EMANの物理学 過去ログ No.4207 〜

 ● リミット

  投稿者:こんばんわん子 - 2008/06/14(Sat) 16:26  No.4207 
こんにちは(こんばんは)。
唐突ですみませんが、どなたか教えていただけませんか。(以前、ラグランジアンの件でお世話になりました。)

f(x,y)= sin(x-y)/(x-y)

y=xの時、f(x,y)=1 と定義されれば、xy平面上で全ての点において continuous となるらしいのですが(答えは分かっているのですが、経過が解りません;;)、この式のリミットを求める時、おそらく三角関数のアイデンティティを使うと思いますが、これが簡単そうで、意外にちっとも解らなかったのです・・。

どなたか、このf(x,y)が1となるまでの経過を解いていただけませんか!
お願いします。。



 



  投稿者:明男 - 2008/06/14(Sat) 17:57  No.4208 
こんにちは、明男です。

数学的に厳密な(ε-δによる)証明が必要でないなら、簡便的には以下のようにすれば良いと思います。なお、continuosは連続であること(一様連続ではない)を証明すれば良いのだと思います。

先ず、f(x,y)=sin(x-y)/(x-y)は、x≠yでは連続です。なぜなら、sin(x-y)も1/(x-y)も連続ですから。それで、あとはx=yのときのみ連続であることを言えれば言いわけです。
x=y+ξ(ξ<<1)と置くと、f(ξ)=sin(ξ)/ξですが、
ここで、ξ→0とすると、x→yであり、
lim_ξ→0{sin(ξ)/ξ}=1となるので、f(x,x)=1と定義すれば、x=y近傍の極限値と一致する(連続の定義)ことになります。
なお、上の極限値は
(1)ロピタルの定理、lim{f(x)/g(x)}=lim{f'(X)/g'(X)}
または、
(2)ξ<1のときのテイラー展開sin(ξ)=ξ-ξ^3+ξ^5+・・・
より、f(ξ)=sin(ξ)/ξ=1-o(ξ^2)→1(ξ→0)
を使えばいいでしょう。

厳密なのが必要なら、誰かに聞いてください。

  投稿者:こんばんわん子 - 2008/06/15(Sun) 20:43  No.4219 
明男さん、早速の返信をありがとうございました。
おそらく厳密さは要求されていないと思います。
ともかく、もう一度ゆっくり見てみますね。。