
参考 プランク単位系 Wikipedia


電荷を、同符号同量が1mの距離をおいたときに受ける力とみて次元に入れる必要がない という論法を拡大すれば、質量1単位を、それが中心にあるとして、半径1mの円周の長さが重力による空間の歪みでなんとかmになるもの、としたら質量の次元はいらないということになってしまわないでしょうか。

  投稿者:ASA - 2008/11/06(Thu) 18:48  No.5676 
No.5665大学生Aさん
電荷量をMKSで表しても、物理の枠組みとしては、気にする必要はないと考えてます。
(実用上は面倒になるかも)、要するに電磁気学でのcgs-esu単位系ですから(歴史的にはこれを採用していた時期がある)。
>http://homepage2.nifty.com/eman/electromag/em_unit.html
>ε0=1とし、真空中で 1 cm の距離にある等しい電気量の間に働く力が 1 dyn である時、これを 1 esu の電気量であると定義する。
 電荷の力から電気量を定義すればこうなるよという話にすぎません。
詳細参照;http://ja.wikipedia.org/wiki/CGS%E9%9B%BB%E7%A3%81%E5%8D%98%E4%BD%8D%E7%B3%BB

ちなみにSI単位系で、微細構造定数α=e^2/(4πε0h~c)
(esu単位系のようにε0を無次元にし、さらに4πε0=1とする単位系なら、α=e^2/h~c とすっきりします。fqcさんは、この話をしたいようですね)

だからといっても
>本質的な事は、全ての物理量の次元数は3つ以下である、と断定できるか否かです。
はいえない。

  投稿者:fqc - 2008/11/06(Thu) 23:00  No.5677 
yuyaさんより:

なので、私の
>>「質量・長さ・時間の3者が互いに独立かどうか」という問題と、
>>「電荷量が上の3者と独立かどうか」という問題とは、何が違うのでしょうか?

質量・長さ・時間の3者が互いに独立なのは当然ですね!
さながら3次元空間内にある独立な3ベクトルにおいて、1つのベクトルは
たの2つのベクトルの1次結合では決して表せないのと同じ論法です。

電荷は質量・長さ・時間の単位で具体的に表しましたね!
他の電磁気量の単位(と言うか次元)ももちろん全部m・kg・sで具体的に
表せますよ。

だったらそれこそ自然の流れで、力学や電磁気学だけでなくて素粒子に登場
するすべての物理量も3つで表せるか? と来るしかないでしょう。

ASAさんの書いた e^2=hc はまさに私が言いたかったことです。
私はこの関係を自称プランク電荷を次元解析から求めようとしたら偶然出てきました。今朝書き込もうとしたらしくじって消えてしまった。

  投稿者:あもん - 2008/11/07(Fri) 03:56  No.5679 
>>質量・長さ・時間の3者が互いに独立なのは当然ですね!
>>さながら3次元空間内にある独立な3ベクトルにおいて、1つのベクトルは
>>たの2つのベクトルの1次結合では決して表せないのと同じ論法です。

いえ、そうではないんですよ。もし仮にそうなら、例の宇宙人は、

「質量・長さ・時間・力の4者が互いに独立なのは当然ですね!
さながら4次元空間内にある独立な4ベクトルにおいて、1つのベクトルは
たの3つのベクトルの1次結合では決して表せないのと同じ論法です。」

と叫び、地球人の物理(運動方程式定数を1とする単位系)が間違っているとわめき出しますよ?

単位系というのは、そういう線形代数ライクものではないんです。具体的には MKS に現れる m, sec, kg は、未定係数(変数)みたいものです。k=10^3 だから、未定係数は m, sec, g だと言っても同じです。feet=0.3048m を導入して、未定係数を feet, sec, g としてもそれは自由です。

あくまでこれら3つの単位は未定というだけで、未定にしているのは、地球人(特に MKS 単位系を用いている人)の勝手なのです。そして、これらの間に更になんらかの関係を設定することも自由です。例えば、m=sec として、sec, g だけを未定だと考えてもいいです。3m=2sec=g として、g だけを未定と考えてもいです。そうしても矛盾が生じないのは、MKS の段階で m, sec, kg の間に何も関係を要求していないのだから当然ですね。MKS の段階で、これらを「独立変数」として扱っていたから、と言ってもいいです。

この「独立変数」の考え方と、線形代数における「線形独立」の考え方をごっちゃにしないように注意してください。

  投稿者:ASA - 2008/11/07(Fri) 07:39  No.5681 
>この「独立変数」の考え方と、線形代数における「線形独立」の考え方をごっちゃにしないように注意してください。
 異議あり。
独立という概念そのものは、同じです。
ただし、物理量を構築するとき必要な作用素は、線形と限定されなくて考えうる任意の作用素がかかわります。

後、気になったのが
>エネルギーとトルクが同じ単位でも、
トルクはジュールというエネルギー単位で表わしません。
内積と外積とで作用素が異なっています。
概念的に異なる物理量は、基本量の組み合わせが(作用素を含めて)違いがでます。

はっきり言って、fqcさんの問題意識と外れてますよ。

ちなみに、
>地球人の物理(運動方程式定数を1とする単位系)が間違っているとわめき出しますよ?
 慣性制御技術を持つような宇宙人のほうが、物理的学的知見でも優れているのは当然でしょ。

  投稿者:yuya - 2008/11/07(Fri) 08:53  No.5682 
fqcさん:
[5677]
>質量・長さ・時間の3者が互いに独立なのは当然ですね!
>さながら3次元空間内にある独立な3ベクトルにおいて、1つのベクトルは
>たの2つのベクトルの1次結合では決して表せないのと同じ論法です。

はぁ、当然なのですか。そういうものですか。
同意も反論もできなくなっちゃったので、議論に貢献できず申し訳ありませんが、
いろいろ考える機会を与えてくださってありがとうございました。

  投稿者:ASA - 2008/11/07(Fri) 09:50  No.5683 
補足
電磁気の単位系は、wikiでのオリジナルと文書と思われる下記を参考にした方がよいです。
http://j-molsci.jp/archives/AC0003.pdf

  投稿者:大学生A - 2008/11/07(Fri) 20:39  No.5689 
No.5676 ASAさん

なるほど。
わざわざ、ご返事ありがとうございました。m(_ _)m

  投稿者:fqc - 2008/11/09(Sun) 18:56  No.5706 
あもんさんへ;

2点伺います。

1.電荷の次元が時間・長さ・質量の3つの次元で
  具体的に書き下せることをご存知でしたか。

2.弱電荷・強電荷も3つの次元で具体的に書き下せるか?
  についてはいかがでしょう。

  投稿者:あもん - 2008/11/09(Sun) 20:20  No.5709 
fqc さん:

>1.電荷の次元が時間・長さ・質量の3つの次元で
>  具体的に書き下せることをご存知でしたか。

もちろんです。もう20年も前になるけど、私はバークレー電磁気学で電磁気学を学びました。これは原著が CGS-Gauss 単位系で、訳者が逐一 MKSA に直してコメントしているという変わった教科書ですw

私が思うに、電磁気学で CGS 系の単位系に出会った人の多くは、そこで単位系の人為性と自由性について深く考察することになります。これをスルーしてしまった人は、素粒子論などで c=1 の単位系に出会ったときに、同じように悩むことになります。理論物理学においては誰もが通る道なのです。ただ、工学系の人の中には、意外と無頓着な人がいるようです。

>2.弱電荷・強電荷も3つの次元で具体的に書き下せるか?
>  についてはいかがでしょう。

通常、とっくに自然単位系を採用している分野なので、あまりこのことを考える人はいませんが、仮に MKS のまま素粒子論を展開すれば、そうすることもできます。つまり、meter, kg, sec の3つでそれらの結合定数が書かれることになります。しかし、数式を複雑化するだけで、まったく意味のない行為です。

先の例え話で、例の宇宙人に同意して、力の単位を新しく meter, kg, sec と独立に設けようとする行為に似ています。できることはできるが、式を無駄に複雑にして、何が嬉しいの?ということになるでしょう。

どうでしょう?私の言っていること、理解できそうですか?もしさっぱりわからないなら、正直にそう言って下さって結構です。数学や理論物理学には、思考の飛躍が必要なときが多々あって、単位の自由性の認識はその1つなのです。わかってしまえば、まったく何てことないのですが、一方で、わからない気持ちも私にはよくわかります。でもそれは一旦わかってしまえば、ただ固執していただけにすぎないと気が付くでしょう。

A(アンペア)を meter, kg, sec で表して消すこと(MKSA→MKS)と、meter を sec で表して消すこと(MKS→KS:c=1)の、どこに違いがあるのですか? 同じことじゃないですか。これまで使っていた長さや時間や質量の単位はそんなに特別なものなの? それは日常的に具体性があるから、幼い頃から使っていたから、特別だと思っていただけじゃないですか? 例の宇宙人が力の単位の独立性に固執しているのと同じじゃないですか?

  投稿者:fqc - 2008/11/10(Mon) 11:25  No.5711 
スレッドが長くなってしまったが、仕方ない。

EMANさん>私は、fqcさんが基本的な単位が「3つ」であることに何か宇宙の究極的な真理が隠されているのではないかという考えに寄り道しようとしているのではないかという気がしたのです。

究極的な真理とはオーバーな言い回しですが、そうです!
この物理量を表すのに必要な最低限の次元数は3つではないだろうか?
 が私の疑問というか予想です。そしてその際は、実用上の利便性は一切度外視した立場に立っています。

ASAさんは私の意図については、賛否は別にして、ある程度了解して
もらえた気がします。 そしてこの話題は「素粒子の(静止)質量値はc、h、eの基本定数からは理論的に計算不可能では」という予想に至ると、思える。
 事実ニュートリノには僅かな質量があることが実証されましたが、その値
は理論的予言は今も存在しないのでしょう。(もし存在するなら興味深深)


あもんさん:
宇宙人の例では宇宙人は力の概念は質量・流さ・時間の概念とは独立である
ことをF=kmaとは独立に別途論証しなければならないでしょう。つまり
力Fに関連した基本法則がF=kmaとは独立に存在ないし仮定されること
を示す必要があります。なお誤解回避の補足なんですが、通常はk=1に設定されてますが「1kgの物体に1m/s^2の加速度を生じせしめる力の強さを2Nとする」の場合はk=0.5に設定したことになります。

素粒子論でc=h=1の単位系では全ての物理量の次元が高々eVの単位だけ
で表せる、とのことですが。
 恐らく自然単位系で得た計算結果を、最後にcとhのべき乗を乗じて普通の単位系MKS(cgsでもいいが)に変換させる過程が絶対必要ですね。
そのとき c=3×10^8m/sとするはずです。それに対して
 「ねーこのmとかsとかってそもそも何なの?」
の質問に何と答えますか。手持ちの概念としてはeVつまりエネルギーの概念しかないですからね。

1m ≡ 液体の水1t=1000kgが立方体をなして存在している場合の
     一辺の長さ

その立方体の概念そのものは長さの概念を前提にしなければ存在できません。


「c=1とすれば時間も長さmで表せる」はもちろん正しいですね。
しかしここから、物理は本質的に時間概念無しで構築できると思ってる人いますかねー。

※ ある地方で景観上から、石灰岩の採掘跡地に緑のペンキを塗ったそうだ。
しかし周囲の山々全てに草木が繁茂していると宣言する人は居ないでしょう。


強・弱相互作用の結合定数から強電荷と弱電荷の次元をm・kg・sで電荷
でしめされたように書き込んでまらえますかえー。(私には力不足、予想としては電荷と同じではと)


ストレンジネスやチャームなる量もひょっとしてm・kg・sで表せてしまうかも、もちろん利便性は度外視の上でですが。

  投稿者:fqc - 2008/11/10(Mon) 12:47  No.5712 
ある物理量Qが、G・h・cのべき乗の積、つまり

     Q=G^x・h^y・c^z   --- (1)

と表されるものと仮定しよう。

そしてQ,g,h,cの各物理量としての次元というより単位、同じことだけど、を[]で示すと

   [Q]=m^a・kg^b・s^c       a,b,chは既知
   [G]=m^3・kg^-1・s^-2
   [h]=m^2・kg ・s^-1
   [c]=m ・  ・s^-1

これらを(1)に代入すると

    a = 3x+2y+z  , b = -x+y  , c = -2x-y-z

∴  x = (a-b+c)/2  , y = (a+b+c)/2  , z = (-3a+b-5c)/2 --- (2)

となる。

特にQが長さ・質量・時間のそれぞれの場合はプランク長、プランク質量、プランク時間を与える。

特にQが電荷の場合は a = 3/2 . b = 1/2 , c = -1 なので

           x = 0 ,  y = z = 1/2

ゆえに Q = K・√(hc)    

   Kは1のオーダーの無次元数だが、別の考察から137orその逆数11/137

    したがって電気素量eはプランク電荷とみなせそうだ。

  投稿者:あもん - 2008/11/10(Mon) 15:33  No.5713 
fqcさん:

やっぱり私の言ってること理解できないですか。まあ、工学系の人には結構そういう人もいるんで、別に驚きはしないですが、少し残念ですね。宇宙人の話もちゃんと読んだようですし、おそらくここまで説明して理解できないってことは、これ以上私がどう説明しても理解させることは無理でしょうね。他の誰かが別の方面から説明した方がマシかもしれません。

>宇宙人の例では宇宙人は力の概念は質量・流さ・時間の概念とは独立であることをF=kmaとは独立に別途論証しなければならないでしょう

ここでいう「概念が独立性」の正確な意味がわかりません。もしfqcさんが「質量の概念が、長さ、時間の概念とは独立であること」を論証して見せてくれれば。その論証をそのまま利用して、力の概念の独立性を、fqcさんが納得できる形で論証できますけどね。

>「ねーこのmとかsとかってそもそも何なの?」

m=5.06775×10^6 /eV, s=1.51927×10^15 /eV.

>「c=1とすれば時間も長さmで表せる」はもちろん正しいですね。
>しかしここから、物理は本質的に時間概念無しで構築できると思ってる人いますかねー。

前に似たようなこと言ったけど、自然単位にしたからといって、考える物理量の数が MKS(A) より少なくなるわけじゃないよ。物理量の単位が同じである割合が、MKS(A) より多くなるってだけのこと。長さと時間の単位が同じだからって、それらを同一視しているわけではないし、どちらかの概念が消えうせるわけでもない。

>強・弱相互作用の結合定数から強電荷と弱電荷の次元をm・kg・sで電荷でしめされたように書き込んでまらえますかえー。

QCDを MKS 単位系で書くことは、あまりに馬鹿馬鹿しいので、誰もやってないかもね。そして、それを書こうとすれば無限の任意性があります。クォーク場の共変微分は、自然単位系で、

<tex>D_\mu = \partial_\mu + iq A_\mu + ig_c T^a G^a_\mu</tex>

ですが、仮に MKS で4元ポテンシャル  $A_\mu$  の次元がスカラーポテンシャルの次元 kg^(1/2) m^(1/2) s^(-1) と同じになる、また、グルーオン  $G^a_\mu$  の次元もこれと同じになるという notation を採用するなら、

<tex>D_\mu = \partial_\mu + {iq \over \hbar c} A_\mu + {ig_c \over \hbar c} T^a G^a_\mu</tex>

となって、強い相互作用の結合定数  $g_c$  の次元は電荷と同じ次元 kg^(1/2) m^(3/2) s^(-1) になります。しかし4元ポテンシャルやグルーオンの次元をそうしなければならない理由はどこにもありません。例えば、グルーオンの次元をゲージ場として自然な m^(-1) とすれば、MKS 単位系でも  $g_c$  は無次元量になります。

>(私には力不足、予想としては電荷と同じではと)

力不足でできないと認識しているなら、とりあえずそれができる人間の言うことは信じて、吸収しようとする姿勢を見せて欲しいものです。私にしてみれば単位系の自由性の認識なんて、20年前に理解した、相対論などと同程度の、当たり前で初等的な概念です。ちゃんとした素粒子論の教科書なら、1ページ目でさらっと述べられる内容です。

>ストレンジネスやチャームなる量もひょっとしてm・kg・sで表せてしまうかも

ストレンジネスやチャームは電荷などの結合定数とは異なったもので、標準模型やQCDの立場では基本的な物理量とは認識されていません。これは、まだハドロンの物理学がよくわかってなかった時代に、その分類を行うために導入された量子数で、SU(2) におけるスピンの概念を SU(3) や SU(4) に拡張したようなものです。QCDの立場では、ハドロンに内在するストレンジクォークやチャームクォークの個数と関連しています。また、カビボアングル(あるいは小林益川マトリックス)の存在により、これらは保存しません。

今回はちゃんと返答したけど、もう返答はないかもしれません。その理由は一番上に書いた通りです。失礼ながら、とても Dirac 方程式を理解している人の理解力とは思えません。ただ、別に非難しているわけではありません。それが日本社会の普通の水準であることも確かでしょうから。数学や理論物理学ってのは、本当にマニアックな世界です。

  投稿者:甘泉法師 - 2008/11/11(Tue) 17:37  No.5724 
甘泉法師です。 以下いい加減な雑感で白熱の御やりとりを邪魔したら申し訳ありません。

ちょっと前までの品揃えには及ばないものの市中の「100円ショップ」にはいろんな商品がありますよね。
同じ100円という単位であっても 瀬戸物100円と お菓子100円と 電池100円は明らかに”次元”が違って買い物に混乱は起きませんね。

また、西原理恵子?のマンガでりんご3個とみかん5個足していくら、という問いに りんご と みかん という異質のものを足すことはできない という類の話があったような...記憶は確かでないです。

”次元”を同じとみるかどうかはきめごとによるのではと思った次第。もちろんそのきめごとを共有すれば強力なツールです。

Wikipedia 物理単位 にある

物理量の値(the value of a quantity)Qは、その数値(numerical value)を示す数字(number)nと単位(unit)Uとの積として表される。ただし、数学の通常の記法に従い、乗法記号(×)は省略するのが普通である。

との説明は簡潔で感心しました。無学をさらけ出すのを恥じつつ。

=甘泉法師=

  投稿者:あもん - 2008/11/11(Tue) 19:18  No.5726 
fqc さんのために、もう一つわかりやすい説明を思いついたので、これを最後のトライとします。

MKS の時間  $t$  に対して、 $t'=ct$  を新たに時間と呼ぶことにする。
新しい時間の単位は m となる。

MKS の力  $F$  に対して、 $F'=F/\hbar c$  を新たに力と呼ぶことにする。
新しい力の単位は m^(-2) となる。

MKS の質量  $M$  に対して、 $M'=Mc/\hbar$  を新たに質量と呼ぶことにする。
新しい質量の単位は m^(-1) となる。

MKS の電荷  $q$  に対して、 $q'=q/\sqrt{\hbar c}$  を新たに電荷と呼ぶことにする。
新しい電荷は無次元になる。

このようにして全ての物理量を再定義して、新しい物理量の単位を m だけで書くことが可能ですね。こうしてできる新しい物理は、 $c=\hbar=1$  の自然単位系の物理と実は等価です。

まどろっこしい説明ですが、人によってはこういう説明の方が納得がいきやすいのかも。もし fqc さんがこれで MKS 固執から抜け出せたなら、ラッキーだと思います。

  投稿者:fqc - 2008/11/16(Sun) 13:04  No.5835 
超亀レスです。

幾多の返信有難うございました。

物理工学専攻をした者です。


>これを最後のトライとします。
MKS の時間 に対して、 を新たに時間と呼ぶことにする。
新しい時間の単位は m となる。
MKS の力 に対して、 を新たに力と呼ぶことにする。
新しい力の単位は m^(-2) となる。
MKS の質量 に対して、 を新たに質量と呼ぶことにする。
新しい質量の単位は m^(-1) となる。
MKS の電荷 に対して、 を新たに電荷と呼ぶことにする。
新しい電荷は無次元になる。
このようにして全ての物理量を再定義して、新しい物理量の単位を m だけで書くことが可能ですね。こうしてできる新しい物理は、 の自然単位系の物理と実は等価です。
まどろっこしい説明ですが、人によってはこういう説明の方が納得がいきやすいのかも。もし fqc さんがこれで MKS 固執から抜け出せたなら、ラッキーだと思います。
------------------------------------------------------------------

おかげさまで上記は完全に納得できました!

2つの基本定数h(hバーでも同じ)とcを基にしていくつかの物理量を再定義すると、全ての物理量の次元が1つの長さmか無次元(無次元も長さの0乗次元とみなせる)で
書けるということですよね。そして運動方程式なり場の方程式なりに入れて解
くと全ての物理量はただ1つの長さmのべき乗の次元をもったものとして原理的に計算されるでしょう。

そして求めんとする物理量Qの次元をMKSに戻す作業があるはずです。

そのとき[Q]=m^x・(kgm^2/s)^y・(m/s)^zとして未知数yとzを決めるでしょう。

まさにこの段階で、「ねー、kgとかsとかって何それ?」と聞かれるはず。
それに対する回答には質量kgと時間sの2つの概念ないし次元が絶対に必要になるはずです。

そうするとやはり本質的に 1つ(m)+2つ(kgとs)=3つ の概念なり次元がなるでしょう。

何度も言うようにそもそも私の疑問は電荷の次元がMKSで表せる事実からして

 「ではどんな物理量も最低3つの独立概念ないしは次元で必ず表されるのだろうか?(y/n)」

ということです。
私yと類推してます。

前々回の投稿にてあもんさんからは、強い相互作用では自然な仮定の下なら、そうなるとの指摘がありました。(感謝)

  投稿者:冷蔵庫 - 2008/11/18(Tue) 01:06  No.5859 
冷蔵庫です。

>fqcさん

fqcさんが始めに言っていたように電荷という次元はMKSで表せます。
またもっと一般に電磁気学にはいろいろな物理量が現れますが、
fqcさんの言うようなやり方でMKSで書けますね。

ですが、それらをMKSAに戻す作業も当然あるはずです。

そのときに「アンペアって何それ?」
と聞かれてmとkgとsとAの概念が必要にはならないんですか?

  投稿者:あもん - 2008/11/18(Tue) 07:03  No.5861 
fqcさん、多少理解できたようでなによりです。冷蔵庫さん、いいとこ突いていると思います。冷蔵庫さんとのやりとりで、本当の意味での「単位の自由性」にたどり着けるかも、ですね。

>「ではどんな物理量も最低3つの独立概念ないしは次元で必ず表されるのだろうか?(y/n)」

これの答えはyです。でも重要なのは、3つでなくても、5つでも4つでも2つでも1つでも答えはyです。あるいは単位なんてない物理も同様に機能します。

私はこの地球の文明とは関係ない、とある宇宙人を想定し、その宇宙人が4つの独立な次元に固執している様を見せました。fqcさんには、是非ともこの宇宙人を反面教師にして欲しいです。

物理は現実世界を説明するためのものだけど、物理それ自体は数理世界(=数学世界=モデル世界=思考世界)の中にあります。現実世界をいったん切り離して、数学の自由性の中で考えてみる。慣れすぎて固執していると思われるところを、いったん捨ててみて、リセットしては考え直す。そういうことを繰り返すうちに、きっと「単位の自由性」の概念にちゃんとたどり着けると思います。わかってしまえば何てことない事なので、おおげさな言いようなんだけど、新しい概念ってのは、なかなか一筋縄には理解できないもので、でも考える努力を続けているうちに、いつの間にか獲得していたりします。

  投稿者:hirota - 2008/11/18(Tue) 13:52  No.5869 
全くどうでも良いことですが、
核子数(第一世代以上のクォーク), ストレンジネス(第二世代以上のクォーク) があるのに、第三世代以上のクォーク数を表す「ボトムネス」とかは無いんですね〜。

  投稿者:fqc - 2008/11/18(Tue) 22:18  No.5872 
冷蔵庫氏>ですが、それらをMKSAに戻す作業も当然あるはずです。
そのときに「アンペアって何それ?」と聞かれてmとkgとsとAの概念が必要にはならないんですか?


Aの概念はmとkgとsから独立した概念でなくて合成概念です。
似た事情は力の単位Nや仕事の単位Jもmとkgとsから独立した概念でなくて合成概念ですね。

またどんなに逆立ちしても長さmと時間sの2つだけからはN、J、A、W、Ωの概念は合成できません。(これほんとにいいですよね!)
G,h、cの3つを使用するという条件化ではほとんど全ての物理量(ストレンジネスなんかは?)は無次元量として表せるでしょう。しかしこの場合の無次元は単に見かけ上のことだけでしょう。

  投稿者:冷蔵庫 - 2008/11/19(Wed) 03:31  No.5876 
>fqcさん

Aが合成概念というのは、m、kg、sでAが表せるということをfqcさんが前提にしているからではないですか?
別にAを独立じゃないと思いたければ、そう思っていただいて結構です。
ですが、電流を独立な次元と見ることもできますよね。
そもそもMKSA単位系という概念自体がそうですね。
同様にNをMKSAと独立な単位と見ることも可能です。

G、\hbar、cを1にとって次元を消すのが単に見かけ上というのも、MKSで次元を書くという考えに基づいていませんか?
例えば長さだけで他の次元を書ける立場からすれば、時間は合成概念ですよ。

  投稿者:冷蔵庫 - 2008/11/19(Wed) 03:53  No.5877 
>あもんさん

フォローありがとうございます。
あもんさんの宇宙人の例も的確だし、わかりやすいと思いますよ。

>fqcさん

fqcさんが繰り返し述べられている、
「MKSを用いてAの次元を表せる」という議論はそのまま「MKを用いてSの次元を表せる」という議論にあてはまるし、
「MKだけではSの次元を表せない」という議論はそのまま「MKSだけではAの次元を表せない」という議論にあてはまる、
と思うのです。

どうでしょうか?

  投稿者:大学生A - 2008/11/19(Wed) 06:13  No.5878 
アホな意見ですみません。

「次元」の数がそのまま人間の直感的な概念に基づく「物理量」の種類
とはならない以上、増えようが減ろうが大した意味はないのでは?
「電荷量」の「次元」が他の「物理量」の組み合わせで表せても、
「電荷量」(に相当する「物理量」)の概念を導入しない限り、
電磁気現象を理解するのは困難では?
つまり、「電荷量」が他のすべての「物理量」に対して独立なもの
という認識は、「次元」の組み合わせ云々には無関係かと・・・。

  投稿者:fqc - 2008/11/20(Thu) 21:04  No.5897 
>fqcさんが繰り返し述べられている、
「MKSを用いてAの次元を表せる」という議論はそのまま「MKを用いてSの次元を表せる」という議論にあてはまるし、
「MKだけではSの次元を表せない」という議論はそのまま「MKSだけではAの次元を表せない」という議論にあてはまる、
と思うのです。

どうでしょうか



では例えば長さmと時間s<の2つのみ>から質量の次元ないし概念を
具体的に作ってみてくれますか。

  投稿者:あもん - 2008/11/21(Fri) 20:15  No.5908 
fqcさん:

もう一息かと思ったんですが、なかなか理解できないようですね。あまり力をいれずに気楽に考えてみてください。

>では例えば長さmと時間s<の2つのみ>から質量の次元ないし概念を具体的に作ってみてくれますか。

一例として、万有引力定数を1にとったとする歴史を仮想してみるといいでしょう。このとき、kg = 6.6726×10^-11 m^3/s^2 です。これはクーロンの定数を1とする cgs 単位系と同じことをやっているだけです。

実際の歴史では、万有引力定数を1とする単位系は普及しなかったけど、クーロンの定数を1とする単位系は用いられていました。これは、たまたまであって、地球の歴史の事情に他なりません。別の星では、万有引力定数を1または 1/4π として、早くから質量を長さと時間で記述しているかもね。もちろん、なんらかの組み立て単位を使ってるでしょうけど。(宇宙人の長さの単位を n, 時間の単位を j として、o=n^3/j^2 という組み立て単位を質量の単位として用いているということ。)

ちなみに現在では cgs(MKS) 単位系より SI(MKSA) 単位系が主流になっていますが、私が思うに、相対論以前の古典論では、万有引力とクーロン力ってのは似たもの同士なので、そのどちらの比例係数も1としない MKSA の方がバランスが良く見えますね。MKS は "かたちんば" という印象です。



  投稿者:冷蔵庫 - 2008/11/23(Sun) 03:15  No.5914 
>fqcさん

返事が遅れてすみません。忙しくてあまり返事ができない状況にあります。
とりあえず、No.5643のfqcさんのコメントと同じ理屈で、
質量の次元Mを時間の次元T、長さの次元Lで書いてみます。

万有引力の法則

     F=(G・m_1・m_2)/r^2  ---   (1)


を土台にする。

1kg'という質量を次のように定義すると比例定数G=1に設定できる。

    距離r離れた2つの同一の質量1kg'の物体間に作用する重力が
1kg'm/s^2であるような質量の単位をkg'と定義する。

力の次元に質量が入っているので少しややこしくなりましたが、
kg' = G・kgと定義すれば大丈夫なはずです。

(1)式の両辺の次元をとると(Gの次元を落とした上で)

      ML/T^2 = M^2/L^2

から    M = L^3/T^2

      kg'= m^3・s-2    ---  (2)

となって質量の次元が長さ・時間の2つの基本的次元で表せた。

という風になります。
まあ、結局やってることは定数に次元を吸収させているだけですけどね。

それと質量の概念というのは、大学生Aさんが言っておられることにも
関連しますが、時間や空間の概念とは独立に得られるものです。
(少なくとも古典論の範囲では)

  投稿者:ASA - 2008/11/23(Sun) 07:52  No.5917 
冷蔵庫さん

>距離r離れた2つの同一の質量1kg'の物体間に作用する重力が
1kg'm/s^2であるような質量の単位をkg'と定義する。
 変です。距離rってどう定義するんですか?
 あと、具体的にどうやって同一の質量間の重力を測るんですか?
 (質量と重さの区別とか、測定量の定義としての根本問題。)

>質量の概念というのは、大学生Aさんが言っておられることにも
>関連しますが、時間や空間の概念とは独立に得られるものです。
 ならば、質量という概念を、時間と空間とからのみで組み立てることはできないのでは?ようするに、fqcさんへの回答になってない。

  投稿者:fqc - 2008/11/23(Sun) 08:53  No.5918 
昨日あもんさんに返信を書いたのですが失敗してしまいました。
冷蔵庫さんとの2人への返信を兼ねます。

>>では例えば長さmと時間s<の2つのみ>から質量の次元ないし概念を具体的に作ってみてくれますか。  (fqc)

>一例として、万有引力定数を1にとったとする歴史を仮想してみるといいでしょう。このとき、kg = 6.6726×10^-11 m^3/s^2 です。これはクーロンの定数を1とする cgs 単位系と同じことをやっているだけです。 (あもん)

上記は

  ma = F     の単位の式は  kg・m/s^2 = N

ここでkgは慣性質量の単位です。

  F = GMm/r^2 = (M・G^1/2) (m・G^1/2) /r^2

              の単位の式は  N = kg'^2/m^2

ただし kg'はM・G^1/2やm・G^1/2の単位で重力質量の単位です。

2式よりNを消すと単位の関係式  kg・m^3/s^2 = kg'^2 --- (1)
となります。

ここで等価原理を考慮すると慣性質量の単位kgと重力質量の単位kg'は
同じとすれば           m^3/s^2 = kg --- (1)'
となって数値的違いを別にすると、あもんさんや冷蔵庫さんの結果と一致
します。

ご存知のように等価原理は慣性質量と重力質量の比例性(もちろん通常は比例定数は1)だけを言うのであるから、厳密には両者の単位をkgに統一する必然
性はないと思います。ですからkgという単位をmやsで表すことは土台むりでしょう。


すれ違い回避のため、念のため私の主張を再掲しておきます。

力学や電磁気学の物理量を表す"独立な次元数"は3つで済むようだ。
 その"3つの独立次元"としてはm・s・kgが自然である。m・s・Jでも可。

 ならば力学や電磁気学分野だけでなくて物理量の大部分の独立な次元数
 は最低3つ(kgとkg'を区別すると4つかな)ではないだろうか。このさい
利便性や審美性は度外視してます。

 ※空間mと時間sだけの世界とは時間変動する幾何学ということで、物理現象
  とは直接的関係は、論理的に、ありえません。


なお話題が長引いてきて飽きてきて時間が無駄だと思うかたはスマートにスルーして下さい。

  投稿者:fqc - 2008/11/23(Sun) 09:09  No.5919 
追記

某氏:「チミの言うほとんどの物理量が単位MKSで表されるとして、
じゃーそれが何の役に立つんかな?」

fqc:「例えば電子やニュートリノなどの素粒子の質量をhやcやeなど
   を使って理論的に導くことは不可能だとわかります。万有引力
   定数Gも取り込まなければ、つまり重力場の量子論まで完成しな
   ければ原理的無理だろうことが解ります。」

  投稿者:あもん - 2008/11/23(Sun) 10:28  No.5921 
hirotaさん:

>核子数(第一世代以上のクォーク), ストレンジネス(第二世代以上のクォーク) があるのに、第三世代以上のクォーク数を表す「ボトムネス」とかは無いんですね〜。

順番からいえば、ストレンジネスの後は、チャーム数、ボトム数、トップ数となるわけですが、これらはストレンジネスほど重要な意味を持たないんです。u,d,s の3つのクォークは、それらのヒッグス起源の質量が、ハドロンの質量(=グルーオンのエネルギー=QCD起源の質量)に比べて十分小さいんです。このため、近似的にフレーバーSU(3)対称性がよく成り立ち、アイソスピン+ストレンジネスによるハドロンの分類が近似的に正しいことになります。

しかし、チャーム以降の c,b,t においては、ヒッグス起源の質量がハドロンの質量に匹敵するため、フレーバー空間における対称性が近似的にも成立しません。この場合はより簡単に、ハドロンにおけるクォークの組成だけが問題となり、これはちょうど、原子核が何個の陽子と何個の中性子でできているかということと似た話になるわけです。

  投稿者:冷蔵庫 - 2008/11/30(Sun) 01:06  No.5999 
返事がだいぶ遅れててすみません。

> ASAさん No.5917

「距離r」のところは「距離1m」の間違いでした。


それと「重力」という言葉は「万有引力」とほぼ同義のつもりで使っています。
この言い方で「質量」と混同するおそれはないと思ったのですが。


また、今の議論では測定方法は特に問題にしていません。
単純に考え方の問題ですから。
もちろん実際に単位の定義をするには、十分に良い精度でその定義に使われる
量を測定できることが必要でしょう。

しかし今の議論では「仮に測定できるとすれば、正当化される」程度の
前提があれば十分でしょう。


それと、「物理量の次元」と「物理量の概念」というものは区別されるべきものだと
私は考えています。
大学生AさんのNo.5878の指摘も同様のことを言っていると思います
そこのところ私はほとんど説明していなかった、というか
他の人もそこは当然区別しているだろうと勝手に認識していました。
そのあたりが甘かったかもしれませんね。

また、ややこしいことに、
No.5876の私の書き込みでは「次元」と「概念」という言葉をほぼ同義で使っています。
「fqcさんの言っていることを、そのまま相手に返す」ということをしたかったという理由が大きいのですが、
上に挙げたような認識があったため「次元という概念」の意味で「概念」という言葉を使っていました。

まあ、このような補足を含めて、fqcさんへの回答にはなったかと思います。

  投稿者:冷蔵庫 - 2008/11/30(Sun) 01:15  No.6000 
>fqcさん No.5918

>ご存知のように等価原理は慣性質量と重力質量の比例性(もちろん通常は比例定数は1)だけを言うのであるから、厳密には両者の単位をkgに統一する必然
性はないと思います。ですからkgという単位をmやsで表すことは土台むりでしょう。

慣性質量の単位kgと重力質量の単位kg'を区別するというなら、
kgをkg'とmとsで表せたことになって(これらの中で)独立な単位は3つじゃないんですか?
kgとkg'を同一視するならkgをmとsで表せたことになって(これらの中で)独立な単位は2つじゃないんですか?

あと、
「※空間mと時間sだけの世界とは時間変動する幾何学ということで、物理現象
  とは直接的関係は、論理的に、ありえません。」
これはどういう意味ですか?