EMANの物理学 過去ログ No.5500 〜

 ● ド・ブロイ波は実在波か

  投稿者:fqc - 2008/10/13(Mon) 09:53  No.5500 
ちょっと面白い話題かと。
もちろんオリジナルです。
おまけに相対論的ドップラー効果の公式もGETTできました。
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質量mの粒子のド・ブロイ波の波長をλとする。
相対論的に扱う。
観測者が速さVで粒子に近づくとき、観測される波長はいくだろうか?
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今ド・ブロイ波がx軸の正の方向から負の方向に進行していて、原点の
観測者は正の方向に速さVで近づいているものとする。

さて一般に古典粒子の速さがvの粒子に対応するド・ブロイ波の波長は
相対論でも、やはりプランク定数/運動量で与えられる。
    
つまり

    λ = h/{mv/√(1−(v/c)^2)} --- (1)

である。

観測者が観測する古典粒子としての速さv’は、相対論的速度の合成則
より

    v’=(V+v)/(1+vV/c^2)  --- (2)

である。
この速さに対応するド・ブロイ波の波長λ’は

    λ’= h/{mv’/√(1−(v’/c)^2)} --- (1)’

である。

(1)’式において、(1)と(2)を使ってvとv’を消去する(式変形が面倒だ
が・・)と

    λ’=[h√(c^2ーV^2)/(hc+V√(h^2+
(mcλ)^2)]・λ  --- (4)

が得られる。
   
   ※ この式で V→0 とすると、λ’=λ になっていて当然の結果に
     なっている。
     また V→c とすると、λ’→0 になっている。

   ※ またこの式で静止質量m=0とすると

       λ’=√{(c−V)/(c+V)} ・λ

     となって、まさに光のドップラー効果に一致する!

   ※ λ’やλの実測は結晶格子を用いた電子線回折や中性子線
     回折で測定可能と思われる。


どうやら、ド・ブロイ波にもドップラー効果が起こるようだ!
さらに興味深いことは
     「ド・ブロイ波すなわち波動関数ψにもドップラー効果
      が起こるということは実在波と考えねばならない。」
と結論される。

  投稿者:kafuka - 2008/10/13(Mon) 16:40  No.5507 
>fqcさん

僕は、相対論も、素人なので、ちょっと教えて下さい。
ψが実在波と同じとすると、速度が大きいほで、時間がゆっくり観測されるので、
それにつられて、振動数νも、ゆっくり(=小さく)観測されるのでは、ないですか?
(もちろん、古典的なドップラー効果からの差がです。)
E=hν から言えば、Eは、より小さく観測されることになり
これは、矛盾だと思いますが、、、
(m0≠0では、速度→cで、ν→0 では?)
正確には、どうなのでしょう。

  投稿者:fqc - 2008/10/13(Mon) 18:08  No.5509 
kafukaさん:
>ψが実在波と同じとすると、速度が大きいほで、時間がゆっくり観測されるので、それにつられて、振動数νも、ゆっくり(=小さく)観測されるのでは、ないですか?(もちろん、古典的なドップラー効果からの差がです。)
E=hν から言えば、Eは、より小さく観測されることになり矛盾だと思いますが、、、


その質問はそのまま光の場合にも当てはまりますね。
時間がゆっくり観測されるのはドップラー効果のうち、横効果の分です。
ドップラー効果を全て横効果だけとみなすのは間違いです。
光源にちかずく場合は近ずかない場合に比べて単位時間当たり余計な数の波を聞きます。

  投稿者:fqc - 2008/10/13(Mon) 18:14  No.5510 
kafukaさん:
>ψが実在波と同じとすると、速度が大きいほで、時間がゆっくり観測されるので、それにつられて、振動数νも、ゆっくり(=小さく)観測されるのでは、ないですか?(もちろん、古典的なドップラー効果からの差がです。)
E=hν から言えば、Eは、より小さく観測されることになり矛盾だと思いますが、、、


その質問はそのまま光の場合にも当てはまりますね。
時間がゆっくり観測されるのはドップラー効果のうち、横効果の分です。
ドップラー効果を全て横効果だけとみなすのは間違いです。
光源にちかずく場合は近ずかない場合に比べて単位時間当たり余計な数の波を聞きます。

  投稿者:kafuka - 2008/10/14(Tue) 00:47  No.5513 
fqcさん
>光源にちかずく場合は近ずかない場合に比べて単位時間当たり余計な数の波を聞きます。
それは、理解しております(E=hνのνが大きくなる)
ですから、
>古典的なドップラー効果からの差
と書いたのは、相対論的効果に注目すると、という意味です。
相対論的効果は、段々νが小さくなる方向に働くのでは、ありませんか?

  投稿者:hirota - 2008/10/14(Tue) 09:55  No.5515 
「ドップラー効果→実在波」の部分が変ですね。
ドップラー効果は波が時間と空間のパラメーターで記述されてることから出るものですから、これは「波は時間, 空間パラメーターで記述される→波は全て実在波」と同じ論理でしょう。

  投稿者:あもん - 2008/10/14(Tue) 12:21  No.5517 
もちろん、位相  $\phi = \omega t - \vec{k}\cdot\vec{x} = g_{\mu\nu} k^\mu x^\nu$  の不変性から、4元波数ベクトル  $k^\mu$  はローレンツベクトルで、4元運動量  $p^\mu = m dx^\mu /d\tau$  も明らかにローレンツベクトルですから、ド・ブロイ関係  $p^\mu = k^\mu$  と特殊相対論は矛盾するはずないんだけどね。多分、それを言っては身も蓋もないという話で、特殊相対論パズルを楽しんでいるという事で理解いたします。

  投稿者:甘泉法師 - 2008/10/14(Tue) 16:15  No.5520 
こんにちは。

>質量mの粒子のド・ブロイ波の波長をλとする。

λは運動量できまるので、粒子が速度 v = hbar / mλで運動する系Aを考えていることになる。v<<cとした。

>観測者が速さVで粒子に近づくとき、観測される波長はいくだろうか?

観測者の系Bで波長は hbar / mV。 V<<cとした。

系A系Bの相対速度はV-v。 V/c、v/cが小さくないときには相対論の関係式を使う。

=甘泉法師= 

  投稿者:fqc - 2008/10/14(Tue) 22:49  No.5523 
私が最初提示した定量的結果については、自明な事柄を土台にして得た結論なので非常に強固で付け入る隙はほとんど無いと思います。ただその解釈については非常に微妙に見えて私にもよく解りません。
レスは次回に。

  投稿者:fqc - 2008/10/15(Wed) 05:40  No.5524 
>λ’=[h√(c^2ーV^2)/(hc+V√(h^2+
(mcλ)^2)]・λ  --- (4)

は基本的な関係や速度合成則といった強固な土台から得られた結果です。
それ故ほとんど正しい。ただ解釈が微妙で自分でもスッキリしていない。

hirotaさん:
>「ドップラー効果→実在波」の部分が変ですね。
ドップラー効果は波が時間と空間のパラメーターで記述されてることから出るものですから、これは「波は時間, 空間パラメーターで記述される→波は全て実在波」と同じ論理でしょう。

波を電磁波のような線形波に限らない非線形波ならば、上記でも不都合は無い気がします。
例えばドップラー効果の定義を「ある慣性系に対して静止した波源がある。それに対して静止した観測者が観測する波長λ0(or 振動数ν0)とする。この波源に対して相対速度Vの観測者が観測する波長λ(or 振動数ν)がλ0(or ν0)と異なる場合、その波のドップラー効果という。」ではだめでしょうか。この定義だと音速の相対論的ドップラー効果の公式も得られるハズです。(ある識者が具体的に導出しました。)