EMANの物理学 過去ログ No.3452 〜

 ● 質問:δ関数との積の∫は、なぜ微分?

  投稿者:kafuka - 2008/02/26(Tue) 16:54  No.3452 
以下に、正準交換関係からp演算子を導く証明?がありましたが、
http://ocw.kyoto-u.ac.jp/jp/engineering/course11/pdf/chap9.pdf
のp7

なぜ9.44から9.44の最期の微分が出てくるのかわかりません。
「δ関数との積の∫は、なぜ微分」ということです。
すみませんが、どなたか、教えて頂けませんでしょうか。
尚、元ネタは、
http://blogs.yahoo.co.jp/kafukanoochan/54970262.html
です。

  投稿者:明男 - 2008/02/26(Tue) 17:11  No.3453 
明男です。
すでにT_NAKAさんが答えられていますが、9.44式のδ関数は微分なので、係数は省略して
   ∫φ(x')・dδ(x-x')/dx・dx'=dφ(x)/dx・・・(公式)
そのままです。

  投稿者:TOSHIi - 2008/02/26(Tue) 17:13  No.3454 
 どもこんにちはTOSHIです。

 これデルタ関数の微分の定義ではないですか?

 ∫f(x){dδ(x−a)/dx}dx≡−(df/dx)|atx=aですね。

 あるいは左辺を形式的に部分積分してx=±∞ではδ(x−a)=0 であると見てもいいと思います。関数じゃなくて超関数ですからあくまで「形式的」なものですが。。。

               TOSHI

 運動量演算子の座標表示では特にシュレーディンガー表現で問題ないことは私もすでに証明したことがあってkafuka氏に説明したような記憶がありますね。。。
                 TOSHI
                

  投稿者:hirota - 2008/02/26(Tue) 18:34  No.3455 
δ関数などの (シュワルツの) 超関数は無限回微分可能な関数空間の双対空間として定義されてますが、超関数の微分は TOSHI さんが書いてるように、部分積分をなぞるように一緒に積分する相手の無限回微分可能な関数を微分して定義されます。
そんなわけで、超関数も無限回微分可能です。

  投稿者:T_NAKA - 2008/02/26(Tue) 21:11  No.3456  <Home>
形式的には

∫ψ(q'){dδ(q-q')/dq'}dq'=[ψ(q')δ(q-q')] -∫{dψ(q')/dq'}δ(q-q')dq'=∫{dψ(q')/dq'}δ(q'-q)dq'

となりますね。ここでkafukaさんは「新版_量子論の基礎」をお持ちでしょうからP69の式(3.141)をご覧下さい。
定義により、

∫f(q')δ(q'-q)dq'=f(q)

です。ここで、この場合 f(q')=dψ(q')/dq' なので、q'→q とすればよいので、

∫ψ(q'){dδ(q-q')/dq'}dq'=∫{dψ(q')/dq'}δ(q'-q)dq'=dψ(q)/dq

となります。


  投稿者:kafuka - 2008/02/26(Tue) 22:06  No.3457 
皆様 ありがとうございました。
T_NAKA様
丁寧な説明で、よくわかりました。
明男様、TOSHI様
>これデルタ関数の微分の定義ではないですか?
言われてみれば、その通りです。δ関数についてる’を見ていませんでした。
hirota様
そこまでは、考えてませんでしたが、アドバイスありがとうございます。

TOSHI様
あの時は、[x^ p^]=ihbar からp^=ihbar∂/∂x を導くことはできない
という結論だったと理解しています。
で、「新版_量子論の基礎」のp118には、
「正準交換関係を整合させるためには、p^は、、、、のような微分演算子で表現すればよいことがわかる」
とあり、僕は、この記述を
「p^=ihbar∂/∂x を導ける」ととったので、話を蒸し返したわけです。

  投稿者:hirota - 2008/02/27(Wed) 06:36  No.3459 
おそまきながら kafuka さんのブログを見てみたら、T_NAKA さんが「p^ を p^+q^ にしても交換関係が成り立つ」という指摘をしてますね。
これは、「証明?」で
 (q'−q)<q'|p^|q>=(hbar/i)(q'−q)δ'(q'−q)
から (q'−q) で割って (9.42) を出す所に問題がありますね。 つまり、
 (q'−q)<q'|q^|q>=0
だから、割る前に p^+q^ にしておいても良いわけで、一意的じゃないでわけです。(インチキ証明だ)

  投稿者:TOSHIi - 2008/02/27(Wed) 12:35  No.3460 
 こんにちはTOSHIです。

>kafukaさん

>あの時は、[x^ p^]=ihbar からp^=ihbar∂/∂x を導くことはできないという結論だったと理解しています。
で、「新版_量子論の基礎」のp118には、
「正準交換関係を整合させるためには、p^は、、、、のような微分演算子で表現すればよいことがわかる」とあり、僕は、この記述を「p^=ihbar∂/∂x を導ける」ととったので、話を蒸し返したわけです。

 これはブログ「TOSHIの宇宙」2007年5月13日の記事「運動量演算子のシュレーディンガー表現」での説明に対するものと思いますが,清水さんの本にも「表現すればよい」とp^=ihbar∂/∂xが十分条件にすぎず,必要条件ではないと述べておられるようなので,別に蒸し返す必要はないと思いますが。。。
                   TOSHI
          

  投稿者:kafuka - 2008/02/27(Wed) 14:44  No.3461 
>TOSHI様
「表現すればよい」ってそういう意味ですか、、、
T_Naka様にも言われましたが、どうもボケが始まったようです。

  投稿者:kafuka - 2008/02/27(Wed) 15:03  No.3462 
>hirota様
「p^ を p^+q^ 」にすると、そう置いた、p^|ψ>とq^|ψ>が直交しなくなると思うのですが、いいのでしょうか?
普通、ヒルベルト空間は、無駄のない必要最小限の空間に選ぶ
でしょう。
もちろん、証明では、そんな前提はおかしいのは、認めますが

  投稿者:kafuka - 2008/02/27(Wed) 15:38  No.3463 
皆さん、すみません。
「新版_量子論の基礎」を読みすすめると 
4.5正準量子化の曖昧さ
という項があり、
[x^ p^]=ihbar からp^=ihbar∂/∂x を導くことはできない
ということでした。

  投稿者:kafuka - 2008/02/28(Thu) 00:22  No.3464 
後始末
> p^|ψ>とq^|ψ>が直交しなくなる
というのは、ナンセンスですね。
関数ψpとψxが直交すると取り違えていました。
これは、いいですよね(フーリエ変換の関係ですから)

  投稿者:hirota - 2008/02/28(Thu) 10:56  No.3465 
kafukaさん>無駄のない必要最小限
僕も、この類の条件を付ければ p^ が一意になるかと思ったんですが、どんな条件が良いのか知恵が出てきません。
ところで
 (q'−q)<q'|q^|q>=0 :実質は (q'−q)δ(q'−q)=0
については注目しなかったんですか?(kafukaさんが好きそうなネタと思ったんですが)
僕は、これが成り立つのか、ちょっとマゴついてしまいました。
成り立たなかったらT_NAKAさんの指摘と矛盾を起こしてしまいますが。

  投稿者:kafuka - 2008/02/28(Thu) 21:58  No.3466 
二重投稿になるとお叱りを受けそうですが、、、
>Hirota様
ecemfqm様より以下のコメントを頂きました。

{q^,p^,1^} がなす交換子代数における p^ の表現を
問題にしているので、q^ やその関数を除くことは
正当化されると思います。また恒等演算子 1^ や
その倍数も同様です。すでに指摘されているように、
「証明」で無視されているαδ(q'-q) の項は
恒等演算子になります。したがって、少し
記述を補えば証明になると考えます。

尚、
>実質は (q'−q)δ(q'−q)=0
は、言われて、初めて気付きました。
これを見抜けない自分が情けないです。

  投稿者:kafuka - 2008/02/29(Fri) 21:51  No.3467 
Resがない、ということは、
交換子代数 云々のコメントは、トンデモなのでしょうか?
そもそも、交換子代数って何者?
何故、q^ やその関数を除くことが正当化されるのでしょうか?


  投稿者:hirota - 2008/03/01(Sat) 17:18  No.3471 
>q^ やその関数を除くことが正当化される
TOSHIさんの「運動量演算子のシュレーディンガー表現」
http://maldoror-ducasse.cocolog-nifty.com/blog/2007/05/post_0064.html
が、q^ を付けても付けなくてもユニタリ同値という事の証明なんだから、正当化は終わってるでしょう。(僕もこれを読んでスッキリ!)
ついでに、x δ(x)=0 にマゴついた説明をしますと、これは x=0 で 0・∞=0 となるので、成り立つのか?と疑問に思ったんです。
でも、超関数の定義に戻って解決しました。
つまり、任意の f∈C∞ (コンパクトな台を持つ無限回微分可能な関数) に対してδ関数の定義より
 ∫f(x) x δ(x)dx=f(0)・0=0
ですから、x δ(x) は C∞ に対する線型汎関数として 0 写像。
超関数の定義は C∞ の双対空間、すなわち C∞ に対する線型汎関数だけで定義されているから、線型汎関数として 0 写像なら 0 そのもの。
というわけで、x δ(x)=0 の証明終わり。