EMANの物理学 過去ログ No.5557 〜

 ● 質問:デイラック方程式の調和振動子

  投稿者:fqc - 2008/10/16(Thu) 22:15  No.5557 
のエネルギー固有値って求められていますか。
H原子の場合は知られていますね。

  投稿者:あもん - 2008/10/20(Mon) 22:13  No.5590 
厳密解が求められているかどうかは知りませんが、近似解なら簡単に計算できるでしょうね。例えば(1+1)次元で考えると、ディラック方程式は、

 <tex>( i\gamma^\mu\partial_\mu -m -U(x) ) \Psi(x,t) =0, \quad\gamma^0 = \left( \begin{array}{cc}1 & 0 \cr 0 & -1 \cr\end{array} \right), \quad\gamma^1 = \left( \begin{array}{cc}0 & 1 \cr -1 & 0 \cr\end{array} \right)</tex>

であり、ここで  $\Psi(x,t)=\psi(x){\rm e}^{-iEt}$  とおくと、

 <tex>\left( \begin{array}{cc}E-m-U(x) & i\partial_1 \cr i\partial_1 & E+m+U(x) \cr\end{array} \right) \psi(x) = 0</tex>

<tex>i.e. \quad \left\{ \begin{array}{l}(E-m-U(x))\psi_1(x) + i\partial_1 \psi_2(x)=0 \cr i\partial_1 \psi_1(x) + (E+m+U(x))\psi_2(x)=0 \cr\end{array} \right.</tex>

<tex>i.e. \quad (E-m-U(x))\psi_1(x) + \partial_1 { \partial_1 \psi_1(x) \over E+m+U(x) } =0</tex>

が解くべき方程式になります。 $E=m+\epsilon$  とおいて非相対論的エネルギー  $\epsilon$  を定義し、 $\epsilon+U(x) \ll m$  の近似を用いれば、上式は通常の1次元シュレーディンガー方程式に相対論的補正項が付加したものになるので、摂動論で近似解が求められるはずです。

  投稿者:fqc - 2008/10/21(Tue) 07:16  No.5591 
> (E−m−U)ψ1+∂1{∂ψ1/(E+m+U)}=0、  U=U(x)
    
が解くべき方程式になります。E=m+εとおいて非相対論的エネルギー を定義し、ε+U≪mの近似を用いれば、上式は通常の1次元シュレーディンガー方程式に相対論的補正項が付加したものになるので、摂動論で近似解が求められるはずです。

以前厳密解を求めようとしたんですが、挫折。
上記の近似解もそう容易ではなさそう。
回答有難うございます。