EMANの物理学 過去ログ No.5071 〜

 ● 根源的な問いかけ

  投稿者:kafuka - 2008/08/25(Mon) 02:44  No.5071  <Home>
僕は、子供のころ、ゼノンのパラドックスの1つ
「矢は、どの時点でも1点にいる、したがって運動というものは存在しない」
を知ってから、ず〜と悩んでいました。
微分がわかっても(dx/dtが確実な値をもつこと)
何の解決にもなりません。
「xにいるか、x+Δxにいるかの、どちらか」で、
これは、LimΔx→0 でも同じですから。
悩みが解けたのは、15年くらい前の「サイエンス」の数学の記事
にあったからです。そこには、
「xに矢がいる時、x+dxに矢がいるかどうか、数学では言及できない」とありました。
僕は「運動が存在するともしないとも、数学では言及できない」
と解釈しました。
「理論」とは、そういうものでは、ないでしょうか。
「いくつかの無定義語と、否定も肯定もできる公理」からなる理論体系に、
根源的な問いかけは、意味がないと思います。
例えば、「点とは何であるか?」と尋ねられれば、
「答えられない」か「別の無定義語で答える」しかないです。

物理学は、違うと言われるとは思いますが、
皆様が、仮に古典物理学者だったとして
LimΔx→0「xに矢がいる時、x+Δxに矢がいるのか、いないのか?」
と尋ねて、仮に「いない」と答えたら、
「じゃ、矢がx'になる前、どこを通ってきたのか?」
と尋ねたいと思います。

  投稿者:甘泉法師 - 2008/08/25(Mon) 12:06  No.5073 
面白い話題ですね。

お話の「飛んでいる矢は止まっている」ではなく「アキレスと亀」のほうですが、物理で似て非なる(あるいは是なる?)例としてブラックホールのシュワルツシルト面への物体の落下を想起しました。

遠方慣性系では、物体は面に接近すると次第に遅くなり無限の時間を経過しても面をくぐらない。物体の固有系では有限時間のうちに面の中に入る。

散漫な話でお粗末でした。

=甘泉法師=

  投稿者:はっしー帝國 - 2008/08/25(Mon) 14:01  No.5074  <Home>
kafukaさん、御世話様です。

数学だけでは無理でも、人の想像力で補えば可能だと思います。

そもそも矢は等速度で飛んでいるのでしょうか?
もしそれでよければ、

dx/dt = 一定 ⇒ dx = 一定 x dt

進む距離の間隔dxが短ければ、経過時間dtも等価で短くなります。つまり『あ!という間』という指標の値(?)が短くなるということになり、「いつまでも矢が止まっている」ことにはならない。

…と、私なら解決しますね。

  投稿者:kafuka - 2008/08/25(Mon) 16:08  No.5075 
その通りです。
僕は、矢が、位置だけでなく、dx/dt という「物理量?」も持っていたら、
「解決」
と思います。

LimΔx→0「xに矢がいる時、x+Δxに矢がいるのか、いないのか?」
を、Δx=vΔt と置いて、
=LimΔt→0「xに矢がいる時、x+vΔtに矢がいるのか、いないのか?」
は「いる」で、全然変じゃないですね。

上記は、Δx=vΔt と置いただけですから、数学的には、同一のはずです。
この差は、いったい何故?

  投稿者:はっしー帝國 - 2008/08/25(Mon) 16:28  No.5076  <Home>
我、思います。

数学の世界には時間が流れていません。永遠のイデアの世界です。
しかし物理現象には時間が流れています。

dxを通過する時間はdtであることをつい忘れてしまいます。
xを刻めば刻むほど、時間も刻まれていきますが、その刻まれたひとつひとつの時間のピースの数だけ時間が延長されている誤解が生まれるのでゼノンのパラドックスが生じるのだと思います。
そもそも時間にはひとつのピースという概念はありませんし、単位という考え方は、単に時計の時刻を知らせる針の指す位置にしか過ぎないと思います。

  投稿者:kafuka - 2008/08/25(Mon) 22:11  No.5081  <Home>
疑問(愚問?)
LimΔx→0「xに矢がいる時、x+Δxに矢がいるのか、いないのか?」
を、Δx=vΔt と置いて、
=LimΔt→0「xに矢がいる時、x+vΔtに矢がいるのか、いないのか?」
は「いる」です。
上記は、Δx=vΔt と置いただけですから、数学的には、同一のはずです。
したがって、数学的にだけに言っても、
LimΔx→0「xに矢がいる時、x+Δxに矢がいるのか、いないのか?」
も「いる」です(置いただけで結論が変わるわけないです)
これは、
矢を代表する1点を考えると、
xとx+dxは、異なるという極限の規定から、1点が2つの位置を持つことになり

数学でだけ言うと、矛盾ではないでしょうか?

あっ、x+dxは実在の点ではないから「2つの位置」とは言えない
∴ 矛盾ではない
のかなぁ。よくわかりません。

  投稿者:凡人 - 2008/08/25(Mon) 22:19  No.5082 
kafukaさん、いつも大変お世話になっております。
ところで、
>物理学は、違うと言われるとは思いますが、
物理学は、違うと言わせて頂きます。何故なら、物理学は物質(=実在)を対象とした学問だからです。
>皆様が、仮に古典物理学者だったとして
出来れば、時空が量子化しているか否かという観点での論議をお願いします。

  投稿者:はっしー帝國 - 2008/08/26(Tue) 00:25  No.5084  <Home>
kafukaさん、迷っていますでしょうか。。。

>矢を代表する1点を考えると、xとx+dxは、異なるという極限の規定から、1点が2つの位置を持つことになり数学でだけ言うと、矛盾ではないでしょうか?

kafukaさんにとって、数学と思弁(←すいません、うまく合う言葉が思いつかないもので…)が一緒になっているように思います。

点(x,t)と点(x+dx,t+dt)はどう考えたって2点です。
dt=0になれば、dx=vdt=0なので2点は重なるということですね。「1点が2つの位置を持つことになり」ではなくて「2点が同一の位置を持つ」が正しいのではないでしょうか。

dt→0を数学的に考えると、どういう意味に問えばいいのか?
ということに帰着しませんか?

これはεδ論法の世界ですね。xとtは実数ならば、連続であるということを数学は語っているだけではないでしょうか。

この場をお借りして。。。
凡人さん、そこはスレットのタイトルが違うので叱られる前に止めましょう。

  投稿者:kafuka - 2008/08/26(Tue) 07:32  No.5086  <Home>
50にして迷う
ですね。
>2点が(極限で)同一の位置を持つ」が正しい
そうでした。
でも、ちょっと、dx=vdt から離れてみて下さい。
http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/57823636.html
に数学だけで、以下のAを証明しています。
LimΔx→0「x軸上のある点がx1にある場合、x1+Δxにはない」ー A
LimΔx→0「x軸上のある点がx1にある場合、x1+Δxにもある」ー B
(Aは、0.99999、、、が1である限り否定されます)
じゃ、NotA=Bが正しい ですか?
正しいはずのBを、
「x軸上のある点がx1にある場合、x1+dxにもある」
こう書き直すと、何か変でしょ。

これが実数の連続性に対する「根源的な問いかけ」ですかね。
まぁ、LimΔx→0 と Δx=0 の違いがわからない人は、
あほらしい議論だと思われるでしょうが。

  投稿者:凡人 - 2008/08/26(Tue) 07:36  No.5087 
はっしー帝國さん
>凡人さん、そこはスレットのタイトルが違うので叱られる前に止めましょう。
はっしー帝國さんの反論はこれで終わったという事でしょうか?

  投稿者:kafuka - 2008/08/26(Tue) 08:53  No.5088  <Home>
>数学と思弁
いい言葉を思い出しました。
「数学は、点、線、面 を、机、椅子、花瓶に置き換えても成立しなければならない」
この方のおかげで、僕のブログ「50才からの、、、」が成り立っています。
(思弁のことではないですよ)

  投稿者:yuya - 2008/08/26(Tue) 09:10  No.5089 
kafukaさん、はじめまして。

「0.9999…… = 1」というのは、まず「無限小数を集合として捉える」という発想があり、具体的には
F = {0.9未満の全有理数}∪{0.99未満の全有理数}∪{0.999未満の全有理数}∪{0.9999未満の全有理数}∪……
という集合(無限個の集合の和集合)の「省略記法」と考えて、G = {有理数全体} - F としたとき、
「Fに最大数がなく、Gの最小数は1である」ことをもって、集合Fを「1」という数の一表現と考えよう、ということですよね。
すなわち、切断による実数の定義自体が、「1自体は向こう岸(G)にあるにも関わらず、Fを『1』と呼んでいる」ということに注意する必要があります。
このことを考慮すれば、
>(Aは、0.99999、、、が1である限り否定されます)
と簡単には言い切れないな、と思えるのではないでしょうか?

  投稿者:kafuka - 2008/08/26(Tue) 10:12  No.5090 
yuya様
ご参加ありがとうございます。

>切断による実数の定義
う〜ん。
ということは、1/2+1/4+1/8+、、、も『1』と呼んでいる
だけでしょうか
もし、1/2+1/4+1/8+、、、が1なら、
εδ論法で、0.9999…… が1であると証明できますが。
逆に、
1/2+1/4+1/8+、、、が1でなく、
=LimΔx→0 1-Δx として、これを『1』と呼んでいる
のなら、
LimΔx→0 x-Δx=x-dx も『x』と呼ばないといけない
のでは?

  投稿者:EMAN - 2008/08/26(Tue) 13:03  No.5093 
> ということは、1/2+1/4+1/8+、、、も『1』と呼んでいる
だけでしょうか

1/2 + 1/4 + 1/8+ ... =
 馬=1,∞ 1/(2^n) = 1 ですよね。
 無限等比級数の和の公式を思い出しましょう。
 呼んでいるだけじゃなくて、これは確かに 1 です。

 この意味は、1 に、徐々に無限に近づくというのではなく、
最初から、無限の項が存在しているという意味です。
 
 一方、
 (lim k→∞) (馬=1,k 1/(2^n) ) = 1
っていう考え方は、有限項があって、
項が一つ一つ増えていったら
どこに近づくかという考えですよね。

 ま、私のような素人には同じように見えて、
違いを厳しく突くことが出来ませんが、
このような差を無視して議論しているように見えます。

  投稿者:はっしー帝國 - 2008/08/26(Tue) 13:09  No.5094  <Home>
売られた喧嘩は買わなきゃならぬ、ということでしょうか?
もう収束しましょう。時間が勿体無い。

凡人さんの言いたいことは、「貴方は、私にに言ったセリフを、並木先生にも言えるのか?」ということでいいでしょうか?

答えはYesです。

「ハイゼンベルクは1927年に不確定性原理の存在に気がついた。」という記述を読んで、わたしは文字列の間を脳味噌が意味を補いながら、変換しながら、でないと上手に読めません。

例です。

「ハイゼンベルクは1927年に不確定性原理の存在に気がついた。」

→ 「ハイゼンベルクは1927年に不確定性原理を力学のなかにみいだした。」

このことで量子論が量子力学に躍進しました。

「神が『そんざいする』」を英語に訳してみて下さい。

1、The god exists.

2、There is the god.

文脈にもよりますが、私個人的には2をまず連想します。
私の主張はそれだけのことですよ。

  投稿者:EMAN - 2008/08/26(Tue) 13:28  No.5095 
> 上記は、Δx=vΔt と置いただけですから

 「だけ」とおっしゃられていますが、
ここにとてつもなく大きな思想、仮定が
含まれてしまっていることに気付かないといけない。

 こういう怪しい部分を全て疑ってかかるようじゃないと
哲学者にも数学者にもなれませんね。

  投稿者:EMAN - 2008/08/26(Tue) 13:41  No.5096 
> 出来れば、時空が量子化しているか否かという観点での論議をお願いします。

 凡人さん、ご自分が時空の量子化の話をしたいからって、
議論をそっちへ持っていこうとするのは勝手すぎるってもんですよ。

 古典力学や量子力学ではそんな話は出てこない。
 最先端で今現在努力している統一理論や、
それを検証しようとしている最新実験に頼るしかないのです。

 それ抜きにここで議論しても何も出てきやしませんよ。

 啓蒙書はとっかかりにしてもいいが、
真面目な教科書で勉強しなくちゃならない。
 その途中でぶつかった分からない点を議論するなら益もありましょう。

  投稿者:はっしー帝國 - 2008/08/26(Tue) 14:39  No.5097  <Home>
kafukaさん

>εδ論法で、0.9999…… が1であると証明できますが。

いやいや、ただ少数を分数に直せば済む話ですよ。
0.3333…が1/3であるのと同様です。
難しく考えすぎです。

  投稿者:はっしー帝國 - 2008/08/26(Tue) 14:44  No.5098  <Home>
kafukaさん、もうひとつ。

>もし、1/2+1/4+1/8+、、、が1なら、

これも同様です。

1個の丸いケーキがあって、2分の1に切れ目を入れて、その片方を2分の1に切れ目を入れて、その片方を2分の1に切れ目を入れて、その片方を2分の1に切れ目を入れて…

でも丸いケーキは1個は1個のままですよね。

失ったΔxはナイフについたクリームですかね。

難しく考えすぎです。

  投稿者:EMAN - 2008/08/26(Tue) 14:46  No.5099 
 ああ、それそれ、それだ。
 私もつられて難しく考えすぎた。

  投稿者:hirota - 2008/08/26(Tue) 15:11  No.5101 
「矢が飛んでいる」という表現には、ある期間内ではどの時間にも矢が存在して、消えたり出現したりしないという前提が入っています。
さらに、古典力学の守備範囲なら、「Δt→0ならΔx→0」という連続性や「lim Δt→0 Δx/Δtが存在する」という微分可能性がついてたりします。
これだけの前提からはパラドックスなど出て来ませんが、さらに「存在する物は記述可能である」=「記述可能でない物は存在しない」という無意識の前提を付け加えると、連続無限個の中間点を全部記述するのは不可能ですから、「運動が存在しない」という結論が出るわけです。
>1/2+1/4+1/8+、、、も『1』と呼んでいる
「1/2+1/4+1/8+ ... 」や「1」や「3÷3」は式としては違うけど、式が表現してる値は同じです。
1/2 + 1/4 + 1/8+ ... =馬=1,∞ 1/(2^n) = (lim k→∞) (馬=1,k 1/(2^n) )
は定義式ですから、式としても同じです。
0.9999……=馬=1,∞ 9/(10^n) = (lim k→∞) (馬=1,k 9/(10^n) )
も定義式です。 これを使えばεδで「=1」を証明するのは簡単。(δ = 1/(10^k) < ε を使えば良い)
なお、LimΔx→0 x-Δx=x- dx は単独の「dx」がある以上、値だけを表現してる式ではないので「x」と同じとは言えません。(何を表現してる式かは不明)

  投稿者:EMAN - 2008/08/26(Tue) 16:16  No.5103 
 で、この議論の趣旨に立ち返ると・・・
いや、立ち返らなくちゃいけない。
(このままじゃ、「ゼノンのパラドックス」を議論しているようだ。)

 kafukaさんは、数学では肝心な部分が説明できないので、
そこに物理の根源的な問いかけをぶつけるのは意味がないという。

 まぁ、その部分はまぁ、そうだろうと私も思う。

 kafukaさんは物理だってそうだろう、という。
 これにははっしーさんから
数学でできない部分は「想像力で補えばいいだろう」
という内容の返事があった。

 しかしその前に、kafukaさんは
「古典論に限って考えてみて何か出てくるかい?」
と皆にチャレンジしてきた。

 私はこのチャレンジは変だと思う。
 物理にこんな「古典論の段階にとどまって考える」縛りを置いたなら、
説明できるはずのものも説明できなくなってしまうのは当然だ。

 数学は物理にとって論理を明確にする道具に過ぎない。
 古典論の範囲で使っている数学をいくらいじっても、
その範囲の答えしか出て来ないのは当たり前だ。

 で、結局何が問題だというのだろう?

  投稿者:kafuka - 2008/08/26(Tue) 17:26  No.5107 
EMAN様、はっしー様、Hirota様
ありがとうございます。

0.9999……は、
>いやいや、ただ少数を分数に直せば済む話ですよ。
そうなんです。
http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/57823636.html
には、それで計算しています。
ところが、Yuya様が、
> 「1自体は向こう岸(G)にあるにも関わらず、Fを『1』と呼んでいる」
と言われたので、「0.9999……を『1』と呼んでいる」
のかなって思ってしまったわけです。
よく読むと、
>(Aは、0.99999、、、が1である限り否定されます)と簡単には言い切れない
の意味がわかりました。

数学は、机、花瓶、椅子、、、といっておきながら、
> 「記述可能でない物は存在しない」という無意識の前提を付け加え
えていました。
それで無理矢理、点xの左隣の点を、LimΔx→0 x-Δx=x- dx
と表現して「わざわざ存在させた」のです。
Hirota様
「点xの隣の点」は、上記のように極限をもってしても「記述可能でない」
と思っていいですか?
多分、次の隣の点を考えるろ と言われると思いますが、、、
もう1つ。
隣の点は「記述可能でない」ですが、
「定義が記述可能でない」ものは「全く何も言及できない」と
思っていいですか?
(一部が「記述可能でない」もの(例えば逆元)
でも、「言及できるもの」は、いろいろあると思っています)

  投稿者:yuya - 2008/08/26(Tue) 19:58  No.5116 
kafukaさん:

ご理解いただいているようですが、「0.9999……は1ではない」と言っているのではなく、
「0.9999…… = 1 だが、その意味を考えると、Aを否定する根拠とするには異論もありそう」ということです。

いずれにせよ、ご返信を見る限り、「切断」を持ち出して本格的な議論をするより、
「0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ……」という無限和をどう捉えるか、という話をしたほうが理解のお役に立てそうです。

この「+ ……」の意味は曖昧であり、EMANさんが[5093]でおっしゃったように、少なくとも2通りの考え方ができます。

(ア)有限の項があり、項数を増やしたとき、どこに近づくか(lim[n→∞]Σ[k = 1, n])
(イ)初めから無限個の項があり、それらを全て足したもの(Σ[k = 1, ∞])

(ア)で考えた場合、「0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ……」の表すものがそもそも和自体ではなく、
和の【目指す先】であり、それが1というだけですから、Aを否定する根拠としてはかなり弱いです。
(イ)は、「0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ……」が和の実体を表しているという立場であり、これをαと置けば、
おっしゃるようにα = 1 が示されます。この立場のほうが、Aを否定するには説得力があるように見えます。

日常的・直感的・哲学的には(ア)と(イ)との間には隔たりを感じても不思議ではないですが、
数学において(イ)を考えようとすると、
この例や「ケーキを半々に切るケース」のように直感的に受け入れやすいものばかりなら良いですが、
一般にはいろいろな問題が生じてきます。例えば、
「そもそもこのような和が存在するかどうか分からないうちからαと置いてよいのか」
「有限の場合と同じような演算を行なうのはアヤシゲだが、どこまで許されるのか(その判断基準)」など。
そこで、無限を正面から扱うことはとりあえずあきらめて、「有限の極限」という形で無限を取り扱い、
(ア)をもって(イ)の定義とする、というのが(少なくとも現在主流の)数学の方針です。

「AかBか」を無限和の捉え方に求める限りにおいては、(ア)(イ)の差異が重要となりますが、
両者を同一視している数学に対してその答えを求めることは、埒外の話ということになりそうです。

  投稿者:kafuka - 2008/08/26(Tue) 20:15  No.5117  <Home>
EMAN様

誤解されています。

物理にこんな「古典論の段階にとどまって考える」縛りを置いたなら、
説明できるはずのものも説明できなくなってしまうのは当然だ。

は、そのとおりです。
僕が皆様にお聞きしたかったのは、
LimΔx→0「xに矢がいる時、x+Δxに矢がいるのか、いないのか?」
についての話のことで、
これは、「古典論の枠内」でも「数学の枠内」で
十分だと思ったからです。
で、僕の論理展開は、
LimΔx→0「xに矢がいる時、x-Δxに矢はいない」 命題A
LimΔx→0「xに矢がいる時、x-Δxにも矢がいる」 命題B
で、命題Aの証明を、
LimΔx→0 x-Δx=αx と置く
αは、0.999999、、、、である
0.999999、、、、は1である
∴ 命題Aは、否定される
Yuya様の指摘どおり「0.999999、、、、は1である」=α である
とは言い切れません。
哲学的?に言えば、x-Δxの値は、xより小さい実数です。
数学的にいっても、LimΔx→0 は、Δx=0ではありません。
しかし、LimΔx→0 ではαが1ですから αxの値は、xです。
この意味では、この証明は矛盾しているで無効です。
もちろん、極限の定義で言えば、LimΔx→0 x-Δxの値は、xですので、この証明は合っています。

と思っていました。
(アホでした)

  投稿者:凡人 - 2008/08/26(Tue) 21:53  No.5120 
EMANさん
>凡人さん、ご自分が時空の量子化の話をしたいからって、議論をそっちへ持っていこうとするのは勝手すぎるってもんですよ。
申し訳ありません。ただし、私の話も聞いていただきたいのですが、私は、物質運動の根源に不確定性原理が存在するのは何故なのか? 時空が量子化されていると仮定すると、ゼノンの運動における4パラドックスとこの問題が一挙に解消出来るのではないか? という事を皆様に問いかけたかったのです。

>最先端で今現在努力している統一理論や、それを検証しようとしている最新実験に頼るしかないのです。
仰るとおりです。申し訳ありません。

  投稿者:はっしー帝國 - 2008/08/27(Wed) 00:30  No.5122  <Home>
kafukaさんの命題を考えてみました。

命題A
LimΔx→+0「xに矢がいる時、x-Δxに矢はいない」

いまひとつ腑に落ちません。

矢の位置をxとし、的の位置をx1とし、矢を射った位置をx0とする。

x1-x=α(x1-x0)
α=(x1-x)/(x1−x0)
矢が的に当たる前はα<1、当たった後はα=1

こういうαなら解り安いです。

Δx=x1-xと定義する。

x1-Δx=x

Δx→0のとき、x→x1である。

こういう話なら解り安いですね。

何を問題にするためのロジックだったのか。論理の立て方からやり直した方がいいように思えます。

これが根源的な答えではないでしょうか。
やり直すのも勇気ですよね。

  投稿者:yuya - 2008/08/27(Wed) 01:04  No.5123 
kafukaさん:

>Yuya様の指摘どおり「0.999999、、、、は1である」=α である
>とは言い切れません。
>哲学的?に言えば、LimΔx→0 x-Δxの値は、xより小さい実数です。
>αが1ならLimΔx→0 αxの値は、xです。
>ここで、この証明は矛盾しています。

ん?
lim[凅→0](x - 凅) = x という式自体は、正しいですよ(つまりα = 1)。
ただし、【lim[凅→0] 】が【x - 凅 = x】という等式全体に係るのではなく、
【lim[凅→0](x - 凅)】=【x】です。
すなわち、
「【凅→0としたときの x - 凅の目指す先】は、【x】である」という意味です。
「凅→0 のとき、x - 凅 → x」と同等です。けっして
「凅→0 のとき、x - 凅 = x」ではありません。

そもそも lim f(x) という記号は、「極限をとったときのf(x)の値」という意味ではなく、
「極限をとったときのf(x)の【目指す先】」という意味であり、
「f(x)そのもの」とは異質なものを表していることに注意してください。
(lim f(x) の値がf(x)の値域に含まれる保証すらありません。)

このあたりの確認はkafukaさんにとって不要かもしれませんが、
何らかの助けになれば幸いです。

  投稿者:はっしー帝國 - 2008/08/27(Wed) 02:13  No.5124  <Home>
kafukaさんの迷いの原因が何なのか、思いつきました!

代数学と解析学がイッショクタンになっている。
そのむかし解析学がなかったころ、ニュートン力学は数学的には反則だったのですよね。たしか。

そこでεδ論法が基礎になって解析学が確立したんじゃなかったでしょうか。

矢の移動距離も
x=∫(dx/dt)dt=∫dx
と、こんな感じに考えなくてはならないのでは。

そういう意味では、x±dx って何でしょうか。

迷う。。。

  投稿者:凡人 - 2008/08/27(Wed) 06:39  No.5125 
はっしー帝國さん
>そこでεδ論法が基礎になって解析学が確立したんじゃなかったでしょうか。
アブラハム・ロビンソンは、そう思わなかったから超準解析を考案したのではないでしょうか?
超準解析を使えば、kafukaさんの迷いは解消されるものと思っています。

  投稿者:yt - 2008/08/27(Wed) 07:58  No.5127 
はじめまして.古典力学が好きで学習しているものです.

僕としては,途中で出てきた物体が速度(または運動量)を持てば解決するという一度出てきた結論が最も説得力があると思いますよ.

たとえば,Lagrangianは位置の空間と速度の空間の直積から実数への写像であって,そこから変分原理で運動が決まるんですよね.(この考え方は数学的にも,配位空間Mを多様体と仮定して,云々の議論をすればきちんと表現できますよ!)

Hamiltonianを基礎としたいなら位置の空間と運動量の空間の直積の上の関数と考えれば良いわけです.

  投稿者:はっしー帝國 - 2008/08/27(Wed) 10:17  No.5130  <Home>
凡人さん、具体的に書きます。

文脈からすると、私の書いた、
>そういう意味では、x±dx って何でしょうか。

>迷う。。。

、、に対するレスが「超準解析を使えば云々」ということですよね?

>そこでεδ論法が基礎になって解析学が確立したんじゃなかったでしょうか。
という引用は、関係ないようです。
本当にロビンソンは上の記述εδ論法云々を「そう思わなかった」のですか?

ロビンソンが考案した目的は、ライプニッツ流の微分積学を取り戻すため、とWikiに書いてありました。
εδで失った、無限小の直感性を取り戻すことが出来た、とも書いてありました。そしてその基礎論が超準解析だ、ということですね。

実数を超実数に拡張してから、この先、どのようにkafukaさんの迷いを断ち切ってあげられるのでしょうか?

それに関する凡人さんの考えは?

  投稿者:TOSHI - 2008/08/27(Wed) 12:16  No.5132 
 どもTOSHIです。

 切断公理というのは公理と言いながらもデデキントは有理数体のある種の集合(=切断)を実数と定義して公理を証明?しています。まあ,実数が存在すればそうなるというので存在を仮定しているので証明にはならんかも。。。

 で公理を認めれば実数の有界集合には上限(最小上界)あるいは下限(最大下界)が存在するとなり,0.99999..というような循環小数は無限集合{0.9,0.99,0.999,..}の上限であると定義されて,これの上限は1ですから0.99999..=1です。

 そこでこれは1/3=0.3333..の両辺を3倍した等式と矛盾しません。そして切断公理以後はたとえば0.5というのは循環小数だと0.4999999..,と0.5000.。。と2通りの表現があってそれでは数学としては紛らわしいというので各人がどちらか一方の表現に統一したらいいということになっているんじゃないでしょうか。。。

 いずれにしろゼノンの背理は哲学的には未解決ではなかったでしょうか,背理のうちアキレスと亀というのも無限回の繰り返しは有限時間内には終わることがないというような常識とは矛盾するので数学の収束理論とは別に解決しているのかしらん。。
 
 コーシーの無現小解析もロビンソンの超準解析も同じことで公理から正確に無限小を表現しようとする試みでしょう。

 EMANさんの意図を無視して関係ない話をしてごめんなさい。
                  
               TOSHI

 ブログ「TOSHIの宇宙」2008年2/10「デデキントの切断(dedekind-cut)」http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2008/02/dedekind_cut_f08e.html および2008年2/11「デデキントの切断(補遺)」もよろしく


  投稿者:kafuka - 2008/08/27(Wed) 12:47  No.5133 
yuya様 

(ア)有限の項があり、項数を増やしたとき、どこに近づくか(lim[n→∞]Σ[k = 1, n])
(イ)初めから無限個の項があり、それらを全て足したもの(Σ[k = 1, ∞])
両者を同一視している数学に対してその答えを求めることは、埒外の話ということになりそうです。

おかげ様で、極限の理解が明確になりました。
ありがとうございます。

で、ちょっと整理します。
>代数学と解析学がイッショクタンになっている。
確かに命題の設定で、数学と力学をゴッチャにしてます。
1.ゼノンの前述のパラドックス
  Hirota様の
>   これだけの前提からはパラドックスなど出て来ませんが、
>   さらに「存在する物は記述可能である」=「記述可能でない物は存在しない」
>   という無意識の前提を付け加えると、連続無限個の中間点を全部記述する
>   のは不可能ですから、「運動が存在しない」という結論が出るわけです。

  は了解(でも、本当に議論したいことは以下の2です)
2.命題A「点x1の隣の点x2を、LimΔx→0 x1-Δx として定義する。
     x軸上のある質点がx1にある場合、x2にはない」
  (解析力学をイッショクタにしないため付け加えると、dx/dt=0の場合に限ります)
  これは、「無意識の前提」では真ですが、僕の証明?では、偽です。
  だから「どこが誤っているか」討論したいのです。
3.x-dx とは何か?
  Hirota様は、
>    「x」と同じとは言えません。(何を表現してる式かは不明)
  Yuya様は、
>    「凅→0 のとき、x - 凅 = x」ではありません。
>    そもそも lim f(x) という記号は、「極限をとったときのf(x)の値」という意味ではなく、
>    「極限をとったときのf(x)の【目指す先】」という意味であり、
>    「f(x)そのもの」とは異質なものを表していることに注意してください。
  問題を明確にするため、
     f(x)=x - 凅 とし、Lim凅→0 f(x) の極限値≡【目指す先】は何か
  と、
     f(x)=x - y とし、Lim y→0 f(x) の極限値≡【目指す先】は何か
  と2つ並べます。

  投稿者:yuya - 2008/08/27(Wed) 13:36  No.5134 
kafukaさん:

私は「相手(ここではkafukaさん)が何を疑問に感じているのか、どこでつまづいているのか」を探るのが大好きなので議論に参加していますが、
初めに「切断」の話を持ち出した時のように、ピントを外してしまう失敗を犯すのはご容赦ください。

>2.命題A「LimΔx→0で、x軸上のある点がxにある場合、x-Δxにはない」
>  (解析学をイッショクタにしないため付け加えると、dx/dt=0の場合に限ります)
>  これは、「無意識の前提」では真ですが、僕の証明?では、偽です。
>  だから「どこが誤っているか」討論したいのです。

まず、「そこを目指しているからと言って、そこに到達するとは限らない」という文言は受け入れられますでしょうか?

  投稿者:hirota - 2008/08/27(Wed) 13:47  No.5135 
「隣の点」が記述可能かどうかは定義しだいです。
そして、「定義可能」と「定義が記述可能」は同じ意味です。
Lim凾→0「点がxにある場合、x-凾にはない」とか lim f(x) については、命題や関数が連続かどうかの問題で、lim f(x-凾) = f(x) なら f(x) は連続であり、lim f(x-凾) ≠ f(x) なら f(x) は不連続というだけです。
もちろん、命題「点がxにある場合、x-凾にはない」は不連続なので、命題の連続性が無意識の前提になってると矛盾します。(凅 をyに書き換えても同じです)
なお、x-凾と書いた場合、xと凾は同じ空間での変数ですが、x-dx と書いた場合の dx はxとは別の空間(接空間) にある場合が多いようです。

  投稿者:はっしー帝國 - 2008/08/27(Wed) 14:53  No.5137  <Home>
我、オモウ、故に、ワレアリ。

kafukaさん、やっぱりイッショクタになっていますよ。
ご自身はプライドをかけてご否定されても。。。

私の疑問だったこと

>そういう意味では、x±dx って何でしょうか。

>迷う。。。

、に対して、hirotaさんから回答を頂きました。有難うございました。

私も解析学が解っていないもので(^^;ゞhehehe
(でも偉そう?ウン、エバッテイル)

dxとは接ベクトル空間上の変数なのですねぇ。

x±dx、は位置±速度とか、速度±加速度とかの類と同じゃないですか。力学の世界観じゃないですか。

xの空間が連続であるならば、

>数学だけでは無理でも、人の想像力で補えば可能だと思います。

>そもそも矢は等速度で飛んでいるのでしょうか?
もしそれでよければ、

>dx/dt = 一定 ⇒ dx = 一定 x dt

>進む距離の間隔dxが短ければ、経過時間dtも等価で短くなります。つまり『あ!という間』という指標の値(?)が短くなるということになり、「いつまでも矢が止まっている」ことにはならない。

>…と、私なら解決しますね。

と堂々と言えますね。

つまり、tの空間つまり時間は矢の運動に関連しているわけですよね。

数空間上に矢の先の位置情報があって、時間情報があって、速度情報があって、矢の運動って、それが関数上みんなシンクロして変化する訳(というか動きを秘めている?)ですよね。

そして人の観測はこの時間によって支配されてる訳です。
陽子の寿命からみたら瞬きにも満たない一瞬の時間や、光速の世界の永遠の時間も、すべて立場によって相対的になるわけですから。

ブラックホールの外側からシュワルツシルト半径上にある的に矢は届くけど、
→ lim f(x-凾) = f(x)
ブラックホールの内側からシュワルツシルト半径上にある的に矢は届かない。
→ lim g(x-凾) ≠ g(x)
(hirotaさんからお借りしました)
こんな感じに似ていると、我オモイケリ。

あ、甘泉法師さんの提起した話題まで食ってしまった。
失礼。

  投稿者:kafuka - 2008/08/27(Wed) 15:56  No.5139 
皆様、ありがとうございます。

無用な混乱を避けるため No5133 を書き直しました。
また、僕の得た結論(現在の頭の中)をここでかきます。
まず、解析力学をイッショクタにしないため、議論をdx/dt=0の場合に限ります。つまり、
>> dx/dt = 一定 ⇒ dx = 一定 x dt
は、0とした議論です。
命題Aは、「点x1の隣の点x2を、LimΔx→0 x1-Δx として定義する」
で、もうアウトです。
>凅 をyに書き換えても同じです  ーHirota様No5135
により、「この定義」は、「隣の点」の定義になっていません。
なぜなら「x軸上の点は連続」なので、Limy→0 x1-y=x1 で、隣とは言えません。
逆に「隣がある」としたら「不連続」を仮定しています。

したがって、命題Aは、意味を持ちません。

Hirota様
>x-凾と書いた場合、xと凾は同じ空間での変数ですが、
>x-dx と書いた場合の dx はxとは別の空間(接空間) にある場合が多いようです。
は、目からウロコ です。

  投稿者:kafuka - 2008/08/27(Wed) 16:17  No.5140 
Yuya様
お手数をおかけして恐縮です。
よろしくお願いします。

>「そこを目指しているからと言って、そこに到達するとは限らない」
>という文言は受け入れられますでしょうか?
Yesです。不連続の場合ですね。

逆にお聞きしますが、
「凅→0 のとき、f(x)=Ax - 凅 」において、
A=1、xの空間が連続、
として、xと同じ空間のyに、凅を書き換えた、
「y→0 のとき、f(x)=Ax - y 」
は、同じと思われますか?


  投稿者:kafuka - 2008/08/27(Wed) 18:01  No.5144 
はっしー様

>(解析力学をイッショクタにしないため付け加えると、dx/dt=0の場合に限ります)
と書いているんですが、、、
要は、ゼノンのパラドックス以前の、
「はなから止まっている矢の位置が、本当に1つの点で「隣の点?」にはないのか(古典力学というか数学の範囲で)」
を証明しようとして、命題Aを立てたら、
偽だったので、
悩みに悩んでいました。

>x±dx、は位置±速度とか、速度±加速度とかの類と同じゃないですか。力学の世界観じゃないですか。
あの〜 左項と右項の次元が違いますが、、、
それと、
僕は、LimΔxだけで考えていて、dxなどという恐ろしいもの
には、まだ手を出していませんよ。
もっと恐ろしい「存在する無限小」に手を出せという、
凡人さんのアドバイスは、僕にとって、シュワルツシルド半径の中に、はいれというような、ものです。

  投稿者:はっしー帝國 - 2008/08/27(Wed) 19:05  No.5147  <Home>
kafukaさん、どうぞ私めは"さん付け"でおよび下さいませ。
私もかつては"様付け派"だったのですが、訓練で"さん付け"で人様を呼べるようになりました。

dx/dt=0では、ただ地面に矢が刺さって感じですね。というか砂に埋まっている感じでしょうか。これだととなりの点はないと言われても仕方がありませんね。

|Δx/Δt|>0ならどうでしょうか。
つまり未来に開発される限界までたっしたテクノロジーで作られた超スローカメラで撮影した映像です。Δtのあいだに矢はΔxだけ進むので、フィルムにはΔxの幅でぶれた映像が出来ますよね。これだったら時間Δtの間に、Δxの幅の無限個の点(といっても画素数が限度ですが)があるといってもいいのかも、と我思います。

Δtをいくら小さくしてもΔxの幅の無限個の点は無限のままですが。

ところで、じ・次元ですか。。。(^^;ゞhehehe

→ x±∫(dx/dt)dt、は位置±∫速度dtとか、速度±∫加速度dtとかの類と同じゃないですか。力学の世界観じゃないですか。

って書けばよかったかな?

>凡人さんのアドバイスは、僕にとって、シュワルツシルド半径の中に、はいれというような、ものです。

ははは。

虎穴に入らずんば、虎児を得ず。
しかし、穴から出てこれる確率は無限小也。
(ゼロだとは言わずもがな)

  投稿者:yt - 2008/08/27(Wed) 19:09  No.5149 
kafukaさんへ

lim凅→0という事を書いている時点で,凅は束縛変数であって,単独にx-凅というものを考えることは出来ませんよね.つまり,x-凅に存在するかという事を考える以前に,x-凅というものが数学的に意味が不明になってしまいます.
それを解消するには,超準解析で無限小超実数を持ち出すかεδ論法をつかって無限小という概念を扱わないかのどちらかで考えるのが賢明に思えます.

もっとも,ゼノンのパラドックス自体を解決することが至上の目的ならば,もっと簡単な方法はいくらでもあると思いますが...

  投稿者:yuya - 2008/08/27(Wed) 19:35  No.5150 
kafukaさん:
>>「そこを目指しているからと言って、そこに到達するとは限らない」
>>という文言は受け入れられますでしょうか?
>Yesです。不連続の場合ですね。

このご発言に、理解への足がかりがありそうな気がします。
同じ文言について、連続の場合にはいかがでしょうか?

>逆にお聞きしますが、
>「凅→0 のとき、f(x)=Ax - 凅 」において、
>A=1、xの空間が連続、
>として、xと同じ空間のyに、凅を書き換えた、
>「y→0 のとき、f(x)=Ax - y 」
>は、同じと思われますか?

はい、同じだと思います。
「□→0のとき、f(x) = Ax - □は……」
という文章において、□に共通の文字が入れば全て同じです。
高校で習った導関数の定義でも、
f'(x) = lim[凅→0]((f(x + 凅) - f(x)) / 凅)
と書いている教科書もあれば、
f'(x)= lim[h→0]((f(x + h) - f(x)) / h)
と書いたものもありましたね。

  投稿者:kafuka - 2008/08/27(Wed) 21:56  No.5154  <Home>
yuyaさん:
(はっしーさんに従って「さん」で書かせて頂きます)

「そこを目指しているからと言って、そこに到達するとは限らない」かどうか?
連続の場合は「到達する」と思います。
というか、これが「連続」の定義では?

では、当方の質問ですが、
「y→0 のとき、f(x,y) = f(x,0)」ではありません。
は理解していますが、
以前のご発言No5123
>「凅→0 のとき、x - 凅 = x」ではありません。
ですが、これは、前回でA=1、□=凅 としたもの同じです(x軸が連続というのは暗黙の仮定)
なので、この理由がわかりません。
(もう少し先に進まないと理解は無理なら、置いておいて結構です。)

  投稿者:はっしー帝國 - 2008/08/27(Wed) 22:20  No.5155  <Home>
kafukaさんの根源的な問いかけに関連します。

矢の先端が一定の速度で、位置0からXまでを移動するとします。

この間の実数値全てを通過するわけですが、実数の数は無限個あるわけで、その無限個の数字すべてを通過しているのでしょうか?

ただし、有限の時間内Tで矢は0からXまでを通ります。

という直感的な問いです。

  投稿者:yuya - 2008/08/27(Wed) 23:19  No.5156 
>「そこを目指しているからと言って、そこに到達するとは限らない」かどうか?
>連続の場合は「到達する」と思います。
>というか、これが「連続」の定義では?

なるほど。これについては後でまとめて触れるとして、もう少し質問させてください。
(答えさせてばかりで申し訳ありませんが……)

h → 0 のとき、次の(A)〜(E)に○×を付けてください。

(A) h は 0 を目指す
(B) h は 0 に到達する
(C) 2 + h は 2 を目指す
(D) 2 + h は 2 に到達する
(E) lim[h→0](2 + h) = 2 である

>>「凅→0 のとき、x - 凅 = x」ではありません。
>ですが、これは、前回でA=1、□=凅 としたもの同じです(x軸が連続というのは暗黙の仮定)

同じではないです。
「前回でA=1、□=凅 としたもの」は、
「凅→0 のとき、x - 凅 = x」ではなく、
「凅→0 のとき、f(x) = x - 凅 は……」です。

  投稿者:kafuka - 2008/08/27(Wed) 23:33  No.5157  <Home>
ytさん:
>ゼノンのパラドックス自体を解決することが至上の目的
じゃないです。
それを考えていて、命題A を思いついて、悩んでいただけです。
で、凅と書けば、普通は、xの束縛変数ということになりますが、
命題Aについていえば、xと凅と書かず、
「x=1の隣の点x2を、Lim a→0 1-a として定義する。
 x軸上のある質点がx=1の点にある場合、x2にはない」
としても、不都合はないです。
正しく扱うためには、まず、
「隣の点」を正しく定義しないといけません。
おそらくですが、
普通の数学では、「隣の点」は定義できないと思います。
それは、Yuyaさんの発言:

(ア)有限の項があり、項数を増やしたとき、どこに近づくか(lim[n→∞]Σ[k = 1, n])
(イ)初めから無限個の項があり、それらを全て足したもの(Σ[k = 1, ∞])
両者を同一視している数学に対してその答えを求めることは、埒外の話ということになりそうです。

からそう思います。というのは、
無限大や無限小の直接的な扱いを避けるため、両者を同一視している
と思うからです。

  投稿者:yt - 2008/08/27(Wed) 23:52  No.5158 
え〜っと,僕が凅を束縛変数と呼んだのは,その書き方のせいじゃなくて,lim_(凅→0)という記述があったからで,それをlim_(a→0)と書き換えたてもaが束縛変数となるわけですよね.例えば,lim_(a→0)[1-a]=1ですが,これは無限小などの直接的な扱いを避ける立場では
∀ε>0 ∃δ>0 (|a|<δ ⇒ |(1-a)-1|<ε)
の省略記号にすぎないわけですから.

そのように考えて命題をεδ論法をつかって,より分かりやすい表現をしてみると,疑問点がよりはっきりすると思いますよ.(うまく書き換えられないなと感じるところがいちばん乗り越えなくてはいけない壁であることが多いですから...)

  投稿者:yt - 2008/08/27(Wed) 23:55  No.5159 
ごめんなさい.No.5158の訂正です.
∀ε>0 ∃δ>0 (|a|<δ ⇒ |(1-a)-1|<ε)

∀ε>0 ∃δ>0 ∀a∈R (|a|<δ ⇒ |(1-a)-1|<ε)
の書き間違いです.こうかくとaが自由変項ではなくて束縛されていることがはっきりしますね.

  投稿者:kafuka - 2008/08/27(Wed) 23:56  No.5160  <Home>
Yuyaさん:
遅くまですみません。

> h → 0 のとき、次の(A)〜(E)に○×を付けてください。
(A) h は 0 を目指す    ○
(B) h は 0 に到達する   ×
(C) 2 + h は 2 を目指す  ○
(D) 2 + h は 2 に到達する ×
(E) lim[h→0] (2 + h) = 2 である ○

(E)は、、
lim[h→0] f(x)+ h   ( f(x)=2 )
と書けると思います。
でも、これは、
lim[h→0] f(x+ h)   ( f(y)=y x=2 )
じゃないですね。

  投稿者:凡人 - 2008/08/28(Thu) 01:06  No.5162 
はっしー帝國さん
>実数を超実数に拡張してから、この先、どのようにkafukaさんの迷いを断ち切ってあげられるのでしょうか?
こちらをご覧下さい。(kafukaさん、勝手にブログを紹介して申し訳ありません。)
http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/57826980.html

  投稿者:はっしー帝國 - 2008/08/28(Thu) 01:32  No.5165  <Home>
kafukaさんがいそいそと議論を降りてしまい、私の「直感的な問い」が寂しく浮いていますので、私なりの考えを書いて終わります。

>矢の先端が一定の速度で、位置0からXまでを移動するとします。
>この間の実数値全てを通過するわけですが、実数の数は無限個あるわけで、その無限個の数字すべてを通過しているのでしょうか?
>ただし、有限の時間内Tで矢は0からXまでを通ります。

当たり前かもしれませんが、矢が全ての実数の頭を踏んで有限の時間でゴールできる訳がないです。

適当に飛び飛び飛んで、適当に実数値を飛ばして飛んでいると思います。しかし、全ての飛び飛びのパターンを合計しなくてはならない。つまり経路積分しなくてはならないというのがポイントでありまして、全部合計して、相殺し合った結果が速度X/Tの等速度直線運動になったというのが、私の用意したものです。

ある時間tに対して矢の位置xが任意に決まるということから全ての実数の頭を踏んできたように思われるが、そうではなかった。

思いつきではありますが、いわゆる想像力の成果です。

これで根源的解決になったか!なったのか!

なったのか?

では、時間の方はどうなのか?

量子力学では、時間はただのパラメーターで良かったと思う、今日この頃です。

  投稿者:はっしー帝國 - 2008/08/28(Thu) 01:35  No.5166  <Home>
凡人さん、
リンク先読みました。
迷いは吹っ切れたようですね。

  投稿者:凡人 - 2008/08/28(Thu) 01:59  No.5167 
はっしー帝國さん
>迷いは吹っ切れたようですね。
そうだといいですね。

  投稿者:EMAN - 2008/08/28(Thu) 02:13  No.5169 
 私は kafuka さんがたびたび、「隣の点」という表現を
持ち出して来られる事に違和感がありました。

 単なる言葉の綾なのか、
自覚無しにそういうイメージから抜け出せないで
いらっしゃるのか。

 そのイメージで考えている時点で、
空間の不連続を仮定として持ち込んでしまっているのでは
ないかと心配になるわけです。

 不連続を仮定するなら、それを前提とした論理を使えばいいし、
連続を仮定するなら、それを前提とした論理を使えばいい。
 どちらが正しいかなんて、数学が決めることじゃないのですから。

 で、量子力学まで進めば、
粒子には運動の軌跡という概念がないわけで、
「隣の点」など考えること事体が誤り(あるいは無意味)だったと分かる。

  投稿者:yuya - 2008/08/28(Thu) 08:02  No.5170 
kafukaさん:
疑問が解決されているなら蛇足になりますが、私は自分で書いたことの後片付けをしておきます。

(A)〜(E)すべて正解です。
「目指す」という語が曖昧なのを承知で言いますが、
(C)を数式で書き直したものが(E)です。

(C)と(D)を見ると、「2を目指しているが、2に到達しない」
という状態がありうることを、kafukaさん自身が認めてくださっています。
そして、f(h) = 2 + h は連続関数です。

ここまでは違和感なく納得されるでしょうか?(と聞くつもりでした。)

>(E)は、、
>lim[h→0] f(x)+ h   ( f(x)=2 )
>と書けると思います。
>でも、これは、
>lim[h→0] f(x+ h)   ( f(y)=y x=2 )
>じゃないですね。

別に後者の書き方でもいいのではないですか?
kafukaさんが何に『f』という名前を付けたいのか、にもよりますが。

  投稿者:はっしー帝國 - 2008/08/28(Thu) 11:52  No.5175  <Home>
emanさんのセリフ
>どちらが正しいかなんて、数学が決めることじゃないのですから。

いや〜(感心)かっこいいセルフではないでしょうか。

そう、最後に判断するのは人の心です。(ちがうか?)

  投稿者:kafuka - 2008/08/28(Thu) 15:33  No.5185 
はっしーさん:
>kafukaさんは反省の人ですからトンデモじゃないですよ。トンくらいなものですよ。
でも、もう少し何とかしないと、、、
「トン」ですんでいるのは、京大の高橋様
http://blogs.yahoo.co.jp/keitaro_0808_takahashi
のおかげです。
5年前ブログを始めたころ、常微分と偏微分の違いなど、
非常に基本的なところから、教えて頂きました。
ある時、僕の記事を読んで、
「新理論を創るつもりなら協力できない」と言われました。
「既存の理論がおかしいと思うのは貴方の理解不足なだけです」
と言われて目から鱗が落ちました。
そんなわけで「トン」ですんでいます。
でも、もう少し何とかしないと、、、

  投稿者:EMAN - 2008/08/28(Thu) 15:41  No.5187 
> 非常に基本的なところから、教えて頂きました。

 いい先生だぁー、(T_T)


> 「既存の理論がおかしいと思うのは貴方の理解不足なだけです」

 名セリフだー (T_T)

  投稿者:kafuka - 2008/08/28(Thu) 16:01  No.5189 
Yuyaさん
大変、失礼しました。
EMANさんを困惑させているのは僕だと思っていました。
ご気分を害されたとは思いますが、よろしければ、続きをお願いします。

>>>「凅→0 のとき、x - 凅 = x」ではありません。
>>ですが、これは、前回でA=1、□=凅 としたもの同じです
>同じではないです。
が理解できないのが、どこで躓いているためか知りたいです。
で、
>ここまでは違和感なく納得されるでしょうか?
了解です。
ただし、Eは、以前の僕なら、躊躇なく正解ですが、
ytさんの、No5149,5158 を読んでぐらついています。

  投稿者:はっしー帝國 - 2008/08/28(Thu) 16:43  No.5190  <Home>
kafukaさん、横から失礼。

No.5160
>(E) lim[h→0] (2 + h) = 2 である ○

>(E)は、、
>lim[h→0] f(x)+ h   ( f(x)=2 )
>と書けると思います。
>でも、これは、
>lim[h→0] f(x+ h)   ( f(y)=y x=2 )
>じゃないですね。

f()って関数のつもりですよね?
定義域と値域ってあるじゃないですか。hはどちらでしょう。
前者は値域側にあり、後者は定義域側にあります。

ではyuyaさんの出題した(E)をみると
>(E) lim[h→0] (2 + h) = 2 である ○

これはどちら側でしょうか?
fないですよ?

  投稿者:はっしー帝國 - 2008/08/28(Thu) 16:46  No.5191  <Home>
εδ論法のε-δって、εが定義域、δが値域ですよね。

  投稿者:yt - 2008/08/28(Thu) 17:18  No.5192 
kafukaさんへ
僕の発言が原因で混乱させてしまったようですいません.少し細くします.
(E)は正しいで正解だと思います.lim(h→0)(hの式)という形においては,hを全て他の文字で置き換えてもその役割は同じだから,(hの式に出てこない文字なら)どんな文字を使ってもいいです.
束縛変数だから,単独で書くことができないという発言は,lim(h→0)という操作をする上で,その操作がなされないところにまでhを用いてはならないという意味で言いました.
つまり,h→0で2+h→2は正しいですが,2+h=2というのは違いますよね.(その宣言をεδで書き直してみてください.)

はっしーさんへ
定義域,値域という用語をどのように使っているのかが分かりにくいので難しいですが,もしそれが
"εにたいしてδが定まる"
という意味ならYesです.もっとも,δは一意に決まりませんから,2項関係上の定義域と値域ということになると思います.

  投稿者:hirota - 2008/08/28(Thu) 17:19  No.5193 
>隣の点
定義なら近傍系全体でも超準解析で無限小全部でも良いでしょう。(1点だけにはならないが、素因数分解出来ない環でイデアル集合を素因数だと言ってしまう例もあるし)
そういえば「近傍:neighborhood」は「隣」の意味でもある。
>無限大や無限小の直接的な扱いを避ける
lim をεδ論法で表せるという事は、これは本質的には無限の問題ではないということだと思います。(実数の位相では混同しがちなだけ、あるいは無限と言った方が簡単に表現できる)
本当に無限が必要なら、カントールの集合論で直接に扱ってます。
>全ての実数の頭を踏んで有限の時間でゴールできる訳がない
正しくは「全ての実数の頭を踏むことを有限の時間で記述できる訳がない」でしょう。
これに「記述可能でない事はありえない」を加えれば上記の結論が出ます。

  投稿者:yuya - 2008/08/28(Thu) 17:21  No.5194 
kafukaさん:

どうぞお気になさらず。
お互い、襟を正しながら議論に戻りましょうか。

>>>>「凅→0 のとき、x - 凅 = x」ではありません。
>>>ですが、これは、前回でA=1、□=凅 としたもの同じです
>>同じではないです。
>が理解できないのが、どこで躓いているためか知りたいです。

ここで言う「前回」というのは、[5150]の

>「□→0のとき、f(x) = Ax - □は……」

ですよね。このAに1、□に凅を入れても、

「凅→0のとき、f(x) = x - 凅は……」

という文になり、

「凅→0 のとき、x - 凅 = x」

とは異なりますよね。後半部が
前者は「f(x) = x - 凅」、後者は「x - 凅 = x」なのですから。

どうして両者が同じに見えるのか、kafukaさんの考えを聞かせてください。

  投稿者:yt - 2008/08/28(Thu) 17:33  No.5195 
hirotaさんへ
>lim をεδ論法で表せるという事は、これは本質的には無限の問題ではないということだと思います。(実数の位相では混同しがちなだけ、あるいは無限と言った方が簡単に表現できる)
本当に無限が必要なら、カントールの集合論で直接に扱ってます。

ごめんなさい.僕の無限という言葉の使い方が悪かったですね.ぼくはモナドといった概念を避けるといった意味で発言しました.ただ,集合論で扱う無限という概念は,順序数や基数に関係するものであって,いま議論している(もしくは今扱おうとしている)無限小といった概念とはまた違うものですよね?

  投稿者:kafuka - 2008/08/28(Thu) 17:34  No.5196 
はっしーさん:
上のf()と下のf()とは別の関数のつもりです。
で、上のf(x)は、xに関係なく2という値を持つ関数で
≡(E) lim[h→0] (2 + h) = 2
と同じで、あとの都合があるので、わざとこれを書きました。
で、
lim[h→0] (2 + h) は、
lim[h→0] g(h)  ( g(h)=2 + h )
と思っています。

  投稿者:はっしー帝國 - 2008/08/28(Thu) 18:05  No.5197  <Home>
ytさん、

>定義域,値域という用語をどのように使っているのかが分かりにくいので難しいですが,もしそれが
>"εにたいしてδが定まる"
>という意味ならYesです.もっとも,δは一意に決まりませんから,2項関係上の定義域と値域ということになると思います.

補足ありがとうございます。定義域、値域という用語は10代のとき以来使った事がないもので、正確に書けませんでした。

『関数で、変数のとりうる値の範囲(変域)を定義域という。』
『関数で、が定義域内のすべての値をとるときの、の値全体をこの関数の値域という。』
ちょっとググって引用しましたが、以上の意味です。

hirotaさん、

>>全ての実数の頭を踏んで有限の時間でゴールできる訳がない
>正しくは「全ての実数の頭を踏むことを有限の時間で記述できる訳がない」でしょう。

余計な言葉を省けば、『全ての実数を有限の時間で記述できる訳がない』

確かに。『記述する』という動作は物理的に有限の時間を要しますね。

ちょっと解らない事があるんですが、
>これに「記述可能でない事はありえない」を加えれば上記の結論が出ます。

記述可能でない事=記述不可能
「記述可能でない事」はありえない=「記述不可能」はありえない
→ 記述可能もあり得る

という意味でいいんですか?

kafukaさん、

>上のf()と下のf()とは別の関数のつもりです。
さういうことではなくて、

lim[h→0] (2 + h)は、limが、()全体にかかっていることを明示していると言う意味です。
それで定義域、値域という言葉をつかって頑張って説明したのです。

  投稿者:yuya - 2008/08/28(Thu) 18:22  No.5198 
はっしー帝國さんの書き込みを見て、
自分の書き込み[5170]が誤解を生む可能性のあることに気付きました。

>>(E)は、、
>>lim[h→0] f(x)+ h   ( f(x)=2 )
>>と書けると思います。
>>でも、これは、
>>lim[h→0] f(x+ h)   ( f(y)=y x=2 )
>>じゃないですね。

>別に後者の書き方でもいいのではないですか?

と書きました。つまり前者も後者も lim[h→0](2 + h) と等価だ
(式の一部に f という名前を付けるのは自由、という意味で)ということですが、
これはkafukaさんの前者の表現

> lim[h→0] f(x)+ h

の「f(x) + h」の全体に暗黙のうちに括弧があることを前提としていました。
kafukaさんがどういうつもりで書かれたのか分からないのですが(また教えてください)、
h がlimの外にあるのであれば、前者は誤りです。
ここは定義域・値域というよりも、それこそ「束縛変数が浮いてるから」という説明のほうが
kafukaさんにとっては納得しやすいのではないでしょうか?

「話が横道にそれすぎ」と言われそうで恐縮ですが、まぁ外堀から埋めて行けば、いつか本題に戻れるかと。

  投稿者:yt - 2008/08/28(Thu) 18:33  No.5199 
運動している粒子が,有限時間内にその動く範囲のすべての実数を踏むことを記述できるかということですが,数学的にはちゃんとできると思います.

例えば等速直線運動x=vt(0<t<1)を考えてみれば,粒子は0<x<vの範囲を動きますが,
∀x∈(0,v) ∃t∈(0,1) x=vt
となって,論理式で確かに書けています.

有限の時間で,無限個の点を踏むというのが直観に反しているようにも見えますが,有限の時間間隔の中にだって無限個の実数があるわけですし,特に不自然なわけでもないと思います.

  投稿者:はっしー帝國 - 2008/08/28(Thu) 18:33  No.5200  <Home>
はっしー帝國的解釈です。

lim[h→0] f(x)+ h
→ f(x)+δ
>>と書けると思います。
>>でも、これは、
lim[h→0] g(x+ h)
→ g(x+ε)
>>じゃないですね。

と、こう解釈したんですねぇ。

>外堀から埋めて行けば、いつか本題に戻れるかと。

なるほど。なかなか名セリフが生まれますね。

  投稿者:はっしー帝國 - 2008/08/28(Thu) 18:48  No.5201  <Home>
ytさん、

記述するとは数式を書くのでなく、実数そのものを書くことを述べております。

ぶっちゃけ、ゼロの次の数字ですら書けないという意味ですね。

  投稿者:kafuka - 2008/08/28(Thu) 19:11  No.5202 
Yuyaさん。はっしーさん。

お手数かけてすみません。
僕の書き方が悪いだけです。
lim[h→0] f(x)+ h と書かずに、
lim[h→0] (f(x)+ h)
こう書くべきでした。
>じゃないですね。
と書いた意味は、はっしーさんの解釈でそういったのではなく、
同じと仮定したら、hでの微分が異なると早とちりしたのです。
(xでの微分である0と取り違えていました)

  投稿者:kafuka - 2008/08/28(Thu) 19:26  No.5203 
ytさん:
> h→0で2+h→2は正しいですが,2+h=2というのは違いますよね.
僕が昔、習った時は、例えば
Limh→0 2x+h = 2x
と書いていました。
「、、、」の極限値は、2xに等しい
という意味です。
僕の勘違いでしょうか?

>その宣言をεδで書き直してみてください.
ちょっと待って下さいね。必ずやりますから。

PS.
今 数VCの参考書を見ましたが、= を使っています。

  投稿者:yuya - 2008/08/28(Thu) 19:45  No.5204 
kafukaさん:

あぁ、一気に本題に戻る絶好のチャンスが!

>> h→0で2+h→2は正しいですが,2+h=2というのは違いますよね.
>僕が昔、習った時は、例えば
>Limh→0 2x+h = 2x
>と書いていました。
>「、、、」の極限値は、2xに等しい
>という意味です。
>僕の勘違いでしょうか?

そう、そこですよ。
[5160]でkafukaさんがお答えくださったとおり、h→0のとき、

>(C) 2 + h は 2 を目指す  ○
>(D) 2 + h は 2 に到達する ×
>(E) lim[h→0] (2 + h) = 2 である ○

でしたよね。これを比較しやすいように書き直すと、

(C) h→0のとき、2 + h→2……○
(D) h→0のとき、2 + h = 2……×
(E) lim[h→0](2 + h) = 2……○

です。お付けになった○×に自信を持って、これらを見比べてみてください。
前述の通り、(E)は(C)と同じことを違う流儀で書いたものにすぎません(すなわち、(E)の定義が(C))。

そして、[5123]を、もう一度読み返してみてください。

  投稿者:はっしー帝國 - 2008/08/28(Thu) 19:58  No.5205  <Home>
おお、流儀! pon!

(F) lim[h→0](2 + h) → 2 ×

ですかな?

  投稿者:kafuka - 2008/08/28(Thu) 19:58  No.5206 
そういうことですか!!
今 数VCの参考書を見ましたが、= を使っています。

「目指す値≡極限値」= xxx

という書き方です。

ありがとうございました。
h→0
とあるだけで、「無意識に」Limを補って、認識していました。

  投稿者:yt - 2008/08/28(Thu) 20:02  No.5207 
つい数年前まで受験生だったので,たぶん間違ってないと思いますが,少なくとも僕の使っていた教科書や参考書には,

lim_{x→a} f(x) = f(a)
もしくは,
f(x)→f(a) (x→a)

といった書き方しか載ってなく,

f(x)=f(a) (x→a)

という記法はないはずですよ.

  投稿者:kafuka - 2008/08/28(Thu) 20:25  No.5208 
ytさん:

そのとおりです。
僕が習った記憶には、
> lim_{x→a} f(x) = f(a)
> もしくは,
> f(x)→f(a) (x→a)
の上の書き方しか残ってないのです。
それで、下の書き方と区別して見ていませんでした。
ですから、
> h→0で2+h→2は正しいですが,2+h=2というのは違いますよね.
は、勝手にLimを補って「見えて」いました。
(じゃ、左はどうなんだ? と責めないでね)
PS.
若い方には信じられないでしょうが、
これが「年寄り」の思い込み というものです。
決して、面子にこだわって、誤魔化しているのでは
ありません。

  投稿者:凡人 - 2008/08/28(Thu) 21:27  No.5209 
yuyaさん、kafukaさん、ytさん、はっしー帝國さん、大変申し訳ありませんが、当所の無い高校数学レベル(?)の論議を延々とされても、論議をしたり、論議を理解する意義が見出せないのですけれども。
<<追伸>>
これ以上、この話題で論議を継続されても、この掲示板の閉鎖の為の役にしかたたないのではないでしょうか?

  投稿者:yuya - 2008/08/28(Thu) 22:33  No.5210 
kafukaさん:

私は、当初の疑問である「x に矢がいるとき、x - 凅 に矢はいるか?」という問題を
kafukaさん自身が思索するに当たり、
これまで議論してきたような「記号の基本的な意味」に対する理解が充分でないという要因が、
本来の思索の妨げになっているのではないか、と考えました。
もちろん、「記号をどう定義するか」は人間の決めることであり、
上の疑問の答えには影響しないのかも知れませんが、
やはり実際に思索するときには、一般に知られている概念や記号を使って考えたり、
教科書を参照したりするわけですから、
そのたびに誤った理解に基づいて考えていたのでは無用の混乱をきたします。

そこで、たとえ遠回りのように見えても、
まずkafukaさんが道具として用いていた極限概念やlim記号の意味について、
正確に理解していただくことが先決だと思いました。

現在、これらについてはずいぶん理解を深めていらっしゃることと思います。
思考の道具をきちんと装備したところで、もう一度矢の問題に当てはめると、
「凅→0のときの x - 凅」について考えることになります。
さきほどと同様に考えると、
「凅→0のとき、x - 凅 → x だが、x - 凅 = x ではない」
「x - 凅 は x を目指すが、だからと言って x には到達しない」
というのが極限概念です。
無限和としての「0.9999…… = 1」、すなわち「0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + …… = 1」
についても同様で、無限和を[5116]の(ア)のように「有限和の極限」として捉える限り、
この左辺「0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + ……」は和そのものではなく、
和の目指す先(極限値)を表しており、それが1に等しい、ということです。
すなわち、「和は1を目指すが、1には到達しない」と考えれば、
「x に矢がいるとき、x - 凅 に矢はいない」……(A)を
否定する根拠にはならないと考えるのが自然ではないでしょうか。

ここまで、いかがでしょうか?

  投稿者:kafuka - 2008/08/28(Thu) 22:42  No.5211 
Yuyaさん:

>誤った理解に基づいて考えていたのでは無用の混乱をきたします。
おっしゃるとおりです。

>(A)を否定する根拠にはならないと考えるのが自然ではないでしょうか。
良くわかりました。

ということは、
LimΔx→0 (x+Δx)=x 
Δx→0 (x+Δx)→x 
下は、通常、x+dx と表す
で、いいでしょうか?

  投稿者:yuya - 2008/08/28(Thu) 23:13  No.5212 
kafukaさん:

>ということは、
>LimΔx→0 (x+Δx)=x 
>Δx→0 (x+Δx)→x 
>下は、通常、x+dx と表す
>で、いいでしょうか?

そうですね。極限操作を考えたとき、x + 凅 の目指す先ばかりでなく、
x + 凅 そのものを扱いたい、記述したいときだってありますよね。
そのとき、いちいち「凅→0のもとでの x + 凅 は……」なんて書くのがめんどくさいので
x + dx と書く、と考えてよいと思います。
「dx」という概念については、難しいことや厳密なことを言い出すときりがありませんが、
第一段階としてこのように理解しておいて問題はないと思います。

  投稿者:kafuka - 2008/08/29(Fri) 00:04  No.5213 
皆様、結果をまとめました。

http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/57844179.html
です。

Yuya様、yt様、はっしー様、ありがとうございました。
(もう止めろ言わなかったEMAN様には感謝です)
おかげで、
x+dx が初等的ではあるが理解できた。
という貴重な結果を得ることができました。

  投稿者:はっしー帝國 - 2008/08/29(Fri) 00:12  No.5214  <Home>
本当の意味で、根源的な問いかけに対する答えというのは、こういう基礎的理解に尽きるのでしょうかね。

x + dx、ここまでは解ってきました。

これを、

x + (dx/dt)・dt

に飛躍したいのですが、このことはどう考えていったらいいでしょうか?

x + (dx/dt)・dt、と x + dx、は意味合いが変わって来ますかね?

  投稿者:kafuka - 2008/08/29(Fri) 01:05  No.5215 
EMANさん: No5169

>私は kafuka さんがたびたび、「隣の点」という表現を
>持ち出して来られる事に違和感がありました。
そう思われるのは当然です。
もちろん、僕も空間の連続性を前提としており、この表現はナンセンスです。
ゼノンの矢に言及したかったので、こう書きました。

>量子力学まで進めば、、、
これも当然です。
しかし、古典力学は、それだけで閉じた理論だと思います。
矢は「古典力学での対象」ですから「古典力学でも結論がでる」はずです。
逆に、量子力学の「位置の重ね合わせ」を持ってきて、
「矢が止まっていないこと」を説明するのは、
僕は、おかしいと思います。
(閉じた理論に、他の手助けがいるというのがです)

  投稿者:はっしー帝國 - 2008/08/29(Fri) 02:48  No.5217  <Home>
『ゼノンの矢が止まっていないこと』を説明するのに、近接作用的な話も出てくるわけです。

無限個ある実数の頭を踏んで、矢が進むには、この実数を数える事は有限時間では出来ない(と我思う)。だから無限個ある実数の頭の上は黙って(数えないで)通り過ぎなければ前に進まない。

しかしその足かせをはめたのは数学そのもので、実数という概念を矢の運動に当てはめた結果、パラドックスが産まれたと言うのがホントのところではないでしょうか。

古典力学が出来るのは、結果的に、時刻tに矢の先端がxの位置にあったということを述べること、あるいはその先を予言することで、実際にその通りだと保証することです。

しかしその普遍性は、大まかな精度のときだけです。

ゼノンの矢は細部の記述を求めようとします。
そうすれば量子力学圏内に記述が及びます。
さうなれば、経路積分的な手法も必要となるでしょうね。

>矢は「古典力学での対象」ですから「古典力学でも結論がでる」はずです。

たしかにそうですが、精度が相対的に低い範疇での閉じた結論しか期待できないということです。
つまり必ずアヤフヤを含んだ結論だということです。

>これも当然です。
さうお答えになるでしょうけど、リスクもあるということです。

  投稿者:EMAN - 2008/08/29(Fri) 08:03  No.5220 
> EMANさんを困惑させているのは僕だと思っていました。

 そうじゃないとも言っていませんので、今後もお気を付け下さい。
 いきなり議論を抜けられては、もっと困惑するというものですよ。

 「困惑の原因はいつも一つ」というほど私は単純じゃありませんし。


> 高校数学レベル(?)の論議を延々とされても、

 凡人さんのこの指摘ももっともだと思います。
 それでうんざりされている人も多いだろうと心配します。

 だけどまぁ、勉強になってる人もいるようだし、
高校生レベルから学べるようにという「サイトの趣旨」もあるので、
レベルが低すぎるとも言い切れない。

 ただ、あまり細かなところにこだわり過ぎて、
すぐにあちこちでつまづくというのは、
ちょっと心配な状態でもあります。

 もうすぐ終わると期待できそうなので待つ事にしましょう。

  投稿者:EMAN - 2008/08/29(Fri) 08:26  No.5221 
> しかし、古典力学は、それだけで閉じた理論だと思います。
> 矢は「古典力学での対象」ですから「古典力学でも結論がでる」はずです。

 これは勝手な思い込みだろうと思います。
 古典力学は微分を使っていて、つまり、
空間と時間が連続だ(と考えてもいい)と仮定した上に理論が存在していて、
つまりそれは、「物体が速度という量を持つ」という仮定の
上に存在しているわけです。

 「物体がどこにあるのか!」という問いに対して、
 「それはΔx = v Δtである」という無理やりな仮定を
根拠にしてその先に理論が作られているのですから、
古典力学はそれ以上の答えを用意できません。

 今回の話は古典力学の範疇外とも言えるでしょう。



> 逆に、量子力学の「位置の重ね合わせ」を持ってきて、
> 「矢が止まっていないこと」を説明するのは、
> 僕は、おかしいと思います。

 いや、私が言ってるのは位置の重ね合わせというより、
あれですよ、霧箱の中を素粒子が進むときのイメージです。
 あれは粒子が連続的に進むのではなく、周囲のイオンと
相互作用を起こしたときだけ、そこに存在の痕跡を残すのです。
 「パ、パ、パ、パ、パ!」と不連続に。
 あまりに反応の数が多いので、人間にはその軌跡が
切れ目の無い連続した直線のように見えているのです。
 一つの反応から次の反応までの途中、
粒子がどこにあったかは問わず、そんなものは無い、
というのが、量子力学の範囲での答えです。

 まぁ、前にhirotaさんもおっしゃっておられましたが、
波動の中に速度(運動量)という情報を持っているという
ことがこの根底にあるんですけどね。

  投稿者:yuya - 2008/08/29(Fri) 09:49  No.5225 
はっしー帝國さん:

>(F) lim[h→0](2 + h) → 2 ×
>ですかな?

そうですね。limの本来の用法にならって無理やり解釈すると、
「h→0のときの 2 + h の収束先は、2に収束する」
となってしまい、馬から落馬してますね。

>本当の意味で、根源的な問いかけに対する答えというのは、こういう基礎的理解に尽きるのでしょうかね。

どうなんでしょうか。
今回はたまたま、「根源的な問いかけ」以前の基礎的理解に問題があったので、そこだけ是正できれば、と思いました。
私自身は、「初歩的な極限概念はこういうことだから、(A)を否定する根拠に数学を据えるのは無理がありますよ」と指摘できても、
「じゃあ(A)(B)のどちらが正しいのか」という「根源的な問いかけ」に対して何か示唆できる力はありません。
あとはkafukaさん自身に心ゆくまで思索していただければ、と思います。

>x + dx、ここまでは解ってきました。
>これを、
>x + (dx/dt)・dt
>に飛躍したいのですが、このことはどう考えていったらいいでしょうか?
>x + (dx/dt)・dt、と x + dx、は意味合いが変わって来ますかね?

すみません、ちょっと分かりません(私がご質問の意図をつかめていない気がします)。
xがtで微分可能である限り、式としては両者は等価ですよね。

EMANさん:

>> 高校数学レベル(?)の論議を延々とされても、
>
> 凡人さんのこの指摘ももっともだと思います。
> それでうんざりされている人も多いだろうと心配します。
>
> だけどまぁ、勉強になってる人もいるようだし、
>高校生レベルから学べるようにという「サイトの趣旨」もあるので、
>レベルが低すぎるとも言い切れない。

申し訳ありません。
他の閲覧者のかたにどう映るか、という視点を、私は欠いていました。
以前のスレッド(磁荷と円電流)で自分がkafukaさんに近い状態だったとき、
皆様にとてもお世話になったので、
今回、「この話題だったら人の役に立てるかも」と張り切りすぎました。

  投稿者:hirota - 2008/08/29(Fri) 15:33  No.5230 
本筋と関係ないけど、質問の答えを..
No.5195>無限小といった概念とはまた違うものですよね?
そのとおり、基数は本当の無限で無限小は本質的に無限じゃないですが、基数を持ち出したのは本当の無限なら正面から扱う方法を作り出す例として挙げたのです。
No.5197>余計な言葉を省けば、『全ての実数を有限の時間で記述できる訳がない』
これはytさんがNo.5199で例を挙げてる様に全ての実数を記述できます。
ゼノンのパラドックスは記述方法を「..の中間点の、そのまた中間点の..」という形式に限定してる為に記述できなくなってるのが一因ですから、言葉を省いたら意味が無くなります。
>「記述不可能」はありえない
その意味じゃなくて、「記述不可能な事はありえない事である」の意味です。

  投稿者:kafuka - 2008/08/29(Fri) 17:08  No.5232  <Home>
EMANさん

重ね々ね お詫びします。
>、、、でないとは言っていない
心します。

>今回の話は古典力学の範疇外とも言えるでしょう。
了解です

yuyaさんとのやりとりで、
>すぐにあちこちでつまづくというのは、、、
自分は「極限」をきっちり理解しています。
(現に、Yuyaさんのテストは、全問正解でした)
だからこそ「しつこい」やりとりになって しまいました。
要は、Limをつけない h→ とういう書き方を知らなかった のです。
これは、式を知らない(違いに気づかない)
ということで、正確な対話するには致命的だと悟りました。

「素人レベルがらの脱却をめざして」頑張ります。

  投稿者:EMAN - 2008/08/29(Fri) 22:18  No.5235 
> 申し訳ありません。
> 今回、「この話題だったら人の役に立てるかも」と張り切りすぎました。

 いや、yuyaさん、よくやってくれてましたよ。
 ありがとうございます。

 私も別に謝られるほど怒ったりはしてなくて、
一応、心配事は爆発する前に言葉で伝えとかなきゃなぁ、
という感じであります。

  投稿者:yuya - 2008/08/30(Sat) 10:42  No.5238 
EMANさん:
> 私も別に謝られるほど怒ったりはしてなくて、
>一応、心配事は爆発する前に言葉で伝えとかなきゃなぁ、
>という感じであります。

理解いたしました。有意義な議論に寄与できるよう、努力します。

  投稿者:kafuka - 2008/08/31(Sun) 07:29  No.5241  <Home>
ytさん:

宿題、やっています。まだ途中までですが、、、
http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/57894617.html

尚、EMANさんの掲示板を、汚したくないので、
もし、コメントがあれば、上記にお願いします。
他の方のコメントも歓迎します。