EMANの物理学 過去ログ No.3667 〜

 ● 解析力学の質問です

  投稿者:修行中 - 2008/03/26(Wed) 19:49  No.3667 
皆さん始めまして。このサイトの解析力学を読んでいて分からないところがあったので質問をさせてください。
ベルヌーイの問題提起の項で、降下時間tがxの定積分で表されてますよね。よってtは定数でδtは必然的に0になると思うのですが、先を読むとそうなっていません。私の考えに間違いがあるようなのですが、どこが間違っているのか分かりません。どなたか説明してもらえないでしょうか。

  投稿者:EMAN - 2008/03/26(Wed) 20:28  No.3670 
> よってtは定数でδtは必然的に0になると思うのですが、

 t は定数で・・・、というところまで合ってます。
 しかしこの定数の値は、関数 f(x) の形に依存してますよね。
 f(x) が僅かに変化すると t の値も変化するわけです。

 δt は、f(x) が f(x) + δ(x) に変化したときの
t の値の変化を表しています。
 関数の形によって値が変わる関数を汎関数と呼びます。
 t は汎関数です。

 後の方にある、「汎関数微分」という記事も
まだ修正検討中で、分かりにくいかも知れませんが、
合わせて読んでみて下さい。

  投稿者:修行中 - 2008/03/26(Wed) 23:12  No.3672 
>EMANさん

 なるほど。理解できました。ありがとうございます。汎関数微分の記事、とても参考になりました。

  投稿者:kafuka - 2008/03/28(Fri) 02:22  No.3689 
汎関数の本質がよくわかりました。

多様体で恥をさらしたついでに、
以前、f(x)において、f(g(x))を汎関数だと思っていました。
これは、ただのf(x)ですね。
まだあります(偏微分がわかってなかった頃)
[p x]において、[d/dx d/dp]Exp(ikx)=0 だから、、ってやったことがあります。
[∂/∂x ∂/∂p]Exp(ikx)=ihbarExp(ikx) です。

  投稿者:EMAN - 2008/03/28(Fri) 12:46  No.3691 
> 以前、f(x)において、f(g(x))を汎関数だと思っていました。

 汎関数微分を検索した時に、
どう見ても「合成関数の微分」の仕方を説明しただけのような
サイトが幾つも見付かって、
どういうことだろうと首を傾げた事があります。

(用語が変わったのか、
一部の分野ではそう呼ばれているのだろうかとか、悩みました)


> [p x]において、[d/dx d/dp]Exp(ikx)=0 だから、、
> ってやったことがあります。
> [∂/∂x ∂/∂p]Exp(ikx)=ihbarExp(ikx) です。

 これは、
[x, p] = [x, -ihbar∂/∂x] = ihbar
のことではありませんか。
 色んなところがおかしくて、
意図した以上に恥の上塗りになっている気がしますよ。

  投稿者:kafuka - 2008/03/29(Sat) 14:58  No.3695 
質問です。
x=ihbar∂/∂p は、異存ありませんよね。
で、ihbar∂/∂p Exp(ik0x) は、k0は定数なので、偏微分の定義からでは、0 ですが、
偏微分を、成分に対する微分と考えると
ψ=Exp(ik0x) の運動量成分は、p0にピークを持つデルタ関数なので、
このψの運動量成分に対する微分=ihbar∂/∂p δ(p0)
=ihbar δ'(p0)
これは、0 ではありません。
どちらが、正しいのでしょうか? 

で、このψの運動量成分に対する微分=ihbar∂/∂p δ(p0) であると仮定すると、
=ihbar δ'(p0) これを、フーリエ変換すると、
微分関数のフーリエ変換の公式から、
=x Exp(ik0x)=xψ
が、出てくると思います。

  投稿者:sym - 2008/03/29(Sat) 17:24  No.3696 
kafukaさん、
関数ってもっとプリミティブなものです。
解釈の仕方で形が変わったりしないですよ。
頭の中の知識が整理できてないだけのようですから、
落ち着いて、
頭の中にあるもの(フーリエ変換と変数の関係)
を調べれば、自ずと答えも見つかると思います。

まぁ余計なお世話ですね。そうなれば幸いです。

  投稿者:EMAN - 2008/03/29(Sat) 23:38  No.3699 
> x=ihbar∂/∂p は、異存ありませんよね。

 ありますよ。
 ψ= Exp(i k_0 x) としておられるということは、座標表示ですよね。
 その時は 位置の演算子 x^ はただの x で、
運動量の演算子 p^ は -ihbar ∂/∂x です。

 表示によって演算子は変わるものですが、kafukaさんは常に固定的に
x^ = ihbar∂/∂p
p^ = -ihbar ∂/∂x
であると思い込んでおられるような気がします。


 運動量成分だけ取り出すような変換を施した後のδ関数に対しても、
表示が変わっていることに対する考慮が何も無いまま、
同じ演算をしようとしておられるので、そう思いました。

  投稿者:kafuka - 2008/03/30(Sun) 07:24  No.3702 
ありがとうございます。
頭の中が明確になりました。