EMANの物理学 過去ログ No.5242 〜

 ● 静止衛星の時刻同期

  投稿者:全充 - 2008/09/01(Mon) 08:46  No.5242 
静止衛星の場合、地上基地との相対速度がないので
特殊相対論による補正は不要という説明を受けました。
GPS衛星の場合は高度20,000kmを12時間で周回しているため
相対速度があるので必要ということでした。

GPS衛星は秒速4km
静止衛星は秒速3km
で一般相対論補正に比べ補正項が小さいから静止衛星では不要ということではないという説明なのですが

相対速度が無いから不要という理解でよいのでしょうか?

この理論だと
地球上でも赤道付近と極付近では回転速度に違いはありますが
相対的には同期されているので特殊相対論的時刻に違いは無い
ということになります。
赤道付近の時点速度は秒速0.5km程度、極付近では0に近い
そういう速度差による特殊相対論的時間差は生じない
ということでしょうか

回転座標系では動径方向で時間差は生じない
という理解が必要でしょうか

趣味で相対論ということで回答いただけるとありがたいです。

  投稿者:EMAN - 2008/09/01(Mon) 11:17  No.5243 
 どうやって示すと納得してもらえるかなぁ?

 数式の適用の仕方や、納得のいく説明法を考えるのは
さておき、今まで私が仕入れてきた上っ面の知識だけで答えると、

 同じ回転系にある場合は「相対速度」は0ですので、
「特殊相対論補正」は必要ありません。

 しかし遠心力なんかがかかることからも分かるように、
重力ポテンシャルが異なりますので、
「一般相対論補正」が必要になります。

 厳密に言えば、極付近と赤道付近の重力は異なりますから、
それぞれの時刻はわずかにずれているということです。


> 赤道付近の時点速度は秒速0.5km程度、極付近では0に近い
> そういう速度差による特殊相対論的時間差は生じない
> ということでしょうか

 そういう速度差は、「相対速度」ではありませんよね。

  投稿者:全充 - 2008/09/01(Mon) 11:51  No.5244 
EMANさん、早々の回答ありがとうございます。

やはり、静止衛星の場合、地表とでは
特殊相対論的な時刻差は生じないということですか。

(2)特殊相対論による補正(2次ドップラー効果)
GPS 衛星の速度(3.874 km/sec)により、GPS 衛星上での時間は地表より遅くなります。その大きさは、
-(v/c)^2/2=-8.4E-11

にある-(v/c)^2/2は静止衛星(この場合v≒3km/s)でも適用するのかと思ったものですから。

  投稿者:hirota - 2008/09/01(Mon) 13:40  No.5245 
特殊相対論だったら回転系なんか使っちゃダメでしょう。 慣性系でなきゃ。
慣性系で考えれば赤道も極も静止衛星も違う速度です。
なお、GPSの相対論補正(座標時基準:地上基準じゃない) は速度の影響と重力の影響が同じ大きさだったと思います。(円軌道だとそうなる)
つまり、特殊相対論の速度効果だけじゃダメ。(速度効果だと衛星は地上より時間が遅れるし、重力だと地上が遅れる。相殺しそうだな)

  投稿者:全充 - 2008/09/01(Mon) 13:55  No.5248 
誤解されないように、まず仕様を書いておきますね。
下記内容の特殊相対論の項について
静止衛星でも考える必要があるのか、ないのか
です。

相対論的効果による時間の遅れをまとめると、地球中心を基準にした慣性座標系 ECI(Earth-Centered Inertial system) の中を速度 v で移動する時計の示す固有時 dτ は、座標時 dt と以下の関係になります。

dτ≒(1+U/c^2-v^2/(2c^2))dt

GPS 衛星側での補正

GPS 衛星上では相対論的効果により、時間の進み方が地表と異なるので、あらかじめ衛星搭載時計の周波数を -4.45E-10 オフセットして、UTC(協定世界時)と同期しています。


(1)一般相対論による補正(重力による赤方偏移)

地球表面と、GPS 衛星上での重力ポテンシャルの差により、GPS 衛星上での時間は地表より早く進みます。その大きさは、

ΔU/c^2=5.27E-10

です。

(2)特殊相対論による補正(2次ドップラー効果)

GPS 衛星の速度(3.874 km/sec)により、GPS 衛星上での時間は地表より遅くなります。その大きさは、

-(v/c)^2/2=-8.4E-11

です。

GPS 衛星は完全な円軌道ではないので、一様なオフセットだけでは相対論的効果を除去できません。精密な位置決定のためには上式に立ち戻って考慮する必要があります。

  投稿者:EMAN - 2008/09/01(Mon) 15:27  No.5249 
> 特殊相対論だったら回転系なんか使っちゃダメでしょう。 慣性系でなきゃ。

 そりゃそうですね。
 誤解しそうな書き方になったことを反省します。

 正確には一般相対論を適用して、
GPSの時刻補正の式を導き出さないといけないんでしょう。
 多分、簡略化した説明も可能なのではないかと思いますが。

 その補正の式には
「特殊」と「一般」と呼ばれる項がそれぞれあるそうなんで、
多分、意味を意識して
そういう呼ばれ方がされているのでしょう。

 単純に、特殊相対論を適用できるとか出来ないとか、
そういう意味合いではありませんことを付け加えときます。

  投稿者:yuya - 2008/09/01(Mon) 17:52  No.5250 
全充さん、はじめまして。

ここに書かれている補正は、衛星と【地球中心慣性系(ECI)】との間の補正であって、
「衛星と【地表】との間に特殊相対論的補正がいるかどうか」とは、また別問題ではないでしょうか?
静止衛星でもGPS衛星でも、ECIとの間の補正を考える限り、
-(v/c)^2/2 の項は適用されると思いますが、いかがでしょうか。

  投稿者:全充 - 2008/09/01(Mon) 19:46  No.5253 
yuyaさん、はじめまして
kafukaさんとこのコメントは読ませていただいているので
こちらからは、はじめましてというのがくすぐったい気がします。

最初、僕すれば他愛ない疑問だと思ったのですが
いろいろな方の意見をうかがい、その問題の深さというか、なんとも表現できない気持ちです。

【深さ1】
静止衛星と地表(基地)との位置関係は変わらないということから、相対速度に変化はないのでvの項は無効なのかもと思ったこと。

【深さ2】
衛星を考える時、一般だの特殊だのと分けてはいけないらしいこと。(どう考えればいいのかは理解できてはいませんが)

問題は
dτ≒(1+U/c^2-v^2/(2c^2))dt
を導き出した考え方は何だ?から考えるということでしょうか

【深さ3】
ここに書かれている補正は、衛星と【慣性系(ECI)】との間の補正であって、「衛星と【地表】との間に特殊相対論的補正がいるかどうか」とは、また別問題ではないでしょうか?

なるほど、と感心する深みなのですが、こうなってくると自分の疑問に思っている補正は何にあてはまるのか?
整理できていない。ということのようです。

衛星と慣性系との間の補正
衛星と地表との間の補正

違いが理解できていないことにまた深さを感じています。
(自分が知りたいことはどうも単純ではない、という気がしてきました)

  投稿者:全充 - 2008/09/01(Mon) 20:04  No.5254 
自分なりに整理してみました。

地球中心を基準にした慣性座標系で考え
dτ≒(1+U/c^2-v^2/(2c^2))dt
で衛星時計の補正を考える

衛星と地表間の補正は別に考える(何を考えるのかはわかっていませんが)

で衛星時計の補正は

GMe(万有引力定数G*地球質量Me):3.986E+14[m^3/s^2]
re(地球半径):6.378E+6[m]
GMe/re(地表での重力ポテンシャル):6.25E+7[m^2/s^2]
c(光速):2.998E+8[m/s^2]
Ue/c^2:6.95E-10

として

【GPS衛星】
v(地球中心慣性系での航行スピード):3.866E+3[m/s^2]
r(起動半径):2.658E+7[m]
U/c^2(U=GMe/r):1.67E-10

(重力による赤方偏移) ΔU/c^2:(Ue-U)/c^2:5.28E-10
(2次ドップラー効果) -(v^2/c^2)/2:8.349E-11
(衛星搭載時計の周波数オフセット):4.45E-10

【静止衛星】
v(地球中心慣性系での航行スピード):3.066E+3[m/s^2]
r(起動半径):4.216E+7[m]
U/c^2(U=GMe/r):1.05E-10

(重力による赤方偏移) ΔU/c^2:(Ue-U)/c^2:5.90E-10
(2次ドップラー効果) -(v^2/c^2)/2:5.23E-11
(衛星搭載時計の周波数オフセット):5.38E-10

  投稿者:全充 - 2008/09/01(Mon) 22:04  No.5256 
岩波「相対性理論」内山龍雄著
の§26 質点の運動方程式(P159)
dτ≒sqrt(1+2φ/c^2-v^2/c^2)dt≒{1+2φ/c^2-(1/2)v^2/c^2}dt
という近似式sqrt(1+2φ/c^2-v^2/c^2)がどうやって出されたか考えろ
ということですね

単純に
特殊相対論の
dτ≒sqrt(1-v^2/c^2)dt≒{1-(1/2)v^2/c^2}dt
一般相対論の
dτ≒sqrt(1+2φ/c^2)dt≒(1+2φ/c^2)dt
の組み合わせではないと

  投稿者:全充 - 2008/09/01(Mon) 22:09  No.5257 
いわずもながですが、訂正です
sqrt(...2φ/c^2...)≒{...2φ/c^2...}の部分
≒{...φ/c^2...}訂正


dτ≒sqrt(1+2φ/c^2-v^2/c^2)dt≒{1+φ/c^2-(1/2)v^2/c^2}dt

一般相対論の(この言い方も正確ではないのですね)
dτ≒sqrt(1+2φ/c^2)dt≒(1+φ/c^2)dt

  投稿者:全充 - 2008/09/01(Mon) 22:10  No.5258 
いわずもなが
なんじゃそれ?(自爆です)
スレよごしすいません

  投稿者:T_NAKA - 2008/09/01(Mon) 23:45  No.5259 
全充さん、こんばんは

次の一般相対論の試験問題の[2]GPSと一般相対論というのが参考になりそうです。
http://www-utap.phys.s.u-tokyo.ac.jp/~fujii/gr08_midexam.pdf

本当は自転する地球というモデルに対しカー解でないシュワルツシルド解で計算しているので、近似であることは否めないですが、(2)式がヒントになると思います。

(GPSの高さ×角速度)^2の項と(地上観測者のそれ)^2の項の符号が逆であることに留意して下さい。
つまり、静止衛星の場合、
(衛星の高さ×角速度)^2≒(地上観測者のそれ)^2 
なので、相殺されて衛星の高さだけによる重力の違いの一般相対論的効果だけになるのではないでしょうか?

  投稿者:yuya - 2008/09/02(Tue) 04:56  No.5261 
全充さん:

>【深さ3】
(中略)
>衛星と慣性系との間の補正
>衛星と地表との間の補正
>
>違いが理解できていないことにまた深さを感じています。

衛星だけでなく地表の観測点も、慣性系に対する相対速度(や重力ポテンシャル)を持ちますから、
地表と慣性系との間にも時間のズレがあります。

実用的にはもちろん衛星と地表との間のズレが重要ですが、これを直接計算するのでなく、
いったん両者とも慣性系と比較しておき、それらの比をとれば両者同士のズレが分かるわけです。
衛星・地表それぞれの U, v に対して、f = 2U / c^2 - (v / c)^2 とすると、
全充さんが[5256]で書かれた「近似式」に従えば
dτ_衛星 ≒ √(1 + f_衛星)・dt
dτ_地表 ≒ √(1 + f_地表)・dt

上を下で割ると、
dτ_衛星 / dτ_地表 ≒ [(1 + f_衛星) / (1 + f_地表)] ^ (1/2)
≒ 1 + (1/2)(f_衛星 - f_地表)
= 1 + (Uの差 / c^2) - (v^2の差 / 2c^2)

第2項を「一般相対論的補正」、第3項を「特殊相対論的補正」と呼ぶのでしょう(たぶん)。
T_NAKAさんのおっしゃる (高さ)×(角速度) とは、
「高さ」が地球中心からの距離であることに注意すると、
これは要するに v(= rω)のことですから、
その2乗の差が特殊相対論的補正に寄与する、ということで話が合致しますね。

ただ……

GPS衛星を秒速4km、静止衛星を秒速3km、赤道を秒速0.5km、光速を秒速3×10^5kmとしたとき、
衛星と赤道上観測点との特殊相対論的補正は
GPS衛星で (4^2 - 0.5^2) / (3 × 10^5)^2
静止衛星で (3^2 - 0.5^2) / (3 × 10^5)^2
となり、いずれも小さいですが、静止衛星のとき【だけ】これを無視するというのは、
ちと私には理解できないのですが、皆様いかがでしょうか?

  投稿者:全充 - 2008/09/02(Tue) 08:42  No.5262 
T_NAKAさん、ごぶさたしています。
ホームページは毎日拝見しています。毎日1記事を続けておられるんですね。

ところで
>(GPSの高さ×角速度)^2の項と(地上観測者のそれ)^2
ですが

yuyaさんが書かれているように
> GPS衛星を秒速4km、静止衛星を秒速3km、赤道を秒速0.5km、光速を秒速3×10^5kmとしたとき、
> 衛星と赤道上観測点との特殊相対論的補正は
> GPS衛星で (4^2 - 0.5^2) / (3 × 10^5)^2
> 静止衛星で (3^2 - 0.5^2) / (3 × 10^5)^2

GPS起動と静止衛星軌道で大きな違いではないように思うのです。

ただある方は、地表から見て止まっている衛星(静止衛星)だから相対速度はない
という理論なんです。
それを相対速度がないというのでしょうか?っていう疑問が発端ではあります。

  投稿者:全充 - 2008/09/02(Tue) 08:57  No.5263 
T_NAKAさんご紹介の、一般相対論中間試験問題の解答を読んでいたら
GPS衛星だろうが静止衛星だろうが同じ計算式でいいのではと思いました。

なんか地表から見て止まっているからとか、動いているからって
お互いの時計の進みと無関係
という考えではだめなのでしょうか

  投稿者:EMAN - 2008/09/02(Tue) 10:10  No.5264 
これは物理的に考えてどうこうと議論しても解決しなくて、
その公式の導出過程の載っている書物か、
あるいは導出過程が載ってなくても、
公式の使い方についての信頼できる解説を見つけて、
v にどういう意味の速度を代入するような仕様になっているかを探るのが確実でしょうね。

  投稿者:全充 - 2008/09/02(Tue) 10:16  No.5265 
> 公式の使い方についての信頼できる解説を見つけて、
> v にどういう意味の速度を代入するような仕様になっているかを探るのが確実でしょうね。

EMANさん、ありがとうございました。その線でがんばってみます。

  投稿者:T_NAKA - 2008/09/02(Tue) 10:28  No.5266 
この場合、地球中心を原点にしたシュワルツシルド解の座標時dtでもって、
@GPS衛星の固有時
A静止衛星の固有時
B地上観測者の固有時
というのを計算して、比較するのだと思います。
全充さんのご言い分は、
「@≒A なら (B/@)≒(B/A) じゃないか?」
ということでしょうか?
それはそれで間違いではないと思いますが、「B」という数を掛けることによって、違いがハッキリしてきたのでは?と私は考えております。
pdfの内容を理解されているのであれば、蛇足になりますが、
http://teenaka.at.webry.info/200808/article_4.html
で、この問題をやってみました。

  投稿者:あもん - 2008/09/02(Tue) 10:48  No.5267 
全充さん、はじめまして。
ちょっと雑な説明ですが、他の方のコメントとあわせて参考になれば…。

光速度を1とする単位系で、重力場が弱いと仮定した場合、
質量 M の星の周りの線素 dτ に対して、

(dτ)^2 = (1 - 2GM/r)(dt)^2 - (1 + 2GM/r)(dr)^2 - (rdθ)^2 - (rsinθdφ)^2

φ=φ'+ωt で角速度 ω の回転系に移ると、

(dτ)^2 = (1 - 2GM/r - (rωsinθ)^2)(dt)^2 - (1 + 2GM/r)(dr)^2 - (rdθ)^2
- (rsinθdφ')^2 - 2ω(rsinθ)^2 dtdφ'

回転系に対して静止している、赤道上およびその上空の物体については、
dr=dθ=dφ=0, sinθ=1 ですから、

(dτ)^2 = ( 1 - 2GM/r - (rω)^2 )(dt)^2
∴ dτ = ( 1 - GM/r -(rω)^2 /2 ) dt

よって、高さの異なる2地点 r = r1, r2 について、

dτ1 / dτ2 = 1 - GM( 1/r1 - 1/r2 ) - ( r1^2 - r2^2 )ω^2 /2

これで静止衛星の時計補正を計算できるはずです。
回転系で相対速度が0でも、上式右辺第3項はあります。
これは慣性系では地上と静止衛星の速度差の効果と考えられるものですが、
回転系では「遠心力ポテンシャル」などと称されるものです。(確かw)

  投稿者:全充 - 2008/09/02(Tue) 11:28  No.5268 
T_NAKAさん、あもんさん、ありがとうございます。

> 「@≒A なら (B/@)≒(B/A) じゃないか?」ということでしょうか?

なんか静止衛星で地表から見て止まっているのだからAはゼロで考えないといけないのかな、みたいな疑問です。
疑問というか、人から指摘されて、頭が混乱しているというか、そういう状態です。

あもんさんの指摘
> 回転系で相対速度が0でも、上式右辺第3項はあります。

とほぼ同じに考えています。

> これは慣性系では地上と静止衛星の速度差の効果と考えられるものですが、
> 回転系では「遠心力ポテンシャル」などと称されるものです。(確かw)

参考にさせていただきます。

  投稿者:全充 - 2008/09/02(Tue) 11:44  No.5269 
ご回答いただいた皆様ありがとうございます。

早い話、私は回転系をよく理解していない
ということのようです。


  投稿者:大学生A - 2008/09/02(Tue) 13:06  No.5270 
以前、EMANさんが立てられた「固有時」スレで、
私自身が指摘されたことなのですが、
必ずしも、
「二つの位置における(遠方時間を基準とした)固有時間の
 刻み(テンポ)が等しければ、その二点では固有時間を共
 有する。」・・・【三段論法】
とは限らないのではないでしょうか?
よって、(遠方時間を基準とした)各々の固有時間の刻み
(テンポ)の比を調べても、意味が無いような気もします。
ところが、専門書を紐解くと堂々と比を取って、GPSの
問題を解説しています。w
ということは、この問題の場合、いわゆる【三段論法】が
成り立つということなのでしょう。
【三段論法】の成立条件として、二点間の同時性の存在が
考えられるのかな?とも思ったりしてます。
結局、よくわかりません。w

駄文、失礼しました。m(_ _)m

  投稿者:あもん - 2008/09/02(Tue) 16:58  No.5271 
問題が定常的な場合、すなわち2物体が静止していて、
なおかつ計量が時間座標に依存しない場合は、それぞれ
の固有時間の比は、光通信によって実際に観測される
ものなので、意味はありますね。でもそれ以外の場合は、
必ずしも直接的な観測量ではないかもね。

ちなみに回転系は、定常的であるけれども、静的であるとは
言えず、このため「大域的に同時刻が定義できない」という、
ちょっと面白い不思議さを持っています。(同様なことは
カー解にもいえます。)

例えば、地上の系は回転系ですが、東京とロサンゼルスを
考えたとき、東京から東回りの経路で、光通信により東京
とロサンゼルスの時計を同期しても、これら時計は西回り
では同期されていないということになるわけです。

  投稿者:hirota - 2008/09/02(Tue) 18:01  No.5272 
>遠方時間を基準とした
遠方に意味があるのはシュバルツシルト解やカー解のように遠方で平坦時空になる場合だけです。
平坦時空ではどの場所でも時間の進みが同じですから、固有時と座標時の比率が同じなら同じ固有時だと言えます。(シュバルツシルト解やカー解のような対称性・定常性も要るかも知れんが)
それ以外の座標時では場所により座標時自体の進みが同じかどうか不明ですから、比率が同じでも意味はありません。
そういった便利な座標時がない時は、光信号をやり取りするしか方法はないでしょう。

  投稿者:全充 - 2008/09/04(Thu) 09:27  No.5274 
静止衛星の時刻同期に衛星は地表から見て止まっているのだから
云々と言っていた人の意図が見えてきました。
たぶん

地表(こまかな車の動きはとりあえず誤差として)と静止衛星が
同じ各速度ωで回転している系で考えると、お互い止まっているわけで(相対的な回転角速度はゼロω.)
dτ=√(1+2U/c^2-v^2/(c^2))≒(1+U/c^2-v^2/(2c^2))dt
互いにv(=rω.)=0
従って静止衛星と地表を同時に考えるなら互いに
dτ=√(1+2U/c^2)≒(1+U/c^2)dt
だろ
という理屈だと思います。
その場合U=GM/rではなく遠心力を考慮して
U=GM/r-r^2ω^2
となるんだと思います

静止衛星軌道では
dτ≒(1+GM/rc^2-r^2ω^2/c^2)dt=dt :結局万有引力と遠心力がつりあっているので
地表では(rは約6,000kmとして)
dτ≒(1+GM/rc^2-r^2ω^2/c^2)dt

このあたりのことをベースに話されていたようです。

でGPS衛星ではそんな簡単にはいかないから
皆さんに教えていただいたシュバルツシルト解から追いかける

なんとなく回転系だの慣性系だのの関係が見えてきたような気がします。

かさねて、ご回答いただいた皆様、ありがとうございました。