EMANの物理学 過去ログ No.5485 〜

 ● 質問です

  投稿者:まいける - 2008/10/11(Sat) 11:58  No.5485 
解析力学の「ベルヌーイの問題提起」のところで、「降下時間の変化δtはδfに比較して 0 と見なせる程度にとどまるはず」とありますが、これは最小値が極小点なときだけで、例えば求めたい関数がy=xみたいな直線で最小値が単に区間の端なだけだったら、δtは無視できない変化をするんじゃないんですか?こういう場合は考慮しなくて良いんでしょうか?「実際に最小値がこんなことになるわけがない」とかいうのだと、なんだか気持ち悪さが残ります。。

  投稿者:EMAN - 2008/10/12(Sun) 08:05  No.5489 
 まいけるさん、はじめまして。

 私には質問の意味がまだしっかり読み取れて無いかも知れません。
 この話は、まず、「最速降下線が存在する」という前提に立って、そのコースの形にどんな「盛り付け」あるいは「削り」をしても最速ではなくなるという話です。 ですから必ず極小となります。

 コースの微小修正 δf は微小であるとは言ったものの、どこまでやったら微小でなくなるか、なんて境はありませんから、「これが最大の盛り付けだ」ということはないわけです。 もし y=x のような極小点がないような状況だとすると、δf の形の工夫次第で、限界なくどこまでも「もっと速いコース」を追求できることを意味してしまいます。

  投稿者:明男 - 2008/10/12(Sun) 19:13  No.5494 
横レス失礼します。
私の読み取りに間違いが無ければ、間単に言えば、極小値=最小値=一定の例に過ぎず、何等問題になるとは思えません。一定ですから、変分は0です。
実際、重力も何も外力のない運動で、古典的な最短曲線(測地線)は直線ですから、そのようなケースです。
簡単な例で具体的に計算すれば、t=ax+bと仮定すれば、dt=adxなので
 t=∫_{t(A),t(B)}dt=a∫_{x(A),x(B)}dx ですから、
 ∴δt/δx=0(被積分関数は定数)
したがってもとのt=ax+bが結論であることを示していますから、直線です。
変分法のトリビアルな例と言えると思います。

  投稿者:まいける - 2008/10/19(Sun) 17:59  No.5581 
EMANさん、明男さん、返信ありがとうございます!
折角早々と返事を戴いたのに、こちらの返事が遅れてしまってすみません・・・

EMANさんのおっしゃるように工夫次第でどこまでも追求できる、というのは、明男さんのような測地線が最短経路にならないというように思えるのですが、私が変な読み方をしてしまっているだけなんでしょうか?

明男さんがおっしゃるのは、最小値や極小値というものはあまり関係がなく、あくまで前提として想定した曲線からのズレが0ということが本質だということでしょうか?

  投稿者:EMAN - 2008/10/21(Tue) 11:40  No.5592 
> EMANさんのおっしゃるように工夫次第でどこまでも追求できる、というのは、明男さんのような測地線が最短経路にならないというように思えるのですが、

 私の話と明男さんの話は分けた方がいいでしょう。 恐らく二人とも、まいけるさんの質問の真意を測りかねていて、何かヒントを出せば勝手に分かってくれるのではないかという気持ちで書いていると思います。

 前の私の返事は、「最速降下線」限定です。 何しろ、

> 解析力学の「ベルヌーイの問題提起」のところで・・・

と聞かれたものですから、あまり範囲を広げない方が良いと考えました。

 それと、まいけるさんの言われる、「求めたい関数が y = x みたいな直線」という意味が分かりませんでした。 この求めたい関数 y というのは、ひょっとして最速降下線の形 f(x) のことだったのでしょうか? だとしたら最小値が区間の端という意味が分からないので、私は勝手に、y = x というのは、降下にかかる時間 t と微小変分 δf の関係を漠然と表現したものだろうと解釈しました。

 つまり、δf に区間なんてものはないし、δf を変化させることでどこまでも降下時間 t を小さくできるのなら、そりゃ、そもそも問題設定からしておかしいだろ、と言いたいわけです。

 明男さんの返事は、「最速降下線問題」で最小時間を求めるのは変分法の一例に過ぎませんよ、という指摘で、他の問題にあてはめる場合には別に最小にこだわらなくても良いという話です。

  投稿者:明男 - 2008/10/21(Tue) 19:53  No.5594 
>EMANさん
仰るとおりです。私もy=xの意味を図りかねましたが、最速降下線ではなくて、通常の測地線の意味にとりました。(古典論では)測地線は直線ですから、それも変分法ででますよ、というくらいの意味でした。

>まいけるさん
最小値か極小値かというのも問題次第ですが、一般に変分法で式を立てるとき、曲線を想定しているわけではないでしょう。私の書いたのは結果が分かっていて、それを確認しただけです。普通に解いても同じだと思いますが。

<tex>t=&\frac{1}{v}\int\sqrt{1+\dot{y}^2}ds</tex>
より、
<tex>\dif{}{t}\left(\pdif{}{\dot{y}}\sqrt{1+\dot{y}^2}\right)=0</tex>
なので、これを解いて、 $y=ax+b$ 
えへへ、TeXの練習も兼ねてしまいました。

  投稿者:hirota - 2008/10/22(Wed) 12:31  No.5597 
まいけるさんの疑問は「最小値ならホントに δt/δf=0 か?」ということで、そうならない例として「有限な線分の端点で最小となる状況」を挙げたものと思います。
それに対してEMANさんは「盛り付け」とか「削り」と言って、最小値から +δf ずらすことも ーδf ずらすことも可能なので「線分の端点」のような状況はないと言ってるわけです。
結局、最小値から前後どちらにずらしても大きくなり、さらに滑らかな変化であれば、二次曲線のように最小点で δt/δf=0 となるわけです。