EMANの物理学 過去ログ No.4646 〜

 ● 無題

  投稿者:通りすがり - 2008/07/20(Sun) 01:47  No.4646  <Home>
エーレンフェストの定理について。
<p>の時間微分を計算する部分で
一行目から二行目へ移っているところですが、波動関数が例えばexp(x*t)という形のものを含んでいるときには成り立たないんじゃないでしょうか?

  投稿者:凡人 - 2008/07/20(Sun) 10:10  No.4647 
>波動関数が例えばexp(x*t)という形のものを含んでいるときには成り立たないんじゃないでしょうか?
エーレンフェストの定理は、シュレディンガー方程式から導出されているので、その定理が成り立つ為には、波動関数として、シュレディンガー方程式が仮定している複素関数(ψ=Ae^i(kx-ωt))が要請されているという事はないのでしょうか?
http://www2.kutl.kyushu-u.ac.jp/seminar/MicroWorld2/2Part2/2P23/proof_ehrenfest.htm

  投稿者:T_NAKA - 2008/07/20(Sun) 11:24  No.4648 
「運動の恒量」という記事に書きましたが、
http://teenaka.at.webry.info/200703/article_22.html
http://teenaka.at.webry.info/200703/article_23.html
http://teenaka.at.webry.info/200703/article_27.html

Aがあらわに時間に依存しないのならば、<∂A/∂t>=0 なので、

d<A>/dt=(i/h~)<[H,A]>

ということになります。

つまり、物理量Aの期待値・平均値の時間微分はハミルトニアンとの交換の期待値・平均値に比例します。
ハミルトニアンとして、時間に依存しないシュレディンガー方程式(の左辺)を採用すれば、xとpに関してのエーレンフェストの定理が求まります。
顕わに、波動関数の形を指定する必要がありません。
とは言え、時間に依存しないシュレディンガー方程式を前提としているので、自然と ψ=Aexp{i(kx-ωt)} という形を要請していると思います。

  投稿者:kafuka - 2008/07/20(Sun) 15:25  No.4649 
蛇足ですが、

方程式が時間に依存しない場合、変数分離で解けて、
解は、「時間だけの関数」と「他の変数の関数」の積で表すことができます。
例えば、
Aexp{i(kx-ωt)} =Aexp{ikx}exp{-ωt} です。
通りすがり 様が提示されているexp(x*t) は、
この形にできません
(しいて言えば、べき乗 ですね)