EMANの物理学 過去ログ No.5417 〜

 ● 質問

  投稿者:郭嘉 - 2008/10/03(Fri) 23:58  No.5417 
電気双極子(p双極子モーメント=q電荷s電荷間の距離)があります。その中点に原点をとります。原点からr離れて、電気双極子とθの角度をなしているP(r)点での電場成分のErとEθの大きさを静電ポテンシャルφをrとrθで偏微分するところまでは分かるのですが、それを単位ベクトルを使ってベクトル形式で表して、 E(r)=Er・er+Eθ・eθとして、そのうち単位ベクトルのeθ=cotθ・er−cosecθ・p/pというのがよく分からないです。
とりあえず、両辺にsinθをかけてeθsinθ=er・cosθ−p/pとして両辺の大きさを見てみると、左辺は単位ベクトルのsinθ倍だから大きさsinθ、右辺はerも単位ベクトルだから第1項は大きさcosθ。ただ、eθsinθの方向と逆向きなので−cosθ。第2項のp/pは大きさ1でこれもeθsinθの方向とは逆なので−がつきますが第2項には−がついているので大きさ+1となります。
すると、両辺での大きさが左辺sinθ、右辺1−cosθで一致しません。
本当にθ方向の単位ベクトルはeθ=cotθ・er−cosecθ・p/pで良いのでしょうか?

  投稿者:明男 - 2008/10/04(Sat) 15:40  No.5423 
郭嘉さん、こんにちは。
難しく考えすぎではないでしょうか。与式は、
 p/|p|=er・cosθ-eθ・sinθ
と書き変えられますが、左辺の大きさ=1、右辺も1です。
ベクトルma+nb(m,nは定数、a,bはベクトル)の大きさ|ma+nb|は、
  |ma+nb|=√(m^2a・a+2mna・b+n^2b・b)(・は内積)
となります。pをz軸方向にとれば、θは通常の極座標のθと一致しますから、直ちに確かめられます。

  投稿者:郭嘉 - 2008/10/05(Sun) 11:12  No.5428 
そうですね。考えすぎでした。愚問、申し訳ない。返答ありがとうございました

  投稿者:hirota - 2008/10/08(Wed) 11:48  No.5460 
せっかく数式表示機能ができたんだから、

<tex>\frac{\overrightarrow{p}}{|\overrightarrow{p}|} = \overrightarrow{e}_r\, \cos \theta - \overrightarrow{e}_{\theta}\, \sin \theta</tex>
<tex>\therefore \,\,\,\, \overrightarrow{e}_{\theta} = \frac{ 1 }{ \sin \theta } ( \overrightarrow{e}_r\, \cos \theta - \frac{ \overrightarrow{p} }{ |\overrightarrow{p}| } )</tex>

と書かなくては。