EMANの物理学 過去ログ No.4960 〜

 ● 運動量測定

  投稿者:hirota - 2008/08/11(Mon) 10:32  No.4960 
「完全に閉じ込められた粒子」からスレッドを分けました。
壁だの列車だのと位置限定から間接的に運動量を指定しようとしたのが間違いの元だったようなので、始めから波長の指定を考えてみました。
「回折格子で特定方向へ出てくる波を選択する」でどうですか?

  投稿者:kafuka - 2008/08/11(Mon) 17:55  No.4966 
甘泉法師様

運動量の理想測定のことなので、ここに書かせて頂きます。
束縛系で、|ψ>=∫ψ(p)|dp> の時、(例えば調和振動子)
理想測定を適用すると、P0という値が得られるとします。
波動関数で書くと
ψ=Exp(P0x/ihbar) ですが、
僕は、これは、境界条件をみたさない→理想測定はありえない
と早とちり したのです。
しかし、理想測定の定義は、固有ベクトルで なされています。
したがって、測定後は、
Exp(P0x/ihbar) |dp>  で辻褄があう と気づきました。

先の甘泉法師様の議論を、|dp> もつけて
議論されては、いかがでしょう。

  投稿者:甘泉法師 - 2008/08/11(Mon) 18:24  No.4967 
hirotaさん 甘泉法師です。 スレッドが変わったので引用を書いて
甘泉法師 - 2008/07/31(Thu) 12:56 No.4819
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問題1 荷電粒子の場合
http://www.kek.jp/kids/jiten/particle/measure.html から
運動量は、荷電粒子の場合、一様な磁場中を進むときローレンツ力によりカーブ(円弧)を描く
のであるが、この曲率半径が運動量に比例することを利用する。こういう検出器を磁気スペクト
ロメーターと呼ぶ。
-----
問題2 コンプトン散乱の場合
http://www.sci.himeji-tech.ac.jp/material/quantum_magn/compton.html から
ここでポイントとなるのが右辺第二項です。これは基底状態の電子の運動量と比例関係にありま
す。つまりコンプトン散乱の強度分布測定が電子の運動量空間での確立(ママ)分布を与えるのです!! 
-----
回折格子は、問題1の磁気スペクトロメータとコンセプトが同じなので、第2種の(=測定前後の状態は異なる)精密な(測定値に誤差が原理的にはない)観測ができるのではないかと考えました。
=甘泉法師=



  投稿者:甘泉法師 - 2008/08/11(Mon) 18:30  No.4968 
kafukaさま 甘泉法師です。

>|ψ>=∫ψ(p)|dp>

|dp> になじみがないのですが、連続スペクトルの固有状態の重ね合わせは
|ψ>=∫ψ(p)|p>dp  規格化は <p'|p">=δ(p'-p")
とするのがふつうでないでしょうか。
コメントが本筋なのか枝葉についてなのか懸念しつつ

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2008/08/11(Mon) 19:45  No.4969 
甘泉法師様

すみません、取り違えでした。
で、書き直しました。

束縛系で、(例えば調和振動子)
運動量の理想測定をすると、P0という値が得られたとします。
波動関数で書くと
ψ=Exp(P0x/ihbar) ですが、
これは、境界条件をみたさない
したがって、この系には存在していないψである
→理想測定はありえない
 または、
 理想測定の結果は意味がない(系と関係ないものなので)

という変なことを考えつきました。
正しく「理想測定」を理解したいので、
どこで、間違えてしまっているのか、お手数ですが、
お教え頂ければ、幸いです。
Ps:
上記ψは、微小波の1つであるとも考えられますが、
理想測定の結果は、1つの固有関数ですから、
それ1つで、全確率=1 です。
だから、「微小波」とは、思えません

それから、「第一種測定」という用語ですが、
前にあげた amo2007added.pdf p11 によると、
「理想測定」と同義です。
また、ここには関係ないですが「射影測定」も同義です。

  投稿者:hirota - 2008/08/12(Tue) 09:46  No.4972 
回折格子で指定方向以外の波を遮って検出し、検出されなかった場合は指定方向に出てるとすれば、観測後の状態は運動量観測値の固有状態でしょう。
回折格子を複数用意して入射方向と同じに戻せば観測前の状態とも一致します。
これは第一種測定ではないですか?

  投稿者:甘泉法師 - 2008/08/12(Tue) 10:55  No.4973 
hirotaさん 甘泉法師です。 ご意見を元に考えました。

>回折格子で指定方向以外の波を遮って検出し、検出されなかった場合

主張1
ドームの中心に回折格子や磁気スペクトルメータをおいて、出てきた粒子をドーム内壁いたるところにはりつけたディテクターで検知するというのが実験基本配置。 これに手を加えある方向の屋根に開口穴をあける。 実験でどのディテクターでも粒子が検知されなければ、この穴をとおって外にいったことになり、観測前後で状態が変化しない観測(第一種観測)が実現できる。
意見1
穴をとおったことで穴に向かう運動量Piは原理的に誤差なく観測されるが、外に出ていった波は穴で回折して広がった状態|Pf>に変わってしまうので、これは第二種観測。穴で絞ることは状態を空間的に局在させることになる。


>回折格子を複数用意して入射方向と同じに戻せば観測前の状態とも一致します。

主張2
上記の実験基本配置。 各ディテクターのかわりに回折格子や磁場スペクトロメータの組を置き、中心から曲げられてそこにきた状態|Pf>を状態|Pi>に復元するよう計算して配置する。
意見2
これは出力状態の変換装置にすぎない。装置をオンにしてほっておいても測定値はえられないのでないか。

蛇足 空中論になることをおそれつつ
系の波動関数の観測によるジャンプ ∫Φ(p)|p>dp  → |Pf> はたしかと思いますが、間にはさむ|Pi>という固有状態は実在するのか便宜上の存在なのか、実在するならそれへのジャンプはどこでおきているとするか...よくわかりません。測定値Piや出現頻度の重要性はもちろん大きいですが。 
蛇足^2
|Pf>を|Pi>に変えることは可能ですが、∫Φ(p)|p>dpに変えることはもちろん不可能です。

=甘泉法師=


  投稿者:甘泉法師 - 2008/08/12(Tue) 12:00  No.4974 
kafukaさん 甘泉法師です。

>ψ=Exp(P0x/ihbar) ですが、
>これは、境界条件をみたさない

「境界条件」の制限を吟味したく、その具体例を示していただいて議論しませんか。

PS 用語について
理想測定:@誤差が無く,かつ,A測定後の量子状態が,測定値を固有値とする固有状態である測定 と書いてみます。ふたつ要件がありますから場合としては4とおり  

A 誤差なし 状態変化なし  理想測定 第一種正確測定
B 誤差なし 状態変化あり  第二種正確測定
C 誤差あり 状態変化なし  第一種不正確測定
D 誤差あり 状態変化なし  第二種不正確測定

B,C,Dはいずれも「理想測定でない」とのひとつのカテゴリーですが、そのなかでBを区別して言いたい場合として用語 第一種、第二種をつかってみました。

  投稿者:hirota - 2008/08/12(Tue) 15:18  No.4978 
「回折格子と穴の大きさ」および「回折格子と穴の距離」を比率を保ったまま大きくしていけば、影響はいくらでも小さくなります。

  投稿者:甘泉法師 - 2008/08/12(Tue) 21:42  No.4985 
甘泉法師 - 2008/08/12(Tue) 10:55 No.4973を修正します。
------------------------
>回折格子で指定方向以外の波を遮って検出し、検出されなかった場合
主張1
ドームの中心に回折格子や磁気スペクトルメータをおいて、出てきた粒子をドーム内壁いたるところにはりつけたディテクターで検知するというのが実験基本配置。 これに手を加えある方向の屋根に開口穴をあける。 実験でどのディテクターでも粒子が検知されなければ、この穴をとおって外にいったことになり、観測前後で状態が変化しない観測が実現できる。
意見1(修正)
主張1は観測終了後の|Pf>→|次の状態>についてのもの。

状態 ∫φ(p)|p>dp:  装置と相互作用する前
 ↓ ジャンプ
状態|Pi> : 入力   回折格子入力側や磁場入口 
 ↓ 発展
状態|Pf> : 出力   回折格子出力側や磁場出口
 ↓ 主張1の議論
次の状態 : 出力状態の発展  ドームの外へ

理想観測は|Pi>の維持の話。これとは別。

PS #4973では私自身 |Pf>と|Pi>の区別を間違いました。

=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2008/08/12(Tue) 21:52  No.4986 
hirotaさん 穴の回折については御説のとおりです。ご指摘ありがとうございます。
=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2008/08/13(Wed) 17:48  No.4991 
甘泉法師様

「完全に閉じこめられた粒子」の系で、
運動量の理想測定をすると、P0という値が得られたとします。
波動関数で書くと
ψ=Exp(P0x/ihbar) ですが、
これは、壁Justのところで0でないので、解の条件をみたさない
したがって、この系には存在していないψである
→この系では理想測定はありえない
 または、
 理想測定の結果は意味がない(系と関係ないものなので)

ということです。

  投稿者:甘泉法師 - 2008/08/15(Fri) 21:41  No.4999 
kafukaさん 甘泉法師です。

>壁Justのところで0

より正しくは接続条件
ψ(井戸外)=ψ(井戸内)
ψ’(井戸外)=ψ’(井戸内中)
ψ”(井戸外)−ψ”(井戸内)=2mV/ hbar^2 V>0

であって、井戸の(箱の)口あたりでは染み出しや振動で全空間に広がるエネルギー固有関数があります。ご提案の「境界条件」は井戸の底あたりのエネルギーレベルだけをみたものです。
もしも いくら高いエネルギーについていもこの境界条件が正しいとするならば、井戸の外にある状態がエネルギーの固有関数では表せないことになり、エネルギーがおブザーバブルである、という大前提に反してしまいます。

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2008/08/16(Sat) 10:47  No.5005  <Home>
>井戸の底あたりのエネルギーレベルだけをみたものです
そうです。その付近での「運動量の理想測定」を問題にしています。
この付近に限ることによって「教科書での記述」に対応させる
ことができ、その場合、
状態の理想測定: 
射影仮説では「理想測定をすると固有値の内の1つが得られる」
=「理想測定をすると固有ベクトルの内の1つになる」
つまり、
|P1><P1|ψ> = |P1><P1|Σ[N]ψ(pN)|pN>
=ψ(p1) |P1>
ということですが、
このψ(p1)が「教科書の運動量の記述の値±P0」の1つ
δ(p-P0) 
であるとすると、
対応する ψ(x)は、Exp(P0x/ihbar) となり、
これは壁Justのところで0でないので、解の条件をみたさないです。
したがって、
固有ベクトルの集合と対応しない解=固有ベクトルの集合に含まれないもの
が得られてしまうのは、「射影仮説に違反する」
と思っているわけです。

僕の結論を言えば、
教科書での記述:
ψ(x)=Exp(P0x/ihbar)+Exp(−P0x/ihbar) は良いのですが、
それから、即
ψ(p)=δ(p±P0)
であると言ってしまうでしょうが、
このψ(p)では、「射影仮説に反する」
から誤りである
ことになります。

で、甘泉法師様の主張=連続固有値となる であれば、
固有値ベクトルの1つは、ψ(p)|p>dp で、dpが付きますから
矛盾はない と思います。

  投稿者:甘泉法師 - 2008/08/19(Tue) 18:17  No.5033 
kafukaさん 甘泉法師です。
>>井戸の底あたりのエネルギーレベルだけをみたものです
>そうです。その付近での「運動量の理想測定」を問題にしています。

1 設定
エネルギー固有関数の基底による恒等射影オペレータ  
Σ|E><E|+∫|E><E|dE=1
discrete continuous
=Σ1|E><E| + 〔 Σ2|E><E| + ∫|E><E|dE 〕=1
ここで
Σ1:
|E> ⊂ D {ψ(x):ψ(0)=ψ(a)=0,[0,a]で
 絶対連続(absolutely continuous)で(dψ/dx)∈L2(0,a)} TOSHIさんによりました。
 についての和 いわゆる壁への染み出しがない。
Σ2:
離散エネルギー値。 |E> ⊂でない D についての和 いわゆる壁への染み出しがある。

空間Dに収まる|ψ>については
 Σ|E><E|ψ> =1|ψ>=|ψ>  と恒等射影。
空間Dに収まりきらない|p>については
 Σ|E><E|p> ≠ |p>。

2 結論

考え方1  Dに属さないから|p>は存在しない。
考え方2  DとDの外の、全空間に|p>は存在する。Dに属することにこだわるのは人間の恣意。

フォロミーにスレッドを立て同じ問題意識を発言しました。
そちらもご覧いただければ諸兄のご意見もいただけれると存じます。

=甘泉法師=

  投稿者:TOSHI - 2008/08/19(Tue) 22:17  No.5034 
 TOSHIです。

 >甘泉法師さん

 先入観でしょうか?。。無意識なのでしょうが,まだ頭の中に座標空間と状態空間の混同があるような気がするのは私だけでしょうか?。。。

 Dは状態空間(今の場合L2空間)の部分集合で,x空間=座標空間の部分集合ではありません。それとも[0,a]も同じDで表現しているのかな?
                 TOSHI

  投稿者:冷蔵庫 - 2008/08/20(Wed) 00:19  No.5035 
>甘泉法師さん、TOSHIさん

甘泉法師さんの言われる空間Dというのは状態空間のことを指している
ように私には見受けられました。
繰り返し用いられている『空間』という語も状態空間Dを指されていますね。
甘泉法師さんのNo.5033での考え方2では混同されているように見えますが。
特に今の場合では誤解を招きやすいので、
『状態空間』、『座標空間』と言うべきだと思います。

それと細かいことですがもう一つ。
Dというのは
『座標表示の波動関数が然々の条件を満たす状態全体の集合』
ですので、
D = {∫dx|x>ψ(x): (ψ(x)の満たす条件) } 
という書き方が正しいです。

さて、|p>という状態がDに含まれないため、この状態の扱いをどうするか?
ということで以下私の考えを述べたいと思います。

まず状態|p>の時間発展について。
量子力学で扱う、つまり時間発展を記述できる状態は時間に依存する
シュレディンガー方程式の解です。
言い換えればハミルトニアンHの固有状態で展開される状態(にexp(iEt)をつけたもの)
で状態の時間発展が記述できます。
つまり|p>がHの固有状態で展開できなければ、|p>はそもそも
時間発展を考える対象ではないということです。

次に運動量pの観測について。
これが今まで一番問題だったわけですが、はっきりしたことは理論の上だけでは言えないと思います。
ただ一つの解釈としては普通に、
観測したい状態を|p>の固有状態で展開して、
その展開係数の絶対値の2乗を確率と解釈すればいいと思います。
今の系ではDに含まれない|p>は考えないと言いましたが、観測の際には、
測定器がpの固有状態に射影する役目を果たすので問題はないかと。

  投稿者:冷蔵庫 - 2008/08/20(Wed) 00:55  No.5036 
No.5035の続きです。

pの観測でDに含まれない状態を考えない姿勢を貫きたいなら、
このような考え方もできます。

まず問題を押さえておきましょう。
pをDの状態に作用すると一般にはDに含まれない状態になります。
具体的には、pは座標空間の並進の生成子なので、xが[0,a]内でだけノンゼロの
波動関数を[0,a]の外に出してしまうことができます。
したがってDに含まれる状態のみでpの固有状態を作ることは出来ません。
このことは|p>がDに含まれないことからも明らかです。

Dの基底を|1>,|2>,…,|n>,…と書きます。
そして今、<n|p|m>という行列によってpを定義しなおすことにします。
つまり、もともと、
p|m> = (Dに含まれる状態) + (Dに含まれない状態)
が成り立っていたわけですが、<n|p|m>だけを見ることで、Dに含まれない状態を見えなくします。
あとは<n|p|m>を対角化するような基底と固有値を、pの固有状態と固有値と読み替えればよいです。

ちなみにNo.5035の方法とはまったく違う結果になります。
このような方法でも期待値<ψ|p|ψ>がNo.5035のものと変わらないことに注意。

これらの違いは現実の物理では、その相手にしている対象の性質や、測定方法によると思います。
No.5035で理論上はっきりしたことは言えないと言ったのは、このようなことです。

  投稿者:甘泉法師 - 2008/08/20(Wed) 10:09  No.5040 
OSHIさん 冷蔵庫さん 甘泉法師です。

1 自発言5033の訂正:
>空間Dに収まる|ψ>については
> Σ|E><E|ψ> =1|ψ>=|ψ>  と恒等射影。
>空間Dに収まりきらない|p>については
> Σ|E><E|p> ≠ |p>。
において
(誤) Σ → (正) Σ1   Dへの射影です。

2 TOSHIさん
HPから引用させていただきました。ありがとうございます。
「空間」は状態空間のつもりですが、座標空間とまだ混同している部分があればご指摘ください、当方数学に不慣れなので。  Dは平たくいうと、井戸の外では存在確率が0である状態のすべてと理解しております。 間違っていればご教示深謝。

3 冷蔵庫さん
pの観測でDに含まれない状態を考えない姿勢についての考察興味深く拝読しています。
小さいことですが、ひとつコメントします。

>つまり|p>がHの固有状態で展開できなければ、

 Hはオブザーバブルなので展開できます。ただし、 
> Σ1|E><E| + 〔 Σ2|E><E| + ∫|E><E|dE 〕=1
 の左辺第1項の射影でなくすべての項を使います。

=甘泉法師= 

  投稿者:冷蔵庫 - 2008/08/21(Thu) 22:13  No.5043 
>No.5040 甘泉法師さん

>>つまり|p>がHの固有状態で展開できなければ、

> Hはオブザーバブルなので展開できます。ただし、 
> Σ1|E><E| + 〔 Σ2|E><E| + ∫|E><E|dE 〕=1
> の左辺第1項の射影でなくすべての項を使います。

ハミルトニアンによってはその固有状態で|p>を展開できないことがあります。
例えば有限の深さの井戸のシュレディンガー方程式の解でも、
一般には無限遠で運動量ゼロ、つまりexp(i0x)のように振舞う解は存在しません。

別の例では調和振動子が分かりやすいかもしれません。
この系には束縛状態しか解として存在しないため、無限遠まで伝達する|p>を、
ハミルトニアンの固有状態で展開することはできません。

これで甘泉法師さんのNo.4846の前半には答えたことになりますかね。
PS以下の問いにも近いうちにお答えしたいと思います。



さて、一応確認しておきたいのですが、
甘泉法師さんが以前から仰っているのは

『オブザーバブルである演算子の固有状態はヒルベルト空間の完全系を張る。
ハミルトニアンがオブザーバブルであることを要請する。
すると、ハミルトニアンの固有状態としては状態空間D内の状態だけでなく
、D外のものもないといけない。
Dに含まれない状態を除外するような境界条件はおかしい。』

という主張だと私は理解しています。
私の思い違いがありましたら、ご指摘ください。

  投稿者:甘泉法師 - 2008/08/22(Fri) 01:18  No.5045 
冷蔵庫さん コメントありがとうございます。

>例えば有限の深さの井戸のシュレディンガー方程式の解でも、
>一般には無限遠で運動量ゼロ、つまりexp(i0x)のように振舞う解は存在しません。

こういうのはどうでしょうか?
○○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○○
○○○○○○○○○○○○
----------------------------- Δ 井戸すれすれのエネルギーレベル
○○○○○○○○○○○○○ 
-------- ○○○○○---------- 0
○○○○|○○○○|○○○○○○
○○○○|○○○○|○○○○○○
○○○○|○○○○|○○○○○○
      井戸

遠方で 〜 exp^ipx p=√2mΔ→0

=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2008/08/22(Fri) 01:34  No.5046 
続きです。

調和振動子の固有関数
ψn=1/sqrt(2^n*n!*sqrt(pi))*hermiteH(n,x)*e^(-x^2/2)

Σ|ψn><ψn|=1から

|p>=Σ|ψn><ψn|p>

<ψn|p>=const ∫e^ipx/hbar ψn dx は計算できて、展開できそうですが....

=甘泉法師=

閑話休題: 調和振動子の固有状態の数は可算無限だが、|p>の数は非加算無限でないか
といわれると...わたしにはどうしたらいいかわかりません。どなたかご教示を。

  投稿者:甘泉法師 - 2008/08/22(Fri) 01:48  No.5048 
続きです。


>Dに含まれない状態を除外するような境界条件はおかしい。』

これより前はOKですが、これについては日本語の好みかもしれませんが

「境界条件」の名目で状態をDに制限することは不合理である。

のほうがいいいかもしれません。...眠くて頭がぼんやりしていますのでいい判断ではないかも

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2008/08/22(Fri) 08:27  No.5049  <Home>
甘泉法師様
>|p>の数は非加算無限でないか、、、
これは「狭い範囲のpについて、|p>を重ね合わせた状態を|p>の代わりに用いる」
というやり方で回避できます。
方法は、TOSHI様が書いておられます。
http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2008/02/post_8c47.html

  投稿者:TOSHI - 2008/08/22(Fri) 15:00  No.5051 
どもTOSHIです。

>kafukaさん。。

 宣伝はありがたいですが,問題となっていることとは関係ない記事を参照しないでください。。

 例えば大抵の連続関数は可算個の和のフーリエ級数でもいくらでも近似できるし,またフーリエ積分としても表現できます。
                   TOSHI

  投稿者:甘泉法師 - 2008/08/22(Fri) 15:10  No.5052 
kafukaさん TOSHIさん 
ヒルベルト空間の基底の濃度のお話し、ご教示ありがとうございます。

ベクトルを束にまとめるという作業わかりました。でも、これは右にいれるのか左か、束の太さはどうする、同じ?バラバラ? など「決め」を迫られそうで、できればそういう場面には陥りたくないなと思いました。

Webでみつけ面白く読んだ話を紹介します。濃度の話がでてきます。
●ヒルベルト空間便り――ラッカーの数学SFをめぐる座談会
http://www.ltokyo.com/ohmori/rucker/rr_panel.html

=甘泉法師=

  投稿者:kafuka - 2008/08/22(Fri) 15:17  No.5053 
>TOSHI様
どうも、全然わかってなかったようです。

<ψn|p>=const ∫e^ipx/hbar ψn dx は計算できて、展開できそうですが....
の方は、
>大抵の連続関数は可算個の和のフーリエ級数でもいくらでも近似できるし,またフーリエ積分としても表現できます。
で、いいと思うのですが、、、
甘泉法師様は、
|p>の数は非加算無限でないか、、、
と言われているので、
「狭い範囲のpについて、|p>を重ね合わせた状態を|p>の代わりに用いる」
でいいのでは、と思ってしまったのです。
ご迷惑をお掛けしました。

  投稿者:TOSHI - 2008/08/23(Sat) 01:57  No.5055 
 どもTOSHIです。

 フーリエ級数やフーリエ変換の細かい話をすると,もしもx空間が実は連続ではなく格子になっていてプランク定数hのように長さに下限Δxがあるなら,それがカットオフ(切断波長)になりλ>Δxなので運動量p=h/λに上限Λができるというのがあります。

 ファインマン積分の運動量表示∫f(p)exp(ipx)dpなどで積分範囲が±∞ではなくて±Λと切断=カットオフがあるので例えばくりこみの正則化などが近似ではなく正確な話になりくりこみの必要がなくなるというような興味深い話もあります。第3量子化の1つのアイディアですね。。(格子模型とかひも模型もそれですね。)

 この場合(下限Δxがある)にはψ(x)が∫±∞f(p)exp(ipx)dpを係数とするフーリエ変換でなく∫±Λf(p)exp(ipx)dpを係数とするフーリエ級数で表現できるようになるというのがミソですね。

 逆に箱に閉じ込められていてx空間に大きさの限りがある例えば0<x<LとカットオフLがあれば運動量pの方にΔp=2π/Lのような刻みがあって運動量固有値が離散的になるということで相補変数xとpは双対な関係ですね。。。

 余談失礼しました。         TOSHI

  投稿者:凡人 - 2008/08/23(Sat) 08:12  No.5056 
TOSHIさん
>(格子模型とかひも模型もそれですね。)
というのは、こちらの事でしょうか?
http://www.th.phys.titech.ac.jp/~ookouchi/main.pdf
ちなみに、以下の『はじめての<超ひも理論>』の中では、
http://shop.kodansha.jp/bc2_bc/search_view.jsp?b=1498134
川合先生らのグループは、格子ゲージ理論の次元数を拡張する事により、超ひも理論を導き出す事に成功した(IKKTモデル)という旨の事が記されているようです。

  投稿者:TOSHI - 2008/08/23(Sat) 12:44  No.5057 
 まいどTOSHIです。

 >凡人さん

 「格子上の場の理論」という新しい本を持ってはいますがイントロしか読んでいません。時空の離散化(量子化)を意図したものではなく微分を差分に変えれば非可算自由度が可算になって数値計算ができるという程度の話で計算の後に刻みΔx→0とするという理論のようです。最初からΔx=0としてΛ→∞とするのでなくΛ=∞で計算してからΔx→0とする極限の取り方の違いで答えが変わることもあるでしょうが,この理論がうまくいくのかどうか私はまだ知りません。

 「超ひも模型」というのは「ひも模型」と「超対称性」つまりボーズ粒子とフェルミ粒子が1対1に対応するという対称性を結合させたものですね。時空に刻みがあるというのとひもとか膜(ブレーン)というように粒子が点でなくて大きさ=拡がりがあるというのは違うことのように感じます。

 時空というフレーム(枠=容器)とその中身である物質粒子,あるいは物質場というのは別物であるというのは,重力場が時空の曲がりによる,そしてそれがグラヴィトンやグラヴィティーノ.etcの粒子によるという近代的な感覚によって止揚されたという話もあり,ひも理論ではひもの大きさと4次元より多い余剰次元の空間も考えるという複雑なからみあった話になっていてわけがわかりません。

 いずれにしても余談であり,知恵ではなくて,単に誰もが知っていて百科事典のような本を読めば得られる知識を知ったかぶりして薀蓄のように長々と語ると顰蹙を買いそうなのでやめます。
                    TOSHI

  投稿者:凡人 - 2008/08/23(Sat) 17:29  No.5058 
TOSHIさん、お世話になっております。
ところで、
>川合先生らのグループは、格子ゲージ理論の次元数を拡張する事により、超ひも理論を導き出す事に成功した(IKKTモデル)という旨の事が記されているようです。
は、
>川合先生らのグループは、格子ゲージ理論を定式化する為に用いた行列模型の次元数を拡張する事により、超ひも理論を導き出す事に成功した(IKKTモデル)という旨の事が記されているようです。
の誤りでした。多分。申し訳御座いませんでした。

ところで、不確定性原理が存在する原因は、「時空の離散化(量子化)」以外に思いつかないのですがいかがでしょうか?

  投稿者:TOSHI - 2008/08/23(Sat) 18:36  No.5059 
 TOSHIです。

 いやあ,凡人さんの書かれることは私には理解不可能なことが多くてちょっとわかりません。もし理解できたらコメントさせてもらいます。

 いろいろと勉強にはなりますが。。。。

                   TOSHI

  投稿者:凡人 - 2008/08/23(Sat) 21:57  No.5060 
TOSHIさん、申し訳御座いません。
>ところで、不確定性原理が存在する原因は、「時空の離散化(量子化)」以外に思いつかないのですがいかがでしょう?
もし「時空の離散化(量子化)」が本当ならば、時空はゼノンの「競馬場のパラドックス」を解消するために、「不規則な振動」をしなければならないのではないかと考え、このように述べさせていただいております。
そういえば、スナイダーの時空量子化論は未だ否定されていなかったと思うのですが、もし、理論的、或いは実験的に否定されたというような事をご存知の方がいらっしゃいましたら、お教え下さる様お願いいたします。

  投稿者:はっしー帝國 - 2008/08/24(Sun) 03:00  No.5061  <Home>
不確定性原理が存在する原因は、「時空の離散化(量子化)」というよりも、時空が連続でない事の方が本当ではないでしょうか?

だって量子力学の範疇内では慣性の法則でさえ成り立たないのですから。
非慣性といったらまた違うのです。加速系じゃないから。非連続ですよ。きっとこれですよ。

零点振動が不確定性の実相ではないでしょうかね。

  投稿者:凡人 - 2008/08/24(Sun) 10:09  No.5062 
>もー相手してあげないんだからぁー。
相手にしていただいて有難う御座います。
>零点振動が不確定性の実相ではないでしょうかね。
不確定性原理が存在するから零点振動が存在するのではないでしょうか?
私が知りたいのは、「不確定性原理が存在する原因」です。

  投稿者:はっしー帝國 - 2008/08/24(Sun) 11:48  No.5063  <Home>
もぉー、凡人さんは本当に解ってないなぁー。

不確定性原理はあくまで理論構築の上での原理であって、その実相は零点振動では?

不確定性原理とは、量子力学なる数学の出発点である「原理」ですよね。

つまり物理現象は、物理学が構築されるまえから、この宇宙とともにはじめからあったわけだし。

この宇宙は必然でできたのか、偶然か、計画的か、不本意かはわかりませんが、その根本そのものを理解することは出来ないですよね。

物理学って、後付けの説明なので、宇宙とか自然の存在の意味を解明する手段ではないと思うし、聖書とか経典、聖典の代わりの解釈をあたえるものでもないです。

その存在意義を知る事は不可能です。

知ることができるのは天体の運動と地上の落下がおなじシステムであるということ、みたいな?
でも物理学ってすごくふかくその理解を深めていますよね。

その理解の精度を高める事が物理学では?

  投稿者:hirota - 2008/08/24(Sun) 13:58  No.5065 
不確定性原理の理由なんて、「波だから」で良いんじゃないの?
局在した波束を作るには広い周波数 (運動量) 帯域が必要なんだから。

  投稿者:凡人 - 2008/08/24(Sun) 16:34  No.5066 
はっしー帝國さん
>その理解の精度を高める事が物理学では?
「理解の精度を高める」為には、また、理解を更に深めるためには、根本的な問いかけを行う必要はないでしょうか?

  投稿者:はっしー帝國 - 2008/08/24(Sun) 17:46  No.5067  <Home>
凡人さんに今必要なのは、根本的問いかけではなく、イドラから少しでも開放される事。

不確定性原理は存在ではないです。考え方の出発点ですよね。

あ、いつのあにかスレとは関係なく凡人さんにだけ反論のレスをつけてしまった。

し、しまった…

  投稿者:凡人 - 2008/08/24(Sun) 22:51  No.5069 
はっしー帝國さん
>不確定性原理は存在ではないです。考え方の出発点ですよね。
私は、不確定性原理は、量子力学における「考え方の出発点」という側面だけではなく、これまでの量子力学的な実験結果から導き出された根源的事実という側面も持っているのではないかと思っています。
私はこの場では、「不確定性原理」は後者の意味で使用しているつもりです。
また、以下では、「原理」という言葉には二つの側面がある事が示されています。
http://dic.yahoo.co.jp/dsearch?p=%E5%8E%9F%E7%90%86&enc=UTF-8&stype=0&dtype=0&dname=0ss

>凡人さんに今必要なのは、根本的問いかけではなく、イドラから少しでも開放される事。
イドラから少しでも開放されるためには、根本的問いかけが必要では無いでしょうか?

  投稿者:はっしー帝國 - 2008/08/24(Sun) 23:18  No.5070  <Home>
原理の二つの意味、ひとつは理論の仮定が昇格して原理になったもの、例は相対性原理。もう一つは原則、ルールという意味で使われるもの、例は多数決の原理。

もちろん物理学は前者ですよね。

そもそも不確定性原理はハイゼンベルクの思考実験から生まれたものではないでしょうか?それは測定の精度の限界の問題と測定の反作用の問題ですよね。

>これまでの量子力学的な実験結果から導き出された根源的事実という側面も持っているのではないかと思っています。

「量子力学」はあくまで理論体系の名前です。
「物理学的な実験結果」で量子力学でしか説明できないものということですよね。
不確定性原理という考え方の出発の延長であると言うだけの事だと思いますね。

つまり「後者の意味」というのは存在しないと思いますね。たぶん。

ただの「言葉の綾」「あとづけの説明」です。

話を複雑にして、自分で迷っているだけです。
根本的な問いかけは、ただの迷いの証です。

  投稿者:冷蔵庫 - 2008/08/25(Mon) 18:11  No.5078 
>No.5048 甘泉法師さん

>「境界条件」の名目で状態をDに制限することは不合理である。

私は不合理だとは思わないのですが、これに関して1つ質問させてください。
場合によってはハミルトニアンの固有状態空間の一部を射影で落とすことがあります。

例えば、周期的境界条件をおく場合。
自由粒子のハミルトニアンならば、その固有状態は|p>です。
周期Lとして周期的境界条件を課すと、p=2πn/L(nは整数)のもの以外落ちます。

もう1つ例を挙げると、多粒子状態もそうです。
フェルミオンの同種の2粒子系を考えると、状態は粒子の位置を表す状態ベクトルと
スピン状態ベクトルの直積で書けます。
シュレディンガー方程式の解としては、2粒子の入れ替えに関して対称なもの
と反対称なものがあります。
フェルミオンの統計性より、射影によって前者を落とし後者を残します。

明らかに射影で残った状態ベクトルは、もともと考えていた状態空間を張れません。
このような射影について甘泉法師さんはどのようにお考えでしょうか?


P.S.ハミルトニアンの固有状態の張る空間と{|p>}が等しいかどうかについては後ほど。

  投稿者:凡人 - 2008/08/25(Mon) 21:51  No.5080 
はっしー帝國さん
http://homepage2.nifty.com/einstein/contents/relativity/contents/relativity3060.html
を読むと、並木先生も「不確定性原理の存在」という言葉を使用されている事がわかりますが、如何でしょうか?
因みに、この箇所は該当の書籍にて確認済みです。

  投稿者:ASA - 2008/08/26(Tue) 07:21  No.5085 
>P.S.ハミルトニアンの固有状態の張る空間と{|p>}が等しいかどうかについては後ほど。
H∝P^2ですから
 (P-p0)(P+p0)ψ=0
ψは(P-p0)と(P+p0)との解の線形結合
張る空間は線形結合で表現されるので、
両者の空間は{|H>}、{|p>}は等しいことがわかる。

甘泉法師さんの回答は、冷蔵庫さんの質問の答えになってません。

甘泉法師さんは気づいていないですけど、
>|p>=Σ|ψn><ψn|p> 
 pのスペクトルが連続とするとこれは数学的に変。

 時間を含めない配位のみでの部分空間の表記としてjを用いると
|pj>=Σ|ψn><ψn|p>が正しく、
射影によって落とされます。
(時間を含めない空間で考えることに意味があるかは棚上げします)

 甘泉法師さんは、量子力学体系の理解が不足しているので議論が成立してないように感じます。

  投稿者:kafuka - 2008/08/26(Tue) 11:43  No.5091 
冷蔵庫様
僕は、もっともっと「量子力学体系の理解が不足」していますが、
学びたいので、恐縮ですがお付き合い下さい。
http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/57815725.html
にて、
運動量表示でのp^nψ(p)から、座標表示でのp^nψ(x)を導くこと
また、その逆も導くことが できました。
ただし、その前提は、

完全性定理:|ψ>=∫dp|p><p|ψ>=∫dpψ(p)|p>
両辺に<x|をかけると、
<x|ψ>=∫dpψ(p)<x|p>
=ψ(x) です。
で、<x|k>=exp(ikx) なので(この証明は「やさしい量子力学」p.206)
=ψ(p)の逆フーリエ変換、ただし p=hbar k

なのですが、
>一部を射影で落とす
と、完全性が言えなくなると思いますので、
そうなると、上記の「ψ(x)=ψ(p)の逆フーリエ変換」 
ということが出てこなくなります。

そう理解していいでしょうか?

  投稿者:ASA - 2008/08/26(Tue) 12:37  No.5092 
kafukaさんNo.5091
ASAです。
自分宛のコメントと受けとりました。

 連続と離散化を区別してください。

離散化しているということは何らかの制約があるということで{|ψn>}は、必ず、制約のない自由状態の{|p|}より小さいです。

一般に連続スペクトルの{|p>}は、{|ψ>}と等しいか、または、より大きい。

ようするに|Pr><Pr|という射影の器としての大きさが問題で、
大は小を兼ねるが、小は大を兼ねないので、必ず取りこぼしが発生するということです。

  投稿者:冷蔵庫 - 2008/08/26(Tue) 16:05  No.5102 
>No.5091 kafukaさん

ASAさんの回答もkafukaさんの質問の答えになっていないと思いますが。

まず、∫dp|p><pは、射影で一部を落とした後では定義されませんね。
(積分範囲は全実数にとっています)
すべての|p>が射影によって生き残るわけではないので。
ただし、x、p表示の波動関数に意味がないわけではありません。
波動関数とは状態ベクトルを|p>や|x>で展開した係数をみているだけなので。

|ψ>を射影演算子の作用で不変なある状態とします。
すなわち、射影演算子をPrとしてPr|ψ>=|ψ>です。
射影を行う前の状態空間を考えれば、∫dp|p><p|=1 を|ψ>に作用させて、
|ψ>を|p>で展開できます。
そして∫dp|p><p|ψ>は明らかに射影で不変です。

すべての|p>が射影で残るわけではないですが、|ψ>を書き換えただけのこの状態
が残るのは当然ですね。

ψ(x)とψ(p)がフーリエ変換でつながるのも明らかです。

また、p^nψ(p)は、∫dp|p><p|p^n|ψ>を見ると、これが射影で不変かどうかは
一般にはわかりません。
したがって一般にはp^nψ(p)自体が定義されないことになります。

  投稿者:冷蔵庫 - 2008/08/26(Tue) 16:22  No.5104 
甘泉法師さんのコメントへの返事を書いていきます。

>No.5045,5046 甘泉法師さん

>こういうのはどうでしょうか?

>遠方で 〜 exp^ipx p=√2mΔ→0

この理屈で言えば、{|p>}の中でp=0の状態がなくても完全系が張れることになりますね。

>Σ|ψn><ψn|=1から

これが1になることはどこからでてきたのでしょうか。
あらゆる状態が|ψ_n>で展開できることを仮定していませんか?


|p>の時間発展の記述が調和振動子で、うまくいかないことをもう1つ。

id/dt|ψ> = H|ψ>

これより、|ψ>から微小時間冲経ったあとの状態は(1-iH冲)|ψ>です。
この状態は普通は2項目が十分小さいので、Hのエルミート性からノルムが|ψ>
のそれと等しくなっています。
これは時間発展による確率の保存を表しています。

次にxの波動関数exp(ikx)を調べます。
調和振動子、H = x^2 + p^2として、時間冲後の波動関数は、

exp(ikx) - i(x^2 + k^2)冲 exp(ikx)

ところがこの2項目は冲をどんなに小さくとっても、それに対して十分大きなxで
無視できないほど大きくなります。
つまり、無限小の時間発展が定義できないことになります。

一方、|ψ_n>による展開で書ける状態ならそれも定義できますね。

  投稿者:甘泉法師 - 2008/08/26(Tue) 16:58  No.5105 
冷蔵庫さん
Δ=0、エネルギーが井戸口と同じ、でよろしいと存じます。調和振動子のエネルギー(ハミルトニアン)はオブザーバブルであると思い、そうしました。
=甘泉法師=

  投稿者:ASA - 2008/08/26(Tue) 17:13  No.5106 
冷蔵庫 さんNo.5102
>No.5091 kafukaさん
が何を疑問に思ったのか、その本質的な部分は良く分からないので、後はお任せします。

>∫dp|p><pは、射影で一部を落とした後では定義されませんね。
 これはどうなんでしょうね。まず|p>に対して完全系を要請する流儀がありますから、次にこの完全系に対して射影演算子を定義すると言う流れです。(異なる流儀があるということが理解できないとkafukaさんはかえって混乱するような気がします)

>p^nψ(p)は、∫dp|p><p|p^n|ψ>を見ると、これが射影で不変かどうかは一般にはわかりません。
 一旦ψ(p)が定義されたなら、Pr^n=Prでかつp表現でのp^は、ただの数ですから、pの射影でp^nψ(p)は不変だと思います。(これが kafukaさんの疑問の核かどうかはわかりませんが)

  投稿者:甘泉法師 - 2008/08/26(Tue) 18:01  No.5108 
冷蔵庫さん  甘泉法師です。 

甘泉法師 - 2008/08/22(Fri) 01:34 No.5046
-------------
調和振動子の固有関数 ψn=1/sqrt(2^n*n!*sqrt(pi))*hermiteH(n,x)*e^(-x^2/2)
<ψn|p>=const ∫e^ipx/hbar ψn dx は計算
-------------
規格化に注意を払うとしてもこの積分は収束しそうです。そして初期が運動量の固有状態である状態の時間変化は
id/dt|ψ> = H|ψ> を積分して
|ψ(t) > = e^-iHt |ψ(0)> = Σe^-iHt|ωn><ωn|ψ(0)>
=Σexp^ (-iωnt) |ωn><ωn|ψ(0)>
この式の<ωn|ψ(0)>に上記計算をいれれば求められるのではないでしょうか。

ご提案の 1 - iHt のお話を理解したく、
|ψ(t) > = e^-iHt |ψ(0)>
      = ( 1 - iHt - 1/2(Ht)^2 + .... )|ψ(0)> で
|ψ(0)>のどういうところから「普通は2項目が十分小さい」か「無視できないほど大きくなります。」のふるまいの違いが生じるのかわからず、教えていただければ助かります。
=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2008/08/26(Tue) 18:38  No.5109 
冷蔵庫さん


周期的境界条件とおっしゃるのはポテンシャルが周期的であることと解し、
V(x)=ΣVk e^ikx  k=2πn/L フーリエ級数展開 V(x)の実を保証するため Vk*=V-k
運動量表示のシュレジンガー方程式
( p^2 / 2m - E )φ_E(p) + Σ Vk φ_E(p-k) = 0
この固有値方程式から φ_E (p) を求めて、Eの連続離散にしたがって
{ Σ and/or∫dE } |φ_E (p)><φ_E (p)| = 1
をつかって展開、と思います。
こういう計算は不慣れです。昔ZIMANNの物性理論の教科書でやった記憶がかすかにあります。

>p=2πn/L(nは整数)のもの以外落ちます。
とは、|φ_E (p)> が δ(p-2πn/L)のように離散になるということでしょうか。
よく教えていただければ幸いです。


フェルミオンの統計性はますます不得意です。わからないながら...お話にはハミルトニアンも運動量もでてこないように見ましたが、前までの例とはぜんぜん違う話なのでしょうか。教えていただければ幸いです。

=甘泉法師=

  投稿者:冷蔵庫 - 2008/08/26(Tue) 18:42  No.5110 
>No.5106 ASAさん

>>∫dp|p><pは、射影で一部を落とした後では定義されませんね。

定義されないというのは言いすぎかもしれませんね。
というより定義はできます。
ちょっといい言葉が思いつかないので保留させてください。
kafukaさんの返事も聞いてみたいと思います。

>>p^nψ(p)は、∫dp|p><p|p^n|ψ>を見ると、これが射影で不変かどうかは一般にはわかりません。
> 一旦ψ(p)が定義されたなら、Pr^n=Prでかつp表現でのp^は、ただの数ですから、pの射影でp^nψ(p)は不変だと思います。(これが kafukaさんの疑問の核かどうかはわかりませんが)

例えばパリティ偶の状態への射影を考えましょう。
射影後に許される状態の波動関数ψ(p)は偶関数になります。
このときp^n ψ(p)はnが奇数のとき奇関数になっているので射影で生き残りません。

>No.5108 甘泉法師さん

>|ψ(0)>のどういうところから「普通は2項目が十分小さい」か「無視できないほど大きくなります。」のふるまいの違いが生じるのかわからず、教えていただければ助かります。

まずいきなりexp(-iHt)のように有限の時間発展を求めようとすると、
甘泉法師さんが書かれているように、expをHのベキ展開で書くことになります。
Hはx^2とp^2を含むので、波動関数exp(ikx)へのH^nの作用はよくわかりません。
そのためexpの収束性もよくわからないため、無限小の時間発展を考えました。
有限の時間発展が定義され得るならば、無限小のものも定義されているはずです。

私が「普通は」と言っているのは、|ψ(0)>のHの固有状態による展開で、
有限のエネルギーの状態のみで書ける場合です。
このとき時間冲を小さく取ることで2項目を十分小さく取れます。
一方、exp(ikx)を展開しようとするとどうしても無限大のエネルギーの状態が必要になります。
ポテンシャルの束縛から逃れ無限遠に行くには無限のエネルギーが必要だからです。
Hが無限大ということは2項目が大きくなりすぎるということです。

  投稿者:kafuka - 2008/08/26(Tue) 18:51  No.5111  <Home>
冷蔵庫様 No5102

>∫dp|p><p|は、射影で一部を落とした後では定義されませんね。
僕もそう思っています。
完全性定理は、
「全方向の射影を全て集めたものは、元と一致する」と理解しています。
つまり |ψ>=∫dp|p><p|ψ>
それで、波動関数の定義から、=∫dpψ(p)|p>
両辺に<x|をかけると、
ψ(x)=<x|ψ>=∫dpψ(p)<x|p> です。
=ψ(p)の逆フーリエ変換 が言えます。
しかし、これは、
|ψ>を射影演算子の作用で不変なある状態
の場合にしか適用できない(一部を落としたら適用できない)
ということでいいですか?

  投稿者:冷蔵庫 - 2008/08/26(Tue) 19:07  No.5112 
>No.5105 甘泉法師さん

>Δ=0、エネルギーが井戸口と同じ、でよろしいと存じます。

Δが丁度ゼロになる解は井戸の幅、高さが特別な場合を除いて存在しません。
実際に計算して確かめてみるといいと思います。

>調和振動子のエネルギー(ハミルトニアン)はオブザーバブルであると思い、そうしました。

甘泉法師さんの仰る「オブザーバブル」の定義は
「その固有状態ベクトルが、ヒルベルト空間の完全系を張るような演算子」でしたね。
これはいいのですが、この「ヒルベルト空間の完全系」というのを
甘泉法師さんは{|p>}と同一と思われています。
(私はそれは違うと思い書き込みを繰り返しているわけですが)
そうでない例を私が持ち出した際に、Hが「オブザーバブル」だからということ
を使って反論するのは反論になっていないと思います。

  投稿者:ASA - 2008/08/26(Tue) 19:14  No.5113 
kafuka さん No.5111
横から口出してごめんなさい。
射影といっても色んな射影があるわけです。
これの理解はよろしいでしょうか?
(器の例えは、まずかったかも)

コンプリートセットpでの射影では、普通|ψ>は変わらないとされてます(|ψ>の表現を変えるだけ。例えるなら座標軸の変換)

 状態ベクトル全体のなすヒルベルト空間において、その部分空間をHiとして、それに対応する状態Ψiが存在する場合、ΨiはHiへの射影であり、Ψに対し、PrΨ=Ψiとなるような部分空間Hiへの射影というのもあります(例えるなら、3次元物体の2次元平面への投影)。

  投稿者:kafuka - 2008/08/26(Tue) 19:18  No.5114  <Home>
冷蔵庫様

それから、
p^ψ(x)=-ihbar∂/∂x ψ(x)=-ihbar∂/∂x{ψ(p)の逆フーリエ変換} が成り立つなら、
フーリエ変換の結果をxで微分することは、変換前のものにkをかけることと同じなので、
1/(-ihbar) p^ψ(x)=∫dk{k ψ(k)}exp(-ikx) ただし、p=hbar k
また、xでのn階微分は、フーリエ変換前のものにkのn乗をかけることなので、
p^n ψ(x)は、
1/(-ihbar)^n p^nψ(x)=∫dk{k^n ψ(k)}exp(-ikx) ただし、p=hbar k

として表すことができる。
というのは、合っていますでしょうか?

  投稿者:kafuka - 2008/08/26(Tue) 19:37  No.5115  <Home>
ASA様

>コンプリートセットpでの射影では、、、
で、わかりました。
的確なご説明、ありがとうございます。

  投稿者:murak - 2008/08/26(Tue) 20:29  No.5118 
急に展開が速くなったので、十分読めていない部分もありますが、冷蔵庫さんのおっしゃっていることで、ちょっとわからない(私が分かっていない?)部分があるので、少し確認させて下さい。

例えば、一次元調和振動子の系で、|ψn>をハミルトニアンHの固有状態からなる系とするとこれはヒルベルト空間L^2(R)の完全系をつくるので、演算子 Σ_n|ψn><ψn| は恒等演算子1と考えられ、同様に運動量演算子pからつくられる∫dp|p><p|も(pがL^2(R)では自己共役なので、スペクトル分解と対応する単位の分解が存在して)恒等演算子と考えられます。

なので、このとき|ψn>の|p>による(擬似的な)展開|ψn>=∫dpψn(p)|p>が存在して、これがいわゆるψnの運動量表示を与えるわけですが、同様に勝手なL^2(R)の元φに対して|ψn>による展開|φ>=Σ_iφi|ψi>が存在します。ただし、|p>そのものに対しては(||p>|=∞なので)Σ|ψn><ψn|p>は発散して、展開は出来ないと思われるのですが、どうでしょうか?
(ただし、甘泉法師さんが言われるように<ψn|p>は存在して計算できると思いますが)

勿論、射影演算子がある状態空間からその(真の)部分空間への射影になっている場合は、一般に元の状態空間の元に射影演算を施したものからは、何等かの状態が欠落してしまいます。多分このスレッドの元々の問題に対する冷蔵庫さんのアプローチは、この文脈でなされているのだとは思いますが。

(とりあえず)

  投稿者:ASA - 2008/08/26(Tue) 21:08  No.5119 
murak さんNo.5118

えーと、以下のロジックが不明なので詳しく解説して下さい。
>(||p>|=∞なので)Σ|ψn><ψn|p>は発散
<ψn|p>が有限確定値an(p)を持つなら、必ず発散するとはいえないと思います。(p=0やp→∞で目算すると明らかに発散してない)

  投稿者:murak - 2008/08/26(Tue) 23:17  No.5121 
> #5119 ASAさん

まず、p の値に拠らず ||p>|^2 = <p|p> = ∞ なのはいいですよね。

もし、 |p> が {|ψ_n>}_n で

   |p> = Σ|ψ_n><ψ_n|p> = Σ a_n |ψ_n>

と展開できるとするなら、当然

   <p|p> = Σ<p|ψ_n><ψ_n|p> = Σ|<ψ_n|p>|^2 = Σ|a_n|^2

ですが、上に見た事より Σ|a_n|^2 = <p|p> = +∞ なので、(複素)級数Σa_nは数列空間l^2において発散します。正規直交基底である{|ψ_n>}は状態空間としての関数空間 L^2(R) と数列空間 l^2 の同型対応を与えるので、級数Σa_nの(l^2での)収束発散と関数列Σa_n|ψ_n>のL^2(R)での収束発散は同じ事になり、Σ|ψ_n><ψ_n|p> は(pの値が何であれ)発散ですね。

  投稿者:ASA - 2008/08/27(Wed) 07:36  No.5126 
murak さんNo.5121

数学は苦手なので良く分かりませんが、|p>も発散しているとの認識ですか?

>Σ|ψ_n><ψ_n|p> は(pの値が何であれ)発散ですね。
p=0での具体的計算とつき合わせて説明してください。
p=0で|p>=e^(ipx)=1なので、明らかにΣ|ψ_n><ψ_n|p>=1です。


前に器の例えを示しましたが、|ψ_n>は|p>に対して完全ではありません。|ψ_n>はl^2ですが|p>はl^2でないので、より広い関数スペースを張ってます。

つまり、murak さんお得意の勘違いにより
>|p> = Σ|ψ_n><ψ_n|p> = Σ a_n |ψ_n>
を前提にしたのが間違いです。

以前示したように、|pj> = Σ|ψ_n><ψ_n|p> = Σ a_n |ψ_n>
が正しい。
 ようするに射影で取りこぼしが発生するいい例と考えてます。

  投稿者:ASA - 2008/08/27(Wed) 08:19  No.5128 
補足
大は小を兼ねるといっても大きすぎるのは困り者で、何らかの制約がいります。

>同様に運動量演算子pからつくられる∫dp|p><p|も(pがL^2(R)では自己共役なので、スペクトル分解と対応する単位の分解が存在して)恒等演算子と考えられます。
つまり"∫dp|p><p|=Pr"を認めるなら、
Pr^2=|p><p||p><p|=|p>{<p|p>}<p|=Pr
より
><p|p> = ∞ なのはいいですよね。
とするのは、変で
<p|p> =1と規格化できるものとして扱うと思います。
(そうしないとロジックに一貫性がないことになりますね)

  投稿者:甘泉法師 - 2008/08/27(Wed) 09:24  No.5129 
冷蔵庫さん

>実際に計算して確かめてみるといいと思います。

計算は面倒なのでとりあえず今机上にある新版 量子論の基礎 清水明著をみたら境目E=V は 非束縛状態のほうにはいっていました。ますます億劫になってしまい、恐縮ですが計算のさわりを教えていただければ、とむしのいいお願いをいたします。
=甘泉法師=

  投稿者:TOSHI - 2008/08/27(Wed) 11:48  No.5131 
 どもTOSHIです。

ASAさんの

><p|p> = ∞ なのはいいですよね。
とするのは、変で
<p|p> =1と規格化できるものとして扱うと思います。
(そうしないとロジックに一貫性がないことになりますね)

 の通りだと思います。

 前にもそれとなく書いたけど,−L/2<x<L/2でだけ<x|p>=Aexp(ipx)で,それ以外では<x|p>=0 ,A=1/√Lとおけば,<p|p>=∫<p|x><x|p>dx=1であり,もちろん<x|p>∈L^2 で,しかも(−id/dx)<x|p>=p<x|p>も−∞<x<∞で成り立ちます。

 実は固有値となるpは境界条件が周期的(連続性を犠牲)でもそうでなくても(Aexp(ipx)ではなく√2Asin(px)ですが連続)でも運動量pという物理量を定義可能ならpはp=p_n=±nπ/Lのような離散的なもの(可算個)のみとなって級数によって完全系を張るようになります。

 有限範囲でだけゼロでない閉じ込められた粒子状態は|ψ>=Σ|p_n><p_n|ψ>と展開されてその係数は<p_n|ψ>=∫<p_n|x><x|ψ>dxですが,被積分関数は−L/2<x<L/2以外ではゼロですから普通のフーリエ級数の係数もこの有限範囲の周期関数なのでふつうの話になりますね。

 まあ,L→∞とすれば全空間を定義域とするあまり特異でない関数ならこの級数でいくらでも近似できます。前にも書きました。。
                   TOSHI


  投稿者:murak - 2008/08/27(Wed) 13:52  No.5136 
とりあえず、今はヒルベルト空間として座標変数xの範囲が -∞<x<+∞ のL^2(R)で考えています。(元々の問題の有限区間[a,b]に閉じこめられた粒子の話は今は置いています)

で、(-∞,+∞)の区間で考えたとき、|p>の座標表示であるexp(ipx)はそもそもL^2(R)には入っていないので、それをL^2(R)の正規直交基底であるψ_n(|ψ_n>と同一視)で展開するのは元々無理な話で、L^2の意味では Σ_n|ψ_n><ψ_n|p> という級数は(L^2(R)の元には)収束しない。その意味で発散と書きましたが、書き方があまり良くなかったかもしれません。要はヒルベルト空間L^2(R)の中では|p>=Σ_n|ψ_n><ψ_n|p>という展開は出来ないという意味です。

ただし、|p>や|ψ_n>の座標表示を考えて、Σ_n|ψ_n><ψ_n|p>という級数(に相当する関数列)を各点x毎に考えてゆけば、例えばp=0ならそれは「各点毎に」1に収束するという事はあり得るでしょう(確認していませんが)。ただ、そうしたものも{|ψ_n>}による展開として許すならば、その場合は射影Σ_n|ψ_n><ψ_n|は|p>を取りこぼしていないという事になりそうです。一方、{|ψ_n>}による展開をあくまでL^2の意味でのものにこだわるならばそれは|p>を展開できない。(つまり射影Σ_n|ψ_n><ψ_n|は|p>を取りこぼす。)

ASAさん流に言えばこれは結局どの流儀で考えているのかという事になるのかもしれませんが、冷蔵庫さんは元々前者(つまりΣ_n|ψ_n><ψ_n|は|p>を取りこぼす)の様に考えておられると思っていたのですが、ちょっと良くわからなくなってきたので確認したかったというのが、#5118の意図です。(#5118の書き込みは、急いでいて中途半端なものになっていてすみません。)

  投稿者:甘泉法師 - 2008/08/27(Wed) 15:04  No.5138 
投稿者:甘泉法師 投稿日:2008/08/27(Wed) 09:24 No.5129

冷蔵庫さん
前野先生の講義 http://homepage3.nifty.com/iromono/kougi/qm/qm2_9.html
で非束縛状態の井戸内外の接続の計算が詳しくかかれていてたとえば井戸内で 偶関数 振幅1 なら 外の振幅は
C = (1/2)(cos kd +i(k/k')sin kd)
D = (1/2)(cos kd -i(k/k')sin kd) 
で存在。たしかにk'→0でk/k'は発散しますが、問題はないのだろうと考えます。いかがでしょうか。
=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2008/08/27(Wed) 17:10  No.5141 
投稿者:甘泉法師 投稿日:2008/08/26(Tue) 18:38 No.5109

冷蔵庫さん
波動関数ψもフーリエ級数に ψ=ΣψK exp^iKx と展開できて離散スペクトルのように見えます。
しかしブロッホの定理から ψk(x+L)= e^ikL ψk(x)
の関係式にある”波数”kは連続値をとり、これも加味したフーリエ級数展開は
http://www.px.tsukuba.ac.jp/~onoda/cmp/node42.html の(3.5.51)のようになり
K=2π/L n と 2π/L ずつとびとびなのと対照的に、kはその持つ意味から -π/L <k < π/L におさまり、
k+Kは連続値をとると見えます。いかがでしょうか。物性のプロの方に教えていただきたいです。
参考 前野先生の講義 量子力学2006年度第9回
http://www.phys.u-ryukyu.ac.jp/~maeno/cgi-bin/pukiwiki/index.php?%CE%CC%BB%D2%CE%CF%B3%D82006%C7%AF%C5%D9%C2%E89%B2%F3
=甘泉法師=


  投稿者:甘泉法師 - 2008/08/27(Wed) 17:23  No.5142 
冷蔵庫さん - 2008/08/26(Tue) 19:07 No.5112
>反論になっていないと思います。

そうですね。私はこう計算できると思う、という表明にすぎず、「そうでない例」を吟味した反論になっていないこと、おっしゃるとおりです。力及ばず。
=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2008/08/27(Wed) 17:43  No.5143 
冷蔵庫さん - 2008/08/26(Tue) 18:42 No.5110
>Hが無限大ということは2項目が大きくなりすぎるということです。

エネルギー固有状態により Σ|ωn><ωn|=1 を使った展開 Σ|ωn><ωn|ψ0> について 
・「普通」とは  ある有限なNまでの和で終わるとき 
・「2項目が大きくなりすぎ」とは ある有限なNまでの和で終わらない場合 

時間発展させて |ψ(t)>=Σ|ωn> e^iωnt <ωn|ψ0>
いくら大きなnの値の項でも、振動が激しくなるだけで、異質の悪さをするようには見えないのですが...

=甘泉法師=

PS
|ψ(t) > = e^-iHt |ψ(0)>
      = ( 1 - iHt - 1/2(Ht)^2 + .... )|ψ(0)>.
微小時間にあてはめるにはtをΔtとよみかえてください。
-iHtが「大きくなりすぎ」ならその次の - 1/2(Ht)^2 は「もっと」大きくなりすぎ そして次の項は もっともっと... とますます収拾のつかないことが想像されますね。

  投稿者:冷蔵庫 - 2008/08/27(Wed) 18:17  No.5145 
私が一度に色々なことを言いすぎていることで、混乱される方もおられると
思うので、自分の言いたいことをまとめてみます。

甘泉法師さんは以前から、
「|x>や|p>で展開できる任意の状態は、ハミルトニアンの固有状態で展開できないといけない。(不合理である)」
と主張されています。

私の主張はその逆で、
「系の取りうる状態のなす空間は、ハミルトニアンの固有状態
(射影で落とす場合はその一部)の一次結合全体として定義される。
ゆえに{|x>}や{|p>}と一致する必要はない。」
というものです。

そして、甘泉法師さんの主張に対する反例として、

1 実際にHの固有状態の張る空間が{|p>}とならない例
2 系の状態空間が、Hの固有状態の張る空間ではなくそれを射影した空間である例

をそれぞれ挙げています。
この2つは直接には関係のない別々な話です。

  投稿者:冷蔵庫 - 2008/08/27(Wed) 18:49  No.5146 
>No.5109 甘泉法師さん


私の説明不足で申し訳ないのですが、私が言いたかったのは、周期的なポテンシャルの場合ではありません。
私の言いたい周期的境界条件は、たとえば空間のコンパクト化に伴って課されます。
空間のコンパクト化は、物性よりは素粒子物理の分野でよくでてきます。
超弦理論では時空が10次元ですが、それを現実の4次元に落とすためにコンパクト化を
するという話は聞いたことありませんか?

具体的には、空間1次元の点粒子の場合。
(-∞,+∞)の無限に広がった空間のかわりに[0,2πR]の有限区間を考えます。
x 〜 x+2πR で空間の同一視をすれば、空間を長さ2πRの円周にコンパクト化したことになります。
同一視というのはx座標を(-∞,+∞)で定義しておいて、
x=3という点を見るときに、3±2πR,3±4πR,…という点を同じ点とみなすということです。
x=0からLに右向きに進んでいき、Lを超えるとまた0から出てくるというような感覚です。

そして、2πR並進した点は同じ点なので、このとき状態が満たさなくてはいけない条件は、
exp(2πiRp)|ψ> = |ψ>
です。
Blochの定理のような位相の変化は許されません。

  投稿者:ASA - 2008/08/27(Wed) 19:06  No.5148 
冷蔵庫さん議論の流れ整理したのですね。(見習いたいと思います。)

混乱したり他の議論を呼びそうなのが{|p>}に関してですね。
{|p>}には触れないほうがよさそうです(事実kafukaさんやmurakさんのコメントが入りました)。
冷蔵庫さんと甘泉法師さん双方への提案ですが、議論が発散気味なので話題はNo.5145の例2に集中させてはいかがでしょうか。

補足、ASAとのやり取りで想定した冷蔵庫さんの流儀(違ってたら修正してください)

状態空間として最も広い空間{|ψo>}をまず最初に想定する。
 次に方程式、境界条件、系の対称性やらなどの物理的条件に合わせて次々絞込み(射影)を行い最終的に系に即した物理的状態ψfを得る。
Prn*..Pr2*Pr1|ψo>=|ψf>
(ここでの射影Prは、量子力学でお馴染みの基底によって構成されるものだけでなく、より包括的なもので状態空間に対するフィルタやらセレクション等を含む一般的な射影。)

  投稿者:冷蔵庫 - 2008/08/27(Wed) 19:35  No.5151 
>No.5109 甘泉法師さん


一応、私がNo.5145で述べた
「系の状態空間が、Hの固有状態の張る空間ではなくそれを射影した空間である例」
の1つです。
今の議論にどうしても必要というわけではないです。
勉強されたいというのなら、ちゃんとした教科書を読まれることをお勧めします。
因みに私は猪木・河合(2巻)で勉強しました。

>No.5114 kafukaさん

あっていますよ。
私は簡単のため、\hbar = 1においてしまっていますが。

>No.5128 ASAさん

>つまり"∫dp|p><p|=Pr"を認めるなら、
>Pr^2=|p><p||p><p|=|p>{<p|p>}<p|=Pr

この|p>は連続スペクトルですよね?
でしたら<p|p> = 1ではなく<p|p'> = δ(p-p')としないとだめですよ。
Pr^2 =∫dp∫dp'|p><p|p'><p'|
   =∫dp∫dp'|p>δ(p-p')<p'|
   =∫dp|p><p|
   =Pr

コメントが多くて返事がなかなか書ききれません。
今、murakさんやASAさん、TOSHIさんのコメントが議論の中心で、それについて言わなくてはいけないのですが、
返しやすいコメントばかり返してしまってすいません。
続きはまた明日にしたいと思います。

  投稿者:冷蔵庫 - 2008/08/27(Wed) 19:58  No.5152 
また明日と言ってしまったのですが、もう1つだけ。

>No.5148 ASAさん
たしかに{|p>}が一番難しい問題だと思います。
私は別に議論を続けても構いませんが、少し面倒になってきた感はありますね。

それから、私の考えに対する補足を書いてくださってありがとうございます。
そんな感じで大体あっていると思います。

  投稿者:ASA - 2008/08/27(Wed) 21:28  No.5153 
冷蔵庫 さんNo.5152
>{|p>}が一番難しい問題だと思います。
 そうなんですよ。

これに関連してるのですけど、
>でしたら<p|p> = 1ではなく<p|p'> = δ(p-p')としないとだめですよ。
<p|p> = ∞ を避け何らかの方法でノーマライズした後の表現と考えてください。
 その処方箋の一例としては、TOSHIさんがNo.5131で補足してくださったように、とりあえず区間[a,b]でうまく定義しておいて、後から無限大に広げるというものが考えられます。この場合、非常に連続に近いけど連続でないスペクトルを持つというデリケートな状態で、展開誤差を極限に小さくできます。

  投稿者:甘泉法師 - 2008/08/28(Thu) 10:32  No.5172 
Re:投稿者:甘泉法師 投稿日:2008/08/26(Tue) 18:38 No.5109

追加 
問:|p>に周期ポテンシャルの系のエネルギー固有状態による恒等射影
Σ|E(k)><E(k)|=1 を施した場合に、k=p-K、Kはpを越えない最大のもの、を満足する唯一つの射影<E(k)|p> だけになってしまうのでないか

答:Eはkの多価関数である(例 同じkについて音響モードや光学モードなどモードの違いで複数の(無限個の)Eが対応する)ことから ひとつだけでなく無限の射影要素で
Σ_m |Em(k)><Em(k)|p> と展開される。

めでたし。せっかく考えたので脱線道草ながら備忘のため記しました。お目汚し深謝。
=甘泉法師=

  投稿者:甘泉法師 - 2008/08/28(Thu) 11:05  No.5174 
冷蔵庫さん - 2008/08/27(Wed) 18:49 No.5146

>(-∞,+∞)の無限に広がった空間のかわりに[0,2πR]の有限区間を考えます。

周期性を系に課すのは
1 (-∞,+∞)の無限に広がった空間 周期性はハミルトニアンで課す。
2 空間が有限で閉じている(環のような)
のどちらかによると考えます。わたしは1のケースを考えていました。

(-∞,+∞)の無限に広がった空間でハミルトニアン以外で周期性を課す方法を思いつきません。

1ならいつもどおりに運動量を考えられますが、2ではそうはいかず、運動量の考察から脱線する別の話になるように思いました(アナロジー 有限区間のパラメター θ〔0、2π〕 に対して 角運動量 M )。


>コメントが多くて返事がなかなか書ききれません。

ご自愛ください。お互いゆっくりやりましょう。
  
=甘泉法師=
 

  投稿者:甘泉法師 - 2008/08/28(Thu) 12:16  No.5179 
Re:冷蔵庫さん - 2008/08/27(Wed) 18:17 No.5145

>「|x>や|p>で展開できる任意の状態は、ハミルトニアンの固有状態で展開できないといけない。(不合理である)」

再掲ありがとうございます。 すこし煩雑になりますが別のいいかたもかいてみます。

どんな状態についても、エネルギーを測定することができる。
エネルギーの固有状態の重ね合わせにより、縮退を大目に見れば、どんな状態も表せる。

縮退の例:
自由空間中の電子。エネルギー固有状態|E>には
運動量|+p>、|-p> p=√2mE
スピン|+1/2>、|-1/2>が縮退している。

=甘泉法師=

  投稿者:冷蔵庫 - 2008/08/29(Fri) 01:51  No.5216 
ASAさんがNo.5148のように仰っていますが、今までに質問されたことにはできるだけ
答えようと思います。

>No.5118 murakさん

>|p>そのものに対しては(||p>|=∞なので)Σ|ψn><ψn|p>は発散して、展開は出来ないと思われるのですが、どうでしょうか?

たしかに展開できません。
|p>をΣ|ψn><ψn|p>と表せない以前にΣ|ψn><ψn|p>が定義できません。
具体的にはΣ(0 to N)|ψn><ψn|p>のN→∞極限が定義できません。
まず無限級数が収束するためにはn項目がn→∞でゼロに近づくことが必要ですが、
まずそれを満たしていません。

次にこれを(座標表示の)波動関数の観点から見てみます。
有限のNにおいては

|p> = Σ(0 to N)|ψn><ψn|p> + |αN>

と書くことができます。
<x|を左から作用させると、

exp(ipx)/√(2π) = Σ(0 to N)ψn(x)<ψn|p> + <x|α_N>

TOSHIさんが以前から言われているようにψn(x)で有限区間内の関数は展開できます。
上の式の右辺の1項目は大体|x|<〜√Nの範囲では左辺を大体近似できています。
その範囲の外ではexp(-x^2/2)のせいでゼロに減衰していきます。
その埋め合わせとして、|x|>〜√Nでは右辺2項目が左辺のexp(ipx)のふるまいをします。

このことからも、Nを大きくしていっても2項目の<x|α_N>がゼロに近づくわけではないです。
十分原点から遠いところでexp(ipx)のようにふるまい、
その振る舞いの範囲が遠ざかっていくだけです。

  投稿者:ASA - 2008/08/29(Fri) 06:26  No.5218 
冷蔵庫 さん No.5216

えーっと、 murakさんはこの辺りのこと十分に解っていると思いますよ。自分の murakさんへの突っ込みの意図は、|p>が|ψn>で表現できると主張したのは、冷蔵庫 さん でなく甘利法師さんなので質問するなら甘利法師さんにするのが適切だと思ったからです。

  投稿者:ASA - 2008/08/29(Fri) 07:21  No.5219 
余談です。

><ψn|p>のN→∞極限が定義できません。
まず無限級数が収束するためにはn項目がn→∞でゼロに近づくことが必要ですが、まずそれを満たしていません。

任意のpに対して一様にというところがみそですね。

特定のpに対しては定義できるケースもあります。

<ψn|p>=a_n(p)とします。
調和振動の場合Hにおいてpとxは対称なので、運動量表現とされるa_n(p)とψn(x)とは同形で、良く知られているように、lim(n→∞) a_n(0)=0であり、級数は収束します。

ちなみに,lim(p→∞) a_n(p)=0で、lim(px→∞) でexp(ipx)/√(2π) =<x|α_N>でもありますね。

 なんにせよ、<p|p>=∞だと、ψnで展開不能です。

  投稿者:冷蔵庫 - 2008/08/29(Fri) 10:12  No.5227 
すいません。No.5216にかなり致命的な間違いがあるので訂正します。

No.5219でASAさんが特定のpについては<ψn|p>がn→∞でゼロと仰っていますが、
任意のpについて正しいです。
1 = ∫dp|<ψn|p>|^2 >〜 √n <ψn|p>
より<ψn|p>→0です。

ということでNo.5216の前半は嘘なのですが、後半の|α_N>が収束しないという意味で
Σ(0 to N)|ψn><ψn|p> = |p> - |α_N>
は収束しません。

  投稿者:murak - 2008/08/29(Fri) 13:53  No.5229 
関数列の収束は、その関数の値を各点毎でみるのと、関数自体を一つの点(ベクトル)として(ヒルベルト空間の元として)みるのでは様相が違う事があるので、どの視点でみているのかは意識しておいた方が良いかもしれません。量子力学で云うところの{|ψ_n>}や{|p>}の完全性は、基本的にはL^2(あるいはl^2)の枠組みの話なので、Σ|ψ_n><ψ_n|p> 等と書いた場合は、(状態空間のベクトルとして)収束していないとみるのが自然かなと私自身は思っています。(まあ、議論の局面から言えば、冷蔵庫さんに振るべき話じゃないのですが)

あと、{|ψ_n>}の張る空間と{|p>}の張る空間について言えば、これもL^2の枠組みでL^2(-∞,+∞)をベースに考えているならば、同じと思っていていいのではないかと考えてます。(ただ、|p>や|x>自身を|ψ_n>で展開することは出来ませんが、これは連続スペクトルを扱う際の数学的煩雑さを避けるためにディラックが導入した一種の方便なので、あまり詮索しても仕方がない(というか、避けたい?)。似たような事情はハミルトニアン自体が連続スペクトルを持つ場合にも生じます。)
(ただし、座標変数の値の範囲が(-∞,+∞)でない場合が、色々問題で、それが元々の問題だったわけですが。)

  投稿者:ASA - 2008/08/29(Fri) 16:09  No.5231 
murak さん No.5229

>{|ψ_n>}の張る空間と{|p>}の張る空間について言えば、これもL^2の枠組みでL^2(-∞,+∞)をベースに考えているならば、同じと思っていていいのではないかと考えてます。

横から口出すのもなんですが、|p>に制約を与えない限りこれはないでしょう。
甘泉法師さんと冷蔵庫さん双方との主張と、冷蔵庫さんの根拠が、射影による状態空間制限ということで整理されているNo.5145とNo.5148を参照してください。
murak さんは相変らず議論の流れを掴まないままコメントするみたいですけど把握されてからなされたほうがよろしいと思います。
また、冷蔵庫さんの主張への反論なら、もう少し根拠を述べられたほうがよろしいと思います。

「境界条件等による射影で{|ψ_n>}の張る空間と{|p>}の張る空間は、異なる場合がある。」というのが今の主題です。

{|p>}での議論になってますが、L2でもHが違う固有関数{|ψ_n>},{|Φ_n>}ではそれぞれの張る空間が異なるため、Φでψを展開できない例として、
ケース1
ψ:V(x)=x^2
Φ:x>0 V(x)=x^2,x<=0 V(x)=∞ :x>0でΦは空間パリティ奇のψに等しい,x<=0 Φ=0
ケース2
ψ:有限井戸(長さl,高さV0)
Φ:有限井戸(長さl/2,高さV0)
等々色々考えられます。

あと、これもmurak さんの勘違いと思われますが、初めから座標変数の範囲は(-∞,+∞)での話と認識してます。

  投稿者:murak - 2008/08/29(Fri) 17:18  No.5233 
別に冷蔵庫さんの主張に反論しているわけではありませんよ。賛成できないのはむしろ甘泉法師さんの主張で、冷蔵庫さんの主張に概ね賛成しています。