EMANの物理学 過去ログ No.4382 〜

 ● 熱力学(局所平衡)まとめ

  投稿者:ASA - 2008/06/29(Sun) 09:17  No.4382 
murakさんからの無意味なコメントがなければ最後になる纏めです。
 
No.4360>熱伝方程式:∂tE=Cp∂t(ρT)=∂j (2): は、表現が正確ではありませんのでコメントしておきます。
表記:Д(A)=∂t(A)+div(uA)

1.質量式:Д(ρ)=0
2.運動量式:Д(ρu)=-∂P
3.エネルギー式:Д(E)=div(Pu)-div(j) :E=ρ(u^2/2+U)
亜種3-1:Д(ρU)=Pdiv-div(j):dU=−PdV+dQ
亜種3-2:TД(ρS)=-div(j):TdS=dQ
4.状態式:P=ρT
5.熱流式:j=κgradT
流体の方程式系は以上で閉じる。

熱伝方程式は3の亜種です。
亜種3-3:Д(C_xρT)=-div(j):CdT=dQ、(セル内で運動や仕事が熱に変化しないとの仮定つき)

 隣接セルとの圧力バランスが常に成立するケースでは、過程に依存する比熱は定圧比熱とみなすことができ
ます。したがってC_x=C_p。Д(C_xρT)=C_pД(ρT)
さらに、定常ないしは、非常にゆっくりとした過程(準静)ではu=0とみなせるので
Д(C_xρT)=Cp∂t(ρT)が成立します。
で結局、No.4360>熱伝方程式:∂tE=Cp∂t(ρT)=∂j (2)が成立(熱流jの符合が異なっていることはご容赦を)

 前提とするケースは、理想気体を一定断面積のチューブに満たし、端から与える熱を常にバランスさせる(加熱量=冷却量)ものであり系内の熱変化dQ=0、さらに準静的で圧力P0が一定の過程を想定してます。
亜種3-3より、-div(j)は0と看做せ。亜種3-2より、各セルでのエントロピー変化も0とみなせ、体積積分することで系全体のエントロピー変化がえられますが、これも0です。
 (系内でdiv(uA)が発散する場合(例:密度の不連続)は、除きます)
 連続した熱流がある場合、系内に温度差があっても系内変数は変わらないことを示せました。
 別スレ(無題)の発端である、"エントロピーが減少し、第2法則に反する”というのは平衡状態の熱力学だけで考えるとありがちな勘違いです。

以上。

  投稿者:murak - 2008/06/29(Sun) 13:20  No.4386 
残念ながら、エネルギー方程式の亜種3-2(つまりエントロピー方程式)が間違っているようです。亜種3-2を変形すると

   ∂t(ρs) + div( uρs + j ) = 0

となりますが、これはある微小領域の表面を通過するエントロピー流が物質の移動に伴う uρs と熱流 j の和になることを示していますね。しかし、物理的には熱流による境界を通じてのエントロピーの出入りは j/T となるべきでしょう。そのことを考えると亜種3-2の正しいカタチは

   Д(ρS)=-(1/T)*div(j)

ですね。


  投稿者:ASA - 2008/06/29(Sun) 16:25  No.4389 
相変らず節穴ですね良くみなさい。
>亜種3-2:TД(ρS)=-div(j):TdS=dQ
熱力学の形式にあわせてTを前に出してます。


>(熱流jの符合が異なっていることはご容赦を)
と断ってますよ。

 教科書によってPやjの符号が異なっています。
(本質的じゃありませんが)

  投稿者:murak - 2008/06/29(Sun) 17:04  No.4390 
おや、失礼。#4360の式(1)を再掲したのかと思っていたので、前のTに気が付いていませんでした。

しかし、それでも div(j)=0 から言えるのは

  Д(ρS)=-(1/T)*div(j)=0

すなわち

  ∂t(ρs) = - div( uρs )

であって、ある領域内におけるエントロピー変化は、境界を通じて出入りする(物質流に伴う)エントロピーの出入りに等しいという事です。ASAさんは、ここで u=0 を仮定していますが、ASAさんの持ち出した例では、エネルギー密度一定(空間的に一様)を満たすために、温度場の変化に応じて密度場が変化するのでした。つまり終状態に達する過程で、必ず物質の移動があるわけです。従って、例え終状態が u=0 の定常状態であったとしても、途中の過渡過程も含めて恒等的に u=0 であることは結論できませんね。
   

  投稿者:ASA - 2008/06/29(Sun) 21:29  No.4393 
>例え終状態が u=0 の定常状態であったとしても、途中の過渡過程も含めて恒等的に u=0 であることは結論できませんね。
 だから何度も書いていますが、準静的ならu=0と看做してかまいません。
 なぜなら、
  ∂t(ρs) = - div( uρs )
 上式を体積積分し、右辺をガウスの定理で面積積分に直します。ギャップがなければ
  ∂t∫(ρs)dV = - ∫ ( uρs )dS:Sチューブ端面積
 がこの過程で成立します。
 エッジでu=0の境界条件により
 面積積分値は0に等しくなります。
 従って
 Gs=∫(ρs)dV=Const
 この過程において系全体の総エントロピーに変化がないことが導けます。

以上

  投稿者:murak - 2008/06/30(Mon) 01:32  No.4395 
申し訳ない、少々詰めを誤ったようなので、やり直し。

----------------
ASAさんの#4382での仮定をそのまま使う事にします。このとき比熱として定圧比熱C_pを用いたエネルギー方程式の亜種3-3(熱伝方程式)

  C_pД(ρT)=-div(j)

が成立することになります。このC_pを右辺に移して左辺を連続の式を用いて変形すると、

  ∂t T + (u・∇)T = -{1/(C_p*ρ)}*div(j)

が得られます。 この左辺は温度Tのラグランジュ微分(物質微分)なので、流体粒子の運動に沿ってTが変化しないことを意味しています。従って例えば初期時刻に温度が空間的に一様であって、熱流が常に div(j)=0 を満たしながら変化するならば、(例え物質の移動があっても)温度場はいつまでたっても空間的に一様なままになります。(もし、ASAさんが言うように、過程が準静的な際に u=0 として良いなら、もっと直接的に ∂tT=0 を言う事も出来ますが、この論法では、その仮定は必ずしも必要ではありません。)

結局、温度場一様の初期状態から出発して、全ての時刻で div(j)=0 を満たしながら系が時間発展するならば、系の全エントロピーは変化しませんが、温度場もまた変化しないという事になります。
(従って、一様な温度分布から出発した場が、均一でない温度構造を持つようになるためには、その途中で必ず div(j)がゼロでないような状態を経由しなければなりません。このことは、局所的なエネルギー保存を考えても納得できる結果です(つまり熱の収束がなければ温度は上がらない)。ただし今の場合はそうやって温度が変化すると、それに呼応して物質が移動し、密度も変化するので、結果として体積当たりでみたエネルギー密度は変化しないという状況が実現します。しかし、その際に体積当たりでみたエントロピー密度の方は変化してしまうというわけです。)

  投稿者:ASA - 2008/06/30(Mon) 07:20  No.4396 
>全ての時刻で div(j)=0 を満たしながら系が時間発展するならば、系の全エントロピーは変化しませんが、温度場もまた変化しないという事になります。
 これを主張するなら
亜種3-3:Д(C_xρT)=-div(j):
これに基づかないと無意味ですよ。
 これからいえることは
C_xρT=Const
 過渡的状態では、C_x(T)が時間的変化するのでρ、Tそれぞれも変化する。しかし、その変化率は準静的には無視してよい。 (ある一定の変化を起こすには無限の時間がかかる)
 熱力学での準静過程を言い換えているのに過ぎません。

 murakさんの主張は"準静過程ならば状態変数は変わりえない"と同じことです。
 何度も繰り返しますが全くナンセンスな主張です。

  投稿者:ASA - 2008/06/30(Mon) 07:35  No.4397 
 あと、これら非線型方程式群の時間発展は、揺らぎが本質的で、初期状態の僅かな揺らぎに応じて系の最終状態が大きく変わります。現実の気体では、温度Tが完全にフラットということはないです。
 そういう意味でもmurakさんの"一様な温度分布から出発した場"を想定すること事態が無意味です。
 当初予想したように"murakさんからの無意味なコメント"がつきました。
 murakさんへアドバイスします。系に揺らぎがあるときに、熱力学的状態変数はどう変わるかを考えた方がよろしいですよ。
 

  投稿者:murak - 2008/06/30(Mon) 08:43  No.4398 
またでましたね。自分に分が悪くなると、相手の発言をナンセンスと言う癖が。

定圧過程を仮定してエネルギー方程式亜種3-3からC_pを用いた熱伝方程式を出してきたのはASAさんではありませんか?それに、比熱C_x(T)が時間変化すると言っておられますが、比熱の温度依存性は普通温度変化がかなり大くなった場合に効いて来るのであって、温度変化が小さい間はむしろ定数として扱う方が近似として優れているのではありませんか?(ある部分領域を通過する熱流の揺らぎに対してC_xρT=Constが縛りになってC_xが変化するのでは、そもそも熱伝方程式が導けないでしょう。)

また、系の現実的な時間発展にとって、初期状態の揺らぎが重要というのはもっともな意見です。今の場合、境界条件として系の片端で一方的に熱を与え、別の端で一方的に熱を奪っていますので、まずは系の両端での温度変化が顕著になり、その近傍での温度勾配がまずは大きくなるように思えます。そうすると、ますます、 div(j)=0 であるとか、温度勾配が空間的に均一という条件を保ったまま系が時間発展するのは難しいように思いますが如何でしょうか?

  投稿者:ASA - 2008/06/30(Mon) 16:03  No.4400 
>自分に分が悪くなると
分は悪くなっていませんよ。

>相手の発言をナンセンスと言う癖が。
実際無意味でしょ。準静過程で変数が変化しないと主張しているのだから、

>C_pを用いた熱伝方程式を出してきたのはASAさんではありませんか?
 ええ、準静なら定圧と看做してかまわないと思われるのでそのように扱ったまでです。
 それに対してmurakさんは各種の変数が時間発展できないとコメントしているのですから、どう考えても準静過程の否定でしょ。

murakさんの意見として意味があるのは、系を代表する熱力学変数が定義できないことをきちんと示すことですよ。

>比熱C_x(T)が時間変化すると言っておられますが、
変化しますね。仕事込みですから。過程に直接依存しますよ。
>定数として扱う方が近似として優れているのではありませんか
 過渡的状況は不明なので、幾らなんでも定数とはできませんよ。あなたが問題にしたいのは過渡的状況なんでしょ。調べることができないようなので、問題としようとしている過程で使える方程式をこちらが提示してる訳です。

>そもそも熱伝方程式が導けないでしょう
ええ方程式系は閉じているので、新たな式は余分です。
元のエネルギー方程式に戻って考えないといけません。
準静でない過渡的状態を云々するなら熱伝方程式は不適切です。(C_x(T)という過程に依存する変数が陽に追加されるため)
 
>まずは系の両端での温度変化が顕著になり、
 何故?準静だから緩和しますし、それをもってある平均的温度勾配ができるというのはまあそんなに悪くない仮定では?
 逆に揺らぎが各所に伝播、増大して熱力学的変数が定義できなくなるケースというのが想定しにくいです。
 そもそも端において一回に与奪する熱量は系の熱的揺らぎより十分小さいのですよ。

>div(j)=0 であるとか、温度勾配が空間的に均一という条件を保ったまま系が時間発展するのは難しいように思いますが如何でしょうか?
 これが本当に理解できません。
 エネルギーの束縛があって、uは0から始まり0に終わる微小な量でしかも、ゆっくりと変化させるのに"div(j)=0"と看做せないというのがさっぱり判りません。定量的に示してもらえませんか。

  投稿者:murak - 2008/07/01(Tue) 13:22  No.4415 
正確に言うと、私が主張しているのは「準静過程で変数が変化しない」ではなくて、「定常状態で変数が変化しない」あるいは(熱流以外にエントロピーの生成源がなければ)「div(j)であれば領域での全エントロピーが変化しない」という事です。

例えば、長い一次元領域に、熱流が無く温度均一な状態から始めて次第に熱流を起こしてゆく状況を考えましょう。両端の加熱と冷却が始まってしばらくの間は、物体の中央部にはその変化は届いていない筈ですから、変化は両側から徐々に中央部に波及するでしょう。勿論十分な緩和時間が経過すれば系は定常である一定の温度勾配を持つ状況に達するかもしれません。しかしそれまでの間は過渡期間であって、div(j)はゼロではありませんね(勿論定常でもない)。また、系が一旦定常に達した後に、熱流を変化させるには、両端での加熱率を少し変化させる必要があるでしょう。この変化が如何に微少であったとしても、その変化が中央部に届くまでの間はやはり過渡期間で場は定常でありませんしdiv(j)=0でもありません。従って、準静的に熱流を変化させることは出来たとしても、それは系の状態が定常状態のみを経由して変化している事を保証するわけではありません。変化の各段階は十分時間がたてば緩和しますが、緩和時間はゼロではなく、その間は過渡期間です。

少なくともマクロな視点に立つ以上、系の時間発展は上のような経過を辿るでしょう。ASAさんは、一回に与える熱量を系の熱的揺らぎより小さくするとおっしゃっておられますが、そんなコントロールが可能なのですか?(私は実験家ではありませんので良くわかりませんが)それに、例えそのような微小変化を与え得たとしても、その効果が中央部に波及するにはやはり有限の時間がかかります。いずれにせよ過渡期間を無視することは出来ないという事です。

なお、今週(というかしばらく)は重要案件があるので、議論はしばらく中断します。

  投稿者:ASA - 2008/07/02(Wed) 09:31  No.4423 
>両端の加熱と冷却が始まってしばらくの間は、物体の中央部にはその変化は届いていない筈ですから、
 なぜ、圧力変動は音速で伝播しますよ。確かに極端に長い領域を考えればしばらくはといえるでしょう。

>変化は両側から徐々に中央部に波及するでしょう。
 圧力伝播速度が徐々ということですな。

>div(j)はゼロではありませんね
 だから、定量的に示してくれませんか。 

murakさんの主張はどこか矛盾しているのですよ。
なので、熱的揺らぎある場合のエントロピーを考察されてはとアドバイスしました。

 murakさんのメインの考えは、局所平衡が成立する過程なら、過渡的状態でも系全体のエントロピーは、Gs=∫(ρS)dVで与えられるというものです。

 単純化して、閉じられた一次元系で考えると、∂t(Gs)=∫(κ/T)∂^2(T)dx
で与えられるわけです。

 今、熱平衡状態にある系の局所的な温度揺らぎを表わす関数をF(t,x)とします。
 ここでFの時間平均、空間平均ともに0です。
 系の温度はT=T0(1+εF)となります。
 具体的にF=sin(kx)sin(ωt)としましょう。
∂t(Gs)=((kε)^2/T0)∫(F^2+ε^2/(1-(εF)^2))dx
積分内のε^2を無視すれば
∂t(Gs)=((kε)^2/T0)∫F^2dx
F^2=(1-cos(2kx))(1-cos(2ωt))/4
したがって
Gs=((kε)^2/T0)*(t-sin(2ωt)/2ω)+Gs0
 と振動しながら増加していきます。
 短時間平均すると、
 <Gs>t=(kε)^2/T0)t+Gs0
 普通これは系を代表する熱力学的エントロピーと看做せないです。

 Fを熱的揺らぎとしましたが、断熱過程で生じる音波(定在波)としても良いはずで、
 断熱過程で熱力学的エントロピーは変わらないはずですが、
 Gsは、時間と共に増大するということになります。

この考察から言えることは、Gsが意味を持ち得るのは、∂j=0と看做せる特殊な過程です。

 なお、今までの議論では準静過程では∂j=0が満たされていると考えてます(uの変化を極限まで小さくできますから至極全うな仮定です)。
 この考えにたつなら局所平衡状態の和であるGsが系の熱力学的エントロピーとみなせます。

 系の時間経過による内部熱流を無視できないとするとmurakさんのGsは、意味を持たないです。

 熱平衡状態でなければ、エントロピーの加法性は成立しないと教科書に記述される所以です(過渡的過程でエントロピーが定義できるという話を聞いたことがない)。

  投稿者:ARA - 2008/07/02(Wed) 17:35  No.4428 
>>両端の加熱と冷却が始まってしばらくの間は、物体の中央部にはその変化は届いていない筈ですから、
> なぜ、圧力変動は音速で伝播しますよ。確かに極端に長い領域を考えればしばらくはといえるでしょう。

なぜmurakさんが熱流の話をしているのに圧力変動の話にすりかえる?

ASAさんのモデルは都度大体機能しているのだろうが、相手の話と噛み合わない「詰まらない」モデルになっている気がする。もっとも私はASAさん登場以来の書きぶりに辟易してASAさんの記述の中身は原則読まないことにしているのだが・・・

というより、ROMを含めASAさん記述の中身に真面目に目を通しているのは殆どmurakさんだけで、その点だけでもASAさんはmurakさんに感謝すべきではなかろうか。

  投稿者:ASA - 2008/07/02(Wed) 18:38  No.4429 
ARA さん

>圧力変動の話にすりかえる?
 エネルギー伝播は音波よってもなされます。局所的にみると圧力の変化速度は十分速くて断熱過程とみなせます。で圧力変化に伴い温度変化が生じます。するとその局所内に熱が流入したことになります。
 圧力の緩和による熱の享受の後に、拡散効果による熱流が流入することになると考えられます。
 ARAさんの主張は、"圧力波によって熱エネルギーが伝播されることはありえない"という変わったものですね。

>相手の話と噛み合わない「詰まらない」モデルになっている気がする。
 「詰まる」モデルとはどういうものだとお考えですか、もう少し具体的に説明お願いします。

>原則読まないことにしているのだが・・・
 どうぞご自由に。しかし、原則を破ってまでも何故No.4423を読んでコメントする気になったのか気になります。

>ROMを含めASAさん記述の中身に真面目に目を通しているのは殆どmurakさんだけで
 これは根拠がない与太話ですね。

>その点だけでもASAさんはmurakさんに感謝すべきではなかろうか。
 これはもう全く筋違いも甚だしい。
ARAさんがNo.4423の中身に真面目に目を通したとしても感謝しません。投稿を読んであげたのだから感謝しろと要求するなら、あなたかなり傲慢不遜ですよ(murakさんをダシにしているところが非常にいやらしいですね)。

  投稿者:ARA - 2008/07/02(Wed) 22:29  No.4432 
>エネルギー伝播は音波よってもなされます。
だからといってmurakさんの説明に傷がつくわけでもないのに、鬼の首取ったみたいにみっともない。

  投稿者:ASA - 2008/07/03(Thu) 07:43  No.4433 
ARAさん
>だからといってmurakさんの説明に傷がつくわけでもないのに、鬼の首取ったみたいにみっともない。
 そう解釈しているのはあなただけ。

 こちらはmurakさんの主張を認めて
>確かに極端に長い領域を考えればしばらくはといえるでしょう。
と述べています。
しかし、しばらくとか∂jが0でないとかあまりにも漠然としているので
>定量的に示してくれませんか。 
 と申し出ています。

そんなことよりNo.4423の主眼は、
>murakさんのメインの考えは、局所平衡が成立する過程なら、過渡的状態でも系全体のエントロピーは、Gs=∫(ρS)dVで与えられるというものです。
このmurakさんの考えが、熱的揺らぎを例にして過渡的状態など一般的には通用しない変なものであること定性的に示したことにあります。
 Gsが過渡的状況で通用しないにもかかわらず、過渡的状況を想定してGsがどうであるかをを論じても無意味との指摘です(無意味なコメントが続きそうなので再度釘を刺したわけです)。
 murakさんには、過渡的状況でも通用する一般的エントロピーをきちんと定義してから、持論を展開して欲しいですね。

 ARAさんあんたやはり真面目に読んでないですな。

  投稿者:ASA - 2008/07/04(Fri) 06:42  No.4439 
良く考えてみると、熱の伝播速度で最大なのは輻射伝熱がありますので、光速ですね。
>極端に長い領域を考えればしばらくはといえるでしょう。
天文学的スケールは考える必要ないと思います。実験室スケールでは、しばらくとはいえませんね。

  投稿者:murak - 2008/07/06(Sun) 00:36  No.4470 
まだ忙しい状況は続いていますが、少しだけ。

確かに、エネルギーの伝播は波動や輻射でも行われますが、伝導による熱の伝わる速度は物質を構成する分子の乱雑な運動が拡散的に伝播する速度であって、これは音速より遥に小さい。あまり確かな数字は知らないが、空気中の音速が常温では340m/s程度であるのに対し、(マクロ的にみた)熱(あるいは温度変化)の伝わる速度は毎秒数mmから数cm程度だと思われ、両者の間には圧倒的な速さの違いがある。この両者の違いが、気体における力学的な平衡の速さと熱的な平衡の速さの違いを生んでおり、それが気体の運動を扱う際に、しばしば断熱的(あるいは等エントロピー的)として扱い得る事の根拠となっている。従って、流体中を音波が伝播する場合も、普通はそれを、媒質の圧力と密度が温度場を殆ど変化させることなく基準値の周りに振動しながら伝播する現象として扱う。つまり、音波が伝播しているのは力学的なエネルギーなのであって、それが熱エネルギーに転化するには特殊な条件(例えば衝撃波が発生するような状況)が必要となる。一方、輻射(放射・電磁波)によるエネルギー伝播の場合は、その周波数(波長)が気体分子の吸収帯と一致する場合には、それが直接分子に吸収されて熱エネルギーに転化する。なので、そのような場合には、光速で熱が伝わっているとも言えるが、そのような過程は流体の方程式系だけでは扱えない。例えば、大気の地球規模の運動を扱うような場合には、放射による熱エネルギーの伝達は結構重要であるが、大気と電磁波の相互作用は流体の方程式系とは別に計算されてその結果のみが(例えばエントロピー方程式の非断熱加熱の項Qとして)流体の方程式系に取り込まれる。しかし、実験室スケールではそれはあまり問題でないように思うし、そもそも今話題にしている状況では領域の両端で境界条件として与えているもの以外には熱源は無いとしているのではなかったでしょうか。

また、#4423の中で、熱的ゆらぎの影響が議論されていますが、ゆらぎを与える関数として空間的な相関が強いF(x,t)=sin(kx)sin(ωt)のような関数形を与える事はどうかなという気もするし、また、それがマクロな示強変数の(局所)平衡状態におけるゆらぎであるとするなら、それをマクロ的ではあるが系全体からすれば十分小さな体積Vで平均しVを増大させると、ゆらぎの大きさはVに逆比例して小さくならねばなりません。そのような場合、部分系を代表するマクロな量(つまり流体の方程式系に与える量)である温度としては平均値であるT_0をとるべきでしょう。もし、その揺らぎの大きさがマクロな量として無視できないのであれば、それは結局系を局所平衡とみなすのに無理があるという事に他ならない。既に何度も述べているように、局所的に定義可能なエントロピー密度を用いて、その積分として全エントロピーを定義したり、流体の方程式系と組み合わせて解析が行う際には局所平衡という考え方(大前提)がその根底にはある。その前提が成り立つ場合には、過渡現象を流体の方程式系と合わせて解析することが可能ということであって、局所平衡という前提が破綻するような場合も含めて、いつでもそのような解析が可能であると言った覚えはありません。

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最後に、もう一。

ASAさんが元々例として持ち出していた、エネルギー密度一定という条件を満たしながら、温度勾配一定の直線的な温度分布を持つ(理想)気体の例について、私も(物理量が連続的に分布しているとして)計算してみました。

着目している一次元領域を閉区間 [-L/2, L/2] として、その温度分布を

   T(x) = T_0 + T' + (ΔT/L)*x

とします。ただし初期状態は T=T_0 の均一な温度場であるとし、ΔTを終状態での両端の間での温度差、T'を平均的な温度上昇を表す定数としています。このとき、系のエネルギー密度に対する拘束条件から T' を具体的に計算してやると、α=(1/2)*(ΔT/T_0) とおいて、

   T'/T_0 = α*( exp(2*α) + 1 )/( exp(2*α) - 1 ) - 1 ≒ (1/3)*α^2

が得られます。
従って、系の平均温度がO(α^2)だけ上昇するというASAさんの結論は確かに正しいです。

しかし、ここで、系全体を代表する代表温度 T_g があって、それに応じて系の代表エントロピー S_g が決まるとするASAさんの考え方に従うなら、系の代表エントロピーは代表温度の上昇に従って上昇していなくてはなりませんが、これはASAさん自身がおっしゃっている T_g*dS_g=0 に矛盾しませんか?(このこと自体はASAさん自身によって既に指摘済みのことではある)

一方、私の方の、局所的なエントロピー密度s(x)の積分 ∫ρ(x)s(x)dx によって全エントロピー S を計算すると初期状態との差は上の T'/T_0 をβ(α)とおいて

   S - S_0 = (L/2)*ρ_0*C_p* ∫[log{1+β(α)+α*x'}] / {1+β(α)+α*x'} dx'

となり負となります。(ただし積分範囲は x'= (2/L)*x として -1<x'<1 )

  投稿者:ASA - 2008/07/06(Sun) 07:15  No.4474 
>波が伝播しているのは力学的なエネルギーなのであって、それが熱エネルギーに転化するには特殊な条件(例えば衝撃波が発生するような状況)が必要となる。
またトンデモなことを述べてますね。粘性があれば熱に転化します。衝撃波の発生とは関係ありません。

>流体の方程式系だけでは扱えない。
でもmurakさんは過渡的状況を問題にしたいのでしょ。

>熱源は無いとしているのではなかったでしょうか。
前提条件は、系内に与えられる熱と奪われる熱とがバランスしているという条件です。
熱がどのように与えられるかは規定してません。電磁波による加熱もありえます。
 また粘性流体として扱うなら、速度uにより局所的な加熱がもたらされますね。

>ゆらぎを与える関数として空間的な相関が強いF(x,t)=sin(kx)sin(ωt)のような関数形を与える事はどうかなという気もするし
 kωが白色性で総和で表わしてもよかったのですが、簡単のため単一で示しました。
でも、直交性により残る部分はδnm*sin(knx)sin(ωnt)sin(kmx)sin(ωmt)であり、定性的には計算上変わりません(ω/k一定を仮定)。
 また、ノイズ的音波があるケースでもあると述べていますが、これについての意見は?

>ゆらぎの大きさはVに逆比例して小さくならねばなりません。
 これはどこから来るのですか?局所平均温度を局所平均分子速度と関係付ける立場では、分子運動論的に考えるので、一般に速度分布関数は体積Vに依存していません。

>部分系を代表するマクロな量(つまり流体の方程式系に与える量)である温度としては平均値であるT_0をとるべきでしょう。
 全く論旨が判りません。εという量を導入している理由を考察してください。

>局所平衡という前提が破綻するような場合も含めて、いつでもそのような解析が可能であると言った覚えはありません。
 murakさん問題としたい過渡的状況で局所平衡が成立しているかどうか、怪しいですよ。
 あと、音波がある場合、局所平衡が成立していないという主張でしょうか?

>平均温度がO(α^2)だけ上昇するというASAさんの結論は確かに正しいです。
 中間点温度の話ですね。既に、内部エネルギーから定義する平均温度なら問題ないことを述べていますよ。
同じことを繰り返させないで下さい。
 
>となり負となります
 だから矛盾するでしょ。何度も繰り返しますが、エントロピー密度s(x)の積分は、系の状態量であるエントロピーとは看做せない。(熱平衡状態でないときでもエントロピーの加法性が成立するとした教科書を教えてください)

結局murakさんの主張が判り難いのですが"今の系は、局所平衡という前提が成立しない系である"との主張ですか?

  投稿者:murak - 2008/07/12(Sat) 16:55  No.4536 
少し時間があきましたが、相変わらず屁理屈が多いですね。

粘性について言うなら、これまでの一連の議論では簡単のためにそれを無視してきたので、その流れに沿った議論をしたまでです。その場合、本質的なのは、ASAさん自身がどこかで書いておられるように音波の伝播は断熱的な過程として起こるという事です。つまり音波の伝播によって媒質の圧力や密度は(そして温度も)基本場(平均場)のまわりで振動しますが、その場合の温度変化は圧力変動に呼応する断熱的で可逆な変化であり、音波の通過後は場は元の状態に戻るのが普通です(というか音波の方程式を導くときは普通そのような断熱変化を仮定している)。つまり、流体中を波動が伝播しても、その運動量やエネルギーが平均場に吸収されなければ、波動は(平均)場に影響を及ぼす事は無い(逆に何等かの理由で吸収が起こりやすい場所があると、その場合は色々興味深い現象が起こる)。勿論、粘性を考慮するなら、音波のエネルギーは伝播中に徐々に減衰し、熱に転化するとはいえますが、それはむしろ場の温度を平均的にじわじわ上昇させる効果を持つといえる。

また、電磁波からの加熱がある場合は、流体の方程式系ではそれは結局系外から加えられる非断熱加熱項として計算されるので、それは熱流とは別に、直接その場その場で流体を加熱・冷却しまたそに応じて直接的にエントロピーの増減が起こる(ASAさんが参照したサイトのエントロピー方程式ではそういう計算になる)。(それと、実際にはそれが量的にどの程度重要かという問題になるだろう。普通の工学的な流体計算では放射によるエネルギー伝播は完全に無視されていると思うが。)

なお、示強変数のゆらぎの体積依存性は、独立な多数の確率変数の平均として得られる確率変数の分散の性質からの帰結です。(例えば同じ確率分布に従う独立な確率変数N個の平均として得られる確率変数を考えると、その平均値は(元々の)個々の確率変数の平均値と同じですが、分散のほうは1/Nになる。)

-------
以上はまあ、余談に属する事なので、元のスレッドの中心的な問題である、エネルギー密度一定の条件を満たしながら、直線的な温度分布をする(理想)気体による一次元系のエントロピーのの話に戻りましょう。

系の代表温度を(中間点温度ではなく)内部エネルギーから定義する平均温度にすれば、(系の状態は必ずたった一組の状態変数の組で表されるべしというASAさんの考えの下でも)確かに矛盾はなくなりますが、その場合の系のエントロピーはあまり大した意味を持っていないように思えます。実際、全内部エネルギーから系の平均温度を決めると、今の場合それは系の温度分布如何によらず必ず T_0 (初期状態での均一な温度)と同じになります。そうすると、系全体の体積と粒子数が変らない以上エントロピー変化は常にゼロです。つまり、温度が系全体で均一な状態から、温度構造がある状態に変化しても、また温度構造を持つ状態から系全体で均一な温度をもつ平衡状態に移行したとしてもエントロピー変化はゼロです。

この考え方からすると、断熱壁で分割された断熱容器に入った温度の異なる(同一種類の)気体が(断熱壁を取り除く事で)混合されて、系全体として均一な温度になる場合でもエントロピー変化はゼロという事になり、既存の熱力学の教科書の記述と整合しないように思いますが、如何ですか?

一方、系に温度勾配があるとしても、それを局所的な状態量からエントロピー密度を求める事により計算すれば、全エントロピーは(元の均一な温度場の場合と比べて)減少していることになります。従って、例えばこの状態にある着目系をある瞬間に突如として孤立させて、その後放置した際に起こる状態変化を、このエントロピーはちゃんと表現できるわけです。この観点からしても、局所的に定義した局所エントロピーの総和として全エントロピーを計算する方法は、既存の熱力学との整合性が高い。(少なくとも、たった一組の状態変数の組で非平衡系全体を代表させるよりは整合性の高い拡張になっている。)

ただし、ASAさんの言われるように、非平衡状態でエントロピーが定義できるかどうか、あるいはエントロピーの加法性が成り立つかどうかが常に自明な事ではないのは確かです。つまりそのような議論が適用できるかどうかは、或る程度結果を見て判断せねばならないというところはあります。(今の場合、計算結果は少なくとも矛盾した結果を出すものではない。)

なお、教科書の記述について言えば、非平衡状態におけるエントロピーの加法性(示量性)を積極的に(一般論として)肯定する事は(今の段階では)出来ないでしょう。例えば、北原和夫「非平衡系の統計力学」(岩波書店)では、物質の構成粒子間の相互作用が遠距離に及ぶ場合はエントロピーの示量性が破れるという意味の注意書きがありますが、この本自体は局所平衡の考え方等を使いながら非平衡系を議論しようという趣旨で書かれています。また、先に紹介した清水明「熱力学の基礎」(東大出版会)も、相互作用が近距離力であれば内部エネルギーの加法性が成り立つ事を根拠に、複合系・局所平衡系に対して相加的な性質を持つエントロピーを積極的に考えてゆくという方針でかかれています。(ただし、この本では一応「局所平衡エントロピー」というただし書き付きで導入している。私のこれまでの議論していたものも、正確に言えば、この「局所平衡エントロピー」である。キャレンの教科書で議論されているのもこれである。詳しくは実際に教科書にあたってみて下さい。)

  投稿者:ASA - 2008/07/12(Sat) 18:16  No.4537 
>屁理屈が多いですね。
 逆にmurakさんの議論がむちゃくちゃに思えます。

>粘性について言うなら、これまでの一連の議論では簡単のためにそれを無視してきたので、その流れに沿った議論をしたまでです。
でも、murakさんは定常状態に至るまでの過渡的状態を問題にしたいのでしょ。何らかの定常状態に至るためには粘性は無視できません(完全流体の扱いをすると引き起こされた運動は停止しません。)。それに輸送理論では熱伝導そのものが拡散係数に依存します。どう考えても同質の現象なのに一方だけ取り入れるというのは変ですよね。

>(平均)場に影響を及ぼす事は無い
 しかし、音波で局所的な温度は変化しますよね。
その局所的温度でエントロピーを定義すると変なことになる例を示したのですがこれに対する意見は?

>実際にはそれが量的にどの程度重要かという問題になるだろう。
 u=0と看做せる準静過程ではどう考えても重要でしょ。
 重要でないという理由がありますか?

>分散の性質からの帰結です。
 はあ?局所的な温度の揺らぎが0とみなさなければならないというmurakさんの主張と全くつながりません。

>断熱壁で分割された断熱容器に入った温度の異なる(同一種類の)気体が(断熱壁を取り除く事で)混合されて、系全体として均一な温度になる場合でもエントロピー変化はゼロという事になり、既存の熱力学の教科書の記述と整合しないように思いますが、如何ですか?
 はあ?準静過程を前提としてますけど。既存の熱力学は熱流のある非平衡状態でも完全に記述できているという話ですか?
平衡状態の考え方が、非平衡状態でも適用できなければならないとする方が不自然です。
 逆に非平衡状態で適用できる考えが平衡状態で適用できるというわけではないことも明らかでしょう、murakさんはこのあたりのことを良く良く考えてからた書き込みした方がよろしいですよ。

>非平衡状態でエントロピーが定義できるかどうか、あるいはエントロピーの加法性が成り立つかどうかが常に自明な事ではないのは確かです。
 murakさんは過渡的状態でも一般的なエントロピーGsが定義できるし、その加法性は成立しているという立場でしょ。
(いまさらそんなことをいわれてもなあ)

>物質の構成粒子間の相互作用が遠距離に及ぶ場合はエントロピーの示量性が破れるという意味の注意書きがありますが、
 電磁波などはその良い例ですな。

>「局所平衡エントロピー」
 でmurakさんは、「局所平衡エントロピー」を系全体で足したものが系全体の熱力学的エントロピーと等価であるという主張ですよね。
 そうすると矛盾するという指摘を再三してきました。
これに対する回答は、どのようなものでしょうか?

>計算結果は少なくとも矛盾した結果を出すものではない。
思いっきり矛盾したものになるのですけど。
(熱的揺らぎやノイズ的圧力波があるケースで熱力学的エントロピーが変化し続けると例を示しました)

  投稿者:ASA - 2008/07/12(Sat) 20:04  No.4538 
追伸
>系に温度勾配があるとしても、それを局所的な状態量からエントロピー密度を求める事により計算すれば、全エントロピーは(元の均一な温度場の場合と比べて)減少していることになります。
 一定熱流なら変わらないはずですが。
 あと何度も繰り返しますが、dQ=TdS=0と矛盾。

>例えばこの状態にある着目系をある瞬間に突如として孤立させて、その後放置した際に起こる状態変化を、このエントロピーはちゃんと表現できるわけです。
 準静的に変化させた場合と矛盾しますが、これはどう考えるのですか?
 準静過程を否定するのですか?

>既存の熱力学との整合性が高い。
 間違い。矛盾があるので全く駄目です。

>少なくとも、たった一組の状態変数の組で非平衡系全体を代表させるよりは整合性の高い拡張になっている。
 矛盾があるのに整合性が高いというのが理解できないです。
何度もお聞きしますが、意味合いの異なる複数のエントロピーなる状態量を用いて系を記述できるという考えですか?
 それこそ、平衡状態の熱力学との親和性がないと考えます。各種の熱力学関数、具体的に自由エネルギーなどはどう拡張するのでしょうか?

  投稿者:murak - 2008/07/12(Sat) 20:17  No.4539 
#4470や#4415でも既に述べているが、要は気体における力学的な応答と熱的な応答の速さに圧倒的な違いがあるという事で、音波などが引き起こしている速い(かつ微小な)温度変化にそのまま追従して熱流が起こるわけではというのが私のこれまでに述べている事であって、ASAさんの議論はその違いを全く無視したものになっている。ASAさんの指摘したような sin(hx)sin(ωt)のような温度変化と、それに追従した熱流が問題になってくるのは、ゆらぎが巨視的にも見えていてしかも比較的ゆっくり変動している場合であると考えられる。その場合、温度場のシーソーの様な変動に応じて熱が巨視的にあちらに流れたりこちらに流れたりすると、系内のエントロピーは増えつづける事になる。しかし、このような変化が巨視的なものならば、それはちゃんと流体の方程式系の解に基づいて議論せねばならないだろう。つまり上の温度変化だけをぽんと与えて、それが解ですというわけにはいかない。

ところで

> でmurakさんは、「局所平衡エントロピー」を系全体で足したものが系全体の熱力学的エントロピーと等価であるという主張ですよね。
> そうすると矛盾するという指摘を再三してきました。

というASAさんの発言だが、今回の話(sin(kx)sin(ωt)の温度揺らぎの話)を一応除くとすると、具体的にどのような指摘があったのかな?(これまでのASAさんの具体的な指摘には殆ど答えており、多くはASAさんの計算間違いだったと思うが。)

  投稿者:ASA - 2008/07/12(Sat) 21:12  No.4540 
>温度変化にそのまま追従して熱流が起こるわけではというのが私のこれまでに述べている事であって
 フーリエの法則を採用するなら、局所的な温度勾配に伴い熱流が存在します(温度変化を引き起こす(ないしはおこしている)要因には関係しない)。

>つまり上の温度変化だけをぽんと与えて、それが解ですというわけにはいかない。
 流体の方程式群から、音波の方程式が得られます(流体の教科書参照のこと)。
閉じられた系のなので、系内に定在波が発生し、その代表的なものとしてψ=Asin(kx)sin(ωt)を選択しました。
音速v=ω/k(一定)、kは系の全長に依存

>> でmurakさんは、「局所平衡エントロピー」を系全体で足したものが系全体の熱力学的エントロピーと等価であるという主張ですよね。
>> そうすると矛盾するという指摘を再三してきました。

>というASAさんの発言だが、今回の話(sin(kx)sin(ωt)の温度揺らぎの話)を一応除くとすると、具体的にどのような指摘があったのかな?(これまでのASAさんの具体的な指摘には殆ど答えており、多くはASAさんの計算間違いだったと思うが。)
 murakさんお得意の勘違いですな。
dQ=TdS=0と矛盾するという話ですよ。
これに対してまともな回答はしてません。
murakさんは、計算の過程を示しておりませんが、「局所平衡エントロピー」を系全体で足したものが負になると言い出しました。
4536>系に温度勾配があるとしても、それを局所的な状態量からエントロピー密度を求める事により計算すれば、全エントロピーは(元の均一な温度場の場合と比べて)減少していることになります。

 普通、過程に依存するはずですけど。

 それはおいておいて、dQ=0の準静的熱流によって引き起こされた温度勾配により、エントロピーが負になるとすると、dQ=TdS=0と矛盾する。故に状態量としてのエントロピーと看做せないはずである。しかし、系を代表する状態量としての採用できるとするmrauk見解で、熱力学的に矛盾が生じない整合性のある説明。
 示量性がない量をなぜ、系を代表する熱力学的状態量として看做しえるのかという疑問に対する合理的な説明(状態量や熱力学的関形式の再構築を含む)。
 こういったものがmurakさんから提示されないので、質問が繰り返されています。

  投稿者:murak - 2008/07/12(Sat) 21:22  No.4541 
>#4538

何度も同じ事を言わせないで欲しいのだが、

> dQ=TdS=0と矛盾。

というのは、ASAさんの準拠する「系の状態は、系全体を代表するたった一組の状態変数の組でかけるべし」というドグマに照らしてそうなるのであって、部分系に分割して(あるいは局所的な密度で)記述する立場からは何の矛盾もない。
(この辺のロジックがわからないようでは、その精神構造は、ある種の人たちと変らないと思うが。)

> 一定熱流なら変わらないはずですが。
> 準静的に変化させた場合と矛盾しますが、これはどう考えるのですか?
> 準静過程を否定するのですか?

これも既に答えているはずだが、準静的に変化させる事と定常状態のみを経由した変化は同じ意味ではない。そして終状態が定常状態であっても、そこに至る過程では一般に非定常状態を必ず経由するので、その際に状態量が変化する。(実際、定常状態しか経由しないのであれば、夫々の場所における状態変数は変化し得ない)

> 意味合いの異なる複数のエントロピーなる状態量を用いて系を記述できるという考えですか?

何が言いたいのか良くわからないが、そんな発言はしていない。局所平衡の考え方では、部分系毎(あるいは局所的)に、その状態を指定する状態変数の組が決まって、状態が指定されるというだけであり、その場合、夫々の部分系毎に平衡系の熱力学が適用される。(つまり平衡状態の熱力学の自然な拡張になっていると考えられる)

#4540> 状態量や熱力学的関形式の再構築

勿論各種熱力学関数は、部分系毎にその状態変数の組を用いて定義される。それらの熱力学関数は、エントロピーなり内部エネルギーなりからのルジャンドル変換で得られるし、各種示強変数もエントロピー等の熱力学関数の対応する自然な示量変数の偏微分として得られる(このあたりの理論構造は解析力学の場合と同様)。従ってエントロピーの自然な変数であるU,V,Nの各部分系での値がわかっていれば理論上何の問題も無い。(この点も過去に既に一度述べている)

#4540> 示量性がない量をなぜ、系を代表する熱力学的状態量として看做しえるのか

粒子間の相互作用が近接力と見なせる場合は、内部エネルギーやエントロピーを示量性を持つ量と見なす事がそれ程悪くない近似である事は#4536で挙げたような教科書が基本的に立脚する立場である。理想気体というのが気体における分子間相互作用を無視するという理想化によって得られる概念であることを考えるなら、理想気体を扱う際にエントロピーの相加性を仮定することはそれ程的外れではないだろう。また流体の方程式系を考える際に、熱伝導に関するフーリエの法則は局所的にのみ成立すると考えるのも、流体粒子の間に遠距離力が働く事をあまり想定していないからである。

  投稿者:murak - 2008/07/13(Sun) 00:18  No.4542 
>#4540

> その代表的なものとしてψ=Asin(kx)sin(ωt)を選択しました。
> フーリエの法則を採用するなら、局所的な温度勾配に伴い熱流が存在します(温度変化を引き起こす(ないしはおこしている)要因には関係しない)。

ASAさんが言っている解は、一般の流体の方程式から、場が一様等方的であることを仮定して微小変動を分離して得られた音波単独の方程式の一次元の場合の定常波解である。ASAさんが持ち出した系に即したカタチでの解になっているかどうかは未確認だと思うが。それと、またそのような温度変動があったとして、フーリエの法則に従う熱流が、現実的なパラメータの範囲で、それにちゃんと追従しているかどうかは、時間発展の問題をちゃんと解かねばわからないと思うが。

> 普通、過程に依存するはずですけど。

勿論一般論としては、系の状態変化に伴うエントロピー変化は、過程を追って計算するべきであるが、例えば理想気体の様に単純系の熱力学的関係式の完全積分がわかっている場合には、その完全積分である熱力学関数に既知である状態変数を直接入れてエントロピー等の状態変数を求めてかまわない。(念のため申し添えておくと、微分形式で書いたエントロピーに対する熱力学的関係式が完全積分可能である事と、エントロピーが状態量である事は等価である。この事も既に一度述べている)

> murakさんは、計算の過程を示しておりませんが、

元々の発端である、エネルギー密度一定の拘束の下で一定の温度勾配を持つような温度分布を持つ(理想)気体の一次元系のエントロピーの話については、計算過程を示す事でASAさんが納得するというのなら何時でも示しますよ。(ただ、示した後でいつもの如く「dQ=TdS=0と矛盾する」という理由にならない理由で計算自体を無意味と言うのはもう無しですよ。)

ともかく、ASAさんの言っている事の多くは既に一度は答えているので、同じ事を条件反射的に繰り返すのは避けて頂きたいのと、先に挙げた教科書の記述なんかもある程度参考にして頂きたいと思っています。

  投稿者:ASA - 2008/07/13(Sun) 07:28  No.4544 
>「系の状態は、系全体を代表するたった一組の状態変数の組でかけるべし」というドグマに照らしてそうなるのであって、
平衡系の熱力学の枠組みがそうなっている(ドグマ)ので、それに照らすと矛盾しているのです。

>(あるいは局所的な密度で)記述する立場からは何の矛盾もない。
 これがよく判らないのですよ。何度も繰り返しますが具体的に説明をよろしくお願いします。具体的にというのは、系を記述するにはいくつの状態が必要かとかもろもろですよ?
 もしかして熱力学のドグマそのものを否定しているのですか?
 こちらは、そのドグマの有効性を議論しているわけです。ある程度の範囲内に収まれば有効とします。そのため以前の議論では
、εを持ち出して議論してました。

>ロジックがわからないようでは、その精神構造は、ある種の人たちと変らないと思うが。
 くずな意見ですね。

>準静的に変化させる事と定常状態のみを経由した変化は同じ意味ではない。
 定常状態のみを経由する準静変化が存在しないことを式に即して証明してください。
 ここでの準静の前提は、非定常状態の影響を最小にする過程を選択してます。
 murakさんが見積もっている具体的に非定常状態の影響量はどの程度なのですか?

>局所平衡の考え方では、部分系毎(あるいは局所的)に、その状態を指定する状態変数の組が決まって、状態が指定されるというだけであり、
 一般の平衡状態と局所平衡の境界分けは、何を基準になされるのか、その切り分け条件を尋ねているのです。

>(この点も過去に既に一度述べている)
 局所的に矛盾しなくても、系全体で見たら矛盾しているのではどう考えても駄目でしょ。
 エントロピーの加法性が常に成立しているわけではないのですから。
 エントロピーの加法性が常に成立しているわけではないことを念頭において、局所的な熱力学関数も再構築しなければ駄目なんですよ。そしてそれがどのようなものになるかを尋ねているのです。

>エントロピーを示量性を持つ量と見なす事がそれ程悪くない近似である事は#4536で挙げたような教科書が基本的に立脚する立場である。
 内部エネルギは良いのですが、エントロピーを示量性を持つ量と見なす事がそれ程悪くない近似であるという証明は?
(もしかして、これは単なるドグマなんでは?)

>理想気体を扱う際にエントロピーの相加性を仮定することはそれ程的外れではないだろう。
 はあ?理想気体であっても粘性流体として扱えますよ。
粘性抵抗がある場合は、常に増加し続けるので相加性が成立するか疑問ですが?

>熱伝導に関するフーリエの法則は局所的にのみ成立すると考えるのも、流体粒子の間に遠距離力が働く事をあまり想定していないからである。
 これも意味不明です。電磁場の方程式も微分形式で近接作用的に記述されますが、影響は遠方まで到達します。
 "フーリエの法則は局所的にのみ成立する"と明記してある教科書を教えて下さい。筆者に意見したいと思います。


>場が一様等方的であることを仮定して
 そんな仮定はしてませんよ、局所領域でPρT間である熱力学的関係が成立することを仮定してます。ほんと、教科書見てください。(線形近似すれば、解の重ね合わせが成立します)

>ASAさんが持ち出した系に即したカタチでの解になっているかどうかは未確認だと思うが。
 すぐに確認できますよ。

>フーリエの法則に従う熱流が、現実的なパラメータの範囲で、それにちゃんと追従しているかどうかは、時間発展の問題をちゃんと解かねばわからないと思うが。
 追従しているかどうかが時間発展の問題として解くと判るというのが変ですよ。
 式的には、時間発展関係なく温度勾配が熱流です。

>微分形式で書いたエントロピーに対する熱力学的関係式が完全積分可能である事と、エントロピーが状態量である事は等価である。
 矛盾してますよ。過渡的状態を問題とするなら熱力学的関係式が完全積分可能という前提は成立しない。

>エネルギー密度一定の拘束の下で一定の温度勾配を持つような温度分布を持つ(理想)気体の一次元系のエントロピーの話については、計算過程を示す事でASAさんが納得するというのなら何時でも示しますよ。

 過程をきちんと示しながら、計算過程を示してください。
 (その過程が準静と看做せるものであるか、よく検討しましょう)

>ASAさんの言っている事の多くは既に一度は答えているので、同じ事を条件反射的に繰り返すのは避けて頂きたい
 ということで答えになってないのですよ。

>先に挙げた教科書の記述なんかもある程度参考
 なんかmurakさんが勝手に曲解やら鵜呑みをしていそうですね。murakさんの説明を聞く限り、今問題としている系を分析する(系を記述するパラメータは、どのようなとき最小となるか、近似度を含めて定量的に分析)に十分とは思えません。

 過渡的状況の時間発展を厳密に議論するなら、電磁波を含めたエネルギー輸送理論を展開しないといけないはずです(プラズマ流体よりははるかに扱いは単純ですけど)。
以前示したページには
http://idb.exst.jaxa.jp/microgravity/02478/200304J02478040/200304J02478040.html
輻射伝熱でBeer の法則とか紹介されてますね。
この辺を押さえておけば十分に議論できます。

  投稿者:ASA - 2008/07/13(Sun) 09:26  No.4546 
 補足
>>ロジックがわからないようでは、その精神構造は、ある種の人たちと変らないと思うが。
> くずな意見ですね。
 考えればわかりますが、ロジックの問題とは関係ないです。
要するに部分と全体とでの統合における矛盾の解決にはなってないのです。murakさんは「ロジックの問題」にすり替えることで逃げきれると自分勝手に思い込んでるだけ。まともに論ずることができなくなると「精神構造」という筋違いの問題を持ち出すことこそ、ある種の人たちの典型的な特徴ですね。

>(局所的な密度で)記述する立場からは何の矛盾もない。
 で矛盾がないといえるためには、
局所的な密度で記述された示容量が、系全体での加法性を満足できることを証明しなければなりません。
 (このような証明の一例は、準静過程の仮定を使いこのスレの先頭で論じてます。)

murakさんに求められているのは、過渡的過程を含めたより包括的なこの手の証明なのです、理解できますか?

 もしくは、熱力学の再構築により、"示容量が系全体での加法性を満足しなくても"、部分と全体で無矛盾の体系を提示するか、
 でなければ、そもそも怪しい状態量であるエントロピーを使用しない熱力学体系を提示するか(エントロピーに変わるより包括的な状態量を体系内に組み込む)。
 これらいずれかを提示することです。

(過渡的過程を問題にしなければ、スレの先頭で終わる話です。予想したとおり、murakさんからの無意味なコメントが続いてます。)

  投稿者:murak - 2008/07/14(Mon) 03:24  No.4555 
> #4544,4546

> 「ロジックの問題」にすり替えることで・・・

以前から、(問題としている内部エネルギー密度均一の系では)温度分布の変化に伴い物質の移動があるので、系全体としてはdQ=0でも部分系毎にはエントロピー変化があると申し上げているのですが、御理解頂けていないようです。何でしたら、この点に的を絞って、議論をやり直しても良いのですが如何されますか?

  投稿者:ASA - 2008/07/14(Mon) 07:28  No.4558 
>部分系毎にはエントロピー変化があると申し上げているのですが
 はっきり言って局所的な状態量の変化など、主眼でないです。各種の局所的量が連続(緩やかに変化)である系で系全体をみたとき、熱流があるときとないときで状態量がどう変化するか、いいかえれば、系の体積やら温度を変えるときの熱流の影響はどのようなものであるかが関心事です。
(熱流そのものも系内の連続(緩やかに変化)が前提です)
 この主題に沿わないような議論でしたら、別スレを立てるなりしてください。

 今までの議論によると、まずは、局所エントロピーと系全体のエントロピーの対応をNo.4546で示したような方法で明確にしてください。
 murakさんの定義する一般的エントロピーでは、揺らぎ等があるとき致命的な矛盾があること示しましたので、これへの回答が最優先です(これがなされないと無意味です)。

 ここでの議論の主題は、熱流の系全体の状態量への影響ということをお忘れなく。

  投稿者:ASA - 2008/07/14(Mon) 07:37  No.4559 
murakさんは過渡的状態を問題にしたいようなので、
http://www.fps.chuo-u.ac.jp/~kono/plasma.pdf
この辺をきちんと抑えていて下さい。
 プラズマ温度の定義として粒子の平均速度と関係付けています。集団運動と粒子運動との相互作用など参考になるでしょう。
 あと、乱流の統計理論も抑えておくと良いでしょう。

  投稿者:murak - 2008/07/16(Wed) 01:41  No.4597 
> はっきり言って局所的な状態量の変化など、主眼でないです。

そうですか。
以前はあれほど「dQ=TdS=0と矛盾」にこだわっておられたのに残念です。

ちなみにASAさんの疑問(矛盾)に対する本当の答えは従来の熱力学の体系の中にあるのですが、これ以上掲示板を汚しても仕方が無いので打ち切りましょう。

  投稿者:ASA - 2008/07/16(Wed) 06:39  No.4600 
>以前はあれほど「dQ=TdS=0と矛盾」にこだわっておられたのに残念です。
 だって、何度も局所的状態量の変化と系全体の状態量の関係について整合性のある説明を求めたのに、murakさんは満足に回答できないで逃げまわっていましたから。

ちなみに「dQ=TdS=0と矛盾」は系全体で見たお話です。

murakさんが定義した一般的エントロピーが矛盾することを示しましたし、決着がついていると考えます。

murakさんは、過渡的状態に関心がありそうなので、これの議論を展開するなら、スレを分けたほうが良いでしょう。
(以前のように長すぎるスレは迷惑となります)

>これ以上掲示板を汚しても仕方が無いので打ち切りましょう。
 あなたの議論は、掲示板を汚す類のものだったのですか?
ならば今後は控えた方がよろしいですね。

  投稿者:ASA - 2008/07/26(Sat) 08:51  No.4713 
後で纏めようと思っていますが、気になる点についてコメントしておきます。
>No.4395で
murakさんは、過渡的状況を問題にするために
>∂t T + (u・∇)T = -{1/(C_p*ρ)}*div(j)
を導いています。
div(j)=0なら
>初期時刻に温度が空間的に一様
>温度場はいつまでたっても空間的に一様なままになります。
と結論していますが、
 反論としては、
 1.初期状態として温度揺らぎがあった場合の考慮がなされていない。
 2.過渡的状態を云々するなら、圧縮粘性での方程式系に基づいて論ずるのが本筋です。
(そもそも完全流体の方程式系では、静的状態からある定常状態に達する解が存在しない。摩擦無しの系なので動き出したらとまらない故)
 準静過程を論ずる場合は、u=0と看做すので方程式系に関係なくなるが過渡的状況を云々するならきちんとしなければいけない。

  投稿者:murak - 2008/07/26(Sat) 12:14  No.4715 
誤解してもらうと困るのだが、私は過渡状態そのものを議論したいわけではないし、ASAさんが議論している方程式系を(私が)持ち込んだわけでもない。私の主張は、あくまで、

----------------
(1) ASAさんが持ち込んだ(粘性や揺らぎを考慮しない理想的な)方程式系に従うならば「div(j)=0を満たす熱流があっても、系の状態(基本場)は変化しない」というASAさんの主張は正しい。

(2) 上の(1)より、逆に、系の状態が(初期状態から)変化しているならば、途中必ず div(j) != 0 である(div(j)がゼロでない)状態を経由していなければならない事が言える。

(3) 従って、「(熱流がゼロの状態から始めて)常に div(j)=0 を満たすように熱流を変化させてゆけば、系全体のエントロピーを変化させないまま、系の温度構造を変化させられる」というASAさんの主張は論理としておかしい。
-----------------

というものである事をお忘れなく。

これに対して、ASAさんが「実際には粘性や揺らぎを考慮せねばならない」とお考えならば、ASAさん自身が(自分で正しいと思っておられる)方程式系を用いたシミュレーションなり何なりをされて、ご自身の主張を確かめてみられれば良いだけの話です。
その事自体に対して私は何の反対もしませんし、現実的なシミュレーションを行う上では、粘性やゆらぎをそれなりに考慮しなければならない事にも反対はしません(というより私自身それは必要だと思う)。

ただ、私がある文脈の中で述べた事を部分的に切り出してきて、(全体の文脈と切り離して)それだけが私の本来の主張であるかの如く述べるのは、迷惑なのでやめていただきたい。

  投稿者:ASA - 2008/07/26(Sat) 13:04  No.4716 
murak さんNo.4715
 論理の飛躍があります。
>系の状態が(初期状態から)変化しているならば、途中必ず div(j) != 0 である(div(j)がゼロでない)状態を経由していなければならない事が言える。
 これはかなり怪しいですよ。
 これを証明するためには、過渡状態そのものを議論しないといけません。あらゆる過程を分析することなしには言えません。

>(3) 従って、「(熱流がゼロの状態から始めて)常に div(j)=0 を満たすように熱流を変化させてゆけば、系全体のエントロピーを変化させないまま、系の温度構造を変化させられる」というASAさんの主張は論理としておかしい。
 が成立しません。

 元々この論理は、熱流を増加させるときの準静過程を考察するものであることをお忘れなく。
 murak さんも準静過程を否定するわけではないでしょ。

>ご自身の主張を確かめてみられれば良いだけの話です。
 はあ? 逆に怪しい主張をするまえにmurakさんが確かめるべきでは?

  投稿者:ASA - 2008/07/26(Sat) 13:18  No.4717 
 追伸

>ASAさんが議論している方程式系を(私が)持ち込んだわけでもない。
 平衡系の熱力学方程式との対応をとった形にしたのは、強力な過程である準静過程を前提としたの論理展開を考えているからです。

>私の主張は、
 murakさんの主張が全うであるためには、きちんとした方程式系でなさなければ意味がないということです。

>揺らぎを考慮しない理想的な)方程式系に
 後、誤解されているようなので明確に述べますと、揺らぎというのは方程式系ではなくて、初期条件に関することです。
 初期条件に関する分析が甘いという指摘です。
初期条件に関しても、十分な分析をおこなわなければ、murakさんの主張は成立しません(怪しいままです)。

  投稿者:ASA - 2008/07/26(Sat) 13:46  No.4718 
 元はこれですよね。
4382>隣接セルとの圧力バランスが常に成立するケースでは、過程に依存する比熱は定圧比熱とみなすことができ
ます。したがってC_x=C_p。Д(C_xρT)=C_pД(ρT)
さらに、定常ないしは、非常にゆっくりとした過程(準静)ではu=0とみなせるので
Д(C_xρT)=Cp∂t(ρT)が成立します。
 ここでは、等圧過程を前提にして式を導出してますね。状態方程式P0=ρTは定数なので。エネルギー方程式Д(C_xρT)=-div(j):
の左辺はこの過程で常に0です。エネルギーが保存しているなら左辺と右辺は常に等しくなければいけませんから、常にdiv(j)=0がいえます。
murakさんの主張とは、
"div(j)がゼロでない)状態を経由していなければならない事が言える。"
と食い違います。
 つまり、murakさんは、ASAが前提としていた過程と異なる過程を持ってきているか、または、エネルギーの保存を破っているかのいずれかですな。(なんにせよ、かなり怪しい主張であることは間違いないです。)

  投稿者:murak - 2008/07/26(Sat) 13:52  No.4719 
先の(1)〜(3)は少し雑だったので、もう少し丁寧に書き直しておきます。

----------------------
(1) ASAさんが持ち込んだ(粘性や揺らぎを考慮しない理想的な)方程式系に従うならば「div(j)=0を満たす熱流があっても、系全体のエントロピーは変化しない」というASAさんの主張は正しい。

(1') 更に、初期状態として温度場一様の条件が満たされているならば、(div(j)=0の熱流があっても)系の温度場は一様のままである。

(2) 上の(1')より、逆に、系の温度場が(一様な初期状態から)変化しているならば、途中必ず div(j) != 0 である(div(j)がゼロでない)状態を経由していなければならない事が言える。

(3) 従って、「初期状態として、温度場一様で熱流がゼロの状態から始めて、常に div(j)=0 を満たすように熱流を変化させてゆけば、系全体のエントロピーを変化させないまま、系の温度構造を非一様な状態に変化させられる」というASAさんの主張は論理としておかしい。
-------------------

というのが、より厳密な論理展開です。この際の(2)は論理的には(1')の対偶からただちに得られるので、(理想的方程式系に従う限り)論理としての飛躍はありません。

これに対して、ASAさんが、当初の「粘性を考慮しない方程式系」という前提を外し、さらに系のゆらぎを考慮することで、(厳密に)一様な温度構造という初期条件も外すことで、上の反論に更に反論しようとされているわけです。その場合、上の私の議論は(全体としては)成り立ちませんが、同時に、ASAさんの「div(j)=0 を満たすように熱流を変化させてゆけば、系全体のエントロピーは変化しない」も(#4382の論理展開に従う限り)根拠を失います。
従って、議論の順序としては、前提条件を外そうとしたASAさん自身が、まずは前提条件を外しても自らの主張が成立している事を示すのが筋でしょう。

(ちなみに、ゆらぎ等を考えるならば、「div(j)=0 を常に満たす時間発展」はますます考えにくいと思うが)

  投稿者:ASA - 2008/07/26(Sat) 14:37  No.4720 
>1') 更に、初期状態として温度場一様の条件が満たされているならば、(div(j)=0の熱流があっても)系の温度場は一様のままである。
 だから、前提としている過程では、これが成立しないと主張しているのですが理解できませんか?

>(2)は論理的には(1')の対偶からただちに得られるので、(理想的方程式系に従う限り)論理としての飛躍はありません。
 過程が異なるか、エネルギー保存を破っています。

 murakさんは、きちんと方程式系を用いた議論をしてませんよ。 ある過程の元で得られた熱伝導方程式と連続の式のみを使用した議論でしたね。


  投稿者:murak - 2008/07/26(Sat) 14:54  No.4721 
>>1') 更に、初期状態として温度場一様の条件が満たされているならば、(div(j)=0の熱流があっても)系の温度場は一様のままである。
> だから、前提としている過程では、これが成立しないと主張しているのですが理解できませんか?

だから、ASAさんの議論は矛盾に陥っている(間違っている)という主張です。

> 過程が異なるか、エネルギー保存を破っています。

ASAさんのおっしゃりたい「準静的に熱流を変化させるならば、常にdiv(j)=0を満足するような状態変化が可能」というのが、あり得ない過程(仮定?)なだけです。(証明できますか?)

> murakさんは、きちんと方程式系を用いた議論をしてませんよ。

してますよ。そのために
>∂t T + (u・∇)T = -{1/(C_p*ρ)}*div(j)
というのを導いているわけです。勿論方程式の一部しか用いていませんが、それで矛盾が出るというのは(私の議論に穴が無ければ)、ASAさんの主張が間違っているか、方程式系が矛盾しているかのどちらかです。

  投稿者:ASA - 2008/07/26(Sat) 15:13  No.4722 
>だから、ASAさんの議論は矛盾に陥っている(間違っている)という主張です。
 どこに矛盾があるのでしょう?具体的に指摘してください。
準静過程なのに、状態変化するのはおかしいという馬鹿げた指摘は無しですよ。
 準静過程と看做しえる過程として、等圧かつ等エネルギー密度の過程を前提として導入しているわけですから、


>あり得ない過程(仮定?)なだけです。(証明できますか?)
 要するに、準静過程はありえないと言う主張ですね。
熱力学の立場では、これを認めざるを得ないのですけども。

>というのを導いているわけです。勿論方程式の一部しか用いていませんが、それで矛盾が出るというのは(私の議論に穴が無ければ)
 一部だけだか穴があるのですよ。式の導出の前提を無視して、式変形をしているということがその一因として挙げられます。
 前にも指摘しましたが、過渡的状態を云々するならД(C_xρT)で議論するなりしないといけません。

  投稿者:murak - 2008/07/26(Sat) 15:52  No.4723 
> 要するに、準静過程はありえないと言う主張ですね。

そんな事は言ってません。

「準静的過程ならば常にdiv(j)=0」が疑わしい主張だと言っているだけです。

> 過渡的状態を云々するならД(C_xρT)で議論するなりしないといけません。

これまでのご自身の議論を覆すような発言ですね。#4382にご自身で以下の様に明記されています。
(私の議論は#4382のASAさんの議論(の前提条件)をそのまま使えば、同時に T の時間変化もゼロであることが言えるというものです。)

---------以下は#4382からの引用-----------
> 隣接セルとの圧力バランスが常に成立するケースでは、過程に依存する比熱は定圧比熱とみなすことができ
ます。したがってC_x=C_p。Д(C_xρT)=C_pД(ρT)

> さらに、定常ないしは、非常にゆっくりとした過程(準静)ではu=0とみなせるのでД(C_xρT)=Cp∂t(ρT)が成立します。

> 前提とするケースは、理想気体を一定断面積のチューブに満たし、端から与える熱を常にバランスさせる(加熱量=冷却量)ものであり系内の熱変化dQ=0、さらに準静的で圧力P0が一定の過程を想定してます。
> 亜種3-3より、-div(j)は0と看做せ。亜種3-2より、各セルでのエントロピー変化も0とみなせ、体積積分することで系全体のエントロピー変化がえられますが、これも0です。
---------------

ちなみに、この最後の部分の「亜種3-3より、-div(j)は0と看做せ・・・」はおかしいですね。系に関するエネルギー保存(全系に関するdQ=0)から言えるのは、系全体で積分した∫ρTdvの時間変化がゼロということで、局所的なdiv(j)=0はいえませんね(局所的にはdQ=0ではありませんから)

  投稿者:ASA - 2008/07/26(Sat) 20:28  No.4728 
> 「準静的過程ならば常にdiv(j)=0」が疑わしい主張だと言っているだけです。
そんな主張はしてません。
div(j)=0を満たす準静的過程が存在するだろうという主張です(存在しないとするといろいろまずいです)。
その候補として、もっともらしい定圧かつ等エネルギー密度の過程をピックアップしたわけです。
div(j)=0を満たすその他の準静的過程が存在するかもしれませんがそれについては述べていません。
 熱力学の枠組みがある程度通用するという立場なので、準静過程=可逆変化=エントロピー変化が0、これが成立しないとかなりまずいです。

 あと、熱力学では時間的変化については述べませんから、時間発展云々は意味がなく反論になっていないことを理解してください。


>これまでのご自身の議論を覆すような発言ですね。
 別に覆していません。

5つのクローズした方程式系を使えと最初に述べています。
亜種3-3はクローズした方程式系へくみこむことはできないです。C_xという過程に依存する変数が増えているので、クローズしません。
 ここのステートメントは、ある過程を前提とすると次のことが言えるという位置づけですね。

5つのクローズした方程式系を使用した議論をするなら
 定圧過程をもち出すと2運動量式よりu=0
 1質量式によりρ=ρ(x)時間的に変わらない。
 4状態式によりT=P0/ρ(x):時間的に変わらない。
 となりますが、これは予め判っていることで、
 等温準静過程で温度差がなくても熱が移動する(第0法則に違反)と同様に、dQ=0熱流の準静過程では、状態変化が起こる物と看做してます。
 3エネルギー式 ∂tU=-div(j)
等エネルギー密度の過程なのでdiv(j)=0
 という論理展開です。
 
>この最後の部分の「亜種3-3より、-div(j)は0と看做せ・・・」はおかしいですね。系に関するエネルギー保存(全系に関するdQ=0)から言えるのは、系全体で積分した∫ρTdvの時間変化がゼロということで、局所的なdiv(j)=0はいえませんね(局所的にはdQ=0ではありませんから)

 亜種3-3は、局所的なエネルギバランスの方程式なのでおかしくありません。導出過程なり物理的意味を良く考えてからコメントしてください。前提としている過程において局所的なエネルギー密度が変わらないからです。
 5つ方程式系を用いた議論と整合性が取れています。

 準静過程は、熱力学的等式が成立するための条件です。

 あと、熱力学の枠組みの問題としては、疎視化の問題が残っていますがこれも後に纏めようと考えてます。

  投稿者:murak - 2008/07/26(Sat) 22:00  No.4730 
> 熱力学の枠組みがある程度通用するという立場なので、準静過程=可逆変化=エントロピー変化が0、これが成立しないとかなりまずいです。

これはあくまで、系の状態が一組の状態変数の組でかける単純系についての話です。局所平衡系(あるいは複合系)では、部分系を個別に見たときは準静的変化にみえても系全体としては不可逆な変化(つまり広義の準静的変化)というものがありえるので、上の主張は必ずしも正しくない。
(それに、その事と、div(j)=0を満たす準静的仮定が存在するだろうという主張のつながりも良くわかりませんが)

> あと、熱力学では時間的変化については述べませんから、時間発展云々は意味がなく反論になっていないことを理解してください。

勿論、そのような見解もありえます。しかし、流体の方程式系を持ち込んだ議論を始めたのはASAさんであり、私はそれに付き合って、#4382の議論に従うなら#4395あるいは#4719という議論ができる事を述べたまでです。そして、

> 5つのクローズした方程式系を使えと最初に述べています。

これを言うなら、当然ASAさん自身の議論もそれに従わなくてはなりません。その場合、ASAさん自身が#4728で述べられている論理展開に従うと、「5つのクローズした方程式系を使用し」なおかつ「等圧過程」と「等エネルギー密度の過程」という条件を課すならば、系は結局(div(j)=0ではあるけれども)「u=0で、温度場も密度場も時間変化しない」という状況しか許されない事になってしまいます。

つまり、ASAさんが望むような、準静的変化でなおかつ等圧・等エネルギー密度という条件を満たす過程を考える上では、流体の方程式系を用いた議論はさほど有効な情報をもたらしていない。(言い換えるなら、ASAさん自身が上で述べているように「熱力学では時間的変化については述べませんから、時間発展云々は意味がなく」という状況にまさしくなってしまう)

これを避けるなら、「等圧過程」とか「等エネルギー密度」という拘束条件にはとりあえずこだわらずに、何等かの初期値と境界条件の下で流体の方程式系を時間積分してみて、どうなるかをみるしかないでしょう。(その場合、一般には運動が生じて div(j)=0 でも、定常でもない状態を経由しながら系は時間発展するでしょうし、計算が安定するためにはASAさんが#4713で述べておられるように粘性を考慮しておく必要もあるでしょう。更には、もっと他にも様々な工夫が必要になるかもしれない。ただ、境界条件として、両端で熱の出し入れを行うなら、初期値の揺らぎに関しては、あまりこだわる必要は無いような気はしますが。)

そうでなければ、時間変化を陽に扱う事をやめて、純熱力学的な議論に戻るかのどちらかですね。(どちらを選択するかはASAさんがご自由に決められればよい事です)

  投稿者:ASA - 2008/07/27(Sun) 07:18  No.4736 
murak さんNo.4730
> これはあくまで、系の状態が一組の状態変数の組でかける単純系についての話です。
 これが良く分からないのですよ。
これも何度も質問しましたが、今のケースだといくつの状態変数の組で記述できる状態と考えているのか明確に回答してください。この系の体積を変化させるときはどのような記述になりますでしょうか?これにも具体的に答えてください。

>局所平衡系(あるいは複合系)では、
 今は複合系ではないですよ。局所平衡系と看做せるかもしれませんが。

>個別に見たときは準静的変化にみえても系全体としては不可逆な変化(つまり広義の準静的変化)というものがありえるので
 局所平衡系として準静変化なのに系全体としては不可逆な変化(つまり広義の準静的変化)とは、どういう状態変化なのでしょうか?今のケースに即して具体的に説明してください。
(なんか、お得意のトンデモ主張のような気がする)


>流体の方程式系を持ち込んだ議論を始めたのはASAさんであり、私はそれに付き合って、#4382の議論に従うなら#4395あるいは#4719という議論ができる事を述べたまでです。

それが意味の無い議論。
自覚しておられるように、掲示板を汚すことになっていることを心に留めて欲しいものです。

>当然ASAさん自身の議論もそれに従わなくてはなりません。
>これを避けるなら、「等圧過程」とか「等エネルギー密度」という拘束条件にはとりあえずこだわらずに、
 方程式系を与えることで、各種変数がゆっくり変化する過程なので、例えば∂tρがほとんど0に看做せることが判るように、div(j)も0と看做せることを示しているのです。
 準静過程を考えるから、これはこれでOKなのですよ。
 厳密に0でなくても、0と看做せればOKという議論なのです。
 この違いが判らないのでしょうか?
 (時間発展を陽に追わなくても成立する議論を展開しているのです。ここが理解できないのでしょうね。)
 
 それとも、murak さんはこれが0と看做せないと主張しているのしょうか?
 ならば、具体的どの程度の値になるのか示してください。
(それにしては、初期条件の与え方など、かなり杜撰だが)

>両端で熱の出し入れを行うなら、初期値の揺らぎに関しては、あまりこだわる必要は無いような気はしますが。
 またトンデモなことを主張してますね。

時間発展を追うなら、分子運動論的なエネルギー輸送の知見を入れて方程式系を考慮しなくてはいけません。
 とりあえず圧縮性完全流体近似で、分子のランダム運動を模倣するため、ランダムな渦が存在し、各種波動が合成された状態を初期状態としなければなりません。変数をマクロ的に平均化するとある値で安定している状態です。時間発展は、変数平均を追うということになります。最終状態は、ある振動状態であると予想されますが、平均化した変数は、あるトレンドを見せる(そのような解が存在する)。

紹介したプラズマのページを参照しましたか?

あと、このようなスキームでは、murakさんが定義したエントロピーが破綻していることは既に述べました。

  投稿者:murak - 2008/07/27(Sun) 23:28  No.4753 
> 今のケースだといくつの状態変数の組で記述できる状態と考えているのか明確に回答してください。

以前の計算例では、最初はASAさんの持ち出された系の性質を良く把握できていなかったので、二分割とかで計算して様子を探っていましたが、今なら、温度、密度、エントロピー(密度)等を連続変数 x の関数として記述しておいて計算する事も可能です。

>> 個別に見たときは準静的変化にみえても系全体としては不可逆な変化・・・

例えば、断熱壁で隔てられた温度差のある気体が、途中から壁の断熱効果が無くなって熱的交換をしながら平衡に向かう際のことを考えればそれで十分でしょう。


> 例えば∂tρがほとんど0に看做せることが判るように、div(j)も0と看做せることを示しているのです。

厳密にゼロでも、ゼロとみなせるでも、どちらでも良いですが、「エネルギー密度一定」という系の性質から ∂tU=-div(j)=0 とみなし、更に密度場の時間変化も無いと考えているのであれば、同時に温度場の時間変化も無いのではありませんか?(今の場合、エネルギー密度一定という条件は、温度場の局所的な変化を補償するように密度場が変化すること(あるいはその逆)で実現されているわけですから。)
つまり、これまでの議論と同様に、その際の方程式系の示すバランス関係は、div(j)=0 でありつつ、かつ両者の時間変化率がゼロとみなせる定常状態(あるいは準定常状態)を示しているにすぎません。(系が他の定常状態へ遷移する際には、当然このバランス関係は崩れて別のバランス関係が成り立つ事になる。もし、温度場や密度場の時間変化率がゼロであることを保ちつつ、系の状態が別の定常状態に遷移するという議論をするのであれば、それは方程式系の支配を超越した議論(つまりは純熱力学的な議論)を行っている事になる。勿論、遷移後の新たな状態については、再び各状態量の時間変化率をゼロとした(新たな)バランス関係が方程式系と整合性するように成立する。)

それともう一つ、この議論で疑問なのは、「エネルギー密度均一」という拘束条件と、流体としての支配方程式系の間の整合をどうやってとるのかという点です。この「エネルギー密度一定」という条件は、元々、系の動的な側面を考慮しない、熱力学的な議論をしている際に出てきたものです。一方、流体の支配方程式系である5つのクローズした方程式系自体には、系をそのように拘束する効力はない筈です。その場合(例えば具体的なシミュレーション等で)その条件をどのようにして計算に反映させるのでしょうか?

初期値の問題については、私の書き方が少々軽率だったかもしれませんが、初期値の重要性については十分認識しているつもりです。実際、気象シミュレーションの例ですと、下手な初期値をあたえると、重力波が不必要に増大してすぐに計算が破綻してしまうので、それを防ぐように初期場を調整する技術は、実用的なシミュレーション(つまり天気予報)では必須となります。先の発言は、このような事とは別に、今の例では両端から熱を出し入れするので、初期の温度場が完全にフラットであっても擾乱は自動的に生じるだろうと思ったので、初期場にゆらぎがなくても(系に時間変化が起こらないと)心配する必要は無いというつもりであのように書いたわけです。とはいえ、計算が破綻しないように十分制御された初期値を与えるべきだという意味でなら、初期値のあたえ方は重要であるし、同時に境界条件の与え方にも十分注意が払われるべきであろうとは思います。

> このようなスキームでは、murakさんが定義したエントロピーが破綻していることは既に述べました。

確かに、系内で熱流の往復があると、エントロピーは生成されつづけますが、先のASAさんの議論では境界におけるエントロピーの出入りについて十分触れられていません。今の例では、平均的な温度場は勾配を持っていて、境界を通じての系外部との熱の流れがあるので、それに伴うエントロピーの出入りをちゃんと調べないと本当の事はわからないと思っています。

  投稿者:ASA - 2008/07/28(Mon) 06:41  No.4754 
>> この系の体積を変化させるときはどのような記述になりますでしょうか?これにも具体的に答えてください。
>温度、密度、エントロピー(密度)等を連続変数 x の関数として記述しておいて計算する事も可能です。
再度質問しますが、体積を変化させるときはどのような記述になりますでしょうか?
 計算過程をきちんと示してください。
いつものように逃げては駄目です。
(熱力学の最大のメリットを犠牲にする物理的理由についても伺いたいところです。この辺りは、粗視化の問題と関連してますね。)

>例えば、断熱壁で隔てられた温度差のある気体が、途中から壁の断熱効果が無くなって熱的交換をしながら平衡に向かう際のことを考えればそれで十分でしょう。
 この系は、断熱壁で隔てられていません。熱力学的変数にギャップがないケースであると再三述べています。まったく異なるケースにもかかわらず同一視するのですから、相変らずナンセンスです。何故、同一視できるか基礎方程式群から導いてもらえませんか?

>更に密度場の時間変化も無いと考えているのであれば、
 そう考えていませんよ。murakさんの立場で説明するとしたらそういう説明が可能であることを示しただけで。
>方程式系の支配を超越した議論(つまりは純熱力学的な議論)を行っている事になる。 
等温準静過程が第0法則と矛盾することを示したのと同様の理由です。このスレのタイトルに即してあくまで熱力学の議論を以前からしているのですが、今頃気づいたのですかほんと相当ボケてますね。
 また、過渡的状態を追うならスレが長くなりすぎる恐れがあるので別スレを展開しろと述べてます(自分は時間発展はあまり興味ない)。

 方程式系を持ち出した理由は、今想定している定常な終状態が物理的に矛盾するものではないことを示すに利用しています。つまり、定常終状態を求めるのに方程式系を使用しているのです。
 (第0法則と矛盾しないように等温準静過程の終状態が取られるのと同様の熱力学的フレームに則った議論展開)
 このあたりの論理展開が理解できないのでしょうね。
 なので、時間発展は問題としない立場です。
 だから、時間発展云々のmurakさんの指摘は、"無意味"だとか"準静過程の否定"とかコメントしたわけです。
 お得意の勘違いで、議論が不利になった言訳と捉えたようですけど。 

>系内で熱流の往復があると、エントロピーは生成されつづけますが
>先のASAさんの議論では境界におけるエントロピーの出入りについて十分触れられていません。今の例では、平均的な温度場は勾配を持っていて、境界を通じての系外部との熱の流れがあるので、それに伴うエントロピーの出入りをちゃんと調べないと本当の事はわからないと思っています。
 またボケてますね。孤立した系でその内部が波だっているケースで矛盾しているのだから、外部との熱の流れがあるケースでも明らかに矛盾します。
 要するにmurakさんはこの系を分析するにたる定義やツールを持っていないことが明らかになったのですから、頓珍漢な意見(掲示板を汚す)しかできないのです。
 (以前は、ある程度分別があってこの件は意見できないと述べていましたね。)

  投稿者:murak - 2008/07/29(Tue) 02:13  No.4763 
>> 方程式系を持ち出した理由は、今想定している定常な終状態が物理的に矛盾するものではないことを示すに利用しています。つまり、定常終状態を求めるのに方程式系を使用しているのです。

このスレッドの最初(#4382)で、ASAさんは、流体に対する5つの(クローズした)方程式系を(エネルギー方程式に関する幾つかの亜種も含めた上で)紹介し、ご自身が持ち出された系に当てはめて幾つかの議論をされた後、

--------------------#4382からの引用-------------
連続した熱流がある場合、系内に温度差があっても系内変数は変わらないことを示せました。
 別スレ(無題)の発端である、"エントロピーが減少し、第2法則に反する”というのは平衡状態の熱力学だけで考えるとありがちな勘違いです。
--------------------引用終わり-----------------

と述べられていますが、この発言は撤回されたと理解してよろしいですか?
このスレッドで私が繰り返してきた主張は

(1) 系が定常に達していれば、熱流があっても、それは系の状態量に影響を与えない。(従って定常状態の間は系の全エントロピーも変化しない)

(2) 系が定常でなければ、上の(1)は必ずしも成立しない。(なので、定常状態から別の定常状態へ系が遷移するなら一般には系の全エントロピーは変化し得る)

というものでしたが、そのことが御理解頂けているならば、これについてはこれ以上申し上げるべきことはありません。


------------------
> 孤立した系でその内部が波だっているケースで矛盾しているのだから、外部との熱の流れがあるケースでも明らかに矛盾します。

なんだか怪しげな事をおっしゃってますね。孤立した系ならばいつかは最終的な熱平衡状態に達して、それ以上(マクロな)変化は起こらなくなるのではありませんか? つまりエントロピーの増大もそこで止まるわけだから、孤立系の場合を考える必要は(実は)ありません。
一方、系が熱的(あるいはエネルギー的)に外部と接触していると、そのこと自体が系に(継続的な)熱的なゆらぎをもたらしますが、それは同時に(系内で生じた)エントロピーの排出口を提供している事にもなるわけです。(ただし、そのことをちゃんと議論するには、正常に機能しているシミュレーション結果を解析する必要があると思われるので、以前は「意見できない」と述べたし、今回も「ちゃんと調べないと本当のことは分からない」と書いています。ちなみに、気象のシミュレーションの例から言えば、系内にエントロピーがたまり続けるような事は起こりません。勿論系が違うので類推以上の事は言えませんが。)


----------------------
>> 例えば、断熱壁で隔てられた温度差のある気体が、途中から壁の断熱効果が無くなって熱的交換をしながら平衡に向かう際のことを考えればそれで十分でしょう。
> この系は、断熱壁で隔てられていません。

上の私の発言(>>)は、#4728におけるASAさんの

> 熱力学の枠組みがある程度通用するという立場なので、準静過程=可逆変化=エントロピー変化が0、これが成立しないとかなりまずいです。

という発言に対し、熱力学の一般的な枠組みの下では必ずしも「準静過程=可逆変化=エントロピー変化が0」となっているわけではない事を示す為に述べた例です。なので、一般論として答えているだけです。

-----------------------
>> 再度質問しますが、体積を変化させるときはどのような記述になりますでしょうか?

「体積を変化させるとき」の意味が良くわかりませんが、ASAさんの持ち出された一次元的な気体の系の例で、両端から熱の出入りをさせながら(同時に)系全体の体積を変化させてゆくという意味なら、そんな難しい事は私の手に余ります。
(そもそもの議論の発端から考えれば、そこまで考える必要は無いと思いますが。)
ちなみにASAさんは解答できるのですか?

  投稿者:ASA - 2008/07/29(Tue) 06:33  No.4764 
> と述べられていますが、この発言は撤回されたと理解してよろしいですか?
飛躍しすぎですよ。何故こういう結論になるのか理解できません。

>(1) 系が定常に達していれば、熱流があっても、それは系の状態量に影響を与えない。
 体積とか変化させた場合はどうなるのでしょう?

>(2) 系が定常でなければ、上の(1)は必ずしも成立しない。
 具体的にどのような状態量がどのくらい変化するのですか?
 murakさんの定義したエントロピーは、系の状態量として意味を持たないことは既に示しました。
 意味を持たない量を例にして変わる可能性があると主張されても無意味です。

>それ以上(マクロな)変化は起こらなくなるのではありませんか?
 また勘違いをしてますね。熱力学的知見だとマクロな状態量の変化は起こらなくなるといえます。しかし、定在波のような定常状態では、マクロな状態量は(粗視化で)一定とみなせますが、ミクロ視点では変化し続けているのです。

> つまりエントロピーの増大もそこで止まるわけだから、孤立系の場合を考える必要は(実は)ありません。
 またトンデモを主張ですね。音があるとエントロピーが増大し続けると主張してますね。
 粘性流体近似でも音波がなくなるまではかなり時間がかかります。マクロ視点からは、状態量が変わらないとみなせますが、音波が絨毯している間エントロピーが増えつづけるというのは、マクロ状態量として不適格です。(微小なノイズは、永遠に消えない)

>一般論として答えているだけです。
 やれやれ、やはり意味無しでしたか。掲示板リソースを有効に使うためにも、今のケースについてのみ述べられたほうがよろしいですよ。当方の発言は今のケースについてですから。

>「体積を変化させるとき」の意味が良くわかりませんが、ASAさんの持ち出された一次元的な気体の系の例で、両端から熱の出入りをさせながら(同時に)系全体の体積を変化させてゆくという意味なら、そんな難しい事は私の手に余ります。
 そうですか。

>そもそもの議論の発端から考えれば、そこまで考える必要は無いと思いますが。
 当方の問題意識は4558で提示しましたけど
>>系の体積やら温度を変えるときの熱流の影響はどのようなものであるかが関心事です。

>ちなみにASAさんは解答できるのですか?
フーリエの法則を満たすdQ=0の弱熱流は、状態量に影響しないことを前提にしてますので、当然普通の熱力学で扱います。

  投稿者:waki - 2008/07/29(Tue) 21:10  No.4767 
熱い議論?の中すみません。
1つ質問宜しいでしょうか?
音でエントロピーが増えたら何が問題なのですか?

  投稿者:ASA - 2008/07/29(Tue) 21:50  No.4768 
wakiさんNo.4767
孤立系で熱の出入りがない場合、dQ=TdS=0からdS=0にならなければおかしいのに、時間と共にずっと増加し続けるならば、その系の熱力学的状態量として意味をもちえません。
 何かうまい解釈方法をお持ちでしょうか?

  投稿者:waki - 2008/07/29(Tue) 22:50  No.4770 
すみません、最初の方を良く見ていませんでしたが、No.4423の議論のようですね。
振動の力学的エネルギーが熱に変わる話では無いのですね。早とちりでした。しかし何故u=0で定常的な温度変化が実現出来るのですか?

  投稿者:murak - 2008/07/30(Wed) 01:50  No.4773 
#4764について、言うべき事は色々ありますが、また忙しくなってきましたので、(私の方は)しばらく議論は中断します。

なお、流体の方程式系に基づく揺らぎについては、以前の発言では、(ASAさんの計算に惑わされて?)つい「増え続ける」と書いてしまいましたが、実際にはそうならないと予想しています。(今は、時間が無いですが、そのうちちゃんと考えます。)

  投稿者:ASA - 2008/07/30(Wed) 06:36  No.4774 
waki さん No.4770
>振動の力学的エネルギーが熱に変わる話では無いのですね。
熱に変わらずに存在するというだけで増加し続けます。
 またその量は、k^2(k:波数)に比例しますので、同一のエネルギーを持つ振動でも、波数によって与える影響が異なるという普通解釈できないものになってます。

>u=0で定常的な温度変化が実現出来るのですか?
 準静過程の神秘です。
 等圧準静過程で、圧力差がないのに何故体積が変化できるのですか?
 等温準静過程で、温度差がないのに何故熱が移動するのですか?
 と同様の疑問ですね。
 変数の時間変化が極めてゆっくりで、最終状態になるまでその変数はあまり変わらず、ほとんど同じとみなせるというのが準静過程の性質です。

  投稿者:waki - 2008/07/31(Thu) 02:50  No.4785 
なるほど、空間の至る所でu=0から定圧過程(準静的過程)としているのですね。しかし、空間の熱流差から温度・密度変化のタイムスケールが空間で異なる結果になりませんか?また、t=0では空間一様なので、時間発展は無いのでは?

  投稿者:ASA - 2008/07/31(Thu) 06:55  No.4789 
waki さん No.4785
>時間発展は無いのでは?
熱力学の準静過程の神秘です。

 元から熱力学では時間発展を問題にしません。対象とする系は、熱平衡で状態量が決まるとしてます。
状態量の変化d'Xを扱うときは、変化の途中も熱平衡状態が想定されていて、もし、変化の途中で熱的非平衡状態が生じたとしても終状態の状態量に影響しない、つまり、終状態がユニークに定義できる(終状態の状態量は、そこへ至る過程で異なる値にならない)としてます。
 今までの議論では、上の基本仮定を踏襲してます。まず、基本方程式からこのケースでの終状態を求めました。終状態の用件は、u=0を満たすものです。従ってu=0と看做せる定圧過程(準静的過程)を想定します。また、系内のエネルギーの増加無しから等エネルギー密度の過程であることもわかります。

>空間の熱流差から温度・密度変化のタイムスケールが空間で異なる結果になりませんか? 
 熱力学的フレームワーク(ドグマという呼ぶそうです)を採用する限り、熱流は一定と看做せます。

>t=0では空間一様なので、時間発展は無いのでは?
 粗視化の問題と関係しますが、空間一様が曲者です。
分子スケールのミクロ的知見に基づき、分子クラスター程度のセルを考えると、気体分子運動のためいたるところでセル速度u=0ではありえません(あるスケールで視ると<u>=0と看做せますが)。
 本質的にカオス(フラクタル的様相が時間変化してるかも)であって、あるスケールで視た時のトレンドが変化しないとはいえません。今の例だとρ,Tが変化します。
 しかし、熱力学的フレームでは、現象論的に状態変化することを前提にしていて、この辺りのミクロな様相を問題にする必要がないというのが、その特徴であり、また、大きなメリットでもあります。

  投稿者:waki - 2008/07/31(Thu) 23:12  No.4816 
すみません、言葉足らずだったようですね。No.4423の話をしていました。温度が空間の三角関数なので熱流は一定では無いですし、空間一様でu=0ならば時間発展できないと考えています。
冒頭の方程式は局所平衡が時間によらず成り立つ事が仮定されています(局所的状態量が常に定義できる)。つまり、局所的に熱平衡へ至るタイムスケールはマクロな変動のタイムスケールに比べ十分速いと言う事です。なので定圧過程も有限時間で起りますし(密度変化と熱流の収支が常にバランスしていれば良い)、空間の至る所でu=0でなければならない必然性は無いでしょう。これなら時間発展を考える事はできるのでは?

ただし、カオスを考えておられるのであれば、そもそも局所平衡が成り立たないので一連のエントロピー論争が無意味という考えには賛同致します。

  投稿者:ASA - 2008/08/01(Fri) 06:27  No.4818 
>No.4423の話をしていました。温度が空間の三角関数なので熱流は一定では無いですし、
No.4423では、局所的熱流がある定常状態のケースです。
この場合、murakさんの定義するエントロピーが変化し続け、状態量として不適切であることを示しました。定常状態でマクロ的に落ち着いているのでマクロ的な時間発展をする必要はありません。しかし、ミクロ視点からは、u,ρ,Tなど各種の変数は、振動してます。

>空間の至る所でu=0でなければならない必然性は無いでしょう。これなら時間発展を考える事はできるのでは?
 既に説明したように、熱力学の枠組みでは時間発展を考える必要がないので、この部分はネグってます (準静では<u>=ε=0とみなせるし、準静でないと熱力学的等式が成立しないので)。時間発展を考えるなら、違う枠組みで統一的に扱う必要があるでしょう(常に、局所変数とマクロ状態量の関係を明確にできることが必須)。

>カオスを考えておられるのであれば、そもそも局所平衡が成り立たないので
>一連のエントロピー論争が無意味という考えには賛同致します。
 局所的な温度と圧力が定義でき、それらが関係を持っていることが方程式系での局所平衡用件ですので、物理的なカオスは成立します。
 しかし、murakさんが興味を持っておられる過渡的状況での時間発展を考えるのは、かなり難しいです。murakさんは時間発展を統一的に扱う枠組みでもってきちんとマクロ状態変数の議論をしてこなかったので、議論が無意味なものとなってます。(主題は、マクロ状態変数がどう変わるかということにあります)

  投稿者:waki - 2008/08/01(Fri) 22:55  No.4835 
ASAさん、
冒頭の式は非平衡系ですので、既に熱力学の枠組みを超えていると思います。
そもそも冒頭の式は従来の熱力学では扱えない非平衡系を何とか取り扱う方法は無いか?
という狙いで熱力学を拡張しようとしたものではないでしょうか?

熱力学で非平衡系の時間発展を取り扱えないのは、@非平衡状態の状態量が定義出来ない、A熱平衡状態に至るまで無限の時間を要する、からだと思います。
しかし、@'局所的な状態量なら定義でき、A'有限の時間で局所的平衡状態が実現している(と近似する)非平衡系についてなら、冒頭の式で取り扱えるのではないか?という事ではないでしょうか(A'の局所的タイムスケールがu等で決まるマクロな変動のタイムスケール(T(x)等の変動)より十分小さい事が条件)。

ASAさんは∫Gs(x)dxをマクロの状態量、Gs(x),T(x)などは熱揺らぎで変動する状態量と考えている様ですが、上を踏まえると、あくまで局所的には常に熱平衡状態です。つまり、例えばある瞬間に局所的に断熱壁で囲んだら、その部分は時間変動しない状態量を扱っています。これでは熱揺らぎは取り扱えないのではないでしょうか?

>局所的な温度と圧力が定義でき、それらが関係を持っていることが方程式系での局所平衡用件ですので、物理的なカオスは成立します。
カオスでは相空間上の軌跡がフラクタルになりエルゴート性が有りません。ので一般に局所平衡は成立しないと思います。
まぁ、カオスの議論は主旨と外れますし、良く知らないのでボロが出ない内に止めときます。。。

  投稿者:ASA - 2008/08/02(Sat) 06:02  No.4840 
>つまり、例えばある瞬間に局所的に断熱壁で囲んだら、その部分は時間変動しない状態量を扱っています。これでは熱揺らぎは取り扱えないのではないでしょうか?
 理解できません。
 意図するところとしては「瞬間に局所的に断熱壁囲んだら」ではなくて、「瞬間に局所的に孤立させたら」だと思います。
 実際問題として、周囲と相互作用し状態変化し続けるミクロ部分を孤立させることは不可能です("粗視化問題"と絡んでいそう)。このような不可能なことを想定すること自体無意味です。
一般に局所変数の揺らぎは扱えます。

>カオスでは相空間上の軌跡がフラクタルになりエルゴート性が有りません。ので一般に局所平衡は成立しないと思います。
 飛躍がありそうなので、詳しい説明をお願いします。
局所変数の軌跡がフラクタルでも、エルゴート性は変数のアンサンブルを考えたときの話なので直接関係しないように思えます。部分的にはカオスでも系全体では保存則(エネルギー)を満たしている(これが強力な縛りになっている)ので、系全体としてみたときの相空間上の軌跡は、一定内に収まっています。
 あと後半部分の「一般に局所平衡は成立しないと思います。」に関して、エルゴート性と局所平衡との関係を説明してください。

  投稿者:waki - 2008/08/02(Sat) 11:13  No.4842 
ASAさん、
>理解できません。
No.4835の前半部分は同意されているのでしょうか?
あと、誤解しないで頂きたいのは、冒頭の式では熱揺らぎを扱えない(というか、想定していない)と言う事には同意しています。

カオスに関しては止めときます(ボロが出るから)。

  投稿者:murak - 2008/08/02(Sat) 11:35  No.4844 
懸案であった#4423の問題、すなわち、「流体中に存在する音波等の揺らぎにより、系内のエントロピーが増えつづけてしまう」という問題に決着をつけましょう。

結論から言えば(今回も例によって)ASAさんの間違いです。ポイントは次の二つです。

(A) 微小擾乱のオーダー評価の方法
(B) 擾乱の方程式は波動解を持つか(あるいは音波は熱流を伴うか)?

以下でそれを見てゆきます。

-------------------------------
まず、便宜のためにこのスレッドの冒頭(#4382)においてASAさんが導入した流体の方程式系(と本質的に同じ物)を再掲しておきます。

(1) 連続の方程式
         ∂_t(ρ) + div(ρu) = 0
(2) 運動方程式
         ρ∂_t(u) + ρu*∇u = -grad(P)
(3) エネルギー方程式
         ∂_t(ρU) + div(ρUu) = -P*div(u) - div(j)

ただし、エネルギー方程式は(単位質量あたりの)内部エネルギー密度Uで書いています(U=C_v T)。方程式系を閉じさせるためには更に次の補助方程式

(4) 状態方程式
         P = ρ R T   : R は気体定数
(5) 熱流に関する方程式
         j = -κgrad(T)

を必要とします。方程式系は以上で閉じますが、エントロピーの変化をみるために、

(6) エントロピー方程式
         T { ∂_t(ρS) + div(ρSu) } = - div(j)

も書き下しておきます。


最初に、(u=0であるような)定常状態を求めておきます。上の方程式系で ∂_t のかかる項をゼロとし、更に u=0 とおくことで得られる状態変数を P_0 等と書くことにすると、

(2-0)  grad(P_0) = 0   (P_0 は定数)
(3-0)  div(j_0) = 0   
(4-0)  P_0 = ρ_0(x) R T_0(x)
(5-0)  j_0 = -κgrad(T_0)

という関係式が得られます。(これらは全て時簡に依存しない事にも注意)

次に、各変数を ρ=ρ_0 + ρ' の様に基本場(定常成分)と擾乱成分に分解し、(2-0)〜(5-0)等を使って、元の方程式系から擾乱成分に関する方程式系を分離すると

(1')  ∂_t(ρ') + div(ρ_0*u') = 0
(2')  ρ_0∂_t(u') = -grad(P')
(3')  C_v{ ρ_0 ∂_t(T') + T_0 ∂_t(ρ') } + C_v div( ρ_0 T_0 u' ) = P_0 div(u') - div(j')
(4')  P' = R { ρ' T_0 + ρ_0 T' }
(5')  j' = -grad(T')

が得られます。ただし、擾乱成分に対する方程式は線形化されています。この議論は形式的にはASAさんが導入したような摂動パラメータεを導入して、その冪毎の係数をゼロとおくことから得られますが、その本質は擾乱成分の基本場に対する大きさの比が例えば 10^{-2} くらいだとすると、2次の項の大きさは 10^{-4} 程度となって、方程式のバランス関係がオーダー的に分離されるという事です。

同様に、エントロピーも S = S_0 + S' と分解してやると、

(6')   T_0 { ρ_0 ∂_t(S') + S_0 ∂_t(ρ') } + T_0 div( S_0 ρ_0 u' ) = -div(j')

が得られる。これをもう少し変形すると

(6'')  T_0 { ∂_t(ρ_0 S') + ρ_0 u'*grad( S_0 ) } = -div(j')

を得る。

従って、ASAさんの言うように、もし T' 等が定常波の解を持ったとしても、div(j')やu'を空間時間平均すればゼロとなって、エントロピーの増大は無い。(ASAさんの間違いは方程式の右辺でしか擾乱成分を考えなかった事です。そのため2次の項が単独で出てきて残ってしまった。)

(続く)

  投稿者:murak - 2008/08/02(Sat) 11:37  No.4845 
更に続けよう。

先の発言で、微小擾乱に対する線型方程式系を求めたので、これが波動解を持つかどうかを調べる。

そのために、擾乱の方程式(1')〜(5')を(補助方程式(4')(5')を用いて)整理し、方程式式系をX=(ρ', u', T')^t(このtは転置)というベクトルを用いて

   ∂_t X = P X

と表しておく。ただし、Pは


   (     0       -ρ_0*∂_x        0        )
   ( -R(T_0/ρ_0)*∂_x     0         -R*∂_x      )
   (     0      -T_0(R/C_v)*∂_x  (κ/ρ_0/C_v)*(∂_x)^2 )

という微分演算子からなる行列です。(ただし一次元で、ρ_0, T_0 が定数の場合を考えている。またγは比熱比)

ここで、ρ', u', T' が exp(ikx - iωt) に比例するような解(波動解)を持つとして上の方程式に代入すれば、行列P'を

   (    iω     -ikρ_0         0      )
   ( -ikR(T_0/ρ_0)    iω        -i k R     )
   (    0     -ikT_0(R/C_v)  iω - k^2(κ/ρ_0/C_v) )

として、

       P' X = 0

という方程式が得られる。これがゼロでない解を持つための条件は det(P')=0 であるからωに対する方程式として

     iω{ω^2 - k^2γR T_0} - {(k^2κ)/(C_vρ_0)}{ω^2 - k^2R T_0 } = 0

を得る。しかし残念ながらこれを満たす実数解は(k=0の場合を除いて)無い。

つまり、上の三つの方程式を連立させると、振動解は無くなってしまうのである。しかし、これから流体中に波動(この場合音波)が存在しないと結論するのは早計である。というのは、擾乱の方程式としてエネルギー方程式から得られるものを連立させるのをあきらめて、断熱関係式を用いて同様の議論を行えば、ちゃんと音波の方程式が得られるからである。

このことは結局、(以前述べた様に)音波は断熱過程としてのみ伝播し、熱流を伴わないことを意味している(つまり気体はその場その場で音波の振動に合わせて断熱的に温度変化しているだけである)。


以上

  投稿者:ASA - 2008/08/02(Sat) 11:53  No.4847 
waki さん
>No.4835の前半部分は同意されているのでしょうか?
同意の前に理解できていないのですよ。

>冒頭の式は非平衡系ですので、既に熱力学の枠組みを超えていると思います。
 以下ですよね。ある意味で超えてますが、
>3.エネルギー式:Д(E)=div(Pu)-div(j) :E=ρ(u^2/2+U)
>亜種3-1:Д(ρU)=Pdiv(u)-div(j):dU=−PdV+dQ
>亜種3-2:TД(ρS)=-div(j):TdS=dQ
しかし、ある物理的束縛条件をつけることで熱力学の枠組みで議論できることを示しました(熱力学的等式と対応付けられる意味を良く考えてください)。

>そもそも冒頭の式は従来の熱力学では扱えない非平衡系を何とか取り扱う方法は無いか?
>という狙いで熱力学を拡張しようとしたものではないでしょうか?
 冒頭の式は流体系の式です。流体力学の枠組みでは、これで系が記述できるとされてます(本格的に議論するなら分子的エネルギー輸送論が必要でしょう)。
 ここでの議論では、定常状態である終状態を求めるために流体系の式を使用してます。それと、ついでに局所的なエントロピーと系全体でのエントロピーが矛盾しない条件も示しています。ただし、局所的変数の時間発展を陽に追うつもりはありません。

>熱力学で非平衡系の時間発展を取り扱えないのは、@非平衡状態の状態量が定義出来ない、A熱平衡状態に至るまで無限の時間を要する、からだと思います。
 これも、意味が良く分かりません。時間発展を追う必要がない場合の説明体系として熱力学があるわけです。自分も局所的な時間発展は興味ないので、ノーコメントです。

>@'局所的な状態量なら定義でき、A'有限の時間で局所的平衡状態が実現している(と近似する)非平衡系についてなら、冒頭の式で取り扱えるのではないか?という事ではないでしょうか
 一般論で言えば、系に依存するので実際にやってみなけりゃわからんでしょう。(局所的変数とマクロな状態量との関係が明確にできなければ話になりませんけど)
 しかし、このスレでは、一般論を議論する気がないことを念頭においてください。一般論を展開するつもりなら別スレを立ててください。

  投稿者:ASA - 2008/08/02(Sat) 12:09  No.4848 
>従って、ASAさんの言うように、もし T' 等が定常波の解を持ったとしても、div(j')やu'を空間時間平均すればゼロとなって、エントロピーの増大は無い。(ASAさんの間違いは方程式の右辺でしか擾乱成分を考えなかった事です。そのため2次の項が単独で出てきて残ってしまった。)
 私の議論では、Sを分離してませんので、ハイヤーオーダを全て含んだ議論になってます。ですから的外れですよ。


>しかし、これから流体中に波動(この場合音波)が存在しないと結論するのは早計である。というのは、擾乱の方程式としてエネルギー方程式から得られるものを連立させるのをあきらめて、断熱関係式を用いて同様の議論を行えば、ちゃんと音波の方程式が得られるからである。
 上の結論との関連が良く分からないので説明をお願いします。
 振動解が存在しない状況で、エントロピー変化がないと主張しているに過ぎないので意味がありません。
 何でもいいですから振動解をエントロピー式に代入して0になることを示してください。


  投稿者:ASA - 2008/08/02(Sat) 12:33  No.4850 
追伸
>もし T' 等が定常波の解を持ったとしても、div(j')やu'を空間時間平均すればゼロとなって、エントロピーの増大は無い。
 エントロピーが変化しない過程が存在すると積極的に主張しているように見えます。微小変位を振動解としなくて、準静過程の微小変化と置き換えてもmurakさんの議論が成立します。
 今まで言っていたことと矛盾してませんか?
(元々矛盾を含んでいることを再三指摘してきたのですが、理解されてないようです)

  投稿者:waki - 2008/08/02(Sat) 13:14  No.4851 
ASAさん、
>同意の前に理解できていないのですよ。
すみません。。。
murakさんも復活したので、私の方は止めます。

murakさん、
>断熱関係式を用いて同様の議論を行えば、ちゃんと音波の方程式が得られるからである。
できれば教えて下さい。

  投稿者:ASA - 2008/08/02(Sat) 13:37  No.4852 
waki さん No.4851
>murakさん、
>>断熱関係式を用いて同様の議論を行えば、ちゃんと音波の方程式が得られるからである。
 粗雑ですね。断熱でなくて一般の状態方程式で導出できます。((dp/dρ)が存在しさえすればよい)
 なので、murakさんの主張
>断熱過程としてのみ伝播し、
は、完全なる間違い。




  投稿者:murak - 2008/08/03(Sun) 02:47  No.4870 
またまた申し訳ないですが、計算に若干の間違いがあったので、微妙に#4844,4845を修正してあります。(主張に変更はありません)

> #4851 waki さん

音波を得るには、(今の議論に則して言えば)#4844のエネルギー方程式に対応する擾乱の方程式(3')において、熱伝導率κをゼロとすれば良いです。このとき#4845のωに関する固有値方程式は三つの実数解(ゼロを含む)を持つようになります。このうちゼロ以外の二つの解が(互いに逆方向に伝播する)音波を表しています。つまり、エネルギーの擾乱方程式における熱伝導項の有無が音波解の有無を決めているわけですが、これは物理的には、気塊の振動が(熱流を伴わない)断熱的なものであれば、音波のような速い振動にも追従できるという事を意味しており、これが#4845の発言の最後の方に述べた事の具体的内容です。(本当は、この、音波がちゃんと出てくるほうの話を先にしておいてから#4845の話に続けるべきだったのですが、面倒だったので、最初から#4845の議論を書いてしまいました。なお、所謂断熱関係式から単独の音波の方程式を直接導く方法は、大抵の流体力学の教科書に書いてあると思いますので、それを参考にして下さい。)

ところで、#4845の固有値方程式はωの3次方程式で、もう一つω=0という解がありました。これが何を意味するのか気になる人もいるかもしれません。実は#4845の固有値方程式には、流体中に存在する(内部)線型波動の基本解に関する完全な情報が詰まっています。そして、空間を3次元にして#4844,4845と同様の議論をすると5つの独立な線型擾乱の方程式が得られて、その固有値方程式は5次方程式となります。これを一様な基本場の下で解くと、二つの実数解と三重に縮退したω=0という解が得られます。このうちゼロでない二つの解は、上に述べた様に(互いに逆向きに伝播する)音波(の平面波解)に相当するものですが、その他にもまだ三つの解の可能性が残っている事になります。それを明らかにするには、基本場に変更を加える必要があります。例えば運動方程式に外力として重力を加えて、密度の基本場として鉛直方向に成層しているようなものを与えると、ゼロ固有値の縮退が一部解けて、新たな二つの独立な波が流体中に現れます。これは重力を復元力とする波であって重力波と呼ばれます(勿論、一般相対論に出て来る重力波とは別概念です)。そして最後に一つ残った解は、流体を回転している場に置く事で、ようやくその正体を表すロスビー波と呼ばれる波に相当するものになります。(これが#4845の固有値方程式の全容に対する種明かし)

なお、私の方は、これでASAさんに答えるべき事も無くなったので、そろそろ退散します。

  投稿者:ASA - 2008/08/03(Sun) 06:43  No.4871 
murak さん No.4870
 当方の意見についての反論は無いということですね。
> #4851 waki さん
の疑問に答えておくと
murakさんの式で
(1')  ∂_t(ρ') + div(ρ_0*u') = 0
(2')  ρ_0∂_t(u') = -grad(P')
∂t(1')-∂x(2')より
∂t^2ρ'=∂x^2P'
圧力が密度の関数と看做せる過程が存在するとして
P'=f(ρ')を仮定します。
∂t^2ρ'=(dP'/dρ')∂x^2ρ'
状態方程式から
P'=R (T0ρ'+ ρ0T')
圧力が密度の関数と看做せる過程について分析
(dP'/dρ')=R (T0+ ρ0dT'/dρ')
 dT'/dρ'=aT0:a定数1<a<1-γ:等温過程から断熱過程までを網羅
(dP'/dρ')=aRT0=v0^2
∂t^2ρ'- (v0^2)∂x^2ρ'=0
ρ'についての密度波の波動方程式を得る。
No.4845に関して
ρ', u', T' に関して同一の形式を持つと仮定しているからおかしな話になってます。T'だけexp(ikx - iωt)にし、他の変数はフーリエ展開したものを用いるとかすればちゃんとした振動解を持ちます。
ρ', u', T' に関して同一の形式を持つ場合でも減衰振動
exp(ikx - (iω+λ)t)とすると解を持つことがわかります。
たぶん(λ=k^2(κ/ρ0/Cv)),ω=k√(v0^2-(κ/ρ0/Cv))
極めてゆっくりとした減衰振動解があるわけです。
 (相変らず変な議論ですな。別途後で整理する必要があるでしょう。)

  投稿者:ASA - 2008/08/03(Sun) 07:03  No.4872 
>たぶん(λ=k^2(κ/ρ0/Cv)),ω=k√(v0^2-(κ/ρ0/Cv))
極めてゆっくりとした減衰振動解があるわけです。
 準静過程に応じるk=ε=0と看做せる極めてゆっくりとした変動で問題が有るわけです。
 murakさんは一次のオーダーで見て平均0になるという、よくわからないを主張を展開しだしました。

当方の主張は
>∂t(Gs)=((kε)^2/T0)∫(F^2+ε^2/(1-(εF)^2))dx
murak>2次の項が単独で出てきて残ってしまった。
視てわかるように、2次単独ででているわけでは有りません、展開すればわかるようにフルオーダーです(明らかにmurakさんの誤解)。
 1次オーダーのみで見なければならないとする物理的理由が判らないのです。
 もし、変化の1次オーダーのみで見なければならないとする物理的理由が正当なら、準静過程でも同様に成立するはずで局所エントロピーは平均すると0、よって、冒頭のASAの主張「系全体のエントロピーは、初期状態と変わらない」が成立します。(反論がなければ、murakさんの当初の主張を撤回したと受け取ります。)

  投稿者:waki - 2008/08/03(Sun) 10:35  No.4876 
murakさん、
No.4870
忙しい中、ありがとうございます。
ω=0だと空間構造があるのに時間的に振動もしなければ減衰もしませんね。S'が減衰も振動もしないのと関係があるのか少し気になります。

  投稿者:ASA - 2008/08/03(Sun) 11:09  No.4877 
>ρ', u', T' に関して同一の形式を持つ場合でも減衰振動
exp(ikx - (iω+λ)t)とすると解を持つことがわかります。
これは怪しいですね。ρ', T'が同一の形式を持つ場合なら、exp((ik-+λ)x - (iω+ν)t)が成立しそうです(高調波含む物はu'に押し付けることで)。また、ρ'と T'の振幅比に依存してる模様。後で纏めようと思います。