EMANの物理学 過去ログ No.3566 〜

 ● 保存力場

  投稿者:taka - 2008/03/15(Sat) 19:58  No.3566 
こんばんは。
また質問させて下さい。

保存力場
F(x,y,z) = ( Fx(x,y,z), Fy(x,y,z), Fz(x,y,z) )
は、そのポテンシャルU(x,y,z)を使って
Fx = -∂U/∂x, Fy = -∂U/∂y, Fz = -∂U/∂z
と表せますよね。

これは3つの実数値関数が1つの実数値関数で表せてしまうので不思議な気がします。

保存力場であるという条件がFx,Fy,Fzに対して課している制約(ある種の対象性なのかな?)によってこれが可能になっているのだと思いますが、
この(直感的な)イメージが今ひとつつかめません。

保存力場である、という条件の物理的な意味合いを
教えてもらえないでしょうか。

また、保存力場、非保存力場の具体例を
教えてもらえないでしょうか。

よろしくお願いします。

  投稿者:taka - 2008/03/15(Sat) 20:18  No.3567 
質問への補足ですが、
保存力場である条件の1つの表現が、
任意の2点間でFのなす仕事が経路によらないこと、
というのまではわかっています。
その先、このことが表すニュアンスというか、意味合い
みたいなものがあるのかな、ということです。

  投稿者:大学生A - 2008/03/15(Sat) 21:48  No.3569 
こんばんは。
私の浅ぁ〜い(w)知識では、保存力場である条件は、
数式表現なら、

rot(F↑)=0↑ 
または、
(∂/∂x)・(∂U/∂y)=(∂/∂y)・(∂U/∂x)
(∂/∂y)・(∂U/∂z)=(∂/∂z)・(∂U/∂y)
(∂/∂z)・(∂U/∂x)=(∂/∂x)・(∂U/∂z)

文章表現なら、
「保存力場F(x,y,z)は渦の位置を持たない。」
または、
「ポテンシャルU(x,y,z)は位置の一価関数である。」

こんな感じかと。

  投稿者:taka - 2008/03/15(Sat) 22:16  No.3570 
大学生Aさん、レスどうもです。

>rot(F↑)=0↑ 
なるほど、ベクトルはこう書くんですね。

>「保存力場F(x,y,z)は渦の位置を持たない。」
これのイメージが沸かないんですよね。
流体の流速場がよく例えに書いてありますが、
それが力場においてどうゆうイメージなのか、
物理的に何を意味するのか、
何か、おー、と思える説明がほしいのです。

正直流体力学を学んだことがないので、
もしかしたら流体力学を知ってる人には
これで何かを感じるのでしょうか。

>(∂/∂x)・(∂U/∂y)=(∂/∂y)・(∂U/∂x)
>(∂/∂y)・(∂U/∂z)=(∂/∂z)・(∂U/∂y)
>(∂/∂z)・(∂U/∂x)=(∂/∂x)・(∂U/∂z)
これは初めて見ました。
偏微分の順序を変えても変化しないということですか。
ちょっと考えないとイメージがわからないなあ。
rot(F↑)=0↑と等価なのでしょうか。

  投稿者:大学生A - 2008/03/15(Sat) 22:26  No.3571 
takaさんへ

>rot(F↑)=0↑と等価なのでしょうか。

そう思います。・・・たぶん。w

  投稿者:taka - 2008/03/15(Sat) 22:28  No.3572 
自己レスです。

誰かタイトル付けてくれたんですね。
ありがとうございます。
暗証キー入れなかったので修正できないと思ってました。

>(∂/∂x)・(∂U/∂y)=(∂/∂y)・(∂U/∂x)
>(∂/∂y)・(∂U/∂z)=(∂/∂z)・(∂U/∂y)
>(∂/∂z)・(∂U/∂x)=(∂/∂x)・(∂U/∂z)

ああ、これはrot(F↑)=0↑を変形してから
Fx=-(∂U/∂x)等を代入したものなんですね。

  投稿者:大学生A - 2008/03/15(Sat) 22:37  No.3573 
takaさんへ

>これのイメージが沸かないんですよね。

私も沸きません。ベクトル場をイメージするのは難しいです。
やはり、ポテンシャルの「一価関数」ってのが解りやすいかと。
二次元ポテンシャルの場合、連続した曲面をイメージすれば、
私は直感的になるほどと思えます。

  投稿者:taka - 2008/03/15(Sat) 22:46  No.3574 
大学生Aさん

>二次元ポテンシャルの場合、連続した曲面をイメージすれば、
>私は直感的になるほどと思えます。

mathmatica(綴り違うかも)が欲しいなあ、と思う
今日この頃です。。

高校のときに有機化学の分子の立体配置のイメージが苦手で
何か分子模型のキット(穴があいた球に棒をさして
つなぐやつ)を買った覚えがあります。

  投稿者:taka - 2008/03/15(Sat) 23:12  No.3575 
ふと思ったんですが、1次元の場合は
力場F(x)は必ず保存力場になる気がするのですが、
合ってるでしょうか?

x1からx2への別の経路と言っても、
わざとバックしてx3に行ってからx1に戻ってきて
、それから目的地のx2に行くようなことしかできない、
かつ寄り道したx1-->x3-->x1の仕事は同一経路の往復で
相殺して0になるので寄与しないので。

F(x)がよほど特殊なやつだとならないかも知れませんが。

  投稿者:waki - 2008/03/16(Sun) 15:05  No.3576 
初めまして、takaさん

保存力ならばrot(F↑)=0↑であることは、
Δx進んでからΔy進むケースと
Δy進んでからΔx進む場合を比べれば良いですよ。

Fx(x,y)Δx+Fy(x+Δx,y)Δy = Fy(x,y)Δy+Fx(x,y+Δy)Δx

なので、これを纏めると、Δx->0,Δy->0の極限で
渦無しになってます。
イメージ作りの役に立てば良いのですが…。

To:EMANさん
ゼロ点波動エネルギーの件ですが、返信できなくて
すみませんでした。
仕事が忙しくなってしまって返信の時間が作れませんでした。
内容もいつの間にかζ関数の話題になってますね。。。

  投稿者:taka - 2008/03/16(Sun) 18:45  No.3577 
wakiさん、はじめまして。
レスありがとうございます。

なるほど、「任意の」2点A、B間でFのする仕事が経路によらないということは、
AとBがどれだけ近くても経路によらないということであり、
AとBを近づけた極限がrotF↑=0↑ということにつながる、
ということでしょうか。
何か少しつかめた気がします。

それも知りたかったことですが、
元の質問の意味は、クーロン力や重力が保存力であることは、
例えば「エネルギーが保存されるためにそうなっている」、
とか「空間の対称性から要請される」、とか
何かしらの由来というか必然性があるのかな、ということです。

この点はどうなんでしょうか。
そんなものは特にないのでしょうか。

  投稿者:taka - 2008/03/16(Sun) 18:55  No.3578 
自己レスです。

> なるほど、「任意の」2点A、B間でFのする...
経路の微小部分で、「仕事が経路によらないこと」の積み重ねが、
大局的な「2点間で仕事が経路によらないこと」
を作り出してるってことですかね。
同じことを言い換えただけかも知れませんが。

  投稿者:hirota - 2008/03/17(Mon) 10:28  No.3579 
rot = 0 から保存力場を導く方は、ストークスの定理で出来ます。
「閉曲線に沿った仕事積分=閉曲線に囲まれた面でのrot面積分」ですから、rot = 0 なら「始点と終点が一致する曲線に沿った仕事積分= 0」つまり「仕事が経路によらない」です。
対称性との関係は「保存力⇔エネルギー保存則⇔時間併進対称性」くらいでしょう。

  投稿者:waki - 2008/03/18(Tue) 03:36  No.3581 
takaさん、
こんな感じでどうでしょう?

保存力場の場合、位置のみに依存したポテンシャル関数Uが
定義でき、F=-gradU と書ける。
このFはどの様な性質の場であるかと言うと、
渦無し場 rotF=0 であり(rot grad=0なので)、
クーロン場や重力場も渦無し場なので保存力場である。

後は hirotaさんが仰られている様に、
クーロン場や重力場での時間併進対称性からエネルギーが
保存することが導かれると思いますが、解析力学は
私は不勉強で確かなことは言えません。

  投稿者:taka - 2008/03/18(Tue) 12:40  No.3593 
hirotaさん、wakiさん、レスありがとうございます。
ぼんやりとですが、つながってきた気がします。

> クーロン場や重力場も渦無し場なので保存力場である。

これらが渦無し場であることは、中心力であることが理由なのかなと思うのですが、合ってますでしょうか?

  投稿者:TOSHI - 2008/03/18(Tue) 13:46  No.3594 
 どもTOSHIです。先週木曜に引越してさっきやっとネット開通です。遅ればせながら話題に参加します。

 保存力場というのは例えばボールが山あり,谷ありの経路を摩擦無しで転がって1回転して元の位置に戻ってきたときにエネルギーの収支がゼロであるようなものです。

 もしも摩擦があれば,その力の向きは必ず運動向きと反対なのでそれによる収支はマイナスなので1回転するとゼロではなくマイナスですから渦無しでなくなりますね。

                  TOSHI

  投稿者:waki - 2008/03/19(Wed) 00:31  No.3606 
grad U(r)=(∂U/∂r)r↑/r なので、中心力場であれば渦無し場ですね。

  投稿者:hirota - 2008/03/19(Wed) 12:37  No.3608 
電流による磁場は渦ありだけど、エネルギーは保存するはずだし、どうなってるんかなー。
いや、場自体の渦と力・仕事の渦は別か。

  投稿者:taka - 2008/03/20(Thu) 16:42  No.3614 
みなさん、レスありがとうございました。
頂いたヒントをもとに、しばらく考えてみます。