EMANの物理学 過去ログ No.3323 〜

 ● 複素数論における収束半径について

  投稿者:凡人 - 2008/02/09(Sat) 22:36  No.3323 
やはり、複素数論における(冪級数の<=追記しました。)「収束半径」は、私の手持ちの教科書によると、zそのものではなく、|z|でのみ論じられているようです。
念のために言いますと、z=x+iyとおけば、√(x^2+y^2)で、z=re^θiとおけば、rでのみ論じられているようです。
「収束半径」という概念はあくまでも、「実数の論理」(=実数論)を複素数論において、直接的に適用しているに過ぎないように思いました。
そうだとすれば、f(z)のzが、収束半径の外側の場合に、その事だけをもってf(z)が収束しないと見做すのは、複素数論としては正しいかもしれませんが、「複素数の論理」(≠複素数論)としては誤っているのではないかと思いました。
「複素数の論理」はどういうものかは、私にも良く分かりませんが、強いて言えば、1+1+1+...=-1/2や1+2+3+...=-1/12を正当化出来る論理だと思っています。
したがって、カシミール効果や超ひも理論は、「複素数の論理」でのみ正当化出来のではないかと考えました。
http://www.7andy.jp/books/detail?accd=31994768

それと、はっしー帝國さん
すみませんが、spelling missをひっそり訂正させていただきました。

TOSHIさん
>JAVAのSSCRIPT
JavaとJavaScriptは、全く別物ですのでご注意ください。
>FIREFOX
余計なお世話かもしれませんが、"Firefox"と書くのが正解です。
「名前重要」です。また、TOSHIさんが、大文字と小文字の使い分けに拘る、UNIX信奉者に怒られるといけませんので、恐れながら指摘させていただきました。

  投稿者:大学生A - 2008/02/10(Sun) 00:30  No.3324 
何やら、またぶり返しそうな悪寒。w

  投稿者:EMAN - 2008/02/10(Sun) 08:15  No.3332 
 堂々巡りを堂々と遮れるほどの
数学の素養が私にあればいいのだが・・・。
 数学の話題は他人任せになって申し訳ないです。

 今、法事で妻の実家に来てます。
 昨日は電車の中で数学の本と格闘してました。

  投稿者:明男 - 2008/02/10(Sun) 13:14  No.3334 
数学基礎論は性に合わないので、ほとんど無視しています。だって、嫌いだも〜ん。だから、ちょっと過激なことを書いちゃうよ。
物理学を数論的に再構成しようとする、あるいは意味づけしようとする立場とその研究者がいることは知っていますし、数理科学として立派な一分野であることは否定しません。しかし、やはり物理学はその概念において数学以前があると思っていますし、それこそが物理をやる真骨頂であると思います。数学的にいくら美しく、無矛盾で完璧な論理であろうとも、物理的に実現されているとは限らないし、物理的感動とは別ものだと思います。数学信奉はそのあまりに強力な手段に囚われ、本末転倒に至ったものです(物理信奉者にとって)。
以前にも書きましたが、楽器(数学)は無くとも、メロディーは存在します。楽譜はそれを万人に伝え、また再生産を可能とする優れた手段ですが、音楽家の脳裡に浮かぶ旋律こそが本来の美であり続けるように、追い求めるのはこの世界の真実。数学的約束事ではないのであります。
で、何が言いたいかというと、EMANさん、あまり手を広げすぎると消耗するので、良いとこどりに徹してくださいね、とまあ、それだけなんですが・・・。

  投稿者:T_NAKA - 2008/02/10(Sun) 13:41  No.3335  <Home>
>複素数論としては正しいかもしれませんが、「複素数の論理」(≠複素数論)としては誤っているのではないかと思いました。

個人的にどのようなことをお考えになっても自由です。
通常の教科書の考えを採用しておくと、かなり遠くまでいくことが出来ますが、収束半径のような基本的な事項で考え込んでしまうと、無限ループ状態から抜け出せなくなるでしょう。
複素関数論の結果を見てから、戻って基本的なことを考察した方が賢明でしょうね。

この前の議論で「1+1+1+...=-1/2や1+2+3+...=-1/12」という表現は冗談のようなもので、基本的には成立していないということを説明されたと思います。
それについてmurakさんの書かれた論文を勉強するのではなかったのですか?

>強いて言えば、1+1+1+...=-1/2や1+2+3+...=-1/12を正当化出来る論理だと思っています。

ということでは、それを実行していないか、理解できなかったということになりますね。
Casimir効果の計算でζ(3)を使っているので、それを根拠に「複素数の論理」を言っていると想像しますが、
http://en.wikipedia.org/wiki/Casimir_effect
をもう一度じっくりお読みになった方が良いと思います。

  投稿者:sym - 2008/02/11(Mon) 00:11  No.3336 
>zそのものではなく、|z|でのみ論じられているようです。

 半径rの収束円は、|z-z0|<rであるようなzの集合のことです。これはz0から長さがrであるような複素数を、あらゆるθに対して集めたものです。
 蛇足かもしれませんが、rとともにθを指定すると(きれいな円だけでなく)ぐにゃぐにゃと曲がりくねった曲線を表現できます。曲がった曲線の収束域を持つような関数が、どのような関数なのか考えてみるのも面白いかもしれませんね。

  投稿者:凡人 - 2008/02/11(Mon) 11:13  No.3344 
http://en.wikipedia.org/wiki/Riemann_zeta_function
を調べていたら、"Ramanujan summation"というものを見つけてしまいました。
http://algo.inria.fr/seminars/sem01-02/delabaere2.pdf
どなたか、"Ramanujan summation"の意義をお分かりの方がいらっしゃいましたら、お教えいただけませんでしょうか?

<<追伸>>
http://en.wikipedia.org/wiki/Euler-Maclaurin_summation_formula
http://en.wikipedia.org/wiki/Ramanujan_summation
http://algo.inria.fr/seminars/sem01-02/delabaere2.pdf
の順で読むと、もう少し理解しやすいのではないかと思いました。

  投稿者:T_NAKA - 2008/02/11(Mon) 14:17  No.3345  <Home>
ただNetを引用して「これについて教えろ」というのは失礼じゃないですか?
このまえも注意を受けたと思いますが。

  投稿者:T_NAKA - 2008/02/11(Mon) 23:37  No.3351  <Home>
>...の順で読むと、もう少し理解しやすいのではないかと思いました。

だったら、ご自分自身で勉強されたらよろしいのでは?

  投稿者:hirota - 2008/02/12(Tue) 12:40  No.3352 
「複素関数論」なら分かるけど、「複素数論」では意味不明ですね。
「収束半径」という言葉が意味を持つのは、「複素関数論」での「べき級数展開」のみです。
これは、正則関数のべき級数展開は、展開中心から最近特異点までの距離以内で絶対収束し、それより遠くでは発散するという定理があるからです。
べき級数展開でなく、他の展開方法なら (たとえばゼータ関数) 収束域が円になってないことは御存知の通り。

  投稿者:凡人 - 2008/02/12(Tue) 22:01  No.3354 
hirotaさん
>「複素関数論」なら分かるけど、「複素数論」では意味不明ですね。
>「収束半径」という言葉が意味を持つのは、「複素関数論」での「べき級数展開」のみです。
仰るとおりでした。大変失礼いたしました。
ところで、先に述べさせていただいている、No.3323やNo.3344の内容に対して、実質的なコメントをいただけると助かります。

  投稿者:hirota - 2008/02/13(Wed) 12:12  No.3362 
>No.3323
これまで、丁寧に説明をしていただいた人々の労力を無にするような内容です。
>No.3344
へー、そんな公式があるのー。 分かってない人には罠みたいな代物ですね。
なお、すでに充分に説明されてる事を繰り返す気はありません。

  投稿者:EMAN - 2008/02/14(Thu) 12:41  No.3382 
> EMANさん、あまり手を広げすぎると消耗するので、
> 良いとこどりに徹してくださいね

 心配して下さってありがとうございます。

 最近は、位相やら群論やら微分幾何やらが必修みたいになってきた雰囲気がありますからねぇ。 最新の物理の話題なんかを聞いていても、もういつまでも無視してはいられないなぁという感じです。 だから興味はあるんです。

 ところが、これらを学ぼうとすると、まだまだ数学寄りなんですよね。 で、肝心なところに入る前に力尽きてしまう。

 少しずつですが、前よりは読み進められるようになって来てます。 分かると楽しい。 以前ならこの辺でもうダウンだったなーとか、今なら著者の思考の流れは読み取れるから細かいところを気にせずに読み流せるけれど、この表現は明らかに不親切だよなぁとか思いながら入門書を読んでいます。

  投稿者:TOSHI - 2008/02/14(Thu) 13:25  No.3383 
 ども,こんにちはTOSHIです。

>EMANさん。。

 本題とは関係ありませんし明男さんのお言葉ももっともだと思います。私などが忠告できる筋合いではないので失礼とは思いますが歳だけはくっているので老婆心で申します。

 私自身が「これまでの経験に頼れば大抵の数式はながめただけでだいたい理解できるから別にいちいち追う必要ないや。」と考えた時代があって,とたんに老け込んで興味がなくなったというか,何もわからなくなったということがあります。

 EMANさんはまだ私より若いと思いますが,歳を取ってきて計算や数学の個々の細かい展開が面倒臭くなっても初学のころのような気持ちでいろいろ吸収しながら末永くやられたほうがいいと思います。経験だと,省略も大事ですがなんでもかんで面倒だからと省略しだすととたんに老けるようです。

                TOSHI