EMANの物理学 過去ログ No.3692 〜

 ● ラグランジアンについて是非教えて下さい。

  投稿者:知りたがり決死隊 - 2008/03/29(Sat) 00:09  No.3692 
初めまして。ネットネームにて失礼します。
私は現在、オーストラリアの大学にて物理学専攻2年生をしています。 実はアサインメントの期日が4月2日に迫っているのですが、出題に関して若干分かりにくい点があるので、提出する前にどなたかヒントをいただけたら大変助かります。

<1> 「シングル・ペンジュラム(振り子)」のラグランジェ方程式を求めてから small−angleで それをLINEARIZEする際、その式中に「ひもの長さrの1階微分の2乗」が出ていたら、いくら cos(a) やsin(a) を「1」や「x/r」で置き換えて掛けても、r微分の2乗はあくまで2乗のまま、つまり(r')*2 なので、その方程式は「線形」とは言えませんよね・・? 
だとすると、linearize するということは、どういうふうにすれば良いのでしょうか。?
(すいません、英語・日本語混じりで・・;)

<2−@> 同じくラグランジェ方程式を linearizeする問題ですが、今度は「二つの同質量の振り子が、質量のない棒2本で順に繋がっていて、上から吊るされている場合」、振り子1の垂直からの角度αと、振り子2の角度βの二つが 発生します。 この場合のlinearizeで、気を付けることは何でしょうか・・?

<2-A> また、上記の振り子二つの運動方程式では、振り子1にぶら下がっている振り子2の運動エネルギーは、簡単に言うと、「振り子1のvelocity と自分自身のvelocityを 足してから2乗」するのでいいですよね・・?
即ち、「1/2* m* (V1 + V2)*2 」ということです。

図がないので分かりづらくてすみません。
至急 返事を下さる方がいたら幸いです。。


  投稿者:わたなべ - 2008/03/29(Sat) 08:50  No.3693 
普通、運動方程式が線形な場合をlinearizeと言うと思いますよ。まず、ラグランアンが線形で、単振動するか考えてみてください。しませんよね。

  投稿者:EMAN - 2008/03/29(Sat) 10:03  No.3694 
 分かりやすそうなのを選んで答えると、
<2-A> は多分それでいいでしょう。
 V2というのが、振り子2の「振り子1に対する」速度を
表しているということならば。

  投稿者:heavy moon - 2008/03/29(Sat) 18:07  No.3697 
<cos(a) やsin(a) を「1」や「x/r」で置き換え>ることを<linearizeする>って言うんじゃないの?

  投稿者:明男 - 2008/03/29(Sat) 13:10  No.3704 
疑問点が多すぎて、どこから答えて良いかわかりませんが。

私にはLinearizeがどうの、と言う以前に座標(系)と微分の扱いそのものの基本的考察が足らないように思えます。
座標系には御存知のようにxy座標系の他に極座標、円筒座標などがありますが、ラグランジアンまで理解しているなら、一般座標系も御存知でしょう。線形性は座標系の取り方によって変わるし、微分(演算子)も座標の取り方によって形を変えます(当然線形になる場合もそうでない場合もある)。
更に言うなら、線形とは「何について」線形であるかを言わねば意味がありません。
振り子は一般に極座標系(r,θ)で解きますが、θをx/rなどにするのでは座標系が不統一です。デカルト座標を使いたいなら、x/√x^2+y^2などとするべきでしょう。r’というのも時間微分でしょうが、振り子は通常伸び縮みしない糸(r'=0)として扱うでしょうし、ラグランジアンにも(r')^2のような項は出て来ないと思いますが。
つまり、ラグランジアンL=L(θ,θ')において、θとθ'について線形化することをLinearizeと言うのだと思います。
例えば、L=Acos(θ)+Bsin(θ)+Cθ'と言うような形(非線形)であれば、θ<<1の条件下で、L〜A+Bθ+Cθ'のように、θ、θ'について”線形”となる、と言うようなことです。

  投稿者:管理人 - 2008/03/31(Mon) 09:06  No.3705 
 明男さんの投稿がspamフィルターに引っ掛かってましたので
先ほど再投稿処理しておきました。
 気付くのに遅れてすみません。

  投稿者:明男 - 2008/03/31(Mon) 09:31  No.3706 
>管理人様

どうもわざわざ済みません(^^;)。

さてさて、拙の投稿がスパムと見なされたのは、もしかするとCI○の陰謀か、中○情報部が拙を危険分子と見なしてくれたのか、興味あるところですな。改めて読み直すと、大した事を言ってないし、人権問題にも触れておらんし。
どちらかというと、毒にも薬にもならんような・・・。
とすると、人物がいかがわしい・・・うむ。これは当たっている。しかし、いかがわしさが、ちと、足らん。もっと、こう、地球規模の暗黒団のボスのような、迫力と威厳が欲しいなあ。スパムフィルターに引っかかったというのが、ねずみ取りに引っかかったみたいで、如何にも小者っぽい。う〜む、残念(以上、勿論、冗談です 笑)。

  投稿者:hirota - 2008/03/31(Mon) 10:33  No.3707 
角度あるいは横方向座標に対する微分方程式として、非線形項を無視すると、一次元のばね付き運動と等価みたいですね。

  投稿者:知りたがり決死隊 - 2008/03/31(Mon) 15:48  No.3709  <Home>
皆さんどうもありがとうございます。

そうなんです。明男さんのご指摘どおり、微分や座標系そのものについて、何となく分かったような分からないようなあやふやな状態でこれまで来たため、今このようにそれを知る機会に恵まれてしまったようです。(ありがたい事なんですが、頭の回転の少しノンビリな私には時間的プレッシャーが・・。すみません、グチです。)

とにかく、いただいた返信内容を今からじっくり読んでみますね。hirotaさんの仰っていることも、実はすぐには理解できていない・・・私。





  投稿者:hirota - 2008/04/01(Tue) 15:04  No.3713 
原点から下がってる振り子 1 の鉛直からの角度をθ1, 長さを L1, 質量をm1,
m1 から下がってる振り子 2 の角度をθ2, 長さを L2, 質量をm2 とすると、
位置エネルギーは
 U = - g m1 L1 cosθ1 + g m2 (- L1 cosθ1 - L2 cosθ2)
運動エネルギーは (「'」は時間微分)
 K = m1 (L1 θ1')^2/2 + m2 ( (L1 θ1')^2 + (L2 θ2')^2 + 2 L1 θ1' L2 θ2'cos(θ1-θ2) )/2
微小角として近似すると、
 U ≒ - g m1 L1 (1-θ1^2) + g m2 (- L1 - L2 + L1 θ1^2 + L2 θ2^2)
 K ≒ m1 (L1 θ1')^2/2 + m2 (L1 θ1' + L2 θ2')^2/2
振り子の x 座標は
 x1 ≒ L1 θ1
 x2 ≒ L1 θ1 + L2 θ2
だから、
 U ≒ (m1 + m2)(g/L1) x1^2 + m2 (g/L2)(x2 - x1)^2 + const.
 K ≒ m1 ( x1' )^2/2 + m2 ( x2' )^2/2
x^2 に比例するのはバネのエネルギーだと思ったけど、微妙に違うみたいだな。

  投稿者:知りたがり決死隊 - 2008/04/01(Tue) 20:59  No.3717  <Home>
hirotaさんの式を一旦紙に書き出してみますね!
Thank you!

  投稿者:hirota - 2008/04/02(Wed) 12:56  No.3725 
微妙に違うなんて書いたけど、考え直してみたら m1 と m2 が強さ m2 g/L2 のバネで結ばれ、m1 と原点が (m1 + m2)g/L1 のバネで結ばれてる運動と解釈できた。(ここに m1, m2 が入ってるんで混乱した)